Chapitre 1

Discrete time martingalesMartingales a temps discret

In this chapter, we summarize the theory of discrete time martingales. Most properties

will be included in the next chapter, when we shall study the continuous-time martingales.

Dans ce chapitre, on resume la theorie des martingales a temps discret. La plupart des

proprietes seront reprises dans le chapitre suivant, lorsque l’on etudiera les martingales a

temps continu.

0. Reminders about conditional expectation.Rappels sur les esperances conditionnelles

Let (⌦,F ,P) be a probability space. Let G ⇢ F be a sub-�-algebra [sous-tribu] of F .

For any real random variable X with E(|X|) < 1, E(X |G ) is a random variable such that :

• E(X |G ) is G -measurable ;

• E[ |E(X |G )| ] < 1 ;

• 8A 2 G , E(X 1A

) = E[E(X |G )1A

].

There is, for E(X |G ), existence and uniqueness (uniqueness in the sense that if Y is a

random variable verifying these properties, then E(X |G ) = Y almost surely (a.s.) )

Soit (⌦,F ,P) un espace de probabilite. Soit G ⇢ F une sous-tribu de F . Pour toute variable

aleatoire reelle X avec E(|X|) < 1, E(X |G ) est une variable aleatoire telle que :

• E(X |G ) est G -mesurable ;

• E[ |E(X |G )| ] < 1 ;

• 8A 2 G , E(X 1A

) = E[E(X |G )1A

].

Il y a, pour E(X |G ), existence et unicite (unicite au sens que si Y est une variable aleatoire

verifiant ces proprietes, alors E(X |G ) = Y presque surement (p.s.) )

1

2 Chapitre 1. Discrete time martingales Martingales a temps discret

Some properties of conditional expectations :

Throughout the following, E(|X|) < 1, E(|Xn

|) < 1 8n, G and H are sub-�-algebras of

F .

• E(X) = E[E(X |G )].

• If X is G -measurable, then E(X |G ) = X a.s.

• Linearity. E(a1 X1 + a2 X2 |G ) = a1 E(X1 |G ) + a2 E(X2 |G ) a.s.

• Positivity. If X � 0 then E(X |G ) � 0 a.s.

• Monotone convergence. If 0 Xn

" X, then E(Xn

|G ) " E(X |G ) a.s.

• Fatou’s lemma. If Xn

� 0 then E(lim infXn

|G ) lim inf E(Xn

|G ) a.s.

• Dominated convergence. If |Xn

(!)| V (!) 8n, E(V ) < 1, and Xn

! X a.s., then

E(Xn

|G ) ! E(X |G ) a.s.

• Jensen’s inequality. If c : R ! R is convex and E|c(X)| 1, then

E[c(X) |G ] � c(E[X |G ]) a.s.

• Tower property. If H is a sub-�-algebra of G , then

E[E(X |G ) |H ] = E(X |H ) a.s.

Notation. We sometimes shorthand the left hand side to E(X |G |H ).

• “Taking out what is known” If Y is G -measurable and E(|XY |) < 1, then

E(XY |G ) = Y E(X |G ) a.s.

• Independence. If H is independent of �(�(X),G ), then

E(X | �(G ,H )) = E(X |G ) a.s.

In particular, if X is independent of H , then E(X |H ) = E(X) a.s.

• Suppose ⇠ and ⌘ are random variables taking values in measurable spaces (E1,E1) and

(E2,E2) respectively, and ' : E1 ⇥E2 ! R is measurable such that E(|'(⇠, ⌘)|) < 1. If ⇠ is

G -measurable and ⌘ is independent of G , then

E('(⇠, ⌘) |G ) = h(⇠) a.s., where h(a) := E('(a, ⌘)).

• E(X1 |G ) � E(X2 |G ) a.s. , E(X1 1A

) � E(X2 1A

) 8A 2 G .

Notation : When G = �(Z) where Z is a random variable with values in any measurable

space, we write E(X |Z) instead of E(X | �(Z)).

1. Discrete time martingales Martingales a temps discret 3

Certaines proprietes de l’esperances conditionnelles :

Dans toute la suite, E(|X|) < 1, E(|Xn

|) < 1 8n, G et H sont des sous-tribus de F .

• E(X) = E[E(X |G )].

• Si X G -mesurable, alors E(X |G ) = X p.s.

• Linearite. E(a1 X1 + a2 X2 |G ) = a1 E(X1 |G ) + a2 E(X2 |G ) a.s.

• Positivite. Si X � 0 alors E(X |G ) � 0 p.s.

• Convergence monotone. Si 0 Xn

" X, alors E(Xn

|G ) " E(X |G ) p.s.

• Fatou lemme. Si Xn

� 0 alors E(lim infXn

|G ) lim inf E(Xn

|G ) p.s.

• Convergence dominee. Si |Xn

(!)| V (!) 8n, E(V ) < 1, et Xn

! X p.s., puis

E(Xn

|G ) ! E(X |G ) p.s.

• Inegalite de Jensen. Si c : R ! R est convexe et E|c(X)| 1, puis

E[c(X) |G ] � c(E[X |G ]) a.s.

• Propriete de la tour. Si H est un sous-tribu de G , alors

E[E(X |G ) |H ] = E(X |H ) p.s.

Notation. Nous parfois steno le cote gauche a E(X |G |H ).

• “Prendre a l’exterior ce qui est connu” Si Y G -mesurable et E(|XY |) < 1, alors

E(XY |G ) = Y E(X |G ) p.s.

• Independance. Si H set independant de �(�(X),G ), alors

E(X | �(G ,H )) = E(X |G ) p.s.

En particulier, si X est independant de H , puis E(X |H ) = E(X) p.s.

• Supposons ⇠ et ⌘ sont des variables aleatoires a valeurs dans espaces mesurables (E1,E1)

et (E2,E2) respectivement, et ' : E1 ⇥ E2 ! R sont mesurable telle que E(|'(⇠, ⌘)|) < 1.

Si ⇠ est G -mesurable et ⌘ est independant de G , alors

E('(⇠, ⌘) |G ) = h(⇠) p.s., ou h(a) := E('(a, ⌘)).

• E(X1 |G ) � E(X2 |G ) p.s. , E(X1 1A

) � E(X2 1A

) 8A 2 G .

Notation : Lorsque G = �(Z) ou Z est une variable aleatoire a valeurs dans un espace

mesurable quelconque, on ecrit E(X |Z) a la place de E(X | �(Z)).

4 Chapitre 1. Discrete time martingales Martingales a temps discret

1. Filtrations and martingalesFiltrations et martingales

Let (⌦,F ,P) be a probability space. A filtration (Fn

)n�0 on this space is an increasing

family of sub-�-algebras of F :

F0 ⇢ F1 ⇢ F2 ⇢ · · · ⇢ F .

From time to time, (⌦,F , (Fn

),P) is called a filtered probability space (or filtered space).

Soit (⌦,F ,P) un espace de probabilite. Une filtration (Fn

)n�0 sur cet espace est une

famille croissante de sous-tribus de F :

F0 ⇢ F1 ⇢ F2 ⇢ · · · ⇢ F .

De temps en temps, (⌦,F , (Fn

),P) est appele un espace de probabilite filtre (ou : espace

filtre).

A sequence of random variables (Xn

, n � 0) is said to be adapted with respect to (Fn

)

if for every n, Xn

is Fn

-measurable.

Une suite de variables aleatoires (Xn

, n � 0) est dite adaptee par rapport a (Fn

) si

pour tout n, Xn

est Fn

-mesurable.

Definition 1.1. We say (Xn

) is a martingale [resp. supermartingale ; submartingale] if

(i) (Xn

) is adapted ;

(ii) 8n, E(|Xn

|) < 1 ;

(iii) 8n, E(Xn+1 |Fn

) = Xn

, a.s. [resp., E(Xn+1 |Fn

) Xn

; E(Xn+1 |Fn

) � Xn

].

On dit que (Xn

) est une martingale [resp. surmartingale ; sous-martingale] si

(i) (Xn

) est adapte ;

(ii) 8n, E(|Xn

|) < 1 ;

(iii) 8n, E(Xn+1 |Fn

) = Xn

, p.s. [resp., E(Xn+1 |Fn

) Xn

; E(Xn+1 |Fn

) � Xn

].

Note that if X is a supermartingale, then n 7! E(Xn

) is decreasing. (The origin of the

expression : a function f is superharmonic on Rn if and only if for a Brownian motion B

with values in Rn, f(B) is a local supermartingale with respect to the natural filtration of

B.)

Remarquons que si X est une surmartingale, alors n 7! E(Xn

) est decroissante. (L’ori-

gine de l’expression : une fonction f sur Rn est surharmonique si et seulement si pour un

mouvement brownien B a valeurs dans Rn, f(B) est une surmartingale locale par rapport a

la filtration naturelle de B.)

§1 Filtrations and martingales Filtrations et martingales 5

Example 1.2. Let (⇠i

)i�0 be a sequence of integrable and independent random variables.

Let Xn

:=P

n

i=0 ⇠i and Fn

:= �(Xi

, 0 i n).

It is clear that (Xn

) is adapted, and is integrable. In addition, E(Xn+1 |Fn

) = Xn

+

E(⇠n+1). So X is a martingale if E(⇠

n

) = 0, 8n � 1 ; a submartingale if E(⇠n

) � 0, 8n � 1 ;

and a supermartingale if E(⇠n

) 0, 8n � 1. 2

Soit (⇠i

)i�0 une suite de variables aleatoires integrables et independantes. Soient X

n

:=P

n

i=0 ⇠i et Fn

:= �(Xi

, 0 i n).

Il est clair que (Xn

) est adapte, et est integrable. De plus, E(Xn+1 |Fn

) = Xn

+E(⇠n+1).

Donc X est une martingale si E(⇠n

) = 0, 8n � 1 ; une sous-martingale si E(⇠n

) � 0, 8n � 1 ;

et une surmartingale si E(⇠n

) 0, 8n � 1. 2

It is clear that (Xn

) is a submartingale if and only if (�Xn

) is a supermartingale, and

that (Xn

) is a martingale if and only if it is both a submartingale and a supermartingale.

Here are some other properties :

Il est clair que (Xn

) est une sous-martingale si et seulement si (�Xn

) est une surmartin-

gale, et que (Xn

) est une martingale si et seulement si elle est a la fois une sous-martingale

et une surmartingale. En voici quelques autres proprietes :

Proposition 1.3. If (Xn

) is a submartingale, then 8m > n, E(Xm

|Fn

) � Xn

, a.s.

Si (Xn

) est une sous-martingale, alors 8m > n, E(Xm

|Fn

) � Xn

, p.s.

Proof. By the tower property and the martingale property, we have

E(Xm

|Fn

) = E[E(Xm

|Fm�1) |Fn

] � E[Xm�1 |Fn

].

This demonstrates the result we seek with an argument by induction. 2

Preuve. Par la propriete de la tour et la propriete de martingale, on a

E(Xm

|Fn

) = E[E(Xm

|Fm�1) |Fn

] � E[Xm�1 |Fn

].

Ceci demontre le resultat cherche avec un argument par recurrence. 2

Proposition 1.4. If (Xn

) is a martingale, and if ' is a convex function such that E(|'(Xn

)|) <

1, 8n, then ('(Xn

)) is a submartingale.

Si (Xn

) est une martingale, et si ' est une fonction convexe telle que E(|'(Xn

)|) < 1,

8n, alors ('(Xn

)) est une sous-martingale.

6 Chapitre 1. Discrete time martingales Martingales a temps discret

Proof. By Jensen’s inequality,

E['(Xn+1) |Fn

] � '(E[Xn+1 |Fn

]) = '(Xn

).

Hence the conclusion. 2

Preuve. Par l’inegalite de Jensen,

E['(Xn+1) |Fn

] � '(E[Xn+1 |Fn

]) = '(Xn

).

D’ou la conclusion. 2

2. Stopping TheoremTheoreme d’arret

Let (⌦,F , (Fn

),P) be a filtered probability space, and we note

F1 :=1_

n=0

Fn

:= �

1[

n=0

Fn

!

is the smallest �-algebra containing all the elements of all the �-algebras Fn

.

A function T : ⌦ ! N [ {1} is called a stopping time 1 if 8n, {T n} 2 Fn

. It is

clear that T is a stopping time if and only if 8n, {T = n} 2 Fn

. A simple example of a

stopping time is T := n (a constant stopping time).

The �-algebra FT

is defined by

FT

:= {A 2 F1 : 8n, A \ {T = n} 2 Fn

}

= {A 2 F1 : 8n, A \ {T n} 2 Fn

}.

Soit (⌦,F , (Fn

),P) un espace de probabilite filtre , et l’on note

F1 :=1_

n=0

Fn

:= �

1[

n=0

Fn

!

est la plus petite tribu contenant tous les elements de toutes les tribus Fn

.

Une application T : ⌦ ! N[{1} est appelee un temps d’arret 1 si 8n, {T n} 2 Fn

.

Il est clair que T est un temps d’arret si et seulement si 8n, {T = n} 2 Fn

. Un exemple

simple de temps d’arret est T := n (temps d’arret constant).

1. Throughout the course, N := {0, 1, 2, · · · }. Durant tout le cours, N := {0, 1, 2, · · · }.

§2 Stopping Theorem Theoreme d’arret 7

La tribu FT

est definie par

FT

:= {A 2 F1 : 8n, A \ {T = n} 2 Fn

}

= {A 2 F1 : 8n, A \ {T n} 2 Fn

}.

Proposition 2.1. Let S and T be two stopping times.

(i) Then S _ T and S ^ T are also stopping times.

(ii) If S T , then FS

⇢ FT

.

(iii) If (Xn

) is adapted, then XT

1{T<1} is FT

-measurable.

Soient S et T deux temps d’arret.

(i) Alors S _ T et S ^ T sont aussi des temps d’arret.

(ii) Si S T , alors FS

⇢ FT

.

(iii) Si (Xn

) est adapte, alors XT

1{T<1} est FT

-mesurable.

Proof. (i) We have {S _ T n} = {S n} \ {T n} 2 Fn

, and {S ^ T n} = {S

n} [ {T n} 2 Fn

.

(ii) If A 2 FS

, then A \ {S n} 2 Fn

. When S T , {T n} = {S n} \ {T n}.

Then A \ {T n} = (A \ {S n}) \ {T n} 2 Fn

.

(iii) It su�ces to note that XT

1{T<1} =P1

n=0 Xn

1{T=n} is F1-measurable, and that for

all Borel A ⇢ R and for all n, {XT

1{T<1} 2 A} \ {T = n} = {Xn

2 A} \ {T = n} 2 Fn

,

hence {XT

1{T<1} 2 A} 2 FT

. 2

Preuve. (i) On a {S_T n} = {S n}\{T n} 2 Fn

, et {S^T n} = {S n}[{T

n} 2 Fn

.

(ii) Si A 2 FS

, alors A\ {S n} 2 Fn

. Lorsque S T , {T n} = {S n}\{T n}.

Alors A \ {T n} = (A \ {S n}) \ {T n} 2 Fn

.

(iii) Il su�t de remarquer que XT

1{T<1} =P1

n=0 Xn

1{T=n} est F1-mesurable, et que

pour tout A ⇢ R borelien et n, {XT

1{T<1} 2 A} \ {T = n} = {Xn

2 A} \ {T = n} 2 Fn

,

ainsi {XT

1{T<1} 2 A} 2 FT

. 2

We are now interested in processes (XT^n) stopped at a stopping time T .

On s’interesse maintenant au processus (XT^n) arrete a un temps d’arret T .

Theorem 2.2. If T is a stopping time, and if (Xn

) is a submartingale, then (XT^n) is a

submartinagle.

Si T est un temps d’arret, et si (Xn

) est une sous-martingale, alors (XT^n) est une

sous-martingale.

8 Chapitre 1. Discrete time martingales Martingales a temps discret

Proof. As |XT^n| |X0| + |X1| + · · · + |X

n

|, XT^n is integrable. It is clear that (X

T^n) is

adapted because, by Proposition 2.1, XT^n is F

T^n-measurable, and the latter is a sub-�-

algebra of Fn

. Finally, since {T � n+ 1} = {T n}c 2 Fn

,

E⇥(X

T^(n+1) �XT^n) |Fn

⇤= E

⇥(X

n+1 �Xn

)1{T�n+1} |Fn

⇤

= 1{T�n+1} E [(Xn+1 �X

n

) |Fn

] � 0,

which is what we had to demonstrate. 2

Preuve. Comme |XT^n| |X0| + |X1| + · · · + |X

n

|, XT^n est integrable. Il est clair que

(XT^n) est adapte car, by Proposiiton 2.1, X

T^n est FT^n-mesurable, et cette derniere est

une sous-tribu de Fn

. Enfin, puisque {T � n+ 1} = {T n}c 2 Fn

,

E⇥(X

T^(n+1) �XT^n) |Fn

⇤= E

⇥(X

n+1 �Xn

)1{T�n+1} |Fn

⇤

= 1{T�n+1} E [(Xn+1 �X

n

) |Fn

] � 0,

ce qu’il fallait demontrer. 2

Theorem 2.3. (Stopping Theorem) Suppose S and T are two bounded stopping times

such that S T , a.s. If (Xn

) is a submartingale, then

E(XT

|FS

) � XS

, a.s.

(Theoreme d’arret) Soient S et T deux temps d’arret bornes tels que S T , p.s. Si (Xn

)

est une sous-martingale, alors

E(XT

|FS

) � XS

, p.s.

Proof. Suppose that P(S T k) = 1. Then |XT

| |X0| + |X1| + · · · + |Xk

| which is

integrable. Let A 2 FS

. As S T k a.s., A = [

k

i=0A \ {S = n}, we have

E [XT

1A

] =kX

n=0

E⇥X

T^k 1A\{S=n}⇤.

As A \ {S = n} 2 Fn

, (XT^n) is a submartingale (by Theorem 2.2), and k � n, we have

E⇥X

T^k 1A\{S=n}⇤� E

⇥X

T^n 1A\{S=n}⇤= E

⇥X

S

1A\{S=n}

⇤,

§2 Stopping Theorem Theoreme d’arret 9

the last identity proved from the fact that XT^n = X

S

on {S = n} (since T � S). Therefore

is has been shown that E[XT

1A

] �P

k

n=0 E[XS

1A\{S=n}] = E[X

S

1A

]. 2

Preuve. Supposons que P(S T k) = 1. Alors |XT

| |X0| + |X1| + · · · + |Xk

| qui est

integrable. Soit A 2 FS

. Puisque S T k a.s., A = [

k

i=0A \ {S = n}, on a

E [XT

1A

] =kX

n=0

E⇥X

T^k 1A\{S=n}⇤.

Comme A \ {S = n} 2 Fn

, (XT^n) est une sous-martingale (par Theorem 2.2), et k � n,

on a

E⇥X

T^k 1A\{S=n}⇤� E

⇥X

T^n 1A\{S=n}⇤= E

⇥X

S

1A\{S=n}

⇤,

la derniere identite provenant du fait que XT^n = X

S

sur {S = n} (puisque T � S). On a

donc montre que E[XT

1A

] �P

k

n=0 E[XS

1A\{S=n}] = E[X

S

1A

]. 2

Corollary 2.4. Suppose that (Xn

) is a martingale. If T is a bounded stopping time, then

E(XT

) = E(X0).

Soit (Xn

) une martingale. Si T est un temps d’arret borne, alors E(XT

) = E(X0).

Proof. It su�ces to apply the stopping theorem to T and S := 0. 2

Preuve. Il su�t d’appliquer le theoreme d’arret a T et S := 0. 2

Theorem 2.5. Doob’s inequality Let (Xn

) be a martingale. We have

E✓max0kn

X2k

◆ 4E(X2

n

), 8n,

E✓maxk�0

X2k

◆ 4max

k�0E(X2

k

).

(Inegalite de Doob) Soit (Xn

) une martingale. On a

E✓max0kn

X2k

◆ 4E(X2

n

), 8n,

E✓maxk�0

X2k

◆ 4max

k�0E(X2

k

).

Proof. Exercise at example class. It is clear that the second inequality is a consequence of

the first and the monotone convergence theorem. 2

Preuve. Exercice aux TD. Il est clair que la seconde inegalite est une consequence de la

premiere et du theoreme de convergence monotone. 2

10 Chapitre 1. Discrete time martingales Martingales a temps discret

3. ConvergenceConvergences

We assume the following result :

If (Xn

) is a submartingale such that supn

E(X+n

) < 1, then X1 := limn!1

Xn

exists a.s.

[In the TD, we will prove that E(|X1|) < 1.]

On admet le resultat suivant :

Si (Xn

) est une sous-martingale telle que supn

E(X+n

) < 1, alors X1 := limn!1

Xn

existe p.s.

[Aux TD, on va prouver que E(|X1|) < 1.]

Theorem 3.1. If (Xn

) is a positive supermartingale, then X1 := limn!1 X

n

exists a.s.,

and E(X1) E(X0).

Si (Xn

) est une surmartingale positive, alors X1 := limn!1 X

n

existe p.s., et E(X1)

E(X0).

Proof. The existence of X1 is proven from the fact that (�Xn

) is a submartingale such that

(�Xn

)+ = 0 and thus supn

E[(�Xn

)+] < 1. Since E(Xn

) E(X0), Fatou’s lemma tells us

that E(X1) lim infn

E(Xn

) E(X0). 2

Preuve. L’existence de X1 provient du fait que (�Xn

) est une sous-martingale telle que

(�Xn

)+ = 0 et donc supn

E[(�Xn

)+] < 1. Puisque E(Xn

) E(X0), le lemme de Fatou

nous dit que E(X1) lim infn

E(Xn

) E(X0). 2

Theorem 3.2. If (Xn

) is a martingale such that

E✓supn

|Xn

|

◆< 1,

then there exists a random variable X1 such that Xn

! X1 a.s., and in L1.

In addition, Xn

= E(X1 |Fn

).

Si (Xn

) est une martingale telle que

E✓supn

|Xn

|

◆< 1,

alors il existe une variable aleatoire X1 telle que Xn

! X1 p.s., et dans L1.

De plus, Xn

= E(X1 |Fn

).

§3 Convergence Convergences 11

Proof. We have E(X+n

) E(|Xn

|) E(supn

|Xn

|), and therefore supn

E(X+n

) < 1. As a

consequence, X1 := limn

Xn

exists a.s.

The convergence in L1 follows from the dominated convergence theorem.

It remains to prove that Xn

= E(X1 |Fn

). By the martingale property, if m > n and

A 2 Fn

, then E(Xm

1A

) = E(Xn

1A

). On taking m ! 1, and given the convergence in L1,

we have E(Xm

1A

) ! E(X1 1A

). Therefore E(Xn

1A

) = E(X1 1A

) = E(E(X1 |Fn

)1A

) for

all A 2 Fn

. In other words, Xn

= E(X1 |Fn

), a.s. 2

Preuve. On a E(X+n

) E(|Xn

|) E(supn

|Xn

|), et donc supn

E(X+n

) < 1. Par consequent,

X1 := limn

Xn

existe p.s.

La convergence dans L1 decoule du theoreme de convergence dominee.

Il reste de prouver que Xn

= E(X1 |Fn

). Par la propriete de martingale, si m > n et

A 2 Fn

, alors E(Xm

1A

) = E(Xn

1A

). En faisant m ! 1, et vu la convergence dans L1,

on a E(Xm

1A

) ! E(X1 1A

). Donc E(Xn

1A

) = E(X1 1A

) = E(E(X1 |Fn

)1A

) pour tout

A 2 Fn

. Autrement dit, Xn

= E(X1 |Fn

), p.s. 2

Corollary 3.3. Suppose (Xn

) is a martingale. If T is a stopping time, and if E(supn�1 |Xn

|) <

1 (in particular, if (Xn

) is bounded), then E(XT

) = E(X0).

Soit (Xn

) une martingale. Si T est un temps d’arret, et si E(supn�1 |Xn

|) < 1 (en

particulier, si (Xn

) est bornee), alors E(XT

) = E(X0).

Proof. Let n � 1. Then T ^n is a bounded stopping time. Then by Corollary 2.4, E(XT^n) =

E(X0). It then su�ces to note that XT^n ! X

T

a.s., and apply the dominated convergence

theorem. 2

Preuve. Soit n � 1. Alors T ^ n est un temps d’arret borne. D’apres le Corollaire 2.4,

E(XT^n) = E(X0). Il su�t alors de constater queX

T^n ! XT

p.s., et d’appliquer le theoreme

de convergence dominee. 2

Theorem 3.4. If (Xn

) is a martingale such that

supn�1

E�X2

n

�< 1,

then Xn

! X1 a.s. and in L2. In addition, Xn

= E(X1 |Fn

).

Si (Xn

) est une martingale telle que

supn�1

E�X2

n

�< 1,

alors Xn

! X1 p.s. et dans L2. De plus, Xn

= E(X1 |Fn

).

12 Chapitre 1. Discrete time martingales Martingales a temps discret

Proof. From Doob’s inequality, supn

|Xn

| 2 L2, and is a fortiori integrable. By the preceding

theorem, we have a.s. convergence and Xn

= E(X1 |Fn

).

Since |Xn

� X1|

2 (2 sup

n

|Xn

|)2, the dominated convergence theorem implies that

E(|Xn

�X1|

2) ! 0. 2

Preuve. D’apres l’inegalite de Doob, supn

|Xn

| 2 L2, et est a fortiori integrable. D’apres le

theoreme precedent, on a convergence p.s. et Xn

= E(X1 |Fn

).

Puisque |Xn

�X1|

2 (2 sup

n

|Xn

|)2, le theoreme de convergence dominee implique que

E(|Xn

�X1|

2) ! 0. 2

4. Doob’s DecompositionDecomposition de Doob

Let (⌦,F , (Fn

),P) be a filtered probability space.

Soit (⌦,F , (Fn

),P) un espace de probabilite filtre.

Definition 4.1. A family (Yn

, n � 1) of random variables is said to be previsible if for all

n � 1, Yn

is Fn�1-measurable.

Une famille (Yn

, n � 1) de variables aleatoires est dite previsible si pour tout n � 1,

Yn

est Fn�1-mesurable.

Theorem 4.2. (Doob’s Decomposition) All submartingales (Xn

) can be written Xn

=

Mn

+ An

, where (Mn

) is a martingale, and (An

) is previsible such that A0 = 0.

This decomposition is unique. In addition, (An

) is increasing.

(Decomposition de Doob) Toute sous-martingale (Xn

) s’ecrit comme Xn

= Mn

+An

,

ou (Mn

) est une martingale, et (An

) est previsible telle que A0 = 0.

Cette decomposition est unique. En plus, (An

) est croissante.

Proof. (Uniqueness). If (M,A) satisfy the conditions of the theorem, then

E[Xn

|Fn�1] = E[M

n

|Fn�1] + E[A

n

|Fn�1] = M

n�1 + An

= Xn�1 � A

n�1 + An

.

So we necessarily have An

�An�1 = E[X

n

|Fn�1]�X

n�1. The condition A0 = 0 implies that

the choice (An

) (also that of (Mn

)) is unique.

(Existence) Take (An

) such that An

� An�1 = E[X

n

|Fn�1] � X

n�1, and that A0 = 0.

Since (Xn

) is a submartingale, one has An

� An�1 � 0, and (A

n

) is therefore increasing.

Furthermore, An

=P

n

i=1{E[Xi

|Fi�1]�X

i�1} is Fn�1-measurable.

§4 Doob’s Decomposition Decomposition de Doob 13

To show that (Mn

:= Xn

� An

) is a martingale, we note that Mn

is integrable and

adapted, such that

E[Mn

|Fn�1] = E[X

n

� An

|Fn�1] = E[X

n

|Fn�1]� A

n

= Xn�1 � A

n�1 = Mn�1.

Therefore (Mn

) is a martingale. 2

Preuve. (Unicite). Si (M,A) verifie les conditions du theoreme, alors

E[Xn

|Fn�1] = E[M

n

|Fn�1] + E[A

n

|Fn�1] = M

n�1 + An

= Xn�1 � A

n�1 + An

.

Donc on a necessairement An

�An�1 = E[X

n

|Fn�1]�X

n�1. La condition A0 = 0 implique

que le choix de (An

) (dont aussi celui de (Mn

)) est unique.

(Existence) Soit (An

) telle que An

�An�1 = E[X

n

|Fn�1]�X

n�1, et que A0 = 0. Comme

(Xn

) est une sous-martingale, on a An

� An�1 � 0, et (A

n

) est donc croissante. De plus,

An

=P

n

i=1{E[Xi

|Fi�1]�X

i�1} est Fn�1-mesurable.

Pour montrer que (Mn

:= Xn

�An

) est une martingale, on constate que Mn

est integrable

et adapte, tel que

E[Mn

|Fn�1] = E[X

n

� An

|Fn�1] = E[X

n

|Fn�1]� A

n

= Xn�1 � A

n�1 = Mn�1.

Donc (Mn

) est une martingale. 2

A martingale (Xn

) is said to be square integrable if E[X2n

] < 1 for all n. In this case,

(X2n

) is a submartingale. Let X2n

= Mn

+An

be its Doob decomposition. Moreover, the proof

of the preceding theorem tells us that

An

=nX

i=1

�E[X2

i

|Fi�1]�X2

i�1

=

nX

i=1

E⇥(X

i

�Xi�1)

2|F

i�1

⇤.

Une martingale (Xn

) est dite de carre integrable si E[X2n

] < 1 pour tout n. Dans ce

cas, (X2n

) est une sous-martingale. Soit X2n

= Mn

+An

sa decomposition de Doob. La preuve

du theoreme precedent nous dit par ailleurs que

An

=nX

i=1

�E[X2

i

|Fi�1]�X2

i�1

=

nX

i=1

E⇥(X

i

�Xi�1)

2|F

i�1

⇤.