Catatan Kuliah JMT

johnny mt.s PS-FTK 1

BAHAN KULIAH

TEORI MODEL ANALISA DAN DIMENSI

Dosen : DR. Haryo Dwito Armono, ST, M.Eng Model Analisa dan Dimensi


A.1. Satuan Fisik Satuan fisik ditampilkan untuk suatu benda berupa panjang (m), massa (kg),

berat (N), viskositas, temperatur dan lain-lainnya. Satuan fisik dibagi dua group yakni Primary Quantities dan Secondary Quantities. Primary quantities hanya mempunyai dimensi satu berupa panjang saja atau satu macam satuan saja. Secondary quantities mempunyai dimensi lebih dari satu.

A.2. System Satuan Ada 2 system satuan yang digunakan yakni physik system (absolut) dengan

satuan M = massa, L = panjang, T = waktu (M L T) dan engineering system dengan satuan F = gaya, L = panjang, T = waktu (F L T ). Pada sistim absolut/ fisik termasuk primary quantities. Tabel III- 1 Sistim Dimensi

No. Quantity Unit Generally Adopted Symbol

Dimensions MLT

system FLT

system Geometric 1. 2. 3. 4.

Length Area Volume Slope

m m2 m3

-

l A V S

L L2 L3

-

L L2 L3

- Kinematic 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Time Velocity (linear) Velocity (angular) Acceleration (linear) Acceleration (angular) Discharge Gravitational acceleration Kinematic viscosity

sec m/sec rad/sec m/sec2 rad/sec2 m3/sec m/sec2 m2/sec

T v ω f α Q g ν (nu)

T LT-1 T-1 LT-2 T-2 L3T-1 LT-2 L2T-1

T LT-1 T-1

LT-2 T-2 L3T-1 LT-2

L2T-1 Dynamic 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

Mass Force Weight Mass density Specific weight Dynamic viscosity Surface tension Elastic modulus Pressure intensity Shear intensity Work, Energy Impulse, momentum Torque Power

kg N N slug/cum kg/cum kg sec/m2 kg/m kg/m2 N/m2 N/m2 kg.m kg.m/sec kg.m kg.m/sec

M F W ρ w μ (mu) λ E p τ W, E I, M T P

M MLT-2

MLT-2 ML-3

ML-2T-2 ML-1T-1 MT-2 ML-1T-2 ML-1T-2 ML-1T-2 ML2T-2 MLT-1 ML2T-2 ML2T-3

FL-1T2 F F FL-4T2 FL-3 FL-2T FL-1 FL-2

FL-2 FL-2 FL FT FL FLT-1


Persamaan Homogen Dimensi dan Analisa Dimensi

Persamaan dikatakan berdimensi homogen jika dimensi setiap suku dari suatu persamaan adalah identik/sama. Setiap persamaan secara fisik diawali dari penomena analisa keserupaan, seperti persamaan dari suatu sistim satuan. Untuk mendapatkan jumlah variabel dari suatu persamaan dapat ditentukan dengan netode; 1. Metode Rayleigh

2. Metode Buckingham 3. Metode Matrik

Metode Rayleigh Jika suatu debit mempunyai saling perhubungan satu dengan lainnya dari Q1,

Q2, Q3, Q4 dan seterusnya, maka hubungan diekspresikan manjadi Q1 = K.Q2a Q3

b Q4d

K disebut sebagai parameter tak berdimensi contoh-1 ; suatu pendulum mempunyai perioda t dan panjang nya adalah l dan percepatan gravaitasi g, maka persamaannya adalah t = K. la.gb satuannya adalah sesuai dengan LMT adalah T = La. Lb.T-2b sehingga untuk harga L ----- 0 = a + b untuk harga T ------ 1 = -2b jadi b = -1/2 dan a = ½ sehingga nilai t = K. la.gb --- menjadi t = K. l(1/2).g(-1/2)

glKt ..=

contoh-2 ; Sebuah tangki tengelam sebagaian dalam air. Tahanan gerak R bergantung pada kerapaan fluida ( ρ ), viskositas dinamik (μ) panjang tangki (l), kecepatan gerak tangki (v) dan percepatan gravitasi (g) Tunjukkanlah bahwa tahanan gerak tangki dapat dituliskan menjadi

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

22 .,..

..vgl

lvvlR

ρμφρ

penyelesaian : untuk persamaan tanahanan tersebut dituliskan sebagai berikut R = K.( ρa.lb.vc.μd.ge) dimana : R = resistan/ tahanan ; K = konstanta (non dimentional) ; ρ =kerapatan fluida, l =

panjang tangki, v = kecepatan gerak tangki, μ = viskositas dinamik fluida, g = gravitasi, sedangkan a,b,c,d,e adalah parameter yang tidak diketahui dan akan dicari besarnya.

Analisa dimensi menjadi:


gunakan tabel diatas lihat bahwa R (resistance) = Gaya (F) = [MLT-2], ρ = [ML-3] ; l = L ; v = [LT-1] ; μ =[ML-1T-1] ; g = [LT-2] sehingga

R = K.( ρa.lb.vc.μd.ge) [MLT-2] = 1. [(ML-3)a.( L)b.( LT-1)c.( ML-1T-1)d.( LT-2)e] Harga pangkat/eksponen dari dimensi L adalah L = L-3a. Lb. Lc. L-d. Le 1 = -3a + b + c - d + e ----------------------------------(1) Harga pangkat/eksponen dari dimensi M adalah M = Ma. Md. 1 = a + d ---------------------------------------------------(2) Harga pangkat/eksponen dari dimensi T adalah T-2 = T -c. T-d. T -2e - 2 = - c -d - 2e --------------------------------------------(3) Persamaan (1) (2) dan (3) dicari besaran a,b,c dengan tiga persamaan tersebut dihasilkan sebagai berikut; Untuk persamaan ( 2 ) a = 1 – d Untuk persamaan ( 3 ) c = -d – 2e + 2 Untuk persamaan ( 1 ) b = 1 + 3a – c +d –e dimana harga (a) dan (c) sudah didapat diatas sehingga menjadi b = 1 + 3(1-d) – (- d - 2e + 2) +d - e b = 2 - d + e Sehingga persamaan ini R = K.( ρa.lb.vc.μd.ge) mempunyai pangkat a, b, c, d, e akan menjadi

R = K.( ρ(1-d).l(2 – d + e).v( -d -2e + 2).μd.ge)

Gabungkan yang mempunyai pangkat yang sejenis seperti

R = K [( ρ1.l2. v2) (ρ-d. l-d. v-d. μd).( le.v -2e.ge)]


Perhatikan pangkat yang minus dan positif yang ( - ) berarti sebagai penyebut sedangkan yang ( + ) sebagai pembilang. persamaan tersebut menjadi

ed

vgl

vlvlKR ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

22 ...

...ρ

μρ

Maka persamaan tersebut diatas menjadi sebagai berikut ;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

22 .,...

...vgl

vlvlR

ρμφρ terbukti seperti soal diatas. (OK)

contoh-3 ; Debit yang keluar dari lubang orifices diameter D, dengan tingi tekan H bergantung pada kerapatan fluida (ρ ), viskositas dinamik (μ) dan percepatan gravitas (g) buktikan dengan fungsi untukpersamaan tersebut.

( )

edcba gHDKQmaka

gHDfQ

.....

,.,,.

μρ

μρ

=−

=

Analisa dimensi menjadi: gunakan tabel diatas lihat bahwa Q (debit ) = [L3T-1], D (diameter lubang) = [ L ] H (tinggi head) = [ L ] , ρ = [ML-3] ; μ =[ML-1T-1] ; g = [LT-2] sehingga ;

edcba gHDKQ ..... μρ=

[L3T-1] = 1. [(L)a.( L)b.( ML-3)c.( ML-1T-1)d.( LT-2)e]

Harga pangkat/eksponen dari dimensi L adalah L3 = La. Lb. L-3c. L-d. Le 3 = a + b - 3c - d + e ----------------------------------(1) Harga pangkat/eksponen dari dimensi M adalah M0 = Mc. Md. 0 = c + d ---------------------------------------------------(2) Harga pangkat/eksponen dari dimensi T adalah


T-1 = T -d. T -2e - 1 = -d - 2e --------------------------------------------(3) Persamaan (1) (2) dan (3) dicari besaran a,b,c dengan tiga persamaan tersebut dihasilkan sebagai berikut; Untuk persamaan ( 2 ) c = - d Untuk persamaan ( 3 ) e = - 0,5 d + 0,5 Untuk persamaan ( 1 ) 3 = a + b – 3c - d + e dimana harga (c) dan (e) sudah didapat diatas sehingga menjadi 3 = a + b - 3(-d) – d + (- 0,5 d + 0,5) a = - b - 1,5 d + 2,5 Sehingga persamaan ini edcba gHDKQ ..... μρ= mempunyai pangkat a, b, c, d, e akan menjadi

Q = K.( D(- b – 1,5d + 2,5).H b. ρ - d .μd.g(- 0,5 d + 0,5))

Gabungkan yang mempunyai pangkat yang sejenis seperti

Q = K. ( D 2,5 . g 0,5) ( D- b .H b). (ρ - d .D – 1,5d .μd.g- 0,5 d )

Perhatikan pangkat yang minus dan positif yang ( - ) berarti sebagai penyebut sedangkan yang ( + ) sebagai pembilang. persamaan tersebut menjadi

db

gDDHgDDKQ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

21

23

21

212

......

ρ

μ

Jika persaman tersebut diatas dikalikan dengan 2

1

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

DH

DH

akan dihasilkan persamaan baru sebagai berikut ;

db

gDDHDHgDDKQ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

−−

21

23

21

21

21

21

212

........

ρ

μ


Jika persamaan diatas dimanipulasi dengan mengalikannya dengan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2.4

2.4

π

π

maka akan menghasilkan persamaan baru ;

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

−

2.4

2.4

........

21

23

21

21

212

π

π

ρ

μd

b

gDDHHgDKQ

db

gDDHHgDKQ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

21

23

212

......2.

4...

24

ρ

μππ

( )d

b

gDDHHgAKQ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

21

23

21

......2...

24

ρ

μπ

( )...2... HgACdQ =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

23

..,.

gDDHCd

ρ

μφ

dimana ; Cd = koeffisien pengaliran A = luas penampang oriffice H = tinggi muka air terhadap oriffice (tinggi head)


Metode Buckingham (Cara phi teori) Cara ini dapat digunakan untuk bentuk konstanta variabel tak berdimensi. Jika m

buah penomena varibel yang mempengaruhi dapat diekspresikan dalam n suku satuan dasar, kemudian dimasukkan kedalam grup m variabel untuk membuktikan (m – n) konstanta tak berdimensi. Oleh Buchingkam konstanta ini disebut sebagai π1, π2, dan π3

i. membandingkan jumlah variabel dengan jumlah satuan dasar dan mendapatkan

konstanta tidak berdimensi, phi teori adalah (jumlah konstanta tak berdimensi) = (jumlah variabel) – (jumlah satuan dasar).

Tabel III- 2 Contoh Jumlah konstanta tak berdimensi

Contoh variabel Jumlah variable Jumlah satuan dasar Jumlah konstanta tak berdimensi

L, g, t L, v, g

P, D, ρ, Q F, D, v, ρ, μ Q, H, g, ν

D, N, μ, p, R l, v, R, μ, g, R

Δp, D, l, ρ, μ, v, t l, v, ρ, μ, E, R

3 3 4 5 4 5 6 7 6

2 (L,T) 2 (L, T)

3 (L, T, M) 3 (L, T, M)

2 (L, T) 3 (L, T, M) 3 (L, T, M) 3 (L, T, M) 3 (L, T, M)

3 = 2 = 1 3 – 2 = 1 4 – 3 = 1 5 – 3 = 2 4 – 2 = 2 4 – 3 = 1 6 – 3 = 3 7 – 3 = 4 6 – 3 = 3

ii. Menyeleksi variabel pengulangan. Jumlah variabel pengulangan akan seimbang dengan jumlah satuan dasar variabel pengulangan dengan satu atau lebih satuan dasar dan tak harus dikurangi dengan parameter tak berdimensi.

iii.Variabel pengulangan selanjutnya diseleksi. Pilihan yang benar akan mendapatkan bentuk geometrik seperti L dan d dalam fluida (ρ, μ) untuk aliran adalah v, sehingga pilihan ini akan baik bila diambil sebagai l,d,v, ρ aliran fluida.

iv.Variabel pengulangan setiap harga index dalam group dengan bentuk variabel pengulangan konstanta tak berdimensi.

contoh : variabel F, D, v, ρ, g, μ = ada 6 variabel satuan dasarnya ada 3 (LMT), dengan demikian akan menghasilkan konstanta tak berdimensi= 6 – 3 = 3 buah untuk itu variabel pengulangannya adalah D, v, dan ρ

π1 = Da1 vb1 ρc1. F π2 = Da2 vb2 ρc2 g π3 = Da3 vb3 ρc3 μ


contoh : Asumsikan bahwa gaya viskositas dari sebuah benda bulat yang masuk kedalam fluida berdiameter D, bergantung pada viskositas(μ), kerapatan massa fluida(ρ), dan kecepatan jatuh bola (v), buktikanlah. F tergantung pada D,v, ρ, μ penyelesaian : F = φ (D,v, ρ, μ) ; Variabelnya ada (F, D,v, ρ, μ) = 5 buah Satuan dasarnya L M T = 3 buah Jadi jumlah konstanta tak berdimensi = 5 - 3 = 2 Pilihan variabel berulang adalah D, v, dan ρ

π1 = Da1 vb1 ρc1. F π2 = Da2 vb2 ρc2 μ F = φ (D, v, ρ, μ)

analisa π 1

LO MO TO = [L]a1 [L.T-1]b1 [M.L-3]c1 [M.L.T-2] untuk satuan L -- 0 = a1 + b1 - 3c1 + 1 untuk satuan M -- 0 = c1 + 1 jadi c1 = -1 untuk satuan T -- 0 = - b1 – 2 jadi b1 = -2 dan harga a1 = -2 π 1 = F (.D-2 v-2 ρ-1) atau π1 = F/(D2 v2 ρ)

analisa π 2

LO MO TO = [L]a2 [L.T-1]b2 [M.L-3]c2 [M.L-1.T-1] untuk satuan L -- 0 = a2 + b2 - 3c2 - 1 untuk satuan M -- 0 = c2 + 1 jadi c2 = -1 untuk satuan T -- 0 = - b2 - 1 jadi b2 = - 1 dan harga a2 = - 1 π 2 = μ (.D-1 v-1 ρ-1) atau π2 = μ /(D v ρ)

π1 = f (π 2) F/(D2 v-2 ρ) = f. (μ /(D v ρ)) F = (D2 v-2 ρ) f (μ /(D v ρ)) F = (D2 v-2 ρ) φ ( (D v ρ)/ μ ) jika dibalik fungsi f, maka didapat persamaaan F = (D2 v-2 ρ) φ (Re) tanda φ adalah transformasi


contoh : Sebuah benda tercelup sebagian didalam air, asumsikan gaya gesekan ( R ) bergerak bergantung kepada kerapatan fluida (ρ), panjang benda tercelup(l), kecepatan benda jatuh (v), viskositas(μ), dan kecepatan gravitasi(g), Buktikan bahwa persamaan tersebut mengikuti persamaan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

22 ..,...

...vgl

lvvlR

ρμφρ

Penyelesaian ; R = fungsi dari (ρ, l, v, μ, g) Variabelnya ada (R, l,v, ρ, μ, g) = 6 buah Satuan dasarnya L M T = 3 buah Jadi jumlah konstanta tak berdimensi = 6 - 3 = 3 Pilihan variabel berulang adalah ρ, l , dan v

π1 = la1 vb1 ρc1. R π2 = la2 vb2 ρc2 μ π3 = la3 vb3 ρc3 g R = f (ρ, l, v, μ, g) Satuan R gaya tahanan adalah lihat ditabel III-1 adalah MLT-2

analisa π 1

LO MO TO = [L]a1 [L.T-1]b1 [M.L-3]c1 [M.L.T-2] untuk satuan L -- 0 = a1 + b1 - 3c1 + 1 untuk satuan M -- 0 = c1 + 1 jadi c1 = -1 untuk satuan T -- 0 = - b1 – 2 jadi b1 = -2 dan harga a1 = -2 π 1 = R (.l-2 v-2 ρ-1) atau π1 = R/(l2 v2 ρ)

analisa π 2

LO MO TO = [l]a2 [L.T-1]b2 [M.L-3]c2 [M.L-1.T-1] untuk satuan L -- 0 = a2 + b2 - 3c2 - 1 untuk satuan M -- 0 = c2 + 1 jadi c2 = -1 untuk satuan T -- 0 = - b1 – 2 - 1 jadi b2 = - 1 dan harga a2 = - 1 π 2 = μ (.l-1 v-1 ρ-1) atau π2 = μ /(l v ρ)


analisa π3

LO MO TO = [l]a3 [L.T-1]b3 [M.L-3]c3 [.L.T-2] untuk satuan L -- 0 = a3 + b3 - 3c3 - 1 untuk satuan M -- 0 = c3 untuk satuan T -- 0 = - b3 – 2 jadi b3 = - 2

maka a3 = - b3 + 3c3 + 1 a3 = - (-2) + 3 (0) + 1 a3 = 1

π 3 = l1 v -2 ρ0 ) atau π3 = (g .l )/ v2 maka π1 = φ (π2, π3 ) R/(l2 v-2 ρ) = φ ( μ /(l v ρ), (g .l )/ v2 )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

22 .,..

...vgl

vlvlR

ρμφρ OK terbukti

contoh : Dengan menggunakan teori Buckingham bahwa kecepaan aliran dari lubang orifice adalah mengikuti persamaan sebagai berikut ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

HVHDHgV

..,..2ρ

μφ

dimana ; H = tinggi tekan (Head), D = diameter lubang orifice, ρ = kerapatan flyuida, dan g = percepatan gravitasi. Penyelesaian ; V = fungsi dari (H, ρ, D, μ, g) Variabelnya ada (V, H, D, ρ, μ, g) = 6 buah Satuan dasarnya L M T = 3 buah Jadi jumlah konstanta tak berdimensi = 6 - 3 = 3 Pilihan variabel berulang adalah H, ρ, dan g

π1 = Ha1 ρb1 gc1. V π2 = Ha2 ρb2 gc2 D π3 = Ha3 ρb3 gc3 μ

satuan untuk V = L.T-1 lihat ditabel III-1


analisa π 1

LO MO TO = [L]a1 [M.L-3]b1 [L.T-2]c1 [L.T-1] untuk satuan L -- 0 = a1 - 3b1 + c1 + 1 untuk satuan M -- 0 = b1 untuk satuan T -- 0 = - 2c1 – 1 jadi c1 = - 1/2

maka 0 = a1 - 3b1 + c1 + 1 a1 = + 3 (0) - ( -1/2) - 1 a1 = -1/2

π 1 = V (H - 1/2 ρ0 g -1/2.) atau π1 = V/( H1/2 g 1/2)

analisa π 2

LO MO TO = [L]a2 [M.L-3]b2 [L.T-2]c2 [L] untuk satuan L -- 0 = a2 - 3b2 + c2 + 1 untuk satuan M -- 0 = b2 untuk satuan T -- 0 = - 2c2 jadi c2 = 0

maka 0 = a2 - 3b2 + c2 + 1 a2 = + 3 (0) - ( 0) - 1 a2 = -1

π2 = D (H -1 ρ0 g0) atau π2 = D/ H

analisa π3

LO MO TO = [L]a3 [M.L-3]b3 [L.T-2]c3 [M.L -1.T-1] untuk satuan L -- 0 = a3 - 3b3 + c3 - 1 untuk satuan M -- 0 = b3 + 1 jadi b3 = - 1 untuk satuan T -- 0 = - 2c3 – 1 jadi c3 = - 1/2

maka 0 = a3 - 3b3 + c3 - 1 a3 = + 3( - 1) - ( - 1/2) + 1 a3 = - 3/2

π3 = μ ( H -3/2 ρ -1 g -1/2 ) atau π3 = μ /( H 3/2 ρ 1 g 1/2 ) dapat dirubah menjadi π3 = V/( H1/2 g 1/2) x μ /( ρ.V H) nilainya seimbang

π3 = π 1 . μ /( ρ.V)

maka π1 = f (π2, π3 ) π1 = f ( D/ H , π 1. μ /(ρ.V H )) π1 = f ' ( D/ H , μ /(ρ.V H ))


V/( H1/2 g 1/2) = f ' ( D/ H , μ /(ρ.V H )) V = (H1/2 g 1/2) f ' ( D/ H , μ /(ρ.V H )) jika dikalikan dengan √2 maka tidak akan merubah fungsi ( f ’ ) dengan demikian persamaan menjadi ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

HVHDHgV

..,...2

ρμφ OK terbukti

contoh : Perubahan ( Δp) tekanan didalam pipa berdiameter (D) dan panjangnya adalah ( l ) tergantung pada kerapatan ( ρ ), viskositas (μ) dan kecepatan rata-raa aliran (v) dan rata-rata tinggi dari tonjolan pipa ( t ). Buatlah persamaan perubahan tekanan tersebut. Penyelesaian ; Δp = fungsi dari (D, l , ρ, μ, v, t ) Variabelnya ada (Δp , D, l , ρ, μ, v, t ) = 7 buah Satuan dasarnya L M T = 3 buah Jadi jumlah konstanta tak berdimensi = 7 - 3 = 4 Pilihan variabel berulang adalah D, ρ, dan v

π1 = Da1 ρb1 vc1. Δp π2 = Da2 ρb2 vc2 l π3 = Da3 ρb3 vc3 μ π4 = Da4 ρb4 vc4 t

analisa π 1

LO MO TO = [L]a1 [M.L-3]b1 [L.T-1]c1 [M.L-1.T-2] untuk satuan L -- 0 = a1 - 3b1 + c1 - 1 untuk satuan M -- 0 = b1 + 1 jadi b1 = - 1 untuk satuan T -- 0 = - 1c1 – 2 jadi c1 = - 2

maka 0 = a1 - 3b1 + c1 - 1 a1 = + 3 (- 1) - ( -2) + 1 a1 = 0

π1 = Δp (D0 ρ -1 v - 2.) atau π1 = Δp /(ρ v .)

analisa π 2

LO MO TO = [L]a2 [M.L-3]b2 [L.T-1]c2 [L] untuk satuan L -- 0 = a2 - 3b2 + c2 + 1 untuk satuan M -- 0 = b2 untuk satuan T -- 0 = - 1c2 jadi c2 = 0


maka 0 = a2 - 3b2 + c2 + 1 a2 = + 3 ( 0) - ( 0 ) - 1 a2 = - 1

π2 = l (D -1 ρ 0 v 0 ) atau π2 = = l / D

analisa π 3

LO MO TO = [L]a3 [M.L-3]b3 [L.T-1]c3 [M.L-1.T-1] untuk satuan L -- 0 = a3 - 3b3 + c3 - 1 untuk satuan M -- 0 = b3 + 1 jadi b3 = - 1 untuk satuan T -- 0 = - 1c3 – 1 jadi c3 = - 1

maka 0 = a3 - 3b3 + c3 - 1 a3 = + 3 (- 1) - ( - 1) + 1 a3 = - 1

π3 = μ (D -1 ρ - 1 v - 1 ) atau π3 = μ / (D. ρ .v)

analisa π 4

LO MO TO = [L]a4 [M.L-3]b4 [L.T-1]c4 [.L.] untuk satuan L -- 0 = a4 - 3b4 + c4 + 1 untuk satuan M -- 0 = b4 untuk satuan T -- 0 = - 1c4 maka c4 = 0

maka 0 = a4 - 3b4 + c4 + 1 a4 = + 3 ( 0 ) - ( 0 ) - 1 a4 = - 1

π4 = t (D -1 ρ 0 v 0 ) atau π4 = t / D

maka π1 = φ (π2, π3, π4 )

Δp /(ρ v .) = φ ( l / D , μ / (D. ρ .v) , t / D ) Δp = (ρ v .) φ ( l / D , μ / (D. ρ .v) , t / D )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

Dt

vDDlvp .,.

...,...

ρμφρ


Metode Matriks (Matrix theori) Contoh perhitungan Matrik : Sebuah kapal bergerak dengan tenaga F merupakan fungsi dari d (diameter baling2), V (kecepatan kapal), ρ (rapat massa air), g (gravitasi bumi), N( putaran baling-baling), m (viskositas dinamic air), σ (tegangan permukaan air/ fluida). Tentukan persamaan yang mengikutinya dalam bentuk fungsi Penyelesaian : Persamaan untuk fungsi dari Tenaga adalah F = φ (d, V,ρ , g , N, μ, s) Error! Not a valid link. Error! Not a valid link. untuk mendapatkan bentuk persamaan phi diatas adalah dengan mengambil urutan tabel terakhir dengan kolom mulai dari F diletakkan sebagai pembilang, lalu bila tanda dalam kolom tersebut ; ( + ) sebagai penyebut ( - ) sebagai pembilang

d

F

N= putaran baling2

V, , , g, ρ σ μ


Contoh perhitungan Heat transfer;

Error! Not a valid link. Error! Not a valid link.

Model Analysis (Analisa model) Model analisa ini akan membuat para disain/ para experiment mendapatkan informasi yang mendekati kebenaran sebelum memulai melaksanakan pekerjaan yang sesungguhnya, dan untuk mendapatkan pengaruh yang akan ditimbulkannya. Dengan demikian dapat memberikan perbandingan pemodelan konstruksi menjadi tidak bergitu mahal, untuk mendapatkan alaternatif perencanaan sebelum dilaksanakan sebagai keputusan yang tepat. Model adalah hanya merupakan sumber penyelesaiakan pendekatan permasalahan konstruksi/ hidrolika. Dengan model ini merupakan jasa berguna untuk mempelajari alternatif perencanaan. Model desain ini sering digunakan pada umumnya untuk kegiatan-kegiatan sebagai berikut ;

- Perencaaan Bendungan - Perencaaan Sungai dan pelabuhan - Perencaaan mesin hidolik - Perencaan struktur - Perencaan kapal - Perencaan rembesan air dalam tanah

Untuk merencanakan memodelkan suatu kegiatan perlu dipilih skala model peruntukannya sebagai berikut ;

a. Ruang yang akan dipakai untuk pemodelannya b. Ketersediaan julah air yang ada pada laboratorium c. Tipe hasil yang diinginkan ( mutu dan jumlah) d. Besarnya pengeluaran yang digunakan

berbagai skala yang umum digunakan adalah


1 : 30 sampai dengan 1 : 400 untuk bangunan Bendungan dan Bendung 1 : 5 sampai dengan 1 : 25 pekerjaan tekanan, perpipaan, valves, pintu air dan

saluran terbuka 1 : 100 sampai dengan 1 : 1000 untuk pekerjaan sungai, pelabuhan dan muara. Uji coba keserupaan ditentukan oleh analisa dimensi variable bebas yang mempengaruhi permasalahan. Jika semua dimensi varaibel bebas mempunyai nilai yang sama untuk model dan prototipe maka keduanya dikatakan absolut mirip. Pada gelombang air ada pengaruh tegangan permukaan air sebesar 25 mm, akan tetapi pada prototipe karena dimodelkan dengan skala yang kecil maka tegangan permukaan diabaikan, pengaruh ini disebut sebagai effek scala. Keserupaan (Similitude.) Jika dua buah benda model dan prototipe yang mempunyai perilaku pengaruhnya yang serupa disebut kemiripan. Kemiripan ini dapat berupa ; 1. Geometric similarity, yang dimaksud adalah kemiripan bentuk dan dimensinya adalah linier. ( seperti panjang, lebar, tinggi, kedalaman air). Ratio/ perbandingan antara keduanya menjadi sebagai berikut :

p

m

p

m

p

m

p

m

hh

dd

bb

ll

===

2. Kinematic similarity, yang dimaksud adalah kemiripan gerak dari satu titik ketitik yang lainnya, dapat berupa kecepatan, percepatan, debit dan waktu yang diperlukan, sehingga ratio antara model dan prototipenya sebagai berikut ;

3

3

2

2

1

1

p

m

p

m

p

m

vv

vv

vv

== untuk kecepatan

3

3

2

2

1

1

p

m

p

m

p

m

ff

ff

ff

== untuk percepatan

3

3

2

2

1

1

p

m

p

m

p

m

qq

qq

qq

== untuk debit aliran

3

3

2

2

1

1

p

m

p

m

p

m

tt

tt

tt

== untuk waktu


3. Dynamic similarity, yang dimaksud adalah kemiripan pada massa dan gaya. Dengan catatan bahwa;

a. Hubungan ratio gerakan massa partikel fluida adalah sama b. Hubungan ratio gaya massa partikel fluida adalah sama.

Dinamika kemiripan ini adalah dengan sendirinya sudah termasuk

Inertial Force Fi Gravitational Force Fg Viscous Force Fν Pressure Force Fp Surface Tensile Force Ft Elastic Force Fe

Gaya inersial adalah penjumlahan gaya massa fluida dan percepatannya.

etpvgi FFFFFF ++++= Kondisi kemiripan dinamik tersebut adalah sebagai berikut ;

( )( )

( )( )

( )( )pv

mv

pg

mg

pi

mi

FF

FF

FF

==

( )( )

( )( )

( )( )pt

mt

pp

mp

pi

mi

FF

FF

FF

==

( )( )

( )( )pe

me

pi

mi

FF

FF

=

Kondisi diatas dapat diekspresikan sebagai berikut

( )( )

( )( )

pg

i

mg

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ------------------------( i )

( )( )

( )( )

pv

i

mv

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ------------------------( ii )


( )( )

( )( )

pp

i

mp

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ------------------------( iii )

( )( )

( )( )

pt

i

mt

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ------------------------( iv )

( )( )

( )( )

pe

i

me

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ------------------------( v )

Semua gaya-gaya tersebut diatas merupakan fungsi variabel tetap. Variabel yang mempengaruhi gaya-gaya tersebut di klasifikasikan dalam tiga tipe ;

a. Linear dimensions ( l = panjang ) didefinikan sebagai kondisi batas geometrik. b. Fluid Properties ( ρ, μ, λ, E ) disebut sebagai kerapatan fluida, viskositas,

tegangan permukaan, dan elastisitas. c. Kinematic and dynamic characteristics of flow ( v, p, g ) disebut sebagai

kecepatan aliran, intensitas tekanan, percepatan gravitasi. 1. Inertial Force (Fi) = massa * percepatan

( )dsdvvlFi .... 3ρ=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

cedisvelocityvelocitylFi tan

*.. 3ρ

( ) 222

3 ....... vll

vlFi ρρ ==

2. Gravitational Force ( )glgmFg ...... 3ρ== 3. Viscous Force AreasShearStresFv *.=


AreaadientvelocitygrFv **..μ=

Areacedis

velocityFv *tan

*..μ=

2**.. llvFv μ=

vlFv ..μ= 4. Pressure Force AreaensityessureFp *intPr.= 2.. lpFp = 5. Surface Tensile Force LengthsionSurfacetenFt *.= lFt ...λ=

6. Elastic Force

AreaStressFe *.= AreaStressElasticityofModulusStrainFe *. −−−= 2.. lEFe = Catatan bahwa tidak semua hasil persamaan kemiripan ini dapat secara langsung digunakan akan memuaskan seperti ;

( )( )

( )( )

pg

i

mg

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

tidaklah serta merta akan terjadi pada persamaan berikut ini


( )( )

( )( )

pv

i

mv

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Keserupaan dinamik tidak dapat secara praktis dapat digunakan. Untuk penyelesaiannya maka secara praktis kita harus memilah dari beberapa penomena yang ada karena hanya satu gaya yang bekerja lebih dominan. Froude’s Law Sewaktu gaya gravitasi yang doniman bekerja pada model dan prototipe, maka ratio gaya yang bekerja menjadi :

( )( )

( )( )

pg

i

mg

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( )( ) lg

vglvl

FF

v

i

..

.... 2

3

22

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

pm lg

vlg

v⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

..

22

pm

lgv

lgv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

..

.

Jumlah ini disebut dengan bilangan Froude = lg

v.

sehingga bilangan Froude model sama dengan bilangan Froude untuk prototipe Didasarkan pada kondisi keseimbangan bilangan Froude pada model dan protipe kita dapat menentuan faktor skala dari perbandingan beberapa keperluan ; Misalkan kita perlukan skala faktor untuk panjang adalah n

nLL

m

p =


Faktor skala untuk kecepatan menjadi

pm

lgv

lgv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

..

.

2

1

21

21

....

.. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

m

p

m

p

m

p

m

p

ll

l

l

lg

lg

vv

( ) 21

nvv

m

p =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Faktor skala untuk waktu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

1....n

n

vv

ll

vl

vl

TT

m

p

m

p

m

m

p

p

m

p

21

21 ... n

n

nTT

m

p =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Faktor skala untuk Debit

2

1

2

2

.....

. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

m

p

m

p

mm

pp

m

p

ll

ll

vAvA

QQ

( ) ( ) 5,2212 ... nnn

QQ

m

p ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Faktor skala untuk percepatan

2

1

21

1...

tan

tan

.

n

n

TT

vv

waktukecepaperubahan


aa

p

m

m

p

m

p

m

p =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


1..1

.2

1

21

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n

naa

m

p

Faktor skala untuk gaya

333

3

..1..... nnaa

ll

FF

m

p

m

p

m

p ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Faktor skala untuk Usaha ; (Enerji, Momen dan Torsi)

( )( ) 43 .......

. nnnlFlF

WW

mm

pp

m

p ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Faktor skala untuk Tenaga

( )( ) =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

.

..

m

p

m

p

m

p

TlFT

lF

waktuKerja

waktuKerja

PP

( )( ) ....

.

.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

m

m

p

m

p

m

p

m

p

TT

ll

FF

TlFT

lF

PP

5,3

21

3 ..1... nn

nnPP

m

p ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Hukum Froude hanya berlaku bila terjadi hanya gaya gravitasi yang dominan.


Tabel III – 3 Faktor Skala berdasarkan Hukum Froude

No. Quantity Symbol Scale Factor Model Prototype A. Geometric 1. Panjang lm lp (lp/lm) = n 2. Luasan Am Ap (Ap/Am) = n2 3. Volume Vm Vp (Vp/Vm) = n3 4. Kemiringan im ip (ip/Vm) = 15. Sudut θm θp (θp/θm) = 1 B. Kinematic 6. Kecepatan Linier vm vp (vp/vm) = n0,5 7. Waktu Tm Tp (Tp/Tm) = n0,5 8. Kecepatan Sudut ωm ωp (ωp/ωm) = n- 0,5 9. Percepatan Linier am ap (ap/am) = 1 10. Percepatan Sudut αm αp (αp/αm) = 1/n 11. Debit Qm Qp (Qp/Qm) = n2,5 C. Dynamic 12. Massa Mm Mp (Mp/Mm) = n3 13. Gaya Berat Fm Fp (Fp/Fm) = n3 14. Usaha, Enerji, Torsi Em Ep (Fp/Fm) = n4 15. Tenaga/ Daya Pm Pp (Pp/Pm) = n3,5

Reynolds Law Jika gaya yang dominan, model akan memberikan kmiripan dinamik pada proptotipe. Perbandingan antara gaya inersial dan gaya viskositas adalah menjadi sebagai berikut;

( )( )

( )( )

pv

i

mv

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( )( ) μ

ρμ

ρ ....... 22 lvlvvl

FF

v

i =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

pm

lvlv⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρμ

ρ ....

Jumlah ini disebut dengan bilangan Reynold = μ

ρ..lv


Misalkan kita diperlukan skala faktor untuk panjang adalah n

nLL

m

p =

Faktor skala untuk kecepatan menjadi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

ppp

m

mmm lvlvμ

ρμ

ρ ...

..

1.1.1...nl

lvv

m

p

p

m

p

m

m

p =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μμ

ρρ

1..1. −==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

nvv

m

p

Faktor skala untuk waktu

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n

n

vv

ll

vl

vl

TT

m

p

m

p

m

m

p

p

m

p

1....

21 ... n

nn

TT

m

p =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Faktor skala untuk Debit

( )12

2

.....

. −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

ll

vAvA

QQ

m

p

mm

pp

m

p


( ) ( ) nnnQQ

m

p ... 12 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

Faktor skala untuk percepatan

2

1

21

1...

tan

tan

.

n

n

TT

vv



aa

p

m

m

p

m

p

m

p =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1..1

.2

1

21

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n

naa

m

p

Faktor skala untuk gaya

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

m

p

m

p

m

p

m

p

mm

pp

m

p

aa

ll

aa

ll

amam

FF

......

....

. 2

3

2

3

ρρ

332

3

..1..... nnaa

ll

FF

m

p

m

p

m

p ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Faktor skala untuk Usaha ; (Enerji, Momen dan Torsi)

( )( ) 43 .......

. nnnlFlF

WW

mm

pp

m

p ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Faktor skala untuk Tenaga

( )( ) =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

.

..

m

p

m

p

m

p

TlFT

lF

waktuKerja

waktuKerja

PP


( )( ) ....

.

.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

p

m

m

p

m

p

m

p

m

p

TT

ll

FF

TlFT

lF

PP

5,3

21

3 ..1... nn

nnPP

m

p ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Persamanaan ini digunakan pada ;

i. aliran dalam pipa tertutup incompresibel ii. gerakan body tenggelam didalam air iii. gerakan pesawat terbang iv gerakan fluida pada body tenggelam penuh.

Mach Law Jika gaya yang dominan adalah gaya tekanan, model akan memberikan kemiripan dinamik pada proptotipe. Perbandingan antara gaya inersial dan gaya tekanan adalah menjadi sebagai berikut;


( )( )

( )( )

pp

i

mp

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( )( ) p

vlpvl

FF

p

i2

2

22 ...... ρρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

..... 22

pm pv

pv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρρ

..

..

.

pmpv

pv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρρ

Jumlah ini disebut dengan bilangan Mach = ..

.⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρpv

Penggunanaan Hukum Mach adalah untuk

i. Testing Aerodynamic ii. Aliran gas melewati kecepatan suara . iii.Water Hammer problems

Cauchy Law Jika gaya yang dominan adalah gaya elastik, model akan memberikan kemiripan dinamik pada proptotipe. Perbandingan antara gaya inersial dan gaya elastik adalah menjadi sebagai berikut;


( )( )

( )( ) p

i

me

i

FeF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( )( ) E

vlEvl

FF

e

i2

2

22 ..... ρρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

pm E

vEv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 22 ... ρρ

pm

Ev

Ev

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ρρ

...

Jumlah ini disebut dengan bilangan Cauchy = ..

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ρEv

Penggunanaan Hukum Euler adalah untuk i. Kenaikan tekanan akibat penutupan valve ii. Debit yang melewati orifices, pothpuiec es dan sluice.

Weber Law Jika gaya yang dominan adalah gaya tegangan permukaan, model akan memberikan kemiripan dinamik pada proptotipe. Perbandingan antara gaya inersial dan gaya tegangan permukaan adalah menjadi sebagai berikut;

( )( )

( )( )

pt

i

mt

i

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛


( )( ) λ

ρλ

ρ 222 ...... vllvl

FF

e

i =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

pm

vlvl⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

ρλ

ρ 22 .....

pml

v

l

v

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

.

..

.

.

ρλ

ρλ

Jumlah ini disebut dengan bilangan Weber = .

.

.

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

l

v

ρλ

Penggunanaan Hukum Weber adalah untuk

i. Pergerakan air kapiler dalam tanah ii. Aliran cairan sangat tipis pada lapisan permukaan iii.Aliran pada bendung dengan tinggi tekan yang kecil sekali iv.Pancaran cairan yang keluar dari pipa membuat formasi cairan jatuh

contoh : Sebuah pelimpah akan dibangun dengan keserupaan geometric dengan skala 1 : 50 flume yang digunakan selebar 60 cm. Prototipe yang direncanakan adalah tinggi pelimpah 15 m dan tinggi muka air diatas pelimpah/ head 1,5 m Pertanyaannya ;

a. Berapakah tinggi dan head model yang diinginkan b. Jika air melimpas diatas model dengan debit yang diberikan sebesar 12 liter/detik

berapa debit dilapangan per meter panjang pelimpah. c. Jika tekanan negatif pada model 20 cm , berapa besarnya tekanan negatif pada

lapangan/ prototipe Penyelesaian ; Skala linier adalah sebesar n = 50

prototype Model lp = ? (lebar pelimpah dilapangan) hp = 15 m (tinggi pelimpah) Hp = 1,50 m (tinggi air diatas pelimpah) Qp = ? σ p = ? (tekanan negatif pelimpah)

lm = 60 cm = 0,60 m hm = ? (tinggi pelimpah) Hm = ? Qm = 12 lt/det σ m = - 20 cm = 0,2 m


Untuk skala gunakan tabel III-3 Panjang pelimpah pada prototype/ di lapangan lp/lm = 50, lp = (0,6) .50 = 30 m Tinggi model adalah hp/hm = 50 hm = hp/50 = 15/50 = 0,30 m Tinggi tekan model/ Head Hp/Hm = 50 ; Hm = 1,50/50 = 0,03 m Debit yang melimpas pada prototype/ dilapangan Qp/Qm = n 2,5 ; Qp = Qm .(n 2,5 )

Qp = 12 . (50 2,5) = 212132,03 lt/det

Debit persatuan meter panjang prototype/ dilapangan Qp = 212132,03 / 30 = 7071,067 lt/det

Tekanan negatif prototype / dilapangan adalah σp/ σm = n ; σp = 50. (- 0,20) = - 10 m Hal ini menjadikan tidak praktis, karena tekanan negatif yang terjadi sebenarnya sebesar – 7,5 m bila diambil tinggi pelimpah 15 m karena tekanan negatif itu adalah 0,5 hp. ρair = 0,5. 15. 1 = 7,5 m, akan tetapi jika termasuk tinggi air diatas pelimpah (head) yang sebesar 1,5, maka tekanan negatif menjadi 0,5. (15 +1,5). 1 = 8,25 m contoh : Sebuah benda tercelup didalam air berbentuk bola dengan diameter (D), tentukan gaya gesekan ( R ) bergerak bergantung kepada kerapatan fluida (ρ), kecepatan benda jatuh (v), dan viskositas(μ). Buktikan bahwa persamaan tersebut mengikuti persamaan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

.

.....2

μρφ

ρμ vDR

Asumsikan bahwa untuk kecepatan yang kecil dari bola adalah

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρπμ

ρφ ...3....... vDvD

Hitung viskositas fluida disekitar bola baja dengan diameter 15 mm jatuh dengan kecepatan seragam digambarkan untuk jarak 50 cm ditempuh dalam 10 detik. Gravitasi spesifik baja = 7,85 dan fluida 0,90. Penyelesaian ;

R = f ( D, v, ρ, μ ) R = φ (D,v, ρ, μ) ; Variabelnya ada (R, D,v, ρ, μ) = 5 buah Satuan dasarnya L M T = 3 buah


Jadi jumlah konstanta tak berdimensi = 5 - 3 = 2 Pilihan variabel berulang adalah D, v, dan ρ

π1 = Da1 vb1 ρc1. R π2 = Da2 vb2 ρc2 μ

analisa π 1

LO MO TO = [L]a1 [L.T-1]b1 [M.L-3]c1 [M.L.T-2] untuk satuan L -- 0 = a1 + b1 - 3c1 + 1 untuk satuan M -- 0 = c1 + 1 jadi c1 = -1 untuk satuan T -- 0 = - b1 – 2 jadi b1 = -2 dan harga a1 = -2 π 1 = R (.D-2 v-2 ρ-1) atau π1 = R/(D2 v2 ρ)

analisa π 2

LO MO TO = [L]a2 [L.T-1]b2 [M.L-3]c2 [M.L-1.T-1] untuk satuan L -- 0 = a2 + b2 - 3c2 - 1 untuk satuan M -- 0 = c2 + 1 jadi c2 = -1 untuk satuan T -- 0 = - b1 – 2 - 1 jadi b2 = - 1 dan harga a2 = - 1 π 2 = μ (.D-1 v-1 ρ-1) atau π2 = μ /(D v ρ)

π1 = f (π 2) R/(D2 v2 ρ) = f. (μ /(D v ρ)) R = (D2 v2 ρ) f (μ /(D v ρ)) jika dibalik fungsi f, maka didapat persamaaan R = (D2 v2 ρ) f ’ ( (D v ρ)/ μ ) jika persamaan dikalikan dengan (μ2/ ρ ), maka didapat persamaaan R = (μ2/ ρ ) .((D2 v2 ρ2)/μ2) f ‘ ((D v ρ)/ μ) R = (μ2/ ρ ). φ ((D v ρ)/ μ) tanda φ adalah fungsi baru Untuk kecepatan yang lemah adalah φ ((D v ρ)/ μ) = 3 π ((D v ρ)/ μ) diketahui pada soal diatas. R = (μ2/ ρ ). 3 π ((D v ρ)/ μ) R = 3 π ( μ D v )

Bila bola baja bergerak dengan kecepatan seragam/ tetap resultante gaya pada benda adalah nol


Berat benda bersih = gesekan viskositas ( γsteel – γ fluid ) (π.D3)/6 = 3 π ( μ D v )

( )v

Dfluidsteel

.18. 2γγ

μ−

=

( )

)5.(18)15,0.(90,085,7 2−

=μ

( ) 81,9.

)5.(18)15,0.(90,085,7 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=μ poise satuan viskositas dinamik

μ = 1,704 poise

Gerakan gesekan pada body yang tercelup sebagian. Contoh gambarannya adalah kapal, gesekan body digambarkan sebagai

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

lgvvlvlR

..,........

222

μρφρ

( )FrvlR .,.Re..... 22 φρ=

Gesekan R berisi dua macam yakni gesekan permukaan Rf dan gerlombang yang ditimbulkan oleh gesekan kapal Rw . Gesekan permukaan berfungsi sebagai bilangan Reynold (Re), gesekan gelombang berfungsi sebagai bilangan Froud (Fr) Persyaratan ini dikondisikan sebagai keserupaan dinamik antara model dan prototype adalah ;

pmlg

vlg

v⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

..

.

pm

lvlv⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρμ

ρ .... untuk bilangan Froude dan Reynold

Secara cepat kondisi keseimbangan bilangan Froude dapat dinyatakan dalam kecepatan adalah sebagai berikut ;


pp

mm v

ll

v ... = dimana

nLL

m

p = lihat tabel III – 3 sehingga

pm vn

v .1.. =

Untuk bilangan Reynold dapat dituliskan (lihat tabel III – 3) sebagai berikut ;

pm vnv ... =

Kecepatan disyaratkan untuk model berbeda untuk kedua kondisi. Keserupaan dinamik tidak dapat digambarkan antara model dan prototipe. Untuk mempelajari gesekan kapal (dan bodi yang tercelup sebagian) dengan mengadopsi persamaan Froude. Sebagai awal bahwa gerakan gesekan dari kapal berisikan; a. Gesekan permukaan Rf b. Gesekan pembuat gelombang Rw Total gesekan adalah R = Rf + Rw untuk prototipe. rf dan rw hubungan antara gesekan permukaan dan pencipta gelombang untuk model, totaal gesekan untuk model menjadi

r = rf + rw Untuk bilangan Froude Tahanan gesekan = F x ( Luas permukaan kontak) x (Velocity)n dimana F dan n adalah konstan tergantung pada material dan kapal dan medium yang dilewati. Konstanta f dan n dapat dicari dengan melakukan beberapa kali percobaan pada towing tank yang panjang dengan lapisan material yang tipis dari kapal di air. Akan menghasilkan gelombang yang yang kecil dan dapat diabaikan. Setelah mendapatkan nilai F dan n, tahanan gesekan dapat dihitung seperti rumus diatas. Total gesekan untuk r model dapat menghasilkan bahwa besarnya rw dicari dengan seabagai berikut ;

rw = r - rf Kondisi keserupaan diadopsi dari kasus ini dengan kesimbangan bilangan Froude untuk model dan prototipe. Untuk kecepatan model didapatkan dari persamaan

pp

mm v

ll

v ... =

Sekarang kita dapat menentukan gelombang yang diakibatkan oleh gesekan body kapal Rw dari kondisi,


el

w

prototipe

w

vlr

vlR

mod2222 ..

... ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

wm

P

m

P

m

Pw r

vv

ll

R ....22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρ

Setelah mendapatkan Rw kita akan dapat menentukan besarnya total gesekan R

R = Rf + Rw

Dengan demikian didapatkan tenaga yang diperlukan untuk gerakan kapal adalah sebagai berikut ;

Hourse Power (H.P) = (R. vp)/ 75

contoh : Skala 1 : 20 sebuah model kapal yang tercelup diatas air dengan luas permukaan tercelup 5m2 dan panjang adalah 8 m mempunyai total drag adalah 2 kg jika gerakan kapal mempunyai kecepatan 1,5 m/det. Hitung total drag pada prototipe saat bergerak dengan kecepatan spontan. Gunakan hubungan Rf = 0,5 Cf. (ρ. A. v2) untuk menentukan gesekan permukaan kapal. Harga Cf = (0,0735)/ (Re)1/5 Kinematik viskositas air untuk laut 0,01 stokes dan berak spesifik air laut adalah 1000 kg/m3 Penyelesaian ; Skala linier adalah sebesar n = 20

Prototype Model Ap = ? (luas body tercelup rata air) lp = Rp = vp = ? ρp = ? νp = 0,01 stokes (viskositas kinematik dik)

Am = 5 m2 lm = 8 m rm = 2 kg vm = 1,50 m/det ρm = 1 gr/cc νm = 0,01 stokes

Analisa untuk Model Bilangan Reynold (Re) = (vm . lm)/ νm. = (150. 800)/0,01 ; Re = 1,2 E07 Diketahui disoal Cf = (0,0735)/ (Re)1/5 = (0,0735)/(1,2.E07)1/5 ; Cf = 0,00282


Gesekan permukaan kapal adalah diketahui di soal rf = Ff = 0,5 Cf. (ρm. Am. vm

2) = 0,5.(0,00282).(1000/9,81).(5).(1,5)1/5. rf = 1,616 kg

Gelombang yang ditimbulkan oleh gesekan ;

rw = r - rf ; rw = 2 – 1,616 ; rw = 0,384 kg

Analisa untuk prototipe Kondisi kemiripan dinamik

mm

Pp v

ll

v ... = skala diketahui untuk n = 20

);.50,1.(20.. =pv vP = 6,71 m/det

Bilanan Reynold (Re) = (vp . lp)/ νp ; Re = ((6,71.100).(20.8. 100))/0,01

Re = 1,074 E09

Cf = (0,0735)/ (Re)1/5 ; Cf = (0,0735)/ (1,074)1/5 ; Cf = 0,00115

Gesekan permukaan kapal ;

Rf = 0,5 Cf. (ρ. A. v2) ; Rf = 0,5 (0,00115). ((1000/9,81).(202 . 5).( 6,712)) Rf = 5278 kg.

Gesekan yang menimbulkan gelombang (Rw) dengan kondisi keserupaan dinamik adalah

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2222 ..

... mmm

w

ppp

w

vlr

vlR

ρρ

wm

p

m

p

m

pw r

v

v

l

lR .

...

.... 2

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρρ

karena ρp = ρm = 0,01 stokes


( ) .;..

..1.. 2

2

wm

p

m

pw r

ll

l

lR ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ( ) ...1..

3

wm

pw r

ll

R ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ( )( ) ...1.. 3

ww rnR =

( )( ) .384,0.(20.1.. 3=wR Rw = 3072 kg Taotal Gesekan adalah R = Rw + Rf ; R = 3072 + 5278 ; R = 8350 kg

Model Dasar Tetap Model aliran yang tidak dapat mengkikis dasar saluran dan dasar waduk disebut dengan dasar tetap (fixed bed models). Model ini dipergunakan untuk meneliti permasalahan lapisan penutup sepanjang daerah alairan sungai dengan konfigurasi variasi didalam dasar tidak di[pertimbangkan. Model yang digunakan untuk dipelajari adalah ; i). Mempelajari perubahan akibat penempatan penghalang/ pengganggu pada suatu aliran seperi dam, tiang jembatan dan lain-lainnya. ii). Efek kondisi alur pelayaran dan back water selama musim banjir. Model ini sering mengubah kemiringan dasar sesuai dengan gesekan yang kasar dan sehingga menghasilkan tahanan gesekan yang tinggi dengan nilai Reynold menjadi kondisi aliran yang turbulen. Perubahan kemiringan dasar dapat diestimasikan sebagai berikut. Kecepatan arus aliran mengikuti rumus Manning vmanning = (1/n) R2/3. S1/2

. dimana R adalah jari-jari hidrolis, S = kemiringan dasar sungai. dan n = kekasaran Manning.

34

22 .

R

nvS =

Perbandingan model dan prototipe adalah

342

2

2

.. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

m

P

P

m

p

m

P

m

RR

nn

vv

SS

Kita tahu bahwa i adalah merupakan pebandingan antara kedalaman air dan panjang sungai S = d / l


m

P

P

m

p

p

m

m

p

m

ll

dd

ld

ld

SS

... ==

untuk saluran yang mempunyai lebar sungai lebih besar dari pada kedalaman airnya maka harga R = d (syarat d ≤ 0,20 B) B = lebar sungai. sehingga Rp/ Rm = dp/ dm

342

2

2

... ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

m

P

P

m

p

m

m

P

P

m

dd

nn

vv

ll

dd

menjadi

3

422

... ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

m

P

P

m

P

m

m

p

P

m

dd

nn

vv

ll

dd

Untuk kondisi keserupaan dinamik, Bilangan Froude akan mempunyai harga yang sama antara model dan prototipe

p

P

m

m

dgv

dgv

..= atau

p

m

P

m

dd

vv

=2

2

sehingga persamaan diatas menjadi

3422

... ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

m

P

P

m

P

m

m

p

P

m

dd

nn

vv

ll

dd

3

42

... ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

m

P

P

m

P

m

m

p

P

m

dd

nn

dd

ll

dd

menjadi 3

42

... ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

m

P

P

m

m

p

dd

nn

ll

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

m

p

p

m

P

m

ll

dd

nn 3

42

. menjadi 2

132

. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

m

p

p

m

P

m

ll

dd

nn

2

13

2

.−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

p

m

p

m

P

m

ll

dd

nn


Dari hasil ini jika diketahui koeffisien Manning untuk prototipe diketahui maka koeffisien untuk model Manning bisa didapatkan Model Dasar Bergerak Model ini adalah untuk model dengan arus yang menyebabkan erosi pada dasar saluran, dan angkutan sedimen dapat berupa tambahan sedimen dan angkutan sedimen. Model ini agak sulit untuk dirancang karena dan tidak realistis untuk mendapatkan beberapa keadaan. Seperti diketahui bahwa sedimen dasar dapat bergerak akibat adanya arus yang menggeser dasar sungai. Secara model keserupaan geometrikdapat dilihat bahwa gaya seret yang terjadi dapat menggerakkan material pasir didasar sungai/ saluran. Selain arus juga turut menentukan adalah kemiringan dasar sungai tesebut. Untuk mendapatkan angka model dari percobaan dengan perbedaan skala vertikal gunakan material dasar dan akhirnya skala vertikal yang memuaskan menghasilakan secaa umum gerakan material dasar pada debit prototipe yang diinginkan. Skala ini sangat penting sekali untuk mendapatkan bilangan Reynold yang dapat menghasilkan turbulensi aliran pada kejadian debit minimum.Pada kasus ini nilai-nilai yang lain tak berdimensi disebut dengan Bilangan Karman ditentukan kemudian. Bilangan Karman tersebut adalah sebagai berikut.

υSdgK

Rk

..... =

dimana : K = tinggi kekasaran pasir

g = gravitasi bumi S = kemiringan dasar sungai d = kedalaman rata-rata hidrolis sungai ν = kinematik viskositas.

Rk diatas adalah bilangan tak berdimensi biasa disebut juga dengan angka kekasaran Reynold. Besarnya Rk > 50 untuk kekasaran butiran pasir

Rk > 100 untuk kekasaran yang menghasilkan aliran turbulen.

Kita akan mendapatkan hal yang sulit untuk mendapatkan gaya seret untuk material yang sangat ringan dengan berat jenis spesifiknya lebih dari satu satuan. Mateial yang dapat diadopsi sebagai sedimen dasar seperti tepung, batu tambang, debu batu bara, abu batu, bola lilin, serpihan kaca, campurak butiran plastik yang mempunyai spesifik gravitasi yang berbeda. Dengan menggunakan material dasar yang ringan akan menghasilkan selisih yang sangat kecil.


Model Berubah. Model untuk sungai, konstruksi pelabuhan selalu mempunyai skala yang berbeda antara dimensi vertikal dan horizontal.Ini membuat tidak layak untuk mendapatkan keserupaan geometrik, karena keserupaan geometrik untuk keadaan kedalaman air yang dangkal pengukuan debit menjadi kurang akurat, demikian pula untuk tegangan permukaan air tidak dapat diukur. Secara umum mengenalkan perubahan pada model mengikuti beberapa tipe ; a. Geometric distortion. dari sejak awal sudah ditentukan perbedaan scala untuk horizontal dan vertikal. b. Configuration distortion, pada kasusu ini kemiringan dasar sungai ditambahkan, sebaliknya dengan keserupaan geometrik. Kasusu ini menempatkan model keserupaan geometrik kedalam posisi membandingkan pada prototipe. c. Hydraulic distortion, perubahan tipe seperti beberapa hidrolika yakni kecepatan aliran,debit mungkin akan berubah atau tidak stabil. d. Material distortion, perubahan tipe ini diselesaikan dengan menggunakan material yang berbeda dari prototipenya. Permukaan material, kekasaran atau media kerja model mungkin akan berubah/ tidak stabil. Kebaikan Perubahan Model. a. Sering mendapatkan keserupaan hidrolika. b. Kedalaman aliran bertambah menghasilkan ketepatan pengukuran c. Tinggi gelombang bertambah menghasilakn ketepatan penguuran. d. Efek viskositas praktis tidak berguna pada prototipe dapat diabaikan pada model.

Dengan cepat menambahkan kemiringan dasar sungai pada model untuk keserupaan geometrik.

e. Pergeakan tanah dan pasir dapat dengan tepat dan sesuai pada pelaksanaan prototipe f. Mengadopsi perubahan model , ukuran model dapat dikurangi dan disederhanakan

karena pada pelaskanaan model. Keburukan Perubahan Model a. Karena tidak seimbangnya skala horizontal dan vertikal, distribusi tekanan dan

kecepatan menjadi tidak menghasilkan pada model. b. Pola gelombang dalam model menjadi berbeda dalam prototipe karena perubahan

kedalaman. c. Kemiringan dasar, tikungan dan terjunan tidak dapat dihasilkan.


Perbandingan Rasio Skala dari Hasil Perubahan Model Rasio dimensi linier horizontal dari sebuah prototipe adalah

Lp/Lm = Bp/Bm = m

dengan hubungannya dimensi model linier vertikal adalah n

hp/ hm = n

a. Faktor skala untuk luasan aliran

Ap/Am = (Bp/Bm). (hp/hm) = m. n Ap = (m. n). Am

b. Faktor skala untuk kecepatan.

vp/ vm = (hp/ hm) ½. = n 0,5.

c. Faktor skala untuk debit.

Qp/Qm = (Ap/Am). (vp/ vm) Qp/Qm = (m.n). (n 0,5) ; Qp = (m.n 1,5) Qm.

d. Faktor skala waktu

Tp/Tm = (Lp/vp)/ (Lm/vm) Tp/Tm = (Lp/ Lm)/ (vm/ vp) Tp/Tm = (m) (n - 0,5) Tp = (m) (n - 0,5) Tm

e. Faktor skala kemiringan dasar sungai.

Sp/Sm = (hp/Lp) / (hm/Lm) Sp/Sm = (hp/ hm) (Lm /Lp) Sp/Sm = (n) (m -1) Sp = (n /m). Sm


f. Faktor Skala koefisien Rugosity pada rumus Manning

vp = (1/np) Rp 2/3. Sp ½. dan vm = (1/nm) Rm 2/3. Sm ½. vm/ vp = (np/ nm). (Rm/ Rp) 2/3. (Sm/ Sp) ½. sehingga (np/ nm). = (vm/ vp) (Rp/ Rm) 2/3. (Sp/ Sm) ½.

Kita dapat memperkirakan ;

Rm/ Rp = hp/hm = n (np/ nm). = (vm/ vp) (Rp/ Rm) 2/3. (Sp/ Sm) ½. (np/ nm). = (n – 0,5) (n) 2/3. (n/ m) ½. (np/ nm). = (n) 2/3. (1/ m 1/2). np. = ((n) 2/3./ (m 1/2)). nm

contoh : Sebuah sungai mengalirkan debit sebesar 2500 m3/det. Koeffisien Rugosity dasar sungai sebesar 0,028. Jika model sungai mengadopsi skala horizontal 1: 1000 dan skala vertikal 1 : 75 Hitunglah debit yang diperlukan pada model dan koeffisien Rugosity pada dasar saluran model. Penyelesaian ; Skala linier Horizontal adalah sebesar m = 1000 Skala linier untuk vertikal adalah sebesar n = 75 Debit pada prototipe Qp = 2500 m3/det Koeffisien Rugosity pada prototipe n p = 0,028

Qm = Qp /(m.n 1,5) Qm = 2500 /(1000.( 75 1,5)) Qm = 0,003849 m3 = 3,849 lt/det


np. = ((n) 2/3./ (m 1/2)). nm nm = np. /((n) 2/3./ (m 1/2)). nm = 0,028. /((75) 2/3./ (1000 1/2)). nm = 0,0498


Theori Similarity Bila ada dua sistim secara fisik mempunyai kemiripan secara penomena jika mempunyai nilai secara geometri, kinematik dan dinamik dengan yang lainnya. Salah satu adalah model dari yang lainnya Menggunakan istilah model dan prototype Bedasarkan aturan fisik pada suatu sistim dapat digambarkan kemiripan dalam hal dimensi/ ukuran (Lihat Difinition in Indian Journal) Untuk segi tiga untuk luasan adalah

Luas segi tiga adalah dinotasikan A, Keliling (P) A = (1/2*B*H) P = B + H + D D = (B2 + H2)1/2

tan θ = (B/H) jika φ = 90O Jika manipulasi luasan adalah

A/B2 = (1/2 * (H/B)) P/B = 1 + H/B + D/B D/B = (1 + (H/B)2 )1/2 φ = 90 H/B = 2,0 --------------- mendapatkan bentuk segitiganya Jika dua sistim akan mirip persamaan yang digunakan untuk kedua sistim menggunkan satuan ukuran, kemudian diungkapkan sebagai berikut; (P/B)1 = (P/B)2 ; (D/B)1 = (D/B)2 dan seterusnya. Standart ini dengan mendefinisikan keserupaan geometri. Hubungan perbandingan panjang dalam menyamakan posisi dan setara. Alternatif setiap panjang pada prototypemenghasilkan foktor yang konstan disebut skala. (P1/P2) = (B1/B2) = D1/D2) = (H1/H2) skala 1/100 Persamaan ini selalu ide dasar utama untuk metode membuat suatu persanaan, jika P = B + H + (B2 + H2)1/2

θ

φ

HD

B


Dapat diperlihatkan seperti berikut ini ;

222

122

2

1

2

1

2

1

)(

)(

HB

HBHH

BB

PP

+

+===

Catatan : 22

21

22

22

21

21

)()(

HH

HBHB

=++ jika persamaan diatas betul kemudian

11)(

1)(

2

2

2

2

1

1

=+

+

HB

HB

selanjutnya 1)(1)( 2

2

22

1

1 +=+ HB

HB ---- (OK)

Dalam bentyu umum A + B + C + D + ----------------- = 0 Am/Ap = Bm/Bp = Cm/Cp = Dm/Dp = ---------- m = model ; p = prototype Dimana A, B, C dst adalah suku persamaan koreksi dimensi. Keserupaan Kinematik Mirip seperti geometrik tetapi untuk suku kecepatan lebih besar dibandingkan dengan panjang. Keserupaan Kinematik syaratnya dalah perbandingan hubungan kecepatan pada posisi yang berhubngan adalah seimbang. Bagaimana untuk mencapainya/ mendapatkannya 1. Batasan yang sama harus nyata pada gerakan fluida bagai keserupaan geometrik

disamakan dengan keserupaan kinematik 2. Dikarenakan arah gerakan yang tepat unuk kecepaan, percepatan akan mempunyai arah

yang benar

pm F

FFF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1 pm

FF

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3

1

3

1

Perbandingan hubungan gaya diatas pada posisi tertentu akan seimbang.Definisi ini disebut dengan Keserupaan dinamik


Persyaratan untuk keserupaan

Keserupaan geometrik + Keserupaan dinamik akan menghasilkan keserupaan kinematik dan besarnya.

Bila F = m.a. (Newton ke II)

Resultante gaya yang mempunyai aran dan besarnya.

Gaya poligon dalam model termasuk keserupaan geometrik untuk gaya poligon dalam prototipe

F1

F4

F2

FV

F3

F1

F4

F2

FV

F3

Prototype Model

Kemudian ( )( )

( )( )

( )( )p

m

p

m

p

m

FF

FF

FF

3

3

2

2

1

1 ==

Keserupaan Geometrik untuk mendapatkan penyederhanan skala yang benar

Keserupaan dinamik mempunyai syarat

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

B

A

B

A

FF

FF

dimana FA dan FB adalah dua buah gaya dalam sistim 1 dan 2

Gaya inertial selalu menghasilkan sistim percepatan fluida.

Resultante Gaya

F3

F2

F1


Gaya inertial ini seimbang dan berlawanan dengan resultante Jumlah F ( Σ F ) jika gaya inertial ini termasuk didalamnya. Untuk gerakan tahanan diukur dengan gaya tambah pada percepatan body pada baian kecil dari suatu kota kemudian berupa massa x percepatan ; ρ l 3. (V/T) ; ρ l 2. V2 cataan : beberapa volume adalah proporional seperti kubus dengan sisitim panjang. sistim koeffisien Keserupaan geometrik adalah proporsional dan sama

l

b

d

l

b

d

Volume(1) = b.d.l jika kedua benda tersebut sebagai keserupaan maka benda 1 tidak sama dengan benda 2 Jika prototipe bahwa b = 1,5.d l = 3.d. maka volume benda prototipe adalah = (1,5 d)*(d)*(3.d) ------ Volume(1) = 4,5 d1

3 sehingga untuk volume(2) juga akan sama dengan 2,5. d2

3 Kemudian Vol tergantung d3, tetapi V1/V2 = (d1/d2)3 Keserupaan waktu percepatan adalah kecepatan dibagi waktu ( V/ t ) = V/ (L/V) = V2/L Kemudian Fi = (ρ.L3).(V2/L) = mass. pecepatan. Fi (gaya inertia) = ρ.V2.L2 Jika kita meninjau pada Drag. kemudian akan menjadi sebagai berikut. Fdrag/ Fi = constant utnuk sistim yang serupa Fdrag = constant .( ρ.V2.L2) atau F. drag. = ((1/2). Cd.( ρ.A.V2)) ini adalah merupakan persamaan Drag standart dimana Cd = φ (Re)


FD

Re Re = Reynold adalah untuk viskositas yang kecil. Drag yang terjadi pada silinder adalah Fdrag = φ(d.V.ρ.μ) diaman μ = viskositas kinematik Fdrag/ ((ρ.L2.V2) = φ ((V.L.L)/μ) = fungsi dari Cd Keserupaan dynamic = F/ (ρ.L2.V2) = constant. Ratio yang dipakai dan relepan pada sebuah gaya adalah Persamaan : Gaya dalam yang digunakan pada sistim seperti ; gravitas, tekanan, torsi dan lainnya. Persamaan ; sifat-sifat fluida atau meterial. serti ; viskositas, tegangan permukaan, elastisitas, rambatan panas dan lainnya. Persamaan ; Resultante, Drag, Impact. ( momentum) dan lainnya. Hukum dasar model menggunakan hukum 1 dan 2 Gaya gravitasi jika gaya gravitas yang relevant,

Fi/ Fg = constant

Fi = (ρ.L2.V2) Fg = (ρ.L3.g)

Jadi (ρ.L2.V2)/ (ρ.L3.g) = (V2)/(L.g) = constant

Bilangan Froud merupakan criteria dasar model gravitas. Fr = V/((L.g)1/2) mempunyai nilai yang sama dalam model dan prototipe jika gaya gravitasiadalah relevant


Gaya Viskositas

Tegangan Geser τ = μ.(dV/dy)

(Fμ) / L2 = ( μ.V)/L atau (Fμ) = ( μ.V).L

Fi/Fμ = constant = (ρ.L2.V2)/ ( μ.V).L Sedangkan Bilangan Re = (ρ.V.L)/ μ akan sama baik model dan prtotipe jika gaya vikositas yang relevant.

Standar Nos ( = ------- ) Gravitas ------------------ menghasilkan Bilangan Froud. Viskositas ---------------- menghasilkan Bilangan Reynolod. Tegangan permukaan --- Bilangan Weber Pemampatan ------------- Bilangan Cauch dan lainnya Catatan Permasalahan dengan stantadrt Nos tidak dapat menyelesaikan gaya kedalam bilangan standart persamaan perubahan aliran contoh bentuk persamaan non standart

ρ ρ + Δ ρ H

L = φ (T,g’,H, μ, ρ)

0.)'(

,'., )3/1(

)3/2(2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

HgHgT

HL υφ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

HL = keserupaan geometrik

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

HgT '.2

= keserupaan gravitasi

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Hg .)'( )3/1(

)3/2(υ = keserupaan gravaitas + viskositas.


Kenyataannya bahwa gravitas dan viskositas adalah sangat penting tetapi bukan bilangan Froud dan Bilangan Reynold dalam penyelesaiannya,

Jika V/ (g.H)(1/2) = contant, kemudian tconsHgT

Htan

.

21

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

gTH

.2 atau H

gT .2

= konstant

Selanjutnya ρ

μ..

..Re HVgH

Vynold

Froud=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ = ( ) 2

3. Hg

υ

dimana ; ν = viskositas kinematik : μ = viskositas dinamik

Khusus pada model kita menunjukkan gaya-gaya yang dominan adalah yang bekerja padanya sehingga dengan dasar itu kita dapat menetukan skala model yang tepat. Dengan demikian kita dapat meneukan skala kesalahan yang akan terjadi.

Persamaan gaya gravitasi tan..

consgH

V==

jadi 2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

P

m

LL

VV

untuk

Gaya Viskositas tan. konsLV=

υ

jadi ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

P

m

LL

VV

dengan air sebagai kerja fluida didalam prototipe dan model kita tiddak dapat memodelkan gaya viskositas dan gravitasi bersamaan

Secara umum bahwa 2

1

.

.⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Pp

mm

P

m

LgLg

VV

untuk bilangan Froud


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

m

P

P

m

P

m

LL

VV

μμ

ρρ

....

Dapat dipilih skala yang tepat jika pemilihan gm, ρm dan μm Untuk model kapal yang relevan adalah Fd = φ (Fi, Fg. Fν)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

υφ

ρLV

LgV

VLFd .,

... 22

Model khusus untuk gravitasi yang membolehkan gaya viskositas untuk skala model untuk mnghitung gaya ini. mengukur besarnya Fd dalam model Fd (model) = Fd (gravitasi) + Fd (viskositas) Perhitungan drag viscositas dan substrac bentuk total untuk mendapatkan komponen gravitas. Skala diatas untuk komponen gravitas

prototype

d

el

d

VLF

VLF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛22

mod22 .... ρρ

Ini dapat memberikan kompoen gaya gravitasdai total prototipe drag. Perhitungan komponen viskositas ditambahkan untuk mendapatkan total prototipe drag. Penskalaan dengan cara Buckingham (Buckingham’s Phi Theorem) Skala bergantung pada tipe model yang akan diguinaan

jika ( )−−−−−−−−= ,,, 4321 πππφπ dimana ; π1 = prediksi π2, π3, π4 ------ = hukum variabel bebas.

(π2)m = (π2)P (π3)m = (π3)P (π4)m = (π4)P dasar hukum untuk model (m) dan prototipe (P)

Kemudian (π1)m = (π1)P


Dalam banyak kasus satu gaya adalah dominan dan mungkin kesalahan tanpa yang berarti. Banyak pada teknik sipil Hidrolika gaya gravitas lebih dominan, khususnya untuk aliran turbulen dan tak termampatkan.

Gaya viskositas ----------- = 0 Tegangan permukaan ---- = 0 Pemampatan -------------- = 0 dan lainnya

Kemudian dasar skala untuk blangan Froud Penskalaan Froud

PmLg

VLg

V⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

..

2

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

P

m

P

m

LL

VV

Skala kecepatan

Q = V.L2

P

m

P

m

VV

LQ

LQ

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

2

2

P

m

p

m

P

m

VV

LL

QQ

.2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

25

212

.. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

P

m

p

m

P

m

LL

LL

LL

QQ

Skala Debit

T = L/V

21

21

....... ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

P

m

m

P

P

m

m

P

P

m

P

P

m

m

P

m

LL

LL

LL

VV

LL

VL

VL

TT

Skala waktu


F = ρ. L2.V2 V = (F/ ρ.L2)1/2

3

. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

P

m

LL

FF

Keserupaaan untuk tekanan, enerji dan tenaga dan lainnya Model Viskositas

Pm

LVLV⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

υυ...

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

m

P

P

m

LL

VV

Skala kecepatan

Skala yang lain dapat dicari dengan cara yang sama Dapat diunakan untuk tipe model yang lainnya.

Penyimpangan/ kesalahan Model Gravitasi Skala horizontal Xm/Xp Skala Vertikal Ym/Yp

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

P

m

LL

VV

L = X atau Y ???


H

V= (2.g.H)1/2

Kecepatan tergantung pada perbedaan tinggi tekan

2

12

1

21

21

.).2(

).2(. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

P

m

P

m

P

m

HH

HH

g

gVV

Untuk Q/ X.Y = V

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

m

P

P

m

VV

YXYX

QQ

..

)..

( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

P

m

m

P

P

m

VV

YXYX

YXYX

QQ

...

.).().(

.

( )( )

23

21

.....

.).().(. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

P

m

P

m

P

m

P

m

m

P

P

m

YY

XX

YY

YXYX

YXYX

QQ

Documents

Catatan Kuliah JMT