Cinemàtica II:ESTUDI DELS MOVIMENTS

1- CONCEPTE DE MOVIMENT2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU)

3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA)3.1- Moviment vertical dels cossos

4-COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS4.1- Composició de dos MRU perpendiculars

4.2- Moviment parabòlic

5-MOVIMENT CIRCULAR5.1--Moviment circular uniforme (MCU)

5.2--Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

Sistema de referència: un punt o un conjunt de punts respecte dels quals descrivim el moviment d’un cos, que considerem fixes en l’espai.

Un objecte està en moviment respecte un sistema de referència determinat quan la seva posició respecte d’aquest sistema varia amb el temps; en cas contrari, diem que està en repòs.

El moviment és relatiu, ja que l’estat de moviment o de repòs d’un cos depèn del sistema de referència adoptat. No existeix el moviment absolut.

1-CONCEPTE DE MOVIMENT

La trajectòria és recta i la velocitat és constant (en mòdul i direcció)

ttxx

txv

0

0

--

x= x0 + v (t - t0)

xxx 0-∆x= desplaçament, x0= posició inicial

2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU)

x= x0 + v t

Quan to=0

x= v · t

)0t-(t vx

Un mòbil surt d’ un punt situat a una distància

de dos metres respecte l’ origen de coordenades

i porta una velocitat constant de 5 m/s.x = x0 + v ⋅ t → x = 2 + 5t

La gràfica x-t és una línia recta que talla a l’eix d’ ordenades en la posició inicial (x0).

La gràfica v-t és una línia horitzontal, paral·lela a l’eix de abscisses, que talla a l’eix d’ordenades

en el valor de la velocitat del mòbil.

Representació gràfica del MRU a partir de l’equació

Valor de la posició inicial

x0 = 92,5 m

Per trobar la velocitat, ens fixem en els valors de temps i posició (t, x) de dos

punts de la línia i apliquem l’expressió de la velocitat:

x2 – x1

t2 – t1 10 – 2

30 – 80= – 6,25 m/s= v =

L’equació del MRU corresponent a la gràfica és:

x = x0 + v t →Pendent de la recta. Inclinació

Equació d’un MRU a partir de la gràfica

x = 92,5 − 6,25 ⋅ t

Sabadell Barcelona20 km

Joan Pere

v = 10 m/s v = -8 m/s

1. Elegim un origen del sistema de referència.

x0 = 0 m x0 = 20 000 m2. Elegim un origen de temps

Surt a les onze en punt Surt a les onze i deu

to = 0 to= 600 s

3. Plantegem les equacions de moviment de cada corredor

x = 10 t x = 20 000 – 8 (t-600)

10 t = 20 000 – 8 (t-600) 10 t + 8 t = 20 000 + 4800 18 t = 24 800 t = 24 800/18 = 1377,8 s

1377,8 s = 23 min 4. La posició a la que es troben és

x = 10 t = 10 · 1377,8 = 13 778 m = 13,8 km de Sabadell A les 11 h 23 min

Moviment de 2 mòbils

x= x0 + v (t - t0)

El moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) és un moviment on la trajectòria és una línea recta i l’ acceleració és constant.

Equació de posició Equació de velocitat

Acceleració tangencial

3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA)

La trajectòria és recta i l’acceleració és constant (en mòdul i direcció)

v = v0 + a (t - t0)x = x0 + v0 (t t0) + a (t t0)2 21

tv

tv

tva

0

0

--

v = v0 + a t Quan to=0

x = x0 + v0 t + a t 2 21 Quan to=0

v2 = v0 2+ 2a (x - x0)

Un mòbil es mou en línia recta des d’un punt situat a 2 metres de l’origen amb una

velocitat inicial de 3 m/s i una acceleració constant de 2 m/s2.

x = x0 + v0 t + 1/2 at2

La gràfica v-t serà:x = 2 + 3 t + t2

v = 3 + 2 t v = v0 + at

Representació gràfica del MRUA

Representació gràfica del MRUA

En ambdós casos, l’acceleració “g” és de -9,8 m/s2.

MRUA

Quan baixa, la seva velocitat és cada cop més negativa, es a dir, el seu mòdul augmenta, però el

seu signe és negatiu, ja que el mòbil

va cap avall.

v0 < 0

v0 > 0 vf = 0

Quan llancem un cos cap amunt, la seva velocitat disminueix en mòdul fins

que es fa zero.

Equacions del moviment de caiguda

lliure:

3.1-Moviment vertical dels cossos

y = y0 + v0 (t - t0) - 9’8 (t - t0)2 21

v= vo- 9’8 (t – t0)

y = y0 + v0 t - 9’8 t 2 21

Quan to=0

v= vo- 9’8 t

Quan to=0v2 = v0 2 - 2· 9’8 (y - y0)

3.1-Moviment vertical dels cossos

Moviments en dues dimensions. Són moviments compostos i són la combinació de 2 o més moviments simples.

•Cal distingir els moviments simples components, i veure de quin tipus són (MRU o MRUA).•Aplicar a cada moviment les seves equacions.•Obtenir les equacions del moviment compost

Cal treballar amb vectors :

Un vector és un segment orientat que consta dels següents elements: Mòdul és la longitud del vector, es a dir, del segment AB. Es denota per o v.

Es denomina vector unitari al que té mòdul 1. Direcció és la de la recta r que conté el vector. Indica la seva inclinació. Sentit, indicat per la fletxa. (des d’A fins a B) Punt d’aplicació, punt on comença el vector

v

4- COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS

Una barca que pretén creuar un riu perpendicularment a la riba.El moviment real de la barca està compost per:

MRU perpendicular a la riba, a causa de l’esforç del remerMRU paral.lel a la riba, degut al corrent del riu

Vector velocitat →→→jyv+ixv=v 2

y2x v+v=v

Vector posició

→→→jy+ix=r

22→

y+x=r

Trajectòria

x= vx t

y= vy t

xvv

=yvx

v=yvx

=tx

y

xy

x→

4.1- Composició de dos MRU perpendiculars

Una pilota de futbol llançada cap a la porteria.La trajectòria és parabòlica. El moviment està compost per dos moviments simples:

Eix Horitzontal: MRU de velocitat vx constantEix Vertical: MRUA amb velocitat inicial v0y cap amunt

VoX = V0. cos

V0Y = V0. sin

V0Y

V0X

V0

Equació de la velocitat

vx=vox= constant

vy= voy- g (t – t0)2y

2x v+v=v

Inicialment

4.2- Moviment parabòlic: composició de dos moviments, un MRU u l’altre MRUA.

X

V0

Y

abast

r

y0

V

alçada màxima

V0x

V0y

Equació de la posició

x= xo+ v0x (t – t0) MRU

y = y0 + v0y (t - t0) - g (t - t0)2 21 MRUA

→→→jy+ix=r

22→

y+x=r

Temps de moviment: Temps total que el mòbil està en moviment. Quan el mòbil arriba a terra. y=0

Abast: Distància horitzontal que recorre el mòbil.

Substituïm el temps de moviment en l’equació de x

Alçada màxima:

vy=0

moviment parabòlic (cont.)

Trobem t i el substituïm en l’equació de y

y=0

moviment parabòlic (cont.)

Descomposició del vector velocitat en el tir parabòlic

Un moviment és circular quan la trajectòria d’un mòbil és una circumferència.

Quan el disc gira un angle (es llegeix «fi»), els tres punts A, B i C es

desplacen fins les posicions A', B' i C'.

A B C

A’B’

C’

r = radi

φ = angle

s =arc

Quan l’angle recorregut es mesura en radiants, la relació entre l’angle (ϕ) i

l’espai lineal (s) que descriu el mòbil és:

arc = angle radi⋅

5- MOVIMENT CIRCULAR

s = ϕ ⋅ r

φ

s

5-Velocitat angular

Velocitat angular mitjana, m: quocient entre l’angle girat, ∆, i el temps recorregut. (rad/s)

Velocitat angular instantània, : velocitat angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. (rad/s)

0

0

--tttm

t=

Quan ∆t0

tR

=ts

R=s ∆s= longitud d’arc∆= angle (en radiants)

R=v

Quan la roda d’una bicicleta gira amb MCU, tots els punts del radi tenen la mateixa velocitat angular, ja que recorren angles igual en el mateix temps.Però com més allunyat del centre és el punt, més gran la distància que recorre, i en conseqüència, major la seva velocitat lineal.

5-Relació entre velocitat angular i velocitat lineal

Acceleració angular mitjana, m: quocient entre la variació de la velocitat angular , ∆, i el temps recorregut. (rad/s2)

Acceleració angular instantània, : acceleració angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. (rad/s2)

Quan ∆t0

0

0

--tttm

t=

5-Acceleració angular

Després demostrarem que:

R=at

Moviment en què un mòbil descriu una trajectòria circular amb velocitat angular , , constant.

El mòdul de la velocitat lineal, és constant, però la seva direcció varia en cada instant. No hi ha acceleració tangencial, però si normal.

R=Rv

=a 22

n 0=at

Equació del moviment:

0

0

--ttt

)( 00 tt

Constant

5.1-Moviment circular uniforme (MCU)

El mòbil descriu una trajectòria circular amb acceleració angular , , constant.

La direcció i el mòdul de la velocitat lineal varien en cada instant. Hi ha acceleració tangencial i normal.

R=Rt

=t

)R(=

tv

=at

quan ∆t0

R=Rv

=a 22

n Variable

Constant

Equació de la velocitat angular

0

0

--ttt

)( 00 - tt

Equació del moviment

= 0 +0 (t t0) + (t t0)2 21 2 = 0 2+ 2 ( - 0)

5.1-Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

∆S(espai en metres)= ∆( angle en rad ) ·R

V(velocitat)= (velocitat angular )·R

at (acceleració tangencial) = (acceleració angular)·R

6-Classificació dels moviments segons l’acceleració

Moviments rectilinisan= 0

Moviment rectilini uniforme (MRU) at = 0

Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) at 0

Moviments circularsan 0 i R = cte

Moviment circular uniforme (MCU) at = 0

Moviment circular uniformement accelerat (MCUA) at = cte

magnitud lineal= magnitud angular · radi

6-Classificació dels moviments segons l’acceleració

x= x0 + v t

MRU

v = v0 + a t

x = x0 + v0 t + a (t)2 21

v2 - v0 2 = 2a x

MRUA

vx=vox= constantvy= voy- 9’8 t

Parabòlic vox = vo. cos voy = vo. sin

x= xo+ vox t MRU

y = y0 + v0y t - 4’9 (t)2 MRUA

trvm

dtd

tvam

dtvda

Rvan

2

dtvd

at

t0

MCU

21

t0

= 0 + 0 t + (t)2

2 - 0 2 = 2 ( - 0)

MCUA

Rs R=v R=at

RR

an2

2

v

dtrdv

dtd

Rat

00

n

t

aa

00

n

t

aa

00

n

t

aa

00

n

t

aa