PROYECTO: CATAPULTA

MARIA FERNANDA JIMENEZ CUBILLOS

JULIANA ALEXANDRA PEREZ VIDAL

JOSE ALEJANDRO GARCIA

ING:CAMILO TORRES

DINAMICA

UNIVERSIDAD COOPERATIVADE COLOMBIA

VILLAVICENCIO-META

20015

INTRODUCCION

En este reporte presentaremos nuestra catapulta donde se estudiaran los distintos

fenómenos físicos que la rigen, como lo es el tiro parabólico y los efectos que

actúan dentro de la conservación de la energía como energía cinética, energía

potencial, inercia y velocidad angular.

Haremos también un análisis demostrativo en el que aplicaremos formulas con las

que sacaremos la información necesaria para analizar el movimiento que realiza el

proyectil al ser lanzado por la catapulta, para así obtener mayor precisión al

representar el movimiento. Todo esto lo aplicaremos en un modelo de catapulta en

el que el movimiento parabólico dependerá de distintos factores como: velocidad,

distancia, fuerza, entre otros.

JUSTIFICACION

La realización del presente proyecto es con el fin de aplicar a la catapulta los

conceptos adquiridos respecto a los temas de tiro parabólico y los efectos que

actúan dentro de la conservación de la energía cinética, energía potencial, inercia

y velocidad angular. Todo esto se hace con el fin de buscar una forma más

dinámica y didáctica de aprendizaje de estos fundamentos físicos, ya que por

medio de la realización de esta catapulta y el posterior estudio de su estructura y

de los lanzamientos podemos sacar mucho provecho para el aprendizaje y

comprensión de las fórmulas que rigen los movimientos que se producen.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La catapulta representa un paso importante en la historia de la ingeniería y

construcción, fue un avance para llegar a lo que conocemos hoy, ya que en ella

están presentes muchas de las leyes físicas, como la ley de la conservación de la

energía, esta se evidencia en el funcionamiento de la misma, también con esta

aparece el movimiento de proyectiles, que conlleva al tiro parabólico que tiene

diferentes componentes como lo es la velocidad con que se realiza el movimiento,

la trayectoria del mismo, lo cual se puede estudiar y apreciar con ayuda de una

catapulta. Por eso surge un interrogante para nosotros como estudiantes: ¿De que

manera es posible estudiar estos conceptos y llevarlos a la práctica de una forma

más dinámica y que de todas formas estuviéramos llevando a cabo un proceso de

aprendizaje? A este cuestionamiento le pretendemos dar respuesta por medio de

la fabricación de una catapulta, ya que al utilizarla y posteriormente realizar unos

cálculos es posible que podamos comprender de una forma más concreta todos

estos conceptos físicos para así luego ponerlos en práctica.

OBJETIVOS

Objetivo general

Lograr una mejor comprensión del funcionamiento empírico y teórico de una

catapulta, para lo cual se construirá un modelo de dimensiones reducidas con el

cual realizamos una serie de tiros. Además de contrastar las bases teóricas con

los resultados experimentales

Objetivos específicos

1. Aplicar los conocimientos de dinamica, cálculo y física en la construcción o

elaboración de la catapulta.

2. Utilizar las herramientas necesarias para el estudio de los fundamentos físicos

en el uso de la catapulta, como lo es el estudio del movimiento parabólico que se

relaciona con el movimiento de proyectiles.

3. Llevar un registro detallado, organizado y coherente de cada una de las

sesiones del proyecto, para así tener una mejor comprensión de los conceptos

estudiados y facilitar el aprendizaje dinámico de los mismos

Clasificación de las catapultas

Para facilitar el reconocimiento de las catapultas las podemos clasificar según su

sistema de poder. Así podemos encontrar catapultas que funcionan con la energía

suministrada por la tensión, torsión, contrapeso y tracción.

Las catapultas de tensión son las que funcionan gracias a que almacenan su

energía, al ser tensado un arco de metal, madera o cuerno y fueron las primeras

en hacer su aparición, ya que descienden directamente de los arcos manuales.

Las catapulta de torsión, son aquellas que son accionadas gracias a la fuerza

almacenada al "torcer", una madeja de cuerdas, tendones o crin de caballo, según

la época de que se trate.

La catapulta de contrapeso fue un invento aparentemente reciente; por lo menos

eso dicen algunos autores, sin embargo no todos coinciden en ello. Esta catapulta

funcionaba a base de un contrapeso, con una masa muy superior al peso del

proyectil, en el caso del Trebuchet con una relación que variaba de 80 a 100 veces

La catapulta de tracción fue un invento de los chinos que llamaron hsuan feng,

utilizada aproximadamente en el año 200 de nuestra era.. Esta catapulta funciona

a base del impulso humano y su principio es muy parecido al del trebuchet; es

decir, utilizan la palanca y la honda para aumentar la fuerza de salida del proyectil.

MARCO TEORICO

Ecuaciones que se utilizaran para hallar los calculos del proyecto:

Movimiento Parabólico

La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado

resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.

• Un MRU horizontal de velocidad vx constante.

• Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.

Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más

antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.

Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la

aceleración de la gravedad.

- Alcance.

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para

θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles

disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2•30)=sen(2•60).

Altura máxima.

La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con y=0.

v y=0 es decir v0 y−¿=0

De aquí deducimos el valor de t

t=v0 y

g=v0 senθ

g

Sustituimos este valor en la ecuación de la coordenada y :

Y max=voy t−12g t 2

¿v0

2 sen2θg

−v0

2 sen2θ2g

Y max=v0

2 sen2θ2 g

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.

Tiempo de vuelo

Es el tiempo total que el móvil permanece en movimiento.

Para hallarlo tenemos en cuenta que y= 0 cuando el cuerpo llega al suelo.

0=voy t−12g t 2

;0=voy−12g t❑

Despejamos t :

t=2voy

g

Sustituimos el valor de voy en la expresión anterior:

t=2vo senθ

g

Alcance máximo

Es la distancia horizontal que recorre el móvil.

Lo obtendremos al sustituir en la ecuación de la coordenadax la expresión del

tiempo de movimiento.

x=vox t=v ocosθ2 vo senθ

g

¿2v0

2 senθcosθg

Y utilizando la relación trigonométrica sen2θ=2 senθ cosθ resulta

x=v0

2

gsen2θ

Alcance de un proyectil para una velocidad inicial de 60 m/s y diversos ángulos de

tiro.

Tiro parabólico con altura inicial.

Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad

inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento

establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0•cosθ

vy=v0•senθ-g•t

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= v0•cosθ•t

y= h+v0•senθ•t-g•t2/2

Ley de Hooke (Elasticidad)

Cuando un objeto de somete a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de

forma, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace

en el material.

Cuando un peso jala y estira a otro y cuando sele quita este peso y regresa a su

tamaño normal decimos que es un cuerpo elástico.

Ley de Hooke: “Cuando se trata de deformar un sólido, este se opone a la

deformación, siempre que ésta no sea demasiado grande”

= -k

Resortes

El resorte es un dispositivo fabricado con un material elástico, que experimenta

una deformación significativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza. Los

resortes se utilizan para pesar objetos en las básculas de resorte o para

almacenar energía mecánica, como en los relojes de cuerda. Los resortes también

se emplean para absorber impactos y reducir vibraciones, como en los resortes de

ballestas (donde se apoyan los ejes de las ruedas) empleados en las

suspensiones de automóvil.

LA ENERGÍA MECÁNICA

A la suma de la energía cinética y la energía potencial (elástica o gravitatoria), la

denominamos energía mecánica.

Emecánica = EC + EP

La energía cinética

Los cuerpos pueden realizar un trabajo por el hecho de estar en movimiento, es

decir, los cuerpos en movimiento tienen energía. Esta forma de energía mecánica

se llama energía cinética (EC).

Por tanto, la energía almacenada por un cuerpo en movimiento (EC) es:

La ecuación del brazo lanzador del proyectil es un tanto diferente ya que

este describe una circunferencia en su trayectoria, por lo tanto, corresponde

al momento de inercia del brazo y W corresponde a la velocidad angular que

este lleva en el lanzamiento al describir dicha circunferencia.

La energía potencial

La capacidad de un cuerpo de producir trabajo por el hecho de estar a una cierta

altura se llama energía potencial gravitatoria, o más sencillamente, energía

potencial (EP).

Por tanto, la energía almacenada por un cuerpo que se encuentra a una altura, h,

(Ep) es:

EP = m · g · h

CALCULOS

Luego de tener claro los temas que se aplican en nuestra catapulta procedemos a

realizar los tiros con la misma y pasar a calcular, los diferentes componentes que

conforman al tiro parabólico y así lograr el estudio de este movimiento, que va de

la mano en este caso con la conservación de la energía que se presenta con cada

tiro de la catapulta.

TIROS

distancia tiempo

1Diferentes distancias

Variacion del tiempo

2345678910promedio

También para nuestros cálculos es necesario conocer la constante del resorte

utilizado, por lo que se procedió a colocar varios pesos en el resorte y medir el

alargamiento que obtuvo con cada masa y luego calcular la distancia que se

alargó, la fuerza que se ejerce y así por método de mínimos cuadrados calcular la

constante K del resorte. El resorte utilizado tiene una longitud laque de utilizando

los calculos para hallarla..

CONSTANTE DEL RESORTE

Aquise pondran las

medidas y valores de la

catapulta real

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450

5

10

15

20

25

y = 567x - 0,115R² = 0,954

f(N)Linear (f(N))

Grafica1. Constante del resorte( se cambian valores)

Podemos observar que al graficar la fuerza peso y la distancia de alargamiento del

resorte, podemos obtener una pendiente de esta grafica que vendría siendo la

constante de nuestro resorte, es decir m= 567 que es lo mismo que decir

K= 567N/m

Ahora teniendo claro esto procedemos a hallar un dato de mucha importancia para

el estudio del tiro parabólico con nuestra catapulta, y ese dato es la velocidad

masa(kg) f(N) L (m) Dx= l - lo0,68 6,8 0,26 0,010,91 9,1 0,27 0,02 Ejemplo1,36 13,6 0,275 0,0251,81 18,1 0,28 0,032,27 22,7 0,29 0,04

inicial con la que sale despedido el proyectil , ya que al poseer este dato, y el

ángulo, es posible calcular los demás componentes que conforman el movimiento

parabólico ya antes mencionados.

El parámetro inicial que tenemos que tomar en cuenta durante el movimiento de

tiro parabólico es:a=−g j {ms2 }A partir de este establecimiento, podemos determinar la ecuación de la velocidad

de la partícula, para establecer la componente en de manera adecuada es

necesario señalar que hay que añadir el valor de la derivada de la aceleración que

teníamos anteriormente

v=(vo cosθ) i+(v o senθ−¿) j {ms }

Donde los valores de(vo cosθ) y ¿) son las componentes escalares de la

descomposición del vector.

Luego de obtener la ecuación que nos hace posible analizar la velocidad del

proyectil, podemos tener el modelo que permita analizar asi la posición del

proyectil a lo largo de su trayectoria.

Quedando:

r=(vo t cosθ) i+(vo t senθ−gt 2

2 ) j {m❑}

Entonces la velocidad inicial que usaremos como la velocidad con la que sale el

proyectil al abandonar la catapulta tenemos lo siguiente al igualarlo con el modelo

matemático:

Para i seria

9.572=vo t cosθ (1)

Para j seria

0=vo t senθ−gt 2

2 (2)

Despejamos de la ecuación (1) el tiempo quedando:

t= 9.572vo cosθ

Procedemos a sustituir esta ecuación en la (2) para asi obtener:

0=vo( 9.572vo cosθ )senθ−g

( 9.572vo cosθ )

2

2

También aplicamos conocimientos de trigonometría para poder reducir la

ecuación, uno de es ellos es tener en cuenta que tanθ=senθcosθ

, y con esto podemos

reducir nuestra ecuación quedando:

0=9.572 tanθ−g( 9.572

vo )2

2

Despejando la Velocidad inicial de la ecuación obtenemos:

−9.572 tanθ=−g( 91.623

vo2 )

❑

2

vo2=

−g (91.623 )❑

2 (−9.572 tanθ )

Ahora ES Importante saber otro dato esencial para poder encontrar la velocidad

inicial del proyectil el cual es el ángulo de salida, que en este caso es θ=20 ° este

lo pudimos encontrar al realizar una serie de tiros contra una pared y luego seguir

esa trayectoria con la normal que sale el proyectil desde la catapulta y confrontarla

con el eje x y así hacer posible conocer el ángulo de tiro.

Entonces procedemos a remplazar el ángulo en la ecuación obtenida y así poder

calcular la velocidad inicial quedando.

vo2=

−9.81 (91.623 )❑

2 (−9.572 tan 20° )

vo2= 898.82

2 (−9.572 tan 20° )

v02=898.82

6.967

v0=√128.99

v0=11.35

Esta velocidad que obtuvimos por medio de estas fórmulas es la velocidad

promedio inicial del proyectil al comenzar el movimiento parabólico.

Teóricamente éste sería el resultado, para comprobarlo con los medios

experimentales determinaremos la velocidad inicial por medio de la tensión del

resorte y la igualaremos a la energía Cinética en su punto de salida.

Anteriormente hallamos la constante del resorte, como ya habíamos mencionado,

con ayuda de distinta masa, y por el método de los mínimos cuadrados, con lo que

nos dio de resultado la constante del resorte K= 567 N/m

Otro dato importante que entra para la determinación de la velocidad de forma

experimental es la masa del proyectil utilizado para los tiros con nuestra catapulta,

el cual poseía una masa de m= 0.096148 Kg.

T R=∆ Ec

EC+EP=EC 2+EP2

Teniendo entonces:

0+ 12k d2=1

2mv2+0

Despejamos a v

v2= k d2

m

v=√ k d2

m

Quedando una ecuación, en la que podemos hallar la velocidad, y en donde:

K = la constante del resorte

D= la elongación o deformación del resorte

M= es la masa del proyectil.

Al tener estos conceptos claros procedemos a reemplazar los datos que ya

poseemos:

v=√567N /m¿¿¿

v=√ 567 Nm

∗0.0225m2

0.096148kg

v=√ 12.7575 N .m0.096148kg

v=√132.680m2/ s2

v=11.51m /s

Queda entonces demostrado que el análisis del tiro parabólico expuesto cumple

en ambos casos con las velocidades iniciales, a excepción de un pequeño error

que ahora calcularemos:

%E=11.51−11.3511.51

X 100=1.39 %

El error no es tan alto, y puede haberse dado por diferentes circunstancias como

el error en la medición de la constante del resorte, o algún error de medición.

Ahora que ya tenemos la velocidad inicial podemos calcular las otras

componentes del tiro parabólico como lo son altura máxima, alcance máximo, el

tiempo de vuelo, etc.

Pero para poder calcular estas componentes es necesario calcular las velocidades

en los componentes de x y de y para el tiro.

Tenemos la fórmula:

v0x=vo cosθ

v0x=(11.51ms)cos20 °

v0x=10.81m /s

v0 y=v o senθ

v0 y=(11.51ms)sen20 °

v0 y=3.936m /s

Estos son las formulas y calculos que se utilizarian para hallar las distintas

velocidades pero nosotros con ayuda de un velocimentro manual

demostraremos que los calculos que se hagan manuales tienen que ser

exactamente igual a lo que de el velocimetro manual

Ahora procedemos a calcular la altura máxima:

Y max=v0 y

2

2g

Reemplazamos el valor que nos dio anteriormente de voy en la ecuación y

tenemos:

Y max=(3.93

mS

)2

2(9.8ms2 )

Y max=15.44(m

S)

2

19.6ms2 ¿

¿

Y max=0.78m

Ahora procedemos a calcular el alcance máximo:

x=v0

2

gsen2θ

x=(11.51

mS

)2

(9.8ms2 )

sen220 °

x=132.480(m

S)

2

(9.8ms2 )

0.642

x=8.67 m

Calculo del tiempo de vuelo

t=2voy

g

t=2vo senθ

g

t=2(11.51

ms )sen20 °

9.8m

s2

t=0.803 s

DISEÑO CATAPULTA

Se muestra una vista en donde se asemeja el diseño con las dimensiones de la

catapulta a realizar con sus diferentes vistas, al final del proyecto se presentaran

fotos del proyecto terminado.Ya estando lista para su funcionamiento, al girar el

brazo hacia atrás este debe deformar un resorte, se coloca el proyectil en la

cuchara y, al soltarse el resorte se recuperara transfiriendo la energía al proyectil.