Chapter 3. Giai Bai Toan Toi Uu Theo Giai Thuat Di Truyen

8/17/2019 Chapter 3. Giai Bai Toan Toi Uu Theo Giai Thuat Di Truyen

1/41

1/23

Chương 3. Gii bi ton ti ưu theophương php di truyn

Ngưi son: TS. Đ Văn Tuân

H Ni, 2016


2/41

3.2. Biu din vec tơ nh phân

2/23

Sử dụng véctơ nhị phân có đ dài như mt NST đểbiểu diễn giá trị thực của biến [lx, ux].

Đ dài của NST phụ thuc vào yêu cầu cụ thể của bàitoán.

Mi gi trị nguyên trong khong [0, 2n -1] sẽ được ánh x

lên giá trị thực thuc min [lx,ux].

Tỷ lệ co giãn của ánh x được tính như sau:

x = lx+ decimal(NST) * g

−Trong đ, decimal(NST) l gi trị thp phân của dy bt


3/41

3/23

Tìm cực tiểu mt hàm k biến f(x 1,…,x

k ): Rk R. Gi sử:

Gi trị biến x i thuc min Di =[ai , bi ] R

Hm f(x 1,…,x k ) > 0

Cần ti ưu hoá hàm f với đ chính xác 6 ch s dâu phyđi với gi trị của k biến.

Để đt được đ chính xác như vy, mi min Di được phân

cắt thành (bi – ai )* 106 min con bằng nhau. Gọi mi là snguyên nhỏ nhât thỏa:

()10 ≤ 2 1

V d


4/41

4/23

Như vậy, mỗi biến xi được biểu diễn bằng một chuỗi nhị phân có

chiều dài mi. Biểu diễn như trên, rõ ràng thoả mãn điều kiện về độ

chính xác yêu cầu. Công thức sau tính giá trị thập phân của mỗi

chuỗi nhị phân biểu diễn biến xi

+ 1100,… , 01 2 Ơ v d ny, mỗi nhiễm sắc thể (l một lời giải) được biểu diễn bằng chuỗi nhị phân có chiều di n= k i=1 mi .

m1 bit đầu tiên biểu diễn các giá trị trong khoảng [a1 ,b1], … , mk bitcuối cùng biểu diễn giá trị trong khoảng [ak , bk ].


5/41

3.3. Khi to quân th

5/23

- Xc định kch c quần thể (s NST), gi sử l M

- Thực hiện M lần sinh dy bt ngu nhiên c đ di N (s

bt đi diện cho mi c thể)

Th tc sinh quân th:function [ P] = khoi_tao_quan_the( k,bits,M )

% k so bien cua ham

% bits so bit bieu dien gia tri cua bien

% M kich thuoc quan then

N = k*bits; % so bit cho moi nhiem sac the

P =randi([0,1],[M,N]);

end


6/41

6/23

Phân còn li ca thuật giải di truyền:

Mi thế hệ, ta lượng giá từng NST (tính giá trị hàm f trên

các chui biến nhị phân đ được gii mã)

Chọn quần thể mới tho phân b xác suât dựa trên đ

thích nghi

Thực hiện các phép đt biến và lai để to các cá thể thế

hệ mới.

Sau mt s thế hệ, khi không còn ci thiện thêm được gì

na, nhiễm sắc thể tt nhât sẽ được xem như li gii của

bài toán ti ưu (thưng là toàn cục). Thông thưng, ta

dừng thut gii di truyn sau mt s bước lặp c định.


7/41

3.4. Ton t chn lc

7/23

Có nhiều cách để thực hiện toán tử chọn lọc, nói chung đều theo

tư tưởng cá thể có độ thích nghi cao hơn thì khả năng được chọn

nhiều hơn.

Mt sô phương phap chon loc thông dung:

Bánh xe Roulette

Sắ p xế p hng cá thể

Chọn lọc có cnh tranh


8/41

3.4.1. Chn lc bng bnh xe Roulette

8/23

Mi cá thể trong quần thể chiếm mt khe có đ rng tỷ lệthun với giá trị phù hợp. Đ rng của khe được tính

bằng tỷ lệ % giá trị thch nghi của mt cá thể trên tổng

giá trị thch nghi toàn quần thể. Gọi là đ thch nghi của cá thể thứ trong quần thể

gồm M cá thể, khi đ cá thể sẽ được chọn với xác suât:

=


9/41

V d

9/23

STT NST Đ thch nghi Tỷ lệ % Tổng chy

1

23

4

01101

1100001000

10011

169

57664

361

14.4

49.25.5

30.9

169

745809

1170

Tổng 1170 100.0


10/41

Cc bưc tiên hnh

10/23

Bư c 1: Đánh số thứ tự cho các cá thể v Tnh tng giá trị thch

nghi như bảng trên.

Bư c 2: Sinh ngu nhiên số r,

0 ≤ ≤ (S l tng giá trị thch

nghi của ton bộ quần thể)

Bư c 3: Chọn cá thể đầu tiên có tng chy bằng hoc l n hơn r

Xét v dụ trên, nếu r = 654 thì chọn NST thứ 2 (11000)


11/41

3.4.2. Xêp hng cc c th

11/23

Phương php ny hon ton ging như sử dụng Roulettengoi trừ dy c thể được sắp xếp theo giá trị của hàm

mục tiêu. Cá thể đầu tiên là cá thể tt nhât và cá thể cui

cùng là cá thể tồi nhât. Vy c thể thứ (N-j) sẽ c xc suâtđược chọn l:

− =


12/41

3.4.3. Chn lc c cnh tranh

12/23

Nội dung chnh của phương phá p:

Chọn cá thể từ quần thể hiện ti một cách ngu nhiên vàchọn cá thể tốt nhất trong cá thể đó để sao chép sang quầnthể tm thời.

Lp li bưc trên N lần chúng ta sẽ có quần thể tm thời.

Giá trị được gọi là kích cỡ của chọn lọc cnh tranh. Khi 2chúng ta chọn lọc cnh tranh nhị phân


13/41

3.4. Ton t lai ghep (Crossover)

13/23

Có 3 dng lai ghe p cơ bản:

Lai ghe p 1 điểm

Lai ghe p nhiều điểm Lai ghe p theo mt n


14/41

3.4.1. Lai ghep 1 đim

14/23

Từ hai cá thể cha mẹ đã chọn P1, P2; toán tử này cần sinh ngunhiên một vị trí k (1


15/41

Th tc lai ghep mt đim bng Matlab

15/23


16/41

3.4.2. Lai ghep nhiều đim

16/23

Lai ghép nhiều điểm được thực hiện tương tự như lai ghép một

điểm

Vi hai cá thể cha mẹ đã chọn P1 v P2, thuật toán cần sinh ngu

nhiên vị trí:i1, ... , ik vi giả thiết i1 < i2 < ... < ik .

Các điểm cắt này chia các cá thể đã chọn thành các đon được

đánh số chẵn lẻ;

sau đó hai cá thể con được to thành bằng cách tráo đi các gencủa cp cha mẹ tuỳ theo các đon chẵn hay lẻ đã nêu.

Trong lai ghép nhiều điểm thì lai ghép hai điểm cắt được quan tâm

nhiều nhất.


17/41

V d lai ghep 2 đim

17/23

Chẳng hn

P1 = (1 1 1 0 0 0 1 0 1 0) P2 = (0 1 0 1 1 0 0 1 1 1)

l hai chuỗi nhị phân độ di 10, giả sử các điểm cắt đã chọn l 2,

5, 8 thế thì hai con được sinh ra l :

C1 = (1 1 0 1 1 0 1 0 1 1) C2 = (0 1 1 0 0 0 0 1 1 0)


18/41

Th tc lai ghep nhiều đim

18/23


19/41

3.4.3. Lai ghep kiu mt n

19/23

Loi lai ghép này còn gọi là lai ghép đều;

Sinh một chuỗi nhị phân ngu nhiên cũng có độ dài n gọi là

chuỗi mt n.

Hai con được to ra dựa trên chuỗi mt n này, chẳng hn gen

thứ i của cá thể con C1 được lấy là gen thứ i của P1 nếu bit mt

n tương ứng là 1 và lấy gen thứ i của P2 nếu bit mt n là 0.

Cá thể con C2 được to ngược li.


20/41

V d

20/23

Ví dụ: Với P1 = (1 1 1 0 0 0 1 0 1 0)

P2 = (0 1 0 1 1 0 0 1 1 1)

Gi sử mặt n U được khởi to ngu nhiên:U = (0 1 1 0 0 1 1 0 0 1)

Khi đ, hai con được ra là :

C1 = (0 1 1 1 1 0 1 1 1 0) C2 = (0 1 0 0 0 0 0 0 1 1)


21/41

Th tc lai ghep theo kiu mt n

21/23


22/41

3.5. Ton t đt biên (Mutation)

22/23

Toán tử đột biến làm thay đi các thông tin của quần thể ở mức

bit (gen).

Đột biến làm thay đi giá trị của một bit bất kỳ theo xác suất pm.

Mỗi bit đều có cơ hội đột biến như nhau.


23/41

Th tc đt biên

23/23


24/41

3.6. Hm thch nghi

24/23

Do giá trị thch nghi trong gii thut di truyn là không âm, nên

để áp dụng GA cho bài toán ti ưu ta cần phi chuyển giá trị

chi ph của hm mục tiêu v gi trị thch nghi cho ph hợp.

Nếu bài toán ti ưu là cực tiểu hàm mục tiêu g(x) thì ta

chuyển sang hàm thch nghi như sau:

Cmax là tham s vào do ngưi sử dụng chọn, thưng chọn là

giá trị lớn nhât của hàm mục tiêu trong tp hiện ti

lainguoc

C x g x g C x f

0

)()()(

maxmax


25/41

25/23

Nếu bài toán ti ưu là cực đi hàm mục tiêu g(x), ta có thể

chuyển sang hàm phù hợp như sau:

Trong đ Cmin là tham s đầu vào, Cmin có thể là giá trị tuyệt

đi bé nhât của các hàm mục tiêu trong tp hiện ti hoặc

trong vòng lặp cui

lainguoc

C x g x g C x f

0

0)()()(

minmin


26/41

3.7. Thang đo gi tr thch nghi

26/23

Việc điu chỉnh s lượng con cháu cho mi cá thể trong

quần thể là rât quan trọng:

Lúc bắt đầu hoặc sau vài vòng lặp đầu tiên, các quần thể

thưng có mt s cá thể “siêu khoẻ” có kh năng chiếm

lĩnh phần lớn quần thể và có thể dn đến hi tụ sớm không

mong mun (vì các cá thể “siêu khoẻ” này sẽ có thể có rât

nhiu con)


27/41

27/23

Nếu cứ để như vy mà chọn lọc thì giá trị thch nghi của

các cá thể thành phần sẽ tiến gần đến giá trị thch nghi củacá thể tt nhât.

Vy ta mun, sau nhiu lần lặp, các cá thể trung bình cũng

có con s tương đương với các cá thể tt nhât trong thế hệtiếp theo. Khi đ gii thut di truyn trở thành tìm kiếm

ngu nhiên gia các cá thể thành phần). Thang đo giá trị

thch nghi sẽ gii quyết vân đ này.


28/41

Thang đo tuyên tnh

28/23

Nếu gọi là giá trị thch nghi ban đầu và ’ là giá trị thch

nghi sau khi biến đổi:Ta có: ’ × + (1)

Trong đ a và b được chọn sao cho:

’ (2) ’max × (3)Cmult là bn sao cần thiết đi với thành viên tt nhât.

Đi với các quần thể kích c nhỏ (50-100 cá thể),Cmult =1.2 2 là khá hiệu qu.

: giá trị phù hợp trung bình ban đầu

’: giá trị phù hợp trung bình sau khi biến đổi.


29/41

3.8. S dng GA đ tm cc tiu hm f(x) mt biên

29/23

Giả sử ta phải tìm cực trị của hàm f(x):

f(x)= x*sin(10**x)+1 vi x [-1, 2]

Input: tập các giá trị x [-1, 2]

Output: giá trị x làm cho f(x) cực tiểu

Việc tìm x trong khoảng [-1,2] để có giá trị nhỏ nhất, nghĩa làtìm x0 sao cho: f(x0)


30/41

30/23

Rõ rng l phương trình trên c vô s li gii, xem đồ thị:


31/41

S dng giải thuật di truyền

31/23

Giá trị thực của x được biểu diễn bởi một véc tơ nhị phân gọi là NST. Chiều dài véc tơ tuỳ thuộc vào độ chính xác được yêu cầu,

trong bài này là 6 chữ số sau dấu phẩy.

Miền biến thiên của x có độ dài 3, vi yêu cầu độ chính xác là 6chữ số sau dấu phẩy, nên cần chia miền [-1, 2] thành 3.106 khoảng

bằng nhau (mỗi điểm biểu diễn một giá trị của x)

Do đó, ta có thể dùng véc tơ nhị phân dài 22 bit để biểu diễn một NST vì

2097152 = 221 < 3000000 222 = 4194304


32/41

32/23

Để giải mã chuỗi nhị phân (21, 20, … , 0) thành giá trị thực

trong khoảng [-1, 2] ta thực hiện các bưc sau:Bư c 1: Chuyển chuỗi nhị phân sang cơ số thập phân:

=

× 2

Bư c 2: Tnh giá trị thực của x ứng v i y:

12

30.1

22

y x


33/41

Khi to quân th

33/23

To M các thể ngu nhiên có NST l biểu diễn bở i 22 bt nhị phân

Hm thch nghi

Hàm thch nghi của véc tơ chính là hàm mục tiêu

:

() ()Trong đ, v là chui nhị phân biểu diễn giá trị thực của x.

V dụ:v1= (1000101110110101000111) x1= 0.637197v2= (0000001110000000010000) x2= 0.958973

v3= (1110000000111111000101) x3= 1.627888


34/41

34/23

Khi đó hm đánh giá được tnh :

eval(v1) = f(x1) = x1*sind(10*180*x1)+1=1.586345

eval(v2) = f(x2) = 0.078878

eval(v3) = f(x3) = 2.250650


35/41

Ton t đt biên

35/23

Toán tử đt biến thay đổi mt hoặc nhiu gen với xác suât

đt biến pm

Ví dụ: Nếu NST v3 được chọn đt biến ở vị trí gen thứ 5, ta

được ′:′ (1110100000111111000101)

Tương ứng v i

′

1.721638 v

(

′ ) = -0.082257


36/41

Ton t lai ghep

36/23

Giả sử ta chọn hai NST v1 và v

2 làm cp cha mẹ để lai ghép, và

điểm lai ghép được chọn ngu nhiên là điểm thứ 5.

Khi đó hai NST con cháu được sinh ra là:

v1’

=(00000000000111111000101)v2

’=(1110001110000000010000)

Hàm thch nghi của 2‘ và 3’ là:

eval(v2’

) = 0.940865eval(v3

’) = 2.459245


37/41

Yêu câu:

Xây dựng chương trình bằng Matlab để với cc tham s

37/23

Kích thước quần thể: 30

Xc suât lai ghép : 1

Xc suât đt biến: 0.1


38/41

3.9. S dng GA đ tm cc tiu hm Rastrigin

38/23

Hm Rastrigin đượ c định nghĩ a:

10 + =

10cos(2)

Hm Rastrigin l hm không lôi (non-convex function) thườ ng

đượ c dùng để kiểm tra các phương phá p tối ưu.

V i n=2, ta có:

, 20 + 10 cos 2 + 10 cos 2Vi -5.12 x 5.12 v -1.28 y 5.12


39/41

M ha cc nhim săc th

39/23

Giả sử độ chnh xác của bi toán l 4 chữ số sau dấu phẩy, vậy

suy ra số bt để mã hóa v lần lượ t l:(10.24 ∗ 10) 17 (bit)

(6.4 ∗ 10) 15 () Như vậy, mỗi NST đượ c mã hóa bở i 32 bt


40/41

Gi tr ca hm mc tiêu ca mt sô c th khi to

40/23

Nhiễm sắc thể x y f(x,y)1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 5.014 0.458 45.034

0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 -0.587 0.334 34.059

0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 -1.939 -0.611 22.524

0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -1.880 1.302 21.137

0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 -2.153 -0.043 9.278

0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 -1.679 1.622 36.983

1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 3.686 1.196 35.643

0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 -3.611 0.477 50.830

0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 -2.296 0.579 37.278


41/41

Documents

Chapter 3. Giai Bai Toan Toi Uu Theo Giai Thuat Di Truyen