Chaines cinematiques_prof.pdf

CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville - 1 -

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur

• Situation : Les cours précédents ont mis en place les méthodes pour déterminer les vecteurs vitesse et accélération des points des solides entrant dans la composition d’un mécanisme à chaîne ouverte. Nous allons maintenant nous intéresser à la loi entrée-sortie caractéristique des systèmes à chaîne fermée.

1- TYPOLOGIE DES CHAINES CINEMATIQUES

Chaine ouverte : Chaîne fermée : Les solides extrêmes du mécanisme sont différents Le mécanisme "reboucle" sur le même solide

Les mécanismes formés de plusieurs chaînes fermées imbriquées, portent le nom de chaînes complexes.

Centre d’Intérêt 7 :

TRANSMETTRE l'énergie – Aspect MOUVEMENT

Compétence : Résoudre

CINEMATIQUE DU SOLIDE INDEFORMABLE : Déterminer la loi entrée-sortie d'une chaîne cinématique simple

Déterminer les relations de fermeture géom. et ciném., et résoudre le système associé

CHAÎNES DE SOLIDES – LOIS ENTREE / SORTIE

TP

COURS 5

TD

0

1

2

3

4C

D

B

A

u

x0

y0

z0

z0

x3

y0

x0

O z0

y3

B’

A B T

R2

R3

R1

Peigne vibreur

MODELE MODELE



2- LOI ENTREE / SORTIE

• Définition : On appelle loi entrée / sortie la relation existant entre un des paramètres de la pièce située à l’entrée d’un mécanisme et un des paramètres de la pièce de sortie. On la note : loi e/s.

Si ce paramètre est une position, la loi e/s est géométrique ; si c’est une vitesse, la loi e/s est cinématique.

• Hypothèses : La recherche de la loi e/s s’appuie sur une modélisation cinématique, moyennant la formulation d’hypothèses. Ce modèle est donc une représentation simplifiée et abstraite du système réel. Les résultats de ces études doivent donc obligatoirement être confrontés (démarche itérative utilisée lors de la conception) avec le réel pour valider le modèle et/ou faire évoluer les solutions constructives. • Rappel de la méthodologie de paramétrage (continuer à l'appliquer !) :

- Associer un repère Ri et une base Bi à chaque solide Si en privilégiant les centres des liaisons.

- Chaque base se déduit de la précédente par rotation autour d’un vecteur unitaire et/ou par translation (suivant le type de la liaison),

- Tracer/Inscrire les paramètres géométriques (autant que de ddl des liaisons) : distances et/ou angles

(REGLE IMPORTANTE : angles toujours positifs et compris entre 0 et /2 entre les vecteurs des bases) 1/ Loi e/s GEOMETRIQUE (position) : analyse géométrique d'une chaîne fermée de solides • Cette loi reliant 2 paramètres géométriques se détermine par l’une des méthodes suivantes :

METHODE 1 (principale) METHODE 2 METHODE 3

Etablir une ou plusieurs relations vectorielles exprimant la fermeture géométrique du type :

𝑂𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐴𝑂 = 0 en procédant ainsi : - tracer les figures planes pour faire apparaître les paramètres à l’aide des bases ; - exprimer chaque vecteur dans une seule base (celle fixe en général) - en déduire les relations scalaires entre les paramètres recherchés.

Dans le cas de mécanismes plans, rédiger en supplément des relations angulaires du type : 𝑥2 , 𝑥3 + 𝑥3 , 𝑥4 = 0

à traduire ensuite avec le paramétrage de l’énoncé.

Dans le cas de mécanismes spatiaux, il est parfois nécessaire de traduire des particularités géométriques : Perpendicularité :

𝑂𝐴 ⊥ 𝑂𝐵 𝑂𝐴 . 𝑂𝐵 = 0 Colinéarité :

𝑂𝐴 // 𝑂𝐵 𝑂𝐴 ∧ 𝑂𝐵 = 0

• Exemple : minicompresseur d’air Problème : déterminer la loi e/s géométrique de ce mécanisme ; en déduire la course du piston par rapport au carter.



Le schéma cinématique de ce mécanisme est donné ci-dessous.

Q1 : Tracer les figures planes explicitant les paramètres d’entrée et de sortie du système dans les bases.

Q2 : Quel est le paramètre d'entrée ? Quel est le paramètre de sortie ? Déterminer la loi e/s géométrique du système par fermeture géométrique.

Entrée = ; sortie = x(t) puisqu'on veut connaître la course du piston 3 par rapport au corps fixe 0.

𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 + 𝐵𝑂 = 0 soit 𝑟 . 𝑥1 + 𝐿 . 𝑥2 − 𝑥(𝑡) . 𝑥0 = 0 On projette cette expression sur 𝑥0 et sur 𝑦0 : 𝑟 . 𝑐𝑜𝑠(𝛼) + 𝐿 . 𝑐𝑜𝑠(𝛽) − 𝑥(𝑡) = 0 et 𝑟 . 𝑠𝑖𝑛(𝛼) + 𝐿 . 𝑠𝑖𝑛(𝛽) = 0

On élimine 𝛽 avec 𝑠𝑖𝑛(𝛽) = −𝑟 . 𝑠𝑖𝑛(𝛼)/𝐿 et donc 𝑐𝑜𝑠(𝛽) = 1 −𝑟2 . 𝑠𝑖𝑛 2(𝛼)

𝐿2

On obtient : 𝑥(𝑡) = 𝑟 . 𝑐𝑜𝑠(𝛼) + 𝐿2 − 𝑟2 . 𝑠𝑖𝑛2(𝛼)

Q3 : A l’aide de cette loi, retrouver la course (évidente) du piston par rapport au carter.

PMH : 𝛼 = 0 𝑥(𝑡𝐻) = 𝑟 + 𝐿

PMB : 𝛼 = 𝜋 𝑥(𝑡𝐵) = −𝑟 + 𝐿 Par conséquent, la course est 2.r

2/ Loi e/s CINEMATIQUE (vitesse) : analyse cinématique d'une chaîne fermée de solides • Cette loi se détermine par les méthodes suivantes :

METHODE 1 METHODE 2 METHODE 3

Dériver par rapport au temps la loi e/s géométrique établie précédemment.

Ex. sur pompe de Xantia : OA = y(t) = r14 − e14. cos

donc :

VA,8/R = y(t) = e14. . sin()

Relation de composition de torseurs cinématiques du type :

𝑉𝑆0/𝑆1 + 𝑉𝑆1/𝑆2

+ ⋯ + 𝑉𝑆𝑛 /𝑆0 = 0

(Torseurs exprimés au même point)

Condition de non glissement conduisant à deux équations vectorielles : - égalité des résultantes, - égalité des moments au même point. Puis projection sur deux axes (mécanismes plans) ou sur trois axes (mécanismes spatiaux), pour obtenir trois ou six relations scalaires entre les dérivées des paramètres de situation des solides (voir exemple ci-après).

OA = r AB = L OB = x(t)

= .t

𝑥0

𝑦0

𝑥1

𝑥2

O

A

B

1

2

3

0 : Corps fixe 1 : Manivelle 2 : Bielle 3 : Piston



3- LOIS E/S DES REDUCTEURS ET MULTIPLICATEURS DE VITESSE

On appelle rapport de transmission le nombre 𝒓 =𝝎𝒔/𝟎

𝝎𝒆/𝟎

1/ Loi e/s cinématique pour roues de friction et engrenages

On suppose que 1 est l'entrée, 2 est la sortie. On utilise la condition de non-glissement pour calculer r :

𝑉𝐼,2/1 = 0 = 𝑉𝐼,2/0

− 𝑉𝐼,1/0

𝑉𝐼,2/0 = Ω2/0

∧ 𝑂2𝐼 = 𝜔2/0.𝐷2

2 . 𝑥

De même :

𝑉𝐼,1/0 = Ω1/0

∧ 𝑂1𝐼 = −𝜔1/0.𝐷1

2 . 𝑥

Donc :

𝑟 =𝜔𝑠/0

𝜔𝑒/0

= 𝜔2/0

𝜔1/0

= −𝐷𝑒

𝐷𝑠

= −𝐷1

𝐷2

• La relation fondamentale à connaître pour ce qui concerne les engrenages est celle liant le diamètre primitif D au nombre de dents

z : D = m . z ; m est appelé le module ; il est nécessairement le même pour deux roues dentées engrenant ensemble.

Dans notre cas, D1 = m . z1 et D2 = m . z2. • Un train d'engrenages est une succession d'engrenages associés en série. Alors :

𝒓 =𝝎𝒔

𝝎𝒆

= (−𝟏)𝒌.𝚷 𝒛𝒎𝒆𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

𝚷 𝒛𝒎𝒆𝒏é𝒆𝒔

avec k = nombre de contacts extérieurs. (-1)

k n'est présent que pour les engrenages à axes parallèles.

Exemple :

𝜔𝑠

𝜔𝑒

=14

34.15

33=

35

187

𝒓 =𝝎𝟐/𝟎

𝝎𝟏/𝟎

= −𝑫𝟏

𝑫𝟐

𝒓 =

𝝎𝟐/𝟎

𝝎𝟏/𝟎 = −

𝒛𝟏

𝒛𝟐 pour engrenage externe

(contact extérieur : roues tournent en sens opposé)

𝒓 =𝝎𝟐/𝟎

𝝎𝟏/𝟎 =

𝒛𝟏

𝒛𝟐 pour engrenage interne

(contact intérieur : roues tournent dans le même sens)

𝑂2

𝑂1

I

2

1 0

𝑥

𝑦

𝑥

𝑥2

𝑥1

𝛼2/0

𝛼1/0

𝜔2/0

𝜔1/0

D2

D1

• Deux roues cylindriques (ou coniques) sont soumises à un effort presseur important pour que le frottement (matériau adapté à fort coefficient) au contact des deux roues permette une transmission de puissance (modérée).

• Un engrenage constitué de 2 roues dentées est cinématiquement équivalent à deux roues de friction ayant pour diamètre les diamètres primitifs D1 et D2

des roues dentées.

𝑥

𝑦

Voir les vidéos sur le site : ENGR_externe1, 2, 3 ENGR_interne

(entrée)

(sortie)

Voir aussi la vidéo : ENGR_conique

S

e

Voir la vidéo : TRAIN_ENGR



2/ Loi e/s cinématique pour pignons/chaîne et poulies/courroie • Pignons/chaîne : • Poulies/courroie :

On a :

3/ Loi e/s cinématique pour pignon/crémaillère et roue/vis sans fin • Pignon/crémaillère :

Non glissement en I :

Loi d'e/s géométrique : 𝒙𝟐/𝟎 = 𝑹𝒑. 𝟏/𝟎 + cste

Loi d'e/s cinématique : 𝑽𝟐/𝟎 = 𝑹𝒑. 𝟏/𝟎

- Renseigner les indices selon le contexte de l’étude. - Etablir les signes selon l’orientation des axes.

• Roue/vis sans fin :

4/ Loi e/s cinématique pour vis-écrou

• Loi d'e/s géométrique : 𝒙𝟐/𝟏 =𝒑.𝜽𝟐/𝟏

𝟐.𝝅 + cste

Loi d'e/s cinématique : 𝒙 𝟐/𝟏 =𝒑.𝜽 𝟐/𝟏

𝟐.𝝅

Rq :

- avec exprimé en tour : 𝒙𝟐/𝟏 = 𝒑. 𝜽𝟐/𝟏

- avec un pas à gauche et en radian : 𝒙𝟐/𝟏 = −𝒑.𝜽𝟐/𝟏

𝟐.𝝅

Entrée 1 Diamètre D1

Sortie 2 Diamètre D2

𝒓 =𝝎𝒔

𝝎𝒆

= 𝝎𝟐/𝟎

𝝎𝟏/𝟎

=𝑫𝟏

𝑫𝟐



Entrée 1 Diamètre D1

Définie selon les origines des positions angulaire et linéaire.

Voir les vidéos : PIGNON_CREM1, 2

1/0

𝑥2/0 Ligne primitive

Rayon primitif Rp

2

1

𝒓𝒐𝒖𝒆/𝟎

𝒗𝒊𝒔/𝟎

=𝒏𝒇

𝒛𝒓𝒐𝒖𝒆

avec : nf : nombre de filets zroue : nombre de dents de la roue Le signe, à rajouter, dépendra du système d’axes de l’étude.

Voir les vidéos : Pince et vis écrou Vis ecrou a bille

2

1

1

2

avec p = pas à droite en mm

et en radian

Voir les vidéos : ROUE_VIS_SANS_FIN1, 2



5/ Loi e/s cinématique pour train épicycloïdal • Le réducteur de type épicycloïdal est très utilisé dans l’industrie. Ses principaux avantages sont : un grand rapport de réduction avec une grande compacité, un bon rendement (de l’ordre de 95 % pour un étage de réduction). Les arbres d’entrée et de sortie sont coaxiaux, sauf pour quelques trains spéciaux utilisant des pignons coniques (différentiel de voiture…).

• Terminologie : Dans un train épicycloïdal, on rencontre: - un Porte-Satellites : PS, - des Satellites S, - deux Planétaires P1 et P2 dont l'un est souvent une couronne.

• Etude d'un train épicycloïdal simple :

• Graphe des liaisons dans le cas où les deux planétaires et le porte-satellites sont liés au carter par des liaisons pivot :

Carter 0

PS P1 P2

pivot d'axe (O, 𝑧 ) pivot d'axe (O, 𝑧 )

pivot d'axe (O, 𝑧 )

pivot d'axe (C, 𝑧 ) engrenage en A engrenage en B

S

1.1.1.1.1 0z

Planétaire 1

Planétaire 2 (Couronne)

Satellite

Porte satellites

O

P1

P2

B

C

A

S PS

x

y

z

),,( zyx

est une base liée au porte satellites

Simplification : 1 seul satellite représenté

Voir les vidéos : TRAIN_EPI.MOV TRAIN_EPI_ps_fixe.MOV TRAIN_EPI_plan_int_fixe.MOV TRAIN_EPI_plan_ext_fixe.MOV

(planétaire intérieur)

(planétaire extérieur)

(intérieur)

(extérieur)

4

3



• Formule de Willis : 𝝎𝒔𝒐𝒓𝒕𝒊𝒆/𝟎− 𝝎𝒑𝒔/𝟎

𝝎𝒆𝒏𝒕𝒓é𝒆/𝟎− 𝝎𝒑𝒔/𝟎 = (−𝟏)𝒌.

𝚷 𝒛𝒎𝒆𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

𝚷 𝒛𝒎𝒆𝒏é𝒆𝒔

Elle se démontre à partir des conditions de non-glissement aux 2 points A et B liés au porte-satellites, en cherchant les mouvements par rapport au porte-satellites.

METHODE A RETENIR pour appliquer la formule de Willis : - ne pas se préoccuper des entrée et sortie réelles de votre étude (à choisir parmi P1 et P2) - écrire la relation avec les 2 rapports des dents z des 2 engrenages (si difficulté, supposer PS fixe) - calculer le rapport de transmission selon la configuration de l’étude.

• Exemples de configurations possibles (un seul satellite représenté) :

• Autres exemples de configurations possibles (avec 2 = satellite et 3 = planétaire P2) ; chaque satellite est constitué de 2 roues :

Planétaire P1 bloqué Porte-satellites 4 bloqué Planétaire P2 bloqué

1 2 PS 4 2 PS 4 1

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