CIE ĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRU ČNOSTI ?· Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, 830 00 Bratisl ava CIE ĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRU ČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Bratislava 2008

  • Published on
    01-Feb-2018

  • View
    220

  • Download
    4

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>ttny pedagogick stav, Pluhov 8, 830 00 Bratislava </p><p>CIEOV POIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY </p><p>Bratislava 2008 </p></li><li><p> 2 </p><p>VOD </p><p>Cieov poiadavky z matematiky s rozdelen vo vine kapitol na asti Obsah, Poiadavky na vedomosti a zrunosti a Prklady. </p><p>Text v jednotlivch astiach vytlaen obyajnou kurzvou predstavuje odvolvky, vysvetlivky a komentre. </p><p>V kadej kapitole s v odseku Obsah (rozdelenom spravidla na 2 menie asti s nzvami Pojmy a Vlastnosti a vzahy) vymenovan termny a vzahy (vzorce, postupy, tvrdenia), ktor m iak ovlda. Toto ovldanie v prpade pojmov znamen, e iak </p><p>- rozumie zadaniam loh, v ktorch sa tieto pojmy vyskytuj, - vie ich sprvne poui pri formulcich svojich odpoved, - vie ich strune opsa (definova). </p><p>V prpade vlastnost a vzahov ovldanm rozumieme iakovu schopnos vybavi si tieto vzahy v mysli (bez toho, aby mu bolo potrebn pripomna konkrtnu podobu uvedenho vzahu, postupu, i tvrdenia) a poui ich pri rieen danej lohy (priom spsob tohto pouitia pecifikuje as Poiadavky na vedomosti a zrunosti, o ktorej hovorme niie). Kvli prehadnosti neuvdzame pln znenie jednotlivch vzahov so vetkmi predpokladmi a podmienkami, ale len tak ich podobu, z ktorej je jasn, ak tvrdenie mme na mysli. </p><p>Pokia sa v zadaniach loh alebo otzok, ktor m iak riei alebo zodpoveda, vyskytn pojmy, ktor nie s uveden v asti Obsah, bude potrebn ich v texte zadania vysvetli. Rovnako tak v prpade, e zadanie vyaduje pouitie postupu alebo vzahu, ktor nie je zahrnut do asti Obsah, mus by iakovi k dispozcii opis poadovanho postupu alebo vzahu (tento opis vak nemus by sasou zadania, me by naprklad uveden vo vzorekovnku, ktor bude priloen k celmu sboru zadan). Vnimku z tohto pravidla predstavuje situcia, ke rieenm lohy m by objavenie alebo odvodenie takho vzahu, ktor nebol uveden v odseku Vlastnosti a vzahy. </p><p>as Poiadavky na vedomosti a zrunosti opisuje v kadej kapitole innosti, ktor m by iak schopn sprvne realizova. V texte pouvan formulciu iak vie... pritom chpeme v zmysle iak m vedie...; podobne formulcia ... pokia (ak) iak vie... znamen ... ak je v tchto cieovch poiadavkch uveden, e iak m vedie.... Teda naprklad text iak vie njs vetky rieenia nerovnice f (x) a , pokia vie riei rovnicu f (x) = a a sasne vie nartn graf funkcie f (ktor itate njde v kapitole 1.4) treba chpa tak, e na inom mieste tchto cieovch poiadaviek je pecifikovan, grafy ktorch funkci f m iak vedie nartn, a pre ktor funkcie f m iak vedie riei rovnicu f (x) = a . Podobn lohu pln odvolvka pozri...; naprklad v texte iak vie njs definin obor danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sstavy) tto odvolvka upozoruje, e stupe nronosti, na ktorom m iak zvldnu urovanie defininho oboru funkcie, je dan nronosou rovnc a nerovnc, ktor pri tom mus vyriei, priom tto nronos je opsan v asti 1.4. Odvolvka pozri tie... upozoruje itatea, e uveden pojem alebo innos sa vyskytuje aj na inom mieste tohto textu. </p><p>iak by mal by schopn riei lohy komplexnho charakteru, teda lohy, ktorch rieenie vyaduje spojenie nevekho potu innost opsanch v tchto cieovch poiadavkch (pritom nevyluujeme spjanie innost opsanch v rznych kapitolch); napr. pri rieen klasickej slovnej lohy by mal iak zvldnu formulciu prslunho problmu v rei matematiky, jeho vyrieenie prstupnmi matematickmi prostriedkami a formulciu odpovede op v rei pvodnho slovnho zadania. Jednotliv innosti uveden v asti Poiadavky na vedomosti a zrunosti predstavuj teda len aksi tehliky i zkladn stavebn kamene, priom rieenie jednho konkrtneho zadania me vyadova i pouitie a spojenie viacerch takchto tehliiek. </p><p>V snahe o ucelenos jednotlivch kapitol uvdzame tie pojmy a zrunosti, ktor svisia s viacermi kapitolami, v kadej z nich. Z toho istho dvodu s do textu zaraden i niektor pojmy, vzahy a innosti, ktor s obsahom uiva zkladnej koly. </p><p>lohy, uveden v asti Prklady, nemaj predstavova reprezentatvnu zbierku typov a foriem loh, s ktormi sa bude iak na maturite z matematiky stretva; prvoradou funkciou tchto prkladov </p></li><li><p> 3 </p><p>je dokumentova tie formulcie, u ktorch poda nho nzoru prklad pomha objasni text, alebo pecifikova stupe poadovanej nronosti. Dostatone bohat zbierku prkladov loh, s ktormi sa iak stretne na externej asti maturitnej skky z matematiky, predstavuj lohy Monitorov z rokov 1999 - 2003. </p><p>1. ZKLADY MATEMATIKY </p><p>1.1 Logika a mnoiny Obsah </p><p>Pojmy: vrok, axima, defincia, sudok, hypotza, tvrdenie, pravdivostn hodnota, logick spojky, negcia, konjunkcia, disjunkcia, implikcia, ekvivalencia, vyplva, je ekvivalentn, kvantifiktor (existenn, veobecn, aspo, najviac, prve), priamy a nepriamy dkaz, dkaz sporom, mnoina, prvky mnoiny, podmnoina, nadmnoina, prienik, zjednotenie a rozdiel mnon, Vennove diagramy, disjunktn mnoiny, przdna mnoina, doplnok mnoiny, konen a nekonen mnoina. </p><p>Vlastnosti a vzahy: </p><p> Implikcia (vrok) BA je ekvivalentn s implikciou (vrokom) // AB (vrok z A vyplva B plat prve vtedy, ke plat vrok z negcie B vyplva negcia A), </p><p> vroky A, B s ekvivalentn, ak platia obe implikcie ABBA , , </p><p> negcia konjunkcie (disjunkcie) je disjunkcia (konjunkcia) negci, implikcia BA je nepravdiv prve vtedy, ke je pravdiv vrok A a nepravdiv vrok B, pravdivos zloench vrokov a negcie (tabuka pravdivostnch hodnt), negcia vroku Mx plat V(x) je Mx , pre ktor neplat V(x), negcia vroku Mx , pre ktor plat V(x) je Mx neplat V(x), BA = prve vtedy, ke sasne plat ABBA , , pre poty prvkov zjednotenia dvoch mnon plat BABABA += , </p><p> ( ) /// BABA = , ( ) /// BABA = . </p><p>Poiadavky na vedomosti a zrunosti </p><p>iak vie: rozli pouvanie logickch spojok a kvantifiktorov vo vyjadrovan sa v benom ivote na jednej </p><p>strane a v rovine zkonov, nariaden, zmlv, nvodov, matematiky na strane druhej, zisti pravdivostn hodnotu zloenho vroku (vytvorenho pomocou negcie, konjunkcie, </p><p>disjunkcie, implikcie, ekvivalencie) z pravdivostnch hodnt jednotlivch zloiek (teda napsa pre dan situciu prslun riadok tabuky pravdivostnch hodnt), </p><p> v jednoduchch prpadoch rozhodn, i je vrok negciou danho vroku, vytvori negciu zloenho vroku (nie len pomocou nie je pravda, e , pozri prklad 1), </p><p> v jednoduchch prpadoch zapsa a uri mnoinu vymenovanm jej prvkov alebo charakteristickou vlastnosou, </p><p> v jednoduchch prpadoch rozhodn o konenosti i nekonenosti danej mnoiny (pozri prklad 2), opsa zkladn druhy dkazov (priamy, nepriamy, sporom) a dokumentova ich prkladmi, uri zjednotenie, prienik a rozdiel mnon i doplnok mnoiny A (ak A je podmnoinou B) vzhadom </p><p>na mnoinu B (intervaly pozri v 1.2 sla, premenn a vrazy), poui vzorec pre poet prvkov zjednotenia dvoch mnon pri hadan potu prvkov tchto </p><p>mnon,resp. ich prieniku alebo zjednotenia, pri rieen loh o mnoinch poui ako pomcku Vennove diagramy (pre 2 4 mnoiny). </p></li><li><p> 4 </p><p>Prklady </p><p>1. S nasledujce vroky jeden druhmu negciou? Existuj aspo dvaja spevci populrnej hudby, ktorch maj vetci radi. Kadho spevka populrnej hudby niekto nem rd. </p><p>2. Zistite, i je mnoina vetkch dvojc prirodzench sel (x, y), ktor s rieenm rovnice 00010035 =+ yx konen alebo nekonen. </p><p>3. Koko tvorcifernch sel je bezo zvyku delitench slom 24 alebo 19? </p><p>1.2 sla, premenn a vrazy </p><p>Obsah </p><p>Pojmy: </p><p>kontanta, premenn, vraz, obor defincie vrazu, rovnos vrazov, hodnota vrazu, mnoholen, stupe mnoholena, doplnenie do tvorca (pre kvadratick mnoholen), len mnoholena, vynmanie pred ztvorku, prava na sin, krtenie vrazu, prirodzen (N), cel (Z), nezporn (N0), zporn ( )Z , racionlne (Q), iracionlne (I), relne (R) sla, ncifern slo, zlomky (itate, menovate, spolon menovate, zkladn tvar zlomku, zloen zlomok, hlavn zlomkov iara), desatinn rozvoj (konen, nekonen a periodick), slo , nekoneno, seln os, znzorovanie sel, komutatvny, asociatvny a distributvny zkon, odmocnina (druh), n-t odmocnina, mocnina (s prirodzenm, celoselnm exponentom), exponent a zklad mocniny, zklad logaritmu, absoltna hodnota sla, mera (priama a nepriama), pomer, percento, promile, zklad (pre potanie s percentami), faktoril, kombinan slo, desiatkov a dvojkov sstava, dekadick a dvojkov zpis, interval (uzavret, otvoren, ohranien, neohranien). </p><p>Vlastnosti a vzahy: </p><p> ( ) ( )yxyxyx += 22 , ( )222 2 yxyxyx =+ , ( ) ( )212 xxxxacbxax =++ , kde 21, xx s korene rovnice ( )0,02 =++ acbxax , </p><p> yxyx aaa =+ , ( ) xyyx aa = , x</p><p>x</p><p>aa</p><p>1= , ( ) xxx baab = , 10 =c , Zyxcba &gt; ,,0,0, , </p><p> nmm n xx = , ( ) n mmn xx = , nnn xyyx = , pre Nnmyx ,,0, , aa =2 , </p><p> ax je vzdialenos obrazov sel x a a na selnej osi, </p><p> 1cossin 22 =+ , sin2</p><p>cos =</p><p> , cos2</p><p>sin =</p><p> , ( ) sinsin = , ( ) coscos = , </p><p>( ) sinsin = , ( ) coscos = , cossin22sin = , 22 sincos2cos = , </p><p>cos</p><p>sintg = , </p><p> bxba ax log== , xa xa =log , pre 0,1,0 &gt;&gt; xaa , ( )yxyx aaa =+ logloglog , </p><p>y</p><p>xyx aaa logloglog = , pre 0,,1,0 &gt;&gt; yxaa , </p><p> ( ) xyx aya loglog = , pre 0,1,0 &gt;&gt; xaa , nn = ...321! , pre prirodzen sla n, 0!=1, </p></li><li><p> 5 </p><p> ( )!!!</p><p>knk</p><p>n</p><p>k</p><p>n</p><p>=</p><p>, pre prirodzen sla n a nezporn cel sla k, nie vie ako n, </p><p> prve racionlne sla maj desatinn periodick rozvoj, </p><p> { } { } RQZNZNZIQIQR === ,0,, . </p><p>Poiadavky na vedomosti a zrunosti </p><p>iak vie: (sla) zaokrhova sla, </p><p> upravi relne slo na tvar na 10 , kde n je cel slo a a slo z intervalu )10,1 , vypota absoltnu hodnotu relneho sla, zapsa vzdialenos na selnej osi pomocou absoltnej hodnoty, znzorova sla na seln os, porovnva sla na selnej osi, odta sla z selnej osi, pre konkrtne n veobecne zapsa n-cifern slo, na priblin vpoet selnch vrazov a hodnt funkci (vrtane log a) pouva kalkulaku, </p><p>priom vie - upravova seln vrazy na tvar vhodn pre vpoet na kalkulake, - zvoli vhodn postup, aby mu vyiel o najpresnej vsledok (napr. pri priblinom vpote </p><p>!10!10</p><p>!20</p><p>), </p><p> pomocou kalkulaky zisti ostr uhol, ktor m dan goniometrick hodnotu, porovna dve relne sla na rovni presnosti kalkulaky, vyjadri zjednotenie, prienik a rozdiel konenho potu intervalov pomocou najmenieho potu </p><p>navzjom disjunktnch intervalov, jednoprvkovch mnon a przdnej mnoiny, (vrazy) uri hodnotu vrazu (dosadi) rune alebo pomocou kalkulaky, uri obor defincie vrazu (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sstavy), </p><p> odstrni absoltnu hodnotu rozliovanm vhodnch prpadov (t.j. ( ) ( ) ktorprexprexVxV ,= ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 = xVktorprexprexVxVaxV ), </p><p> doplni kvadratick trojlen do tvorca (pozri tie 2.2 Linerna a kvadratick funkcia, aritmetick postupnos ), </p><p> upravova mnoholen na sin vynmanm pred ztvorku a pouitm vzahov pre rozklady vrazov 22 yx , 22 2 yxyx + , cbxax ++2 (pozri prklad 1), </p><p> poui pri pravch vrazov (selnch alebo vrazov s premennmi) rovnosti uveden v asti Vlastnosti a vzahy, roznsobovanie, vynmanie pred ztvorku, krtenie, pravu zloenho zlomku na jednoduch (pozri prklady 2, 3), </p><p>(prca s premennou) pouva percent a meru (pozri prklad 4), nahradi premenn vo vraze novm vrazom (substitcia, pozri tie 1.4 Rovnice, nerovnice a ich </p><p>sstavy), pri priamo zvislch veliinch vie vyjadri jednu pomocou druhej (pozri prklad 5, pozri tie 2.1 </p><p>Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti), vyjadri neznmu zo vzorca (pozri 2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti), zapsa slovn text algebraicky (matematizcia), </p><p>- zapsa vzahy (v jednoduchom texte) pomocou premennch, sel, rovnost a nerovnost, - zapsa, vyjadri ben zvislosti v geometrii, </p><p> riei kontextov (slovn) lohy vedce k rovniciam a nerovniciam (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a </p></li><li><p> 6 </p><p>ich sstavy) a interpretova zskan rieenia v jazyku pvodnho zadania (pozri prklad 7). </p><p>Prklady </p><p>1. Rozlote mnoholen xxx 7136 23 + na sin linernych initeov. </p><p>2. Vyjadrite 1loglog2 3 xxx ako jeden logaritmus. </p><p>3. Pre ktor sla a, b sa vraz 22 xx</p><p>x rovn vrazu </p><p>21 +</p><p>+ xb</p><p>x</p><p>a? </p><p>4. Zapte pomocou premennch, sel a rovnost: </p><p>a) Peter m o x % viac .... ako Jano. </p><p> += JxP100</p><p>1 </p><p>b) Adam a Boris si rozdelili peniaze v pomere 2 : 3. (A = 2x, B = 3x) </p><p>5. Kvder so tvorcovou podstavou m povrch 100 cm2. Vyjadrite jeho objem pomocou jeho vky. </p><p>6. Zapte pomocou premennch, sel, rovnost a nerovnost: Polovica A m dku najviac 4. ( )80 &lt; A </p><p>7. Jano rieil lohu Set A+B je o 80 % v ako rozdiel A B. O koko % je slo A vie ako slo B?. Janovi vyiel sprvny vzah A = 3,5B. Urte vzah medzi A, B pomocou percent! </p><p>1.3 Teria sel </p><p>Obsah </p><p>Pojmy: </p><p>delite, nsobok, delitenos, najv spolon delite (NSD), najmen spolon nsobok (NSN), prvoslo, zloen slo, nesdeliten sla, zvyok, prvoseln rozklad, prvoinite. </p><p>Vlastnosti a vzahy: Znaky delitenosti: </p><p>- posledn cifra: 2, 5, 10, - posledn dve cifry: 4, 25, 50, - posledn tri cifry: 8, - set vetkch cifier: 3, 9. </p><p> Prvosel je nekonene vea. </p><p>Poiadavky na vedomosti a zrunosti </p><p>iak vie: zisti bez delenia, i je dan slo deliten niektorm z sel uvedench v znakoch delitenosti, njs NSN, NSD danch sel, njs celoseln rieenia loh, v ktorch mono jednoduchou vahou uri vhodn konen </p><p>mnoinu, ktor hadan rieenia mus obsahova (rieenia lohy potom njde preverenm jednotlivch prvkov zskanej konenej mnoiny, pozri prklady 1, 2, 4), </p><p> pri rieen jednoduchch loh vyui pravidelnos rozloenia nsobkov celch sel na selnej osi (pozri prklad 3). </p></li><li><p> 7 </p><p>Prklady </p><p>1. Pre ktor sla a plat NSN(6, a) = 24? </p><p>2. Pre ktor sla A, B je slo s dekadickm zpisom 34A57B deliten 12? </p><p>3. Koko tvorcifernch sel je delitench 23? (kad 23. slo je deliten 23) </p><p>4. Njdite vetky cel sla x, y, pre ktor plat 98142 =+ yx (absoltna hodnota y nie je via ako 5) </p><p>1.4 Rovnice, nerovnice a ich sstavy </p><p>Obsah </p><p>Pojmy: </p><p>rovnica, nerovnica, sstava rovnc, sstava nerovnc a ich rieenie, koeficient, kore, koreov inite, diskriminant, doplnenie do tvorca, prava na sin, substitcia, kontrola (skka) rieenia, (ekvivalentn a neekvivalentn) pravy rovnice a nerovnice. </p><p>Vlastnosti a vzahy: diskriminant kvadratickej rovnice acbDcbxax 4je 0 22 ==++ , </p><p> rieenm kvadratickej rovnice 02 =++ cbxax s a</p><p>Dbx</p><p>22,1= , </p><p> vzah medzi diskriminantom a potom (navzjom rznych) koreov kvadratickej rovnice, ( ) ( )212 xxxxacbxax =++ , kde x1,x2 s korene rovnice 0,02 =++ acbxax , vzah medzi znamienkom sinu dvoch vrazov a znamienkom jednotlivch initeov. </p><p>Poiadavky na vedomosti a zrunosti </p><p>iak vie: (rovnice) </p><p> njs vetky rieenia linernej rovnice 0=+ bax a kvadratickej rovnice 02 =++ cbxax , priom pozn vzah medzi koremi kvadratickej rovnice a koreovmi initemi, potom rieen (pozri prklad 1), </p><p> njs vetky rieenia, resp. vetky rieenia leiace v danom intervale I (ak sa ned presne, tak pribline s pomocou kalkulaky) rovnice f(x) = A, kde RA a f je funkcia - xbx b</p><p>xa log,, ( bQa , je kladn slo rzne od 1), </p><p>- ax , </p><p>- sinx, cosx, tgx, a vie uri, koko rieen m uveden rovnica (v zvislosti od sla A, sel a, b, c, resp. intervalu I, pozri prklad 2), </p><p> pouitm danej substitcie ( )xy = upravi rovnicu zapsan v tvare ( )( ) Axf = na tvar f (y) = A , pecilne vie njs vetky rieenia (resp. vetky rieenia leiace v danom intervale I) rovnc - f(ax + b) = A kde f je funkcia xbx b</p><p>xa log,, , sinx, cosx, </p><p>- ( ) Acbxaxf =++2 , kde f je funkcia xbx bxa log,, , njs vetky rieenia (resp. vetky rieenia leiace v danom intervale I) rovnc zapsanch v tvare </p><p>f(x)g(x) = 0, pokia vie riei rovnice f(x) = 0, g(x) = 0 (pozri prklad 4), njs vetky rieenia (resp. vetky rieenia leiace v danom intervale I) rovnc, ktorch rieenie </p><p>mono upravi na niektor z predchdzajcich tvarov </p></li><li><p> 8 </p><p>- pouitm prav jednotlivch strn rovnice, vyuvajcich pravy vrazov a zkladn vlastnosti funkci (pozri 1...</p></li></ul>