Capitulo9 Sears Exercicios Gabarito

Exerccios Captulo 9 Rotao de Corpos rgidos Sears e Zemansky, Young & Freedman Fsica I Editora Pearson, 10 Edio Prof. Dr. Cludio S. Sartori

1

Questes

Q9.1 Quando uma fta de vdeo ou de udio

rebobinada, por que a velocidade com que ela se desenrola

mais rpida no final do rebobinamento?

Q9.2 Um corpo que gira em torno de um eixo fixo

deve ser perfeitamente rgido para que todos os pontos do

corpo girem com a mesma velocidade angular e com a

mesma acelerao angular? Explique.

Q9.3 Qual a diferena entre a acelerao

tangencial e a acelerao radial de um ponto em um

corpo que gira?

Q9.4 Na Figura 9.11, todos os pontos da corrente

possuem a mesma velocidade escalar linear v. O mdulo

da acelerao linear a tambm o mesmo para todos os

pontos ao longo da corrente? Qual a relao existente

entre a acelerao angular das duas rodas dentadas?

Explique.

Q9.5 Na Figura 9.11, qual a relao entre a

acelerao radial de um ponto sobre o dente de uma das

rodas e a acelerao radial de um ponto sobre o dente da

outra roda dentada? Explique o raciocnio que voc usou

para responder a essa pergunta.

Q9.6 Um volante gira com velocidade angular

constante. Um ponto de sua periferia possui acelerao

tangencial? Possui acelerao radial? Essas aceleraes

possuem um mdulo constante? Possuem direo

constante? Explique o raciocnio usado em cada caso.

Q9.7 Qual o objetivo do ciclo de rotao da

mquina de lavar roupa? Explique em termos dos

componentes da acelerao.

Q9.8 Embora a velocidade angular e a acelerao

angular possam ser tratadas como vetores, o deslocamento

angular , apesar de possuir mdulo e sentido, no considerado um vetor. Isso porque o ngulo 1 no segue as regras da lei comutativa da adio vetorial (Equao (l

.4)). Prove essa afirmao do seguinte modo. Coloque um

dicionrio apoiado horizontalmente sobre a mesa sua

frente, com a parte superior voltada para voc de modo que

voc possa ler o ttulo do dicionrio. Gire a aresta mais

afastada de voc a 90 em torno de um eixo horizontal.

Chame esse deslocamento angular de 0p A seguir gire a

aresta esquerda 90 se aproximando de voc em torno de

um eixo vertical. Chame esse deslocamento angular de 1. A lombada do dicionrio deve ficar de frente para voc, c

voc poder ler as palavras impressas na lombada. Agora

repita as duas rotaes de 90, porm em ordem inversa.

Voc obtm o mesmo resultado ou no? Ou seja, 2 + 1 igual a 2 + 1,? Agora repita a experincia porm com um ngulo de l cm vez de 90. Voc acha que um

deslocamento infinitesimal d obedece lei comutativa da

adio e, portanto, o qualifica como um vetor? Caso sua

resposta seja afirmativa, como voc relaciona a direo e o

sentido de d com a direo e o sentido de tu?

Q9.9 Voc consegue imaginar um corpo que

possua o mesmo momento de inrcia para todos os eixos

possveis? Em caso afirmativo, fornea um exemplo e, se

sua resposta for negativa. explique por que isso seria

impossvel. Voc pode imaginar um corpo que possua o

mesmo momento de inrcia em relao a todos os eixos

passando em um ponto especfico? Caso isso seja possvel,

fornea um exemplo e diga onde o ponto deve estar

localizado.

Q9.10 Para maximizar o momento de inrcia de

um volante e minimizar seu peso, qual deve ser sua forma

e como sua massa deve ser distribuda? Explique.

Q9.11 Como voc poderia determinar

experimentalmente o momento de inrcia de um corpo de

forma irregular em relao a um dado eixo?

Q9.12 Um corpo cilndrico possui massa M e raio

R. Pode sua massa ser distribuda ao longo do corpo de tal

modo que seu momento de inrcia em relao ao seu eixo

de simetria seja maior do que AW2? Explique.

Q9.13 Explique como a parte (b) da Tabela 9.2

poderia se usada para deduzir o resultado indicado na parte

(d).

Q9.14 O momento de inrcia I de um corpo rgido

em relao a um eixo que passa em seu centro de massa

Icm. Existe algum eixo paralelo a esse eixo para o qual I

seja menor do que Icm? Explique.

Q9.15 Para que as relaes de / fornecidas nas

partes (a) e (b) da Tabela 9.2 sejam vlidas, necessrio

que a barra tenha uma seo rota circular? Existe alguma

restrio sobre a rea da seo reta para que essas relaes

sejam vlidas? Explique.

Q9.16 Na parte (d) da Tabela 9.2, a espessura da

placa deve ser menor que a para que a expresso de I possa

ser aplicada. Porm, na parte (c), a expresso se aplica para

qualquer espessura da placa. Explique.

Q9.17 Na Figura 5.26a use as expresses

21

2K m v e 2

1

2K I para calcular a energia

cintica da caixa (considerando-a uma partcula nica).

Compare os dois resultados obtidos. Explique esses

resultados.

Q9.18 A Equao (9.18) mostra que devemos

usar ycm para calcular U de um corpo com uma distribuio

de massas contnua. Porm no Exemplo 9.9 (Seo 9.5). y

no foi medido em relao ao centro de massa mas, sim, a

partir do ponto inferior da massa pendurada. Isso est

errado? Explique.

Q9.19 Qualquer unidade de ngulo radiano, grau ou revoluo pode ser usada em alguma equao do Captulo 9, porm somente ngulos em radianos podem

ser usados em outras. Identifique as equaes para as quais

o uso do ngulo em radianos obrigatrio e aquelas para

as quais voc pode usar qualquer unidade de ngulo, e diga

o raciocnio que foi usado por voc em cada caso.


2

SEO 9.2 VELOCIDADE ANGULAR ACELERAO ANGULAR

9.1 (a) Calcule o ngulo em radianos subtendido por

um arco de 1.50 m de comprimento ao longo de uma

circunferncia de raio igual a 2.50 m. Qual esse ngulo em

graus? (b) Um arco de comprimento igual a 14.0 cm subtende

um ngulo de 128 em um crculo. Qual o raio da

circunferncia desse crculo? (c) E de 0.700 rad o ngulo

entre dois raios de um crculo de raio igual a 1.50 m. Qual o

comprimento do arco sobre a circunferncia desse crculo

compreendido entre esses dois raios?

9.2 A hlice de um avio gira a 1900 rev/min. (a)

Calcule a velocidade angular da hlice em rad/s. (b) Quantos

segundos a hlice leva para girar a 35?

9.3 Considere o volante dos Exemplos 9.1 e 9.2

(Seo 9.2).

(a) Calcule a acelerao angular instantnea para t =

3.5 s. Explique porque seu resultado igual acelerao

angular mdia para o intervalo entre 2,0 s e 5.0 s.

(b) Calcule a velocidade angular instantnea para t =

3.5 s. Explique por que seu resultado no igual velocidade

angular mdia para o intervalo entre 2.0 s e 5.0 s, embora 3.5

s corresponda ao valor mdio desse intervalo de tempo.

9.4 As lminas de um ventilador giram com

velocidade angular dada por 2t t , onde = 5.00 rad/s e = 0.800 rad/s2. (a) Calcule a acelerao angular em funo do

tempo,

(b) Calcule a acelerao angular instantnea a para t

= 3.00 s e a acelerao angular mdia med para o intervalo de tempo t = 0 at t = 3.00 s. Como essas duas grandezas podem

ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que so

diferentes?

9.5 Uma criana est empurrando um carrossel. O

deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de

acordo com a relao 3t t t , onde = 0.400 rad/s e = 0.0120 rad/s2. (a) Calcule a velocidade angular do carrossel em

funo do tempo,

(b) Qual o valor da velocidade angular inicial?

(c) Calcule o valor da velocidade angular instantnea

para t = 5.00 s e a velocidade angular mdia med para o intervalo de tempo de t = 0 at t = 5.00 s. Mostre que med no igual a mdia das velocidades angulares para t = 0 at t

= 5.00 s e explique a razo dessa diferena.

9.6 Para t = 0 a corrente de um motor eltrico de

corrente contnua (de) invertida, produzindo um

deslocamento angular do eixo do motor dado por

2 32 3250 20 1.50t rad s t rad s t rad s t . (a) Em que instante a velocidade angular do eixo do

motor se anula?

(b) Calcule a acelerao angular no instante em que a

velocidade angular do eixo do motor igual a zero.

(c) Quantas revolues foram feitas pelo eixo do

motor desde o instante em que a corrente foi invertida at o

momento em que a velocidade angular se anulou?

(d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor

para t = 0, quando a corrente foi invertida?

(e) Calcule a velocidade angular mdia no intervalo

de tempo desde t = 0 at o instante calculado no item (a).

9.7 O ngulo descrito por uma roda de bicicleta

girando dado por 2 3t a b t c t onde a, b e c so constante reais so constantes positivas tais que se t for dado

em segundos, deve ser medido em radianos. (a) Calcule a acelerao angular da roda em funo

do tempo.

(b) Em que instante a velocidade angular instantnea

da roda no est variando?

SEO 9.3 ROTAO COM ACELERAO ANGULAR

CONSTANTE

9.8 A roda de uma bicicleta possui uma velocidade

angular de 1.50 rad/s.

(a) Se sua acelerao angular constante e igual a

0.300 rad/s, qual sua velocidade angular para t = 2.50 s?

(b) Qual foi o deslocamento angular da roda entre t =

t = 2.50 s?

9.9 Um ventilador eltrico desligado, e sua

velocidade angular diminui uniformemente de 500 rev/min

at 200 rev/min em 4.00 s.

(a) Ache a acelerao angular em rev/se o nmero

de revolues feitas no intervalo de 4.00 s.

(b) Supondo que a acelerao angular calculada no

item (a) permanea constante. durante quantos segundos a

mais a roda continuar a girar at parar?

9.10 (a) Deduza a Equao (9.12) combinando a

Equao (9.7) com a Equao (9.11) para eliminar t.

(b) A velocidade angular da hlice de um avio

cresce de 12.0 rad/s at 16.0 rad/s quando ela sofre um

deslocamento angular de 7.00 rad. Qual a acelerao

angularem rad/s?

9.11 A lmina rotatria de um misturador gira com

acelerao angular constante igual a 1.50 rad/s.

(a) Partindo do repouso, quanto tempo ela leva para

atingir uma velocidade angular de 36.0 rad/s?

(b) Qual o nmero de revolues descritas pela

rotao da lmina nesse intervalo de tempo?

9.12 Um volante leva 4.00 s para girar atravs de um

ngulo de 162 rad. Sua velocidade angular nesse instante

Final igual a 108 rad/s. Calcule

(a) a velocidade angular no incio desse intervalo de

4.00 s;

(b) a acelerao angular constante.

9.13 A roda de uma olaria gira com acelerao

angular constante igual a 2.25 rad/s. Depois de 4.00 s, o

ngulo descrito pela roda era de 60.0 rad. Qual era a

velocidade angular da roda no incio do intervalo de 4.00 s?

9.14 A lmina de uma serra circular de dimetro

igual a 0.200 m comea a girar a partir do repouso. Em 6.00 s

ela se acelera com velocidade angular constante ate uma


3

velocidade angular igual a 140 rad/s. Calcule a acelerao

angular e o deslocamento angular total da lmina.

9.15 Um dispositivo de segurana faz a lmina de

uma serra mecnica reduzir sua velocidade angular de um

valor 1 ao repouso, completando 1.00 revoluo. Com essa mesma acelerao constante, quantas revolues seriam

necessrias para fazer a lmina parar a partir de uma

velocidade angular 2 sendo 2 = 31 ?

9.16 Uma fita refletora estreita se estende do centro

periferia de uma roda. Voc escurece a sala e usa uma cmara

e uma unidade estroboscpica que emite um flash a cada

0.050 s para fotografar a roda enquanto ela gira em um

sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio. Voc dispara o

estroboscpio de tal modo que o primeiro flash (t = 0) ocorre

quando a fita est na horizontal voltada para a direita com

deslocamento angular igual a zero. Para as situaes descritas

a seguir, faa um desenho da foto que voc obter para a

exposio no intervalo de tempo para cinco flashes (para t =

0: 0.050 s; 0.100 s: 0.150 s: e 0.200 s): faa um grfico de contra t e de a contra t desde t = 0 at t = 0.200 s.

(a) A velocidade angular constante e igual a 10.0

rev/s.

(b) A roda parte do repouso com uma acelerao

angular de 25.0 rev/s.

(c) A roda est girando a 10.0 rev/s para t = 0 e varia

sua velocidade angular com uma taxa constante de -50.0

rev/s.

9.17 Para t = 0, a roda de um esmeril possui

velocidade angular igual a 24,0 rad/s. Ela possui uma

acelerao angular constante igual a 30.0 rad/s' quando um

freio acionado em t = 2.00 s. A partir desse instante ela gira

432 rad medida que pra com uma acelerao angular

constante,

(a) Qual foi o deslocamento angular total da roda

desde t = 0 at o instante em que ela parou?

(b) Em que instante ela parou?

(c) Qual foi o mdulo da sua acelerao quando ela

diminua de velocidade?

9.18 (a) Deduza uma expresso para um movimento

com acelerao angular constante que fornea 0 em

funo de de e de t (no use 0 na equao), (b) Para t = 8.0 s, uma engrenagem gira em tomo de

um eixo fixo a 4.50 rad/s. Durante o intervalo precedente de

8.0 s ela girou atravs de um ngulo de 40.0 rad. Use o

resultado da parte (a) para calcular a acelerao angular

constante da engrenagem,

(c) Qual era a velocidade angular da engrenagem

para t = 0?

SEO 9.4 RELAES ENTRE A CINEMTICA ANGULAR LINEAR E A

CINEMTICA

9.19 O rotor principal de um helicptero gira em um

plano horizontal a 90.0 rev/min. A distncia entre o eixo do

rotor e a extremidade da lmina igual a 5.00 m. Calcule a

velocidade escalar da extremidade da lmina atravs do ar se

(a) o helicptero est em repouso no solo:

(b) o helicptero est subindo verticalmente a 4.00

m/s.

9.20 Um CD armazena msicas em uma

configurao codificada constituda por pequenas reentrncias

com profundidade de 10 m. Essas reentrncias so agrupadas

ao longo de uma trilha em forma de espiral orientada de

dentro para fora at a periferia do disco; o raio interno da

espiral igual a 25.0 mm e o raio externo igual a 58.0 mm.

medida que o disco gira em um CD player, a trilha

percorrida com uma velocidade linear constante de 1.25 m/s.

(a) Qual a velocidade angular do CD quando a

parte mais interna da trilha esta sendo percorrida? E quando a

pane mais externa est sendo percorrida?

(b) O tempo mximo para a reproduo do som de

um CD igual a 74,0 min. Qual seria o comprimento total da

trilha desse CD caso a espiral tosse esticada para formar uma

trilha reta?

(c) Qual a acelerao angular mxima para esse CD

de mxima durao durante o tempo de 74.0 min? Considere

como positivo o sentido da rotao do disco.

9.21 Uma roda gira com velocidade angular

constante de 6.00 rad/s.

(a) Calcule a acelerao radial de um ponto a 0.500

m do eixo, usando a relao arad = 2r.

(b) Ache a velocidade tangencial do ponto e calcule

sua acelerao radial pela frmula arad = v2/r.

9.22 Calcule a velocidade angular necessria (em

rev/min) de uma ultracentrfuga para que a acelerao radial

de um ponto a 2.50 cm do eixo seja igual a 400000g (isto ,

400000 vezes maior do que a acelerao da gravidade).

9.23 Um volante de raio igual a 0.300 m parte do

repouso e se acelera com acelerao angular constante de

0.600 rad/s2. Calcule o mdulo da acelerao tangencial, da

acelerao radial e da acelerao resultante de um ponto da

periferia do volante

(a) no incio:

(b) depois de ele ter girado um ngulo de 60.0;

(c) depois de ele ter girado um ngulo de 120.0.

9.24 Um ventilador de teto cujas lminas possuem

dimetro de 0.750 m est girando em torno de um eixo fixo

com uma velocidade angular inicial igual a 0.250 rev/s. A

acelerao angular igual a 0.900 rev/s2.

(a) Calcule a velocidade angular depois de 0.200 s.

(b) Quantas revolues foram feitas pela lmina

durante esse intervalo de tempo?

(c) Qual a velocidade tangencial de um ponto na

extremidade da lmina para t = 0.200 s?

(d) Qual o mdulo da acelerao resultante de um

ponto na extremidade da lmina para t = 0.200 s?

9.25 Uma propaganda afirma que uma centrfuga


4

precisa somente de 0.127 m para produzir uma acelerao

radial de 3000 para 5000 rev/min. Calcule o raio necessrio

dessa centrfuga. A afirmao da propaganda vivel?

9.26 (a) Deduza uma equao para a acelerao

radial que inclua v e mas no inclua r. (b) Voc est projetando um carrossel para o qual um

ponto da periferia possui uma acelerao radial igual a 0.500

m/s2 quando a velocidade tangencial desse ponto possui

mdulo igual a 2.00 m/s. Qual a velocidade angular

necessria para se atingir esses valores?

9.27 Um problema de furadeira. Ao furar um

buraco com dimetro igual a 12.7 mm na madeira, no plstico

ou no alumnio, o manual do fabricante recomenda uma

velocidade de operao igual a 1250 rev/min. Para uma broca

com um dimetro de 12.7 mm girando com uma velocidade

constante igual a 1250 rev/min, calcule

(a) a velocidade linear mxima de qualquer ponto da

broca;

(b) a acelerao radial mxima de qualquer ponto da

broca.

9.28 Para t = 3.00 s, um ponto na periferia de uma

roda com raio de 0.200 m possui uma velocidade tangencial

igual a 50.0 m/s quando a roda est freando com uma

acelerao tangencial constante com mdulo igual a 10.0

m/s2.

(a) Calcule a acelerao angular constante da roda.

(b) Calcule as velocidades angulares para t = 3.00 s e

t = 0.

(c) Qual foi o deslocamento angular do giro da roda

entre t = 0 e t = 3.00 s?

(d) Em qual instante a acelerao radial toma-se

igual a g?

9.29 Os ciclos de rotao de uma mquina de lavar

possuem duas velocidades angulares, 423 rev/min e 640

rev/min. O dimetro interno do tambor igual a 0.470 m.

(a) Qual a razo entre a fora radial mxima sobre

a roupa, quando a velocidade angular mxima, e a fora

radial, quando a velocidade angular mnima?

(b) Qual a razo da velocidade tangencial mxima

da roupa quando a velocidade angular mxima e quando a

velocidade angular mnima?

(c) Calcule, em funo de g a velocidade tangencial

mxima da roupa e a acelerao radial mxima.

SEO 9.5 ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAO

9.30 Pequenos blocos, todos com a mesma massa m,

esto presos s extremidades e ao centro de uma barra leve de

comprimento igual a L. Calcule o momento de inrcia do

sistema em relao a um eixo perpendicular barra passando

em um ponto situado a do comprimento a partir de uma das

extremidades da barra. Despreze o momento de inrcia da

barra leve.

9.31 Uma batuta consiste em um fino cilindro

metlico de massa M e comprimento L. Cada extremidade

possui uma tampa de borracha de massa m e cada tampa pode

ser tratada com preciso como uma partcula neste problema.

Calcule o momento de inrcia da batuta em relao ao eixo

usual de rotao (perpendicular batuta e passando pelo seu

centro).

9.32 Calcule o momento de inrcia em relao a cada

um dos seguintes eixos para um eixo de 0.300 cm de

dimetro, 1.50 m de comprimento e massa igual a 0.0420 kg.

Use as frmulas da Tabela 9.2.

(a) Em relao a um eixo perpendicular barra e

passando pelo seu centro,

(b) Em relao a um eixo perpendicular barra e

passando em uma de suas extremidades,

(c) Em relao a um eixo longitudinal passando pelo

centro da barra.

9.33 Quatro pequenas esferas, todas consideradas

massas puntiformes com massa de 0.200 kg, esto dispostas

nos vrtices de um quadrado de lado igual a 0.400 m e

conectadas por hastes leves (Figura 9.21). Calcule o momento

de inrcia do sistema em relao a um eixo

(a) perpendicular ao quadrado e passando pelo seu

centro (um eixo passando pelo ponto O na figura);

(b) cortando ao meio dois lados opostos do quadrado

(um eixo ao longo da linha AB indicada na figura);

(c) passando pelo centro da esfera superior da

esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e atravs

do ponto O.

0.400 m 0.200 kg

A B

O

Figura 9.21 Exerccio 9.33.

9.34 Fator de Escala de /. Quando multiplicamos

todas as dimenses de um objeto por um fator de escala/, sua

massa e seu volume ficam multiplicados por / . a) O momento

de inrcia ficar multiplicado por qual fator? b) Sabendo que

um modelo feito com uma escala de -w possui uma energia

cintica relacional de 2,5 J, qual ser a energia cintica do

objeto sem nenhuma reduo de escala feito com o mesmo

material e girando com a mesma velocidade angular?


5

9.35 Uma roda de carroa feita como indicado na

Figura 9.22. O raio da roda igual a 0,300 m e o aro possui

massa igual a 1.40 kg. Cada um dos seus oito raios,

distribudos ao longo de dimetros, possuem comprimento de

0.300 m e massa igual a 0.280 kg. Qual o momento de

inrcia da roda em relao a um eixo perpendicular ao plano

da roda e passando pelo seu centro? (Use as frmulas

indicadas na Tabela 9.2.)

FIGURA 9.22 Exerccio 9.35.

9.36 Uma hlice de avio possui massa de 117 kg e

comprimento igual a 2.08 m (de uma extremidade a outra). A

hlice est girando a 2400 rev/min em relao a um eixo que

passa pelo seu centro,

(a) Qual sua energia cintica rotacional? Considere

a hlice como uma barra delgada,

(b) Supondo que ela no gire, de que altura ela

deveria ser largada em queda livre para que adquirisse a

mesma energia cintica?

9.37 (a) Mostre que as unidades de 21

2I so

equivalentes s unidades de joule. Explique por que a unidade

"rad" no precisa ser includa nessas unidades,

(b) Geralmente w expresso em rev/min em vez de

rad/s. Escreva uma expresso para a energia cintica

rotacional de forma que se / for expresso em kg . m2 e for

expresso em rev/min, a energia cintica ser expressa em

joules.

9.38 O prato de discos de um fongrafo antigo

possui energia cintica igual a 0.0250 J quando gira com 45,0

rev/min. Qual o momento de inrcia do prato do fongrafo

em relao ao eixo de rotao?

9.39 Um volante de motor a gasolina deve fornecer

uma energia cintica igual a 500 J quando sua velocidade

angular diminui de 650 rev/min para 520 rev/min. Qual o

momento de inrcia necessrio'?

9.40 Uma corda leve e flexvel enrolada diversas

vezes em tomo da periferia de uma casca cilndrica com raio

de 0.25 m e massa igual a 40.0 N, que gira sem atrito em

tomo de um eixo horizontal fixo. O cilindro ligado ao eixo

por meio de raios com momentos de inrcia desprezveis. O

cilindro est inicialmente em repouso. A extremidade livre da

corda puxada com uma fora constante P at uma distncia

de 5.00 m, e nesse ponto a extremidade da corda se move a

6.00 m/s. Sabendo que a corda no desliza sobre o cilindro,

qual o valor de P?

9.41 Desejamos armazenar energia em um volante de

70.0 kg que possui forma de um disco macio uniforme com

raio R = 1.20 m. Para impedir danos estruturais, a acelerao

radial mxima de um ponto na sua periferia igual a 3500

m/s. Qual a energia cintica mxima que pode ser

armazenada no volante?

9.42 Suponha que o cilindro macio do dispositivo

descrito no Exemplo 9.9 (Seo 9.5) seja substitudo por uma

casca cilndrica com o mesmo raio R e com a mesma massa

M. O cilindro ligado ao eixo por meio de raios com

momentos de inrcia desprezveis.

(a) Calcule a velocidade da massa m suspensa no

instante em que ela atinge o solo.

(b) A resposta encontrada no item (a) igual, maior

ou menor do que a resposta do Exemplo 9.9? Explique sua

resposta usando conceitos de energia.

9.43 Taxa de perda da energia cintica. Um corpo

rgido com momento de inrcia I gira uma vez a cada T

segundos. A velocidade de rotao est diminuindo, de modo

que dT/dt > 0.

(a) Expresse a energia cintica da rotao do corpo

em termos de I e de T.

(b) Expresse a taxa de variao da energia cintica da

rotao do corpo em termos de I, de T e de dT/dt.

(c) Um volante grande possui I = 8,0 kg.m. Qual a

energia cintica do volante quando o perodo de rotao

igual a 1.5 s?

(d). Qual a taxa de variao da energia cintica do

volante na parte (c) quando o perodo de rotao igual a 1.5

s e quando ele varia com uma taxa dT/dt = 0.0060 s?

9.44 Uma corda uniforme de 10.0 m de comprimento

e massa igual a 3.00 kg est presa ao teto de um ginsio e a

outra extremidade est quase tocando o solo. Qual a

variao da energia potencial gravitacional se a corda

terminar esticada sobre o solo (sem espiras)?

9.45 Centro de massa de um objeto com massa

distribuda. Qual o trabalho realizado por um lutador para

elevar o centro de massa de seu oponente de 120 kg at uma

distncia vertical igual a 0.700 m?

SEO 9.6 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

9.46 Calcule o momento de inrcia de um aro (um

anel fino) de raio R e massa M em relao a um eixo

perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.

9.47 Em relao qual eixo uma esfera uniforme de

madeira leve possui o mesmo momento de inrcia de uma

casca cilndrica de chumbo de mesma massa e raio em

relao a um dimetro?

9.48 Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar

que os momentos de inrcia das partes (a) e (b) da Tabela 9.2

so coerentes.

9.49 Uma placa metlica fina de massa M tem forma

retangular com lados a e b. Use o teorema dos eixos paralelos

para determinar seu momento de inrcia em relao a um

eixo perpendicular ao plano da placa passando por um dos

seus vrtices.

9.50 (a) Para a placa retangular fina indicada na pane


6

(d) da Tabela 9.2, ache o momento de inrcia em relao a

um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu

centro e paralelo ao eixo indicado na figura,

(b) Ache o momento de inrcia da placa em relao a

um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu

centro e perpendicular ao eixo mencionado no item (a).

*SEO 9.7 CLCULOS DE MOMENTO DE INRCIA

*9.51 Usando o teorema dos eixos paralelos e

informaes da Tabela 9.2, ache o momento de inrcia da

barra delgada de massa M e comprimento L indicado na

Figura 9.18 em relao a um eixo passando pelo ponto O

situado a uma distncia arbitrria h de uma de suas

extremidades. Compare seu resultado com o encontrado no

Exemplo 9.12 (Seo 9.7).

*9.52 Use a Equao (9.20) para calcular o momento

de inrcia de um disco macio, uniforme, de raio R e massa

M em relao a um eixo perpendicular ao plano do disco

passando pelo seu centro.

*9.53 Use a Equao (9.20) para calcular o momento

de inrcia de uma barra delgada de massa M e comprimento L

em relao a um eixo perpendicular barra e passando pela

sua

extremidade.

*9.54 Uma barra delgada de comprimento L possui

massa por unidade de comprimento variando a partir da

extremidade esquerda, onde x = O, de acordo com dm/dx =

x, onde constante com unidades de kg/m,

(a) Calcule a massa total da barra em termos de e de L.

(b) Use a Equao (9.20) para calcular o momento de

inrcia da barra em relao a um eixo perpendicular barra e

passando pela sua extremidade esquerda. Use a relao

encontrada na parte (a) para obter a expresso de / em termos

de M e de L. Como seu resultado se compara com o obtido

para uma barra delgada uniforme? Explique essa

comparao,

(c) Repita o procedimento da parte (b) para um eixo

passando pela extremidade direita da barra. Como seu

resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)?

Explique esse resultado.


7

PROBLEMAS

9.55 Faa um desenho de uma roda situada no plano do

papel e girando no sentido anti-horrio. Escolha um ponto

sobre a circunferncia e desenhe um vetor r

ligando o centro

com esse ponto,

(a) Qual a direo e o sentido do vetor

?

(b) Mostre que a velocidade desse ponto dada por

v r

.

(c) Mostre que a acelerao radial desse ponto dada por

rad rada v a r

(Veja o Exerccio 9.26.)

9.56 (a) Prove que, quando um objeto parte do repouso e

gira em torno de um eixo fixo com acelerao angular

constante, a acelerao radial de um ponto do objeto

diretamente proporcional ao seu deslocamento angular,

(b) Qual foi o deslocamento angular total do objeto quando

a acelerao resultante fez um ngulo de 36.9 com a direo

radial inicial?

9.57 O rolo de uma impressora gira um ngulo:

2 3t t t = 3.20 rad/s2 e = 0,500 rad/s3. (a) Calcule a velocidade angular do rolo em funo do

tempo,

(b) Calcule a acelerao angular do rolo em funo do

tempo,

(c) Qual a velocidade angular positiva mxima, e para

qual valor de t isso ocorre?

*9.58 Uma roda de bicicleta com raio igual a 0.33 m gira

com acelerao angular t t , onde = 1.80 rad/s2 e = 0.25 rad/s. Ela est em repouso para t = 0.

(a) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular

em funo do tempo.

(b) Calcule a velocidade angular positiva mxima e o

deslocamento angular positivo mximo da roda. {Sugesto:

Veja a Seo 2.7.}

9.59 Quando um carrinho de brinquedo atritado contra o

piso, ele acumula energia em um volante. O carrinho possui

massa igual a 0.180 kg. e seu volante possui momento de

inrcia igual a 4.00.10kg.m2. O carrinho possui comprimento

igual a 15.0 cm. Uma propaganda alega que a velocidade de

escala do carrinho pode atingir 700 km/h. A velocidade de

escala a velocidade do carrinho multiplicada pelo fator de

escala dado pela razo entre o comprimento de um carro real e

o comprimento do carrinho de brinquedo. Considere um carro

real de comprimento igual a 3.0 m.

(a) Para uma velocidade de escala de 700 km/h, qual deve

ser a velocidade de translao efetiva do carrinho?

(b) Supondo que toda a energia cintica inicialmente

acumulada no volante possa ser convertida em energia cintica

de translao do carrinho, qual foi a energia cintica

inicialmente acumulada no volante?

(c) Qual ser a velocidade angular inicial necessria para

que o volante tenha a quantidade de energia cintica acumulada

no item (b)?

9.60 Um automvel clssico Chevrolet Corvette 1957 com

1240 kg parte do repouso e acelera com acelerao tangencial

constante igual a 3.00 m/s2 em uma pista de teste circular com

raio de 60.0 m. Considere o carro como uma partcula,

(a) Qual sua acelerao angular?

(b) Qual sua velocidade angular 6.00 s depois do incio?

(c) Qual sua acelerao radial nesse instante?

(d) Faa um esboo de uma vista de topo mostrando a pista

circular, o carro, o vetor velocidade e os componentes do vetor

acelerao 6.00 s depois de o carro iniciar o movimento,

(e) Qual o mdulo da acelerao resultante e da fora

resultante sobre o carro nesse instante?

(f) Qual o ngulo formado entre a velocidade do carro

nesse instante e a acelerao resultante e entre a velocidade e a

fora resultante?

9.61 O volante de uma prensa de perfurao possui

momento de inrcia igual a 16,0 kg. M2 e gira a 300 rev/min. O

volante fornece toda a energia necessria para a rpida

operao de perfurao.

(a) Calcule a velocidade em rev/min para a qual a

velocidade do volante se reduz devido a uma repentina

operao de perfurao que necessita de 4000 J de trabalho,

(b) Qual deve ser a potncia (em watts) fornecida ao

volante para que ele retorne para sua velocidade inicial em 5.00

s?

9.62 Um bolinho de carne deteriorada de um bar, com

massa igual a 40.0 g, est preso extremidade livre de um fio

de 2.50 m preso ao teto. O bolinho puxado horizontalmente

at formar um ngulo de 36.9 com a vertical e a seguir

libertado,

(a) Qual deve ser o mdulo, a direo e o sentido da

velocidade angular do bolinho na primeira vez que a acelerao

angular se anula?

(b) Qual o segundo instante em que t = 0?

(c) Nos instantes descritos nas partes (a) e (b), qual o

mdulo, a direo e o sentido da acelerao radial do bolinho?

(d) Mostre que a resposta da parte (c) no depende do

comprimento do fio.

9.63 A correia de uma mquina de lavar a vcuo

enrolada ligando um eixo de raio igual a 0.45 cm com uma

roda de raio igual a 2.00 cm. O arranjo envolvendo a correia, o

eixo e a roda semelhante ao descrito na Figura 9.11

envolvendo a corrente e as rodas dentadas de uma bicicleta. O

motor faz o eixo girar com 60.0 rev/s e a correia faz a roda

girar, que por sua vez est ligada a um outro eixo que empurra

a sujeira para fora do tapete que est sendo lavado a vcuo.

Suponha que a correia no deslize nem sobre o eixo nem sobre

a roda.

(a) Qual a velocidade de um ponto sobre a correia?

(b) Qual a velocidade angular da roda em rad/s?

9.64 O motor de uma serra de mesa gira com 3450

rev/min. Uma polia ligada ao eixo do motor movimenta uma

segunda polia com metade do dimetro atravs de uma correia

V. Uma serra circular de dimetro igual a 0.208 m est

montada sobre o mesmo eixo da segunda polia,

(a) O operador no cuidadoso, e a lmina lana para trs

um pequeno pedao de madeira. A velocidade do pedao de

madeira igual velocidade tangencial na periferia da lmina.


8

Qual essa velocidade?

(b) Calcule a acelerao radial nos pontos sobre a periferia

da lmina para entender por que o p da madeira serrada no

fica grudado em seus dentes.

9.65 Uma roda varia sua velocidade angular com uma

acelerao angular constante enquanto gira em tomo de um

eixo fixo passando em seu centro,

(a) Mostre que a variao do mdulo da acelerao radial

de um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo

igual ao dobro do produto da acelerao angular vezes o

deslocamento angular e vezes a distncia perpendicular do

ponto ao eixo.

(b) A acelerao radial de um ponto sobre a roda situado a

uma distncia de 0.250 m do eixo varia de 25.0 m/s2 a 85.0

m/s2 para um deslocamento angular da roda igual a 15.0 rad.

Calcule a acelerao tangencial desse ponto,

(c) Mostre que a variao da energia cintica da roda

durante qualquer intervalo de tempo igual ao produto do

momento de inrcia da roda em relao ao eixo vezes a

acelerao angular e vezes o deslocamento angular,

(d) Durante o deslocamento angular de 15.0 rad

mencionado na parte (b), a energia cintica da roda cresce de

20.0 J para 45.0 J. Qual o momento de inrcia da roda em

relao ao eixo de rotao?

9.66 Os trs objetos uniformes indicados na Figura 9.23

possuem a mesma massa m. O objeto A um cilindro macio

de raio R. O objeto B uma casca cilndrica de raio R objeto C

um cubo macio cuja aresta igual a 2R. O eixo de rotao

de cada objeto perpendicular respectiva base e passa pelo

centro de massa do objeto.

(a) Qual dos objetos possui o menor momento de inrcia?

Explique,

(b) Qual dos objetos possui o maior momento de inrcia?

Explique,

(c) Como voc compara esses resultados com o momento

de inrcia de uma esfera macia uniforme de massa m e raio R

em relao a um eixo de rotao ao longo de um dimetro da

esfera? Explique. 2R

2R

A B

2R

C

Figura 9.23 Problema 9.66.

9.67 A Terra, que no uma esfera uniforme, possui

momento de inrcia igual a 0.3308MR2 em relao a um eixo

ligando o plo norte ao plo sul. O tempo para a Terra

completar um giro igual a 86164 s. Use o Apndice F para

calcular

(a) a energia cintica da Terra oriunda do movimento

de rotao em tomo desse eixo e

(b) a energia cintica da Terra oriunda do movimento

orbital da Terra em tomo do Sol.

(c) Explique como o valor do momento de inrcia da

Terra nos informa que a massa da Terra est mais concentrada

perto do seu centro.

9.68 Um disco macio uniforme de massa m e raio R

est apoiado sobre um eixo horizontal passando em seu centro.

Um pequeno objeto de massa w est colado na periferia do

disco. Se o disco for libertado do repouso com o pequeno

objeto situado na extremidade de um raio horizontal, ache a

velocidade angular quando o pequeno objeto estiver

verticalmente embaixo do eixo.

9.69 Uma rgua de um metro e massa igual a 0.160 kg

possui um piv em uma de suas extremidades de modo que ela

pode girar sem atrito em tomo de um eixo horizontal. A rgua

mantida em uma posio horizontal e a seguir libertada.

Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule

(a) a variao da energia potencial gravitacional

ocorrida;

(b) a velocidade angular da rgua;

(c) a velocidade linear na extremidade da rgua oposta

ao eixo.

(d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade

de um objeto caindo de uma altura de 1.00 m a partir do

repouso.

9.70 Exatamente uma volta de uma corda flexvel de

massa m enrolada na periferia de um cilindro uniforme

macio de massa M e raio R. O cilindro gira sem atrito em

tomo de um eixo horizontal ao longo do seu eixo. Uma das

extremidades da corda est presa ao cilindro. O cilindro

comea a girar com velocidade angular . Depois de uma revoluo, a corda se desenrolou e nesse instante ela est

pendurada verticalmente tangente ao cilindro. Calcule a

velocidade angular do cilindro e a velocidade linear da

extremidade inferior da corda nesse instante. Despreze a

espessura da corda. {Sugesto: Use a Equao (9.18).}

9.71 A polia indicada na Figura 9.24 possui raio R e

momento de inrcia I. A corda no desliza sobre a polia e esta

gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cintico

entre o bloco A e o topo da mesa C. O sistema libertado a partir do repouso, e o bloco B comea a descer. O bloco A

possui massa mA e o bloco B possui massa mB. Use mtodos de

conservao da energia para calcular a velocidade do bloco B

em funo da distncia d que ele desceu.

FIGURA 9.24 - Problema 9.71.


9

9.72 A polia indicada na Figura 9.25 possui raio 0.160

m e momento de inrcia 0.480 kg.m2. A corda no desliza

sobre a periferia da polia. Use mtodos de conservao da

energia para calcular a velocidade do bloco de 4.00 kg no

momento em que ele atinge o solo.

4,00 kg

5,00 m

2.00 kg


9.73 Voc pendura um aro fino de raio R em um prego

na periferia do aro. Voc o desloca lateralmente at um ngulo

a partir de sua posio de equilbrio e a seguir o liberta. Qual sua velocidade angular quando ele retoma para sua posio de

equilbrio? (Sugesto: Use a Equao (9.18).)

9.74 Um nibus de passageiro em Zurique, na Sua,

usa sua potncia motora oriunda da energia acumulada em um

volante grande. Utilizando-se de energia da rede eltrica, a roda

colocada em movimento periodicamente quando o nibus

para em uma estao. O volante um cilindro macio de massa

igual a 1000 kg e raio igual a 1.80 m; sua velocidade angular

mxima igual a 3000 rev/min.

(a) Para essa velocidade angular, qual a energia

cintica do volante?

(b) Se a potncia mdia necessria para operar o

nibus for igual a 1.86.104 W, qual a distncia mxima que

ele pode se mover entre duas paradas?

9.75 Dois discos metlicos, um com raio R1 = 2.50 cm

e massa M1 = 0.80 kg e o outro com raio R2 = 5.00 cm e massa

M2 = 1.60 kg, so soldados juntos e montados em um eixo sem

atrito passando pelo centro comum (Figura 9.26).

(a) Qual o momento de inrcia dos dois discos?

(b) Um fio fino enrolado na periferia do disco

menor, e um bloco de l ,50 kg suspenso pela extremidade

livre do fio. Se o bloco libertado do repouso a uma distncia

de 2.00 m acima do solo, qual sua velocidade quando ele

atinge o solo?

(c) Repita o clculo da parte (b), agora supondo que o

fio seja enrolado na periferia do disco maior. Em qual dos dois

casos a velocidade do bloco maior? Explique por que isso

deve ser assim.

9.76 No cilindro junto com a massa do Exemplo 9.9

(Seo 9.5). suponha que a massa m que cai seja feita de

borracha, de modo que nenhuma energia mecnica perdida

quando a massa atinge o solo. a) Supondo que o cilindro no

estivesse girando inicialmente e a massa m fosse libertada do

repouso a uma altura h acima do solo, at que altura essa massa

atingiria quando ela retomasse verticalmente para cima depois

de colidir com o solo?

(b) Explique, em termos de energia, por que a resposta

da parte (a) menor do que h.

9.77 Um disco uniforme fino possui massa M e raio R.

Fazemos um buraco circular de raio R/4 centralizado em um

ponto situado a uma distncia RH do centro do disco,

(a) Calcule o momento de inrcia do disco com o

buraco em de inrcia do disco que foi retirado do disco

macio.)

(b) Calcule o momento de inrcia do disco com o

buraco em relao a um eixo perpendicular ao plano do disco

passando pelo centro do buraco.

9.78 Um pndulo constitudo por uma esfera

uniforme macia com massa M e raio R suspensa pela

extremidade de uma haste leve. A distncia entre o ponto de

suspenso na extremidade superior da haste e o centro da esfera

igual a L. O momento de inrcia do pndulo 1^ para uma

rotao em torno do ponto de suspenso geralmente

aproximado como ML2,

(a) Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar

que se R for 5% de L e se a massa da haste for desprezvel, Ip

ser somente 0.1 % maior do que ML2.

(b) Se a massa da haste for l % de M e se R for 5% de

L, qual ser a razo entre Ihaste em relao a um eixo passando

pelo piv e ML2?

9.79 Teorema dos eixos perpendiculares. Considere

um corpo rgido constitudo por uma placa plana fina de forma

arbitrria. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e

imagine que a origem seja um ponto O no interior ou no

exterior do corpo. Seja Ix, o momento de inrcia em relao ao

eixo Ox, Iy o momento de inrcia em relao ao eixo Oy e I0 o

momento de inrcia do corpo em relao a um eixo

perpendicular ao plano e passando pelo ponto 0.

(a) Considerando elementos de massa mi, com

coordenadas (xi, yi), mostre que I0 = Ix + Iy. Essa relao o

teorema dos eixos perpendiculares. Note que o ponto O no

precisa ser o centro de massa,

(b) Para uma arruela fina de massa M, raio interno R1,

e raio externo R2 use o teorema dos eixos perpendiculares para

achar o momento de inrcia em relao a um eixo situado no

plano da arruela e que passa atravs de seu centro. Voc pode

usar as informaes da Tabela 9.2.

(c) Use o teorema dos eixos perpendiculares para mostrar que o

momento de inrcia de uma placa fina quadrada de massa M e

lado L em relao a qualquer eixo situado no plano da placa e

que passa atravs de seu centro igual a ML2/12. Voc pode

usar as informaes da Tabela 9.2.

9.80 Uma haste uniforme fina dobrada em forma de

um quadrado de lado a. Sendo M a massa total, ache o

momento de inrcia em relao a um eixo situado no plano do

quadrado e que passa atravs de seu centro. (Sugesto: Use o

teorema dos eixos paralelos.)

*9.81 Um cilindro de massa M e raio R possui uma

densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo, = r, onde uma constante positiva, a) Calcule o momento de inrcia do cilindro em relao a um eixo longitudinal que passa

atravs de seu centro em termos de M e de R. b) Sua resposta


10

maior ou menor do que o momento de inrcia de um cilindro

com mesma massa e mesmo raio porm com densidade

constante? Explique qualitativamente por que esse resultado

faz sentido.

9.82 Estrelas de nutrons e restos de supemovas. A

nebulosa do Caranguejo uma nuvem de gs luminoso que

possui uma extenso de 10 anos-luz, localizada a uma distncia

aproximadamente igual a 6500 anos-luz da Terra (Figura 9.27).

So os restos de uma exploso de uma supernova, observada da

Terra no ano de 1054. A nebulosa do Caranguejo liberta

energia com uma taxa aproximada de

R2 R1

m = 1.50 kg


PROBLEMAS DESAFIADORES

Figura 9.27 Problema 9.82

R

9.83 O momento de inrcia de uma esfera com

densidade constante em relao a um eixo que passa atravs de

seu centro dado por 2MR2/5 = 0.400MR

2. Observaes feitas

por satlites mostram que o momento de inrcia da Terra

dado por 0.3308MR2. Os dados geofsicos sugerem que a Terra

constituda basicamente de cinco regies: o ncleo central

(de r = 0 a r= 1220 km) com densidade mdia igual a 12.900

kg/m o ncleo externo (de r = 1220 km a r = 3480 km) com

densidade mdia igual a 10900 kg/m , o manto inferior (de r =

3480 km a r = 5700 km) com densidade mdia igual a 4900

kg/m o manto superior (de r = 5700 km a r = 6350 km) com

densidade mdia igual a 3600 kg/m3 e a crosta e os oceanos

(de r = 6350 km a r = 6370 km) com densidade mdia igual a

2400 kg/m.

(a) Mostre que o momento de inrcia de uma esfera

oca com raio interno R1 e raio externo R2 e densidade constante

dado por:

5 52 18

15I R R

(Sugesto: Forme a esfera oca pela superposio de

uma esfera grande com densidade e uma esfera pequena com densidade -).

(b) Confira os dados usando-os para calcular a massa

da Terra,

(c) Use os dados fornecidos para calcular o momento

de inrcia da Terra em termos de MR2.

*9.84 Determine o momento de inrcia de um cone

macio uniforme em relao a um eixo que passa atravs de

seu centro (Figura 9.28). O cone possui massa M e altura h. O

raio do crculo da sua base igual a R.

h

Eixo

Figura 9.28 Problema 9.84

9.85 Em um CD, a msica codificada em uma

configurao de minsculas reentrncias dispostas ao longo de

uma trilha que avana formando uma espiral do interior

periferia do disco. medida que o disco gira no interior de um

CD player, a trilha varrida com velocidade linear constante

= 1.25 m/s. Como o raio da trilha espiral aumenta medida que o disco gira, a velocidade angular do disco deve variar

quando o CD est girando. (Veja o Exerccio 9.20.) Vamos ver

qual a acelerao angular necessria para manter v constante.

A equao de uma espiral dada por:

0r r , onde r0 o raio da espiral para = 0 e uma constante. Em um CD, r0 o raio interno da trilha espiral. Considerando

Sears &Zemansky Prof. Dr. Cludio S. Sartori

como positivo o sentido da rotao do CD, deve ser positivo, de modo que r e acrescem medida que o disco gira.

(a) Quando o disco gira atravs de um pequeno

ngulo d, a distncia varrida ao longo da trilha ds = r d. Usando a expresso anterior para r(), integre ds para calcular a distncia total s varrida ao longo da trilha em funo do

ngulo total descrito pela rotao do disco. (b) Como a trilha varrida com velocidade linear

constante v, a distncia total s encontrada na parte (a) igual a

vt. Use esse resultado para achar 0em funo do tempo.

Existem duas solues para ; escolha a positiva e explique por que devemos escolher essa soluo.

c) Use essa expresso de (t) para determinar a velocidade angular e a acelerao angular em funo do tempo. O valor de constante?

(d) Em um CD, o raio interno da trilha igual a 25.0

mm, o raio da trilha cresce 1.55m em cada volta e o tempo de durao igual a 74.0 min. Calcule os valores de r0 e de ache o nmero total de voltas feitas durante o tempo total da

reproduo do som.

(e) Usando os resultados obtidos nas partes (c) e (d),

faa um grfico de (em rad/s) contra t e um grfico de (em rad/s

2) contra t desde t = 0 at t = 74.0 min.


Gabarito Exerccios mpares Exerccio Gabarito

9.1 (a) 0.600rad (b) 6.27 cm (c) 1.05 m

9.3 (a) 42 rad/s (b) 74 rad/s

9.5 (a) 2( ) 0.4 0.036t t (b) 0.4

rad/s (c) = 1.30 rad/s, rad = 0.700

rad/s

9.7 (a) (t) = 2b-6ct (b) b/3c

9.9 (a)-1.25 rev/s2, 23.3 rev

(b) 2.67 s.

9.11 (a) 24s (b) 68.8rev

9.13 10.5rad/s

9.15 9.00 rev

9.17 (a) 540 rad

(b) 12.3s (c) -8.17 rad/s

9.19 (a) 3.60m s (b) 43.7m s

9.21

(a) 218.0rada m s

(b) 23.00 , 18.0radv m s a m s

9.23

(a) 2 20.180 ,0,0.180m s m s

(b) 2 2 20.180 ,0.377 ,0.418m s m s m s

(c) 2 2 20.180 ,0.754 ,0.775m s m s m s

9.25 10.7 cm; no

9.27

(a) 0.831m s (b) 109 m/s

9.29

(a) 2.29

(b) 1.51

(c) 3 215.7 ,1.06 10 108m s m s g .

9.31 (M/12+m/2)L2

9.33

(a) 20.064kg m

(b) 20.032kg m

(c) 20.032kg m

9.35 20.193kg m

9.37 (b) K = I/1800

9.39 20.600kg m 9.41 47.35 10 J

9.43

(a) 2 22K I T

(b) 2 34dK dt I T dT dt (c) 70J

(d) 0.56 J s

9.45 75 kg

9.47 Um eixo paralelo e a uma distncia

2 15 R do centro da esfera

Exerccio Gabarito

9.49

2 21

3M a b

9.51

2 21

3 33

M L Lh h

9.53 21

3ML

9.57 (a) 26.4 1.5t t (b) 6.4 3 t

(c) 6.83 para 2.13mx rad s t s 9.59 (a) 35.0km/h = 9.72 m/s (b) 8.51J (c) 652

rad/s

9.61 (a) 211 rev/s. (b) 800 W

9.63 (a) 1.70 m/s (b) 84.8 rad/s

9.65 (b) 2.00 m/s (d) 0.208 kg.m

9.67 (a) 292.14 10 J

(b) 332.66 10 J

9.69

(a) 0.784J (b) 5.42rad s

(c) 5.42m s (d) velocidade da partcula:

4.43m s

9.71 22 B C A A Bgd m m m m I R

9.73 1 cosg R

9.75 (a) 3 22.25 10 kg m (b) 3.40m s

(c) 4.95m s

9.77 (a) 2247 512 MR (b)

2383 512 MR 9.79

(b) 2 21 1 24 M R R

9.81 (a) 23

5MR (b)maior.

9.83 (b) 245.97 10 kg (b) 20.334MR

9.85

(a)

2

02

s r

(b) 2

0 0

12r v t r

(c)

2

322 20

0

2 2

v v

r v t r v t

(d) 40 2.50 , 0.247 ,2.13 10r cm m rad rev


Gabarito Exerccios Pares resolvidos Cortesia: Editora Pearson

9-2: (a)./199

60

min12

min1900 srad

srev

radx

rev

(b)(35 x rad/180)/(199 rad/s) = 3.07 x 10-3 s.

9-4: (a) .)/60.1(2)( 3 tsradtdt

dwt

(b) (3.0 s) = (-1.60 rad/s3)(3.0 s) = -4.80 rad/s2

,/40.20.3

/00.5/20.2

0.3

)0()0.3( 2srads

sradsrad

s

save

o qual to grande (em, mdulo) quanto a acelerao para

t = 3.0 s.

9-6: =(250 rad/s) (40.0 rad/s2)t (4.50 rad/s3)t2, = -(40.0 rad/s

2) (9.00 rad/s3)t.

(a) Fazendo-se = 0 resulta em uma equao quadrtica em t; o nico valor de tempo positivo para o qual = 0 t = 4.23 s. (b) At t = 4.23 s, = -78.1 rad/s2.

(c) At t = 4.23 s, = 586 rad = 93.3 rev.

(d) At t = 0, = 250 rad/s.

(e)ave = ./13823.4

586srad

s

rad

9-8: (a) 0 t 21.50 / (0.300 / )(2.50 ) 2.25 /rad s rad s s rad s

(b) 2

0 1/ 2t t

2 21(1.50 / )(2.50 ) (0.300 / )(2.50 )2

rad s s rad s s

4.69rad 9-10: (a)Resolvendo a Eq. (9-7) para t resulta em:

.0

t

Reescrevendo a Eq. (9-11) como:

)

2

1(

00tt

e substituindo t

encontramos:

,2

1

2)(

1

)(2

1

2

0

2

0

0

00

0

0

a qual quando re-agrupada resulta na Eq. (9-

12).

(b) = (1/2)(1/)(2 - )20 = (1/2)(1/(7.00 rad))((16.0

rad/s)2 (12.0 rad/s)2) = 8 rad/s2.

9-12: (a) A velocidade angular mdia :

,/5.4000.4

162srad

s

rad

e portanto a velocidade angular inicial :

./27,2002

sradave

(b) ./8.3300.4

)/27(/108 2srads

sradsrad

t

9-14: Da Eq. (9-7), com

./33.2300.6

/140,0 2

0srad

s

srad

t

O ngulo mais facilmente encontrado de :

.420)00.6)(/70( radssradtave

9-16: A seguinte tabela d as revolues e o ngulo atravs dos quais uma roda gira em cada instante de tempo e

em trs situaes distintas:

Os grficos de e so os seguintes: (a)

(b)

(c)

9-18: (a) A Equao (9-7) resolvida para 0 = - t, resultando em:

.2

1,

2

2

0ttort

ave


(b) ./125.02 22

sradtt

(c) ./5.5 sradt

9-20: (a)

,/55.21100.58

25.1,/0.50

100.25

/25.133

sradmx

msrad

mx

sm

ou 21.6 rad/s , para trs algarismos significativos.

(b) (1.25 m/s)(74.0 min)(60 s/min) = 5.55 km.

(c)./1041.6

min)/60min)(0.74(

/55.21/0.50 23 sradxs

sradsrad

9-22: De ,2rrad

,/1025.11050.2

/80.9000,400 42

2

sradxmx

smx

r

qual (1.25 x 104 rad/s)

.min/1020.160min/1

2/1 5 revxs

radrev

9-24: (a) = 0 +t = 0.250 rev/s + (0.900 rev/s

2)(0.200 s) = 0.430 rev/s (note que desde que 0 e so

dados em termos das revolues, no necessrio converter

para radianos).

(b) ondat = (0.340 rev/s)(0.2 s) = 0.068 rev. (c) Aqui, a converso para radianos deve ser realizada para que

se possa utilizar a Eq. (9-13), ento

./01.1)/2/430.0(2

750.0smrevradxsrev

mrv

(d) Combinando as Equaes (9-14) e (9-15),

./46.3

))375.0)(/2/900.0((

))375.0()/2/430.0((

)()(

2

2

122

24

2222

tan

2

sm

mrevradxsrev

mrevradxsrev

rrrad

9-26: (a) Combinando as Equaes (9-13) e (9-15),

.22 vv

rrad

(b) Do resultado da parte (a), temos:

./250.0/00.2

/500.0 2srad

sm

sm

v

rad

9-28: (a) 22

tan /0.50200.0

/0.10srad

m

sm

r

(b) Para t = 3.00 s, v = 50.0 m/s e ,/250

200.0

/0.50srad

sm

r

v

e para t = 0, v = 50.0 m/s + (-10.0 m/s2)(0 3.00 s) = 80.0 m/s,

ento = 400 rad/s. (c) avet = (325 rad/s)(3.00 s) = 975 rad = 155 rev.

(d) ./40.1)200.0)(/80.9( 2 smmsmrvrad

Esta

velocidade ser alcanada em um tempo de:

ssm

smsm86.4

/0.10

/40.1/0.502

aps t = 3.00 s, ou para t = 7.86

s. (Existem muitos modos equivalentes de se realizar estes

clculos )

9-30: A distncia das massas relativo ao eixo so: 3

, ,4 4 4

L L Le e portanto da Eq. (9-16), o momento de inrcia :

.16

11

4

3

44

2

222

mLL

mL

mL

mI

9-32: Como a vara possui um comprimento de 500 vezes

maior que a sua largura, ento a mesma pode ser considerada

como sendo uma vara fina

(a) Da Tabela (9-2(a)),

.1088.7)50.1)(042.0(12

1

12

1 2322 mkgxmkgMLI

(b) Da Tabela (9-2(b)),

.1015.3)50.1)(042.0(3

1

3

1 2222 mkgxmkgMLI

(b) Para esta vara fina o momento de inrcia relativo ao seu

eixo obtido considerando-a como um cilindro slido e, da

Tabela (9-2(f)),

.1073.4)105.1)(042.0(2

1

2

1 28232 mkgxmxkgMRI

9-34: (a) Na expresso da Eq. (9-16), cad termo ter a massa

multiplicada por f 3 e a distncia multiplicada por f, e ento o

momento de inrcia multiplicado por f 3(f)

2 = f

5.

(b) (2.5)(48)5 = 6.37 x 10

8.

9-36: (a) Da Eq. (9-17), com I da Tabela (9-2(f)),

.103.1min/60

/2

min2400)08.2)(117(

24

1

12

1

2

1 62

222 Jxs

revradx

revmkgmLK

(b) De mgy = K,

.16.11016.1)/80.9)(117(

)103.1( 32

6

kmmxsmkg

Jx

mg

Ky

9-38: Resolvendo a Eq. (9-17) para I, temos:

.1025.2

)min/

/

60

2min/45(

)025.0(22 23

22

mkgx

rev

sradxrev

JKI

9-40: O trabalho realizado sobre o cilindro PL, onde L o

comprimento da corda.Combinando as Equaes (9-17), (9-13)

e a expresso para I , ver Tabela (9-2(g)), temos: 2 2

2

2

1 1 (40.0 )(6.00 / )14.7 .

2 2 2(9.80 / )(5.00 )

w w v N m sPL v P N

g g L m s m

9-42: (a) Com I = MR2, a expresso para v :

./1

2

mM

ghv

Esta expresso menor que aquela para um cilindro slido. A

maior parte da massa est concentrada na sua borda, ento,

para uma dada velocidade, a energia cintica do cilindro

maior. Uma grande parte da energia potencial convertida

para energia cintica do cilindro, e portanto, uma quantidade

menor est disponvel para a massa em queda .

9-44: O centro de massa caiu metade do comprimento da

corda, ento a variao na energia potencial gravitacional :

.147)0.10)(/80.9)(00.3(2

1

2

1 2 JmsmkgmgL


9-46: Na Eq. (9-19), Icm = MR2 e d = R

2 , ento IP = 2MR

2.

9-48: Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos para se

encontrar o momento de inrcia de uma corda fina relativo ao

eixo atravs de sua extremidade e perpendicular a corda,

temos:

.3212

2

2

22 LML

MLM

MdIIcmP

9-50: (a) 2

12

1MaI

(b) 2

12

1MbI

9-52: A anlise idntica aquela do Exemplo 9-13, com o

limite inferior na integral sendo zero, o limite superior sendo

igual a R, e a massa .2LpRM O resultado :

,2

1 2NRI o que est de acordo com a Tabela (9-2(f)).

9-54: Para estes caso temos dm = dx.

(a) .22

2

0

2

0

LxdxxdmM

LL

(b) 24

0

4

2

0 244)( L

MLxdxxxI

LL

Isto maior que o momento de inrcia de uma corda uniforme

de mesma massa e comprimento, visto que a densidade de

massa bem maior longe do eixo que quando mais prximo

dele .

(c)

.6

12

432

2

)2(

)(

2

4

0

432

2

322

0

2

0

LM

L

xxL

xL

dxxLxxL

xdxxLI

L

L

L

Este um tero do resultado encontrado na parte (b), refletindo

o fato de que mais a massa est concentrada no final .

9-56: (a) Para uma acelerao angular constante, temos: 2

2 2 .2

rad r r

(b) Denotando como o ngulo que o vetor acelerao faz com a direo radial, e utilizando as Equaes (9-14) e (9-15),

,2

1

2tan

2

tan

r

r

r

r

rad

ento .666.09.36tan2

1

tan2

1rad

o

9-58: (a) Por integraes sucessivas das Equaes (9-

5) e (9-3),

.)/042.0()/90.0(62

.)/125.0()/80.1(2

332232

2322

tsradtsradtt

tsradtsradtt

(b) A velocidade angular positiva mxima ocorre quando =

0, ou t = ;

a velocidade angular para este tempo :

./48.6)/25.0(

)/80.1(

2

1

2

1

2 3

2222

sradsrad

srad

O deslocamento angular mximo ocorre quando ,0 para o

tempo

2t (t = 0 um ponto de inflexo e (0) no um

mximo ) e o deslocamento angular para este tempo :

.2.62)/25.0(

)/80.1(

3

2

3

22

6

2

2 3

32

2

332

radsrad

srad

9-60: (a) ./050.00.60

/00.3 22

tan sradm

sm

r

(b) ./300.0)00.6)(/05.0( 2 sradssradt

(c) ./40.5)0.60()/300.0( 222 smmsradrrad

(d)

(e)

,/18.6)/00.3()/40.5( 222222tan

2 smsmsmrad

e o mdulo da fora :

F = ma = (1240 kg)(6.18 m/s2) = 7.66 kN.

(f) arctan .9.60

00.3

40.5arctan

tan

orad

9-62: (a) A acelerao angular ser zero quando a

velocidade for um mximo, o que ocorre na parte inferior do

circulo . De consideraes de energia, a velocidade :

v = ,)cos1(22 gRgh onde o ngulo entre a vertical, livre, e

2(1 cos )

v g

R R

22(9.80 / )(1 cos36.9 ) 1.25 / .

(2.50 )

om s rad sm

(b) ser novamente igual a 0 quando a almndega passa atravs do ponto mais baixo.

(c)rad direcionada em direo ao centro, isto :


2

rad R 2 2(1.25 / ) (2.50 ) 3.93 / .rad rad s m m s

(d) rad = 2R = (2g/R)(1- cos )R = (2g)(1 cos ),

independente de R.

9-64: A segunda polia, com metade do dimetro da

primeira, deve ter duas vezes a velocidade angular, e esta a

velocidade angular da lmina da serra

(a) (2(3450 rev/min))

./1.752

208.0

min/

/

30sm

m

rev

srad

(b) 2

rad r

2

4 2/ 0.2082(3450 / min) 5.43 10 / ,30 / min 2

rad

rad s mrev x m s

rev

ento a fora segurando a serragem sobre a lmina deveria ser

aproximadamente 500 vezes to forte quanto a gravidade .

9-66: Da Tabela (9-2), quantitativamente:

.3

2,

2

1 222 MRIandMRIMRICBA

(a) O objeto A possui o menor momento de inrcia, pois, dos

trs objetos dados sua massa a mais concentrada prxima ao

eixo.

(b) Por outro lado, o objeto B possui a massa concentrada o

mais distante do eixo.

(c) Como Iesfera = 2.5 MR2, a esfera deveria trocar o disco como

possuindo o menor quantidade de momento de inrcia .

9-68: Utilizando consideraes de energia, o sistema

adquire tanto energia cintica quanto ocorre a perda em sua

energia potencial , mgR. A energia cintica :

.)(2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

1 222222 mRIRmImvIK

Utilizando 2

2

1mRI e resolvendo para , obtemos:

.3

4,

3

42

R

ge

R

g

9-70: Considerando o sistema de referencia zero da energia

potencial gravitacional como estando no eixo, a energia

potencial inicial nula ( a corda empacotada crculos tendo o

eixo como centro ). Quando a corda desenrolada seu centro

de massa est a uma distncia de R abaixo do eixo. O comprimento da corda 2R e metade desta distncia a posio do centro de massa. Inicialmente toda parte da corda

est se movimentando com velocidade 0R, e quando a corda desenrolada, o cilindro possui uma velocidade angular , ento a velocidade da corda R (a parte superior final da corda possui a mesma velocidade tangencial que a borda do

cilindro). Da conservao de energia, e utilizando I = (1/2)MR2

para um cilindro uniforme , temos:

.2424

222

0

2 RmgRmM

RmM

Resolvendo para , temos:

,)2(

)/4(20

mM

Rmg

e a velocidade em qualquer parte da corda :

v = R.

9-72: A energia potencial gravitacional que se transformou

em energia cintica :

K = (4.00 kg 2.00 kg)(9.80 m/s2)(5.00 m) = 98.0 J. Em termos da velocidade comum dos blocos, a

energia cintica do sistema :

.4.12)160.0(

)480.0(00.200.4

2

1

2

1)(

2

1

2

2

2

2

2

2

21

kgvm

mkgkgkgv

R

vIvmmK

Resolvendo para v, temos:

./81.24.12

0.98sm

kg

Jv

9-74: (a)

.1000.2

min/

/

60

2min/3000)90.0)(1000(

2

1

2

1

2

1

7

2

2

2

Jx

rev

sradxrevmkg

IK

(b) ,1075

1086.1

1000.24

7

sWx

Jx

P

K

ave

o qual aproximadamente 18 min.

9-76: (a) Para o caso que nenhuma energia perdida, a

altura de recuo h est relacionada com a velocidade v por:

h = ,2

2

g

v e com o resultado para h dado no Exemplo 9-9,

h = .2/1 mM

h

(b) Considerando o sistema como um todo, alguma parte da

energia potencial inicial da massa transformou-se em energia

cintica do cilindro. Considerando apenas a massa, a tenso na

corda realizou trabalho sobre a massa, ento sua energia total

no conservada .

9-78: (a) Do teorema dos eixos paralelos, o momento de

inrcia :Ip = (2/5)MR2 ML

2, e

.

5

21

2

2

L

R

ML

IP

Se R = (0.05) L, a diferena (2/5)(0.05)2 = 0.001.

(b) (Irod/ML2) = (mrod/3M), o qual 0.33% quando

mrod = (0.01) M.

9-80: Cada lado possui um comprimento a e massa ,4

M e

o momento de inrcia de cada lado, relativo a um eixo

perpendicular ao lado e atravs do seu centro :

.48412

1 22 MaaM

Do Teorema dos Eixos Paralelos, o momento de inrcia de

cada lado relativo ao eixo atravs do centro do quadrado :

.32448

222 MaaMMa

9-82: (a) Do Exerccio 9-43, a taxa de perda de energia :

;4

3

2

dt

dT

T

I resolvendo para o momento de


inrcia I em termos da potncia P, temos: 3

2

1

4 /

PTI

dT dt

31 338 2

2 13

(5 10 )(0.0331 ) 11.09 10 .

4 4.22 10

x W s sI x kg m

x s

(b)5

2

IR

M

38 23

30

5(1.08 10 )9.9 10 10 .

2(1.4)(1.99) 10 )

x kg mR x m km

x kg

(c) .103.6/109.1)0331.0(

)109.9(22 363

cxsmxs

mx

T

R

(d) ,/109.6)3/4(

317

3mkgx

R

M

V

M

o qual muito maior que a densidade de uma rocha comum, 14

ordens de grandeza, sendo comparvel a densidade de massa

nuclear .

9-84: Seguindo o procedimento para se resolver o Exemplo

9-14 (e utilizando-se z como a coordenada ao longo do eixo

vertical ), temos:

.2

,)( 44

4

2

2

2

dzzh

RdIanddzz

h

Rdm

h

Rzzr

Ento,

.10

1][

102

4

0

5

4

4

4

04

4

hRzh

Rdzz

h

RdII h

h

O volume de um cone circular :

,3

1 2hRV e sua massa : ,

3

1 2hR e portanto:

.10

3

310

3 222

MRRhR

I

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Capitulo9 Sears Exercicios Gabarito