Circuitos RLC

77.1 - Circuito RLC Série7.'2- Circuito RLC Paralelo7.3 - Correção do Fator de Potência

- Exercícios·Propostos

Capítulo·

Neste capítulo, iremos analisar o comportamento dos circuitos RLCsérie e paralelo, permitindo estudar os circuitos ressonantes e fazer a correçãodo fator de potência de circuitos indutivos.

7.1 - Circuito RLC Série

o circuito RLC série é formado por um resistor, um indutor e umcapacitor ligados em série, como mostra a figura 7.1, cuja corrente foiconsiderada, arbitrariamente, como tendo fase inicial nula.

v, i

~

R j v,

v _L j v,

C j Vc

(a) Circuito (b) Diagrama Fasorial

Figura 7.1 - Circuito HLC Série

Circuitos RLC 185

Em um circuito RLC série, a tensão total aplicada é a soma vetoria!das tensões no resistor, capacitor e indutor, isto é:

v = vR + vL + VcCom relação ao diagrama fasorial, sabe-se que:

• A tensão no resistor está em fase com a corrente;

• A tensão no indutor está adiantada de 90° em relação àcorrente;

• A tensão no capacitor está atrasada de 90° em relação àcorrente.

Portanto, as tensões v e Vc estão defasadas de 180° entre si, sendoque a soma vetoria! delas é a dITerença entre seus módulos, com fase igual àda tensão de maior módulo.

Por exemplo, considerando que VL > Vc' tem-se que:

A figura 7.2 mostra o diagrama de tensões obtido a partir dodiagrama fasorial da figura 7.1(b} e o respectivo diagrama de impedância,considerando que VL > VC"

v, i

v

(a) Diagrama de Tensões (b) Diagrama de ImpedânciasFigura 7.2 - Tensões e Impedância no Circuito RLC Série

186

Da figura 7.2(a), pode-se obter o módulo da tensão total aplicadapelo gerador:

Como VL > VC' a defasagem 4>da tensão do gerador em relação à

corrente é positiva, porém menor que 90° , devido à influência do resistor.Isto significa que a fase da impedância é também positiva, caracterizando umcircuito indutivo, no qual a reatância indutiva predomina sobre a capacitiva.

No circuito RLC série, a impedância complexa equivalente docircuito pode ser calculada por:

I Z = R+ j(XL -Xél ou

o módulo da impedância equivalente do circuito vale:

ou ( )

22 "'1

Z = ~R + ro.L - ro.C .

A fase da impedância equivalente do circuito vale:

H (XL-Xc)4>= arctg R

( 1 )ro.L--cjl = arctg ro.C .

Rou

o fator de potência do circuito pode ser obtido do diagrama deimpedância da figura 7.2(b), e vale:

IFP = cos4>= ~ IDe tudo o que foi visto até aqui, podem-se tirar algumas conclusões

gerais:

Circuitos RLC 187

=> o circuito é indutivo (<I> > 0°);

=> o circuito é capacitivo (<I> < 0°);

=> o circuito é resistivo (<I> = 0°) .

Esta última condição (XL= Xc) é chamada de ressonância, assuntoeste que será aprofundado em seguida.

Circuito Ressonante

Um circuito ressonante é aquele que apresenta a menor oposiçãopossível à passagem de corrente elétrica numa determinada freqüência f ,odenominada freqüência de ressonância do circuito.

Isto significaque as freqüências maiores e menores que foencontrarãomaior oposição por parte do circuito ressonante.

A figura 7.3 mostra um circuito ressonante série no qual éaplicada uma tensão alternada numa determinada freqüência.

R

v(f) - L

c

Figura 7.3· Circuito Ressonante Série

Quando a freqüência da tensão é tal que XL = Xc' a reatânciaindutiva é anulada pela reatância capacitiva, já que estão defasadas de 180° .Isto significa que o circuito comporta-se como se fosse uma resistênciapura.

A freqüência de ressonância fo' na qual este fenômeno ocorre,pode ser determinada da seguinte forma:

188

Como roo = 21t. fo , tem-se que:

~~

=> freqüência de ressonância do circuito

Os gráficos da figura 7.4 (2 = f(rol e i = f(rol) mostram ocomportamento do circuito ressonante série em função da freqüência.

z Circuito<:a_

•CrrOJilOInduüvo

•

R

••o o

(a) Gráfico da Impedância (b) Gráfico da Corrente

Figura 7.4 - Comportamento do Circuito Ressonante Série

Desta figura, podem-se tirar as seguintes conclusões:

• Na freqüência de ressonância roo' o circuito é puramenteresistivo e a oposição à corrente é minima, resultandonuma corrente máxima 1M;

• Abaixo da freqüência de ressonância, a impedância écapacitiva (Xc > XL)e a corrente está adiantada em relaçãoà tensão aplicada;

Circuitos RlC 189

• Acima da freqüência de ressonância, a impedância é indutiva(~ > Xc) e a corrente está atrasada em relação à tensãoaplicada.

Largura de Faixa (LF) e Fator de Qualidade (Q)

Define-se largura de faixa (LF) ou banda de freqüência, comosendo:

Onde: fcs =) freqüência de corte superior

fei =) frequência de corte inferior

Na freqüência de corte, o valor da corrente é aproximadamente70,7% da corrente de ressonância 1M'como mostra o gráfico da figura 7.5.

0,707.1.

1I.LF

Figura 7.5 -Largura áe Faixa áo Circuito Ressonante

Este valor 70,7% corresponde a 1M / J2 , ou a uma queda de 3dBna corrente máxima.

190

A largura de faixadepende da qualidadeda bobina. Uma bobina idealrem resistência ôhmica nula, porém, na prática, o fio da bobina possuiresistência.

sendo:o fator de qualidade QL de uma bobina é definido como

Onde: XLo = 21t. fo.L ~ reatância da bobina na freqüência deressonância

RB ~ resistência ôhmica da bobina

O fator de qualidade Q do circuito é dado por:

IQ=XLoIRr

Onde: Rr ~ resistência ôhmica total do circuito

A largura de faixa do circuito está relacionada com o fator dequalidade através da expressão:

Portanto, quanto maior é a qualidade da bobina, menor é alargura de faixa ou mais aguda é a curva i = f(ro), isto é, melhor é ocircuito ressonante, pois ele se torna mais seletivo, como mostra afigura 7.6.

Circuitos RLC 191

Q,

Q,>Q,

f

Lf,Figura 7.6 - Qualidade do Circuito Ressonante

Exemplos:

1) Em um circuito RLC série, tem-se: R = 100n, L = lmH eC = O,lllf . Se a tensão do gerador é 10LQ: V, pedem-se:

1000

lmH10 I.Q:v -

O,ll'f

a) Freqüência de ressonância do circuito

f = 1o 2n../L.C

1---==== =- 15,915kHz2nJlO-3.1O-7

192

l'

b) Corrente fomecida pelo geradorna freqüência da ressonância

Na ressonância, o circuito é somente resistivo, portanto:

Z = R = 1000.

I = V = ~ = 100mAZ 100

c) Ângulo de defasagem entre tensão do gerador e corrente naressonância

Na ressoância, o circuito é somente resistivo e, portanto, oângulo de defasagem é zero (<I> = O).

d) Corrente e defasagem se f = 20kHz

XL = 21t.f.L = 21t.20.103.1O-3 = 125,70

1 1Xc = f C - 3 7 - 79,60

21t. . 21t.20.l0 .10-

Z = R + jül.L - j_1_ = 100 + j125,7 - j79,6 =>ül.C

Z = 100 + j46,l 0=110 124,7° O

i=~= 10 ~ =909Z 110 124,7° '

1-24,7° mAPortanto:

Como XL > XC' nesta freqüência o circuito é indutivo(20kHz> fJ

e) Corrente e defasagem se f = 10kHz

XL = 21t.f.L = 21t.lO.103.1O-3 = 62,80

Circuitos RlC 193

1 1Xc = =

21t. f.C 21t.10.103.10 7159,2Q

Z = R + joo.L- j_l_ = 100+ j62,8 - j159,2 =>00.C

Z=100-j96,4Q=138,9 1-43,9° Q

'=~= 10 ~ =7231439°1 Z 138,4 1-43,9° ' ,Portanto: mA

Como Xc > Xl' nesta freqüência o circuito é capacitivo(10kHz < fo)'

2) Em umcircuitoRLCsérie, tem-se:VR=6V; Vc=20V; VL=12Ve i = 10 10° mA. Pedem-se:

a) Impedância complexa:

R= VR = 6 600QI 10.10-3

194

x = VL = 12 = 12'·r. X 12 knL 10.10-3' lU. :. L = j ,

X = Vc = 20 - 21.r. X 2 1.r.C 10.10-3 lU. :. C = -j lU.

Z=R+jw.L-j_l_=O,6+jl,2-i2=O,6-jO,8 kn=l 1-53° knw.C

b) Tensão aplicada no circuito

v=Z.i=l I-53°. 1O~=10 1-53° V

c) Diagrama fasorial

v, i

VclI2V)

53° I,,,:

----- v (IOV) )'"

I (JOrnA)

Vcl20V)

Circuitos RlC 195

3) Dado o circuito ressonante a seguir, pedem-se:

í -,I

I I L~1001'HI I

v (_i I

I II II I R,,=8U,- J

T C~5,6nF

a) Freqüência de ressonância

f = 1o 2rr..JL.C

_r===1~=~ = 212,68kHz2rr.~100.1O-6.5,6.10-9

b) Fator de qualidade da bobina

XLo = 2rr..fo.L = 21t.212,68.103.100.1O-6 = 133,63n

QL = XLo = 133,63 167,RB 8

c) Fator de qualidade do circuito

Q = XLo = 133,63 = 742RT 10+8 '

d) Largura de faixa do circuito

LF = fo = 212,68.103= 2866kH

Q 7,42 ' z

196

IIII--------- ------~-----

o 198,35 212,68 227,01f 1kHz)

I LF~28,66 kHz J

e) Valor de R para que a largura de faixa seja 10% dafreqüência de ressonância

LF = fo =) 21,268.103 = 212,68.103

=) Q = 10Q Q

Q = XLo =) 10 = 133,63 =) R = 5363QR+RB R+8 '

______ 7o_2_-_C_iro_u_it_O_R_L_C_P_ar_a_le_lo ,1

o circuito RLC paralelo é formado por um resistor, um indutore um capacitar ligados em paralelo, como mostra a figura 7.7, cuja tensão foiconsiderada, arbitrariamente, como tendo fase inicial nula.

~

v_ R L c

a) Circuito

Circuitos RLC 197

v, i

;c ~

v

;R

;L

(b) Diagrama Fasorial

Figura 7.7 - Circuito RLC Paralelo

Em um circuito RLC paralelo, a corrente total fornecida pelo geradoré a soma vetorial das correntes no resistor, capacitor e indutor, isto é:

i= iR + iL + icCom relação ao diagrama fasorial, sabe-se que:

• A corrente no resistor está em fase com a tensão;

• A corrente no indutor está atrasada de 90° em relação àtensão;

• A corrente no capacitor está adiantada de 90° em relaçãoà tensão.

Portanto, as correntes iLe ic estão defasadas de 180° entre si, sendoque a soma vetorial delas é a diferença entre seus módulos, com fase igual àda corrente de maior módulo.

Por exemplo, considerando que Ic > IL, tem-se que:

ic + iL = (Ic - 'L) 1900

A figura 7.8 mostra o diagrama de correntes obtido a partir dodiagrama fasorial da figura 7. 7(b) e o respectivo diagrama de impedância,considerando que Ic > IL.

198

v, i

v

(a) Diagrama de Correntes (b) Diagrama de lmpedâncias

Figura 7.8 - Correntes e lmpedância no Circuito RLC Paralelo

Da figura 7.S(a), pode-se obter o módulo da corrente totalfomecida pelo gerador:

Como Ic > Il, a defasagem <I> da corrente do gerador em relação à

tensão é positiva, porém menor que 90° , devido à influência do resistor. Istosignifica que a fase da impedância é negativa, caracterizando um circuitocapacitivo, no qual a reatância capacitiva predomina sobre a indutiva.

No circuito RLC paralelo, a impedância complexa equivalente docircuito pode ser calculada por:

1 1 1 1-=-+--+--Z R jXl -jXc

Desenvolvendo-se esta expressão, obtém-se a impedânciacomplexa:

ou Z = ro.R.Lro.L+ jR(ro2.L.C-l)

Circuitos RLC 199

o módulo da impedância equivalente do circuito vale:

Z ro.R.L~(ro.L)2+ R2(ro2.L.C_l)2 .

A fase da impedância equivalente do circuito vale:

~ou '" ct R.(ro2.L.C-l)'I' = -ar g ro.L

o fator de potência do circuito pode ser obtido do diagrama deimpedância da figura 7. 8(b), e vale:

FP = cosljl= ~ =). ?f(;:ZlL..:!J

Neste caso, as conclusões que podem ser tiradas são as seguintes:

• Caso XL > Xc =) o circuito é capacitivo (~ < 0°);

• Caso XL < Xc =) o circuito é indutivo (ljl> 0°);

• Caso XL = Xc =) o circuito é resistivo (ljl= 0°) .

Esta última condição também corresponde à ressonância docircuito.

Para o circuito RLC paralelo valem também as expressões dafreqüência de ressonância (wo ou 10), isto é:

ou f = 1p 21t.JL.C

Mas neste caso, como os dispositivos estão em paralelo, os gráficos

da impedância e da corrente (2 = I(w) e i = f(w)) são como mostra a ligura7.9.

200

z CircuitoIndutivo

•CircuitoCapadtivo

~R

'"o

(a) Gráfico da lmpedância

VI m-m R

'"o "'"(b) Gráfico da Corrente

Figura 7.9 - Comportamento do Circuito Ressonante Paralelo

Desta figura, podem-se tirar as seguintes conclusões:

• Na freqüência de ressonância IDo, o circuito é puramenteresistivo e a oposiçâo à corrente é màxima, resultandonuma corrente mínima 1m;

• Abaixo da freqüência de ressonância, a impedância éindutiva(Xc> Xl);

Circuifos RlC 201

• Acima da freqüência de ressonância, a impedância écapacitiva ~ > Xc).

Exemplos:

1) Dado o circuito a seguir, pedem-se:

v~201JEV - RIkn

==Xe500Q

a) Corrente complexa em cada componente e corrente total

. v 20 lQ:. 40 1900 ·40 mA'c = Xc = 500 1_ 900 = = J

. v 20 lQ:...'L = XL = 200 1900 = 100 1-90° = -j100 mA

i= iR + ic +iL = 20+ j40- j100 = 20- j60 =63,25 1-71,6° mA

b) Impedância complexa

z-~- 20lQ: =3162171600i 63,25.10-3 1- 71 ,6° ' ,

202

c) Diagrama fasorial

v, i

icl40mA)

iL (IOümA)

i,(ZOmA)

i 163.ZS'Y

2) Dado o circuito a seguir, pedem-se:

v=llO~60Hz

SA~

R

4A~

L

IOA~

v (ZOV)

c

Circuitos RLC 203

a) lmpedância complexa

XL = '!..- = 11O = 27 5" X 27 5 "I 4 ,..:. L = j , ••L

Xc = '!..- = 110 = lln :. Xc = -jll nlc 10

Módulo:

z = R.XL·Xc _ 22.27,5.11 = 14!lJ(XL.Xcl2 + R2.(X L - Xcl2 J(27,5.ll)2 + 222.(27,5 _11)2

Fase:

lj> = -arctg R.(XL - Xc) _ -arctg 22.(27,5 -11) _ -500XL.XC 27,5.11

b) Corrente complexa fornecida pelo gerador

i = ~ = 110 ~ = 5 [Q: = 5 AR R 22 ~

i =~= 110 ~ =4 1-900 =-j4AL XL 27,5 1900

i = ~ = 110 l.Q: -10 1900 = j10 Ac Xc 11 1-900

i=iR +iL +ic =5-j4+j10=5+j6=7,8 1500 A

204

c) Diagrama fasorialv, i

ic(lOA)

i (7,BA)

,.(SAI

i,(4A)

7.3 - Correção do Fator de Potê'lQ:i~

Uma instalação elétrica é, na maioria dos casos, formada por cargasindutivas (motores elétricos), portanto, faz-se necessária uma análise do fatorde potência da instalação.

A diminuição do fator de potência faz diminuir a potência ativa (real),aumentando a potência reativa, o que implica num aumento de corrente e,pcrtanto, em perdas.

Circuitos RLC 205

Exemplo:

Seja um circuito que consome uma potência aparente de 12kVAquando a alimentação é 220V rrns. A corrente consumida vale:

1= PAp = 12.103

- 54 55AV 220 ' rms

Se o circuito é só resistivo, toda a potência consumida é igual àpotência ativa (real), sendo o FP igual aI, isto é:

P = V.l.cos$ = 220.54,55.1 = 12kW

Porém, se o circuito é indutivo com FP=0,5, nestas condições, apotência ativa vale:

P = 220.54,55.0,5 = 6kW

Se o FP aumentar para 0,85, com a mesma potência aparente, apotência ativa será:

P = 220.54,55.0,85 = 10,2kW

Como a potência ativa é a responsável pela transformação deenergia elétrica em energia útil, concluímos que o aumento no FP implicano aumento da potência útil, sem aumento de corrente.

Existem várias formas de aumentar o FP de uma instalação elétrica,mas aqui só será analisada a correção do fator de potência com a utilizaçãode capacitores.

Já foivistoque um indutoratrasa a corrente em relaçãoà tensão. Comoo capacitor adianta a corrente em relação à tensão, a ligação adequada de umcapacitor num circuitopode compensar o atraso da corrente, reduzindoo ângulode defasagem e, conseqüentemente, aumentando o fator de potência.

Por razões econômicas e práticas, basta manter o FP acima de 0,85,que é o valor mínimo estipulado pelas concessionárias de energia elétrica,abaixo do qual os usuários pagam multa.

O cálculo do capacitor de correção é feito da seguinte forma:

Considerando-se um circuito com impedância Z cujo ângulo de faseé $1, como mostra a figura 7.10.

206

v, i

v

v _ z

)(a) Circuito (b) Diagrama Fasorial

Figura 7.10 - Circuito sem Correção de FP e seu Diagrama Fasorial

o objetivo é diminuir esse ângulo para </l2 .

A colocação do capacitar em paralelo com a carga diminui o ângulode fase de </lI para cjl2 ' o que significa um aumento no FP do circuito, comomostra a figura 7. 11.

v, i

DOei

~

*i, *ic ovv _

Z c

)(a) Circ,!íto. (b) Diagrama Fasoria!

Figura 7.11 . Circuito com Correção de FP e seu Diagrama Fasoria!

Circuitos RLC 207

Quando a correção é feita (com a colocação do capacitor), a potênciaativa do circuito não se altera, somente a potência aparente. Assim, acolocação do capacitor não muda o valor de iR' já que ela está relacionada àcomponente resistiva da carga, que é a responsável pela potência ativa(P = v.iR).

Na figura 7 .11(b), identificamos os triângulos OAC e OBC e obtemos:- -AC = Oe.tg<!>I e - -BC=Oe.tg<l>2

Do mesmo diagrama obtemos:

AB = 00 = AC - BC = Oe. tg<l>1- De. tg<l>2= De. (tg<l>1- tg<l>2)

- p - - pComo oe = IR = V e AB = 00 = Ic, resulta que: [c = V .(tg<l>1- tg<l>2)'

VPor outro lado, Ic = - = V.Ol.CXcIgualando-se as duas expressões de le temos:

Este é, portanto, o valor do capacitor necessário para se corrigir ofator de potência do circuito de <1>1para <1>2.

Exemplos:

1) Um motor consome uma potência de 5kW em 220V rms comum FP=O,G. Calcular o valor do capacitor que aumenta o FPpara 0,9 (f=GOHz).

V=220V~ -f=60Hz

M P~5kWFP=O,6

208

cos<Pt = 0,6 => (Pt = 53°=> tg(Pt = 1,33

COS<P2= 0,9 => <P2= 26°=> tg<P2= 0,49

P 5.103C = --2 .(tg<Pl- tg<P2)= 2·(1,33 - 0,49) = 230~

OJ. V 377.220

2) Uma carga indutiva dissipa uma potência real de 1kWconsumindo uma corrente de 10A / f=60Hz com umrms .

ângulo de defasagem de 60° . Calcular:

a) Valor do capacitor que corrige o FP para 0,85

Situação antes da correção:

v, i

vj=60Hz .-

ZLP=lkW

P = V.I.cos<p => 1000 = V.10.cos 60° => V = 200Vrms

COS<P2= 0,85 => <P2= 31,8°=> tg<P2= 0,62

P 1000C = --2 .(tg<Pl- tg<P2)= 2·(1,73 - 0,62) = 74~

OJ. V 377.200-V

Circuitos RLC 209

l'b) Corrente total fomecida pelo gerador após a correção do FP

Após a correção:v,i

V-2OOV_j=6OHl

No diagrama fasorial, observamos que a soma vetorial de i1com icresulta em i2.

Tem-se: ií =} componente reativa da corrente i1.

lí = 11·sen600= 10.0,866 = 8,66Arms

Tem-se: iR =} componente ativa da corrente na carga.

IR = II·cos600= 10.0,5 = 5Arms

A corrente ativa na carga deve ser a mesma, antes e após a correção.

A corrente fornecida pelo gerador após a correção passa a ser de:

IR 512 = -- = 085 = 5,88Arms

cosG>2 'Portanto, a corrente fomecida pelo gerador diminui de 10A para

5,88A, sem diminuir a potência real na carga.

c) Potência aparente após a correção do FP

PAp = V.I2 = 200.5,88 = 1,176kVA

Antes da correção do FP, a potência aparente era:PAp = V.I1 = 200.10 = 2kVA.

210

Exercícios Propostos

Circuito RlC Série

7.1 - Num circuito RLC série, o ângulo de defasagem entre tensãodo gerador e corrente é 60° , sendo: f = 60 Hz, Z = 200ne Xc = 2.XL. Determine:

R

v _

a) Se o circuito é indutivo ou capacitivo.

b) Valor de R, L e C;

c) Diagrama fasorial.

7.2 - Dado o circuito a seguir, pedem-se:

R=300Q

v=50~V~f=200Hz

L=5OOmH

a) Impedância complexa;

b) Freqüência de ressonância;

c) Corrente complexa.

Circuitos RLC 211

7.3· O circuito de sintonia de um rádio AM tem uma bobina deL = 1OO~H . Quais os limites de um capacitor variável paraque a rádio sintonize de 530kHz a 1600kHz?

Circuito RLC Paralelo

7.4 - Dado o circuito a seguir, pedem-se:

v=llOIlEV~{-60Hz 200 L c

Xe=-j 200

a) Corrente complexa em cada componente e no gerador;

b) Impedância complexa;

c) Fator de potência.

7.5 - Dado o circuito a seguir, pedem-se:

v=lO~V~ E-1 lOkll llJJ<H =:= 10nF

a) Freqüência de ressonância;

b) Corrente fomecida pelo gerador na ressonância.

212

Correção do Fator de Potência

7.6 - Uma instalação elétrica tem as seguintes caracteristicas:10kVA/220V rml60Hz ecos ljl = 0,5 (indutivo). Determine:

a) Corrente total consumida;

b) Potência ativa e reativa;

c) Valor do capacitor que aumenta o FP para 0,85;

d) Valor da corrente consumida após a correção;

e) Potência aparente e reativa após a correção.

7.7 - Dado o circuito a seguir, calcule:

20n

RvI0.500n)

a) Valor de Rv para que o FP seja 0,85 e as correntes iR' iLe ir nesta condição;

b) FP quando Rv = 00 . Há a necessidade de correção dofator de potência (FP>0,85)? Se há, qual deve ser o valor docapacitor?

c) Se Rv = 1000 , há a necessidde de correção do FP? Se há,qual deve ser o valor do capacitor?

Circuitos RlC 213

7.8 - Uma instalação elétrica alimentada por um gerador de220V rm/60Hz tem uma potência de 20kV A. Calcule apotência real consumida pela instalação para os seguintesvalores de FP:

a) FP=l b) FP=0,6 c) FP=0,2

7.9 - As características de um motor monofásico são: V= 120V ,rmsI=10Arms' cos«jl= 0,8. Determine as seguintes caraclerísticasdo seu enrolamento:

a) Resistência ôhmica;

b) Reatância indutiva;

c) Impedância.

214