Chapter 2

4.1. The Basics of Counting

4.2. The Pigeonhole Principle

The Basics of Counting

sub-bab 2.1

to countfind number of

esp. by assigning successive numerals

repeat numerals in order

(the little oxford dictionary)

Prinsip dasar:

Dua macam cara menghitung (counting)

1. Aturan Perkalian

The Product Rule

2. Aturan Penambahan

The Sum Rule

Aturan PerkalianSebuah proses dibagi dalam beberapa subproses yang berlanjut (subproses-1, subproses-2, …, dan seterusnya).

Jika subproses-1 dapat diselesaikan dalam n1 cara,

subproses-2 dapat diselesaikan dalam n2 cara,

……………..

subproses-p dapat diselesaikan dalam np cara,

maka ada

(n1) (n2) …..… (np)

cara untuk menyelesaikan proses tersebut

Contoh: lihat Example 1

Penomoran kursi di auditorium berbentuk satu huruf disambung dengan integer positif tidak lebih dari 100.

n1 = 26, n2 = 100,

maka ada 2600 nomor kursi:

A001 A002 … A100

B001 B002 … B100

C001 C002 … C100

… …

Z001 Z002 … Z100

Contoh: lihat Example 7Format nomor telepon NXX-NXX-XXXX

di mana N = 2 .. 9, X = 0 .. 9

NXX : 8 x 10 x 10 XXXX : 10 x 10 x 10 x 10 200, 201, …, 299 0000 …

9999300, 301, …, 399

………900, 901, …, 999

Contoh nomor telepon dengan format ini : 209-302-0089

Maka dengan format ini ada (800)(800)(10.000) = 6.400.000.000 nomor telepon

Aturan PenambahanSebuah proses dapat dilakukan dalam beberapa cara, tetapi cara-cara ini tidak dapat dilaksanakan pada waktu yang sama.

Jika ada n1 cara-1,

n2 cara-2,

……………..

np cara-p,

maka ada

n1 + n2 + …..… + np

kemungkinan cara untuk menyelesaikan proses tersebut

Contoh: lihat Example 10

Dalam sebuah panitia, wakil dari suatu jurusan bisa dipilih dari dosen atau dari mahasiswa.

Jurusan Matematika punya 37 dosen

dan 83 mahasiswa.

n1 = 37, n2 = 83

Maka ada 37 + 83 = 120 calon yang dapat mewakili jurusan Matematika.

Diagram pohon:

Untuk visualisasi guna mempermudah penyelesaian.

Contoh: lihat Example 17

Berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “11” ?

Daftar bit-string dengan panjang 4

0000 0100 1000 1100

0001 0101 1001 1101

0010 0110 1010 1110

0011 0111 1011 1111

0

1

1

10

0 0 0

0

111

00 0 001 111 01

Soal 48 halaman 312:

Dengan diagram pohon, hitung berapa bit-string dengan panjang 4 tidak berisi substring “000”

0000 0100 1000 1100

0001 0101 1001 1101

0010 0110 1010 1110

0011 0111 1011 1111

Gambarkan tree-nya.

Prinsip Rumah Merpati

(The Pigeonhole Principle)

sub-bab 4.2

Prinsip rumah merpati (the pigeonhole principle):

Jika (k+1) obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi dua atau lebih obyek

Obyek merpati (pigeons)

Kotak rumah merpati (pigeonholes)

Contoh: examples 1 – 3 halaman 313

1. Dari antara 367 orang, ada sedikitnya dua orang yang lahir pada tanggal yang sama.

367 orang merpati

366 hari rumah merpati

2. Dari 27 kata ada dua kata yang dimulai dengan huruf yang sama.

27 kata merpati

26 huruf rumah merpati

3. Jika nilai ujian menggunakan skala 0 s/d. 100, berapa orang mahasiswa yang megikuti ujian tersebut supaya paling sedikit ada dua orang yang nilainya sama ?

102 mahasiswa merpati

101 nilai (0..100) rumah merpati

Bentuk umum prinsip rumah merpati

(the Generalized Pigeonhole Principle)

Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek

Contoh :

10 buah jeruk ditempatkan dalam 6 keranjang

N = 10, k = 6

Kalau penempatannya “merata” dan tidak ada keranjang yang kosong, maka distribusinya sbb.:

1 1 2 2 2 2

Bentuk umum prinsip rumah merpati

(the Generalized Pigeonhole Principle)Jika N obyek ditempatkan dalam k kotak, maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek

Bukti (dengan kontradiksi)

Asumsi: tidak ada kotak yang berisi lebih dari N/k -1

maka total obyek tidak lebih dari k ( N/k -1)

k ( N/k – 1) < k ( ( N/k + 1) – 1) karena N/k < N/k + 1

k ( N/k – 1) < k (N/k) atau total obyek < N

Padahal total obyek = N

Maka paling sedikit satu kotak berisi paling sedikit N/k obyek (terbukti)

(N/k) (N/k)+1

N/k

12 13 14 15

40/3 = 13 1/3

40/3

Contoh 5 & 6 halaman 315:

5. Di antara 100 orang ada paling sedikit 100 / 12 = 9 orang yang lahir pada bulan yang sama.

6. Nilai huruf adalah A, B, C, D, E dan dalam suatu kelas ada paling sedikit 6 orang yang mendapat nilai sama. Banyaknya mahasiswa di kelas itu minimum 26 orang.

A : 5 B : 5 C : 5 D : 5 E : 5 25 + 1

Soal 13 halaman 318

Lima angka dipilih dari { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Maka pasti ada sepasang angka yang jumlahnya 9

Rumah merpati (1+8)

(2+7)

(3+6)

(4+5)

Merpati 5 angka yang dipilih

Jadi 5/4 = 2 (sepasang angka) menghasilkan jumlah 9

1 8 2 7 3 6 4 5

I II III IV

Ambil 5 “merpati” dari 4 “rumah merpati”

PR

4.1. no. 37, 40, 47, 48

4.2. no. 2, 4, 6, 14