CIME - Revista Correo Pedagógico 16

�Correo Pedagógico 16


índiceEditorial

La evaluación en el aprendizaje constructivista

¿Qué son las matemáticas?

Las matemáticas: algo más que números

Programa de Matemáticas de la SEP

El juego dentro del aula

Asesoría: Productos

Áreas: secuencia por grados

Diferentes formas de representaciónen la resolución de problemas

Problemas de Olimpiada

Alexei Tenorio, alumno de la Unidad PedagógicaJ. Jacobo Rousseau, participa en Torneo Internacionalde Robótica

Juegos con la decena

Juego: “Alto numérico”

Curso de acuarela

Disfraces

Lic. Julia Raquel García Valdez

Profr. José Chimal

Ing. Leticia Cerda Garrido

Extracto del boletín: “Matemáticas para todos”

Director: Profr. Francisco J. Gutiérrez Espinosa

Consejo EditorialColimaMónica Brambila CortésYolanda Brambila CortésAlicia Pérez J.

ChihuahuaGuadalupe Martínez GonzálezGuillermo Zárate

Distrito FederalJosé Chimal RodríguezGustavo Saldaña JattarLuz del Carmen FentanesRicardo Chimal Espinoza

JaliscoCésar O. Pérez CarrizalesLucía Gabriela Tapia TrilloJulia Raquel García ValdésJorge Otaqui MartínezMa. Elena Aedo Sordo

MichoacánBrígido Morales Braz

Nuevo LeónGustavo Granados PérezCarmen Casasús DelgadoYolanda Heredia

QuerétaroFlor Zaldumbide Ceceña

Publicación semestral del

16Ing. Gustavo Saldaña

Profra. Ma. de los Angeles Rojas

Profra. Lucía Gabriela Tapia

Extracto del boletín: “Matemáticas para todos”

Profra. Ma. de los Angeles Rojas

Profra. Vania Yelenia Díaz

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M. en C. César Octavio Pérez

M. en C. César Octavio Pérez

CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

Correo Pedagógico 16�

Editorial

Apreciables maestras, maestros:Con gusto presentamos nuestra revista 16.

Nadie duda que vivimos “tiempos de evalua-ción”. Si bien en el CIME hemos propugnado que lo más importante en el proceso educativo es el aprendizaje, la evaluación desprende su importancia de ello.No podemos negar que la prueba ENLACE ha hecho salir del “amodorramiento académi-co” a muchas escuelas, lo que ha servido para tomar conciencia de la importancia de su labor.Sin embargo, creemos que estamos viviendo “el aprendizaje supeditado a la evaluación”, y no “la evaluación supeditada al aprendiza-je”, desvirtuando la esencia misma del proceso educativo. ¿Cuál es el criterio de su escuela?

En este número ponemos a su disposición los programas de matemáticas de la SEP de cada año escolar. Esperamos le sirvan. Recuerde que ya están considerados en nuestros cuadernos de planeación de clases, que Ud. recibió al inicio del curso.

El juego es elemento y ambiente de vital impor-tancia en nuestra propuesta. Le proponemos 2 temas básicos: productos y las decenas.

Asesorías: Aunque han sido tratadas anterior-mente, siempre tendremos ideas nuevas que nos apasionan: “Los productos y las áreas”. Ade-más de 2 interesantes artículos para nivel se-cundaria.

Felicitamos al alumno Alexei Tenorio, de la Uni-dad Pedagógica Juan Jacobo Rousseau por su triunfo en robótica, y agradecemos los comen-tarios muy elocuentes de la Ing. Leticia Cerda.Enhorabuena,

Francisco Gutiérrez,Director.

En esta edición mostramos algunos ejemplos de patrones geométricos del arte islámico.


La evaluación en el aprendizaje constructivista

Ing. Gustavo Saldaña JattarInvestigador del CIME

En la educación estamos viviendo una etapa con exceso de evaluaciones: la prueba Enlace, las evaluaciones internacionales, las de cada es-cuela, las de la inspección escolar, las del CIME, etc. Muchas de ellas sólo las utilizamos para ver la calificación, no las aprovechamos como retroalimentación para mejorar la calidad de la educación.

Tantas evaluaciones nos ocupan demasiado y limitan el tiempo dedicado a la construcción de los aprendizajes. Las autoridades y los padres de familia presionan a las escuelas, los directo-res presionan a los maestros, los maestros pre-sionan a los alumnos y esto genera un exceso de stress y de angustia. Los profesores pierden la autonomía en su trabajo para atender inte-rrupciones frecuentes, los alumnos pierden la tranquilidad y el ritmo que requieren los verda-deros aprendizajes.

Hay una distorsión en buscar una supuesta efi-cacia (contestar bien las evaluaciones) a costa de la eficiencia (lograr verdaderos aprendizajes); se descuidan los demás aspectos de la forma-ción (emocional, social, físico, lúdico, motivacio-nal), a costa de lo intelectual (en el supuesto de que éste se logre). Se corre el riesgo de sujetar la educación a mecanismos de mercado, que si bien aportan información que puede ser útil, depende del sentido que se le dé para alimen-tar la relación maestro-alumno, y no únicamen-te para clasificar escuelas, maestros y alumnos.

EVALUACIÓN COMPULSIVA

EL SENTIDO DE LA EVALUACIÓNLa evaluación es una etapa de todo proceso que pretende verificar si lo que se hace es lo adecuado para lo que se quiere obtener. En los procesos de aprendizaje la evaluación es una etapa que sirve para verificar si verdaderamen te se están obteniendo los aprendizajes que se buscan.

Una evaluación por sí misma no produce me-joras, necesita estar articulada en el proceso de que se trata y reflejar sus resultados en el conjunto de elementos que influyen, como por ejemplo: el ambiente escolar, los recursos con los que se cuenta, la formación de los profeso-res, la motivación por el aprendizaje tanto de los alumnos como de sus profesores, etc.

Aprender significa adquirir un conocimiento por medio del ejercicio, el estudio o la expe-riencia, o modificar la conducta adaptándose

La evaluación no es el fin ni la meta de ningún proceso, tampoco de los proce-sos de aprendizaje. Es decir, no hacemos las cosas para salir bien en la evaluación, sino que la evaluación es un instrumen-to o etapa para indicarnos si estamos logrando lo que deseamos. Cuando uno aprende algo o quiere que los demás lo aprendan, la evaluación nos deberá ayu-dar a ver si vamos por el camino correcto, para continuarlo, o si hay fallas o desvia-ciones, para corregirlo.


a nuevas situaciones. Una evaluación del apren-dizaje nos mostrará que podemos poner en práctica lo que hemos aprendido o que nos he-mos enriquecido con dicho aprendizaje.

Se llama evaluación formativa a la que tiene como propósito orientar al maestro en la pla-neación y ayudar a los estudiantes a identificar las áreas en las que necesitan trabajar. Esta eva-luación ayuda a la formación a través del apren-dizaje. Cuando las calificaciones se convierten en la norma, el mensaje que reciben los estu-diantes es que sólo importan las respuestas co-rrectas y no el pensamiento que las sustenta.

En contraste la evaluación sumativa, es la que principalmente busca determinar el apro-vechamiento, y por consecuencia asignar una calificación al estudiante. La diferencia entre ambas evaluaciones depende del uso que se hace de los resultados. Una misma evaluación puede emplearse para cualquier propósito. La intención del CIME es proporcionar fundamen-talmente instrumentos formativos.

LA EVALUACIÓN COMO HERRAMIENTA PERSONALEl mejor uso que podemos dar a la evaluación es a nivel personal, cuando uno tiene compren-sión clara de lo que está haciendo y se siente de capaz de hacerlo bien, entonces procura verifi-carlo. Esto es parte de una evaluación personal. En la matemática constructiva tenemos la posi-bilidad de comprender claramente lo que esta-mos haciendo y de sabernos capaces de llegar al resultado con éxito.

Una manera de encaminar a nuestros alumnos hacia esta evaluación personal, la tenemos en la posibilidad de comprobar todas las operacio-nes que hacemos en matemáticas, por medio de “la prueba” correspondiente, ya sea la ope-ración inversa o la prueba en cruz, que consiste en una operación logarítmica simplificada en la multiplicación y la división. Es muy convenien-

te favorecer el uso de estas pruebas para llegar a la certeza de los resultados.

LA EVALUACIÓN COMO RETROALIMENTACIÓNLa obtención de aprendizajes a través de pro-cesos de construcción, nos ha demostrado que es más útil descubrir uno mismo los conoci-mientos en lugar de que el profesor nos los “enseñe”. Este criterio también se aplica para la evaluación: se aprende mejor cuando uno mismo descubre dónde está el error, para iden-tificar la causa y corregirlo, en lugar de que otro nos diga en dónde nos equivocamos e incluso,

Llevar a cabo esta evaluación personal fa-vorece varias habilidades, en primer lugar el “criterio de razonabilidad”, que con-siste en esa intuición de que algo es razo-nablemente aceptable. Muy relacionado con esto también tenemos la estimación y la aproximación, habilidades muy útiles que nos permiten saber si el resultado está dentro de cierto rango de aceptación o no. Podemos identificar rápidamente si hemos cometido un error de detalle o uno de con-cepto, para revisar simplemente las opera-ciones o el planteamiento completo.

De este modo se transforma en un aprendizaje integrador y con sentido, al permitir el desa-rrollo de múltiples habilidades que van desde la discriminación y el análisis comparativo hasta la capacidad de organizar los datos con que conta-mos y generar más información si es necesario.

La capacidad de poder evaluar nuestras pro-pias decisiones nos da mayor “poder sobre nuestras acciones” (empowerment), con verdadera “habilidad para responder” (responsabilidad). Los seres humanos tene-mos una tendencia natural a hacer bien las cosas, o a mejorarlas siempre que sea posi-ble.


Estas evaluaciones constituyen un instrumento que puede ser muy útil, en primer lugar para las maestras de grupo, pues les da información sobre lo que están aprendiendo sus alumnos y los temas que ellas dominan. Los temas con res-puestas superiores al 80% se pueden conside-rar con buen dominio, los que estén por debajo de ese nivel habrá que repasarlos. En segundo lugar son de gran utilidad para los coordinado-res y directores de las escuelas, pues les da in-formación puntual sobre los niveles de apren-dizaje de los grupos, los resultados del uso del método constructivista y les permite identificar los focos rojos.

Los principios que fundamentan estas evaluaciones son:

1 El constructivismo pretende que los estu-diantes construyan sus propios conocimientos, logren aprendizajes permanentes y útiles, sean capaces de aplicarlos en diferentes contextos y adquieran autonomía intelectual y emocional en su manejo.

2 La evaluación es una etapa del proceso de aprendizaje que sirve para detectar lo que va bien (para continuarlo) y lo que se puede mejo-rar (para corregirlo).

3 La evaluación debe ser congruente con los propósitos del constructivismo:• Formar para la autogestión• Favorecer la motivación• Saber aprovechar los diversos apoyos para la comprensión de las cosas: uso de materiales concretos, de gráficas, de simuladores, de pro-cedimientos matemáticos, de lenguaje simbó-lico.

Es útil hacer comentarios concretos sobre los errores o las estrategias fallidas, pero sobre todo pedir a los mismos estudiantes sugeren-cias de cómo mejorar y animarlos para que exploren y desarrollen sus propias estrategias, con preguntas como: “¿comprenden claramen-te lo que se pregunta?”, “si lo manejamos con datos más sencillos, ¿cuál será la respuesta?”, “¿en qué rango debe estar la respuesta?”, “¿qué cosas están bien hechas?”

LAS EVALUACIONES DEL CIMEEn el CIME ofrecemos a las escuelas primarias que llevan nuestro método de matemática constructiva, dos tipos de evaluaciones. Una sobre los aprendizajes de los temas corres-pondientes al programa mediante el uso del geoplano y las regletas. Otra sobre los mismos temas o de aspectos relacionados con ellos, pero a partir de preguntas o problemas con va-rias opciones de respuesta, similares a las de la prueba Enlace

La retroalimentación oportuna y comple-ta de las evaluaciones permite desarrollar las propias estrategias y evitar cometer los errores de manera repetida, al mismo tiem-po que nos permite adquirir confianza en nuestras propias capacidades y seguridad en los resultados.

que resuelva los problemas como mago, sacan-do fórmulas y propiedades que la mayoría no recordamos ni entendemos.

Junto con ambas evaluaciones ofrecemos los cuadros de concentración, a fin de obtener información no sólo por alumno, sino por pregunta. Así es posible identifi-car qué temas son los que ya domina el grupo y cuáles necesita retomar, para no dejar lagunas de conocimientos. Un por-centaje inferior al 80% nos está mandando

una señal de alerta, para revisar por orden de prioridad los temas que más bajo por-centaje presenten.


EVALUACIONES AUTÉNTICASSe refieren a procedimientos que evalúan las habilidades del estudiante para resolver pro-blemas importantes de la vida real, pensar crea-tivamente y actuar de manera responsable. Las pruebas tradicionales evalúan destrezas que no tienen equivalentes en el mundo real; piden a los alumnos que resuelvan problemas que nun-ca volverán a encontrar; además esperan que lo hagan solos, sin la ayuda de herramientas y re-cursos y que lo hagan con límites extremos de tiempo. La vida real no es así.

La solución de los problemas importantes ne-cesita tiempo y a menudo requiere el uso de recursos, la consulta con otras personas y la in-tegración de las destrezas básicas con la crea-tividad y el pensamiento de nivel superior. Las pruebas auténticas piden que los estudiantes apliquen las destrezas y habilidades como lo

harían en la vida real. De la misma manera que un escultor modela un trozo de arcilla, un es-tudiante que enfrenta un problema difícildebe experimentar,

PROPÓSITOS DE LAS EVALUACIONES EN UN PROCESO CONSTRUCTIVISTA:

1 El propósito de estas evaluaciones es funda-mentalmente formativo, tanto para los alumnos como para los profesores, con un enfoque de apoyo y servicio para estos últimos y las escue-las. Es posible también usarlas para dar califica-ciones individuales, pero la condición indispen-sable para obtener provecho de la evaluación es la honestidad, tanto en la aplicación como en la calificación.

2 Nuestro enfoque de evaluación pretende detectar el nivel de aprendizaje y obtener una muestra palpable de los resultados obtenidos en el proceso y su aplicación en cada grupo.

3 Lograr que los reactivos sean más indicativos que exhaustivos. Se trata de tener una muestra de lo más representativo del temario, no de to-dos los temas vistos.

4 Buscar una imagen de los aspectos funda-mentales, como son:• La capacidad de construir los conocimientos matemáticos.• El desarrollo de las habilidades del pensa-miento.• Un apoyo a las habilidades emocionales.

5 Apoyar a los maestros de manera concreta y constructiva:• Con una muestra de cómo realizar sus evalua-ciones sin quitarles responsabilidad de lo que a ellos corresponde.• Lograr la apropiación de esta metodología.• Como una herramienta para autoevaluarse en su propio proceso cons-tructivista.

6 Complementar las funciones de asesoría y seguimiento del CIME en las escuelas.

EVALUACIÓN CONTINUAConsiste en la aplicación de “sondeos” perma-nentes, de pruebas de destreza y conocimien-tos concretos que permitan tener una imagen continua del desempeño. Más que un método es un conjunto de métodos para vincular la eva-luación con el aprendizaje y transformarla en un proceso formativo. Proporciona información sis-temática tanto del desempeño de los alumnos como de los métodos de enseñanza empleados por el maestro, a través del avance en el domi-nio del conocimiento, y permite ver si el nivel de dificultad y el ritmo de aprendizaje son adecua-dos. Los resultados de algunas investigaciones demuestran que las evaluaciones frecuentes fo-mentan el aprendizaje y la retención, pues están relacionadas con la frecuencia.


Evite reservar las altas calificaciones y las fe-licitaciones sólo para las respuestas tradicio-nalmente correctas.

• Pregúntese para qué es la evaluación. • Premie con puntos adicionales a los procedi-mientos creativos.

• Favorezca la exploración de diversas formas de llegar al resultado que propongan sus alum-nos para enriquecer sus estrategias. • Refuerce a los estudiantes que discrepen de los métodos tradicionales. • Dé crédito parcial por respuestas en parte co-rrectas.

Asegúrese que los estudiantes tengan opor-tunidades razonables de éxito, sobre todo al inicio de un nuevo tema:

• Aplique una evaluación previa para asegurar-se de que sus alumnos tienen lashabilidades necesarias como antecedentes del tema.

• Cuando sea apropiado, dé a los estudiantes la oportunidad de repetir un examen para au-mentar su calificación, pero asegúrese que el nuevo examen sea más difícil que el original.

• Considere los esfuerzos fallidos como “incom-pletos” y anime a los estudiantes a revisar y mejorar.

RECOMENDACIONES PARA MODIFICAR EL SENTIDO DE LA EVALUACIÓN:

observar, rehacer, imaginar y probar soluciones, aplicar destrezas básicas y técnicas inventivas, hacer interpretaciones, decidir la forma de lle-gar al resultado, a menudo aceptar las críticas, organizar la información, regresar en sus pasos para hacer consciente el camino exitoso y con-cluir en la forma más adecuada de llegar a la solución.

EL FRACASO EXITOSO

El fracaso puede tener efectos positivos y ne-gativos en el desempeño del estudiante. Pare-ce que tanto una historia de completo fracaso como de éxito absoluto son una mala prepara-ción para la vida. Todos tenemos que apren-der a afrontar el fracaso en algunas ocasio-nes. Cierto grado de fracaso puede ser útil para la mayoría de los estudiantes, en especial si los maestros los ayudamos a sacar aprendizajes de ello.

Es hora de que los educadores reemplacemos el éxito fácil con el desafío y la exploración. Te-nemos que animar a los estudiantes para que avancen en su comprensión intelectual y des-cubran el privilegio de aprender de sus errores. Debemos tener tolerancia hacia los errores, de-sarrollar la capacidad de detectarlos, descubrir las causas y lograr su corrección. El criterio para juzgar el aprendizaje debe ser el éxito gradual más que el éxito continuo.

CALIFICACIONES Y MOTIVACIÓN

La diferencia entre trabajar por una calificación y hacerlo para aprender depende en gran par-te de cómo se determine la calificación. Cada maestro puede utilizar las evaluaciones para motivar el aprendizaje. Si las evaluaciones se

La verdadera motivación depende más del interés personal por explorar, por su-perar retos, por construir nuevos cono-

cimientos y por la satisfacción del éxito, que por una calificación o un premio.


Equilibre la retroalimentación oral y escrita: • Permita que sus alumnos argumenten sobre sus respuestas.

• Considere la posibilidad de hacer observacio-nes breves y estimulantes.

• Cuando la calificación de un trabajo sea menor a la que el estudiante esperaba, asegúrese que le queda claro por qué obtuvo una menor cali-ficación.

• Ajuste los comentarios al desempeño del estu-diante; no maneje estribillos.

• Señale errores concretos, causas posibles, ideas para mejorar y también los trabajos bien hechos.

Haga que las cahficaciones sean tan significa-tivas como sea posible:

• Vincule las calificaciones con el dominio de ob-jetivos importantes.

• Estimule trabajos que alienten a exploración.

• Experimente con la invención de problemas y disfraces.

Fundamente las calificaciones en más de un criterio:

• En un examen emplee preguntas de diferente tipo: problemas, gráficas, operaciones, disfraces, opción múltiple, etc. • Tome en cuenta las explicaciones orales y las participaciones en clase.


¿Qué son las matemáticas?

Artículo extraído de: “ Matemáticas para todos ”Boletín electrónico elaborado y distribuido por:Educación y desarrollo, A.C. y el Instituto de Ingeniería de la UNAM.

Año 8, número 77, febrero de 2008.

Iniciemos este controvertido tema con algu-nos comentarios presentados en el prólogo del excelente libro de Keith Devil titulado The

Language of Mathematics: Making the invisible visible, (editorial Freeman and Company, Nueva York). A la pregunta: ¿qué son las matemáticas? Devil responde: “No son sólo números”, y nos pide que le hagamos esta misma pregunta a otras personas al azar. La primera respuesta que seguramente obtendremos será: “Las matemá-ticas son el estudio de los números” y con un poco más de insistencia nos dirán que las mate-máticas se refieren a la “ciencia de los números”. De ser así, habremos obtenido una de las defi-niciones menos precisas que se tienen de esta materia desde hace 2,500 años. Con las respues-tas de nuestros entrevistados podremos darnos cuenta de la poca importancia que se da a las matemáticas en nuestras actividades cotidianas y de lo que esto significa.

Las respuestas obtenidas no deberán sorpren-dernos, pues de hecho, el significado de las ma-temáticas eran, efectivamente, el estudio de los números; con ellos realizaban operaciones arit-méticas, controlaban los ingresos y las deudas, definían el tiempo y construían los templos.

Entre el 500 y el 300 a. C., durante la época de la Grecia antigua, se dio gran importancia a la geometría y al uso de los números para medir la

longitud y las formas. Sin embargo, cuando los griegos encontraron que sus números no solu-cionaban los problemas de los números irracio-nales (como ), se detuvieron y definieron a las matemáticas simplemente como “el estudio de los números y las formas”. Para los griegos, las matemáticas fueron no sólo una materia utilita-ria, sino un área estética y religiosa. Fue el gran Tales de Mileto quien planteó que las asevera-ciones matemáticas debían estar probadas por argumentos lógicos. Así nació el teorema como parte formal de las matemáticas. Desde enton-ces, y hasta mediados del siglo XVII, no hubie-ron mayores cambios. Fue precisamente hasta el siglo XVII que Newton, en Inglaterra y Leibniz, en Alemania, inventaron el cálculo. Esta nueva rama de las matemáticas se encargaría esencial-mente del movimiento, el cambio y el espacio.

A partir del siglo XIX, además de ser utilizadas para el estudio de los números, las formas, el movimiento, el cambio y el espacio, las matemá-ticas se empezaron a utilizar como herramienta para estudiar y resolver temas que no son ob-servables como la probabilidad, la estadística, la economía y la física cuántica. En el siglo XX se dio una gran explosión del conocimiento ma-temático. Como señala Devlin: en 1900, todo el conocimiento matemático podía ubicarse en 80 libros. En la actualidad, se requerirían varios mi-llones de volúmenes para integrarlo. En 1900,

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo” Thomas Carlyle

Correo Pedagógico 16�0

las matemáticas se podían dividir en más de doce áreas como la aritmética, la geometría y el cálculo; en la actualidad, podemos encontrar entre 60 y 70 categorías, algunas de estas po-drían dividirse en materias como el álgebra y la topología, por ejemplo.Después de este somero recorrido por la histo-ria de las matemáticas, podemos afirmar que éstas son definitivamente algo más que “el es-tudio de los números” y que nuestra percep-ción no les hace justicia alguna; tal vez tenga que ver con el bajo nivel de nuestros alumnos en esta materia. Nos ha hecho falta comentar algo sobre la filosofía de las matemáticas, la cual incluye el realismo matemático y discute el hecho de si las matemáticas fueron descubier-tas o inventadas por el hombre.

Las matemáticas: Algo más que números

Artículo extraído de: “ Matemáticas para todos ”Boletín electrónico elaborado y distribuido por:Educación y desarrollo, A.C. y el Instituto de Ingeniería de la UNAM.

Año 8, número 78, marzo de 2008.

Al usar y estudiar las matemáticas, el hom-bre se pregunta no sólo qué son éstas, sino qué hacen en su vida. En los últimos

treinta años, se ha analizado qué estudian las matemáticas y cómo lo hacen. De ello ha surgi-do una nueva definición en la que casi todos los matemáticos coinciden: “Las matemáticas son la ciencia de los patrones o modelos”. Como Kei-th Devlin señala en su extraordinario libro The Language of Mathematics, editorial W.H. Free-man and Company, “las matemáticas se dedican al análisis de los modelos abstractos, por ejem-plo, los modelos numéricos, de las formas, del movimiento, del comportamiento, de las opor-tunidades, de la naturaleza, del universo, etc. Es-

tos modelos pueden ser reales o imaginarios, objetivos o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, con fines utilitarios o simplemente recreativos. Estos surgen de nuestras actividades cotidianas y han creado las diferentes ramas de las matemáticas”.

Las matemáticas, en ninguna de sus formas, existen realmente en el mundo físico; siempre representan abstracciones que únicamente se hallan en la mente. Para lograr que estas abstracciones sean entendidas, analizadas y comunicadas a los demás, se han creado di-ferentes lenguajes, por ejemplo: las expresio-nes algebraicas, las fórmulas matemáticas, los diagramas geométricos, la graficación de re-sultados, etc. Al respecto, Devlin pone algunos ejemplos: “Es más apropiado explicar las carac-terísticas de una casa por medio de un plano que por medio de un texto, o que una pieza de musical sea leída para su interpretación de una partitura, a que esto se trate de hacer por los sentimientos que generan un dibujo del com-positor”.

De acuerdo con la filosofía de las maternáticas, y con los propios matemáticos, las matemáti-cas son bellas por sí solas, es decir, no hay lu-gar para las matemáticas feas o desagradables (aunque es muy difícil definir, con claridad, lo que es bello y lo que no lo es). Tal vez las mate-máticas se refieren a la belleza de la lógica o a la de la reflexión de manera abstracta. Es como cuando a uno le parece agradable una melodía: puede ser que nuestro oído no esté entrenado para apreciar una pieza atonal, pero cuando se analiza y se entiende el mensaje del autor ésta puede ser mejor juzgada. La belleza de las matemáticas se detecta no sólo en sus plantea-mientos o procedimientos, si no también en su utilidad; con ellas se puede interpretar o expli-car lo que no se puede ver, como la fuerza de la gravedad, las ondas electromagnéticas, las pre-

��Correo Pedagógico 16

ferencias electorales, el diámetro de la Tierra. También con ellas podemos entender y expli-car algunos fenómenos como el movimiento de los astros, el cálculo preciso del tiempo, los eclipses y otros más que, sin la intervención de las matemáticas, podrían parecer magia.Las matemáticas, junto con el lenguaje, son consideradas como la base del pensamiento humano, además del origen de la civilización y una manifestación clara de la cultura del hom-bre.La relación de las matemáticas con la lógica y el estudio del infinito fue planteada y discuti-da desde los griegos, sin embargo, no fue has-ta que Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716) estudió esta relación que inició lo que hoy co-nocemos como filosofía matemática, la cual forma parte de la filosofía analítica. La filosofía matemática analiza la lógica que existe dentro de as matemáticas y el lenguaje y tienen como principales estudiosos y referentes de ella a Ludwig Wittgenstein (1889-1951), Bertrand Russell (1872-1970) y George Edward Moore (1873-1958), todos ellos del Trinity College de la Universidad de Cambridge. En la actualidad, existen varias corrientes de estudio dentro de esta ciencia, una de ellas es la del realismo ma-temático, que establece que las matemáticas existen en la naturaleza y que, por lo tanto, los hombres no las inventaron sino que las descu-brieron y que cualquier otro ser inteligente en el universo también las habría descubierto. Un ejemplo de esto es el planteamiento de que las figuras geométricas básicas, como los triángu-los, los cuadrados y los polígonos, existen en general en la naturaleza y no son creaciones del hombre. Algunos de los matemáticos que soportaron el realismo matemático fueron Paul Erdos (1913-1995) y Karl Gödel (1870-1948).Como pueden ver nuestros queridos lectores, las matemáticas no son sólo los números y susaplicaciones, también implican el cómo éstas intervienen en nuestras vidas y el cómo se

construyen o descubren.¿ Qué piensan ustedes de esto?

Programa de Matemáticas de la SEP

José ChimalDirector académico del CIME

Los contenidos que a continuación se pre-sentan en forma matricial corresponden al programa de matemáticas para prima-

ria de la Secretaría de Educación Pública. El for-mato matricial en que se presentan responde al propósito de mostrar la continuidad y grada-ción de los temas para, a partir de esa informa-ción, inferir los temas básicos que indefectible-mente debe dominar el estudiante egresado de sexto grado de primaria.

Correo Pedagógico 16��

Conteos.

Agrupamiento y

desagrupamiento

en decenas y unidades.

Lectura y escritura.

Orden de la serie

numérica.

Antecesor y sucesor.

Valor posicional.

1 a 100• Introducción a ordinales.

• Planteamiento y resolución

problemas sencillos sum

a y resta m

ediante diversos pro-cedim

ientos sin hacer trans-form

ación.

• Algoritm

o suma y resta

sin transformación.

• Uso de núm

eros ordinales en contextos

familiares

para el

alumno.

•Planteamiento

y resolución

de diversos problemas sum

a y resta con núm

eros hasta de 3 cifras utilizando diversos proce-dim

ientos.

•A

lgo

ritmo

con

vencio

nal

suma y resta con transform

a-ciones.

• Introducción a multiplicación

mediante resolución problem

as que im

pliquen agrupamientos y

arreglos rectangulares, utilizan-do diversos procedim

ientos.

•Escritura convencional

de m

ultiplicación (con números 1

cifra).

• Construcción del cuadro de m

ultiplicaciones.


de problemas de reparto de

objetos.

PRIMERO

Ejes:“Subejes”

SEGU

ND

OTERCERO

CUA

RTOQ

UIN

TOSEXTO

Números naturales

Conteos.

Agrupamientos y

desagrupamientos

en centenas, decenas

y unidades.


Orden de la serie

numérica.

Antecesor y sucesor

de un número.

Valor posicional.

De 3 cifras 1 a 999

• Lectura y escritura de núme-

ros ordinales.


de problemas m

ás complejos

de suma y resta con núm

eros hasta

de 3

cifras, utilizando

diversos procedimientos (p.e.,

problemas

de búsqueda

de faltantes o problem

as que re-quieran 2 operaciones para su solución).


problemas diversos de m

ulti-plicación con núm

eros hasta de 2 cifras, m

ediante distintos procedim

ientos.

• Algoritm

o convencional

de m

ultiplicación.

• M

ultiplicación de

números

terminados en ceros.


diversos problem

as división,

con números hasta de 3 cifras

mediante procedim

ientos no convencionales (p.e., solucio-nes con apoyo dibujos, sum

a iterada, resta o m

ultiplicación).

• Algoritmo división con nú-

meros de dos cifras entre una

cifra.

• Reglas para escritura de nú-m

eros ordinales y su uso en diferentes contextos.

Conteos.

Agrupamientos y

desagrupamientos

en millares, centenas,

decenas y unidades.


Orden de la serie

numérica.

Antecesor y sucesor

de un número.

Valor posicional.

De 4 cifras 1 a 9,999


Antecesor y sucesor

de un número.

Construcción de series

numéricas.

Valor posicional.

Los números en la recta

numérica.

De 5 cifras 1 a 99,999

• Algoritmo de división, con di-

visor hasta de 2 cifras.


problemas de división, m

edian-te diversos procedim

ientos.

• Núm

eros romanos


de problem

as que

conduz-can a la descom

posición de un núm

ero en sumandos o

factores.


de problemas que im

pliquen dos o m

ás operaciones con núm

eros naturales.

• Uso de calculadora en reso-

lución de problemas.


de problemas m

ás complejos

de suma y resta con núm

eros hasta de 5 cifras.


de problemas diversos de m

ul-tiplicación.


Antecesor y sucesor

de un número.


numéricas.

Valor posicional.


numérica.

De 6 cifras 1 a 999,999


Antecesor y sucesor

de un número.


numéricas.

Valor posicional.


numérica.

Los números naturales

• Reflexión sobre reglas del sis-tem

a de numeración decim

al.

• Múltiplos de un núm

ero.


problemas diversos cuya so-

lución implique dos o m

ás operaciones.

• Uso de calculadora en reso-


• Mínim

o común m

últiplo [M

últiplo mínim

o común]

1 Los números, sus relaciones y sus operaciones


• Introducción de noción de fracción en casos sencillos (p.e.: m

edios, cuartos y octavos) me-

diante actividades de reparto y

medición

de longitudes.

• Comparación de fracciones

sencillas representadas

con m

aterial concreto, para ob-servar la equivalencia entre fracciones.

• Representación

conven-cional de las fracciones.


de problemas que im

pliquen sum

a de fracciones sencillas, m

ediante m

anipulación de

material.

• Fraccionam

iento de

longi-tudes para introducir nuevas fracciones (p.e., tercios, quintos, sextos).

• Diversos recursos para encon-

trar equivalencias entre algunas fracciones.

• Fracciones con denominador

10, 100, 1000.

• Comparación de fracciones

manteniendo constante el nu-

merador o el denom

inador.

• Ubicación de fracciones en la

recta numérica.


de problemas que im

pliquen sum

a y resta de fracciones con denom

inadores iguales.

• Algoritm

o convencional

de sum

a y resta de fracciones con igual denom

inador.

• Fraccionamiento longitudes

para introducir nuevas fraccio-nes (p.e., séptim

os y novenos).

• Utilización diversos recursos

para mostrar equivalencia de

algunas fracciones.


problemas con fracciones cu-

yos denominadores sean 10,

100 y 1000.

• Actividades para introducir las fracciones m

ixtas.

• Ubicación fracciones en recta

numérica.


problemas sum


inadores iguales y diferentes, m

ediante la equivalencia de fracciones.

• Algoritmo de sum

a y resta de fracciones

utilizando equiva-

lencias.

• Em

pleo de

fracción com

o razón y com

o división en situa-ciones sencillas.

• Cálculo de porcentajes me-

diante diversos procedimien-

tos.

PRIMERO

Ejes:“Subejes”

SEGU

ND

OTERCERO

CUA

RTOQ

UIN

TOSEXTO

1 Los números, sus relaciones y sus operaciones

Números decimales

• Ubicación fracciones en rec-

ta numérica.

• Equivalencia y orden entre las fracciones.


de problemas de sum

a y resta fracciones m

ixtas.

• Conversión fracciones mix-

tas a impropias y viceversa.

• Simplificación de fracciones.


problemas de sum


inado-res distintos m

ediante cálculo de denom

inador común.

• Lectura y escritura cantidades con punto decim

al hasta cen-tésim

os, asociados a contextos de dinero y m

edición.


problemas de sum

a y resta con núm

eros decimales asociados

a contextos de dinero y medi-

ción.

• Lectura y escritura de nú-m

eros decimales, asociados a

diversos contextos.

• Comparación y orden en

números decim

ales.

• Equivalencia entre décimos,

centésimos y m

ilésimos.


problemas diversos de sum

a y

resta núm

eros decim

ales hasta m

ilésimos.


de problemas de m

ultiplica-ción de núm

eros decimales.

Planteamiento

y resolución

de problemas de división de

números

naturales con

co-ciente hasta centésim

os.


de problemas de división de

números decim

ales entre nú-m

eros naturales.

• Uso de calculadora para re-

solver problemas.

• Lectura y escritura números

decimales.

• Ubicación de núm

eros deci-m

ales en la recta numérica.

• Escritura en forma de frac-

ción de números decim

ales; escritura decim

al de algunas fracciones.


de problemas de sum

a y res-ta con núm

eros decimales

hasta milésim

os.


de problemas de m

ultiplica-ción con núm

eros decimales

hasta milésim

os.


problemas de división con

números decim

ales entre nú-m

eros naturales.

• Expresión de porcentajes en núm

eros decimales.

• Uso de calculadora para re-

solver problemas.

Números fraccionarios


PRIMERO

Ejes:“Subejes”

SEGU

ND

OTERCERO

CUA

RTOQ

UIN

TOSEXTO

2 Medición

Longitudes, áreas, volúmenes

Longitudes y áreas.• Com

paración de longitudes de form

a directa y utilizando un interm

ediario.

• Comparación de superficie de

2 figuras por superposición y recubrim

iento.

• Medición de longitudes uti-

lizando unidades de medida

arbitrarias.

Longitudes y áreas.• M

edición de longitudes y superficies utilizando m

edidas arbitrarias.

• Comparación y ordenam

ien-to de varias longitudes y áreas.

• Introducción uso regla gra-duada com

o instrumento que

permite com

parar longitudes.

Longitudes y áreas.• M

edición y comparación de

áreas utilizando unidades de m

edida arbitrarias y retículas.

• Resolución de problemas sen-

cillos que impliquen uso de uni-

dades medida convencionales:

m, cm

y cm2.


iento de longitudes y áreas utilizan-do m

edidas convencionales.

• Resolución de problemas sen-

cillos que impliquen m

edición de longitudes utilizando m

edio m

etro y cuarto de metro.

• Resolución

de problem

as sencillos que im

pliquen uso de instrum

entos medición: m

sin graduar, regla graduada en cm

.

Longitudes, áreas y volúmenes

• Resolución problemas que

impliquen m

edición longitu-des utilizando m

, dm, cm

y mm

com

o unidades de medida.

• Introducción del km com

o unidad

que perm

ite m

edir grandes distancias y recorri-dos largos.

• Introducción a noción volu-m

en mediante diversas cons-

trucciones en que se utilicen cajas o cubos de m

asa o plas-tilina.


problemas diversos que im

pli-quen cálculo perím

etros.M

edición área

figuras lados

rectos, utilizando cuadrículas.


impliquen

medición

superfi-cies con el cm

2 y m2.

• Introducción a fórmula área

de rectángulo,

cuadrado y

triángulo.


impliquen

uso instrum

entos m

edición: regla graduada en m

m y cinta m

étrica.



problemas

que im

pliquen cálculo

perímetro

polígonos y figuras curvilíneas utilizando diversos procedim

ientos.

• Resolución

de problem

as que im

pliquen el cálculo del área de polígonos, trapecios y rom

boides por descomposi-

ción en cuadrados, triángulos y rectángulos.


de problemas que im

pliquen cálculo de áreas utilizando m

2, dm

2, cm2.

• El km2 com

o unidad de medi-

da para expresar superficie de grandes extensiones.

• Relación entre perímetro y

área de una figura.

• Variación del área de una fi-gura en función de la m

edida de sus lados.

• Aproxim

ación del área po-lígonos irregulares y figuras curvilíneas utilizando cuadrí-culas.

• Medición volum

en cubo y algunos

prismas

mediante

conteo unidades cúbicas.

• Cm3 com

o unidad de medida

del volumen.

• Introducción a estudio siste-m

ático de S.M.D

.: múltiplos y

submúltiplos del m

.


• Perímetro del círculo.

• Uso de fórm

ulas para resol-ver problem

as que impliquen

cálculo áreas

de diferentes

figuras.

• Uso de la hectárea en la reso-



problemas sencillos que im

-pliquen cálculo de volum

en de cubos y de algunos prism

as m

ediante conteo de unidades cúbicas.

• Fórmula para calcular volu-

men de cubo y de algunos

prismas.

• Variación de área de una fi-gura en función de m

edida de sus lados.

• Cálculo de área total de pris-m

as.

• Profundización en estudio de S.M

.D.: m

últiplos y submúlti-

plos de m; algunos m

últiplos y subm

últiplos de m2, y m

3.

Relación entre unidades longi-tud de S.M

.D. y sistem

a inglés (m

etro y yarda, cm y pulgada,

cm y pie, km

y milla terrestre).

Capacidad, peso y tiempo

• Uso de balanza para com

pa-rar pesos de objetos.

• M

edición de

capacidad y

peso de

objetos utilizando

unidades de medida arbitra-

rias.


ien-to de varios objetos y recipien-tes, de acuerdo con su peso y su capacidad.

• Uso calendario: m

eses, sema-

nas, días.

• Comparación directa de capa-

cidad de recipientes.

• Comparación directa de peso

de 2 objetos.

• Uso de balanza para com

parar peso de 2 objetos.

• Medición de capacidad y peso

de objetos utilizando unidades de m

edida arbitrarias.

• Términos: antes y después;

ayer, hoy y mañana; m

añana, tarde y noche, asociados a acti-vidades cotidianas.

• Actividades que se realizan en una sem

ana.

• Medición de peso y capa-

cidad utilizando k, ½ k, ¼

k, l, m

edio l y cuarto l.

• Año, meses, sem

anas, días.

• Uso de calendario para pro-

gramar actividades e identifi-

car fechas.

• Lectura de reloj de maneci-

llas: hs. min.

• Expresiones media h y cuar-

to h.

• Uso instrum

entos medición:

balanza y reloj.

• Situaciones

sencillas que

ilustren uso

de m

l y

mg

(p.e. empaques de m

edica-m

entos).

• Uso reloj y calendario.

• Lustro, década, siglo, milenio.

• Uso instrum

entos medición:

báscula, recipientes gradua-dos en m

l y cl para medir

líquidos.

• Relación entre capacidad y vo-lum

en; relación entre dm3 y l .

• Relaciones entre hora, minu-

tos y segundos, asociadas a la resolución problem

as (conver-siones).

• Uso instrum

entos medición:

dinamóm

etro y báscula.

• Introducción a estudio siste-m

ático de S.M.D

.: múltiplos y

submúltiplos del l y del gr.

• Problemas que im

pliquen con-versión de unidades de tiem

po (año, m

es, semana, día, hora, m

i-nuto y segundo).

• Introducción a algunos as-pectos de la historia de la m

e-dición.

• Profundización en estudio de S.M

.D.: m

últiplos y submúltiplos

de l y gr.

• Tonelada com

o unidad

de m

edida.

• Relación entre unidades capa-cidad y peso del S,M

.D. y el siste-

ma inglés (l y gall, kg y lb).


PRIMERO

Ejes:“Subejes”

SEGU

ND

OTERCERO

CUA

RTOQ

UIN

TOSEXTO

3 Geometría

Ubicación espacial

Ubicación

Del alum

no con relación a:• Su entorno• O

tros seres u objetos

De objetos o seres entre sí.

Expresiones: arriba, abajo, adelante, atrás, derecha, izquierda.

• Introducción a la represen-tación

de desplazam

ientos sobre el plano.

• Los puntos cardinales.Representación desplazam

ien-tos sobre el plano:*

Trayectos, cam

inos y

labe-rintos.*

Recorridos tomando en cuen-

ta puntos de referencia.

• Representación en plano de la ubicación de seres y objetos del entorno inm

ediato.

• Representación de desplaza-m

ientos sobre el plano: trayec-tos tom

ando en cuenta puntos de referencia.

• Diseño, lectura e interpreta-

ción de croquis.

• Observación y representación

de objetos desde diversas pers-pectivas.

• Representación puntos y des-plazam

ientos en el plano.

• Diseño, lectura e interpreta-

ción de croquis y planos.

• Lectura e interpretación de m

apas.

• Introducción de ejes de co-ordenadas

cartesianas para

ubicar seres u objetos en ma-

pas o croquis.

• Las coordenadas de un pun-to.

• Construcción a escala de croquis de entorno.

• Uso de ejes de coordenadas

cartesianas.

• Lectura de mapas.

Ubicación

Del alum

no con relación a:• Su entorno• O

tros seres u objetos

De objetos o seres entre sí.

Cuerpos geométricos

• Representación de objetos del entorno m

ediante diversos procedim

ientos.

• Clasificación

de objetos

o cuerpos bajo distintos crite-rios.

• Construcción

de algunos

cuerpos m

ediante diversos

procedimientos (plastilina, po-

potes, otros).

• Representación de cuerpos y objetos del entorno utilizando diversos procedim

ientos.• Clasificación objetos o cuer-pos geom

étricos bajo distintos criterios (p.e. caras planas y ca-ras redondas).• Construcción algunos cuer-pos usando cajas o cubos.

• Características de los cuerpos (p.e. núm

ero de caras, forma de

las caras).

• Introducción a la construcción de cubos utilizando diversos procedim

ientos.

•Representación gráfica

de cuerpos y objetos.

• Clasificación cuerpos geomé-

tricos bajo criterios: forma de

las caras,

número

de caras,

número de vértices y núm

ero de aristas.

•Actividades para

introdu-cir

construcción de

cuerpos geom

étricos (p.e.,

mediante

trazo de forros con restriccio-nes).

• Construcción y armado de

patrones de cubos y prismas.

• Construcción y armado de

patrones de prismas, cilindros

y pirámides.

• Reproducción pictórica de form

as diversas.

• Reconocimiento de círculos,

cuadrados, rectángulos, trián-gulos en diversos objetos.

• Identificación líneas rectas y curvas en objetos del en-torno.

• Trazo de figuras diversas utili-zando regla.

• Elaboración de grecas.

• Trazo de figuras diversas utilizando la regla.

• Construcción y transforma-

ción figuras a partir de otras figuras básicas.

• Clasificación diversas figu-ras geom

étricas bajo distin-tos criterios (p.e., lados cur-vos y lados rectos, núm

ero lados).

• Dibujo y construcción de

motivos

utilizando figuras

geométricas.

• Clasificación

cuadriláteros y triángulos a partir de sus características:

igualdad de

lados, paralelismo, perpendi-

cularidad y simetría.

• Construcción y transforma-

ción figuras a partir de otras figuras básicas.

• Simetría.

• Ejes simetría de una figura

(identificación y trazo).

• Construcción y reproducción figuras

mediante

diversos procedim

ientos.

• Trazo de líneas paralelas y perpendiculares

mediante

doblado de papel.

• Uso regla para trazar líneas

y figuras.

• Com

paración ángulos,

en form

a directa y con interme-

diario.

• Uso transportador en m

edi-ción ángulos.

• Clasificación figuras geomé-

tricas a partir de número lados,

número lados iguales, ángulos

iguales y número ejes sim

e-tría.

• Reconocimiento de diferen-

tes triángulos respecto a sus lados

y ángulos

(triángulo isósceles, escaleno y equiláte-ro; triángulo rectángulo).

• Trazo de alturas de triángulos (casos sencillos).

• Composición y descom

posi-ción de figuras geom

étricas.

• Trazo de líneas paralelas y perpendiculares utilizando di-versos procedim

ientos.

• Trazo de círculo utilizando una cuerda.

Figuras geométricas

• Trazo de figuras utilizando regla y escuadra.

• Uso de regla, escuadra y

compás para trazar figuras a

partir ejes simetría, líneas pa-

ralelas y perpendiculares.

• Uso del com

pás para trazar círculos.

• Clasificación de figuras utili-zando diversos criterios (p.e., igualdad ángulos, igualdad lados, paralelism

o y simetría).

• Construcción de figuras a escala (casos sencillos).

• Construcción figuras a es-cala.

• Reconocimiento de sem

e-janzas y diferencias entre 2 figuras a escala.

• Construcción figuras a partir de sus diagonales.

• Clasificación

figuras utili-

zando diversos criterios (p.e. tam

año lados, número lados,

medida de ángulos, núm

ero de vértices, pares de lados paralelos, diagonales iguales, diagonales diferentes, puntos intersección

de diagonales,

número ejes de sim

etría, etc.).

• Construcción y reproducción figuras utilizando dos o m

ás ejes sim

etría.

• Trazo y reproducción de figu-ras utilizando regla y com

pás.


• Planteam

iento y

resolu-ción de problem

as sencillos que

requieran recolección,

registro y

organización de

información utilizando picto-

gramas.

• Resolución

de problem

as y elaboración de preguntas sencillas que puedan respon-derse a partir de una ilustra-ción.

• Interpretación de informa-

ción contenida en ilustracio-nes, registros y pictogram

as sencillos.

• Resolución e invención pro-blem

as sencillos

elaborados a partir de inform

ación que aporta una ilustración.

• Invención de problemas a

partir de expresiones numéri-

cas dadas.

PRIMERO

Ejes:“Subejes”

SEGU

ND

OTERCERO

CUA

RTOQ

UIN

TOSEXTO

4 Tratamiento de la información


de problemas sencillos en

que se requiera recolectar y registrar inform

ación perió-dicam

ente.

• Invención y redacción de preguntas a partir de enun-ciados que contienen datos num

éricos.

• Resolución e invención de preguntas y problem

as sen-cillos que puedan resolverse con datos que contiene una ilustración.

• Recolección y registro da-tos provenientes de la ob-servación.

• Representación de informa-

ción en tablas de frecuencia y gráficas de barras.

Uso de frecuencia absoluta

en manejo de la inform

a-ción.

• Análisis e interpretación de

información proveniente de

pequeña encuesta.

• Organización de inform

ación en tablas, diagram

as, gráficas barras o pictogram

as.

• Análisis tendencias en gráficas de barras: prom

edios, valor más

frecuente, mediana.

• Recopilación y análisis de inform

ación de diversas fuen-tes.

• Organización de info en tablas,

diagramas, gráficas de barras o

pictogramas.

• Análisis de tendencias en grá-

ficas de barras: promedios, valor

más frecuente, m

ediana.

• Uso de frecuencia relativa en

resolución problemas.

• Recopilación y análisis de info de diversas fuentes.

• Análisis de problem

as en los que se establezca si hay suficien-te info para poder resolverlos y se distinga entre datos necesa-rios y datos irrelevantes.

• Problem

as sencillos

que introduzcan al alum

no a la elaboración de tablas de va-riación proporcional.


problemas

que im

pliquen elaboración tablas y gráficas de variación proporcional y no proporcional.

• Análisis de tendencias en

tablas de variación proporcio-nal y no proporcional.

• Relación entre situaciones de variación y las tablas y grá-ficas correspondientes.

• El valor unitario como proce-

dimiento para resolver ciertos

problemas

de proporciona-

lidad.

• Los

productos cruzados

como m

étodo para compro-

bar si hay o no proporciona-lidad.


de problemas de porcentaje.

• Predicción de hechos y su-cesos en situaciones senci-llas en las que no interviene el azar.

• Identificación y realización juegos en los que interviene o no interviene el azar.

• Elaboración tablas de varia-ción proporcional y no pro-porcional para resolver pro-blem

as.

• Relaciones entre datos una tabla de proporcionalidad di-recta.

• Elaboración gráficas de va-riación proporcional y no pro-porcional.


problemas de porcentaje.

• Registros de resultados ex-perim

entos aleatorios.

• Representación de resulta-dos de un experim

ento alea-torio en tablas y gráficas.

• U

so de

expresiones m

ás probable y m

enos probable en predicción resultados.

• Realización juegos o expe-rim

entos cuyos

resultados dependen del azar.

• Problemas que im

pliquen arreglos o perm

utaciones de dos o tres objetos. Lista de resultados posibles.

• Uso diagram

as árbol para resolver problem

as de con-teo. Lista de resultados po-sibles.

• Experimentos aleatorios y

análisis de resultados posi-bles y casos favorables.

• Identificación de la mayor

o menor probabilidad de los

eventos.

• Registro en tablas y gráficas de resultados de diversos ex-perim

entos aleatorios.

• Uso de diagram

as de árbol para contar núm

ero de resul-tados posibles en experim

en-tos sencillos.

• Comparación dos eventos

a partir de número de casos

favorables sin cuantificas su probabilidad.

• Análisis e interpretación de

gráficas para hacer prediccio-nes.

5 Procesos de cambio

6 Predicción y azar


Una de las actividades más importantes que ayudan a desarrollar una clase cons-tructiva es sin duda alguna el juego. Es a

través de él como se prepara y motiva la clase, además se estimula la creatividad y se desarro-lla la habilidad de resolver problemas creando una atmósfera de aprendizaje divertido y ale-gre que sirve no sólo para transmitir conoci-mientos, sino que además permite manifestar aptitudes y actitudes positivas por parte de los alumnos.

Es el juego más antiguo que la cultura, se en-cuentra en una amplia vinculación con el tiem-po, es una manifestación que no tiene un fin fuera de sí mismo. Como realidad comprende al mundo animal y al mundo humano, no se rela-ciona o se reconoce en una etapa de la humani-dad; simplemente es una expresión de la vida.

El juego es un generador de valores que van más allá de una actividad cognitiva con pro-pósitos exclusivamente pedagógicos. El juego tiene además algunas otras funciones descritas por Hugo del Pozo de la siguiente forma:

‘El juego actúa sobre el sistema nervioso como un estimulante del crecimiento...”

“El juego alivia y apacigua cuando se siente uno colérico...”

“El juego adorna la vida, siendo algo que la complementa como función biológica...”

El juego dentro del aula

Lic. Julia Raquel García ValdezCapacitadora del CIME

Podemos decir entonces que la forma en que el niño juega y el tipo de juego elegido son determinados sin duda por el medio en que se desarrolla e influye en forma significativa sobre su educación. Frobenius expresa que: ‘el juego sirve para actualizar, representar, acompañar y realizar el acontecimiento cósmico.”De tal for-ma el juego tendrá mayor o menor valor edu-cativo según sus condiciones psicológicas, ca-paces de desarrollar valores morales y físicos.

Como el juego es la actividad más caracterís-tica y espontánea, es lógicamente la base del proceso educativo en los primeros años. Por medio de él se expresa la vida, se introduce al mundo real, da sentido de confianza en sí mis-mo y se aprende la ayuda mutua. Para un niño no existe la diferencia entre juego y realidad; los caracteres fundamentales de su mundo son los mismos. De esta manera, poco a poco se va adaptando a las necesidades de su medio fa-voreciendo aspectos psicológicos, cognitivos, sociales, de higiene, de salud, en una palabra: “integra” al niño al mundo que le rodea de for-ma placentera y divertida.

OBJETIVOS DE LOSJUEGOS

Se pueden clasificar algunos objetivos del jue-go de la siguiente forma:

1 Contribuyen al desarrollo multilateral a tra-vés de actividades físicas y recreativas encami-nadas al desarrollo dinámico y de productivi-dad.


2 Forman hábitos diligentes y de valores mo-rales que desarrollan la tenacidad y perseveran-cia.

3 Forman hábitos de trabajo colectivo.

4 Desarrollan aspectos de la personalidad como son: la decisión, la modestia y la disposi-ción para vencer obstáculos.

5 Desarrollan la motricidad infantil relaciona-da con el desarrollo intelectual y la formación del carácter.

6 Cultivan relaciones sociales y espíritu de solidaridad al trabajar en grupos o equipos.

7 Forman hábitos de postura correcta, de higiene y de la mejor utilización del tiempo libre.

PEDAGOGÍA DE LOS JUEGOS

Como principio básico dentro del aula, el juego debe tener un contenido educativo y sus facto-res principales es hacerlos contínuos y entusias-tas, no se debe ver cómo una obligación mo-lesta sino transmitir el espíritu del juego para mantener el interés de los alumnos. Se deben tomar todos los aspectos evitando los extremos y facilitar la disciplina y control del grupo, el es-pacio y el juego mismo.

¿Qué principios se deben observar al poner un juego en el salón de clase?

1 La relación del juego con la edad e interés del niño.

2 El tiempo coordinado con la reacción física y emotiva del alumno.

3 Mantener el interés del juego y suspender antes que caiga la motivación.

4 Poner a jugar a aquellos alumnos que más lo necesitan.

5 Explicar claramente los juegos y no abusar de la cantidad de su aplicación, realizar máximo 3 juegos por clase y en el siguiente orden: pri-mero los de mayor movimiento, en seguida los de organización y por último los más sencillos (los que no necesitan explicación).

6 Si el grupo es muy numeroso, organizar equi-pos con líderes para cada uno. Poner juegos sen-cillos y complicarlos cuando los equipos y sus

líderes se hayan integrado armoniosamente.

El docente debe guiar las actividades y mo-tivar la participación inyectando entu-

siasmo en todo momento que el juego lo requiera.

Por último, 4 puntos que no se de-ben olvidar sobre el juego para

lograr obtener mayor utilidad:

- El azar no debe ser la constante de los jue-gos.

- Utilizar la adaptación de algunos juegos cono-cidos para que los alumnos los puedan desarrollar.

- Reglas sencillas y desarrollos cortos.

Hacer juegos atractivos en la presentación y de-sarrollo.

El juego no es particular de los niños, ya que es una actividad que disfrutan los jóvenes y los adultos. Es importante no olvidar esto en nues-tro trabajo docente ya que lamentablemente hay quien piensa que cuando los alumnos ya son “grandes” no les gusta jugar, recordemos que motivar el entusiasmo e interés del alumno por el aprendizaje se logra fácilmente a través del juego y que es la estrategia didáctica más eficaz para lograr aprendizajes significativos.


aaa

3

5

Asesoría

Productos

Profra. Ma. de los Ángeles RojasColaboradora del CIME

Antecedentes: Trenes de diferente color, trenes de igual color. Figuras geométri-cas: cuadrados y rectángulos.

Dictado de cantidades empleando regle-tas usando decenas y unidades.

Objetivo: Manejar los factores y diviso-res de un producto. Conocer las multipli-caciones y divisiones.

En la primera etapa se puede pedir que los niños escojan 3 colores y hagan algu-na figura. Después se comenta usando la palabra “veces”. Ejemplo: ¿cuántas veces usaste la regleta rosa en tu figura? ¿Cuán-tas veces usaste la regleta roja en tu figura?

Se pide que se forme el tren del producto que se va a trabajar. Ejemplo: Número 15.- Usar como base una regleta naranja y agregando regletas a su elección hasta completar el número 15. Después se pide que los niños formen to-dos los trenes posibles de igual color que midan 15. En este caso, los niños, después de explorar, usarán regletas verde claro, amarillas y blancas.

Una vez que se tienen todos los trenes se toman las regletas que son de color verde claro, se unen una seguida de la otra para formar un rectángulo que se lee: “5 veces 3 es igual a 15”.

Se toman las regletas amarillas y se forma el rectángulo que se lee: “3 veces 5 igual a 15”.

3 veces 5 = 15

El tren blanco se leerá: “15 veces 1 es igual a 15”.El rectángulo verde se hace coincidir con el amarillo para comprobar que son iguales. En-tonces, se concluye que: “5 veces 3 es igual a 3 veces 5”.Se toma una regleta de cada rectángulo, un re-presentante de cada uno y se forma el avión:

5 veces 3 = 15

vvvvv

5

5

av

Que se leerá así: “3 veces 5 ó 3 x 5 = 15” (El factor es la regleta de arriba). Se forman tam-bién las “lunas” correspondientes, que se irán coleccionando en el salón de clases.

v a

En la 2a parte se mide el producto 15 con las re-gletas de los divisores, preguntando:“En el tren del 15, ¿cuántas veces cabe la regleta verde claro?”R= “Cabe 5 veces, porque 5 veces 3 es igual a 15”.


Como puede observarse los factores y divisores van de la mano, por eso es importante favorecer la reversibilidad en el manejo de los productos.

El libro se contestará a partir del manejo del material.

Los niños marcarán las regletas en el rectángu-lo que aparece en el libro, usando los colores correspondientes.El libro presenta todas las maneras de escribir la división:

15 ÷ 5 = 15/ 5 = 5 15 = 15 entre 5.

Se leerán todas las expresiones para que los ni-ños las reconozcan y las manejen.

Los productos ya vistos se repasarán con ejerci-cios como los siguientes para que aprendan los factores cada uno.

Se juega a los aviones pidiendo:

a) Muestren el avión del producto 8, 6, 4, 12 (en el caso del producto 12 mostrarán 2 aviones, que son 3 x 4 y 6 x 2).

b) Digan a qué producto corresponde este avión (se muestran aviones de los productos ya vistos).

c) Plantear: “Quiero hacer el avión del...15, y sólo tengo esta regleta (muestra la regleta amarilla). ¿Cuál regleta me falta?

d) En las paredes del salón estarán pegadas las lunas de los productos ya vistos, así que se pue-de pedir que pasen a señalar el producto 8, 6, 4, 12, 10, 15, etc.

e) Señalar lunas y que los niños digan a qué producto corresponden.

f ) Se puede jugar a la lotería, concursos, adivi-nanzas, etc., según la creatividad de la maestra

Cada vez que se ve un producto nuevo se agre-ga a la colección y forma parte de los juegos de afirmación.

Se manejan las antenas para adquirir habilidad en el manejo de factores y divisores como ejer-cicios rápidos.

x 345721

÷ 1234621

Se utiliza la multiplicación y la división en disfra-ces. Ejemplo:

5 = ( 3 x 4 ) - ( 2 x 4 ) + 1

6 = ( 12 ÷ 4 ) + 3

Se aplican en resolución de problemas propues-tos e inventados por los niños.

Dentro de los 37 productos se encuentran los cuadrados y los cúbicos, los cuales se tratarán

para que los niños aprendan productos, una vez que han construido el conocimiento.


de la siguiente forma:

- Se siguen los pasos anteriores hasta donde se toman las regletas de igual color para formar la figura; en este caso, un cuadrado. Ejemplo:

Que se lee: 4 veces 4 es igual a 16.

Se piden las características del cuadrado:lados iguales, ángulos rectos, etc.

- Se dirige la atención sobre estar seguros y comprobar qué es un cuadrado, es decir: “Es el cuadrado del 4, o sea 4 al cuadrado, que se es-cribe así: 42”.“Así como al árbol lo sostiene la raíz, a este cua-drado del 16 lo sostiene el número 4”. Entonces, la raíz cuadrada de 16 es 4 y se escribe así:

16 = 4

Se continúa de la misma manera que el produc-to anterior (15) y se usa en disfraces. Ejemplo:

16 + 26 =

42 - 106 =

Producto cúbico. Ejemplo: producto 8.Después de formar un rectángulo de 4 x 2 y 2 x 4 se toman las 4 regletas rojas y se forma un cubo.Se piden las características de un cubo:Lados iguales y 6 caras cuadradas.

Una vez que comprueban que es un cubo, en-tonces se dirige la atención sobre el valor:“Este cubo vale 8 porque tiene 2 pisos de 2 re-

Control del dominio de productos. Antenas.

x 4 x 3x 27256813904

936174058

64178590

x 7 x 6x 55960187

761809

07918

x 9x 81809

091

gletas que valen 2”. Es decir, 2 x 2 x 2 = 8, y eso se escribe así: 23 = 8.

Se pide a algunos niños que pasen y lo expli-quen con sus propias palabras.Se forman los siguientes productos cúbicos hasta el 1000.


Maestro:Estas antenas funcionan como “prueba de ex-ploración” para los grupos de 3o de primaria en adelante. Aplíquelas desde el inicio del tema de productos y posteriormente para identificar a los alumnos que todavía tienen fallas y especí-ficamente qué productos necesitan repasar.

Utilice el “block de antenas” para hacerlas con rapidez. Escriba los números en el pizarrón cambiando el orden en cada ocasión. No escri-ba el factor sino hasta el momento de empezar a contestarlas.

Tome el tiempo que necesitan para contestar cada antena, calculando al inicio, para los niños más lentos, el triple del que utilizan los niños más rápi-dos (cuando los niños dominan los productos contestarán en un lapso de 20 - 25 segundos cada antena).

Califique de inmediato variando la forma: Personal, intercambio por fi-las o hacia adelante o atrás. De vez en cuando haga un muestreo para verificar de manera aleatoria o con quienes tenga dudas.

Realice ejercicios de repaso con los productos que presenten más fa-llas. Lleve el control cada semana con las antenas de los productos vistos.

Aspectos matemáticos que integran los productos

1 En la cuadrícula de la derecha representa los productos 56 y 16.¿Qué forma tiene cada producto?

56__________________________

16__________________________

2 Termina la tabla, usa la figura anterior.

1 x 7 =

2x7=

3x7=

4x7=

5x7=

6x7=

7x7=

8x7=


¿Qué relación encuentras entre la tabla y las divisiones?

3 Divide:

7 56 8 56 56 56

28 28

2 56

4 Convierte trenes en aviones:

7 + 2 + 5 + 2 + 2 + 7 + 7 + 5 =

3 + 2 + 3 + 2 + 2 + 5 + 5 + 3 =

5 Aviones que se convierten en torres.

3 x 3 x 3 x 3 = 34

5 x 5 x 5 x 2 x 5 x 2 x 3 x 2 x 2 =

3 x 2 x 3 x 4 x 4 x 2 x 2 =

6 Resuelve los siguientes disfraces:

92 + ( de 81) =19

82 + 4 =

+72981

40581

+ = 18

de 7238

+ =64

a + a + a + a = =

5 + 5 + 5 + 5 = =

7 Antenas x 785269347

Chocolates de colores

“La fábrica de chocolates confitados ha producido barras de 10 colores diferentes.Cada barra cuesta igual que su valor en pesos.Todas las ventas se registran en tablas de variación.La siguiente tabla (página siguiente) quedó in-completa; ayuda a terminar el registro de ayer.”Maestro: Se sugiere repartir entre los equi-pos pequeñas bolsas de plástico para facili-tar esta actividad.Emapaca en las bolsitas que se te van a entregar, las barras que representan las regletas para hacer los conteos:

Completa las siguientes divisiones con divisores que tú elijas:

28

28


ColorNúmero

de paquetes

Barras dechocolate

en c / paquete

Total debarras dechocolate

Costototal

N

A

c

n

V

a

R

v

r

b

3

3

4

2

3

6

5

4

5

8

3

2

5

10

9

8

4

25

$ 90

$ 36

$ 48

El problema anterior fue tomado de un grupo de 2o de primaria, en el que la profesora lo trabajó por equipos desde el primer semestre, con muy bue-nos resultados.

Juguemos para dominar los productos

LoteríaCada alumno cuenta con una tarjeta de 9 lunas, la maestra dicta los productos y cada niño pone una ficha en la luna correspondiente.Ganador: Puede ser el que llena 3 en diagonal, ho-rizontal o vertical, o puede ser el que llene primero su tarjeta.

Naipes 1Se reparten los naipes entre 4 jugadores. Las tar-jetas con los soles se colocan al centro hacia aba-jo. Por turnos cada jugador toma una tarjeta del centro. Si tiene el naipe correspondiente al sol que acaba de tomar, lo coloca al frente verbalizando ( Ej: “4 veces 9 = 36” ). Si no tiene el naipe pasa el siguiente jugador. Gana el primero que se quede sin naipes.

ParejasSe juega entre 2 compañeros, uno tiene los naipes y otro las tarjetas de soles.El primer jugador tira un naipe y el otro jugador

pone inmediatamente el sol corres-pondiente. Si se equivoca, el primero recupera su tarjeta y el segundo deja su tarjeta a un lado. Gana el jugador que tenga menos tarjetas perdidas.

Cuadro de coloresSe juega entre dos alumnos. Se pone el tablero al centro y un jugador colo-ca una regleta en cada color (la que se vaya a repasar, ya sea 7, 8, 9, etc.) El otro jugador dice el producto que resulte.Ganador: a 10 tiradas, el que no se equi-voque.Se recomienda tener su tabla de Pitá-goras para verificar los productos, si hu-

biera duda.Soles y naipesCada alumno tiene su hoja de soles y algunas fi-chas.El maestro pasa de relámpago un naipe; el niño coloca una ficha en el sol correspondiente. Pue-den ser 5 ó 6 tiradas y hacer un alto para verifcar.La maestra tendrá una línea de tiradas que le ayu-dará a revisar las fichas correctas:


Presentamos a continuación la relación de contenidos que guiarán el trabajo en el aula y los antecedentes y consecuentes

que te servirán de apoyo para manejar el con-cepto de área de acuerdo a tu grado, dejando en libertad al docente la creación y el manejo de estrategias que faciliten la comprensión de conceptos. Primer grado: En este grado se inicia el con-cepto de área al trabajar:

1 Rompecabezas (en forma de cuadros)2 Encontrar cuadros en figuras en el geoplano.

Segundo grado: Partiendo del antecedente de primero, el estudio de las áreas continúa con:

1 El concepto de unidad de perímetro y área.2 Áreas sin dificultad (son las figuras que se

cortan en cuadros).

• Durante el estudio de estas se trabajan varios ejercicios de perímetro y área en su cuaderno de registro rectilíneo.• Invención de figuras dando el valor del perí-metro (contar las unidades de área).• Invención de figuras dando el valor del área (contar las unidades de perímetro).• Invención de figuras dando el perímetro y área.• Invención de problemas de área y perímetro aplicando la reversibilidad.

3 Áreas de primera dificultad (son figuras

Áreas: Secuencia por grados

Profra. Lucía Gabriela Tapia TrilloCapacitadora del CIME

que tienen diagonales de 45o).• Se lleva al alumno al concepto de éstas.• Se trabajan en el geoplano y se registran va-rios ejercicios en donde el alumno saque sola-mente el área de las figuras.• Invención de figuras dando el número de uni-dades cuadradas.• Invención de problemas aplicando la reversi-bilidad.

4 Corte de figuras en cuadros, triángulos y rectángulos (antecedente de las áreas de 2a di-ficultad).• Hacer varios ejercicios de estos en el geopla-no y en el registro rectilíneo.

5 Obtener el área de una figura cortando en cuadrados, triángulos y rectángulos sacando el área de cada figura y sumando el total de las áreas (sin fórmula).

Tercer grado: Durante este grado el estudio de las áreas inicia retomando lo visto en segundo (frecuencia) y se aumenta el estudio de:

1 Las áreas de segunda dificultad. Son las figuras que no tienen diagonales de 45o.•Siendo el antecedente de éstas el corte en fi-guras (segundo grado)• El estudio de la geometría del cuadrado, rec-tángulo y triángulo (tercer grado).

2 Para obtener el área de estas figuras se cor-tan en cuadrados, rectángulos y triángulos.

3 Se realizan ejercicios en donde el alumno practique el corte de figuras en figuras conoci-


El Centro de Investigación de Modelos Educativos

Con gran regocijo terminaron su diplomado un nutrido grupo

de maestras y maestros.Felicitamos a su coordinador:

México, D. F. junio de 2008.

Ing. Gustavo Saldañay a su equipo de capacitadores:

Mtro. Esteban MartosMtra. Rosa Araceli Rotaeche

Mtra. Adriana IngelmoMtra. Ma. de los Ángeles Rojas

¡Enhorabuena!

A los maestros que en junio del 2008 finalizaron el

Diplomado en Matemáticas Constructivas

Llevado a cabo en la Ciudad de Méxicode septiembre de 2007 a junio de 2008.

Felicita

Profr. Francisco J. Gutiérrez., Director del CIME.

das (cuadrado, rectángulo y triángulo).

4 Se obtiene el área de las figuras haciendo los cortes y sacando de manera individual el área de las figuras resultantes utilizando su fórmula.

5 Para su aplicación se trabaja la invención de problemas.

Cuarto grado.Trabajar lo visto en tercero (frecuencia)

• No olvide que hasta este momento el estudio de las áreas se ha hecho con medidas arbitra-rias (etapa concreta: uso del geoplano).

En este grado:- Se da el paso a las medidas convencionales lle-vando la misma secuencia , pero realizando los ejercicios en el cuaderno de centímetro cuadra-do.

Quinto grado:Comenzamos trabajando frecuencia de lo visto en grados anteriores.1 Hasta llegar a hojas en blanco (etapa abs-

tracta), donde el alumno ya debe hacer uso de las fórmulas para sacar el área y perímetro de cualquier figura.

2 Aplicación de problemas e invención por parte del alumno.

Sexto grado. Reafirma los antecedentes que trae de los grados anteriores.

1 Introduce el área del círculo.

2 Obtiene el área de polígonos regulares e irregulares (líneas curvas y rectas).

Nota: Al estudiar las áreas se trabaja también el perímetro de las figuras.


En este artículo discutiremos diferentes formas utilizadas por los alumnos al re-solver problemas de tipo algebraico, dis-

cutiremos ventajas y desventajas de cada una de estas formas y analizaremos cómo pueden ser aprovechadas para llevar a los alumnos a un razonamiento de tipo algebraico.

El problema es el siguiente:En un corral hay conejos y gallinas. Cada cone-jo tiene 4 patas, cada gallina tiene 2 patas.Si contamos las cabezas de los animales se tie-nen en total 39 cabezas. Si contamos las patas hay un total de 122. ¿Cuántos animales de cada tipo hay en el corral?

Forma uno: solución icónica.Esta forma de solución puede encontrarse en niños de primaria y niveles básicos de secun-daria.

Diferentes formas de representación en la resolución de problemas

M. en C. César O. Pérez Carrizales

Después a cada animal le dibujan dos patas.

Y finalmente, van agregando dos patas a cada animal hasta completar las 122 patas

A esta forma de solución le llamaremos icónica (icono: imagen). Esta forma de solución tiene la característica de que las imágenes son parte importante del proceso de solución, el razona-miento se realiza sobre ellas. El razonamiento usado en la resolución es claro para el alumno, pero tiene la desventaja de que es impráctica para números muy grandes.

Si se muestra esta solución a alumnos de segun-do de secundaria, normalmente alguno señala-rá que él lo comenzó a resolver de esa manera, cuando se le pregunta porqué no continuó, la respuesta habitual es que no creyó que se va-liera resolverlo de esta manera.

Hay varias preguntas que conviene plantear:¿Un alumno que resuelve un problema de esta forma está haciendo matemáticas?¿Debemos aceptar una solución de este tipo? Algunos maestros opinan que una solución de este tipo es válida para un alumno de primaria, pero que no debe ser aceptada en alumnos de niveles superiores ya que a partir de secundaria el alumno debe usar un razonamiento de tipo algebraico.

Primero, dibujan las cabezas de los animales.


Nuestra respuesta a ambas preguntas es sí. Un alumno que resuelve un problema de esta forma sí está realizando un proceso de razona-miento, el cuál sirve de base para desarrollar otro tipo de razonamiento, por lo que si debe ser aceptado como un método válido. Sin em-bargo, no es conveniente que el alumno se quede en este nivel por lo que es convenien-te comparar esta forma de solución con otras para ayudar al alumno a desarrollar un razona-miento de tipo algebraico.

Forma dos: solución aritmética.Si todos los animales tuvieran dos patas, en to-tal habría 78 patas.

39 x 278

Como tenemos 122 patas, falta repartir 44 patas.

122 - 78 44

Para completar 4 patas hay que agregarle 2 más a cada animal.

22 44

Por lo que hay 22 animales con 4 patas y 17 con 2.

39 - 22 = 17

A esta forma de solución le llamaremos aritmé-tica. Su característica es que el razonamiento se realiza sobre los números y no sobre las imáge-nes.

Comparando esta solución con la anterior, po-demos ver que el razonamiento básico es el mis-mo: se reparten dos patas a cada animal, una vez que todos tienen sus dos patitas, el excedente se sigue repartiendo hasta completar 122 patas.Sin embargo, quien resuelve un problema por el método icónico no es consciente de las opera-ciones involucradas en su razonamiento, mien-tras que quien lo resuelve de forma aritmética basa todo su razonamiento en los números.

Es interesante que si se muestra una solución de este tipo a un grupo de secundaria, no todos siguen el razonamiento, pero si previo a esta forma de solución se trabaja la icónica, prácti-camente todo el grupo sigue el razonamiento. Parece ser que el proceso de reparto en la forma icónica sirve de soporte a los alumnos para en-tender el proceso en forma aritmética.

Forma tres: solución tabular.Aunque las dos formas de solución anterior se presentan con frecuencia, el método más común que usan los alumnos es el de prueba y error, por ejemplo pueden dar soluciones como 30 cone-jos y 1 gallina. Es cierto que con esta solución se obtienen 122 patas, pero sólo hay 31 cabezas. Al hacerles notar esto, intentan cosas como 30 co-nejos y 9 gallinas.En este caso, cuando están explorando, es fácil ayudarlos a ordenar estos intentos equivocados en una tabla para obtener la solución.

La tabla podría ser de la siguiente manera:

2


Conejos Total de patas

20 19 39 80 38 118

En muchos de los casos, la exploración de los alumnos comienza a la mitad (son 39 animales, la mitad es 19.5, pero como no hay medios animales, se intenta con 20 y 19)

Haciendo un segundo renglón tenemos:

Haciendo un intento más:

Esta forma de solución, a la que llamaremos tabular, aprovecha los intentos de prueba y error realiza-dos por los alumnos y los sistematiza convirtiéndolos en una exploración. Esta forma de solución es, desde nuestro punto de vista, la que más útil nos resultará en secundaria.

Analicemos el procedimiento que realizamos para obtener los números con los que llenamos las co-lumnas de la tabla. Podemos ver que en las dos primeras siempre se tuvo el cuidado de que sumaran 39.

Gallinas Total de animales Patas de conejo Patas de gallina


20 19 39 80 38 118


21 18 39 84 36 120


20 19 39 80 38 118


21 18 39 84 36 120

22 17 39 88 34 122


20 19 39 80 38 118


21 18 39 84 36 120

22 17 39 88 34 122

Conejos + Gallinas = 39



20 19 39 80 38 118


21 18 39 84 36 120

22 17 39 88 34 122

Al analizar la tabla, también podemos observar que la columna “patas de conejo”, la obtuvimos multiplicando por cuatro el valor que aparece en la columna “conejos”

Conejos

De manera similar, la columna “patas de gallina”, la obtuvimos multiplicando por dos el valor que aparece en la columna “gallinas”


20 19 39 80 38 118


21 18 39 84 36 120

22 17 39 88 34 122

Los valores de la columna “total de patas”, se obtienen sumando los valores de las columnas “patas de conejo” y “patas de gallina”. Además, sabemos que terminamos al obtener 122.

4 x conejos

Gallinas 2 x gallinas


20 19 39 80 38 118


21 18 39 84 36 120

22 17 39 88 34 122

4 x conejos + 2 x gallinas = 122

Las expresiones que obtenemos al analizar el procedimiento utilizado en el llenado de las columnas son:

Conejos + Gallinas = 39 4 x conejos + 2 x gallinas = 122


Si en lugar de las palabras completas, usamos solamente iniciales, las expresiones serán:

4c + 2g =122C + g =39

Que es el sistema de ecuaciones correspondien-te al problema.

La solución tabular aprovecha el procedimien-to de prueba y error de los alumnos. En caso de que los números con los que se está proban-do no den la solución correcta, simplemente se hace otro intento y se llega al resultado por aproximaciones sucesivas. La tabla simplemen-te se encarga de organizar los intentos de los alumnos. Debido a que el proceso que se realiza en el llenado de cada fila es repetitivo, podemos analizar las operaciones realizadas en cada co-lumna. A partir de la descripción de estas opera-ciones podemos obtener las ecuaciones.

Forma cuatro: Solución algebraica.Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de sumas y restas, tenemos la siguiente secuencia de pasos

Multiplicando la segunda ecuación por –2.

4c + 2g = 122c + g = 39

Al sumar las dos ecuaciones

4c + 2g = 122-2c -2g = -78

Dividiendo ambos lados entre 2

4c + 2g = 122-2c -2g = -782c = 44

2c2

= 442

= 22

Sustituyendo el valor de c

22 + g = 39g = 17

Comparemos esta solución con la solución de tipo aritmético:

39 x 278

4c + 2g = 122-2c -2g = -78

122 - 78 44

4c + 2g = 122-2c -2g = -782c = 44

39 - 22 = 17

22 442

2c2

= 442

= 22

22 + g = 39g = 17

Puede observarse que en ambos casos, los pa-sos son exactamente los mismos.

¿Cómo aprovechar estas diferentes estrate-gias en la enseñanza de las matemáticas?Todos los métodos de solución mostrados son correctos, sin embargo existen maestros que sólo aprobarían a un alumno que utilizara el método algebraico.Cada forma de solución analiza el problema desde diferentes puntos de vida, por lo que resulta útil mostrar todas ellas a los alumnos. Las diferentes soluciones presentan diferente grado de abstracción y de representación. Las representaciones más sencillas pueden ser usa-das como escalones que faciliten al alumno la comprensión de las más complejas.

Desde nuestro punto de vista, rara vez se apro-vechan los primeros tres métodos de solución. Los maestros solemos saltar las primeras for-mas de solución y pasamos directamente al


método algebraico.

Relación entre las diferentes formas de solu-ción y la propuesta de CIMEEn CIME, consideramos que la construcción de conocimiento matemático pasa por tres eta-pas:

ConcretaEn esta etapa el proceso es comprensible por el alumno, cada uno de los pasos realizados tiene significado. Un ejemplo de esta etapa es la so-lución icónica. Otro ejemplo es el llenado de la tabla: aunque los números son objetos abstrac-tos, cada operación que se realiza para llenar la tabla es comprensible y tiene significado para el alumno.

Verbalización En esta etapa, se describen los procesos realiza-dos. Un ejemplo de esta etapa es la descripción de las operaciones que se realizan para llenar la tabla y sirven para obtener las ecuaciones.Pero la verbalización va más allá de eso. Aunque decidimos conservar el nombre que se le dio originalmente al trabajar con niños de primaria, en realidad la “verbalización” es un proceso de “traducción” entre diferentes formas de escritura, diferentes formas de representa-ción. Por ejemplo, se realiza una verbalización cuando se “traduce” de la solución icónica a la aritmética. Esta “traducción” entre símbolos obliga a “reacomodar” las ideas para adaptarlas a la nueva forma de escritura y permite ver si-tuaciones que antes quedaban ocultas, en este caso específico la forma de solución icónica no permite ver las operaciones involucradas, mien-tras que la forma aritmética permite verlas cla-ramente.

AbstractaEs en esta etapa en donde se trabaja directa-mente con los símbolos, por ejemplo la ecua-ción.

Es importante hacer notar que normalmente, el

proceso de enseñanza del álgebra comienza en la etapa abstracta, saltando las dos etapas pre-vias.

Consideramos que nuestro modelo resulta útil y bastante adecuado a la RES (reforma de educa-ción secundaria) en donde se pide que prime-ro se aprovechen los métodos propios de los alumnos, después se realicen descripciones de los procesos y finalmente, se aprovechen estas descripciones para enseñarles los métodos ex-pertos.ConclusionesConsideramos que es muy importante que como maestros aprendamos a reconocer alter-nativas de trabajo por parte de los alumnos y aprovechemos las características de las diferen-tes representaciones (y estrategias) que utilizan los alumnos para resolver los problemas y en lu-gar de desecharlas por no ser algebraicas usar-las como puentes que permitan dar significado a los procesos algebraicos realizados.Es importante que durante el desarrollo de una clase el maestro ordene las diferentes propues-tas de los alumnos de acuerdo al grado de abs-tracción necesaria en cada caso para facilitar la transición de los alumnos de una etapa de re-presentación a otra.Consideramos que los procedimientos de tipo algebraico son la etapa final del proceso de en-señanza en secundaria y que los procedimien-tos de tipo tabular son una de las principales herramientas para dar sentido al álgebra.


Problemas de Olimpiada

M. en C. César O. Pérez Carrizales

Se tiene un cuadrado cuyo lado mide cua-tro. Dentro de él se dibuja un círculo y dentro del círculo otro cuadrado como se

muestra en la figura. ¿Cuál es el área del cua-drado pequeño?

El problema planteado apareció en una Olim-piada de matemáticas para alumnos de prima-ria. A continuación mostraremos diferentes for-mas de resolver dicho problema.

Solución algebraica

(1) Llamemos x al lado del cuadrado pequeño. Como el área se calcula multiplicando los lados del cuadrado, el valor buscado es x2.

x

x

(2) El diámetro del círculo es igual a la longi-tud del lado del cuadrado mayor (cuatro uni-dades), por lo tanto, la diagonal del cuadrado menor mide 4.

x

x

(3) Al unir las observaciones (1) y (2) obtenemos la siguiente figura

(4) Aplicando teorema de Pitágoras, tenemos:

x

x

4

x2 + x2 = 16

Por lo tanto el área es 8.

2x2 = 16

x2 = 162

= 8

Segunda forma de solución algebraica(1) Llamemos x al lado del cuadrado pequeño. Como el área se calcula multiplicando los lados del cuadrado, el valor buscado es x2.

x

2

2


(2) El diámetro del círculo es igual a la longitud del cuadrado mayor (cuatro unidades), por lo tanto, la diagonal del cuadrado menor mide 4 y cada uno de los radios marcados mide 2.

(3) aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos

Ambas formas de solución son correctas, pero utilizan varias herramientas que la dejan fuera del alcance de alumnos de primaria (y de una gran cantidad de alumnos de secundaria). No olvidemos que este problema fue planteado en un concurso de primaria.A continuación veremos algunas formas de so-lución que estan más al alcance de los alumnos de niveles iniciales.

Soluciones usando geoplano.Veamos algunas soluciones alternativas que re-quieren sólo conocimientos de primaria.

22 + 22 = x2

4 + 4 = x2

8 = x2 por lo tanto el área es 8.

Para construir un cuadrado en un geoplano debemos dividir la circunferencia (24 separa-ciones) entre 4, obteniendo que cada lado del cuadrado debe abarcar 6 separaciones entre pivotes.

Al rotar el cuadrado pequeño obtendremos las siguientes figuras.

Entonces, el problema se convierte en encontrar el área del cuadrado que toca los puntos medios del cuadrado exterior.

A partir de esta transformación del problema analizaremos diferentes formas de solución.

Conteo de cuadrados unitariosSi trasladamos el problema al geoplano rectilí-neo podemos cuadricular y contar directamente el área cubierta.

Esta forma de solución utiliza el concepto de área en su forma más básica.

Fig. 1


Al multiplicar este valor por 4, obtenemos el área total de la figura.

Una variación de este método consiste en qui-tar los 4 triángulos de las esquinas al área total del cuadrado.

Solución usando área del triángulo

El cuadrado interior está formado por cuatro triángulos. Calculando el área de cada triángu-lo, tenemos:

A= = 22 x 2 2

La figura que se forma es un rombo, con dia-gonales que miden lo mismo que los lados del cuadrado original.

Aplicando la fórmula del área del rombo, ob-tenemos:

Solución usando área del rombo

A= = 84 x 4 2

Solución con fracciones

Como el lado del cuadrado es 4, el área es 16.Si dividimos la figura como se muestra en la fig. 4, podemos ver que está formada por 8 trián-gulos del mismo tamaño, por lo que cada trián-gulo tiene un área de 2 unidades.

Traslado de triángulos Consiste en trasladar las áreas como se mues-tra en la figura (fig. 5).

Ventajas del uso del geoplano en este tipo de problemas.No es nuestra intención decir que alguna for-ma de solución sea mejor a las otras. Todas

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

Como la figura que buscamos está formada por 4 triángulos, su área debe ser 8.Una variación de este razonamiento es que la figura total está formada de 8 triángulos, el área que me interesa consta sólo de 4 triángu-los, es decir, es la mitad del área del cuadrado original, por lo tanto es 8.


ellas son herramientas a las que puede recu-rrir el maestro para explicar los problemas a los alumnos. Cada una de ellas permite analizar el problema desde un punto de vista diferente y el uso de varias de ellas en el salón de clase permi-te que el alumno relaciones conocimientos que de otra forma parecerán aislados y sin ninguna relación entre ellos.

Reconocemos que el mejor maestro es el que puede enseñar “varias formas de resolver un problema”.Las formas de solución algebraicas permiten que el alumno desarrolle pericia en el manejo de herramientas como el teorema de Pitágoras y el álgebra.

Si bien, las soluciones geométricas mostradas no son exclusivas del trabajo con geoplano, el uso de éste facilita la aparición de ideas que in-volucran movimiento de las figuras, en este caso específico la rotación. Mientras que las matemá-ticas están llenas de ideas muy dinámicas como la rotación, herramientas como el lápiz y papel, con las que construimos figuras estáticas, difi-cultan el surgimiento de procesos en donde es necesario realizar movimientos de las figuras.

Obsérvese que la idea de rotación también fue usada para la solución por medio del teorema de Pitágoras; en ella, fue necesario girar el diá-metro para obtener la diagonal del cuadrado.Las figuras geométricas, una vez dibujadas en el pizarrón, no permiten su modificación. Y aunque una figura dibujada en un cuaderno puede gi-rarse, algunos maestros prohíben que el alumno mueva el cuaderno para usarlo en una posición diferente a la tradicional.

La naturaleza física del geoplano, su forma de uso, motiva que constantemente se esté giran-do, lo que facilita la visualización de la imagen desde diferentes direcciones. Además el movi-miento de ligas facilita visualizar la transforma-ción de figuras.

Le sugerimos permitir el uso del geoplano y los cuadernos de registro como una herramienta más en el salón de clase, de igual manera que se usan el lápiz, el cuaderno de cuadrícula o la calculadora, permitiendo que el alumno decida en qué momento puede utilizar alguna de las herramientas. La idea no es que el geoplano se vuelva una herramienta indispensable para el alumno, sino que éste desarrolle estrategias de transformación de figuras que puedan ser tras-ladadas al trabajo con lápiz y papel.


Mi experiencia como profesora en el ni-vel medio superior me ha permitido reconocer las fortalezas y debilidades

de los alumnos al llegar a este nivel. Si bien es cierto que el filtro del examen de selección permite tener a los alumnos con mejores re-sultados, se encuentran verdaderos problemas académicos en cuanto a conocimientos y a habilidades básicas. La primera pregunta que en general nos hacemos los docentes es: ¿cuál es la institución o las instituciones que los han formado, que han permitido un perfil de egreso tan bajo? pero poco reflexionamos sobre la metodología que opera en esos planteles. Cuando por el contrario, encontramos alumnos que nos sorprenden por su alto nivel académico y de habilidades básicas, tampoco reflexionamos sobre la meto-dología que han usado para lograr es-tos resultados. Por estas razones el pre-sente artículo parte de la necesidad de encontrar la relación que hay entre la metodología usada por los docentes y las competencias desarrolladas por sus alumnos (conocimientos, estrategias, habilida-des y actitudes).

Alexei Tenorio es un alumno del 6º grado en la Unidad Pedagógica Juan Jacobo Rou-

Alexei Tenorio, alumno de la Unidad Pedagógica Juan Jacobo Rousseau participa en Torneo Internacional de Robótica RoboCup 2008 en China

Ing. Leticia Cerda GarridoCoordinadora del Club de Robótica e InformáticaUNAM-CCH Azcapotzalcocon la colaboración de la Lic. Gabriela Aguilar Rubio

sseau. Cuando cursaba el 3º la escuela inicio una transformación sustancial: cambio su me-todología tradicional al modelo constructivista, para fortalecer básicamente las dos asignaturas instrumentales: español y matemáticas. Para la instrumentación de la matemática constructi-

vista el Colegio se puso en contacto con el Profr. Ricardo Chimal del CIME (Centro de Investigación de Modelos Educativos), el cual a través de cuatro líneas de acción permanentes: actua-lización docente, trabajo en grupo con los alumnos, seguimiento y evaluacio-nes permanentes ha logrado en sus alumnos resultados como el de Alexei Tenorio. Para el trabajo que yo realizo en UNAM-CCH Azcapotzalco y el proyecto de ro-bótica, el desarrollo de la matemática constructivista me permitió encontrar en Alexei, un alumno con habilidades de pensamiento lógico matemático poco comunes en los jóvenes que egresan de primaria en nuestro país: análisis, reflexión, cálculo, clasificación,

inducción, deducción, generalización, etc. Estas habilidades permitieron a Alexei desarrollar un proyecto que lo hizo merecedor de participar en el torneo de robótica ROBOCUP 2008 en la ciudad de Suzhou, China, y tomar parte en otras

• Hace equipo con alumnos de bachillerato gracias al impacto positivo que la Matemáti-ca Constructivista del CIME ha tenido en su perfil de egreso.


competencias tanto de informática como de ro-bótica, como son la Olimpiada de Informática, la Feria de las Ciencias y la Olimpiada de Robótica, en las cuales además de construir y programar robots, ha tenido pruebas de lógica matemática y presentaciones en inglés de su proyecto.

Alexei Tenorio comenta sobre su acercamiento a la robótica:

“Hace un año fui al ROBOCUP 2007 a Atlanta, Estados Unidos, allí entre en contacto con este mundo tan fascinante que es la robótica, fue por ello que me integré a los cursos que se llevaron a cabo de septiembre a diciembre del año pa-sado en el Laboratorio de Biorrobótica de la Fa-cultad de Ingeniería de la UNAM, exclusivo para los alumnos que fuimos a Atlanta, con el fin de construir un robot móvil, ya que los robots de LEGO que llevamos a la competencia fueron dañados por robots de otros países, porque no eran de plástico, sino de metal. La experiencia de construir mi propio robot, me motivó a pre-pararme para la Olimpiada de Informática, ya que me dijeron que necesitaba mucha prepara-ción y buen desempeño en estos eventos para poder calificar a la Primera Olimpiada de Robó-tica del Bachillerato. Afortunadamente me fue muy bien, ya que pude resolver fácilmente las pruebas de lógica matemática gracias a los co-nocimientos que la metodología del CIME que se lleva en mi colegio me ha proporcionado. En cuanto a la Olimpiada de Robótica, logré califi-car para el ROBOCUP gracias a la programación de mi robot, pero sobre todo a mi presentación en inglés, ya que la defensa del proyecto se hace ante un jurado extranjero y ese conocimiento del inglés, también se lo debo a la Juan Jacobo. He aprendido mucho, pero sé que me falta mu-cho más; esta área de robótica me encanta por-que me ha dado herramientas para mis otras materias y deseo poder tener la experiencia de ir a China porque se que pondré en alto no sólo a mi colegio sino también a mi país”.

Alexei forma parte del equipo que participará

en el RoboCup Junior en la Categoria de Danza en la que no sólo tienen que ver la ciencia y la tecnología sino también la cultura, ya que de-ben presentar un performance para el cual tanto ellos como los robots van caracterizados con al-gún tema alusivo a su país.Participar en un evento internacional, que si bien resulta interesante y meritorio, no es lo más relevante; lo mejor es que Alexei Tenorio junto con sus compañeros de la escuela son alumnos que se están preparando para apren-der e interactuar en su futuro con altas posibi-lidades de éxito.

Me gustaría que quienes lean este artículo, so-bre todo si son docentes, se preguntaran dónde se encuentra el punto nodal de la construcción de la calidad educativa, y asumir que es en la metodología. Y decidieran fortalecerla a través de instancias de formación docente e investiga-ción, como el CIME, que permiten acompañar este proceso de mejora de la práctica docente y de la calidad educativa.

Delegación mexicana que participara en RoboCup 2008 en China con el Director General del CCH-UNAM y el Secretario de Informática

Mexican RoboDancer Team que presentara una Danza Azteca del 14 al 20 de Julio en el RoboCup 2008 en China


Juegos con la decena

Profra. Ma. de los Ángeles RojasColaboradora del CIME

Maestra: El antecedente fundamental de las sumas y restas de transforma-ción es el dominio del concepto de

decena.

Según Piaget, para lograr verdaderos aprendi-zajes es necesario generar situaciones que él llama: “ conflictos cognitivos “, que permitan al alumno descubrir el camino para llegar al resul-tado correcto por sí mismo.

Te comparto algunos ejercicios que han dado muy buenos resultados.

1 La maestra pide a los niños que hagan uso de un diseño libre usando muchas regletas blancas, rojas y verde claro.

Cuando terminan su diseño, la maestra pregun-ta: ¿Cuánto vale en total esta “casita” que hiciste? (de acuerdo al valor de cada regleta, el niño calcula el total de su construcción, haciendo la suma; seguramente el niño se perderá en el cál-culo). La maestra hace la misma pregunta a varios niños, y cuando ve que están en duda sobre el resultado, puede preguntar si alguien sugiere una forma de sumar más segura. Si no hubiera respuesta, la maestra sugiere hacer trenes que valgan 10, usando como medida una regleta naranja.

Así los niños formarán todos los trenes posibles dejando al final las regletas que sobren.

La maestra escribe en el pizarrón dos columnas:

una para unidades y otra para decenas. Hace un breve recordatorio de lo que es la decena y pregunta: ¿cuántas decenas formaste?, ¿cuántas unidades te sobraron? Anota en la columna res-pectiva qué cantidad se formó.

Pide el resultado de la suma a 5 niños anotan-do las respuestas para leer las cantidades. Se les pide que ordenen las cantidades de mayor a menor, siempre con la siguiente verbalización:

“5 decenas y 3 unidades forman la cantidad de 53, cincuenta y tres”.

Este ejercicio también sirve de antecedente para formar la centena de la misma manera.

2 Dictado de cantidades: Utilizando la hoja de 2 columnas; una para unidades y otra para decenas, la maestra pide que los niños saquen sólo regletas naranjas (decenas) y blancas (uni-dades). Los niños formarán las cantidades que pida la maestra usando únicamente las regle-tas naranjas y blancas. Ejemplo: Número 42. ¿cuántas decenas tie-nes? ¿cuántas unidades?

Después se lleva a cabo el ejercicio contrario: Pido 4 unidades y 3 decenas y pregunto: ¿qué cantidad se formó? Los niños pueden partici-par dictando cantidades.

3 Juego de Quita y Pon con decenas.Sobre la hoja de 2 columnas la maestra dicta una cantidad inicial. Ejemplo: 45. Revisa que todos la tengan correctamente y entonces em-


pieza a pedir: Pon 2 decenas. Ahora, ¿cuánto es? Quita 3 unidades. ¿Qué cantidad tenemos ahora? Y así va pidiendo que quiten y pongan unida-des o decenas, siempre preguntando qué can-tidad se formó.

Los niños pueden participar en el juego dictan-do las decenas y unidades que se agregan o se quitan.

4 Una vez que los niños ya dominan este jue-go, es hora de proponer nuevos retos para en-trar en el “JUEGO DEL CAMBIO”:

Teniendo el 48 formado con regletas, la maes-tra dice: pon 5 unidades. Los niños gritan: “¡CAM-BIO!”, pues pueden formar otra decena “cam-biando” 10 blancas por una naranja. ¿Cuánto hay ahora? Son 5 decenas y 3 unidades. De esta forma se ejercitan en el “cambio”, que es la pre-paración para la suma de transformación.

Teniendo una cantidad inicial, ejemplo: 52, la maestra dice: “Quita 5 unidades”, los niños gri-tan: “¡CAMBIO!”, pues tendrán que cambiar una decena por 10 blancas para poder quitar 5 uni-dades. “¿Cuánto hay ahora?” “Quedan 4 decenas y 7 unidades”.Este ejercicio los prepara para la resta de trans-formación. Cuando ya dominan los dos tipos de ejercicios, la maestra dice: “esto que hacemos con las regletas se escribe así”..., haciendo una conexión entre la acción y la operación.

Es muy importantea dedicar tiempo para estos juegos antes de llegar a los algoritmos de las sumas y restas de transformación. El niño domi-nará el concepto y el uso de la decena al com-poner y al descomponer cantidades.

Maestra: Aproveche todas las oportunidades para que los niños hagan sumas y restas apli-cando los cambios. Contar niños, sillas, cuader-nos, colores, semillas.

Nombre del juego: Alto numéricoMateriales: regletas y círculos de coloresNúmero de participantes: 1 hasta n participantesGrados: a partir de primer grado.

Reglas del juego:1. Alzar la mano y decir: “¡patas en la barriga!”2. Decir: ”¡alto numerico!”3. Mantener la calma y permanecer en su lugar.4. Tener sus regletas en orden cada vez que co-mience la elaboración de un nuevo número.

PROCEDIMIENTO:Se colocan las regletas de forma de escalera; se les da un tiempo a los alumnos para que las or-ganicen. Ya ordenadas, el maestro da la orden, que es: “¡MANOS ARRIBA!” Ellos tienen que con-testar: “¡PATAS A LA BARRIGA!” Se anota el nú-mero en el pizarrón y cuando la maestra diga “¡YA!” bajan los brazos y empiezan a formar la cantidad dada en un tren o en notación desa-rrollada.El primero que termine dice: “¡ALTO NUMÉRICO!”. El maestro anota en el pizarrón los nombres de los alumnos que terminaron primero, se verifica y se les entregan puntos de colores; el niño que logre tener más puntos será el ganador.Opcional: Que registren cada notación desarro-llada para garantizar el aprendizaje.

Juego: “Alto numérico”

Profra. Vania Yelenia DíazColegio Xail, Campeche.

Curso de


Preocupados por el desarrollo armónico de los estudiantes, en el CIME hemos implementa-do un Curso de Acuarela que ponemos a su

consideración. Las ventajas que ofrecen el arte y las activida-des artísticas a los niños son muchas más que aprender sólo una técnica. Con el arte, los niños aprenden a expresarse por sí mismos, aumen-tan su capacidad de observación e imaginación y desarrollan aspectos de vital importancia para el afianzamiento de su personalidad infantil y de su seguridad personal. Con este curso, pre-tendemos además que los alumnos aprendan a observar y a desarrollar el sentido del tacto, ya que la textura del papel acuarela profesional que usamos lo permite. Podrán indagar la capa-cidad que tienen los colores para expresar sen-timientos.

Será una magnífica oportunidad para comenzar a apreciar la belleza que puedan generar ellos mismos por más incipiente que ésta sea.

Primera etapa:El niño pintará dibujos previamente trazados.

Adaptándonos a la generalidad de los intereses de los niños, proponemos en una primera etapa no obligar al niño a comenzar por el dibujo, para que pueda ingresar directamente a la agra-dable experiencia de crear efectos con el agua y los colores. Pretendemos ofrecer un curso in-cluyente, donde no sólo está invitado el alum-no cuyas habilidades para el dibujo ya han sido potenciadas, sino aquel niño que aún ignora su sensibilidad hacia las artes plásticas por creer que no es apto para el dibujo. Estamos seguros que esta habilidad generará la necesidad de crear dibujos originales diseña-dos por ellos mismos en una segunda etapa. Creemos que este curso ayudará a los estudian-tes a expresarse mejor, a desarrollar emociones, creatividad y destrezas artísticas. El dominio de la línea, espacio y color son apren-dizajes geométricos que tienen que ver con la propuesta del CIME en la Matemática Cons-tructiva. Pintar de esta manera será una nueva experiencia y un momento de entretenimiento creativo con muchos valores agregados; entre los más importantes estará el desarrollo de la estética y del campo espacial del cerebro.

Curso de

para alumnos de 5o de primaria en adelante.

La observación del DVD donde el artista re-suelve los problemas pictóricos será un exce-lente ejercicio de corrección de atención dis-persa, ya que en el CIME siempre hemos creído que este problema más que ser del niño, es por falta de interés con que provocamos nuestras opciones de conocimiento.


Nuestros materialesHemos diseñado un estuche completo cuya es-tructura será el godete, o recipiente de pinturas para hacer las mezclas. El espacio de este reci-piente da cabida a una bolsa con doce hojas de papel acuarela de 190 grs., los cuales irán previamen-te impresos con dibujos seleccionados. El estuche contiene además un juego de acuarelas y un pincel especial para este apren-dizaje.

El elemento pedagógico que conducirá esta experiencia será un DVD, en donde el maestro Luis Eduardo González, tri-ple ganador del Premio Nacional de Acuare-la, irá paso a paso pintando y explicando cada dibujo. De esta manera el maestro(a) será el ani-mador de este proyecto, siendo el responsable de activar o parar el lector de DVD según el mo-mento de avance de los alumnos.

El CIME ofrece un DVD sin costo que será usado por el maestro (a) del grupo. Estamos seguros de que esta experiencia será de inapreciable valor peda-

gógico y una excelente motivación para la cul-tura artística de los niños.

Profr. Francisco Gutiérrez,Director del CIME

Constitución 397 Col. Analco, Guadalajara, Jal. C.P. 44450

Tels. (0133) 3618 - 1378, 3126 - [email protected]

www.cimeac.com


Disfraces

Brenda Guadalupe Méndez García

Erick Noé Zermeño

Susana Peña Rodríguez

Fernanda Joselin Pérez Cabello

Dení Paulina Núñez Vega

Alejandro Mata Hernández

Disfraces del Producto 42Alumnos de 5o “A”, Colegio Leona VicarioLagos de Moreno, Jalisco.

Disfraces del número 7Alumnos de 1o a 3er grado, Instituto Anglo Moderno Mazatlán, Sinaloa.

Andrea Rodríguez Chano

Claudia María Tirado Zatarain

Saif

José Miguel Velasco Aguilar

Karime

Juan Pablo Castro García

Samanta

Como siempre, felicitamos a los maestros (as) y alumnos que nos los han enviado.


Víctor Adrián Valdés Pérez

Pamela Melissa Fernández Rodríguez

Disfraces Alumnos de 6o “B” , Colegio Nueva EspañaZapopan, Jalisco.

Oscar Andrés Gallardo Gutiérrez

1 =

4 =

25 =

110 =

5 =

15 =

Fernanda López Solano

40 =

96 =

71=

35=

88=

Sofía Lorena Hernández

7 =

496 =

10 =

20 =

3 =

92 =

105 =


Disfraces Alumnos del Instituto Canadiense Clarac, Distrito Federal

Luis Arturo, 1o c

José Pablo, 1o c

Marisol, 1o c

Ricardo Solares Villanueva, 1o c

Ángel, 1o c


Ángel, 1o c

Montserrat Bello Bonilla 2o c

Dulce Mariana Rosales Flores 1o A

Fernanda Hernández Salinas 2o c

Karla Adriana Reyes Becerril, 4o A

Paulina Jiménez, 4o A

Problemas hechos por los alumnos del Instituto Canadiense Clarac, Distrito Federal


Daniela Sánchez Orta, 2o c

Diego Leonardo García , 4o A

Natalia Nieto Muñoz, 1o de Secundaria, grupo A.

ProblemasAlumnas del Instituto del Bosque, SecundariaDistrito Federal

Sandra de Ita Lozada, 1o de Secundaria, grupo A.

Natalia Nieto Muñoz, 1o de Secundaria, grupo A.


Disfraces Alumnos de 6o B, Maestra IsabelColegio Margil - Zapopan, Jal.

Chrtistian González Aguilar

Arturo Adolfo Gallardo Carvajal

Aldo Sebastián Castañeda Torres

Mauro Donaldo Saucedo Plascencia

Alexis Samuel Gómez Chávez

Documents

CIME - Revista Correo Pedagógico 16