Catia v5 Programi i̇le i̇zotropi̇k Ve Ani̇zotropi̇k Anali̇z

I

TEEKKR

Bata ahsm bu almaya ynlendiren ve yardmn esirgemeyen danman hocam Prof. Dr. Aydn TURGUT a teekkr ederim. Ayrca aratrmamda bana byk yardmlar olan Ar. Gr. M. Yavuz SOLMAZ a ve Ar. Gr. Ouz YAKUTa teekkr ederim. Elinden gelen yardm gsteren CADEM A.. sat ve pazarlama koordinatr Sayn Ltf GNLTA a teekkr bir bor bilirim.

Avni DLL

II

NDEKLER

TEEKKR I NDEKLER II EKLLER LSTES IV TABLOLAR LSTES VI SMGELER LSTES VII ZET VIII ABSTRACT IX

1. GR 1

2. PLASTSTE VE KIRILMA HPOTEZLER 2.1 Genel dnceler 2 2.2 Krlma ve akma kriterleri 3

2.3 Yap Elemanlarnn Yetersizlikleri 4

2.4. Krlma ve Akma Deerleri 4

2.5. eitli hipotezler 5 2.5.1 Gerilme hipotezleri 6 2.5.1.1. En byk normal gerilme teorisi 6 2.5.1.2. En byk kayma gerilmesi teorisi ( Tresca Kriteri) 8 2.5.1.3. Coulomb kayma gerilmesi hipotezi 11 2.5.1.4. Mohr genel kayma gerilmesi teorisi 13 2.5.2. ekil deitirme hipotezleri 15 2.5.2.1. En byk uzama veya ksalma hipotezi 15 2.5.2.2. Genel ekil deitirme hipotezi 16 2.5.3 Enerji hipotezleri 18 2.5.3.1. Toplam ekil Deitirme Enerjisi Teorisi (Beltrami Enerjji Teorisi) 18 2.5.3.2. arplma enerjisi hipotezi (Von-Mises Kriteri) 20 2.6 Anizotropik Malzemelerde Akma Teorileri 21 2.6.1. En Byk Gerilme Kriteri 22 2.6.2. En Byk ekil Deitirme Kriteri 23 2.6.3. Tsai Hill Teorisi 24 2.6.4. Tsai- Wu Tensr Teori 27 2.7. Krlma ve Akma teorilerinin karlatrlmas 29

III

2.8. Anizotropik Malzemelerin Akmas veya Krlmas 31

2.9. Akma Yzeyi ( Haigh-Westergard Gerileme Uzay) 32

3. SONLU ELEMANLAR METODU 37

4. CATIA PROGRAMI HAKKINDA 39

5. ZOTROPK VE ORTOTROPK MALZEMENN GERLME ANALZ 42 5.1. Analiz sonular 44 5.1.1 elik Malzeme iin Analiz Sonular 45 5.1.1.1. entik merkezinin silindir merkezine uzaklnn (R) deiimine gre 45 5.1.1.2. Dairesel entik yarapnn (r) deiimine gre 50 5.1.2. Ortotropik Malzeme ile Yaplan Analiz Sonular 55 5.1.2.1. entik merkezinin silindir merkezine uzaklnn (R) deiimine gre 55 5.1.2.2. entik yarapnn (r) deiimine gre 60 5.1.3. Elde edilen analiz sonularnn genel deerlendirilmesi 64

6.SONULAR 66

IV

EKLLER LSTES

ekil 2.1 Tek ve eksenli gerilme hali

ekil 2.2 Gerilme - ekil deitirme diyagram ekil 2.3 eksenli gerilme ekil 2.4 ki eksenli gerilme

ekil 2.5 Basnca maruz tpte akmann meydana gelmesi ekil 2.6 Emniyet Katsays ekil 2.7 ve tek eksenli gerilme iin Mohr Dairesi ekil 2.8 Akma snr

ekil 2.9 Tresca kriteri altgeni ekil 2.10 eksenli gerilme iin Mohr dairesi ekil 2.11 boyutlu uzayda tresca kriteri ekil 2.12 Mohr dairesi zarf ekil 2.13 Coulomb kriteri altgeni ekil 2.14 Kum iin zarf dorusu ekil 2.15 Kil iin zarf dorusu ekil 2.16 Mohr dairelerin oluturduu zarf ekil 2.17 Zarf

ekil 2.18 Zarf

ekil 2.19 Zarf ekil 2.20 Zarf

ekil 2.21 Zarf

ekil 2.22 Zarf Band ekil 2.23 En byk ekil deitirme hipotezine gre dzlem gerilme haline ait snrlar ekil 2.24 Genel ekil deitirme hipotezine gre dzlem gerilme haline ait snrlar ekil 2.25 Enerji alan ekil 2.26 Malzeme ana ekseni (1) ile as yapan tek eksenli ykleme ekil 2.27 En byk gerilme kriteri ekil 2.28 Simetrik takviyeli anizotropik malzeme

ekil 2.29 Takviye a deiimine gre gerilme deiimi ekil 2.30 Takviye a deiimine gre gerilme deeri ekil 2.31 Akma ve krlma iin deney dzenei ekil 2.32 Akma ve Krlma Kriterlerinin deney sonucuyla karlatrlmas ekil 2.33 Muhtemel krlma kriterleri

ekil 2.34 Ahap veya fiber-glas malzeme rnei

V

ekil 2.35 Kartezyen koordinatta gerilme ekil 2.36 Kutupsal koordinatta gerilme ekil 2.37 Gerilme vektr

ekil 2.38 boyutlu uzayda Von-Mises ve Tresca kriteri ekil 5.1 Analizi yaplacak eklin teknik resmi ve snr artlar ekil 5.2 Catia V5 programnda eklin grn ve meshlenmi hali ekil 5.3 Gerilme deerlerinin alnd blge ekil 5.4 entik blgesi ekil 5.5 R = 50mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.6 R = 60mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.7 R = 70mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.8 R = 80mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.9 R = 90mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.10 R = 70mm, r = 3mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.11 R = 70mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.12 R = 70mm, r = 7mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.13 R = 70mm, r = 9mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.14 R = 70mm, r = 11mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.15 R = 50mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.16 R = 60mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.17 R = 70mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.18 R = 80mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.19 R = 90mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.20 R = 70mm, r = 3mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi. ekil 5.21 R = 70mm, r = 5mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.22 R = 70mm, r = 7mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.23 R = 70mm, r = 9mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.24 R = 70mm, r = 11mm olan geometrinin (Von-Mises (N/m2)) gerilme deiimi ekil 5.25 R mesafesinin deiimine bal olarak maksimum gerilme deerleri. ekil 5.26 Dairesel entik apnn (r) deiimine bal olarak maksimum gerilme deiimi.

VI

TABLOLAR LSTES

Tablo 5.1 elik ve ortotropik numunelerde kullanlan dm ve eleman saylar

VII

SMGELER LSTES

F= Kuvvet

N=Newton

m = metre

mm = milimetre

MPa = MegaPascal

GPa = GigaPascal

E = Malzeme elastisite modl G = Malzeme kayma modl

=Poisson oran

o= Elenik gerilme

1, 2 , 3

= Asal gerilmeler

= Kayma gerilmesi

r = Eleman zerindeki evresel dairesel boluun yarap R = evresel boluk merkezinin silindir merkezine uzakl

VIII

ZET

Yksek Lisans Tezi

CATIA V5 PROGRAMI LE ZOTROPK VE ANZOTROPK MALZEMEDEN YAPILMI MAKNA ELEMANLARINDA GERLME ANALZ

Avni DLL

Frat niversitesi Fen Bilimleri Enstits

Makine Mhendislii Anabilim Dal

2006, Sayfa: 68

Bu almada, gvdesinde dairesel kesitli evresel boluk bulunan ii bo silindir eklindeki bir makine elemannn, Catia V5 program kullanlarak bilgisayar ortamnda gerilme analizi yaplmtr.

Birinci blmde, konuya giri yaplarak problem tantlmaktadr. kinci blmde krlma mekanii ve nc blmde de sonlu elemanlar hakknda genel bilgi verilmekte ve bu konuda yaplm almalar belirtilmektedir.

Drdnc blmde, Catia V5 paket program hakknda genel bir bilgi verilmektedir. Beinci blmde ise, almann konusunu tekil eden makine elemannn geometrinin tanmlayan parametrelerin farkl deerleri iin gerilme analizi gerekletirilmitir.

Yaplan almada, dairesel kesitli evresel boluun ap ile merkezsinin silindir eksenine olan uzakl deitirilerek gerilme dalmlar elde edilmekte, karlatrmalar yaplmakta ve ortaya kan farkllklar yorumlanmaktadr. Daire kesitli evresel boluun apnn ii bo silindirin et kalnlna oran bydke , maksimum gerilme deeri de bymektedir.

Anahtar Kelimeler: Krlma Mekanii, Catia, Gerilme Analizi, Dairesel Kesitli evresel Boluk.

IX

ABSTRACT Master Thesis

STRESS ANALYSIS OF MACHINE ELEMENTS COMPOSED OF IZOTROPIC AND ANIZOTROPIC MATERIALS BY USING THE

PROGRAMME CATIA V5

Avni DLL

Firat University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mechanichal Engineering

2006, Pages: 68

In this study, stress analysis for a machine element in the form of circular hollow cylinder containing a circumferantial cavity with circular cross section is caried.

In the first chapter, after a brief introduction, the problem under consideration is introduced. In the second and three chapter, general information is given on fracture mechanics and finite element method, and a literature survey is presented, respectively.

In the fourth chapter, introductory general information is given on Catia V5 computer program. In the fifth chapter, stress analysis for he machine element which is

the subject matter of this study is carried for several combinations of the parameters defining the geometry.

The study obtains stres distrubutions for various values of the diameter of the circuferantial cavity and distance between its center and axis of the cylinder. Results are compared and variations are interpreted. Maximum stress increases as the ratio of the diameter of the circumferantial Cavit to the wall thickness of the hollow cylinder.

Keywords: Fracture Mechanics, Catia V5, Stress Analysis, Circumfeerantial Cavity with Circular Cross Section.

- 1 -

1. GR

Bilgisayar teknolojileri gnmzde hzla ilerlemektedir. Bu ilerleme sonucu fiziksel ve matematiksel ifadeleri zmlemek daha hzl ve kolay hale gelmitir. Tasarm doru ve hzl bir ekilde yapmak ok nemlidir. Bu i hem retim maliyetini drecek hem de zamandan tasarruf salayacaktr.

Sonlu elemanlar analizi ilk olarak 1960l yllardan itibaren niversitelerde ve aratrma blmlerince kullanlmaya balanld. Son zamanlarda sonlu elemanlar analizi, mhendislik birimleri tarafnda iyi bir tasarm gelitirme yntemi olarak kabul grmeye balamtr. Sonlu elemanlar analizinin bilgisayar destekli tasarm (CAD/CAM/CAE) programlarnda kullanlmaya balamasyla bu yntem daha yaygn hale gelmitir.

Bu yksek lisans almasnda analitik zm zor olan bir geometrik eklin (Von-Misese elenik gerilmesine gre) gerilme dalm, elik ve ortotropik malzeme iin incelenmitir. Bu analizler, CATIA V5 R16 analiz program ile gerekletirilmitir. Bu almada izotropik ile ortotropik malzemenin analizi sonucu ne gibi farkllklarn meydana geldii grlmtr.

- 2 -

2. PLASTSTE VE KIRILMA HPOTEZLER

2.1 Genel dnceler

Cisimlerin Mukavemeti ynnden, bir malzemenin hangi yk snrnda plastik hale geecei veya hangi gerilme deeri iin krlacan bilmek n planda gelen bir sorudur. Yap iin tehlikeli saylacak bu snrlar bulmak iin cismi denemek gerekecektir. Fakat malzeme denemeleri ok defa basit ekme ve basn gibi bir eksenli gerilme altnda yaplr ve tehlikeli snrlar ancak byle haller iin dorudan doruya deneyle tespit edilebilir. Halbuki tatbikatta cisimler daha ok iki veya eksenli gerileme halinin etkisindedir. Byle bileik bir zorlamann, gereci plastik duruma veya krlma durumuna hangi artlarda getireceini bilmek isteriz; dier bir deyimle, bir eksenli snr durumundan, eksenli snr durumuna nasl geilebilir sorusuna yant aranmaktadr. Bu soruya deney yoluyla hemen cevap vermek kabil deildir. nk eksenli gerilme halinin eidi sonsuz olup btn haller iin ayr ayr deneme yapmak imkanszdr, ayrca eksenli deneme teknii bir eksenliye gre hayli gtr.

Bir eksenli gerilme haliyle eksenli gerilme halini, tehlike snr ynnden mukayese eden kriterleri mevcuttur. Tehlikeli durum, gevrek olan cisimlerde krlma, kopma ve ezilme gibi paralanma halini, plastik zellie sahip ve ok uzayan cisimlerde ise, akma halini ifade etmektedir.

ekil 2. 1 Tek ve eksenli gerilme hali

ekil 2.1 de ayn bir cismin iki tip zorlanmas gsterilmitir, bunlardan biri bir eksenlidir

ve M ile gsterilen gerilme altnda cisim snr durumuna ulamtr. ikinci gerilme hali

eksenli olup orada da durum, tpk birincideki gibi, snrdadr. Ksaca her iki zorlama tehlike ynnden zdetir. Mukavemet veya mukayese kriterlerinden maksat, fizik ynden eit durumda olan iki halin gerilimleri arasndaki banty bulmaktr.

M = f (1 , 2 , 3) [2.1] Yani bir karlatrma ifadesi kurmaktadr. Burada f asal gerilmeye bal bir

fonksiyonu gsterir. eksenli gerilme altnda cisim henz krlmam veya plastik hale gememise, [2.1] ifadesi

M > f (1 , 2 , 3) [2.2]

- 3 -

gibi bir eitsizlik eklinde olacaktr. Cisim homojen ve izotropik olmas halinde f fonksiyonu asal gerilmelerin simetrik bir fonksiyonu olur ve yalnz onlarn iddetlerine bal kalr. Asal gerilmelerin dorultular burada rol oynamaz.

2.3 Krlma ve akma kriterleri

Tek eksenli gerilme haline maruz elemanlar, sadece eksenel kuvvetlerin veya basit

kesme kuvvetlerinin etkisi altnda idi ve elemanlarn boyutlandrlmas max= em veya max= em

ile yaplyordu. Kark etki halinde bulunan elemanlar bu basit kurallarla boyutlandrlamazlar. Genel haldeki boyutlandrmada krlma ve akma kriterleri, gz nne alnan esaslara gre farkl durumlarda snflandrlr. Mesela kuvvetin etki durumuna gre;

1. Yava etki halinde krlma ve akma kriterleri 2. Tekrarl yk halinde krlma ve akma kriterleri 3. Dinamik yk halinde krlma ve akma kriterleri

Scaklk etkisine gre;

1. Normal scaklkta krlma ve akma kriterleri

2. Yksek scaklkta krlma ve akma kriterleri

3. Dk scaklkta krlma ve akma kriterleri

almada yava etki halinde akma ve krlma kriterleri ele alnmtr.

2.3 Yap Elemanlarnn Yetersizlikleri

Bunlar grupta incelenebilir; 1- Ar ekil deitirme; 2-Akma yoluyla yetersizlik ;

a) Normal oda scaklnda b) Yksek scaklklarda (srnme)

- 4 -

3- Krlma yoluyla yetersizlik; a) Gevrek malzemelerin ani krlmas b) atlaklk damarlarnn krlmas c) Yorulma d) Yksek scaklklarda zamanla olan krlma

2.4. Krlma ve Akma Deerleri

Krlma teorilerinde esas olarak alnan gerilme cinsi eitli malzemelerde farkldr. Yani gevrek malzemeler bilindii gibi akma olayna maruz kalmadan krlrlar, snek malzemeler ise belli bir lineer uzama blgesinden sonra bir akma noktasna ve daha sonra plastik ekil deitirme blgesine ve nihayetinde bir kopma noktasna ( gerilme deerine ) ularlar. Farkl olan bu malzemelerden gevrekler iin krlma, snekler iin ise akma noktas, krlma (akma) olaylarnn izahnda kullanlan esas gerilme deerlerini tekil ederler.

a) Gevrek malzemeler b) Snek malzemeler

ekil 2. 2 Gerilme - ekil deitirme diyagram

Krlma veya akma, malzemelerin kendine has zelliklerinden dolay, gerilme olayndan ok daha karmak bir olaydr. Bu karmak olaylarn aklanmas farkl krlma (akma) teorilerinin ortaya atlmasna sebep olmutur. Ortaya konan ve daha sonra deimelere urayan bu teoriler krlma ve akma olaylarn tam olarak aklayamamaktadr. Fakat buna ramen, baz teorilerin baz artlarda, baz malzemelerde geree yakn deerler verdii grlmektedir. Bu teoriler farkl malzemelerin yaplmas ve teknolojinin ilerlemesi ile tekrar tekrar gzden geirilmekte, daha gelimi yeni teoriler kurulmaktadr. Kompozit malzemelerin klasik akma (krlma) teorilerine uymamalarna ramen teorilerin bir btn olarak ele alnmas bu konuya aklk getirecektir.

2.5. eitli hipotezler

Krlma veya plastik hale geite, baka baka faktrleri sorumlu tutan eitli hipotezleri byk grupta toplamak mmkndr:

a) Gerilme hipotezleri b) ekil deitirme hipotezleri c) Enerji hipotezleri

- 5 -

Adlarndan da kolayca anlalaca zere bu hipotezlerden birinci grup, tehlikeli duruma geite, gerilmenin ba rol oynadn; ikinci gruptaki hipotezler, olayda ekil deitirmenin esas faktr olduunu, nc grupta ise, ekil deitirme enerjisinin nemini esas kabul etmitir. Bununla beraber, gerilme-ekil deitirme bantlarn dikkate almak art ile eitli alardan ileri srlen btn hipotezleri gerilme diline evirmek de mmkndr. Nitekim; [2.1] denkleminde bu kriterler yalnz asal gerilmelerle ifade edilmitir. Hipotezleri ayr ayr incelemeden nce u bir ka noktay aklamak yerinde olur: eitli hipotezleri birbirleri ile kolayca karlatrmak iin, bunlar geometrik olarak tanmak gerekir.

1, 2 ve 3 ile verilen eksenli gerilme halini uzayda bir P noktasnn koordinatlar olarak

kabul edersek eitli gerilme halleri eitli tasvir noktalarna kar gelir . ekil 2. 1. de grld gibi bu tasvir sistemine gre, mukavemet hipotezleri, tehlikeli

durumlar tehlikesizden ayran bir snr yzeyi ile temsil olunacak ve iki eksenli gerilme halinde ise bu snr yzeylerinin ilgili koordinat dzlemleri ile olan arakesit erileri ele alnacaktr. Dier

bir tasvir sisteminde de, Mohr daireleri iin kullanlan , dzlemi esas alnr. ilerideki

aklamalar kolaylatrmak iin, asal gerilmenin byklk srasna gre yle dizildikleri kabul edilmitir:

1>2>3 [2.3]

2.5.1 Gerilme hipotezleri

Gerilme hipotezlerinde malzemelerin, krlma veya plastik hale gemesinde gerilmenin nemli olduu kabul edilmektedir

2.5.1.1. En byk normal gerilme teorisi

Bu teori, eksenli gerilme halindeki en byk normal gerilme, bir eksenli haldeki +m tehlikeli durum gerilmesine eit olduu zaman o eksenli gerilme halinin tehlikeli duruma gireceini varsayar. [2.2] denkleminin bu haldeki ekli

max < m [2.4]

biiminde olur. Malzemede m, ekme ve basnta ayn olmak art ile bu denklemin anlam hi

- 6 -

bir asal gerilmenin +m deerini aamayaca eklindedir. Bu durumda [2.4] denkleminin ifade ettii yzey, yani tehlikeli blge snr, kenarlar asal eksenlere paralel olup 2m deerinde

bulunan bir kp yzeyidir (ekil.2.3). Asal eksen takmnn balangc ise bu kpn merkezindedir.

ekil 2. 3 eksenli gerilme

Bu yzey kapal bir yzey olduu iin a ortayn keser. Bylece bu teoriye gre, a ortaynn kpn dnda kalan ksmlarnn tanmland tm hidrostatik haller tehlikeli olmu

olurlar. ki eksenli gerilme halinde (3 = 0), tehlikeli blge snr (ekil 2. 3.) deki kpn

a) b)

ekil 2. 4 ki eksenli gerilme

1, 2 dzlemi ile olan ara kesiti olur ki bu da (ekil 2.4-a) da gsterilen karedir. ten basnca maruz bir tpte i basn arttrlrsa diyagramn kareyi kestii yerde akma meydana gelir.(ekil 2. 5.)

a) b) ekil 2. 5 Basnca maruz tpte akmann meydana gelmesi

Burada,

4tpD

x = , 2tpD

y = [2.5]

dir. Ykleme diyagram ekil 2.5te grlmektedir. Pratikte kullanlrken akma deeri n

emniyet katsays ile blnr. Bu durumda ikinci eri birincisinin homotetiidir ( ekil. 2.6).

- 7 -

ekil 2. 6 Emniyet Katsays

Teori gevrek malzemeler iin ksmen iyi sonular vermektedir. Bu teori bu sahada kurulan ilk teoridir. Yalnzca en byk gerilmeyi hesaba katmasndan dolay, teoride eksiklikler bulunmaktadr. Bu teoriye gre kopmann meydana geldii yzeyin dz olmas gerekirken pratikte ise kopan yzey girintili kntldr. Ayn zamanda bu kriter hidrostatik basnca maruz bir malzemenin akmamasn veya krlmamasn izah edememektedir.

2.5.1.2. En byk kayma gerilmesi teorisi ( Tresca Kriteri)

Bu teori krlmada en byk kayma gerilmesini sorumlu tutar ve eksenli gerilme halindeki en byk kayma gerilmesinin bir eksenli halde tehlikeli durumdaki kayma gerilmesine eit olmas halinde krlmann veya plastik hale gemenin meydana geleceini n grr. (ekil - 2.7) Genel halde

max = (1-3) / 2 [2.6]

ve tek eksenli halde

- 8 -

ekil 2. 7 ve tek eksenli gerilme iin Mohr dairesi

o = o / 2 [2.7] bu kritere gre akma balangc

2

2

o

o31

max ==

= [2.8]

veya yalnz normal gerilmeler eklindedir.

1 . 3

= o [2.9]

Bu kriterin ve eksen takmndaki snrlar ekil 2.8' de gsterilmektedir. Bu paralel

dorular iinde herhangi bir akma olmaz. Uygulamada ise o / n alnr. Hidrostatik basn halin

de Mohr emberleri yalnzca bir nokta verir ve bu halde max

= 0 < o olduundan hi bir

zaman ne bir akma, ne de bir krlma olay meydana gelmez. Herhangi bir iki eksenli gerilme halini tanmlayan Mohr dairesi bu dorularn iinde

kald zaman o gerilme hali tehlikesiz demektir. Dorulara teet daireler tehlikeli duruma

erimi gerilme hallerini, dorular kesenler ise tehlikeli durumdaki gerilme hallerini gsterir.

ekseni zerindeki noktalar hidrostatik halleri gsterdikleri iin tm hidrostatik gerilme hallerinin tehlikeli durumda olmadklar da ekilden grlm olur. ki eksenli gerilme halinde bu kriterden yle bir diyagram elde edilir.

ekil 2. 8 Akma snr

ekil 2. 9 Tresca kriteri altgeni

Esaslar ok basit olan bu hipotez bugn plastisite de nemli rol oynar ve Tresca hipotezi adyla anlr. Bu hipotezi tasvir edecek olursak, snr yzeyi alt keli iki tarafnda da ak bir prizmann yzeyi olur. Prizmann ekseni koordinat ekseniyle eit a yapar. ekil- 2.9

- 9 -

dzlem gerilme halinde, snr yzeyi 1 2 dzlemiyle olan ara kesitini gstermektedir. Buna

ou defa Tresca altgeni denir.

Mesela 1> 0> 2 iin Mohr emberi yledir. (ekil 2.10) ekil 2. 10 eksenli gerilme iin Mohr dairesi

bu durumda

2

2

o21

max =

= [2.10]

ve buradan

1- o= o [2.11]

elde edilir. Uzayda ise bu kriter yzeye dik kesiti altgen olan bir prizmatik yzey gsterir.(ekil 2.11 )

ekil 2. 11 boyutlu uzayda tresca kriteri

En byk kayma gerilmesi hipotezi, ekme ve basnta eit karakter gsteren malzeme iin, deneylere uygun sonular vermektedir. Hidrostatik basn denemesi ynnden de bu hipotezde herhangi bir aksaklk yoktur.

Yalnz ekme ve basnta farkl mukavemet gsteren gevrek malzemede snr Mohr dairelerinin aplar sabit olmadndan bu hipotezi onlara dorudan doruya uygulamak mmkn deildir. Bu teori snek malzemeler iin uygun sonular verebilmektedir ve bu sebeple mhendislikte oka kullanlmaktadr.

2.5.1.3. Coulomb kayma gerilmesi hipotezi

Bu hipotez yukardaki hipotezin eksik taraflarn tamamlayan onun biraz daha genelletirilmi eklinden ibarettir. Burada cismin mukavemetinin sona ermesinde, yine esas olarak, kayma gerilmesi alnmakla birlikte, kayma gerilmesinin etkidii yzeydeki normal gerilmenin de, i srtnme sebebiyle, bir rol olaca dnlmektedir. Bu hipotez en byk

kayma gerilmesinin iki kat olan 1- 2 farknn sabit olmayp bunu 1+ 3 toplamnn lineer bir

- 10 -

fonksiyon saymakta, daha dorusu, klasik mekanikteki srtnme kanunundan faydalanp bir genelletirme yapmaktr. Ksaca

1- 3=a-b(1 + 3) [2.12]

bants snr durumlar tarif eder. Burada a cismin kohezyonu ile ilgili sabit, b de i srtnmeyi karakterize eden boyutsuz bir arpandr. b = 0 hali bizi nceki hipoteze gtrr. a, b sabitlerini

malzemenin birbirinden farkl olarak kabul ettiimiz m ekme mukavemeti ve M basn

mukavemeti cinsinden hesaplamak mmkndr. (2.5) den ekme mukavemeti iin

M - 0 = a -b (M +0) [2.13]

ve basn mukavemeti iin

0 - (-M) = a - b (0 + (-M) [2.14]

artlarndan

M

M

M

M

.2a

+

= ve M

M

MM

-b+

= [2.15]

olarak bulunur. [2.12] ifadesinin, Mohr grafik tasvir sistemindeki anlam snr dairelerinin zarfnn birbirine kesen iki doru olmas gerektiidir (ekil 2.12.).

ekil 2. 12 Mohr dairesi zarf ekil 2. 13 Coulomb kriteri altgeni

Zarf dorular ekseni ile as yapar ve b = sin bantsn gstermek mmkndr.

Ayrca zarf dorularnn kesitikleri A noktasnn apsisi

MM

M

M

.

2baOA

== [2.16]

deerini verir ve malzemenin hidrostatik ekme halindeki mukavemetini gsterir. Sonlu olmas gerekli bu deer iin en byk kayma gerilmesi hipotezi sonsuz deer verir ki geree uymaz.

Bu hipotez eer ekil 2.1 deki sistemle tasvir edilecek olursa, 1, 2 dzleminde yine

- 11 -

bir altgen verir, bu evre ekil 2.13 de M>M hali iin gsterilmitir.

ekil 2. 14 Kum iin zarf dorusu ekil 2. 15 Kil iin zarf dorusu

Kum, kil gibi taneli cisimlere ait bir kitlenin snr denge konumlarn Coulomb hipotezi ile izah etmek mmkndr. ekil 2.14 kum ve ekil 2.15 ise kohezyonlu kil iin zarf dorularn gstermektedir.

2.5.1.4. Mohr genel kayma gerilmesi teorisi

Coulomb kayma gerilmesi teorisi Maksimum Kayma gerilmesinin gelitirilmi hali olmasna ramen gevrek cisimler iin pek uygun deildir. nk deneyler gstermitir ki, snr Mohr dairelerinin zarf daima iki doru deildir. Bu sebeple btn halleri kapsayan bir geniletmeye daha ihtiya vardr, o da Mohr tarafndan yaplmtr. Mohr'a gre en byk kayma gerilmesi, zerine etkiyen normal gerilmeye baldr; fakat bu ballk lineer deildir, daha ok

1-3=F(1+3) [2.17]

gibi genel bir ekli vardr. Burada F fonksiyonu her malzeme iin deneyden tayin edilecektir. Bu kiriter iin tane basit gerilme halinin bilinmesi kafidir; bunlar, basit ekme, basit basma ve tam kayma halleridir. Mesel ekil 2.16. de bir gerecin snr Mohr dairelerinin doru olmayan zarf gsterilmitir.

ekil 2. 16 Mohr dairelerin oluturduu zarf

Bu zarf erisi her malzeme iin karakteristik bir ekle sahiptir.

- 12 -

ekil 2. 17 Zarf ekil 2. 18 Zarf ekil 2. 19 Zarf

Ayr ayr deneylerle bulunmaldr. Bir cisim iin zarf belli olursa, zorlama haline tekabl

eden en byk Mohr dairesi , dzleminde yerine oturtulur. Bu daire zarf kesmedike,

zorlamann snrdan uzak olduuna hkmedilir. ekil 2.17, 2.18, 2.19, 2.20 ve 2.21 de birka cisim iin karakteristik zarf erileri ematik olarak verilmitir.

ekil 2. 20 Zarf ekil 2. 21 Zarf

nemli nokta karakteristik erilerin basn taraflarnn ak olmasdr; nk gereler snrsz hidrostatik basnc tehlikesizce tayabilirler. Hepsinin ekme taraflar ise kapaldr. Zira sonlu kohezyonlar dolaysyla hidrostatik ekmenin de belirli bir deeri amamas lzmdr.

Dengede bulunan svlardaki i gerilme hali, yalnz hidrostatik basn olduundan bunlara ait karakteristik eri de apsis ekseninin negatif ksm ile st ste der (ekil 2.21) .

Mohr'un genel kayma gerilmesi hipotezine yaplacak tek fakat nemli itiraz, ortanca

gerilme olan 2 nin hi dikkate alnmam olmasdr. Deneyler gstermitir ki ortanca

gerilmenin deerine gre zarf erisi de deimektedir. Tek bir zarf yerine bunlar iine alan bir zarf iine bandndan bahsetmek daha doru olur; ekil 2.22 de ortanca gerilmenin deerine gre zarf erilerinin iinde bulunduu bant ematik olarak gsterilmitir.

ekil 2. 22 Zarf Band

2.5.2. ekil deitirme hipotezleri

Bu gruptaki hipotezler, cisimden akma ve krlma halinin domasnda ekil deitirmenin, mesela uzunluk deiiminin roln esas alrlar. Balca hipotezler unlardr;

2.5.2.1. En byk uzama veya ksalma hipotezi

Bu gn iin ancak tarihi nemi olan bu hipotez, Mariotte St. Venant ve Poncelet tarafndan ileri srlmtr. eksenli zorlamada tehlikeli halin, en byk uzama veya

- 13 -

ksalmasnn, bir eksenlideki deere eit olduu zaman doaca dnlr. Kabul edelim mutlak deer itibariyle en byk asal boy deiimi bir uzama olsun, o halde bu hipoteze ait mukayese

E)]([

E1 M

321 =+ [2.18]

veya

1-(2+3)= M [2.19]

denklemi ile yaplacaktr. Mutlak deer itibariyle en byk boy deiimi bir ksalma ise, (2.9) denklemi yerine

3-(1+2)= -M [2.20]

bants geer; burada M cismin basn mukavemetini gsterir. ekil 2.23 bu hipoteze gre

dzlem gerilme haline ait snrlar gstermektir.

ekil 2. 23 En byk ekil deitirme hipotezine gre dzlem gerilme haline ait snrlar

ekil izilirken M = M olarak kabul edilmitir. Snr, AA ve BB kegenlerine gre

simetriktir, yani ekenar drtgendir. Bu hipotez hidrostatik basn deneyini salamad gibi, iki eksenli ekme halinde de,

malzemenin tek eksenliden daha byk bir mukavemet gsterecei gibi geree uymayan bir sonu verir. Bu gn iin bu hipotezin pratik bir deeri yoktur. Bilhassa kaln cidarl top namlularnn imalatnda iyi sonular vermektedir.

2.5.2.2. Genel ekil deitirme hipotezi

Burada max ve min yerine, asal uzmana orannn bir eit bilekesi olan ve aadaki

formlle hesaplanan d deeri esas alnr:

222321d ++= [2.21]

Eer bu deer tek eksenlideki kartna eit olursa, iki hali birbirleriyle mukayese etmek mmkndr. Hipotezin asal gerilmelerle ifade edilen ekli

- 14 -

M2

32312122

32

22

1 )(21)(22

=++=+

++

[2.22]

denklemidir. 3= 0 dzlem hali iin

M2

2121 21)(22

22 =+

+

[2.23]

dir. Buna ait snr erisi olan elips, ekil 2.24. de ematik olarak izilmitir. Elipsin yaraplar (2.13) denkleminden

23121

a 2

2

M+

+= ;

2121

b 22

M++

+= [2.24]

ekil 2. 24. Genel ekil deitirme hipotezine gre dzlem gerilme haline ait snrlar

olarak bulunur. Bu hipotez ortanca gerilmenin roln hesaba katmakla birlikte hidrostatik basn deneyini salamaz. Bununla beraber, plastik zellii fazla cisimlerde iki eksenli zorlamalar iin, tatmin edici sonular verir.

2.5.3 Enerji hipotezleri

Bu hipotezler, malzemenin plastik hale geme veya mukavemetinin yenilmesinde, ekil deitirme enerjisinin veya bunun bir ksmnn rol oynadn kabul eder. Enerji, belirli bir deere eriince cisim snr duruma ulam demektir. Enerjinin bu belirli deeri de tek eksenli snr zorlamadaki enerjidir. Enerji esasndan hareket eden hipotezler, dierlerine gre daha yenidir. Her asal gerilmeyi birden gz nnde tutmalar bakmndan ilgi ekicidir. Bunlardan nemli olan ikisi aada aklanmtr. 2.5.3.1. Toplam ekil Deitirme Enerjisi Teorisi (Beltrami Enerjji Teorisi)

Bu teoriye gre bir malzemenin akmas veya krlmas genel haldeki toplam ekil deitirme enerjisinin tek eksenli haldeki ekil deitirme enerjisine ulamasyla balar. Birim hacim iin toplam ekil deitirme enerjileri, tek eksenli halde,

2EU

2M

M = [2.25]

dir.

- 15 -

eksenli halde asal gerilmelere bal olarak;

)]2([2E1

u 323121321 222 ++= ++ [2.26]

.

veya gerilme bileenleri ynnden;

]2G

)2([2E1

uyzxzxy2

z2

x2

z2

y2

y2

x2

z2

y2

x++

+++= ++ [2.27]

yazlr. Yalnzca asal gerilimlere bal olarak eitlik yazlrsa;

2EO)]2(-[

2E1 M

323121231 ===++ [2.27-a]

ve buradan akma art;

12+2

2+32-

2(12+23+13) = M2 [2.28]

bulunur. Teori uzayda kapal bir yzey (elipsoit) verir. Yani kapal bir snr yzeyi tarif eder. Halbuki malzemenin snrsz hidrostatik basn deneyine dayanmas bu yzeyin ak olmasn gerektirir. Bu ynden sz konusu olan hipotez ancak baz zel artlarda gevrek olmayan malzeme iin kullanlabilir.

3= 0 dzlemsel gerilme hali iin [2.28] denklemi

12+2

2 - 212= M2 [2.29]

ifadesine dnr. Buda ekil 2.24 'deki gibi bir elips evre gsterir, yalnz bu halde yar aplar

M1

1a

= , M1

1b+

= [2.30]

- 16 -

deerini verir. Pek kullanl bir teori deildir. Baz durumlarda faydalanlmaktadr. Mesela yere den

bir camn krlmas olay bu teori ile izah edilebilir. nk camn yere dmesinden dolay ald arpma enerjisi (ekil 2. 24.) onun tek eksenli haldeki ekil deitirme enerjisinden daha byktr. bu sebeple krlma olay olmaktadr:

2E

u2

MM = [2.31]

ekil 2. 25 Enerji alan

2.5.3.2. arplma enerjisi hipotezi (Von-Mises Kriteri)

Hidrostatik basn deneyinde, mukavemetin snrsz oluu, tehlikeli durumun domasnda, hacim deitirmenin bir rol olmadn aka gstermektedir. O halde enerji esasna dayanan bir hipotez kurulurken hacim deitirme enerjisini hesaba katmak doru olmaz; daha ok enerjinin, cismin geometrisini deitirmeye sarf edilen ksm, yani arplma (biim deitirme) enerjisi mukayesede esas alnmaldr.[2.27-a] yerine

2M323121

23

22

21g

6G1)]([

6G1

u =++++= [2.32]

veya

12+2

2+32-(12+13+23)= M2 [2.33]

denklemi elde olunur. [2.33] denklemi, her iki tarafndan ak olan bir silindir yzeyi gsterir ve zellikle uzamas fazla olan malzeme iin, deneyler tarafndan salanan sonular verir. Mises ve arkadalar tarafndan bu hipotez, plastisite teorisinden, akma art olarak baar ile kullanlmtr.

Biim deitirme enerjisi kriterinin tek eksik taraf, hidrostatik basnta olduu gibi hidrostatik ekme iin de bir snr tanmamasdr. Halbuki ekme halinde kohezyon nasl olsa yenilecek, cisimde bir ayrlma grlecektir. Bu kusur, Huber tarafndan iki enerji hipotezi

birletirerek ortadan kaldrlmtr. Eer ortalama gerilme 31 (1+2+3)

- 17 -

ise [2.33] kriteri uygulanacak; bunun ekme yani 31 (1+2 +3)>0 olan deerleri iin de

Beltrami'nin [2.28] hipotezi kullanlacaktr. Bu dzeltme iki tarafndan da ak olan snr yzeyini ekme tarafndan kapatmak demektir. Yalnz 1+2+3=0 dzlemi iin (2.18) ve (2.21) kriterlerinin farkl sonular vereceine dikkat etmelidir. Biim deitirme enerjisi hipotezi dzlemsel gerilme hali iin

12+2

2+-12=M2 [2.34]

denklemiyle tarif edilen bir elips ile temsil edilebilir. ekil 2.20 deki gibi olan bu elipsin yaraplar ;

M2a = [2.35]

M32b = [2.36]

deerlerini verir.

Dzlemsel gerilme hali asal gerilmeler yerine x , y ve xy

gerilmeleriyle verilecek

olursa [2.34] denklemi

x2+ y

2+ xy+3xy2 = M2 [2.37] eklini alr.

arplma enerjisi hipotezine bir genel kayma gerilmesi hipotezi gzyle de bakmak mmkndr; nk [2.9] ve[2.21] denklemleri karlatrlacak olursa

29

ak2

= 12+2

2+32

- (12+23+13) [2.38]

bants bulunur. Demek oluyor ki arplma enerjisi oktohedral kayma gerilmesinin karesiyle orantldr. Buna gre enerjitik ynden ve oktoedral kayma gerilmesi ynnden yaplacak mukayese hep ayn sonucu veriyor demektir, karlatrma

(ok) eksenli = (ok)bir eksenli = M32

[2.39]

denklemiyle yaplacaktr.

- 18 -

2.6 Anizotropik Malzemelerde Akma Teorileri

Karma malzemelerin elastiklik zellikleri gibi dayanmlar da anizotropiktir. Bilindii gibi izotrop malzemeler iin ok eksenli gerilme durumlarnda deiik akma kriterleri (Tresca, Von Mises v.b.) nerilmitir. Karma malzemelerin akma (krlma) kriterleri ise bunlardan farkl olup, burada tek ynde takviyeli ortotropik bir tabakann dzlem gerilme durumundaki dayanm zellikleri ele alnacaktr. Bu teoriler akma ve krlmann mekanizmalarn tam olarak

aklayamamakla birlikte, genellikle deneysel bulgularla uyum salamaktadr. Srekli gelitirilen bu teorilerin en nemlileri en byk gerilme, en byk ekil deitirme, Tsai-Wu ve Tsai-Hill kriterleridir.

2.6.1. En Byk Gerilme Kriteri

Bu teoride etkiyen gerilmenin malzemenin asal eksenleri dorultusundaki bileenlerinin, o dorultudaki malzeme dayanm deerlerini amas halinde hasarn oluaca savunulur. Yani malzemenin tayabilecei gerilmeler.

1< X (1 > 0 iin) 2< Y (2 >0 iin) 12 0 iin) [2.40] 1>Xb (1 < 0 iin) 2>Yb (2 < 0 iin)

eklinde snrldr. Burada X ve Xb: Takviye dorultusundaki ekme ve basma dayanm Y ve Yb : Takviyeye dik dorultudaki ekme ve basma dayanm Xs : Kayma dayanm (her iki ynde ayn)

Takviye dorultusu ile as yapan tekil bir kuvvetin yaratt x gerilmesinin,

malzeme asal eksenleri dorultusundaki bileenlerini transformasyon matrisi yardmyla hesaplarsak;

ekil. 2. 26 Malzeme ana ekseni (1) ile as yapan tek eksenli ykleme

1 =x cos2

2 =x sin2 [2.41]

- 19 -

12= -x sin . cos

cos

X 2x < , sin

X 2x < , cososs

Sx < [2.42]

bulunur.

Yani bu hasarn olumamas iin bu koulun ayn anda salanmas

gerekir.Malzemeye etkiyen d zorlamann yn deitirmesi durumunda (yani as 0o ile 90o arasnda deiirken), bu gerilmeden srasyla biri hasar oluturmada kritik duruma gelmektedir. (ekil 2.27)

ekil 2. 27 En byk gerilme kriteri

2.6.2. En Byk ekil Deitirme Kriteri

En byk gerilme kriterlerinin benzeridir, ancak burada malzemenin urad ekil deiimi bileenlerinden herhangi birinin buna karlk gelen snr amas halinde hasarn oluaca varsaylr. Bu kriter

1 < x (1 > 0 iin) 2 < y (2 > 0 iin) 3 < s (3 > 0 iin) [2.43] 1 < xb (1 < 0 iin) 2 < xb (2 < 0 iin)

eklinde yazlabilir.

- 20 -

Burada

1 ve 1b: Takviye dorultusunda ekil deitirme snrlar

2 ve 2b: Takviyelere dik dorultuda ekil deitirme snrlar

es : 1 - 2 dzleminde kayma snr (her iki ynden ayn) Takviye dorultusu ile 0 as yapan bir x gerilmesi

1 =x cos2

2 =x sin2 [2.44]

12= -x sin . cos

gerilmelerini yaratr, bunlarn etkisiyle ortaya kacak ekil deiimleri ise

1

21211 E

= ,

2

12122 E

= ,

12

1212 G

= [2.45]

olacaktr.

ekil deiimi snrlar yazlarak

2

x E

X = ,

2

y E

Y = ,

12s G

S = [2.46]

Bu deerler yerine konulursa akma (krlma) kriteri

sincosX

212

2x

< [2.47]

cossinX

212

2x

< [2.48]

cososs

S x < [2.49]

eklini alr. Grld gibi bu kriter de bir ncekinden farkl olarak Poisson oranlar da dikkate alnmaktadr.

2.6.3. Tsai Hill Teorisi

- 21 -

Tsai ve Hill anizotropik malzemeler iin aada grlen akma teorisini ileri srd.

(G+H)12+(F+H)22+(F+G)322H122G132F23+2L232+2M132+2N122=1 [2.49]

Teorisini yukardaki [2.49] denklemi ile ifade itti. Bu teori Von Mises izotropik akma teorisinin anizotropik malzemelere tatbik edilmi hali olarak dnlebilir.

Sadece 12 kayma gerilmesinin etkisi var ise;

2S12N = [2.50]

sadece 1 etki ediyor ise;

2X1HG =+ [2.51]

ve sadece 2 etki ediyor ise;

2Y1HF =+ [2.52]

Eer 3 dorultusundaki gerilme Z ile gsterilirse ve sadece 3 etki ediyorsa:

2Z1GF =+ [2.53]

Bu bantdan denklemler zlerek H, G, F bulunur.

222 Z1

Y1

H12H += [2.54]

222 Y1

Z1

X12G += [2.55]

222 X1

Z1

Y12F += [2.56]

- 22 -

1. dorultusunda takviye edilmi dzlem gerilme iindir. Bununla beraber ekil 2.28 deki gibi bir takviyede geometrik simetri dncesinden Y=Z dir. Bu taktirde denklem:

1s

y

x

x

212

2

22

221

2

21

=++ [2.57]

ekil 2. 28 Simetrik takviyeli anizotropik malzeme

eklinde ifade edilebilir. Sonu olarak takviye ekseni ile as yapacak ekilde bir ykleme

halinde, gerilmelerin, malzemenin asal eksenlerine indirgenmesi iin dnm denklemleri kullanlr.

2x

2

422

222

4

1ysin

sin)cosx

1s

1(x

cos=++ [2.58]

1 = x cos2

2 = x sin2 [2.59] 12 = - x cossin

[2.57] denkleminde 1, 2, 12 deerleri yerlerine konulduunda

2x

2

422

222

4

1Ysin

sin)cosX1

S1(

Xcos

=++ [2.60]

denklem elde edilir. Bu kriter yalnz bana kompozit malzemelerin krlmasn izah etmek iin yeterlidir.

ekil 2. 29 Takviye a deiimine gre gerilme deiimi

2.6.4. Tsai- Wu Tensr Teorisi

Bu teori anizotropik malzemeler iin aadaki forml akma olarak vermitir.

Fi i+Fijij=1 (i,j = 1....... 6) [2.61]

- 23 -

iki eksenli gerilme hali iin bu denklem

1 + F22 + F66 + F1112 + F2222 + F6662 + 2F1212=1 [2.62]

Tek eksenli gerilme halinde ise Xt ekme mukavemeti Xc basma mukavemeti olmak

zere forml [2.62] ksaca

F1 Xt + F11 Xt2 =1 [2.63] F1 Xc + F11 Xc

2=1 [2.64]

eklinde yazlabilir. Burada Fi tansr ile ifade edilen katsaylar malzemenin ekme ve basma

mukavemet deerlerine bal olarak yle ifade edilirler.

ct1

X1

X1F += [2.65]

ct11

XX1F = [2.66]

ct2

Y1

Y1F +=

[2.67]

ct22

YY1F =

[2.68]

F6 =0

266 S1F =

iki eksenli gerilme hali iin (2.62) denklemi

(F1+F2) + (F11+F22+2F12)2 = 1 [2.69]

(2.69) denklemi ile ifade edilir. Burada daha nceden belirlenmemi olan F12 eleman ise aada grld gibidir.

- 24 -

])YY1

XX1()

Y1

Y1

X1

X1([1

21F 2

CtctCtct212 +++++=

[2.70]

ekil 2. 30 Takviye a deiimine gre gerilme deeri

2.7. Krlma ve Akma teorilerinin karlatrlmas

Akma ve krlma ile ilgili bilgilerin ou, ince cidarl silindirlerin ok eksenli gerilmeye maruz braklmalaryla elde edilebilir. Byle tipik bir deneyin tanzimi ekil 2.31 de gsterilmitir.

ekil 2. 31 Akma ve krlma iin deney dzenei

Asal gerilmeler arasnda kontroll bir skala elde etmek iin bir dzenleme incelenmekte olan ince cidarl silindirin ular yardmc kapaklar ile kapatlmtr. Bylece silindirik basn kabnda kapal bir hacim elde edilmi olur. mevcut bolua sevk edilen basnl sv ile birlikte balklara P ekme veya kuvveti tatbik edilirse asal gerilmeler iin farkl oranlar elde edilir. Malzeme akma veya krlma snrna ulancaya kadar bu asal gerilme oranlar sabit tutulursa, malzeme iin aranan lmler elde edilmi olur. Ayn zamanda burulmaya, eksenel kuvvete ve basnca maruz tpleri kullanarak benzer deneyler yaplabilir.

Yukarda takdim edilen krlma teorileri ile baz klasik deney sonularnn karlatrlmas ekil 2.32 de gsterilmitir. Snek malzemelerde, deney ve maksimum distorsiyon enerjisi sonularnn yaknlna dikkatleri ekelim. maksimum normal gerilme teorisi gevrek malzemeler iin ok iyi sonu verdii halde gevrek malzemeler iin emniyetsiz bir kriter olmaktadr.

Basit ekme deneyi lm sonular btn teoriler iin karlatrma standard olduundan, tek eksenli gerilme halinde teorilerin hepsi uyuum ierisindedir. Bu nedenle, eer bir noktadaki asal gerilmelerden bir tanesi dierlerine gre byk ise bu teoriler pratik olarak ayn sonucu verirler. iki asal gerilme nmerik olarak birbirlerine ok yakn veya eit ise teorileri arasndaki en byk farkllk ikinci ve drdnc kuadrantta kendini gsterir.

- 25 -

ekil 2. 32 Akma ve Krlma Kriterlerinin deney sonucuyla karlatrlmas

Yukarda mnakaa edilen teoriler gelitirilirken malzemenin basn ve ekmede ayn zellie sahip olduu kabul edilmitir. Halbuki kayalar, dkme demir, beton ve topraklarn zelliklerinde, tatbik edilen gerilmenin iaretine bal olarak korkun farkllklar grlmektedir. deney ile teori arasnda daha iyi bir uyuum salamak iin ilk defa 1885 ylnda C. Duguet tarafndan teoride yaplan deiiklik ekil 2.33 (a) da gsterilmitir. Bu deiiklik baz maddelerin iki eksenli basnca kalmalar halinde mukavemetlerinin yksek olaca gereini yanstmak iin yaplmtr. A. A. Griffith mikroskobik atlaklarda yzey enerjisi fikrini ortaya atarak yukardaki gzlemin aklanmasnda baz dzeltmeler yapm ve krlp yklma konusunda ekmenin basnca gre daha ciddi bir sorun tekil ettiini grmtr. Bu teoriye gre, eer mevcut ekil deitirme enerjisi geri dn hz (veya azal hz) atlak yzey enerjisi artmndan byk ise atlak hzl bir ekilde yaylacaktr. Orjinal Griffith kavram G. R. Irwin tarafndan byk apta gelitirilmitir.

Kendi adyla bilinen gerilme emberini tekil eden Otto Mohr, malzemenin kmesini tahmin edici dier bir yaklam teklif etmitir. nce bir basit ekme, bir basit kayma ve bir de basit basn deneyleri yaplr, ekil 2.33 (b) ye baknz. Bundan sonra, elde edilen bu deney sonularyla baml Mohr emberlerinin zarf olan eri bulunur ve buna krlma zarf ad verilir. Bu zarf teet olarak izilecek olan emberler, deme noktasndaki krlmann artlarn verir. Bu yaklam tarz zemin mekaniinde iyi uygulama yeri bulmaktadr.

- 26 -

( a ) ( b ) ekil 2. 33 Muhtemel krlma kriterleri

Malzemenin davran gerilme uzayndaki inceleyecek yerde (ekil 2.31 deki gibi), (x+y +z) gerilme in varyant ve gerilmeler koordinat ekseni olarak seilebilir. Bu yaklama dayanan ok faydal krlma kriterleri elde edilmitir.

Baz hallerde yukarda incelenen akma ve krlma kriterlerini uygulamak o kadar da iyi olmayabilir. Blgesel veya burkulma olaylaryla problem komplike bir hale sokulmadka, deneysel olarak tayin edilmi bu tip eriler yukarda tartlan mukavemet kriterlerine edeerdir.

2.8. Anizotropik Malzemelerin Akmas veya Krlmas

Anizotropik yapdaki malzemelerin akmas ve krlmas izotropik yapdaki malzemelerden farkldrlar. Ahap, fiber-glas malzemeyi gz nne alalm. (ekil.2.34)

ekil 2. 34 Ahap veya fiber-glas malzeme rnei

Bu malzeme 1 dorultusunda cam lifleri ile takviye edilmi polyester veya epoksi olabilir. Bunun nce 1 dorultusundaki mukavemeti bulunur. Ayrca malzemenin 2 dorultusundaki mukavemet, 2 dorultusundaki mukavemetten farkl olmaktadr. Ayrca malzemenin bir de kayma mukavemeti bulunur. Bu temel mukavemet bulunduktan sonra Von-Mises kriterine benzer kriterler ile bu tip malzemelerin akmalar veya krlmalar izah

- 27 -

edilir. Bu sahadaki kullanlan kriterler Tsai-Hill ve Tsai-Wu kriterleridir. Tsai-Wu kriteri Tsai-hill kriterlerinden genellikle daha iyi sonu vermektedir. Fakat daha fazla deneysel almaya da gerek duyulmaktadr.

2.9. Akma Yzeyi ( Haigh-Westergard Gerileme Uzay)

Mesela Von-Mises kriteri iin bir malzemenin akma art;

o

213

231

221

6G1])()()[(

12G1

=++ [2.71]

dr. Bu bant fonksiyon olarak yle yazlabilir:

f (1 , 2 , 3 , 0 )=0 [2.72]

Bu ifade 1 , 2 ve 3 'n deimesine gre bir uzay ekli verilir. Burada akma yzeyi

veya gerilme uzay ismi verilir. 1 , 2 , 3 eksen takmn alalm (ekil.2.35). Bu yzeyde

dorultman kosinsleri l = m = n =31

dzlemlerinde gerilemelerin deerleri;

=2 - 1 + m22 + n

2 3

de yerine konarak

3321

++

=M [2.73]

bulunur. Demek ki ON= k3

1j3

1i3

1ON ++= dorultusuna dik btn

dzlemlerde 1 = 2 = 3 = M

- 28 -

ekil 2. 35 Kartezyen koordinatta gerilme

dir. Bunlar hidrostatik gerilme durumunu gsterir. Bu dorultuya dik dzlemlerin denklemini elde edelim. ekilden;

k)p3

1j3

1i3

1(A ++= [2.74]

burada p=ON uzunluudur. OP vektr ise;

kjiPO 321 rrrr ++= [2.75]

ve vektr toplam ileminden;

POBArrr

=+

APOBrrr

= [2.76]

ON'in birim vektr n ise, nr

ve Br

birimlerine dik olduundan dolay

nr

. Br

= 0 ve A=Y yazarsak,

0p)kji)(k3

1j3

1i3

1( 321 =++++rvrrrr

[2.77]

- 29 -

p30p3

13

13

1321 =++=++ [2.78]

bulunur. Bu dzlemin denklemi,

p3 321 =++

dur. Orijinden geen ON'e dik dzlemde p=0 dr. ve dolaysyla.

0 321 =++ [2.79]

bulunur. Buna p dzlemi denir. fiimdi herhangi bir P noktasndaki gerilmeyi gz nne alalm. Bunun ON'e paralel ve dik bileenleri srasyla A ve B olsun.

M321

33

. =

++=== ONnPOA r

r

B2= OP2 - A2 buradan

B2 = 12 +22 + 32 - 3M2 = (1- M)2 + (2 - M)2 + (3 - M)2

31

= [ (1- 2)2 + (2 + 3)2 + (3 - 1)2 ] bulunur.

Bu ksm bizi arplma enerjisine gtrmektedir. B vektr pi dzlemine paraleldir. Eer farkl bir gerilme durumu olarak P' noktasn alrsak P' noktas P' den geen ON'e paralel

dorultu zerinde bulunsun. OP ile OP'nun pi dzlemi zerindeki izdmleri ayndr. Eer bu

doru zerindeki noktalardan biri akma yzeyi zerinde ise btn dier noktalar da akma yzeyi zerindedir. nk hepsinde Von-Mises kriterlerine kar gelen B deeri ayndr. Buradan, akma yzeyinin ON dorultusuna paralel dorulardan tekil olduu sonucuna varrz.

Dolaysyla bu yzey silindirik bir yzeydir. ON dorultusuna dik ve orijinden geen pi dzleminde [1 + 2 + 3 = 0] olduundan eksenlerin bu dzlem zerindeki izdmleri 120o 'lik a yaparlar, ekil 2.36 dzlemindeki bir P noktasnn kutupsal koordinatlar r ve olsun.

- 30 -

imdi 1 , 2 ve 3 'un pi

ekil 2. 36 Kutupsal koordinatta gerilme

dzleminde bulunan eksen takmndaki bileenlerini bulalm. Mesela 1 gerileme vektr iin

(ekil 2.37) eklinden

32

)3(11OKcosaOL 121 === [2.80]

nk Cosb = 1 3 olduundan Cosa = 32bcos1 2 =

ekil 2. 37 Gerilme vektr

Bu durumda 1, 2 ve 3 ' n p dzlemindeki izdmleri

132

, 232

, 332

ve

a = 2

cos032

cos3032 12

1

=

- 31 -

b = 332

- 232 Sin30o- 1

32 Sin30o

b = 6

1 (23

- 2 - 1)

r 2= a 2 + a 2 = 31

[(1- 2)2 + (2- 3)2 + (3- 1)2] = o2 [2.81]

r2 = 20 2

= sabit

ve

)3(2

tga

btg

12

12311

==

yleyse bu silindirin, silindire dik bir dzlemle arakesiti Von-Mises kriterlerinde bir

ekil 2. 38 boyutlu uzayda Von-Mises ve Tresca kriteri

dairedir. (ekil. 2.38.)Tresca kriterlerinde ise bu altgendir. Sonu olarak buradan grlmektedir ki, boyutlu halde akma yzeyi Von-Mises

kriterinde bir silindir ve Tresca kriterlerinde de bir prizmatik yzeydir; bunlarn yanal yzeylere dik kesitleri de srasyla daire ve altgendir.

3. SONLU ELEMANLAR METODU

Mukavemette ve yap elemanlarnn boyutlandrlmasnda temel karakteristik deer bulunmaktadr.

Bunlar, mukavemet (akma veya krlma), rijitlik ve buna bal olarak deformasyon ve stabilitedir. Stabilitede kritik parametreler dierlerinden ok daha farkldr. Akma ve kopmada sistemdeki gerilmeler belirli bir deeri amsa sistemde emniyet kalmamtr denir. Bu tip problemlere gerilme problemi denir. Mhendisler uratklar kompleks problemlere dorudan yaklaamadklar ya da dorudan yaklamla zmn daha zor olduu durumlarda ana problemi daha kolay anlalabilen alt problemlere ayrp, sonra bu alt problemlerin zmnden orijinal problemin zmn elde etmeleri ou zaman kullanlan tabii metodudur.

- 32 -

Problemin zmnde, iyi tanmlanm sonlu sayda eleman kullanarak yeterli bir model elde edilebilir. Byle problemler sonlu olarak adlandrlr. Baz problemler matematiksel sonsuz kk kurgusuyla tanmlanabilir. Bu tanm diferansiyel denklemlere veya sonsuz sayda eleman kullanmna gtrr. Bu sistemler srekli olarak vasflandrlr. Gerekte elastik srekli ortamda elemanlar aras balant noktalarnn says sonsuzdur.

Sonlu elemanlar metoduyla bu sonsuz saydaki balant sonlu bir sayya indirgenir. Cisim sanki sadece bu noktalardan birbiriyle balym gibi dnlr. Sonlu sayda bu balant noktalan ne kadar oaltlrsa bu metot ile yaplan zmdeki hata oran o kadar klr. Dier taraftan bu saynn ok fazla artmas da saysal zmlemede byk zorluk getirir. Bilgisayarlar yardmyla bu zorluk bir derece giderilmitir.

Sonlu eleman metodunun nemli bir zellii, tm problemi temsil etmek zere elemanlar toplamadan nce, her bir eleman iin ayr formln kullanlmasdr. Eer bir gerilme analizi problemi ile urayorsak her bir elemana etki eden d kuvvetler ile elemann dm noktalarnn, yer deitirme bantlar bulunduunda tm sistem zlm olur. Bu ekilde kompleks bir problem olduka basit bir probleme dnr. Sonlu elemanlar metodunda eleman zellikleri deiik yollardan formle edilir. Genelde uygulanan zm metotlar;

1- Direkt yaklam

2- Varyasyonel yaklam

3- llm kalc yaklam 4- Enerji dengesi yaklam eklindedir.

Kullanlan yaklam ne olursa olsun sonlu eleman metoduyla problem zmnde aadaki yol takip edilir; a) Srekli ortamn (cismin) hayali izgilerle veya yzeylerle elemanlara blnmesi elemanlarn geometrisi ortamn fiziki yapsna uygun seilmelidir. b) Komu elemanlar birbiriyle belirli sayda dm noktalan vastasyla balanm kabul edilir. Bu dm noktalarnn yer deitirmeleri basit yaplarn analizinde olduu gibi problemin bilinmeyen ana parametreleridir. c) Her bir sonlu elemann yer deitirmesini tanmlamak iin dm noktalarnn yer deitirmeleri cinsinden fonksiyonlar seilir (genelde bir polinomdur). Polinomun derecesi elemana konulan dm saysna baldr.

- 33 -

d) Elemanlar ve yer deitirme fonksiyonlar seildikten sonra her bir elemann zelliklerini ifade eden matris denklemleri tekil edilebilir. Bunun iin yukarda bahsedilen drt yaklamdan biri kullanlr. e) Elemanlara blnen sistemin zelliklerini bulmak iin elemanlarn zelliklerim toplamak gerekir, dier bir ifadeyle elemanlarn davranlarn ifade eden matris denklemlerini birletirerek

4. CATIA PROGRAMI HAKKINDA

Kritik hesaplamalarn gerekli olduu uak endstrisinde zellikle bilgisayarla tasarm nem kazanmaktayd. Uak konstrktrleri uak formunun optimizasyonu ve arlnn minimize edilebilmesi iin gerekli olan akkan hareketleri ve mukavemet testleri adna bir takm programlar gelitirdiler.

Bundan birka zaman nce Fransz uak imalatlarndan Dassault Aviation irketi yzeyleri bir bilgisayarda oluturabilmek iin almalara balad. Bu amala 1969 da interaktif bir grafik programn oluturulmas faaliyetlerine nayak oldular.

- 34 -

Bu programn yardmyla srt ve kanat yzeylerinin tasla bilgisayarda sakland gibi izilebiliyordu. Bu veriler daha sonra aerodinamik aratrmalar, yap analizi ve NC tezgahlarn kumanda edilmeleri iin kullanld. Bu tarzda gelitirilmi ilk uak Alpha-Jetdir.

CATIA-Fonksiyonu SPLINE bu programla gelitirilip o zamandan bu bugne hemen hemen hi deimeden gelmitir.

1975 de Dassault Aviation ( Havaclk) bir Amerikan firmas olan Lockheed den 2D izim paketi olan CADAM' ald. 3D geometrik tanmlamalar iin bu programa karlk, geliimine 1977'de balanan kendine has bir yazlm tasarland. Buna da CATIA (Computer Aided Three-Dimensional Interactive Application / boyutlu bilgisayar destekli etkileimli uygulama ) ad verildi.

1979 ncesi CATIA ile ilk hava kanal modeli 4 hafta ierisinde tamamland. Daha nceleri bu alma iin 6 haftaya ihtiya duyuluyordu.

Zaman iinde Francis Bernardn idaresindeki gelitirme grubundaki eleman says 3 den 15'e kt. Gelitirilmesine gerekli olan yksek maliyet an kapatmak iin CATIA'y pazara sunma kararna varld. 1981 de Dassault Systemes firmas Dassault Aviationun bnyesinde barnan bir ube olarak tesis edildi. Yine ayn yl IBM ile yazlmn pazarlanmas hususunda szleme yapld.

1981 Kasm aynda CATIA V1, IBM tarafndan Mainframe ortamna aktarld. CATIAnn teknolojik avantajlar ve hardwaredeki fiyat d hzl bir geliime sebep oldu. 1985'de V2 tantld. 1988'de V3 ile birlikte i istasyonuna dnme devresi balad. Gncel CATIA V4 1993 senesinde pazara sunuldu. Bu esnada Dassault Systemesin alanlarnn says 1000i at.

CATIA V4 ksa srede zellikle ana sanayi ve byk lekli yan sanayi firmalar tarafndan benimsendi ve kullanm giderek daha fazla yaygnlat. Bu geliime paralel olarak Dassault Systemesin baka bir Fransz yazlm irketi Matra Datavisionu bnyesine katmasyla yazlm daha da glendi.

2000 ylna yaklaldnda, PClerin giderek glenmesiyle birlikte, Windows iletim sistemi i istasyonlarnda da yaygnlat ve CAD/CAM/CAE sistemlerinde kabul grmeye balad. Bu geliime paralel olarak 2000 ylnda, tamamen Windows iletim sistemi iin yeniden yazlm olan CATIA V5 duyuruldu.

CATIA V5 gerek kullanm kolayl, gerekse sunduu esneklik, bilgi birikimini deerlendirebilme gibi avantajlarla pazarda ok abuk yaygnlat. zellikle endstride anasanayi - yansanayi entegrasyonunun nem kazanmasyla, orta ve kk lekli yan sanayi

firmalar tarafndan da benimsendi.

- 35 -

CATIA V5, IBMin dnyada ilk defa ortaya att ve bugn hemen hemen tm byk lekli CAD/CAM/CAE yazlm firmalar tarafndan da kullanlan PLM (Product Lifecycle Management- rn Yaam evrimi Ynetimi) kavramnn yaygnlamasnda temel rol stlendi.

Bugn artk CATIA otomobil, uak, makina ve dayankl tketim eyas endstrilerinde 200.000 den fazla kullanc tarafndan en nde gelen st seviye CAD/CAM/CAE sistemi olarak tercih edilmektedir.

Bilgisayar teknolojisindeki ve CAD/CAM/CAE sistemlerindeki hzl ilerlemeler sayesinde karmak mhendislik problemleri artk eskisine gre daha kolay modellenebilmektedir. lk prototipin retiminden nce birka alternatif bilgisayar ortamnda test edilebilmektedir. Bu saylan ilerlemeler sayesinde, temel teorileri, modelleme tekniklerini ve sonlu elemanlar metodunu kullanan bilgisayar programlarn kullanarak problemleri ok daha hzl zmek mmkn olabilmektedir. Bu ekilde yaplan bir analizde ok karmak ve byk bir geometrik ekil, sonlu elemanlar olarak adlandrlan ok basit ve ufak elemanlara blnmektedir. Bu sonlu elemanlarn malzeme zellikleri ve davransal zellikleri tanmlanr ve eleman kelerinde bu zellikler bilinmeyen deerler gibi ifade edilir. rnein bir montaj prosesinin analizinde, montaj ok ufak olan sonlu elemanlara blnr, daha sonra yklenmeleri ve snr artlarn ieren birka denklem oluturulur ve bu denklemlerin zlmesiyle asl sistemin yani montaj prosesinin davran ekli yaklak olarak elde edilmi olur.

Sonlu elemanlar metodu, mhendislik problemlerinin byk bir blmnn saysal olarak zmlerinin bulunmasnda yararlanlan gl bir aratr. Sonlu elemanlar metodundan otomobil, uak, bina ve kpr tasarmlar srasnda deformasyon ve gerilme hesaplarndan, s transferi ve akkan problemleri ile manyetik alan hesab gibi birok karmak problemlerin zmne kadar faydalanlabilir.

Sz konusu analizler iin CATIA V5 in Generative Structural Analysis adl arayz kullanlacaktr. Arayz ierisinde Sonlu Elemanlar Metodu kullanlarak para bazl ve montaj bazl eitli analizler yaplabilmektedir. CATIA V5 ortamnda yaplabilecek analizler; statik lineer (eilme, burulma, burkulma vs.) analizler ve titreim (modal, transient, harmonik) analizleridir.

- 36 -

5. ZOTROPK VE ORTOTROPK MALZEMENN GERLME ANALZ

ekil 5.1de bu almada izotropik ve ortotropik olarak analizi yaplacak olan geometri verilmektedir. i bo daire halkas eklindeki silindir parann dolu ksmnn ortasnda dairesel kesitli ve evresel boluun olduu farzedilen ve alt ksm sabit olarak balanm olan silindir elemann st ksm dzgn yayl ekme yk etkisine maruz braklmtr.

- 37 -

ekil 5. 1. Analizi yaplacak elemann teknik resmi ve snr artlar

almamzn konusunu oluturan geometrinin perspektif grn, mesh dalm ve snr artlarnn uygulama yerleri ekil 5.2de grlmektedir.

- 38 -

ekil 5. 2. Catia V5 programnda eklin grn ve melenmi hali.

almann konusunu oluturan geometri alt ksmndan ankastre mesnetlenmi ve y-ekseni boyunca F=1000 N/m2 olacak ekilde yklenmitir. Alnan parametrelere gre meydana gelen elaman ve dm says Tablo 5. 1. de grlmektedir.

Tablo 5.1 elik ve ortotropik numunelerde kullanlan dm ve eleman saylar

Delik Yarap : r (mm) Dm Says

Eleman Says

3 37768 30559 5 36954 29868 7 26436 22154 9 26460 22106

11 26215 21931

Deliin silindir merkezine uzakl : R (mm)

Dm Says

Eleman Says

50 33543 27245 60 37617 30316 70 36954 29868 80 40225 32015 90 39767 31153

Seilen malzemelerin mekanik zellikleri; elik iin E=200 GPa ve =0.266 alnmtr.

Ortotropik malzeme iin E1 = 138 GPa, E2G = E3 = 14.5 GPa, G12 = G13 = G23 = 5.86 GPa, 12 =

13 = 23 = 0.21 alnmtr.

- 39 -

5.1. Analiz sonular

Dairesel kesitli boluk evresinde oluan maksimum gerilme deformasyonun grld ilk blgeler olaca iin byk yk altnda kopma olay buradan balayacaktr. Programda bu blgelerin resimleri alnmtr. Bu blgelerin grafii kartlmtr. ekil 5. 3. de x ekseni zerindeki deerler gz nne alnarak grafik izilmitir.

ekil 5. 3. Gerilme deerlerinin alnd blge

ekil 5. 4. Dairesel kesitli boluk blgesi

ekil 5. 3. ve ekil 5. 4. te dairesel kesitli boluk blgesindeki gerilme dalm grlmektedir. Dairesel boluk evresindeki krmz blgeler gerilmenin en byk olduu deerlerdir. Mavi renkli blgeler ise gerilmenin en dk olduu blgeleri tanmlamaktadr. Bylece dairesel boluk evresindeki gerilme dalmn renklere gre tespit etmek mmkndr.

- 40 -

5.1.1 elik Malzeme iin Analiz Sonular

5.1.1.1. Dairesel boluk merkezinin silindir merkezine uzaklnn (R) deiimine gre

R=50mm ve r=5 mm iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)

ekil 5. 5. R = 50mm iin gerilme deiimi

Yukardaki analiz sonularna gre, maksimum gerilme dairesel boluk ile silindirin i yzeyi arasndaki ksmnda meydana gelmektedir. Bu ksmdaki mesafenin az olmas nedeniyle bu blgelerde gerilmelerin yksek kmas beklenen bir sonutur. Yukardaki ekilde, kesitte meydana gelen gerilme deerleri renk haritasna gre okuna bilmektedir. Snr artlarnn ve eklin simetrik olmas nedeniyle gerilme deerleri dikey kesitte grld gibi simetrik dalmtr. ekle gre maksimum gerilme deeri 1,29x105 N/m2 dir.

- 41 -

R=60 mm ve r=5 mm iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5. 6. daki grafie gre silindir i yzeyi ile dairesel boluk arasndaki mesafenin silindir d yzeyi ile dairesel boluk arasndaki mesafeden daha az olmasndan dolay dairesel boluun sol tarafndaki gerilme deeri sa taraftaki gerilme deerinden daha yksek deerlerde meydana gelmektedir. Silindir i yzeyi ile dairesel boluk arasndaki mesafenin artmasndan dolay maksimum gerilme deeri ekil 5. 5. e gre daha dktr. ekle gre maksimum gerilme deeri 1,16x105 N/m2 dir.

- 42 -

R= 70 mm ve r=5 mm iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


R=70 mm olmas ile silindir cidar kalnlnn ortasna gelen dairesel boluun ekil 5. 7. de daha dengeli bir gerilme dalmna sebep olduu grlmektedir. Bu ekilde maksimum gerilme deerinin bir nceki ekil 5. 6. ya gre daha da dt grlmektedir. Silindir i ve d apn arasndaki orta noktas olan R=70 mm deerinde gerilme deerinin en dk olmas beklenmektedir. Grld gibi dier R deerleri iinde en dk maksimum gerilme deeri 1,06x105 N/m2 dir.

- 43 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5. 8. de grld gibi dairesel boluk evresindeki gerilme dalm gerilmenin yksek olduu her iki blge iin maksimum gerilme deerleri birbirine yaklamtr. Bu verilere gre dairesel boluun ikiye bld kesit alannn dairesel boluk evresinde oluan gerilme younluuna etkisini grmek mmkn olmaktadr. Dairesel boluk, silindir d cidarna yaklatka bu ksma yakn taraftaki gerilme deerinin art gzlemlenmektedir. Bir nceki maksimum deer 1,06x105 N/m2 iken R deerinin 80mm olmasyla 1,12x105 N/m2 olmutur.

- 44 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5. 9. da grlen gerilme deerinin silindirin d cidarna yakn ksmnda ilk kez byk olduu grlmektedir. ekildeki maksimum gerilme deeri bir nceki deere gre art gstermitir. Daha nceki verilere bakarak dairesel boluun konumunun, boluun hangi blgelerinde gerilme younlamasna etki ettii grlmektedir. Bu deerle birlikte dairesel boluun i ve d cidarlarna yakn ksmlarda gerilme deerlerinin daha yksek olmas nedeniyle bu ksmlardan malzemenin kopmaya balamas beklenmelidir.

- 45 -

5.1.1.2. Dairesel kesitli boluk yarapnn (r) deiimine gre

r= 3 mm ve R=70 iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ise

s(N

/m2)

ekil 5. 10. r = 3mm iin gerilme deiimi

Yukardaki ekilde, dairesel boluk etrafnda meydana gelen gerilme dalm grlmektedir. Maksimum gerilme deerlerinin olutuu dairesel boluk blgesi ekil 5.10. da grlmektedir. Yarap (r = 3) deeri en kk deer olduu iin kesit alan en byk kacaktr. Bu nedenle bu gerilme deerinin daha byk yaraplara gre, dairesel boluk cidarnda oluan en dk maksimum gerilme deerinin kmas beklenmektedir. Bu r yarapndaki maksimum gerilme deerinin 9,8x104 N/m2 olduu grlmektedir.

- 46 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5. 11. de grld gibi maksimum deer 1,06x105 N/m2 dir. Bir nceki ekle gre maksimum gerilme deerinin artt grlmektedir. Bunun nedeni delik apnn artmasyla birlikte yk karlayan alann klmesidir. Gerilme tanm Kuvvet/Alan ise, bunun sebebini aka ortaya koymaktadr. Dairesel boluun etrafnda oluan gerilme younluunun silindirin i cidarna yakn olan ksmnda daha yksek olduu grlmektedir.

- 47 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-m

ises

(N/m

2)


Maksimum gerilme deeri, alann klmesiyle ters orantl olarak artmaktadr. Dairesel boluk evresindeki gerilme younluu da r yarapnn artmasyla daha belirgin hale gelmektedir. Bu ekildeki maksimum gerilme deeri 1,12x105 N/m2 dir. Gerilme younluu yine dairesel boluun i cidara yakn olduu ksmda biraz daha fazladr.

- 48 -

r = 9 mm ve R=70 iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5. 13. e gre maksimum gerilmedeki art yine gzlemlenmektedir. Bu ekildeki maksimum gerilme deeri 1,19x105 N/m2 dir. ksmdaki gerilme younluu yine d ksma gre daha fazladr.

- 49 -

r = 11 ve R=70 iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5. 14.teki gerilme dalm ekil 5.13. ile benzer zellikler gstermektedir. Dairesel boluk blgesindeki maksimum gerilme deeri delik apnn artmas ile daha da artmtr. Maksimum gerilme deeri olan 1,23x105 N/m2 lik deer hesaplanan en byk r yarap iin elde edilen en byk deerdir.

- 50 -

5.1.2. Ortotropik Malzeme ile Yaplan Analiz Sonular

5.1.2.1. Dairesel boluk merkezinin silindir merkezine uzaklnn (R) deiimine gre

R= 50 mm ve r=5 iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100(mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekilde grld gibi gerilme i boluk evresinde younlamtr. Gerilme eklin geneline yaylma gstermemitir. Gerilme younluun elik malzemesinde olduu gibi silindir geometrisinin i cidarna yakn yerde daha yksek olduu grlmektedir. Ayrca ortotropik malzemede E1 ve E2 deerlerinin farkl olas nedeniyle ekilde yatay kesitte x ve z eksenleri boyunca gerilme dalmnda simetriklik grlmektedir. elik malzemede ise bu simetriklik orijine gre olmaktadr. Dairesel boluk evresinde oluan maksimum gerilme deeri 1,32x105 N/m2 dir.

- 51 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100(mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


Maksimum gerilme deerini 1,22x105 N/m2 olarak hesapland grlmektedir. Bu deer bir nceki deerin altndadr. Bylece dairesel boluk evresindeki maksimum gerilme deerinin i cidardan orta ksma yaklamasyla azalma gsterdii anlalmaktadr. ekil 5. 16. da gerilmenin eksenlere gre simetrik dalm ortotropik malzeme iin daha belirgin biimde grlmektedir.

- 52 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)

ekil 5.17. R = 70mm iin gerilme deiimi

boluk evresindeki maksimum gerilme deeri bir nceki R deeri iin azalma gstermitir. Bu sonuca gre daha nceki elik malzemenin analizinde olduu gibi R=70 olduu durumda maksimum gerilme deerinin en dk noksanna geldii grlmektedir. ekil 5. 17 de grld gibi bu deer 1,09x105 N/m2 dir. Bu, silindirin i ve d cidar arasnda tam orta noktadaki dairesel boluk iin beklenen bir sonutur.

- 53 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


Dairesel boluk evresinde oluan maksimum gerilme deeri bir nceki ekle gre artmtr. Bu ekildeki maksimum deer 1,16x105 N/m2 dir. Dairesel kesitli boluk evresindeki gerilme younluunun silindirin d cidarna yakn ksmnda daha fazla olduu grlmektedir. (ekil 5.18)

- 54 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

1,60E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


Gerilme younluu d cidar civarnda iyice belirginlemektedir. nk cidar kalnlnn azalmas gerilmenin bu ksmda younlamasna sebep olmutur. Bununla birlikte R=90 deeri iin en yksek gerilme deeri olumaktadr. Maksimum deer ekil 5.19. da grld gibi 1,34x105 N/m2 dir.

- 55 -

5.1.2.2. Dairesel kesitli boluk yarapnn (r) deiimine gre


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)

ekil 5. 20. r = 3mm iin gerilme deiimi.

Setiimiz dairesel boluk apnn en kk r deeri iin maksimum gerilme deeri 1,01x105 N/m2 dir. Gerilme younluu i cidara yakn blge iin daha fazladr. ekil 5. 20. de x ve z eksenlerine gre simetrik olduu da grlmektedir.

- 56 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5.21. de maksimum gerilmenin dairesel boluk cidarnda artt grlmektedir. Burada deien parametre r yarapnn artmasdr. Daha nce belirtildii gibi, bu kuvvet ynne dik kesit alannn klmesi demektir. Basit olarak gerilme kesit alanyla ters orantl olarak deimekte ve alan kldke gerilme deeri artmaktadr. Dairesel kesitli boluk evresinde oluan maksimum gerilme deeri 1,09x105 N/m2 dir.

- 57 -


0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5. 22. de x ve z eksenlerine gre gerilme dalmnn eksenlere gre simetrik olduu, ekil 5. 21. e gre daha iyi grlmektedir. Bir nceki ekle gre maksimum gerilme deerinde art grlmektedir. Maksimum gerilme deeri 1,16x105 N/m2 dir.

- 58 -

r = 9 ve R=70 iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


Gerilmenin younlat dairesel kesitli boluk evresinde oluan maksimum gerilme deeri 1,22x105 N/m2 dir. Yine bir nceki ekle gre maksimum gerilme deerinde art grlmektedir. ekil 5. 23. e gre gerilmenin younlat blge artmtr. Bu sonu bu blgenin daha ok deformasyona urayaca anlamna gelmektedir.

- 59 -

r = 11 ve R=70 iin:

0,00E+00

2,00E+04

4,00E+04

6,00E+04

8,00E+04

1,00E+05

1,20E+05

1,40E+05

40 50 60 70 80 90 100

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)


ekil 5. 24. te yksek gerilmelerin younlat alanda art grlmektedir. Bu ekilde rnin en byk deeri iin maksimum gerilme deeri 1,29x105 N/m2 dir. elik malzemede olduu gibi maksimum gerilme deeri olan r=11 yarap iin analiz sonucunda en byk deer elde edilmitir.

- 60 -

5. 3. Elde edilen analiz sonularnn genel deerlendirilmesi

Aadaki grafik, dairesel kesitli boluk merkezinin silindir merkezine olan uzaklnn deimesiyle meydana gelen maksimum gerilme deerlerini gstermektedir.

1,00E+05

1,05E+05

1,10E+05

1,15E+05

1,20E+05

1,25E+05

1,30E+05

1,35E+05

1,40E+05

50 60 70 80 90

R (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)

elikOrtotropik

ekil 5. 25. R mesafesinin deiimine bal olarak maksimum gerilme deerleri.

ekil 5. 25. de grld gibi R mesafesi kesintin tam ortas olarak alndnda (R=70 mm) hem izotropik hem de ortotropik malzeme iin en dk gerilme deerleri elde edilmektedir. R mesafesi silindir i ve d yzeyine doru kaydrldnda orta kesitteki gerilme deerlerinden daha yksek gerilmeler olumaktadr. zotropik (elik) malzeme ile ortotropik malzemenin, maksimum Von-Mises elenik gerilme deerleri arasnda kk deer farkllklar olduu ekil 5. 25. grafiinde grlmektedir.

- 61 -

ekil 5.26 dairesel kesitli boluk apnn deimesiyle meydana gelen gerilme deiiminden hareketle elde edilen maksimum gerilme sonularn gstermektedir.

8,00E+04

9,00E+04

1,00E+05

1,10E+05

1,20E+05

1,30E+05

1,40E+05

3 5 7 9 11r (mm)

Von

-M

ises

(N/m

2)

elikOrtotropik

ekil 5. 26. Dairesel boluk apnn (r) deiimine bal olarak maksimum gerilme deiimi.

ekil 5. 26. de grld zere hem izotropik (elik) hem de ortotropik malzeme iin dairesel boluk yarap r=3 mm iin en kk r=11 mm iin ise en byk gerilme deerleri elde edilmitir. Delik yarap bydke yke kar dik kesit alan kldnden dolay oluan gerilme deerleri artmaktadr ki bu beklenilen bir sonutur. Ayrca, nceki ekilde olduu gibi bu ekilde de elik ile ortotropik malzeme arasndaki gerilme farknn ok dk olduu grlmektedir.

- 62 -

6. SONULAR

Bu almada ierisinde dairesel kesitli evresel boluk bulunan izotropik ve ortotropik malzemeden oluan silindir eklindeki bir makine elemannda, dairesel boluun i yarap (r) ve boluk merkezinin silindir merkezine olan uzakl (R) deitirilmek suretiyle gerilme analizi yaplmtr. Analizler 5 farkl dairesel boluk yarap (r) ve 5 farkl R deerinde gerekletirilmi ve aadaki sonular elde edilmitir.

zotropik malzeme iin R deeri silindir i cidarndan cidarn orta ksmna ilerledike meydana gelen gerilme deeri d sergilemekte ve cidarn tam orta ksmnda (R=70 mm) minimum deerini almaktadr. Cidarn orta ksmndan sonra gerilme deeri tekrar bir art gstermekte ve R=90 mm de, R=50 mm deki gerilme deeriyle hemen hemen ayn olmaktadr.

Ortotropik malzeme iin R deerinin deiimiyle gerekletirilen analiz sonularndan elde edilen gerilme deerleri, seilen ortotropik malzemenin elastisite modl izotropik malzemenin elastisite modlnden daha dk olduundan, izotropik malzeme iin elde edilen gerilme deerlerinden daha yksek olarak elde edilmektedir. Burada da gerilme deerleri cidarn tam orta ksmnda minimum iken i ve d cidarda maksimum deerlerde meydana gelmektedir.

Dairesel kesitli boluun yarap (r) artka, silindir kesintinin alan azalmakta ve bu sebepten dolay da hem izotropik hem de ortotropik malzeme iin meydana gelen gerilme deerleri artmaktadr.

- 63 -

KAYNAKLAR

1. Bathe, KJ., 1982, Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey. 2. Cheung, YK., Yeo, MF., 1979, A Practical Introduction to Finite Elements Analysis, Pitman Publishing Limited, London. 3. Kato, A., 1991, Journal of Strain Analysis, Design Equation for Stres concentration Factors of Notched Strips and Grooved Shafts, Vol. 26, pp. 21-28. 4. Turgut A., Geit M. R.,1988, A Semi-Infinite Elastic Strip Containing aTransvverse Crack, The Arasian Journal, V.3, January

5. Turgut A., Arslan N.,1992, Kenarlarnda U entikler Bulunan zotrop ve Kompozit Levhalarda Gerilme Ylma Katsaylarnn Sonlu Elemanlar Analizi Metoduyla Tesbiti, Tr. Journal of Engineering and Environmental Sciences, Cilt 16, Sayfa 123-130 6. Turgut, A.,Arslan N.,Sancaktar, E.,1993 ,The Effect of Fiber Type on The Level of Stres Concentration Creates By U- Notches In Long-Fiber Conposite Plates, ASME, New Mexico 7. Arslan, N., Turgut, A. And Sancaktar, e., 1993, Reliability, Stres Analysis, and Failure Prevention, The effect of Fiber Type on the Level of Stres Concentration Created by U-Notches in Longer-Fiber Composites Plates, ASME ,DE-Vol.55,pp. 125-134. 8. Arslan, N., Turgut, A. And Sancaktar E., 1996, Reliability, Stress Analysis, and Failure Prevention Issues in Fastening and Joining, Composite and Smart Structures, Numerical and FEAS Methods, Risk Minimization, ASME ,Elasto-Plastic Finite Element Analysis of Isotropic Plates with U-Nothches, DE-Vol. 92, pp. 45-48. 9. Gibson., FR., 1994, Principles of Comosite Material Mechanics. McGraw-Hill International Editions, 1994. 10. Dowling, NE., 1993, Mechanical Behavior of Material , Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey.

11. Arslan, N., Sancaktar, E. And elik, M., 2000, Proceeding of DETC 2000 ASME 2000 Design Engineering Technical Conferences an Computers and Information in Engineering Conference, Elasto-Plastic Behavior of Thermoplastic Matrix Roller Chain Link Plates

Reinforced with Steel Fibers, Baltimore, Marylandi September 10-13, pp. 1-10. 12. Geit M.R., Turgut A.,1987, Extention of Finite Strip Bonded to Rigid Support, Comptational Mechanics, V.3, Page 398-410 13. Arslan, N., Turgut, A.,Gr,M.,1995, U entikli zotropik Levhalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi, 6.Denizli Malzeme Sempozyumu,Pamukkale niversitesi Mh. Fak. Denizli

- 64 -

14. Gr, M., Turgut, A., 1998, Kompozit Malzemeli Fatural Bir Kirite Gerilme Analizi, Harran niv. GAP 2. Mhendislik Kongresi anlurfa 15. Gr, M., Turgut, A., Sancaktar, E.,1995,The Effect of Fiber Type on The Level of Stressn Concentration Creates in Filletes Composite Rectangular Bars in Bending, ASME, San Francisco, California, USA

16. Arslan, N., Turgut, A.,Sancaktar.,E.,1996,Elasto-Plastic Finite Element Analysis of Isotropic Plates with U- Notches, ASME, Atlanta, Georgia, USA

15.Catia V5, Cad/Cam Lab., 2001,Whicita State University, National Institute for Aviation Research.

16. Catia v5r9, 2002,CAD TECH IBERICA, S.A. Area de Formacion,

.

Documents

Catia v5 Programi i̇le i̇zotropi̇k Ve Ani̇zotropi̇k Anali̇z