16
1 1 Centralna tendencija i mjerenje varijabiliteta Prof. dr. Mudim Pašić 2 Tipovi varijabli Varijable Numeričke Kategorijalne Diskretne Kontinuirane Ordinalne Nominalne 3 Tipovi varijabli Razlika između numeričkih i kategorijalnih varijabli je u mogućnosti izvođenja aritmetičkih operacija (koje imaju smisla). Telefonski brojevi – Poštanski broj grada – JMB Kategorijalna varijabla je ordinalna ako postoji prirodni redoslijed mogućih vrijednosti varijable. Ako ne postoji prirodni redoslijed mogućih vrijednosti varijable onda je ta kategorijalna varijabla nominalna Iako su ovo brojevi, to su ipak kategorijalne varijable 4 Tipovi varijabli Odgovori DA i NE – Ovo je nominalna kategorijalna varijabla Dodajmo svakoj različitoj kategoriji broj (kod) – 1 (DA) – 2 (NE) Da li brojeve 1 i 2 tretiramo kao kategorijalne ili numeričke varijable? 5 Tipovi varijabli Kategorijalne varijable mogu biti numerički kodirane ili biti nekodirane. Ali treba shvatiti da kodiranje kategorijalne varijable ne pretvara u numeričke Žene (1) – Muškarci (2) 6 Tipovi varijabli Nominalne kategorijalne varijable – Da li posjedujete računar DA NE – Da li ste vjenčani DA NE – Vaš spol Muškarac Žena – Boja džempera Bijela, Crvena, Crna Ne postoji prirodni redoslijed mogućih vrijednosti varijable

Centralna tendencija i mjerenje varijabiliteta (2).pdf

Embed Size (px)

Citation preview

  • 1

    1

    Centralna tendencija i mjerenje varijabiliteta

    Prof. dr. Mudim Pai

    2

    Tipovi varijabli

    Varijable

    Numerike

    Kategorijalne

    Diskretne

    Kontinuirane

    Ordinalne

    Nominalne

    3

    Tipovi varijabli Razlika izmeu numerikih i kategorijalnih

    varijabli je u mogunosti izvoenja aritmetikih operacija (koje imaju smisla). Telefonski brojevi Potanski broj grada JMB

    Kategorijalna varijabla je ordinalna ako postoji prirodni redoslijed moguih vrijednosti varijable.

    Ako ne postoji prirodni redoslijed moguih vrijednosti varijable onda je ta kategorijalna varijabla nominalna

    Iako su ovo brojevi, to su ipak kategorijalne varijable

    4

    Tipovi varijabli

    Odgovori DA i NE Ovo je nominalna kategorijalna varijabla

    Dodajmo svakoj razliitoj kategoriji broj (kod) 1 (DA) 2 (NE)

    Da li brojeve 1 i 2 tretiramo kao kategorijalne ili numerike varijable?

    5

    Tipovi varijabli

    Kategorijalne varijable mogu biti numeriki kodirane ili biti nekodirane.

    Ali treba shvatiti da kodiranje kategorijalne varijable ne pretvara u numerike ene (1) Mukarci (2)

    6

    Tipovi varijabli

    Nominalne kategorijalne varijable Da li posjedujete raunar DA NE Da li ste vjenani DA NE Va spol Mukarac ena Boja dempera Bijela, Crvena, Crna

    Ne postoji prirodni redoslijed moguih vrijednosti varijable

  • 2

    7

    Tipovi varijabli Ordinalne kategorijalne varijable

    Zadovoljstvo proizvodom Veoma nezadovoljan, Nezadovoljan, Neutralan, Zadovoljan, Veoma zadovoljan

    Postoji pririodni redoslijed od najnie do najvie mogue vrijednosti varijable

    Ali, razlika izmeu pojedinih kategorija nije dobro specificirana

    Akcenat je na: koja kategorija je vea, bolja, itd, a ne koliko

    8

    Tipovi varijabli Numerike varijable se dijele u

    diskretne i kontinuirane

    Diskretne su posljedica brojanja (konaan cijeli broj) Na koliko si asopisa pretplaena? Koliko puta izlazi sedmino?

    Kontinuirane su posljedica mjerenja Podaci su mjereni na beskonanoj skali gdje se moe

    neto rei o razlici izmeu brojeva Visina Teina Temperatura

    9

    Centralna tendencija

    Centralna tendencija varijable je tendencija podataka da se grupiraju ili centriraju oko neke numerike vrijednosti

    Kod centralne tendencije mi emo se fokusirati na Aritmetiku sredinu Modus Medijanu

    10

    Da se podsjetimo

    Sigma Sumiranje

    =

    n

    iix

    1

    =

    ++++=n

    ini xxxxxxx

    154321 ...

    11

    Sigma

    Za varijablu = {5, 7, 4, 3, 2, 5} n = 6 veliina uzorka ili broj promatranja

    varijable Izraunati:

    265234751

    =+++++==

    n

    iix

    x

    x=

    =n

    iix

    1

    12

    Pravila

    Suma konstante

    =

    =n

    ii cnc

    1

    c

  • 3

    13

    Pravila

    = konstanta

    ==

    =n

    ii

    n

    ii xcxc

    11

    )(

    c

    14

    Pravila

    Neka je = 5 i = {2, 4, 5, 2}

    =

    =+++=n

    iix

    1

    65)25()55()45()25(5

    x

    =

    =n

    iix

    1

    5

    =

    ==+++=n

    iix

    1

    65135)2542(55

    Izraunati:

    c

    =

    =4

    1

    )(i

    ixc

    15

    Pravila

    Suma zbira dviju varijabli, i

    ===

    +=+n

    ii

    n

    ii

    n

    iii yxyx

    111

    )(

    x y

    16

    Pravila Neka je: = {2, 4, 5, 2} = {5, 3, 2, 1}

    =

    =+++++++=+n

    iii yx

    1

    24)12()25()34()52()(

    =

    ++++=n

    iix

    1

    )2542( )1235(1

    +++==

    n

    iiy

    13 + 11 = 24

    xyIzraunati:

    =

    =+n

    iii yx

    1

    )(

    17

    Pravila

    Neka su i konstante

    ==

    +=+n

    ii

    n

    ii cnxacxa

    11

    )(

    a c

    18

    Pravila

    Suma kvadrata zbira dviju varijabli:

    =

    =+n

    iii yx

    1

    2)( =++=

    n

    iiiii yyxx

    1

    22 )2(

    = ==

    ++=n

    i

    n

    iiii

    n

    ii yyxx

    1 1

    2

    1

    2 )(2

  • 4

    19

    Pravila

    Uoiti

    == =

    ++n

    ii

    n

    i

    n

    iiii yxyx

    1

    2

    1 1

    22)(

    2

    11

    2

    ==

    n

    ii

    n

    ii xx

    20

    Alternativni simboli

    Mnoenje * 5*3 = 15

    Stepenovanje ^ 5^3 = 125

    Kvadratni korijen SQRT or ^0,5 SQRT(25) = 5 or (25)^0,5 or (25)0,5

    Sumiranje Sum = )( Sum xx

    21

    Aritmetika sredina

    Aritmetika sredina je suma vrijednosti promatrane varijable podijeljene sa veliinom uzorka

    Aritmetika sredina (AS) - za uzorak - za populaciju x

    22

    Aritmetika sredina

    XiXnX

    nXX

    n

    XX

    nXXXX

    i

    n

    i

    i

    n

    ii

    n

    et varijabl vrijednosta-uzorka velicina

    sredina aaritmetick :je gdje

    ili

    ...

    1

    1

    21

    =

    =

    =

    ==

    +++=

    =

    =

    Koristi se informacija o svim vrijednostima varijable

    23

    Aritmetika sredina

    Aritmetika sredina ima dvije vane matematike osobine: Suma devijacija oko aritmetike sredine

    jednaka je nula Suma kvadrata devijacija oko aritmetike

    sredine je minimalna

    24

    Aritmetika sredina

    Suma devijacija oko aritmetike sredine je jednaka nuli

    1.

    2.

    3.

    0)(1

    ==

    n

    ii xx

    ==

    =n

    i

    n

    ii xx

    110

    011

    = ==

    n

    ii

    n

    ii x

    n

    nx 011

    = ==

    n

    ii

    n

    ii xx

    Dokaz

    xnxn

    i=

    =1

    =

    =n

    icnc

    1

  • 5

    25

    Aritmetika sredina

    Osobina najmanjih kvadrata: suma kvadrata devijacija oko aritmetike

    sredine je minimalna

    =

    n

    ii xx

    1

    2)( Ne postoji druga vrijednost ili konstanta koju moemo staviti u jednainu za aritmetiku sredinu koja e dati rezultat manji od sume kvadrata.

    26

    Aritmetika sredina

    Moemo zakljuivati o populaciji na osnovu aritmetike sredine

    Ali, aritmetika sredina je osjetljiva na outlier-e (ekstremne vrijednosti) u podacima.

    Dakle AS nije otporna na outlier-e (ekstremne vrijednosti) kao neke druge mjere centralne tendencije

    27

    Stopa sklopljenih brakova za 50 drava u SAD 1996. godine*

    n = 50 drava u SAD *broj brakova u godini na 1.000 stanovnika

    5,8 6,1 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,1 7,1 7,1 7,1 7,4 7,6 7,6 7,7 7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,2 8,2 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,5 8,6 8,8 9,0 9,0 9,0 9,1 9,4 9,4 9,8 10,1 10,2 10,4 10,9 11,0 11,1 11,5 12,6 14,5 15,5 16,4 88,2

    Stem and Leaf Plot

    Uraditi stem and leaf plot Za stem uzeti cijele brojeve Za leaf uzeti decimalna mjesta

    28

    29

    Stem and Leaf Plot Stem Leaf

    5 | 86 | 1 5 6 7 97 | 0 1 1 1 1 4 6 6 7 8 9 98 | 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 89 | 0 0 0 1 4 4 8

    10 | 1 2 4 9 11 | 0 1 5 12 | 6 13 |14 | 515 | 516 | 4

    |88 | 2Note: Stems are whole numbers, leafs are decimal places

    30

    Aritmetika sredina Stopa sklopljenih brakova u 1996

    n = 50 (50 drava) Sum(x) = 523,36 Aritmetika sredina = 10,47

  • 6

    31

    Aritmetika sredina Stopa sklopljenih brakova u 1996

    Uoi, ako uklonimo Nevadu iz

    podataka n = 49 Sum(x) = 435,12 AS = 8,88 AS=10,47 za svih 50 drava

    32

    Medijana

    Medijana je srednja vrijednost varijable kada su podaci poredani od najmanje vrijednosti ka najveoj.

    Medijana je poziciona mjera centralne tendencije jer je locirana u sredini

    U cilju pronalaenja medijane prvo moramo sortirati podatke u rastuem (ili opadajuem) trendu

    33

    Medijana

    Prvo sortiraj podatke Zatim identificiraj poziciju medijane

    u podacima Ako je n neparan broj medijana je (n+1)/

    2 Primjer: Ako je n=99, onda je medijana

    vrijednost 50-te varijable u redu: (99+1)/2 = 50

    34

    Medijana Ako je n paran broj, vrijednost medijane

    je izmeu n/2 i (n/2)+1 vrijednosti varijable Primjer: Ako je N = 100 Medijana je izmeu

    50 i 51 vrijednosti varijable U ovom sluaju uzimamo srednju vrijednost ove

    dvije vrijednosti kako bismo nali medijanu {Vrijednost (n/2) + Vrijednost [(n/2)+1]}/2

    35

    Osobine medijane

    Ima limitirane osobine za mogunost zakljuivanja

    Ali, nije osjetljiva na outlier-e i stoga se koristi u podacima sa ekstremnim vrijednostima

    36

    Izraunati medijanu n = 50 drava u SAD

    *broj brakova u godini na 1.000 stanovnika 5,8 6,1 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,1 7,1 7,1 7,1 7,4 7,6 7,6 7,7 7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,2 8,2 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,5 8,6 8,8 9,0 9,0 9,0 9,1 9,4 9,4 9,8 10,1 10,2 10,4 10,9 11,0 11,1 11,5 12,6 14,5 15,5 16,4 88,2

  • 7

    37

    Medijana - Primjer

    Stopa sklopljenih brakova 1996 n = 50 Medijana je izmedju 25-te vrijednosti i

    (51+1)/2 = 26-te vrijednosti u sortiranim podacima

    To je srednja vrijednost 25te vrijednosti (Iowa) i 26te vrijednosti (New Hampshire)

    Obje vrijednosti su 8,4, pa je srednja vrijednost 8,4

    38

    Medijana - Primjer

    Ako izbacimo Nevadu n = 49 Medijana = 25ta vrijednost Medijana = 8,4

    Ovo je ista vrijednost kao i za n= 50

    39

    Medijana

    Medijana se esto naziva i 50-ti percentil. Kvartili (Quartiles) - Qi

    Q1 je 25-ti percentil Q2 je 50-ti percentil Medijana Q3 je 75-ti percentil

    40

    Modus (Mod)

    Modus je najfrekventnija vrijednost u varijabli Moe da se desi da u kontinuiranom nivou

    podataka ne postoji najfrekventnija varijabla Kaemo modus je nedefiran

    Moe da se desi da ima vie modusa Bi-modalno ili Tri-Modalno grupiranje

    41

    Sklopljeni brakovi

    Aritmetika sredina je10,47

    Medijana je 8,4 Modus je nedefiniran

    Stem Leaf

    5 | 86 | 1 5 6 7 97 | 0 1 1 1 1 4 6 6 7 8 9 98 | 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 89 | 0 0 0 1 4 4 8

    10 | 1 2 4 9 11 | 0 1 5 12 | 6 13 |14 | 515 | 516 | 4

    |88 | 2Note: Stems are whole numbers, leafs are decimal places

    Primjer Modus Podaci o prodaji dempera. Model je u tri

    boje: bijelo (W), crna (B) i crvena (R). Evidencije u jednoj sedmici prodaje su:

    W R B W B W R W B B W W R R R B W W R R Nominalna kategorijalna varijabla Prodano je 20 dempera, 8 bijelih, 7 crnih i 5

    crnih. Modus = bijela boja - najvea frekvencija.

    42

  • 8

    Uradi sam: Mutual

    Odrediti (koristei formule raunom, koristei formule u excelu, koristei deskriptivnu statistiku u excelu) Aritmetiku sredinu Medijanu Mod

    43

    Uradi sam: Mutual

    = 7.246,6/259 = 27,98 Mod = 15,7 Medijana = 25,00

    44

    x

    45

    Nakrivljenost (skew)

    Kada koristimo termin nakrivljenost (skew), mislimo na rep u distribuciji prema ektremnim vrijednostima

    Ako je nakrivljenost prema desno, postoje ekstremne vrijednosti udesno i veina ili mnogo vrijednosti je grupirana ulijevo

    Ako je nakrivljenost ulijevo, postoje ekstremne vrijednosti ulijevo i veina ili mnogo vrijednosti je grupirana udesno.

    46

    Ako je funkcija nakrivljena udesno, aritmetika sredina je vea od medijane (povuena je ekstremno velikim vrijednostima udesno)

    Ako je funkcija nakrivljena ulijevo onda je aritmetika sredina manja manja od medijane (povuena je ulijevo ekstremno malim vrijednostima)

    Medijana i Artimetika sredina su iste

    47

    Centralna tendencija daje samo dio prie

    Zamisli dva seta podataka Set podataka 1 ima AS, Medijanu i modus 5 Set podataka 2 ima AS, Medijanu i modus 5

    48

    Dva seta podataka

    Prvi set podataka {2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8} x = 40 n=8 AS = 5

    Drugi set podataka {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} x = 40 n=8 AS = 5

    Potrebno nam je neto vie da opiemo varijablu - varijabilitet

  • 9

    49

    Varijabilitet

    Ponimo sa rasponom (range) Razlika izmeu najvee i najmanje

    vrijednosti varijable Da izraunamo raspon potrebno je

    Minimalna vrijednost varijable Maksimalna vrijednost varijable

    50

    Stopa sklopljenih brakova za 50 drava u SAD 1996. godine*

    N = 50 drava u SAD *broj brakova u godini na 1.000 stanovnika

    5,8 6,1 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,1 7,1 7,1 7,1 7,4 7,6 7,6 7,7 7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,2 8,2 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,5 8,6 8,8 9,0 9,0 9,0 9,1 9,4 9,4 9,8 10,1 10,2 10,4 10,9 11,0 11,1 11,5 2,6 14,5 15,5 16,4 88,2

    51

    Raspon

    Minimum je 5,8 Maximum je 88,2 Raspon je 88,2 5,8 = 82,4 Bez Nevade u podacima, raspon je

    16,4 5,8 = 10,6

    52

    Kako koristimo AS da mjerimo varijabilitet?

    Koncept devijacije oko aritmetike sredine Ako je aritmetika sredina dobra mjera

    centralne tendencije, onda je rezonski da se upitamo kako daleko je vrijednost x od aritmetike sredine

    Devijacija oko aritmetike sredine moe biti sumarna mjera

    53

    Srednja vrijednost devijacije

    Meutim, devijacija oko aritmetike sredine ne moe funkcionirati jer je brojnik uvijek nula Zapamti: suma devijacija oko aritmetike

    sredine je uvijek nula

    n

    xxn

    ii

    =

    1

    )(

    54

    Apsolutna devijacija oko aritmetike sredine

    Jedan pristup bi bio da se nae suma apsolutnih devijacija oko aritmetike sredine podijeljenih sa n

    n

    xxn

    ii

    =

    1

  • 10

    55

    Varijansa

    Drugi pristup bi bio da kvadriramo razlike od aritmetike sredine i podijelimo sa n Kvadrati uvijek daju pozitivnu vrijednost Ovo se zove varijansa

    n

    xxn

    ii

    =

    = 1

    2

    2)(

    56

    Uoi: Populacija vs Uzorak

    Populacija: 2 Uzorak: s2

    U nazivniku je n-1 n-1 je zbog stepeni slobode n-1 je zbog zakljuivanja o populaciji na

    osnovu uzorka Ako bismo koristili n u formuli za s2 tada

    bismo podcijenili 2

    57

    Varijansa uzorka

    )1(

    )(1

    2

    2

    ==

    n

    xxs

    n

    ii

    58

    Formula za raunanje s2

    1

    2

    1

    1

    2

    2

    =

    ==

    nn

    xx

    s

    n

    iin

    ii

    59

    Formula za raunanje s2

    Ako imamo poznato n Sum(x) Sum(x2)

    Moemo izraunati aritmetiku sredinu i varijansu!!

    1

    2

    1

    1

    2

    2

    =

    ==

    nn

    xx

    s

    n

    iin

    ii

    Uradi sam: Mutual

    n = Sum(x) = Sum(x2) = Izraunati varijansu koristei formulu

    60

    1

    2

    1

    1

    2

    2

    =

    ==

    nn

    xx

    s

    n

    iin

    ii

  • 11

    61

    Uradi sam: Mutual

    n = 259 Sum(x) = 7.246,6 Sum(x2) = 247.392,40

    Varijansa= 173,02

    1

    2

    1

    1

    2

    2

    =

    ==

    nn

    xx

    s

    n

    iin

    ii

    62

    Uradi sam: Mutual

    Izraunati varijansu koristei Excel formulu

    63

    Standardna devijacija

    Problem sa varijansom je to je ona izraena preko kvadratnih jedinica i teko je interpretirati

    Ako izraunamo kvadratni korijen varijanse vraamo tu vrijednost u originane jedinice

    Ovo se zove standardna devijacija s za uzorak za populaciju

    Standardna devijacija je (SD ili StDev) je srednja devijacija vrijednosti od aritmetike sredine.

    Uradi sam: Mutual

    Izraunati standardnu devijaciju Koristei ve izraunatu varijansu Koristei excel formulu

    64

    65

    Izraunati StDev Mutual

    s2 = [247.392,40 (7.246,6)2/259]/(259-1) s2 = [247.392,40 202.753,7126]/258 s2 = 44.638,6874/258 s2 = 173,018168 ili 173,02 s = 13,1536 ili 13,15

    Uradi sam: Marriage rate

    Izraunati koristei formule raunom i koristei excel formule Varijansu Standardnu devijaciju

    66

  • 12

    67

    Uradi sam: Marriage rate

    n = 50 x = 523,36 x2 = 11.892,45

    1

    2

    1

    1

    2

    2

    =

    ==

    nn

    xx

    s

    n

    iin

    ii

    68

    Marriage rate

    n = 50 x = 523,36 x2 = 11.892,45

    s2 = [11.892,45 (523,36)2/50]/(50-1)

    69

    Marriage rate

    n = 50 x = 523,36 x2 = 11.892,45 s2 = [11.892,45 (523,36)2/50]/(50-1) = [11.892,45 5.478,11]/49 = 6.414,34/49 = 130,90 s = 11,44

    70

    VANO

    Varijansa i standardna devijacija su veoma osjetljive na ekstremne vrijednosti

    Kada kvadrira velike brojeve dobije mnogo vee brojeve

    Pogledajmo ta e se desiti ako izbacimo Nevadu iz naeg seta podataka Izraunati

    Varijansu Standardnu devijaciju

    71

    Marriage Rate bez Nevade

    n = 49 x = 435,12 x2 = 4.104,66 s2 = [4.104,66 (435,12)2/49]/(49-1) = [4.104,66 3.863,87]/48 = 240,79/48 = 5,02 s = 2,24

    72

    Usporedba sa Nevadom i bez Nevade

    Statistika Sa Nevadom Bez Nevade Sum x 523,36 435,12 Sum x2 11.892,45 4.104,66 Mean 10,47 8,88 Median 8,4 8,4 Mode NA NA Maximum 88,3 16,4 Minimum 5,8 5,8 Variance 130,90 5,02 Std Dev 11,44 2,24

  • 13

    73

    Excel

    Sum =SUM(B5:B104) 3.699,40Count =COUNT(B5:B104) 100,00Mean =AVERAGE(B5:b104) 36,99Minimum =MIN(B5:B104) 30,00Maximum =MAX(B5:B104) 44,90Median =MEDIAN(B5:B104) 37,00Mode =MODE(B5:B104) 37,00Range oduzeti max - min 14,90First Quartile =QUARTILE(B5:B104,1) 35,68Third Quartile =QUARTILE(B5:B104,3) 38,33Inter-Quartile Range oduzeti Q3 - Q1 2,65Variance =VAR(B5:B104) 5,85Std Deviation =STDEV(B5:B104) 2,42

    Deskriptivna statistika Mutual

    Data, Data Analysis, Descriptive Statistics

    74

    75

    Deskriptivna statistika - Mutual

    Data

    Data Analysis

    Descriptive Statistics

    Best Quarter

    Mean 27,98Standard Error 0,82Median 25,00Mode 15,70Standard Deviation 13,15Sample Variance 173,02Kurtosis 2,71Skewness 1,54Range 72,10Minimum 10,70Maximum 82,80Sum 7246,60Count 259 76

    Standardna devijacija i raspon

    Brza aproksimacija standardne devijacije je Raspon/4

    Best Quarter Primjer (82,8 10,7)/4 = 18,03 Dok je s = 13,15

    Ovo je samo aproksimacija. to se vie udaljavamo od normalne distribucije, loija aproksimacija

    77

    Koeficijent varijacije

    Koeficijent varijacije je odnos standardne devijacije i apsolutne vrijednosti aritmetike sredine

    Kada se pomnoi sa 100 dobije se u procentima

    Ovim izraavamo std dev relativno prema aritmetikoj sredini

    to je vei CV to je vea varijabilnost

    100*xsCV =

    Koeficijent varijacije

    Izraunati koeficijent varijacije za Stopa sklopljenih brakova (Marriage Rate) Mutual Fund Data Best Quarter Performance

    Uporediti dobijene koeficijente varijacije i diskutovati

    78

  • 14

    79

    Histogram

    Data Data Analysis

    Histogram

    Empirijsko pravilo

    Normalna distribucija, simetrina kriva u obliku zvona

    80

    Empirijsko pravilo

    - 1 + 1 + 2 -2

    81

    ~68%

    ~95%

    ~34% ~34% ~13,5% ~2,5% ~2,5% ~13,5%

    82

    Empirijsko pravilo

    83

    Empirijsko pravilo Aproksimativno 68% vrijednosti mjerenja e biti

    1 standardne devijacije od aritmetike sredine

    Aproksimativno 95% vrijednosti mjerenja e biti 2 standardne devijacije od aritmetike sredine

    84

    Primjer - Akumulatori

    Akumulatori: srednji rok trajanja 60 mjeseci

    Garancija je 36 mjeseci Standardna devijacija s = 10 mjeseci Vrijednosti trajanja akumulatora slijede

    normalnu distribuciju (simetrina kriva u obliku zvona)

    Koji procenat akumulatora e trajati vie od 50 mjeseci?

  • 15

    85

    Primjer - Akumulatori

    Koji procenat akumulatora e trajati vie od 50 mjeseci? Poni sa traenjem koliko standardnih devijacija je

    50 mjeseci od aritmetike sredine Nacrtaj Odredi vjerovatnou na osnovu empirijskog pravila

    86

    Primjer - Akumulatori

    50 mjeseci je jednu standardnu devijaciju lijevo od aritmetike sredine

    Ovo predstavlja 34% sluajeva 1 std devijacija = 68%, slijedi da je 1St Dev =

    34% Desno od aritmetike sredine (60 mjeseci ili

    vie) predstavlja 50% sluajeva Odgovor: 34 + 50 = 84%

    87

    Primjer Akumulatori vie od 50 mjeseci

    = 60 i s = 10

    Ovaj dio je -1 St Dev lijevo od 34%

    88

    Primjer Akumulatori vie od 50 mjeseci

    = 60 i s = 10

    Ovaj je dio vei od 60 mjeseci

    50%

    Ovaj dio je -1 St Dev lijevo od 34%

    89

    Primjer Akumulatori manje od 40 mjeseci

    Aproksimativno koji e procenat akumulatora trajati manje od 40 mjeseci? Poni tako da utvrdi koliko standardnih devijacija

    je 40 mjeseci od Nacrtaj Odredi vjerovatnou

    90

    Primjer Akumulatori manje od 40 mjeseci

    40 je dvije standardne devijacije lijevo od

    2 standardne devijacije = 95% sluajeva Dakle, manje od 40 mjeseci je od

    preostalih 5% 2,5% akumulatora e trajati manje od 40

    mjeseci

  • 16

    91

    Primjer Akumulatori manje od 40 mjeseci

    = 60 and s = 10

    92

    Akumulatori - Primjer

    Pretpostavimo da je va akumulator trajao 37 mjeseci.

    ta moete zakljuiti o proizvoau koji je rekao da je garancija 36 mjeseci?

    93

    Akumulatori 37 mjeseci

    37 mjeseci je vie od 2 lijevo od Manje od 2,5% akumulatora e biti u domenu

    37 mjeseci

    = 60 and s = 10

    37