Chapter 9. 순열 , 이산적 확률 , 재귀적 관계

Chapter 9. 순열 , 이산적 확률 , 재귀적 관계

개요

순열 , 이산적 확률 , 재귀적 관계와 연관된 전반적인

논제들을 고찰함

경우의 수 , 순열 및 조합과 관련된 기본적인 정의와

특징들을 다양한 예제들을 통하여 알아봄

이산적 확률에 대한 기본 개념과 평균 , 분산 , 표준 편차와

같은 통계적인 사항들을 살펴봄

원리는 간단하지만 이산수학에서 중요하게 쓰이는 비둘기

집 원리와 재귀적 정의에 의한 재귀적 관계식을 알아봄

재귀적 관계의 대표적인 예인 피보나치 수와 하노이 탑

문제를 학습함

CONTENTS

9.1 경우의 수

9.2 순 열

9.3 조 합

9.4 이산적 확률과 통계

9.5 비둘기 집 원리

9.6 재귀적 정의

9.7 피보나치 수와 하노이 탑

9.1 경우의 수


4Discrete Mathematics

• 어떤 사건이 일어나는 경우의 수

• 모든 경우를 일정한 기준에 따라 빠짐없이

• 중복되지 않게 해야 함

• 경우의 수를 구하는 방법

• 트리를 이용하는 방법과 표를 이용하는 방법이 있음

9.1 경우의 수



9.1 경우의 수



세기 (Counting) 세기 (counting) 방법

(1) 순서 (order) 를 고려하던지 또는 고려하지 않던지(2) 반복 (repetition) 을 허락하던지 또는 허락하지 않던지

◦ 반복 (X), 순서 (O) 순열◦ 반복 (X), 순서 (X) 조합 ◦ 반복 (O), 순서 (O) 중복 순열◦ 반복 (O), 순서 (X) 중복 조합

9.2 순 열



9.2 순 열



9.2 순 열



The number of r-permutations of a set with n=|S| ele-ments is (n 개 중 r 개를 선택하여 나열하는 방법은 )

[ 풀이 ]첫 번째 원소를 선택하는 경우의 수 : n 개두 번째 원소를 선택하는 경우의 수 : (n-1) 개

( 중복이 허용되지 않으므로 첫 번째 선택된 원소 제외 )r 번째 원소를 선택하는 경우의 수 : (n-r+1) 개 따라서 곱의 법칙에 의해

가 성립한다 .

)!(!)1()1(),(rnnrnnnrnP

!( , ) ( 1)...( 1) ( )!nP n r n n n r n r

9.2 순 열



9.2 순 열



9.2 순 열



9.2 순 열



중복순열 (permutation with repetition) r- 중복순열

◦ 원소 n 개를 갖는 집합에서 r 개의 원소를 중복을 허용하여 순서대로 선택하는 방법

r- 중복순열의 개수◦ 원소 n 개를 갖는 집합에서 r - 중복순열의 경우의 수는 이다 . Π(n, r ) 로 표시

[ 증명 ]r - 중복순열은 n 개의 원소 중 r 개를 차례대로 나열하는 방법을 말한다 . r 개를 차례대로 나열하는 것은 1 단계부터 r 단계 순으로 단계별 나열하는

것을 의미

1 단계 올 수 있는 원소의 개수 : n 개

2 단계 올 수 있는 원소의 개수 : n 개 ( 중복이 허용되므로 )∴ 곱의 법칙에 의해 r 개의 원소를 나열하는 경우의 수

rn

rn

중복 순열

예제 5한 바이트로 만들 수 있는 이진수의 개수는 몇 개인가 ?

[ 풀이 ]

한 바이트는 8 비트므로 총 8 단계로 0 또는 1 의 수를 나열하는

것으로 풀이할 수 있다 . 비트 단계별로 가질 수 있는 수는 각각 2 가지므로

28=256 그러므로 총 256 가지의 수를 만들 수 있다 .

9.3 조 합



원소 n 개를 갖는 집합에서 중복을 허용하지 않고 순서에 상관없이 r 개의 원소를 선택하는 방법 로 표시

( , ) !/ ( )! !( , ) ( , ) ! !( )!n P n r n n r nC n r P r r r r n rr

( , ) ( , ) ( , )P n r C n r P r r

),( rnC

9.3 조 합



Note that C(n,r) = C(n, n−r)• T 에서 r 개의 member 를 선택하는 방법은 T 에서 (n-r) 개의

non-member 를 선택하는 방법과 동일하다 .

! !( , ) !( )! ( )! !! ( , )( )!( ( ))!

n nC n r r n r n r rn C n n rn r n n r

9.3 조 합



9.3 조 합



9.3 조 합



파스칼의 삼각형은 다음과 같이 설명될 수 있는데 , 이를 통하여

이항 계수를 쉽게 계산할 수 있음

1) 각 행에 있는 첫 번째 숫자와 마지막 숫자는 1 임

2) 삼각형 안의 다른 숫자들은 파스칼의 삼각형과 같이 모두 그 숫자

위로부터 연결된 두 수들을 더함으로써 얻어질 수 있음

9.3 조 합



파스칼의 삼각형으로부터 이항 계수를 구하는 예

중복조합 (combination with repetition) r- 중복조합

◦ 원소 n 개를 갖는 집합에서 r 개의 원소를 중복을 허용하여 순서에 상관없이 선택하는 방법

예제 6◦ 세개의 문자 A,B,C 에서 중복을 허용하여 5 개를 뽑는 경우의 수

A A A A A, B B B B B, C C C C C, A B B B B, A A B B B A A A B B, A A A A B, A C C C C, A A C C C, A A A C C A A A A C, B C C C C, B B C C C, B B B C C, B B B B C A B B C C, A A B C C, A A B B C, A A A B C, A B B B C, A B C C C

21!2)!27(

!7)2,7(

)13,153()5,3(

C

CH

)1,1(),1(),( nrnCrrnCrnH

중복조합 (combination with repetition) r- 중복조합의 개수

원소 n 개를 갖는 집합에서 r - 중복조합의 경우의 수 다음과 같다 .

[ 풀이 ]n 개의 원소에서 r - 중복조합을 구하는 문제는 r 개의 빈칸 (V )

와 n-1 개의 칸막이 (/) 를 r + n -1 개의 빈칸에 넣는 문제와 같다 . 즉 , r + n -1 개에서 r 개 또는 n-1 개를 선택하는 문제다 . 그러므로

가 성립한다 .

)1,1(),1( nrnCrrnC

)1,1(),1( nrnCrrnC

중복조합

중복조합 nHr ◦ 원소 n 개를 갖는 집합에서 r 개의 원소들을 순서에 상관없이 나열 r 개의 빈칸에 중복을 허용하여 n 개의 원소를 넣는 문제

n-1 개의 칸막이를 두고 n 가지 경우를 임의의 순서로 배열

Ex) 예제 6 에서 칸막이 기호를 / 로 나타낸다면 , "A B B B C“ "A / B B B / C“, "A B C C C“ "A / B / C C C"칸막이 사이에 아무 원소도 없을 수도 있음 "A A A C C“ "A A A / / C C“, "B B C C C“ "/ B B / C C C"

◦ 문제 변형 문자가 들어갈 r 개의 빈칸과 n-1 개의 칸막이가 들어갈 빈칸을 모두

합한 n+r-1 개의 빈칸에서 , 칸막이가 들어갈 n-1 개의 칸을 선택 nHr 은 n+r-1Cn-1 이 된다 . nCr = nCn-r 이므로 nHr= n+r-1Cr 이 된다 .

)1,1(),1(),( nrnCrrnCrnH

중복조합

[ 예제 7]집합 S = {1, 2, 3, 4} 에서 3 개의 원소를 선택하는

중복조합

의 수는 얼마인가 ?[ 풀이 ]n = 4, r = 3 이므로

이 된다 .

20!3!3!6)3,134( C




• 확률이란 어떤 사건 A 가 일어날 가능성을 수로 나타낸 것임

• 사건 A 가 일어날 경우의 수를 전체의 경우의 수로 나눈 값임
















비둘기 집 원리는 19 세기 말 프랑스의 수학자인 디리클레 (Dirichlet) 에

의해 시작됨

비둘기집 원리 (pigeonhole principle) 비둘기집의 원리

◦ n 은 자연수이고 , 만약 (n+1) 마리의 비둘기와 n 개의 비둘기집이 있다면 , 반드시 어떤 비둘기집에는 두 마리 이상의 비둘기가 있다

◦ 위의 원리를 함수의 형식으로 표현하면 X, Y 는 공집합이 아닌 두 집합이고 , 원소의 개수가 각각 X 는 (n+1) 개 , Y 는 n 개 함수 F : X →Y 는 단사함수가 아니다 .

비둘기집 원리

[ 예제 8]◦ 한 변의 길이가 2 인 정사각형에 5 개의 점이 있으면 , 두 점

사이의 거리가 √ 2 보다 작은 두 점이 반드시 존재한다 .

[ 풀이 ]◦ 한 변의 길이가 1 인 네 개의 작은 정사각형으로 자르면

비둘기집 원리에 의하여 5 개의 점 중에서 반드시 어떤 두 점은 같은 작은 정사각형 안에 있게 된다 .

따라서 , 그러한 두 점은 두 점 사이의 거리가 √ 2 보다 작게 된다 .

비둘기집 원리 [ 예제 9] 임의의 양의 정수 열한 개 중에는 두 수의 차가 10

의 배수가 되는 짝이 적어도 한 쌍이 있다 . ◦ 풀이 . 임의의 양의 정수의 1 의 자리 수는 0 부터 9 까지

열까지 ( 비둘기 집 의 수 ) 뿐이므로 열 한 개 ( 비둘기 수 ) 의 양의 정수 중에는 1 의 자리의 수가 같은것이 적어도 한 쌍 있다 . 이 때 이 두 수의 차는 10 의 배수이다 .

[ 예제 10] 8 명의 학생이 모여 있다 . 그러면 생일의 요일이 같은 학생들이 반드시 있다 .◦ 풀이 . 8 명의 학생이 있고 , 요일은 모두 7 개이므로 ,

비둘기집 원리에 의하여 생일의 요일이 같은 학생들이 반드시 있다 .

If N objects are assigned to k places, then at least one place must be assigned at least N/k objects.(N 개의 객체가 k 개 장소에 배정된다면 , 적어도 한 곳은 N/k 개 객체를 가진다 .)

E.g., there are N=280 students in this class. ( 학생 280 명 )There are k=52 weeks in the year. ( 한 해는 52 주 )• Therefore, there must be at least 1 week during which

at least 280/52= 5.38=6 students in the class have a birthday.

• ( 일반화된 비둘기 집 원리에 의해서 )최소 6 명의 학생은 같은 주에 생일이 들어 있게 된다 .

비둘기집 원리의 일반화

예제 11( 생일이 같은 달… ):100 명 중에서 적어도 몇 명은 같은 달에 태어났다고 볼 수 있는가 ?• 100/12 = 9 명

• 적어도 9 명은 태어난 달이 같게 된다 .




재귀적 관계식 (= 되부름 관계식 )

재귀법 (recursion)

◦ 하나의 문제를 그보다 값이 작은 동일한 문제로 계속 단순화시켜

해결하고자 하는 방법

◦ 재귀법 문제해결을 위해 규칙필요

초기조건 (initial condition)

재귀조건 (recursion condition)




재귀적 정의의 가장 간단한 예로는 정수의 계승 (factorial) 을 들 수 있음

재귀적 정의를 적용하면

(1) 재귀적 관계식




재귀적 관계를 이용하는 문제를 해결하기 위해 2 단계 적용• 주어진 문제를 원래의 문제와 같은 형태의 더 작은 문제들로 분할함

• 가장 작은 문제로 분할된 문제들의 해를 구한 후 , 최종적으로 이들을

결합하여 주어진 문제의 해를 구함







• 재귀적 관계에 의해 나타나는 현상들의 예로 프랙탈 (Fractals) 을 들

수 있음

• 재귀적 관계는 물리학에서의 동역학계와 카오스 (Chaos) 를 비롯한

지능 시스템 분야에서 많이 활용되고 있음




(2) Factorial







Factorial 값을 구하는 재귀 프로그램의 결과







피보나치 수를 구하면 트리를 이용하면 보다 명확하게 이해

(1) 피보나치 수 (Fibonacci num-bers)




따라서 Fib(0), Fib(1), Fib(2), Fib(3), Fib(4), Fib(5), Fib(6), … 은0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …




피보나치 수를 구하는 재귀 프로그램







• 하노이 탑은 각기 다른 크기의 원반들과 판 위에 세워진 세 개의 막대로

구성됨

• 이 원반들은 처음에 바닥에 가장 큰 원반이 있는 크기 순으로 놓임

• 하노이 탑 문제의 규칙은 원반들이 한 막대에서 다른 막대로 한 번에

하나씩 이동할 수 있으며 작은 원반 위에 큰 것이 놓일 수 없도록 하는

것임

• 중간의 막대를 임시적으로 이용할 수 있으나 위의 규칙들을 지켜야 함

(2) 하노이 탑 (Tower of Hanoi)

53

재귀법 ( 계속 ) 하노이 탑 (tower of Hanoi)

◦ 3 개의 기둥 중 제일 왼쪽 기둥에 크기가 큰 것이 제일 아래에 있게 원판들이 쌓여있을 때 제일 오른쪽 기둥으로 원판을 옮기는 데 소요되는 최소 이동 회수를 구하는 문제

◦ 추가조건 원판은 한 번에 하나씩만 옮길 수 있다 . 원판을 기둥과 기둥으로만 옮길 수 있다 . ( 즉 , 바닥에 내려놓을 수 없다 .) 크기가 큰 원판은 작은 원판 위에 올 수 없다 .

54

재귀법 ( 계속 ) 하노이 탑의 유래

◦ 동판에 다이아몬드막대가 세 개 있고 , 크기가 서로 다른 64 개의 황금 원판이 한 막대에 꽂혀 있다 . 이때 , 다음과 같은 규칙으로 황금 원판을 다른 막대로 모두 옮기는 놀이를 신 (God) 이 하고 있다 . (1) 한 번에 한 개의 황금 원판만을 옮긴다 . (2) 크기가 큰 황금 원판은 반드시 크기가 작은 황금 원판

아래쪽에 있어야 한다 .

그러면 신이 이 놀이를 다 마칠 때면 ( 즉 , 황금 원판이 다른 막대로 모두 옮겨졌다면 ), 이 세상은 연기처럼 사라질 것이다 .

만약 1 번의 움직임에 1 초가 걸린다고 가정하면 ??




하노이 탑의 문제 해결은 가장 큰 원반이 바닥에 있는 순서로 첫 번째

막대 A 에 쌓여 있는 세 개의 원반을 세 번째 막대 C 로 옮기는 것과

같은 과정을 거침










연습 문제 Ex1. 15 명의 회원을 가진 어떤 모임이 있다 . 이 때 , 회장 ,

부회장 , 총무 , 감사를 각각 선출하려고 한다 . 가능한 경우의 수는 모두 몇 가지인가 ?

Ex2. 한신대의 교양과정에는 5 개의 과학 교과목과 4 개의 역사 교과목이 있다 . 은지는 이번 학기에 2 개의 과학 교과목과 2 개의 역사 교과목을 선택하려고 한다 . 이 때 은지가 선택할 수 있는 과목의 경우의 수는 ?

연습 문제 Ex3. 세 자리 영문자와 세자리 숫자로 구성된 자동차 번호판이

있을 때 , 몇 가지 다른 경우가 가능한가 ?

Ex4. 서로 다른 일곱 개의 공 두 개는 노란색 , 나머지는 파란색을 칠하려고 한다 . 몇 가지 다른 경우가 존재하는가 ?

Ex5. 10권의 서로 다른 책을 병희에게 5권 , 현호에게 3권 , 문구에게 2권을 주는 경우의 수는 ?

연습 문제 Ex6. 다섯 개의 의자와 네 가지의 색이 있을 때 , 이 의자들을 칠하는 경우의 수 ?

Ex7. 열 개의 똑같은 사과를 다섯 명의 어린이에게 나누어주는 방법의 수는 ?

Ex8. 영어 단어 MISSISSIPPI 의 모든 영어 철자를 사용하여 만들 수 있는 새로운 단어의 개수를 구하여 보시오 .

요약



요약



요약



요약



응용

순열, 이산적 확률, 재귀적 관계의 응용



순열과 조합을 통하여 가능한 경우의 수를 구할 수 있으며 , 이를

이용하여 우리의 일상생활과 관련된 다양한 확률을 계산할 수

있다 .

비둘기 집 원리 응용

컴퓨터 시스템을 비롯한 여러 가지 분야

베이즈의 정리 응용

여론 조사

게임의 분석 등

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