CHAPITRE 5. CISAILLEMENT - 5.1 - - 5.2 - - 5.3 - - 5.4 ...Cisaillement).pdf · CHAPITRE 5. CISAILLEMENT 5.1. Exemples de pièces cisaillées ... Solution : Application directe de

CHAPITRE 5. CISAILLEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.1 -5.1. Exemples de pièces cisaillées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.1 -5.2 Cisaillement pur - Théorie élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.2 -5.3. Cisaillement technologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.3 -5.4. Expression de la contrainte tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.4 -5.5. Dimensionnement ( contraintes admissibles ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.4 -5.6. Calcul élémentaire d’assemblages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.5 -

5.6.1. ! Dimensionnement d’une clavette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.5 -A) Dimensionnement au cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.5 -B) Dimensionnement au matage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.6 -C) Remarques pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.7 -

5.6.2. Dimensionnement d’une goupille (rivet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.10 -A) Dimensionnement au cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.10 -B) Dimensionnement au matage (pression diamétrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.11 -C) Dimensionnement à la traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.12 -D) Dimensionnement au cisaillement de la plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.13 -

5.6.3. Calcul d’une rivure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.15 -A) Calculs théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.15 -B) Calculs pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.16 -

5.6.4. ! Dimensionnement d’un joint collé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.20 -A) Joints à recouvrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.20 -B) Emmanchement cylindrique sollicité en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.21 -

5.6.5. ! Cisaillage, poinçonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.23 -5.6.6. ! Calcul d’assemblages soudés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.25 -

A) Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.25 -B) Calcul des assemblages bout-à-bout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.26 -C) Calcul des assemblages par cordons d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.26 -D) Contraintes admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.29 -E) Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.29 -

Version du 17 janvier 2016 (1h53)

CHAPITRE 5. CISAILLEMENT

5.1. Exemples de pièces cisaillées

De tels exemples ne manquent pas dans la pratique; envoici cinq pour lesquels l’étudiant s’attachera dès à présent àbien y voir où se situe(nt) la (les) section(s) cisaillée(s), ainsique l’effort responsable de ce cisaillement, afin de pouvoir endéduire ultérieurement les contraintes tangentielles decisaillement.

1) La tôle cisaillée à la cisaille-guillotine, le fil ou la feuille depapier découpé au moyen d’une paire de ciseaux, etc ... (fig.5.1.)

Il suffit d’un léger décalage des efforts de cisaillementV pour que la pièce soit cisaillée sur une section Acis dite

“section cisaillée”, dont la trace est sur le schéma ci-contre.ab

En application du principe général d’équilibreintérieur, ou principe de la coupe, la partie de gauche G ne peutêtre en équilibre de translation verticale que si l’on faitapparaître dans la section A des contraintes tangentielles τexercées par la partie de droite D sur la partie de gauche G, etdont la résultante vaut V afin d’annuler l’effet de T sur G. Lapièce sera coupée en 2, ou cisaillée, dès que V aura provoquédes contraintes τ supérieures à la résistance matériau. Précisonsde suite que celle-ci est inférieure à la résistance à la tractionou à la compression du même matériau, et que les contraintesτ ne sont pas nécessairement uniformes sur Acis, ni égales à , comme on aurait pu le penser enV Acis

extrapolant ce qui a été dit lors de la traction.

2) Les joints collés entre 2 tôles. (fig. 5.2.)

Les contraintes τ qui règnent au sein de lacouche de colle sont plus ou moins uniformémentréparties; pareil type d’assemblage a un bel avenirdans les constructions légères et dans la restauration(renforcement de structures).

3) Deux plats assemblés par des cordons de soudurelatéraux. (fig. 5.3.)

Il y aura cisaillement dans le plan deséparation entre le métal d’apport (soudure) et lemétal de base (plat en acier) dù à l’effort N detraction qui sollicite l’assemblage; nous auronsl’occasion d’y revenir plus en détails dans cechapitre.

fig. 5.1. - Cisaillement.

Joint collé

VV

fig. 5.2. - Joint collé.

NN

fig. 5.3. - Cordons de soudure.

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Cisaillement technologique Page - 5.1 -

fig. 5.6. - Théorie élémentaire.

4) L’âme d’une poutre fléchie. (fig. 5.5.)

Aux environs des deux appuis, l’âme de lapoutre fléchie ci-dessous par les efforts P, P’,... est lesiège de contraintes de cisaillement importantes;l’étude détaillée de ces contraintes sera faite auchapitre sur la flexion.

5) Deux plats assemblés par un rivet (fig. 5.6.)

Celui-ci sera cisaillé, à cause de l’effort N

sur l’assemblage, dans une section suivant ; nousabexaminerons ce cas plus en détails ci-après.

5.2 Cisaillement pur - Théorie élémentaire

Revenons un instant encore au dernier exemple du § 5.1 et imaginons un cube de matièreinfiniment petit situé à cheval sur la ligne ab

A cause du phénomène de cisaillement, la face supérieure et la face inférieure du cube sontsoumises aux contraintes de cisaillement τ. Si l’on admet que ces faces sont libres de toute autre contrainteque τ, alors on dit qu’elles sont sollicitées en cisaillement pur.

Sous l’influence de ces contraintes, le cube va se déformer et les 2 faces en question vont glisserl’une par rapport à l’autre. L’angle γ, infiniment petit, qui définit cette distorsion, s’appelle “angle deglissement”.

Au § 2.9 de l’Introduction à ce cours, on a vu que, dans le domaine élastique, les déformationsétaient proportionnelles à leur cause, c’est-à-dire les contraintes. La loi de Hooke en constituaitσ ε= El’expression mathématique dans le cas de la traction.

Dans le cas du cisaillement, il en est de même et l’on dira que l’angle de glissement γ estproportionnel à sa cause, c’est-à-dire à la contrainte tangentielle de cisaillement τ. Cela s’exprime de lafaçon suivante :

τ γ= G (éq. 5.5.)

avec :

fig. 5.4. - Poutre soumise à des forces ponctuelles.

fig. 5.5. - Rivet.


Application 5.1. Que vaut le module de Coulomb de l’acier sachant que etE N mm= 210000 2

?ν = 0 30.

Définition : un système est soumis à cisaillement lorsque les contraintesprépondérantes sont dues à l’effort tranchant V.

( )GE=+2 1 ν (éq. 5.6.)

Notation : G

ν

caractéristique du matériau, appelée module d’élasticitétransversale, ou module de glissement ou encore modulede Coulombcoefficient de Poisson

N/mm2

-

Solution :Application directe de la formule éq. 5.6. :

( ) ( )GE

N mm=+

=+

=2 1

210 000

2 1 0 3080769 2

ν .

Remarque :Souvent pour l’acier on prend, en première approximation, .G N mm= 80000 2

Pour les métaux, on a en général que : .G E≈ 0 4.

G E N mm≈ = × =0 4 0 4 210000 84 000 2. .

On rencontrera à nouveau cette caractéristique G dans le chapitre sur la Torsion.

5.3. Cisaillement technologique

Le cisaillement pur est une idéalisation supplémentaire de la Résistance des Matériaux. Il ne seproduit pratiquement jamais si ce n’est dans la section transversale d’une barre tordue, et sur l’axe neutrede la section d’une poutre fléchie. Dans tous les autres cas, les contraintes tangentielles τ sont presquetoujours accompagnées de contraintes normales σ.

Dans différents assemblages de constructions (assemblages boulonnés, clavetés, rivetés, soudés,dans les entailles à bois, etc.) les éléments d’assemblage sont soumis dans différents plans à la tractionou à la compression, au cisaillement ou au matage. Le cisaillement est toujours accompagné soit d’uneflexion, soit d’une traction ou d’une compression; c’est pourquoi dans les plans de cisaillement, hormisles contraintes tangentielles, nous trouvons encore des contraintes normales. Mais comme les valeurs deces contraintes normales sont petites devant les contraintes tangentielles, pratiquement on effectue uncalcul de cisaillement.

Conséquence : un état de charge tel que dans toute section droite il n’existe qu’un effort tranchantne peut donc se produire. Et donc, nous définirons un état de charge ou le cisaillement est prépondérantpar l’appellation : cisaillement technologique.


fig. 5.7. - répartition des contraintestangentielles.

5.4. Expression de la contrainte tangentielle

Dans le “cisaillement technologique” nous pouvonsconsidérer, excepter aux endroits où l’effort V est appliqué, et enl’absence d’une connaissance précise de la distribution descontraintes, que les contraintes tangentielles produites par l’efforttranchant V) sont réparties d’une manière uniforme dans la sectionsoumise à cisaillement Acis) :

τ moyencis

V

A= (éq. 5.11.)

Cette contrainte moyenne τmoyen est appelée cisaillementtechnologique. Les valeurs des contraintes admissibles devront tenircompte des approximations faites dans la théorie développée.

5.5. Dimensionnement ( contraintes admissibles )

1) Dans le cas d’un matériau ductile, la contrainte tangentielle admissible en cisaillement τadm cis

est obtenue en tenant compte d’un coefficient de sécurité S par rapport à la limite d’élasticitéen cisaillement τe :

ττ

adm cisd

e cis

S= (éq. 5.12.)

Pour les matériaux ductiles, la limite élastique en cisaillement τe cis est égale à 58 % de la limiteélastique de traction, soit :

τ e cis e eR R= ≈058 0 6. .

et donc : τ adm ciseR

S= 058. (éq. 5.14.)

2) Si le matériau est fragile (béton, fonte grise, etc...) il est préférable de ne pas l’utiliser encisaillement, toutefois on peut admettre, que la contrainte tangentielle admissible decisaillement τadm cis se déterminera à partir de la résistance à la rupture Rm et vaut :

τ adm cismR

S= (éq. 5.15.)

3) Quel que soit le type de matériau utilisé, le dimensionnement des sections droites devra êtretel que les contraintes tangentielles moyennes de cisaillement τmoy ne dépassent pas lacontrainte tangentielle de cisaillement admissible τadm cis :

τ τmoyen adm cis≤ (éq. 5.16.)

4) Les coefficients de sécurité S seront les mêmes que ceux définis au chapitre “Traction -Compression”.


fig. 5.8. - Dimensions clavette parallèle.

fig. 5.9. - Dimensions des clavettes normalisées.

5.6. Calcul élémentaire d’assemblages

On donnera dans le présent paragraphe des exemples de calcul élémentaire de quelquesassemblages. Il faut noter que le calcul complet (faisant par ailleurs souvent référence aux normes) seraétudié dans les cours de spécialité.

5.6.1. ! Dimensionnement d’une clavette

Les normes donnent les valeurs de la largeur a et de lahauteur b en fonction du diamètre de l’arbre (tableau ci-dessous). Il reste à trouver la longueur l de la clavette.

Hypothèses : [H1] la clavette est encastrée dans l’arbre;

[H2] La clavette exerce une action de contactuniformément répartie sur le moyeu.

A)

Dimensionnement au cisaillement

La surface cisaillée Acis de la clavette est égale à : A a lcis = .

En appelant V l’effort tranchant s’exerçant sur celle-ci, on trouve :

.τ moyencis

V

A

V

a l= =

En remarquant que :

Vd

M VM

dtt

2

2= =

Notations : dMt

le diamètre de l’arbrele moment de torsion

mmNmm


on obtient :

τ τmoyent

adm cis

M

a l d= ≤

2

d’où : lM

a dt

adm cis

≥2

τ (éq. 5.18.)

B) Dimensionnement au matage

En ce qui concerne les clavettes, la pression admissible de matage doit être beaucoup plus faible.En effet, il faut que l’on puisse facilement monter et démonter l’assemblage. Aucune déformation n’estpermise. C’est pourquoi on choisira la pression admissible de matage pour une clavette dans le Tableau5.1..

En pratique, pour le calcul d’une clavette, c’est la condition de non matage qui seraprépondérante par rapport à la condition au cisaillement.

Pour assurer la condition de non matage il faut :

et Vb

lpadm mat

2

≤ VM

dt=

2

Notations : padm mat

bpression admissible de matagehauteur de la clavette

N/mm2

mm

où : lM

b d pt

adm mat

≥4

(éq. 5.20.)

Pour les clavettes les valeurs couramment admises pour la pression admissible au matagepadm mat sont :

Valeurs couramment admises pour la pression admissible au matage des clavetteslongitudinales (padm mat en N/mm2)

Clavetage fixe (a)(b)(c)

40 à 7060 à 10080 à 150

Clavetage glissant sans charge (a)(b)(c)

15 à 3020 à 4030 à 50

Clavetage glissant avec charge (a)(b)(c)

3 à 105 à 15

10 à 20

(a) : Conditions de fonctionnement plutôt mauvaises : chocs, grandes tolérances,etc...

(b) : Conditions de fonctionnement moyenne (avant-projet)(c) : Bonnes conditions de fonctionnement : ajustement parfait, aucun choc, etc...Remarque : au dessus de 250 N/mm2 le matage est important.

Tableau 5.1. - Pression admissible de matage pour un clavetage longitudinal libre.


fig. 5.14. - En résumé : détermination d’une clavette au matage.

C) Remarques pratiques

1) Pour une clavette on utilisera toujours un acier dont la résistance à la rupture Rm est supérieure(ou égale) à 600 N/mm2.

2) Les longueurs des clavettes sont uniformisées dans l’industrie et toujours un multiple de 5mm. Cependant, pour concevoir la clavette on évitera de prendre une longueur supérieure àdeux fois le diamètre de l’arbre. En d’autres termes :

( )l d≤ 175 2. ... (éq. 5.21.)

3) Dans certains cas, la clavette n’est pas “encastrée” de la même façon dans l’arbre et dans lemoyeu. De ce fait, le matage ne s’effectuera plus sur une hauteur b/2 mais il faudra considérerla plus petite hauteur encastrée soit dans l’arbre, soit dans le moyeu.

4) En résumé, nous pouvons utiliser l’abaque ci-dessous pour déterminer la clavette à utiliser.


Application 5.3. Une poulie transmet à un arbre de 80 mm de diamètre un couple moteur de 1200 Nm.Si nous considérons un coefficient de sécurité de 5 et un clavetage fixe utilisé dans de très mauvaisesconditions, déterminez complètement la clavette à utiliser.(Acier spécial à clavettes : et ).R N mmm = 1000 2 R N mme = 850 2

Solution :Clavette normalisée pour un i 80 Y et .a mm= 22 b mm= 14

Calcul au cisaillement

τ adm ciseR

SN mm= = × =058 058

850

598 6 2. . .

lM

a dmmt

adm cis

≥ =×× ×

= 2 2 120010

22 80 98 6134 15

3

τ ..

Calcul au matagePrenons : p N mmadm mat = 40 2

lM

b d pmmt

adm mat

≥ =×

× ×=

4 4 120010

14 80 40107

3

Vérification de la longueur maximuml d mm≤ = × =175 2 175 2 80 140 160. ... . ... ...

Longueur choisie : 110 mm


Application 5.4. La transmission du couple entre un levier 1 et un axe 2 est réalisé au moyen d’uneclavette de section 16 x 10 et de longueur . Déterminer les contraintes de cisaillement dansl mm= 30la clavette si l’effort F appliqué au levier est égal à 900 N. Quelle est la contrainte de matage ?

fig. 5.15. - Application 5.4.

Solution : Recherche de l’effort tranchant V

Ecrivons l’équation des moments autour du centre de rotation de la pièce :

V F V N× = × =×

=25 625900 625

2522500

Calcul de la contrainte de cisaillement

τ cis

cis

V

AN mm= =

×=

22500

16 3047 2

Calcul de la pression de matageDimension de la surface matée :

A l mmmatée = × = × =10

2

10

230 150 2

σ matée N mm= =22500

150150 2


fig. 5.16. - Dimensionnement d’unrivet.

5.6.2. Dimensionnement d’une goupille (rivet)

Lorsque l’on calcule au cisaillement une goupille (rivet), onsuppose que la distribution des forces extérieures agissant sur leboulon d’une part, et la distribution des contraintes tangentielles dansla section d’autre part, se réalise de manière telle quelles soientréparties uniformément dans l’aire de la section de cisaillement.

A) Dimensionnement au cisaillement

La détermination du diamètre d’un boulon (rivet ou goupille)s’effectue d’après la condition de résistance au cisaillement. Elles’écrit :

avec :τ τ= ≤V

Acisadm cis goupille

Ad

cisb=

π 2

4

et donc dV

badm cis goupille

≥4

π τ (éq. 5.35.)

Notations : VAcis

db

τadm cis b

effort tranchantsection de la goupille boulon soumis au cisaillementdiamètre de la goupillecontrainte admissible de cisaillement du matériau dela goupille

Nmm2

mmN/mm2

Matière durivet

τadm rivet

N/mm2

Acier A48 150...200

Z 12 N 05f 320

Cuivre rouge 150

Laiton 100

Aluminium 100

Tableau 5.2. - Ordre de grandeur des contraintesadmissibles de cisaillement pour un rivet.


Application 5.5. Deux plats reliés par un rivet sont sollicités par un effort de 20 kN. Le rivet est enacier A48. Déterminer le diamètre du rivet.

fig. 5.17. - Pression diamétrale - pression de matage.

Solution :Contrainte admissible :

(voir tableau)τ adm N mm= 150 2

Calcul du diamètre du rivet

dV

mmbadm cis

≥ =×

×=

4 4 20000

1501303 14

π τ π.

B) Dimensionnement au matage (pression diamétrale)

Une fois l’assemblage dimensionné, il convient, pour être complet, de vérifier si les pressions quinaissent entre les goupilles (rivets) et l’acier des plats ou des tôles qui les entoure ne dépassent pas unevaleur telle que les trous dans les plats ou les tôles s’ovalisent sous cette pression, ou que l’acier du fûtdes goupilles (rivets) s’écrase pour la même cause.

Cette pression s’appelle pression diamétrale. Sa valeur moyenne p est à limiter comme suit :

pV

nb d ep

rivets badm matage= ≤ (éq. 5.38.)

Remarque :En l’absence de données concernant la padm mat , voir§ 3.7. Le matage.


fig. 5.18. -Ruine en section nette.

Notations : Vnbrivet

db

padm mat

e

effort sollicitant l’assemblagenombre de rivets (goupilles)diamètre du rivet (goupille)pression admissible au matage que peut supporter la tôleépaisseur de la tôle la plus mince assemblée, dans le casdu recouvrement simple, ou épaisseur de la tôle surlaquelle agit V (c’est-à-dire en général la plus épaisse)dans le cas du recouvrement double.

N/mm2

-mmN/mm2

mm

La détermination de l’épaisseur e de la tôle se fait d’après la condition de non matage. Et donc :

avec :σ = ≤V

Ap

matadm mat tole A e dmat b=

et donc eV

d pb adm mat tole

≥

(éq. 5.41.)

Notations : epadm mattôle

épaisseur de la tôlepression admissible au matage que peut supporter latôle

mmN/mm2

C) Dimensionnement à la traction

Mais étant donné que le boulon affaiblit les tôles à joindre, il importe de déterminer la largeura de la plaque afin quelle résiste à la traction due à l’effort V :

( )σ σ= ≤ = −V

Aavec A e a dadm tole 1

et donc : aV

ed

adm tole

≥ +σ

1 (éq. 5.43.)

Notations : ead1

σadm tôle

épaisseur de la tôlelargeur de la tôlediamètre du trou ( d1 $ dg )contrainte admissible de traction du matériau de latôle

mmmmmmN/mm2


fig. 5.19. - Ruine par arrachement.

D) Dimensionnement au cisaillement de la plaque

La détermination de la longueur b’ de l’extrémité de la plaque se fait d’après la condition aucisaillement.

τ τ= ≤ =V

Aavec A b e

cisadm cis cis '

et donc : bV

e adm cis

' ≥τ (éq. 5.45.)

Notations : b’τadm cis

longueur restante de la tôlecontrainte admissible de cisaillement du matériau dela tôle

mmN/mm2

Remarque importante :Pour les aciers les plus courants, les concentrations de contraintes n’ont pas d’effet surla résistance en traction des pièces soumises à un chargement statique. En effet, à causede la ductilité de l’acier, il y a adaptation plastique. Si les contraintes près du trouatteignent la limite élastique Re, elles cessent d’augmenter, ce qui cause uneredistribution des contraintes. La ductilité a comme effet d’égaliser les contraintes surla section nette. Par conséquent, pour le calcul de la résistance en traction, on tientcompte de la présence des trous simplement en enlevant l’aire perdue.


Application 5.6. Une articulation cylindrique reliant 2 plats en AE235 d’une épaisseur à déterminer,est réalisée au moyen d’une goupille cylindrique de diamètre d. L’effort maximum supporté par laliaison est de 50000 N. La contrainte admissible au cisaillement du matériau de la goupille est de 50N/mm2. Déterminer le diamètre de la goupille et la largeur du plat à utiliser en considérant uncoefficient de sécurité égal à 4.

Solution :Dimensionnement au cisaillement

dV

mmgadm cis

≥ =×

×=

4 4 50000

50357 36

π τ π.

Dimensionnement au matage

p N mmadm mat adm= = × =2 2235

2235 2σ

eV

d pmm

b adm mat

≥ =×

= 50000

36 235591 6.

Dimensionnement à la traction

( )a

V

ed mm

adm

≥ + =×

+ = σ 1

50000

12 235 436 106 9 110.

Dimensionnement au cisaillement de la plaque

τ adm cis toleeR

SN mm . .= = × =058 058

235

434 2

bV

emm

adm cis

' .≥ =× ×

= 2

50000

2 12 34613 65

τ


5.6.3. Calcul d’une rivure

La transmission des efforts dans un assemblage rivé bien conçu se fait principalement parfrottement. Lorsque l’effort augmente le frottement est progressivement vaincu. Les plats finissent parglisser par rapport aux couvre-joints.

Par sécurité, les rivets seront dimensionnés de manière à résister aux contraintes de cisaillement.D’autre part, il faudra veiller à éviter le matage des tôles. Mais il faut absolument éviter que le rivet netravaille en traction.

Si nous souhaitons vérifier le dimensionnement d’un rivet soumis au cisaillement nous devrionscalculer 3 genres de contraintes différentes.

A) Calculs théoriques

A.1) Contraintes de cisaillement dans le rivet

[N/mm2]( )τπ

τmoyen

cis

rivet

rivet

adm rivet

V

A

V nb

d= = ≤

42 (éq. 5.52.)

Notations : VAcis

drivet

nbrivet

effort tranchant totalsection du rivet soumise au cisaillementdiamètre du rivetnombre de rivets

Nmm2

mm-

A.2) Le matage dans la tôle

La condition de non matage s’écrit (dans le cas le plus défavorable, le matage se situe dans la tôlela plus mince d’épaisseur emin) :

[N/mm2]( )

pV

A

V nb

e dpmat

mat

rivet

rivetadm mat tole= = ≤

min

(éq. 5.53.)

Notations : emin

padm mattôle

épaisseur de la tôle la plus mincepression admissible au matage de la tôle

mmN/mm2

Amat section soumise à matage mm2

A.3) Les contraintes normales agissant dans les tôles

Celles-ci ne peuvent dépasser la valeur admissible. En considérant que l’effort T doit être reprispar la section nette Anet, on obtient :

[N/mm2]( )σ σtole

net rivet trou

adm tole

V

A

V

a nb d e

min

= =−

≤ (éq. 5.54.)

Notations : adtrou

σadm tôle

largeur de la tôlediamètre du trou de passage du rivetcontrainte admissible de la tôle

mmmmN/mm2


Il faut évidemment que les trois conditions soient respectées.

Mais, en pratique, le calcul d’une rivure est souvent plus complexe. Les règles dedimensionnement et de disposition (pas, pince,... ) des rivets sont décrites dans les cours spécialisés.

B) Calculs pratiques

B.1) Choix du diamètre du rivet

Une formule empirique, synthèse des 3 formules précédentes, nous permet de déterminer lediamètre des rivets à utiliser. Soit :

(Formule de Hambourg)de

erivet =+

45

15max

max

(éq. 5.55.)

ou :

d erivet tole= −50 4 (éq. 5.56.)

Notations : drivet

emax

etôle

diamètre du rivet (à choisir suivant la normalisation)épaisseur de la tôle la plus épaisse à assemblerépaisseur de la tôle (pas épaisseur du couvre-joint)

mmmmmm

B.2) Détermination du nombre de rivet

Soit la formule empirique :

nbT

erivet

adm rivet

= +

−810

1514

2

τ max

(éq. 5.57.)

Notations : Vτadm rivet

effort tranchantcontrainte admissible dans le rivet τ adm rivet eR= 058.

voit Tableau 5.2.

NN/mm2

B.3) Diamètre des trous

Diamètre des trous : 105 11. ... . drivet

B.4) Disposition des rivets (pas)

Rivures courantes (rivures en chaîne) ( ) ( )pas drivet= 3 4 5 10... ... ....

Rivures étanches (rivures en quinconce) pas drivet= 2 5 4. ...


fig. 5.20. - Disposition des trous de rivets.

Application 5.7. Réaliser la liaison, au moyen de rivets, de deux plats en aluminium de 10 mmd’épaisseur, supportant un effort de 150 kN. Les rivets seront aussi en aluminium et la contrainte decisaillement admissible sera de 80 N/mm2.

Solution :Détermination du diamètre des rivets

de

emmrivet =

+=

×+

=45

15

45 10

15 1018max

max

ou : d e mmrivet tole= − = × − = 50 4 50 10 4 18 4 18 .

Détermination du nombre de rivets

nbV

e

nb

rivet

adm rivet

rivet

= +

= +

= =

−

−

81015

1

810150000

80

15

101 9 375 10

4

2

42

τ max

.

Diamètre des trous de rivets105 105 18 18 9 19. . .d d mmrivet trou= × = =

Contrainte admissible dans la tôle

τ σ στ

adm cis adm adm

adm cis N mm= = = =0808

80

08100 2.

. .

Largeur de la tôle

( )V

a nb d e

aV

enb d

a mm

rivet trou

adm tole

adm tole

rivet trou

−≤

≥ +

≥×

+ × =

min

min

σ

σ150000

100 1010 19 340


Application 5.8. Calculer l’attache d’un plat de 80 x 8 sur un “L” de 70 x 70 x 7 au moyen d’ungousset d’épaisseur 8 mm.


Vérification du pas (si deux rangées de rivets)

Pas mm xPas

dOK

rivet

= = = = = 340

568

68

1838.

Solution :Détermination des diamètres de rivets

de

emm d mmrivet rivet=

+=

×+

= =45

15

45 8

15 8156 16max

max

.

Diamètre des trous de rivets105 105 16 168 17. . .d d mmrivet rivet= × = =

Section nette du plat au droit d’un rivet (section critique en traction)Le plat ayant été calculé pour un certain effort (traction ou compression), le nombre de rivet doitpouvoir supporter le même effort, d’où sachant que :

τ σadm trcis tr

cistrF

A

F

AA

A= = =058 058

058. .

.

( )A mmtr = × − =8 80 17 504 2

Y Section totale de la rivure :

AA

mmcistr= = =

058

504

058869 2

. .

Détermination du nombres de rivetsIl faut donc :

nbA

drivet

cis

rivet

= = =π

2

4

869

2014 3.

Il faudrait prendre 4 rivets de 16 mm.Le dessin montre une solution à 3 rivets de 18 mm.


Les rivets fixant le gousset travaillant également au cisaillement simple, il faudra le mêmenombre de rivets pour cette attache.


fig. 5.22. -

5.6.4. ! Dimensionnement d’un joint collé

Les calculs théoriques sont complexes du fait du comportement viscoélastique du joint (nonconforme à la loi de Hooke pour les matériaux purement élastiques). De plus les calculs dépendent de larigidité des supports du joint.

Quelques valeurs de résistance au cisaillement τrupt cis de différentes colles

Loctite 601 Fixation et freinage puissant de bagues, roulements, clavettes 17 ... 22 N/mm2

Loctite 641 Fixation et freinage de puissance moyenne de bagues,roulements, clavettes

8 ... 12 N/mm2

Loctite 638 Assemblage puissant d’éléments cylindriques lisses qui doiventsubir des efforts dynamiques

25 ... 30 N/mm2

Loctite IS415 Colle métal sur métal, caoutchouc, plastique 20 ... 25 N/mm2

Loctite IS495 Idem Loctite IS415 12 ... 17 N/mm2

Tableau 5.3. - Contrainte admissible dans les colles Loctite.

A) Joints à recouvrement

Etudions, de manière simple, la méthode dedétermination d’un joint à recouvrement entre deux tôles demême épaisseur e.

La condition de résistance au cisaillement d’un jointcollé peut s’écrire :

τ τmoyencis c

adm colle

V

A

V

l a= = ≤

Notations : VAcis

lc

a

effort tranchantsection du joint soumis au cisaillementlongueur du joint de collelargeur du joint de colle

Nmm2

mmmm

d’où on tire la longueur du joint de colle :

lV

acadm colle

≥τ (éq. 5.73.)

Mais il faut aussi déterminer la longueur de recouvrement efficace au-delà de laquellel’accroissement des performances du joint n’est plus significatif. Si on admet comme contrainteadmissible en cisaillement : , la longueur de recouvrement maximumτ τadm cis rupt cis≈ 0 6. (éq. 5.74.)

efficace est (e étant l’épaisseur de la tôle), nous avons la formule empirique suivante :

le

c ≤0 06.

(éq. 5.75.)


Application 5.9. Deux plats métalliques de 10 mm de largeur et de 2 mm d’épaisseur doivent êtreassemblés. Quelle sera la longueur du joint de colle si cet assemblage doit reprendre 1800 N ?

fig. 5.23. - Tubes collés soumis à traction.

La longueur de recouvrement doit donc être comprise entre les deux valeurs suivantes :

( )V

a

V

al

e

adm colle rupt cis colle

cτ τ= ≤ ≤

0 6 0 06. . (éq. 5.76.)

Solution :Choix de la colle

Si nous prenons la Loctite IS495 (colle pour matériaux métallique, la plus simple), nous avons :τ adm cis N mm= 15 2

Recherche de la longueur de colle

( )

( )

V

al

e

l

l l mm

rupt cis colle

c

c

c c

0 6 0 06

1800

10 0 6 15

2

0 06

20 236 20

. .

. .

.

τ≤ ≤

× ×≤ ≤

≤ ≤ =

B) Emmanchement cylindrique sollicité en traction

La figure fig. 5.23. montre un tel assemblage. Deux cas se présentent : les tubes et les piècespleines.

1) Cas des tubes.

La méthode est la même que dans le cas des joints à recouvrement, dans lequel on remplacea par π.d et e par l’épaisseur du tube le plus mince emin.


Application 5.10. Un roulement de , de et d’une largeur de 14 mm, supported mmi = 20 d mme = 47une charge axiale constante de 3000 N. Peut-on coller la bague intérieure du roulement sur son axe ?

( )V

d

V

dl

e


cπ τ π τ= ≤ ≤

0 6 0 06. .min

(éq. 5.79.)

2) Cas des pièces pleines.

La profondeur d’emmanchement lc doit être telle que :

( )V

d

V

dl

e


cπ τ π τ= ≤ ≤

08 0 06. .min

(éq. 5.80.)

Solution :Recherche de la contrainte de rupture minimale de la colle : cas des pièces pleines

( )V

dl

V

d lrupt cis colle

c rupt cis collecπ τ

τπ08 08. .

≤ ≥

τπ πrupt cis colle

c

V

d lN mm≥ =

× × ×=

08

3000

20 08 144 3 2

. ..

La Loctite 641 convient.


fig. 5.24. - Cisaillage - Poinçonnage.

5.6.5. ! Cisaillage, poinçonnage

Le cisaillage est la séparation totale ou partielle d’un élément métallique à l’aide de deux lamesdont l’une au moins est mobile (voir figure fig. 5.24.). Dans le poinçonnage, un poinçon et une matrice (voir figure fig. 5.24.) remplacent les lames de cisailles.

L’effort de cisaillage (ou de poinçonnage) F est égal à :

NF l e rupt cis= 1 τ (éq. 5.83.)

Notations : l1

eτrupt cis

longueur de la tôle à cisaillerépaisseur de la tôlecontrainte de rupture en cisaillement

mmmmN/mm2

Remarques :1) L’équation éq. 5.83. n’est valable que pour le cisaillage à lames parallèles.

Dans le cas de lames obliques, l’effort de cisaillage F devient :

[N]Fe

tgrupt cis=

2

2

τα

(éq. 5.84.)

avec : α : 2 à 6° pour les lames longues: 15 à 20° pour les lames courtes

2) Dans le cas du poinçonnage la longueur L1 devient le périmètre de la pièce.3) La contrainte de rupture en cisaillement est, en principe, égal à .τ rupt cis mR= 058.

Mais en fabrication, pour tenir compte de l’usure du tranchant des lames et desfrottements, il est préférable de prendre .τ rupt cis mR≈


Application 5.11. Quelle force doit avoir une presse pour découper desrosaces dans une tôle de laiton de 2 mm d’épaisseur ?

( )τ rupture cis laiton N mm= 300 2


Solution :Cas de lames parallèles

F l e rupt cis= 1 τet comme il faut tenir compte des frottements :

F l e Rm= 1

avec : l périmètred

mm1 42

2 15 94 25= =

= × × =π π .

e mm= 2

ττ

rup cis m mrup cis

R R N mm= = = =058058

300

058517 2 2.

. ..

F l e R N Tm force= = × × = ≈1 94 25 2 517 2 97 492 10. .


fig. 5.26. - Assemblage bout-à-bout.

fig. 5.27. - Assemblage par cordons d’angle.

5.6.6. ! Calcul d’assemblages soudés

Le soudage est une opération qui consiste à créer une liaison entre des éléments au moyen d’uncordon de soudure déposé sur les pièces par fusion d’une électrode.

A) Généralités

En calcul d’assemblages soudés, on distingue deux types :

1) les assemblages bout-à-bout caractériséspar la continuité physique de toute la sectiond’une au moins des pièces assemblées.

2) les assemblages par cordons d’anglecaractérisés par un “manque de pénétration”voulu à la conception. Le cordon de soudurese trouve comme le nom l’indique dansl’angle des pièces à assembler.

Sans entrer dans de grandes considérations nous pouvons dire ceci :

1) A défauts de connaître l’état de contrainte (qui est très complexe) dans les cordons de soudure,on suppose les contraintes tangentielles τ réparties uniformément.

2) Dans les calculs de joints soudés, on ne tient d’habitude pas compte des débordements touten supposant que la section de la soudure à la forme d’un triangle isocèle (fig. 5.28.) dehauteur hg (hauteur de gorge). La longueur de la soudure sera notée ls et la hauteur du cordonsera notée hc.

3) Les ruptures des assemblages soudés s’effectuent suivant les plans de cisaillement maximum.

4) Dans les assemblages soudés on peut distinguer, au point de vue des caractéristiquesmécaniques :

a) le métal des pièces ou métal de base non affecté par la soudure,b) le métal de la zone affectée thermiquement (ZAT),c) le métal déposé ou métal du cordon (métal d’apport).

4.a) En ce qui concerne le métal de base, les limites d’élasticité en cisaillement des deuxprincipaux aciers de construction sont donnés dans le tableau 5.4..

4.b) En ce qui concerne le métal de la zone thermiquement affectée, les règles de bonnepratique imposent d’obtenir des caractéristiques mécaniques au moins égales à celles dumétal de base.


fig. 5.28. - ; .a hg= b hs=

Le calcul des cordons de soudure peut donc être basé sur les seules conditionsrelatives au métal de base.

Le métal de soudure étant convenablement choisi, on peut admettre quel’assemblage possède la même résistance que la partie de la section de la pièceen contact avec les cordons de soudure.

4.c) D’après les ordres de grandeur des limites d’élasticité en cisaillement du métal d’apport,on constate que ceux-ci sont toujours (largement) supérieurs à ceux du métal de base(Essais effectués à Institut Belge de la Soudure (IBS)).

Moyennant toutes ces remarques, constatant que les conditions relatives au métal déposé sontdans tous les cas automatiquement satisfaites si les conditions relatives au métal de base sont vérifiées.

B) Calcul des assemblages bout-à-bout

C’est pourquoi les cordons de soudures de ce type d’assemblage ne nécessitent aucunevérification.

C) Calcul des assemblages par cordons d’angle

1) Calcul de soudures latérales

Les cordons de soudures se trouvent parallèles à la direction de l’effort.

Les soudures latérales sont les plus utilisées dans la pratique. Ces soudures sont moins rigidesque les soudures frontales; ceci est dû à une plus grande étendue de métal dans le sens de l’actionde l’effort. Les soudures latérales sont toujours réalisées par couples, sur les deux côtés.


fig. 5.29. - Cordons de soudure latéraux.

fig. 5.30. - Cordons de soudure frontaux.

On considère (fig. 5.29.) le cas élémentaire de deux plats, d’épaisseur e, en acier liés par deuxcordons de soudure latéraux.

La section de cisaillement maximal correspond à la section d’aire minimale. Cette section estsituée dans le métal de base, infiniment près d’un des plans de séparation entre le cordon et lespièces.

L’aire de la section transversale soumise à cisaillement Acis de longueur ls (avec ls la longueur

d’une seule soudure) sera (sachant qu’il existe 2 cordons de soudure) : ( )A h l h lcis c s c s= =2 2

La condition de résistance au cisaillement s’écrit :

τ τ τmoyen

cis

moyen

c s

adm MB

V

A

V

h l= = ≤

2(éq. 5.94.)

Notation : τadm MB la contrainte tangentielle admissible dans le métal debase

N/mm2

2) Calcul de soudures frontales (fig. 5.30.)

Les cordons de soudures se trouvent perpendiculaires à la direction de l’effort.


De même que pour les cordons latéraux la section de cisaillement maximal est située dans lemétal de base, infiniment près d’un des plans de séparation entre le cordon et les pièces.

Lors du calcul des soudures frontales dans les assemblages à recouvrement on tient compte desdeux soudures : supérieure et inférieure. Leur surface totale Acis (ls étant la longueur d’une seule

soudure) est égale à : ( )A h l h lcis c s c s= =2 2

La condition de résistance au cisaillement s’écrit :

τ τ τmoyen

cis

moyen

c s

adm MB

V

A

V

h l= = ≤

2(éq. 5.96.)

3) Généralisons

Les équations éq. 5.94. et éq. 5.96. étant les mêmes, nous pouvons généraliser la formule pourla rendre applicable au dimensionnement de tous les types d’assemblage faisant intervenir descordons frontaux, latéraux et obliques. En appliquant V l’effort total auquel est soumis l’ensembledes cordons et , la somme des sections de gorge de ces cordons, on a :( )h lc s

( )V

h lc s

adm MB≤ τ (éq. 5.98.)

En pratique, du moins dans les cas complexes, on se donne à priori des dimensions raisonnablespour les différents cordons et on vérifie qu’elles satisfont à la condition précédente.

Dans la pratique on calcule parfois les soudures par rapport à la hauteur de gorge hg; de ce faitla formule précédente devient :

( )V

h lg s

adm MB2

≤ τ (éq. 5.99.)

4) Longueur des soudures

Considérant que sur les deux extrémités de la soudure, il y a une pénétration incomplète (cratère),la longueur réelle à donner au cordon de soudure est de ( ) supérieure à la longueur2 × hc

théorique calculée par la formule ci-dessus.


D) Contraintes admissibles

Type d’acierRe

N/mm2

τe MB N/mm2

= 058. Re

Métal de base

N/mm2ττ

adm MBe MB

S=

Cas I Cas II Cas III

AE 235 (St37) 235 136S = 15.

90

S = 133.102

S = 10.

136

AE 355 (St52) 355 204S = 173.

118

S = 153.133

S = 115.177

Tableau 5.4. - Contrainte admissible dans les soudures.

La mise en oeuvre par soudage de l’acier AE 355 est plus délicate que celle de l’acier AE 235.Même en respectant les règles de bonne pratique, on peut rencontrer, avec l’acier AE 355 desaffaiblissements locaux dans les assemblages soudés, de sorte qu’il est prudent de majorer de 15 % lescoefficients de sécurité relatifs au métal de base et au métal déposé. On est ainsi amené à adopter pourl’acier AE 355 des coefficients de sécurité S égaux à 1.73, 1.53 et 1.15 respectivement dans les cas I, IIet III de combinaisons des actions.

Cas I : Effet le plus défavorable résultant de la superposition de la totalité ou d’une partie dessollicitations, à l’exclusion de l’action du vent.

Cas II : Effet le plus défavorable résultant de la superposition de la totalité ou d’une partie dessollicitations, y compris l’action du vent maximal normal.

Cas III : Effet le plus défavorable résultant de la superposition de la totalité ou d’une partie dessollicitations, y compris l’action du vent exceptionnel (1 fois toutes les x années) àl’exclusion de la charge de neige.

Dans un calcul d’avant-projet, sauf notification contraire, on prendra toujours le Cas I.

E) Remarques importantes

Les barres comprimées à leurs extrémités ne peuvent pas êtres considérées comme encastrées.Les barres soumises au flambage seront calculées comme étant articulées à leurs extrémités et l’onprendra comme longueur de flambage lfl la longueur de l’élément.

Les cordons de soudure seront disposés de façon à centrer les efforts dans la fibre neutre de labarre, afin de réduire les efforts secondaires.

Il faut être prudent dans le calcul des soudures, ceux-ci sont soumis à des normes très strictes.


Application 5.12. Calculez les soudures d’une attached’un fer UPN 140 (acier AE 235) de 140 x 60 x 7 x10 de 2040 mm² de section. L’effort que supporte le“U”, et donc l’assemblage, est de 245000 N.


Solution :Recherche de la contrainte admissible dansl’assemblage

La contrainte de cisaillement admissible vaut : (acier AE 235)τ adm MB N mm= 90 2

Recherche de la hauteur du cordonPour le cordon frontal la hauteur hc sera aumaximum de 7 mm. Nous considérerons lamême hauteur pour les cordons latéraux.

Calcul des longueurs de cordons

( ) ( )V

h l

Vh l

c s

adm MBadm MB

c s ≤ ≤ττ

( )Vmm h l

adm MB

c sτ= = ≤245000

902 722 2

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

h l h l h l

h l h l

hl

mm

c s c s frontal c s latéral

c s c s frontal

s latéral

s latéral

= +

−=

− ××

=

2

2

2722 140 7

2 7124

La longueur réelle d’un cordon latéral sera de :124 7 131+ = mm



Application 5.13. Un assemblage soudé en acier St37est exécuté sur chantier quelle sera la longueur descordons de soudure ? Section de la cornière : 482 mm2

La contrainte admissible en traction dans la cornière :12 daN/mm2

fig. 5.33. - Répartition des efforts.

Solution :Remarque préliminaire

Les cordons ne reprennent pas des chargesidentiques. Le centre de gravité de la cornière étant plus proche de l’aile, il est évident que lecordon placé du côté de l’aile reprendra un effort plus important que l’autre.

Charge reprise par la cornière :N A

Nadm=

= × =σ482 120 57840

Répartition des efforts dans les cordons

FF l

dN

FF l

dN

12

21

57840 15

5515775

57840 40

5542 065

= =×

=

= =×

=

Recherche de la hauteur du cordonOn peut mettre des soudures de maximum 4.5 mm dehauteur hc.

Calcul des longueurs de cordonsLa contrainte de cisaillement admissible vaut :

τ adm MB N mm= 90 2

La longueur de la soudure du côté opposé à l’aile sera :

lF

hmm

c adm MB1

1 15775

4 5 9039= =

×=

τ .

La longueur du côté de l’aile sera de :

lF

hmm

c adm MB2

2 42 065

4 5 90104= =

×=

τ .

Et les longueurs réelles seront :l mm

l mm1

2

39 2 4 5 48

104 2 4 5 113

= + × == + × =

.

.


Application 5.14. Une tête de colonne en St37,supportant une charge de 500 kN, est composée de deuxplats comme le montre la figure ci-contre. Ces deux platssont reliés à la poutrelle verticale par 4 cordons desoudure. On suppose que les soudures reprennent lesefforts. On demande la largeur minimale de ces plats.


Solution :Formule de base

( )T

h lc s

adm MB≤ τ

Les dimensions d’un HEB 300 sont :300 x 300 x 11 x 19 et donc la hauteur du cordonne peut dépasser 19 mm (épaisseur des ailes).

De plus, dans notre cas nous avons 4 cordonsidentiques.

Contrainte admissible du métal de base :τ adm MB N mm= 90 2

Calcul de la longueur du cordon de soudure

lT

hmms

c adm MB

= =× ×

=4

500000

4 19 9073

τl mm1 73 2 19 111= + × =

et la largeur du plat normalisé : 120 mm


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