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Cap´ ıtulo 4. Leyes de Newton 1. El espacio y el tiempo en mec´ anica newtoni- ana Antes de iniciar el enunciado de las leyes de Newton, hemos de establecer unos postulados basicos que de forma impl´ ıcita o expl´ ıcita se aceptan en la llamada mec´anica newtoniana, Galileana o cl´asica Puesto que vamos a referirnos al movimiento, es decir la variaci´ on de la posici´on de una part´ ıcula con el tiempo hemos, antes de nada, de establecer el tipo de espacio y tiempo a que se refiere la mec´anica newtoniana. Los postulados b´asicos al respecto son: 1..1 La geometr´ ıa del espacio es euclidiana lo que significa que la distancia entre dos puntos del espacio se determina por el producto escalar eucl´ ıdeo d 2 12 = ~ r 1 .~ r 2 =(x 2 - x 1 ) 2 +(y 2 - y 1 ) 2 +(z 2 - z 1 ) 2 (1.1) El espacio es homog´ eneo e is´otropo. Es decir las leyes de la f´ ısica son las mismas en cualquier punto del espacio y en cualquier direcci´on. Por tanto los resultados de un experimento han de ser independientes de la posici´on y la orientaci´on del laboratorio donde se realice. El tiempo es homog´ eneo de forma que el resultado de un experimento ha de ser independiente del instante de tiempo en que se realice. 77

Cap¶‡tulo 4. Leyes de Newtonfnl.usal.es/pilar/pm/tema4/tema4.pdf · orientaci¶on del laboratorio donde se realice. ... Einsteniana el concepto de tiempo cambia 2. La Primera Ley

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Capıtulo 4.

Leyes de Newton

1. El espacio y el tiempo en mecanica newtoni-

ana

Antes de iniciar el enunciado de las leyes de Newton, hemos de establecer unospostulados basicos que de forma implıcita o explıcita se aceptan en la llamadamecanica newtoniana, Galileana o clasica

Puesto que vamos a referirnos al movimiento, es decir la variacion de la posicionde una partıcula con el tiempo hemos, antes de nada, de establecer el tipo deespacio y tiempo a que se refiere la mecanica newtoniana. Los postulados basicosal respecto son:

1..1 La geometrıa del espacio es euclidiana

lo que significa que la distancia entre dos puntos del espacio se determina por elproducto escalar euclıdeo

d212 = ~r1.~r2 = (x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)

2 (1.1)

• El espacio es homogeneo e isotropo. Es decir las leyes de la fısica sonlas mismas en cualquier punto del espacio y en cualquier direccion. Por tantolos resultados de un experimento han de ser independientes de la posicion y laorientacion del laboratorio donde se realice.

• El tiempo es homogeneo de forma que el resultado de un experimento hade ser independiente del instante de tiempo en que se realice.

77

78 Capıtulo 4

• La geometrıa del espacio y el tiempo son absolutos y por tanto soniguales para todos los observadores e independientes de la velocidad de los mismos.Esta afirmacion nos puede parecer obvia pero ya veremos que en la RelatividadEinsteniana el concepto de tiempo cambia

2. La Primera Ley

“Todo cuerpo sobre el que no actuan fuerzas se mueve con velocidadconstante y por tanto su movimiento es rectilineo e uniforme”

• En realidad esta ley es una definicion de cuales son los sistemas dereferencia en los cuales se aplican las leyes de Newton. Tales sistemasse denominan sistemas inerciales y se definen como aquellos en los que unapartıcula sobre la que no actuan fuerzas se mueve con velocidad constante. Puestoque las leyes de la fısica han de ser iguales para todos los sistemas de referenciainerciales, no puede haber ningun experimento que nos permita medir la velocidadabsoluta de un cuerpo sino solo su velocidad con relacion a un sistema de referenciadado. Existe pues un Principio de Relatividad clasico que podemos enunciar comosigue:

2..1 Principio de Relatividad de Galileo

“Las leyes de la fısica son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales,es decir, en aquellos que se mueven con velocidad relativa constante”.

2..2 Transformaciones de Galileo.

No obstante nos queda por resolver el problema de como comparar los experimentosrealizados en dos laboratorios inerciales distintos. Sea un sistema de referenciainercial S, es decir, un sistema de coordenadas {x, y, x} y un reloj que mide untiempo t. Sea S’ otro sistema de referencia {x′, y′, z′}; t′ que se mueve respecto delanterior con velocidad relativa ~vr. La transformacion mas general que liga ambossistemas y que respeta el que el tiempo sea absoluto (independiente de la velocidad)y homogeneo (independencia del origen de tiempos) asi como que el espacio seahomogeneo (independiente del origen) e isotropo (invariante bajo rotaciones) es laconocida como transformacion de Galileo.

~r′ = ~R0 + ~vrt +R~r (2.1)

t′ = t + t0 (2.2)

Leyes de Newton 79

donde R es una matriz de rotaciones. Hay pues 10 formas distintas de conec-tar dos sistemas de referncia inerciales correspondientes a los 10 parametros queaparecen es las transformaciones de Galileo: las tres componentes de ~R0, las trescomponentes de ~vr, las tres componentes de R y t0.

2..3 Conservacion de los intervalos espaciales

Por simplicidad, haremos la demostracion en una dimension.Supongamos que en mismo instante de tiempo t2 = t1 medimos en S la distancia

entre dos puntos x2 − x1. Un observador en S’ medira:

t′2 − t′1 = t2 − t1 = 0 (2.3)

x′2 − x′1 = x2 − x1 + vr(t2 − t1) = x2 − x1 (2.4)

de manera que la distancia entre dos puntos es independiente del observador

2..4 Conservacion de los intervalos temporales

Supongamos que en mismo punto x2 = x1 medimos en S el tiempo transcurridoentre dos sucesos t2 − t1. Un observador en S’ medira:

t′2 − t′1 = t2 − t1 (2.5)

x′2 − x′1 = vr(t2 − t1) (2.6)

de manera que el tiempo transcurrido entre los dos sucesos es el mismo para losdos observadores.

3. La Segunda Ley

Esta ley establece la relacion existente entre el movimiento de un cuerpo y lasfuerzas que actuan sobre el y se expresa en la forma

~F = mi~a (3.1)

o bien~F = mi

d~p

dt(3.2)

donde ~p = mi~v es el momento lineal de la partıculaPor tanto la segunda ley establece que la relacion entre la fuerza aplicada a un

cuerpo y la aceleracion que le imprime es una constante caracterıstica del cuerpoque se denomina masa inercial. Un problema que nos plantea la segunda ley esla definicion o mas bien la medida de la masa inercial. En efecto la segunda leynos permite definir la fuerza una vez que suponemos conocida mi, pero ¿Comodeterminar mi de forma independiente?.

80 Capıtulo 4

3..1 Principio de equivalencia

La forma habitual de medir la masa es “pesandola”, es decir calculando la fuerzagravitatoria que la tierra ejerce sobre ella. Como sabemos, tal fuerza es (en modulo)

Fg = GMgmg

d2(3.3)

que establece que la fuerza gravitacional entre dos cuerpos es directamente pro-porcional al producto de unas constantes caracteristicas de los mismos que denom-inaremos masa gravitacional. Aunque la masa inercial y la masa gravitacionaltienen las mismas dimensiones, no hay ninguna exigencia en la teorıa que establezcaque han de ser iguales. La masa gravitacional es una constante que “provoca” lainteraccion puramente gravitacional mientras que la masa inercial determina comose aparta un cuerpo de la inercia bajo la accion de una fuerza arbitraria. No ob-stante, todos los experimentos realizados hasta la fecha (experimento de Eotvos)establecen la igualdad numerica entre la masa inercial y la masa gravitacional.Este resultado se conoce como Principio de equivalencia y nos permite eliminarlos subındices de las masas en lo sucesivo.

3..2 Principio de determinacion

(puede resultar conveniente omitirlo por el momento puesto que no saben nada deecuaciones diferenciales)

Otra consecuencia importante de la segunda ley surge al observar que la ecuacion(3.1) es una ecuacion diferencial de segundo orden de la forma

md2~r

dt2= F (~r, ~ )r (3.4)

Para obtener una solucion partıcular de esta ecuacion necesitamos 6 constantesarbitrarias que equivalen a conocer las posicion y velocidad de la partıcula en uninstante determinado, A la inversa podemos decir que: “La posicion y velocidadde una partıcula en un instante dado (condiciones iniciales)determinan totalmentesu posicion y velocidad en cualquier otro instante”. En este sentido la mecanicaclasica es totalmente determinista. Otro problema distinto es la incapacidad denuestros instrumentos de medir la posicion y la velocidad con precision absoluta.Habra siempre un margen de error en las medidas de las condiciones iniciales. Paraalgunos sistemas el margen de error se mantiene acotado (sistemas integrables).Por el contrario, una gran sensibilidad del sistema a estos errores hace que , en lapractica, sea imposible calcular la trayectoria que seguira la partıcula ni siquieracon el mismo margen de error que las condiciones iniciales. Se dice en tal caso queel sistema es caotico aunque sea determinista

Leyes de Newton 81

4. La Tercera Ley

A cada accion se opone una fuerza igual y de sentido contrario. Por tanto si ~F12

es la fuerza que la partıcula 1 ejerce sobre la 2 y ~F21 la que la partıcula 2 ejercesobre la 1, entonces:

~F12 = −~F21 (4.1)

si ademas las fuerzas estan dirigidas a lo largo de la recta que une las dos partıculas,hablaremos de la version fuerte de la tercera ley.

Sobre esta ley trataremos mas extensamente cuando hablemos de sistemas departıculas.

5. Sistemas de referencia no inerciales

Aunque trataremos el tema ampliamente mas adelante, conviene decir aqui algosobre el uso de los sistemas de referencia no inerciales.

Hay que senalar en primer lugar que las leyes de Newton se refieren solamentea sistemas inerciales, es decir a observadores que se mueven con velocidad relativaconstante. Si el observador, es decir el sistema de referencia, esta acelerado, lasleyes de Newton dejan de aplicarse a tal sistema. No obstante los sistemas dereferencia no inerciales pueden ser muy utiles. A veces incluso, puede ser imposibleutilizar otro sistema. Este es el caso de un observador sobre la tierra: La tierragira sobre si misma y alrededor del sol (aparte de los movimientos del sistema solary la galaxia) y es por tanto un sistema no inercial. Para todos los experimentosrealizados sobre la tierra convendra saber como hay que modificar las leyes deNewton de forma que se adapten a tal sistema.

Supongamos que ~a0 es la aceleracion de la tierra (es decir del observador noinercial) respecto a un observador no inercial. Si ~ani es la aceleracion de unapartıcula medida desde la tierra, la aceleracion medida por el observador inercialsera ~ai = ~ani + ~a0. De manera que si sobre la partıcula actua una fuerza ~F , elobservador inercial (que es para el que valen las leyes de Newton) podra aplicar lasegunda ley de Newton, es decir:

~F = m~ani + m~a0 (5.1)

mientras que el observador no inercial detectara una aceleracion dada por:

m~ani = ~F −m~a0 (5.2)

de manera que en un sistema inercial la segunda leyde Newton es valida a condicionde introducir una “falsa fuerza”o “pseudofuerza” F0 = −m~a0 que de cuenta de lano inercialidad del sistema de referencia.

82 Capıtulo 4

Problemas del Tema IV (11-11-2008)

1.) Dos bloques, de masa m1 y m2 estan unidos mediante un resorte ligero en unamesa horizontal sin rozamiento. Obtener la relacion de sus aceleracioenes a1 y a2

despues que se separan un poco y luego se sueltan.

2.) Un viajero espacial cuya masa es 75 kg sale de la tierra. Calcular su peso a)En la tierra b) a 644 km de la tierra. c) en el espacio interplanetario. ¿Cual es sumasa en cada uno de estos sitios?.

3.) Una esfera cargada de 0, 3 gr. esta suspendida de una cuerda. Sobre la esferaobra una fuerza electrica horizontal de manera que la cuerda forma un angulo de370 con la vertical cuando esta en reposo. Encontrar a) La magnitud de la fuerzaelectrica. b) La tension de la cuerda.

4.) Calcular la aceleracion inicial ascendente de un cohete de 1, 3.104 kg si lafuerza inicial de su motor es 2, 6.106 kg.m/sg2. ¿Se puede pasar por alto el pesodel cohete?.

5.) Un hombre de 80 kg de masa se encuentra en un ascensor. Determinar lafuerza que ejerce el suelo sobre el en los siguientes casos: a) El ascensor sube convelocidad constante. b) El ascensor baja con velocidad constante. c) El ascensorsube con aceleracion de 3 m

s2 . d) El ascensor baja con aceleracion de 3 ms2 .

6.) Un atleta parado lanza la jabalina a 60 m. ¿Que distancia puede alcanzar sila lanza corriendo a 8 m

s?

7.) Supongamos una mesa circular de radio R que gira con velocidad angular ωalrededor de su centro. Una partıcula de masa m esta sujeta al eje de rotacionpor una varilla de longitud l que hace que la masa gire junto con la mesa. Enel instante t = 0 la varilla se rompe. Describir el movimiento de la masa paraun obsevador situado en el centro de la mesa en los siguientes casos: a) Que elobservador sea inercial y respecto a el la mesa gire con velocidad ω. b) Que elobservador gire con velocidad ω y respecto de el la mesa este en reposo.

Leyes de Newton 83

8.) Determinar las tensiones y las aceleraciones de las siguientes maquinas• 8.a)

������������������������������������

����������������������������

������������

������������

• 8.b)

• 8.c)

F

m1

m2

h

• 8.d)

84 Capıtulo 4

• 8.e)

m2

m1

• 8.f)

m2

m1

• 8.g)

m2

m1

9.) Una cadena flexible de longitud l y masa M se coloca como indica la figura.Si a t = 0 BC es el doble de AB y la cadena tiene velocidad cero, determinar laposicion y la velocidad de la cadena en cualquier otro instante.

A B

C

Leyes de Newton 85

10.) Determinar la velocidad de la cuerda de la figura si empieza a resbalar cuandosus 2/3 se encuentran a la derecha.

11.) Una serie de alambres rectos se colocan formando abanico con un verticecomun A como indica la figura. En cada alambre se se ensarta una cuenta. Enun mismo instante se dejan caer todas las cuentas desde A. Calcular el lugargeometrico de las posiciones de las cuentas al cabo de un tiempo t

12.) Una Cadena se coloca sobre una mesa como indica la figura y se suelta.Calcular el tiempo que tarda en abandonar la mesa

4/5 L

86 Capıtulo 4

6. Problemas

1.) Dos bloques, de masa m1 y m2 estan unidos mediante un resorte ligero en unamesa horizontal sin rozamiento. Obtener la relacion de sus aceleracioenes a1 y a2

despues que se separan un poco y luego se sueltan.

Solucion

La fuerza que actua es de accion y reaccion. Por tanto

F = m1x1 = m1a1

−F = m2x2 = m2a2

luegoa2

a1

= −m1

m2

Leyes de Newton 87

2.) Un viajero espacial cuya masa es 75 kg sale de la tierra. Calcular su peso a)En la tierra b) a 644 km de la tierra. c) en el espacio interplanetario. ¿Cual es sumasa en cada uno de estos sitios?.

Solucion

La fuerza de la gravedad es (en modulo):

F = GmM

(R + d)2

donde M es la masa de la tierra, R el radio de la tierra y d la distancia a la que seencuentra de la superficie de la tierra.

a) En la tierra

Fo = GmM

R2= mg =⇒ F0 = 75 kg.9, 8m/sg2 = 735kg.m/sg2

b) a 644 km de la tierra

F = GmM

(R + d)2= F0

(R

R + d

)2

= F0

(1

1 + dR

)2

=

Como el radio de la tierra es:6, 37.103 km

F = F0.0, 81 = 595, 35 kg.m/sg2

c) en el espacio interplanetarioEn este caso d →∞ y por tanto

F = 0

La masa es la misma siempre

88 Capıtulo 4

3.) Una esfera cargada de 0, 3 gr. esta suspendida de una cuerda. Sobre la esferaobra una fuerza electrica horizontal de manera que la cuerda forma un angulo de370 con la vertical cuando esta en reposo. Encontrar a) La magnitud de la fuerzaelectrica. b) La tension de la cuerda.

Solucion

37º

T

mg

Fe

Sea θ = 370. Puesto que esta en reposo, el balance de fuerzas debe ser cero

~T + ~Fe + m~g = 0

donde~T = −T sin θ~i + T cos θ~j

~Fe = Fe~i

m~g = −mg~j

de forma queT cos θ = mg

T sin θ = Fe

luego

tg θ =Fe

mg=⇒ Fe = mg tg θ

y

T =mg

cos θ

Leyes de Newton 89

4.) Calcular la aceleracion inicial ascendente de un cohete de 1, 3.104 kg si lafuerza inicial de su motor es 2, 6.106 kg.m/sg2. ¿Se puede pasar por alto el pesodel cohete?.

Solucion

El balance de fuerzas serıa

Fi~j −mg~j = ma~j

luego

a =Fi

m− g

o sea

a =2, 6.106 kg.m/sg2

1, 3.104 kg− 9, 8 m/sg2 = (2, 0.102 − 9.8)m/sg2

luego la masa del cohete se puede pasar por alto hasta precisiones del orden de lacentesima. En tal caso

a ' Fi

m= 2, 0.102m/sg2

90 Capıtulo 4

5.) Un hombre de 80 kg de masa se encuentra en un ascensor. Determinar lafuerza que ejerce el suelo sobre el en los siguientes casos: a) El ascensor sube convelocidad constante. b) El ascensor baja con velocidad constante. c) El ascensorsube con aceleracion de 3 m

s2 . d) El ascensor baja con aceleracion de 3 ms2 .

Solucion

a-b) Si sube o baja con velocidad constante, es un sistema inercial. Por tanto,el balance de fuerzas es:

~R−mg~j = 0 =⇒ R = mg = 784 Nt.

c) En este caso

~R−mg~j = ma~j =⇒ R = m(g + a) = 1024 Nt

c) Ahora la aceleracion es negativa

~R−mg~j = −ma~j =⇒ R = m(g − a) = 544 Nt

Leyes de Newton 91

6.) Un atleta parado lanza la jabalina a 60 m. ¿Que distancia puede alcanzar sila lanza corriendo a 8 m

s?

Solucion

• Supongamos que esta parado

x = voxt

y = voyt− 1

2gt2

Como sabemos, el angulo optimo es π/4, por tanto vox = voy0 = vo√2

T =2voy

g=

√2vo

g

X =2voyvox

g=

v2o

g

es el alcance maximo.vo =

√gX =

√686m/sg

T =

√2X

g=

√12, 2sg

Si corre a 8m/sg, en ese tiempo recorre una distancia

x1 = 8√

12, 2 m

mas que si esta parado

92 Capıtulo 4

7.) Supongamos una mesa circular de radio R que gira con velocidad angular ωalrededor de su centro. Una partıcula de masa m esta sujeta al eje de rotacionpor una varilla de longitud l que hace que la masa gire junto con la mesa. Enel instante t = 0 la varilla se rompe. Describir el movimiento de la masa paraun obsevador situado en el centro de la mesa en los siguientes casos: a) Que elobservador sea inercial y respecto a el la mesa gire con velocidad ω. b) Que elobservador gire con velocidad ω y respecto de el la mesa este en reposo.

Solucion

����������������

a) Para un observador inercial:

• a.1) t ≤ 0. La varilla gira con velocidad ω debido a una fuerza centrıpeta quele obliga a describir una circunferencia

~r = R(cos ωt~i + sin ωt~j)

~v = ω(− sin ωt~i + cos ωt~j)

~a = −ω2(cos ωt~i + sin ωt~j) = −ω2~r

luego sobre la partıcula esta actuando una fuerza

~F = m~a = −mω2~r

• a.2) t = 0

~r = R~i, ~v = ωR~j, ~a = −ω2R~i

• a.3) t ≥ 0 A partir de ese momento no hay fuerza que obligue a la varilla agirar por lo que sigue un movimiento uniforme con las condiciones iniciales dadasen a.2). Por tanto

~r = ~r0 + ~v0t = R~i + Rωt~j

Leyes de Newton 93

b) Para un observador no inercial:

~ini = cos(ωt)~i + sin(ωt)~j

~jni = − sin(ωt)~i + cos(ωt)~j

~i = cos(ωt)~ini − sin(ωt)~jni

~j = sin(ωt)~ini + cos(ωt)~jni

• b.1) t ≤ 0. La varilla esta en reposo respecto de la mesa

~rni = R~ini

~vni = 0

~ani = 0

luego “es como si actuara una fuerza centrıfuga” que compensa ~F de formaque;

m~ani = ~F + ~Fni = 0

Por tanto“es como si” actuara una “pseudofuerza” de inercia

~Fni = −~F = mω2~r = mω2R~ini

• b.2) t ≥ 0 Al romperse la varilla, ~F = 0. La posicion de la partıcula pasada acoordenadas no inerciales es:

~rni = R(cos(ωt)~ini − sin(ωt)~jni

)+ Rωt

(sin(ωt)~ini + cos(ωt)~jni

)

~rni = R (cos(ωt) + ωt sin(ωt))~ini + R (− sin(ωt) + ωt cos(ωt))~jni

de forma que la velocidad y aceleracion que mide el observador no inercial son:

~vni = Rω2t (cos(ωt))~ini + Rω2t (− sin(ωt))~jni

~ani = Rω2 (−ωt sin(ωt) + cos(ωt))~ini + Rω2 (−ωt cos(ωt)− sin(ωt))~jni

por lo que “aparentemente” para el existe una fuerza

~Fni = mRω2 (−ωt sin(ωt) + cos(ωt))~ini + mRω2 (−ωt cos(ωt)− sin(ωt))~jni

que obliga ala partıcula a moverse en la trayectoria (acelerada respecto del obser-vador no inercial ) ~rni

94 Capıtulo 4

8.) Determinar las tensiones y las aceleraciones de las siguientes maquinas• 8.a)

������������������������������������

����������������������������

������������

������������

• Vectores posicion~r1 = (0,−y1)

~r2 = (0,−y2)

• Fuerzas~F1 = (0, T −m1g)

~F2 = (0, T −m2g)

• Ligaduray1 + y2 = l

• Ecuacciones del movimiento

T −m1g = −m1y1

T −m2g = −m2y2 = m2 ~y1

•y1 =

m1 −m2

m1 + m2

g

T =2m1m2

m1 + m2

g

Leyes de Newton 95

• 8.b)

• Vectores posicion Tomamos como vectores unitarios la direccin del planoinclinado y la vertical

~r1 = (0,−y1)

~r2 = (0,−z2)

• Fuerzas~F1 = (0, T −m1g)

~F2 = (0, T −m2g)

• Ligaduray1 + z2 = l

• Ecuaciones del movimiento

T −m1g = −m1y1

T −m2g sin α = −m2z2 = m2 ~y1

•y1 =

m1 −m2 sin α

m1 + m2

g

T =(1 + sin α)m1m2

m1 + m2

g

Obviamente para α = π2

se recupera el caso 8.a)

96 Capıtulo 4

• 8.c)

F

m1

m2

h

• Vectores posicion~r1 = (0,−y1)

~r2 = (−x2,−h)

• Fuerzas~F1 = (0, T −m1g)

~F2 = (0, T − F )

• Ligadurax2 + y1 + h = l

• Ecuaciones del movimiento

−m1g + T = −m1y1

−F + T = −m2x2

•y1 =

m1g − F

m1 + m2

T =(F + m1g)m2

m1 + m2

• Es una maquina de Atwood donde m2g se sustituye por F

Leyes de Newton 97

• 8.d)

• Vectores posicion~r1 = (0,−y1)

~r2 = (0,−y2)

~r3 = (−x3,−h)

• Fuerzas~F1 = (0, T1 −m1g)

~F2 = (0, T1 −m2g − T2)

~F3 = (T2 − F, 0)

• Ligaduray2 + y1 = l1

x3 + h− y2 = l2

• Ecuaciones del movimiento

T1 −m1g = −m1y1

T1 −m2g − T2 = −m2y2

T2 − F = −m3x3

•y1 =

(m1 −m2)g − F

m1 + m2 + m3

T1 =m1

m1 + m2 + m3

(F + (2m2 + m3))

T2 =1

m1 + m2 + m3

(F (m1 + m2) + m3g(m1 −m2))

98 Capıtulo 4

• 8.e)

m2

m1

• Vectores posicion~r1 = (0,−y1)

~r2 = (−x2, 0)

• Fuerzas~F1 = (0, T −m1g)

~F2 = (T, 0)

• Ligadurax2 + y1 = l

• Ecuaciones del movimiento

T −m1g = −m1y1

T = −m2x2

•y1 =

m1g

m1 + m2

T =m1m2g

m1 + m2

Leyes de Newton 99

• 8.f)

m2

m1

• Vectores posicion~r1 = (0,−y1)

~r2 = (−x2, 0)

• Fuerzas~F1 = (0, 2T −m1g)

~F2 = (T, 0)

• Ligadurax2 + 2y1 = l

• Ecuaciones del movimiento

2T −m1g = −m1y1

T = −m2x2

•y1 =

m1g

m1 + 4m2

T =2m1m2g

m1 + 4m2

100 Capıtulo 4

• 8.g)

m2

m1

• Vectores posicion~r1 = (0,−y1 − z1)

~r2 = (−x2, 0)

• Fuerzas~F1 = (0, T −m1g)

~F2 = (T, 0)

T = 2T

• Ligadurasx2 + y1 = l1

z1 + h− y1 = l2

• Ecuaciones del movimiento

T −m1g = −m1(y1 + z1)

T = −m2x2

•y1 =

2m1g

4m1 + m2

T =2m1m2g

4m1 + m2

Leyes de Newton 101

9.) Una cadena flexible de longitud l y masa M se coloca como indica la figura.Si a t = 0 BC es el doble de AB y la cadena tiene velocidad cero, determinar laposicion y la velocidad de la cadena en cualquier otro instante.

Solucion

A B

C

Sea AB = x, CD = y de forma que

x + y = l

Si la densidad de masa de la cuerda es Ml, entonces:

la masa de AB esxM

l

la masa de BC esyM

ly el balance de fuerzas

yM

lg sin α− T =

yM

ly

−T =xM

lx

luegoy

lg sin α = y

La solucion de esta ecuacion es:

y = Aeωt + Be−ωt

con

ω =

√g sin α

l

Si para t=0 esta en reposo en y = 2l/3 estas condiciones iniciales implican que

2l/3 = A + B

0 = ω(A−B)

y por tanto

A = B =l

3

y =l

3(eωt + e−ωt)

102 Capıtulo 4

10.) Determinar la velocidad de la cuerda de la figura si empieza a resbalar cuandosus 2/3 se encuentran a la derecha.

Solucion

Sea λ = ml

la densidad de la cuerda. Entonces:

(λy)y = (λy)g − T

(λx)x = (λx)g − T

x + y = l

de forma que

y = −x =2y − l

lg

integrando1

2y2 =

g

l(y2 − ly) + K

Si para y = 2l/3 y = 0, entonces K =2gl

9

y =

√2g

l(y − 2l/3) (y − l/3)

Leyes de Newton 103

11.) Una serie de alambres rectos se colocan formando abanico con un verticecomun A como indica la figura. En cada alambre se se ensarta una cuenta. Enun mismo instante se dejan caer todas las cuentas desde A. Calcular el lugargeometrico de las posiciones de las cuentas al cabo de un tiempo t

Solucion

Las coordenadas de la cuenta son:

x = r sin α (1)

y = −r cos α (2)

Las fuerzas que actuan son el peso de la cuenta y la reaccion del alambre que vaen direccion perpendicular al mismo. Por tanto

~F = (T cos α,−mg + T sin α)

donde la Tension debe verificar

T = mg sin α

Por tanto~F = (mg sin α cos α,−mg(cos α)2

y las ecuaciones del movimiento son

r = g cos α

r = rac12g cos αt2

Se trata de eliminar α y r entre (1) (2) y (3).Elevando (1) y (2) al cuadrado, sumando y usando (3)

x2 + y2 =1

4cos2 αg2t4

Eliminando cos α de (2)

x2 + y2 =1

4

y2

r2g2t4

104 Capıtulo 4

(x2 + y2)2 =1

4y2g2t4

x2 + y2 =1

2ygt2

Completando cuadrados

x2 + (y − 1

4gt2)2 =

1

16g2t4

que es una circunferencia de radio 14gt2 centrada en (0,−1

4gt2)

Leyes de Newton 105

12.) Una Cadena se coloca sobre una mesa como indica la figura y se suelta.Calcular el tiempo que tarda en abandonar la mesa

Solucion 4/5 L

Lambda = M/L

m1 = λy

m2 = λx

x + y = L

m1 + m2 = M

−m1g + T = −m1y

T = −m2x

y =m1

Mg

y =g

ly

y = 2L/5(eωt + e−ωt)

con ω2 = g/L Para que y = L

5/2 = eωT + e−ωT

y por tantoT = ln 2

√L/g

106 Capıtulo 4