Created by : Nurainul Miftahul HudaDosen : Santika Martha,
M.ScHimpunan:Kumpulan objek-objek yang dapat didefinisikan dengan
jelas (bukan berupa pernyataan yang bersifat relatif).Contoh :
Himpunan manusiaAljabar:Suatu himpunan yang tidak kosong S yang
dilengkapi satu atau lebih operasi biner.Operasi BinerOperasi biner
* pada S adalah aturan yang memetakan setiap pasangan terurut (a,b)
S x S ke unsur di S.Contoh :Bilangan genap + bilangan genap =
bilangan genap, maka Operasi biner juga biasa disebut dengan sifat
tertutup.Contoh :Selidiki apakah S bersifat tertutup terhadap
penjumlahan & perkalian ?Bukti :Penjumlahan+01001112Karena maka
S tidak bersifat tertutup pada operasi
penjumlahan.Perkalianx01000101Karena maka S bersifat tertutup pada
operasi perkalian.Selidiki apakah G bersifat tertutup terhadap
penjumlahan & perkalian?Bukti :PenjumlahanDiambil sebarang
dengan Maka,===, dengan , Karena , maka terbukti G tertutup pada
operasi penjumlahan.PerkalianDiambil sebarang dengan Maka,===Karena
, maka terbukti G tertutup pada operasi perkalian.Penjumlahan
Modulo MDengan r bilangan bulat tak negatif terkecil yang merupakan
sisa pembagian (a+b) dibagi m.Perkalian Modulo PDengan r bilangan
bulat tak negatif terkecil yang merupakan sisa pembagian (axb)
dibagi p.Contoh :Selidiki apakah P tertutup pada operasi
penjumlahan dan perkalian?Bukti :012341234023402+4=6, 6/5=1 sisa
113401240123Tertutup terhadap operasi penjumlahan modulo
5.0000001234024130314204321Tertutup terhadap operasi perkalian
modulo 5.Suatu operasi biner * dan pada himpunan tak kosong S
dikatakan :AssosiatifKomutatifMempunyai elemen identitas eSetiap
anggota mempunyai invers di SOperasi distributif kiri terhadap
*Operasi distributif kanan terhadap *Teori GrupAlur untuk
membuktikan teori grupContoh :Z = himpunan bilangan bulat Buktikan
Z merupakan grup komutatif dengan operasi penjumlahan.Z = himpunan
bilangan bulatBuktikan Z merupakan grup komutatif dengan operasi
perkalian !dengan operasi yang didefinisikan Selidiki apakah
operasi pada S :Merupakan operasi binerBersifat assosiatifMempunyai
elemen identitasSetiap elemennya mempunyai inversBersifat
komutatifDefinisi:Misalkan (G,*) adalah grup, makaJika banyaknya
anggota G terhingga (finite), maka (G,*) disebut grup terhingga.
Contoh : Interval, modulo.Jika banyaknya anggota G tak terhingga
(infinite), maka (G,*) disebut grup tak terhingga. Contoh :
bilangan asli, bilangan real.Banyaknya anggota suatu grup (G,*)
disebut order dari G yang disimbolkan dengan n(G).Sifat-sifat Grup
:Teorema 1 :Unsur identitas suatu grup adalah tunggalTeorema 2
:Setiap anggota suatu grup mempunyai invers tunggalTeorema 3
:Invers dari invers suatu anggota dalam grup adalah anggota itu
sendiri.Teorema 4 :Setiap grup memenuhi hukum pencoretan (Hukum
Kanselasi).berlaku(pencoretan kiri)(pencoretan kanan)Teorema 5
:Jika G adalah grup, dan maka berlaku Teorema 6 :Jika a,b sebarang
anggota du G, maka persamaan ax = b dan ay = b masing-masing
mempunyai penyelesaian tunggal di GSubgrupDefinisi :Himpunan bagian
sebarang tidak kosong dari suatu grup (G,*) misal disebut subgrup
dari G jika dan hanya jika terdapat operasi yang sama dengan
operasi yang berlaku pada G, H merupakan grup.Jika G grup, maka G
dan {e} merupakan improper subgrup (grup bagian tak sejati) atau
subgrup trivial.Sedangkan subgrup subgrup lainnya disebut proper
subgrup (grup bagian sejati) atau subgrup tak trivial.Contoh : G =
{ 1,-1,i,-i } (G,x) grup (tunjukkan)H = { 1,-1 } (H,x) grup(Z, +)
grup maka (2Z, +) subgrup dari (Z, +) ( , +) adalah grup
(tunjukkan).subgrup dari Teorema 1 :Diketahui G grup dan H subgrup
dari G jika dan hanya jika :H tertutup terhadap operasi pada GE
elemen identitasTeorema 2 :Diketahui G grup danH subgrup dari G
jika dan hanya jika Teorema 3 :G grup, , H subgrup G jika dan hanya
jika :Teorema 4 :G grup, , , H finite.H subgrup Teorema 5 :Jika G
grup dan H subgrup ari G, maka :HH=HTeorema 6 :Jika H & K
subgrup dari G. H K subgrup dari G jika dan hanya jika H K = K
HDefinisi 2 :Jika H, K dua subgrup dari G, maka H K didefinisikan
dengan Grup SimetriMisal A={1,2,3}. Jadi banyaknya permutasi
=3!=6Permutasi adalah pemetaan bijektif dari himpunan n simbol ke
himpunan itu sendiri.Contoh :Tunjukkan G memenuhi 4 aksioma grup
dengan G = {e,f,g,h,j,k} yang dilengkapi dengan operasi komposisi
permutasi merupakan grup yang disebut grup permutasi (simetri).G =
{I,R,,A,B,C} yang dilengkapi dengan operasi pergandaan
transformasi.I = rotasi dengan pusat O dan arah berlawanan jarum
jam dengan sudut R = rotasi dengan pusat O dan arah berlawanan
jarum jam dengan sudut = rotasi dengan pusat O dan arah berlawanan
jarum jam dengan sudut A = refleksi terhadap sumbu AxB = refleksi
terhadap sumbu ByC = refleksi terhadap sumbu CzGrup SiklikDefinisi
1 :Suatu grup S atau subgrup S dari grup G disebut siklik jika dan
hanya jika ada elemen a disebut generator atau penghasil/pembentuk
S.Grup siklik S dengan generator a dinyatakan S = Definisi 2
:Teorema 1 : dengan adalah invers dari aJika ab=ba dan maka Contoh
:Diberikan 2 buah tabel hasil operasi G =
{i,a,b,c}iabciiabcaaicbbbciaccbaiIabciIabcaAicbbBcaicCbiASelidiki
apakah (G,) & (G,*) merupakan grup siklik ?Grup Siklik dengan
order KosetDefinisi :Jika H suatu subgrup dari grup (G,*) dan ,
makaHa = {h*a|} koset kanan dari H dalam GaH = {a*h|} koset kiri
dari H dalam GContoh :G = {1,-1,i,-i} (G,x) grup.H = {-1,1} H
subgrup dari G.Koset kanan dari H dalam GH(1) = {-1x1 , 1x1} =
{-1,1}H(-1) = {1,-1}H(i) = {-i,i}H(-i) = {i,-i}Subgrup
NormalDefinisi :Jika N subgrup dari G, maka N disebut subgrup
normal dari G, ditulis Jika dan hanya jika Jika dan hanya jika
Contoh :G = {i,a,b,c,d,e}i = ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )a = ( 1 2 3 )b = ( 1
3 2 )c = ( 2 3 ) ( 1 )d = ( 1 3 ) ( 2 )e = ( 1 2 ) ( 3 )S = {i,c}N
= {i,a,b}Koset dari subgrup H dalam G, h membagi G menjadi suatu
partisi-partisi misal adalah partisi-partisi dari S, maka
:Banyaknya koset dari H di dalam G disebut indeks G terhadap H atau
indeks H di dalam G.Notasi : [G,H] atau Contoh :Proper subgrup dari
adalah Teorema Langrang :Diberikan G grup dan H subgrup dari G maka
order H membagi habis order GDiberikan G grup, H&K subgrup dari
G , maka [G:K] = [G:H] [H:K]Sifat-sifat subgrup normal :Misalkan
(G,) suatu grup. Jika N & H masing-masing merupakan subgrup
normal dari G, maka merupakan subgrup normal dari G juga.Dalam
setiap grup G dengan elemen identitas i maka {i} dan G sendiri
merupakan subgrup normal.Misalkan (G,) grup dan N subrup dari G.
Jika banyaknya koset kanan N yang berlainan dalam G sama dengan 2
atau , maka N adalah subgrup normal dari G.Jika N subgrup dari G,
maka N adalah subgrup normal dari G, jika dan hanya jika hasil kali
2 koset kanan dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G
juga.Grup FaktorMisal G grup, N subgrup normal dari G.G|N =
himpunan semua koset kanan N dalam G (dibaca: N faktor G)G|N
terhadap operasi perkalian merupakan grup yang disebut grup faktor
(Grup Quotient/Grup Kuosen)Contoh :Z = himpunan bilangan
bulat.(Z,+) grup.Ambil sebarang dan bentuk H = {ma|}.H merupakan
subgrup normal dari Z.Z|H = {H, , 2+H, ... , (m-1)+H}Himpunan A
& B tak kosong dengan f : A B dikatakan fungsi jika dan hanya
jika dengan a=b maka f(a)=f(b)F dikatakan fungsi 1-1 jika dengan
f(x)=f(y) maka x=y (fungsi injektif)F dikatakan fungsi onto/pada
jika sehingga f(a)=b (fungsi surjektif)F dikatakan fungsi bijektif
jika f merupakan fungsi 1-1 & onto.
