capitulo05 - econometria 1

Análise de Regressão Múltipla: MQO AssintóticoAula 16/05/2014

Prof. Moisés A. Resende Filho

Introdução à Econometria (ECO 132497)

16 de maio de 2014

Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, capítulo 5) 16/05/2014 1 / 19

Propriedades de amostras de tamanho finito: revisão

RLM.1 (linear nos parâmetros): y = β0 + β1x1 + · · ·+ βkxk + u.

RLM.2 (amostragem aleatória): a amostra representa a população.

RLM.3 (colinearidade imperfeita): variação amostral e colinearidadeimperfeita.

RLM.4 (média condicional zero): E (u|x1, x2, . . . , xk ) = 0.As hipóteses RLM.1 a RLM.4 são suficiente para garantirE (βj ) = βj , j = 0, ..., k ou não enviesamento dos estimadores MQOem amostras de qualquer tamanho n < ∞.RLM.5 (homocedasticidade): Var(u|x1, x2, . . . , xk ) = σ2.


Propriedades de amostras de tamanho finito: revisão

As hipóteses RLM.1 a RLM.5 (hipótese de Gauss-Markov) sãosuficientes para garantir que os estimadores MQO são os melhoresestimadores lineares não viesados (BLUE) em amostras dequalquer tamanho n < ∞.RLM.6 (normalidade dos erros): u ∼ Normal(0, σ2).As hipóteses RLM.1 a RLM.6 garantem que em amostras dequalquer tamanho n < ∞:

βj−βj

ep(βj )segue exatamente uma distribuição tn−k−1;

F = (SQRr−SQRir )/qSQRir/(n−k−1) segue exatamente uma distribuição

Fq,(n−k−1) g.l.; e

βj , j = 0, ..., k são os melhores estimadores não viesados (BUE).

RLM.1 a RLM.6 também garantem eficiência assintótica deMQO (propriedade de grandes amostras).


Propriedades assintóticas ou de amostras grandes

Nos casos em que as hipóteses RLM.1 a RLM.5 (hipótese deGauss-Markov) não são observadas, por exemplo, quando não sepode ter certeza de que E (u|x1, x2, . . . , xk ) = 0, então:

Os estimadores MQO devem ser comparados a estimadores alternativoscom base em suas propriedades assintóticas.

Quando a hipótese RLM.6 (normalidade dos erros) não éconfirmada, por exemplo, pelo teste Jarque-Bera:

Propriedades assintóticas dos estimadores podem servir para justificar autilização dos teste t e F .


Propriedades assintóticas ou de amostras grandes

Propriedades assintóticas ou de amostras grandes dizem respeito acomo a estimativa θ de um parâmetro θ se comporta a medida que otamanho da amostra se torna cada ver maior. Por exemplo:

1 Quão distante está θ do parâmetro populacional θ, a medida quen→ ∞?

2 Como fica a distribuição de θ , a medida que n→ ∞?

Para tanto, focaremos duas noções de comportamento em grandeamostras:

1 Convergência em probabilidade; e2 Convergência em distribuição.


Convergência em Probabilidade

Definition

Diz-se que um estimador θ converge em probabilidade para θ sequalquer diferença arbitrária entre θ e θ torna-se improvável a medida queo tamanho da amostra aumenta, ou seja, Pr(|θ − θ| > ε)→ 0 quandon→ ∞, em que ε é número arbitrário positivo e pequeno.

Três formas equivalentes de se expressar convergência emprobabilidade:

θ converge em probabilidade para θ;θ é o limite de probabilidade de θ; ep lim(θ) = θ.

Definition

Um estimador θ é dito consistente se p lim(θ) = θ.


Interpretação gráfica da convergência em Probabilidade

Se p lim(θ) = θ, então, a distribuição amostral de θ se torna cada vezmais concentrada sobre θ a medida que n aumenta.


Consistência de MQO

Theorem (Teorema 5.1.Consistência de MQO)

sob RLM.1 a RLM.4 , o estimador MQO βj é um estimador consistente deβj , j = 0, 1, ..., k.

A seguir, utilizaremos a Propriedade PLIM.2 (p. 66): sep lim(Tn) = α e p lim(Un) = β, em que Tn e Un são variáveisaleatórias, então:

1 p lim(Tn + Un) = α+ β;2 p lim(TnUn) = αβ ;3 p lim(Tn/Un) = α/β, desde que β 6= 0.

Vide propriedades de p lim no apêndice C do Wooldridge, disponívelem

https://sites.google.com/site/rese0013/ApendiceC_Propriedade_Estimadores.pdf



Demonstração.[Prova para o caso da regressão simples] Substitua yi = β0 + β1xi1 + uino estimador β1 de MQO admitindo RLM.1 a RLM.3 , tal que

β1 = β1 +∑ni=1(xi1 − x1)ui/(n− 1)

∑ni=1(xi1 − x1)2/(n− 1)

(1)

Aplicando a (1) as propriedades p lim(Tn + Un) = α+ β ep lim(Tn/Un) = α/β, desde que β 6= 0, obtém-se:

p lim(β1) = p lim(β1) +p lim(∑n

i=1(xi1 − x1)ui/(n− 1))p lim∑n

i=1(xi1 − x1)2/(n− 1)

= β1 +p lim(Cov(x1, u))

p lim(Var(x1))(2)

continua...Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, capítulo 5) 16/05/2014 9 / 19


Demonstração.[Prova para o caso da regressão simples continuação]Aplicando p lim(Cov(x1, u)) = Cov(x1, u) e p lim(Var(x1)) = Var(x1) a(2):

p lim(β1) = β1 +Cov(x1, u)Var(x1)

(3)

Finalmente, como sob a hipótese RLM.4, E (u|x1) = 0, entãoCov(x1, u) = 0. Aplicando isto à (3),

p lim(β1) = β1

�



Demonstração.[Prova para beta zero chapéu] Comoβ0 = y − β1x1 = (β0 + β1x1 + u)− β1x1 = (β0 + u) + x1(β1 − β1),então:

p lim(β0) = p lim(β0) + p lim(u) + p lim(x1)(p lim(β1)− p lim(β1))= β0 + 0+ µx1(β1 − β1)

ou seja,p lim(β0) = β0



Note que E (u) = 0 e Cov(x1, u) = 0 bastariam, juntamente comRLM.1 a RLM.3, para garantir que p lim(β1) = β1.

Hipótese RLM.4 ’(média zero e correlação zero): E (u) = 0 eCov(xj , u) = 0, j = 1, ..., k.

Note que E (u|x) = 0 é suficiente para E (u) = 0 eCov(xj , u) = 0, j = 1, ..., k.

Assim, sob RLM.1 a RLM.3 e RLM.4’os estimadores MQO sãoconsistentes;

Já sob RLM.1 a RLM.4 são não-viesados e, portanto, tambémconsistentes.

Como a hipótes RLM.4’é mais fraca que RLM.4, então, se osestimadores MQO forem sabidamente não-viesados (hipóteses RLM.1a RLM.4 são válidas), então, serão também consistentes, mas ocontrário não é necessariamente verdadeiro.



De outra forma, se u for correlacionado com qualquer uma dasvariáveis explicativas (x1, x2, . . . , xk ), então, todos os estimadores deMQO (βj , j = 0, ..., k) serão inconsistentes.e viesados.

O problema com um estimador viesado e inconsistente é que oviés não diminui com o tamanho da amostra, por exemplo,quando Cov(x1, u) 6= 0, então p lim(β1)− β1 =

Cov (x1,u)Var (x1)

6= 0.Para um estimador viesado ( E (u|x1, x2, . . . , xk ) 6= 0), masconsistente (E (u) = 0 e Cov(xj , u) = 0, j = 1, ..., k), o viésdiminui com o aumento do tamanho da amostra. (importânciade propriedade assintótica de MQO).


Inconsistência de MQO: exemplo

Considere o modelo verdadeiro:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + v (4)

Considere o modelo que omite x2:

y = β0 + β1x1 + u, tal que u = β2x2 + v (5)

Como β1 = β1 + β2 δ1, com δ1 =Cov (x1,x2)Var (x1)

, então:

p lim β1 = β1 + β2δ1, com δ1 =Cov(x1, x2)Var(x1)

(6)


Inconsistência de MQO: exemplo

Considere o caso em que y é o preço da casa; x1 é a distância até oincinerador de lixo; e x2 é a qualidade da casa.

Admitindo-se que Cov(x1, x2) > 0, pois o dono investe mais emqualidade da casa se ela é distante do incinerador de lixo.Com a omissão de x2: p lim β1 = (β1

(+)

+ β2(+)

δ1(+)) > 0

Assim, como Cov(x1, x2) > 0 é suficiente para E (u|x1) 6= 0, então oestimador β1 é viesado (em média, superestima β1) einconsistente, o faz com que o viés não diminua com oaumento do tamanho da amostra.


Normalidade assintótica de MQO

Caso de convergência em distribuição.

Theorem (Teorema 5.2. Normalidade assintótica de MQO)

Sob RLM.1 a RLM.5 (hipótese de Gauss-Markov):

1 Para cada j = 0, ..., k,√n(βj − βj )

a∼ N(0, σ2

a2j), em que σ2

a2jé a

variância assintótica de√n(βj − βj ); a

2j = p lim

(n−1 ∑n

i=1 r2ij

)e r2ij

são os quadrados dos resíduos da regressão de xj sobre as demaisvariáveis explicativas do modelo.

2 σ2 = ∑i u2i

n−k−1 é um estimador consistente de σ2 = Var(u), ou seja,

p lim(σ2) = σ2 (necessita de homocedasticidade).

3 Para cada j = 0, ..., k,(βj−βj )

ep(βj )

a∼ N(0, 1), em que ep(βj ) =√

σ2

∑n

i=1r 2ij

(erro-padrão usual).


Normalidade assintótica de MQO

Em suma, a medida que o tamanho da amostra aumenta, adistribuição amostral de cada

√n(βj − βj ), j = 0, ..., k torna-se

arbitrariamente próxima de uma distribuição normal.

Aplicação direta do Teorema do Limite Central: para uma variávelaletória y com E (y) = µy e Var(y) = σ2, o estimador da média de y

para uma amostra de tamanho n, yn = ∑ni=1 yi é tal que√

n (y n−µy )

σ =(y n−µy )

σ/√n

a∼ N(0, 1).

Ou seja, estabelece que a média padronizada (y n−µy )σ/√n de qualquer

população com média µy e variância σ2 será assintoticamentenormalmente distribuída.


Implicações práticas da normalidade assintótica de MQO

É importante porque torna desnecessária, em grande amostras, ahipótese RLM.6.

Mas ainda é importante assumir homocedasticidade dos erros.

As hipóteses RLM.1 a RLM.4 são suficiente para se poder efetuartestes estatístico t e F como antes;

Em grande amostras,(βj−βj )

ep(βj )

a∼ N(0, 1).

Note que a distribuição tn−k−1 se torna cada vez mais próxima dadistribuição N(0, 1) quanto n→ ∞.Contudo, para controlar o erro tipo I, Greene aconselha utilizar osvalores críticos da distribuição t mesmo em ausência de normalidadedos erros (Greene, p.129).


Teste multiplicador de Lagrange

O teste multiplicador de Lagrange é uma alternativa ao teste F parase testar hipóteses de exclusão de variáveis do modelo paraamostras grandes.Se a hipótese é que as (k − q) últimas variáveis do modelo são, emconjunto, zero, tal que: H0:β(k+1)−q = β(k+1)−q+1 = · · · = β(k+1)−q+(q−1) = 0.Passo 1: estime o modelo restrito;Passo 2: estime uma regressão dos resíduos do modelo restrito sobretodas as variáveis explicativas do modelo irrestrito e armazene o R2

desta regressão como R2u ;Passo 3: calcule a estatítica do teste LM = nR2u ∼ χ2q e efetue oteste a um certo nível de significância.Os testes F e LM não levam, necessariamente, aos mesmosresultados em amostras de tamamho finito.É possível mostrar que LM = nqF

n+qF , ou seja, LM ≤ F , mas LM ∼ χ2qe F ∼ Fq,(n−k−1) g.l..


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