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Academia Universitaria Guillermo Soler Ingeniería e Idiomas Cinemática y Dinámica

Cinemática y Dinámica - sdfe32cf4086c83a6.jimcontent.com · 1. Movimiento Rectilíneo. Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico). Movimiento rectilíneo

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    -  Ingeniería  e  Idiomas  -

    Cinemática

    y Dinámica

  • Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

    8 609.478.523 609.478.523 1

    1. Movimiento Rectilíneo.

    Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico).

    Movimiento rectilíneo uniforme.

    Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

    2. Componentes Tangencial y Normal (Intrínsecas)

    3. Método de Superposición (traslación más rotación).

    a = dvdt

    = d2xdt 2

    = v dvdx

    v = dxdt

    x = x0 +vt

    v = v0 + at

    x = x0 +v0t +12at 2

    v 2 = v02 + 2a(x − x0)

    O P

    x

    a = at + an ⇒ at = α × r ⇒ at = αr

    an =ω2r

    ⎧⎨⎪

    ⎩⎪v =ω × r

    ω = dθdt

    α = d2θdt 2

    = dωdt

    =ω dωdθ

    x

    y

    at

    an

    αωx

    y

    ω

    r

    v

    vB = vA +vB/A aB = aA + aB/A

    VA

    VBA ω

    VA

    VBVB/A

    AB

    Posición de una partícula en mov. rectilíneo.

    CinemáticaMomentos de inercia de masas.

    Barra Ligera

    Cilindro rectangular

    Disco delgado

    Esfera

    Prisma rectangular

    Cono circular

    Placa rectangular

    delgada

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    x

    y

    zL

    x

    y

    z

    L

    x

    y

    za

    b

    c

    x

    y

    z h

    x

    y

    z

    cb

    Iy = Iz =112mL2

    Ix =12mr 2

    Iy = Iz =112m(3r 2 + L2)

    Ix =12mr 2

    Iy = Iz =14mr 2

    Ix = Iy = Iz =25mr 2

    Ix =112m(b2 + c2)

    Iy =112m(c2 + a2)

    Iz =112m(a2 + b2)

    Ix =310mr 2

    Iy = Iz =35m

    14r 2 + h2

    ⎛⎝⎜

    ⎞⎠⎟

    Ix =112m(b2 + c2)

    Iy =112mc2

    Iz =112mb2

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  • Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

    2 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 7

    z’

    r=rer

    4. Centros Instantáneos de Rotación.

    5. Movimiento Relativo.

    Vabs= velocidad absoluta.

    Varr = velocidad arrastre.

    Vrel = velocidad relativa.

    6. Coordenadas Polares.

    ω =vAAC

    ω =vBBC

    VA

    VA

    VBVB

    AA

    B

    C

    C

    B

    v = ( !r ) er+ (r !θ) e

    θ = (vr ) er + (rω ) eθ = (vr ) er + (vθ ) eθ

    a = (!!r − r !θ 2) er+ (r !!θ + 2 !r !θ) e

    θ= (at − rω

    2) er+ (rα + 2vrω ) eθ

    Per

    θO

    vabs = varr +vrel

    aabs = aarr + arel + acor ⇒ aarr = (aarr )n + (aarr )tarel = (arel )n + (arel )tacor = 2ωarr ×vrel

    ⎨⎪

    ⎩⎪

    Prabs(P ) = rarr (A) + rrel (P /A)

    AO

    rP

    rA

    rP/A

    y

    xz

    x’

    y’

    z’

    Apéndice1. Trigonometría.

    - Razones Trigonométricas

    - Teorema del Seno:

    - Teorema del Coseno:

    2. Álgebra Vectorial.

    - Vector Unitario:

    - Producto Vectorial:

    - Producto Escalar:

    λOE =OE! "!!

    OE= cosθx i

    !+ cosθy j

    !+ cosθzk

    !

    V = P ×Q =i j kPx Py PzQx Qy Qz

    P iQ = PQcosθ

    i × i = 0 j × i = −k k × i = ji × j = k j × j = 0 k × j = −ii × k = − j j × k = i k × k = 0

    i i i = 1 j i j = 1 k i k = 1i i j = 0 j i k = 0 k i i = 0

    Proyección de un vector sobre el eje OE ⇒ POE = P i λOE

    sinα = ac

    cosα = bc

    tanα = ab

    ca

    asinα

    = bsinβ

    = csinγ

    c

    a

    β γ

    c2 = a2 + b2 − 2abcosγc

    ab γ

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  • Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

    6 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 3

    CinéticaVibraciones

    1. Segunda ley de Newton.

    Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es 0, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud resultante.

    definiendo fuerza como

    La velocidad es cte. pero la masa varía con el tiempo:

    Fuerza de rozamiento:

    Equilibrio dinámico se define como:

    2. Ecuaciones de movimiento en coordenadas.

    Intrínsecas.

    Polares.

    Cartesianas

    3. Cantidad de movimiento.

    La resultante de las fuerzas que actúan es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento.

    Cantidad de movimiento angular:

    4. Movimiento Plano de un cuerpo rígido.

    F∑ =ma

    Fr = µma

    F =ma =mdvdt

    F = !mv = dmdtv

    F −ma = 0∑

    Ft =mdvdt∑ Fn =m

    v 2

    r∑

    Fθ =maθ∑Fr =mar∑

    (Fx!i + Fy

    !j + Fz

    !k ) =m(ax

    !i + ay

    !j + az

    !k )∑

    ∑Ft∑Fn

    ∑Fr∑Fθ

    F =ma =mdvdt

    = ddt

    (mv)∑ ⇒ L =mv ⇒ F = !L∑

    Ho = r ×mvH0

    rmv

    MG + [r × (−ma)]+ (−Iα ) = 0∑

    F1 F2

    F3

    ma

    IαG

    1. Vibración Libre.

    2. Vibración Forzada.

    3. Vibración amortiguadas.

    4. Vibraciones forzadas amortiguadas.

    El movimiento del sistema se define mediante la ecuación diferencial:

    La vibración de estado estable del sistema se representa mediante una solución particular de la ecuación de desplazamiento:

    md 2xdt 2

    + c dxdt

    + kx = Pm sinω f t

    xpart = xm sin(ω f t −ϕ)

    Frecuencia Circular Forzada =ω f

    Desplazamiento = δ = kδm sinω f t

    Factor de Amplificación =xmPm / k

    =xmδm

    = 11− (ω f /ωn)

    2

    Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2

    + kx = Pm sinω f tEn función del desplazameinto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ md

    2xdt 2

    + kx = kδm sinω f t

    Periodo = τ n =2πωn

    Frecuencia = f = 1τ n

    Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2

    + kx = 0 Siendo lafrecuencia Natural⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ωn =km

    Nos da⎯ →⎯⎯ d2xdt 2

    +ωn2x = 0

    Desplazamiento ⇒ x = xm sin(ωnt +φ) ⇒φ = ángulo de desfasexm = amplitud

    ⎧⎨⎩⎪

    Velocidad ⇒ vm = xmωn

    Aceleración ⇒ am = xmωn2

    x

    -xm

    xm

    0Equilibrio

    Coeficiente de amortiguamiento = c

    Sobreamortiguamiento ⇒ c > ccAmortiguamiento crítico ⇒ c = ccSubamortiguamiento ⇒ c < cc

    Coef. amortiguamiento crítico ⇒ cc = 2m k /m = 2mωn

    Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2

    + c dxdt

    + kx = 0

    k c

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  • Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

    4 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 5

    5. Principio de impulso y cantidad de movimiento.

    El impulso lineal aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual a su cantidad de movimiento.

    También se puede expresar como promedio.

    6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal.

    Si dos cuerpos no están sujetos a fuerzas externas que no sean las que se ejerzan entre si, su cantidad de movimiento se conserva.

    7.Impactos.

    La cantidad de movimiento debe ser la misma antes y después del impacto.

    Si los cuerpos permanecen adheridos después de la colisión, se trata de un impacto perfectamente plástico. La velocidad resultante viene determinada por:

    8.Impactos centrales.

    - Central directo:

    - Central oblicuo:

    F dt∑ =mv2 −mv1t1t2∫

    (t1 − t2) Fmedia =mv2 −mv1∑

    v =mAvA +mBvBmA +mB

    mvA +mvB = cte.

    A

    BFAB

    FBA

    mAvA +mBvB =mAvA' +mBvB

    '

    e =vB' −vA

    '

    vA −vB

    e =(vB

    ' )x − (vA' )x

    (vA)x − (vB )x

    mA(vA)x +mB(vB )x =mA(vA' )x +mB(vB

    ' )x

    VA VB V’BV’A

    A BImpacto

    *(y,z no varían con el impacto) VA

    V’BV’A

    VB

    9. Trabajo y potencia.

    - Trabajo de una Fuerza:

    - Trabajo de un momento par:

    - Potencia:

    - Potencia de un par:

    - Rendimiento / Eficiencia:

    10. Energía cinética.

    - Energía cinética de una partícula:

    - Energía cinética en movimiento plano:

    11. Energía potencial.

    - Energía potencial de una partícula:

    - Energía potencial de un muelle:

    12. Conservación de la Energía.

    Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial de la partícula permanece constante.

    EC1 +EP1 = EC2 +Ep2

    dU = F ds ⇒ U = F dss0

    s1∫U = Mdθ

    θ0

    θ1∫Pot.= P = dU

    dt= F·drdt

    = Fv P = E / t

    P = Mdθdt

    =Mω

    η = SalidaEntrada

    EPm =V =12k(x − xo )

    2

    EP =V =mg(hf − ho )h0 hf

    x0

    x

    EC =T =12mv 2

    EC =T =12mv 2 + 1

    2Iω 2

    ω

    v

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  • Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

    4 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 5

    5. Principio de impulso y cantidad de movimiento.

    El impulso lineal aplicado a un cuerpo durante un intervalo de tiempo es igual a su cantidad de movimiento.

    También se puede expresar como promedio.

    6. Conservación de la cantidad de movimiento lineal.

    Si dos cuerpos no están sujetos a fuerzas externas que no sean las que se ejerzan entre si, su cantidad de movimiento se conserva.

    7.Impactos.

    La cantidad de movimiento debe ser la misma antes y después del impacto.

    Si los cuerpos permanecen adheridos después de la colisión, se trata de un impacto perfectamente plástico. La velocidad resultante viene determinada por:

    8.Impactos centrales.

    - Central directo:

    - Central oblicuo:

    F dt∑ =mv2 −mv1t1t2∫

    (t1 − t2) Fmedia =mv2 −mv1∑

    v =mAvA +mBvBmA +mB

    mvA +mvB = cte.

    A

    BFAB

    FBA

    mAvA +mBvB =mAvA' +mBvB

    '

    e =vB' −vA

    '

    vA −vB

    e =(vB

    ' )x − (vA' )x

    (vA)x − (vB )x

    mA(vA)x +mB(vB )x =mA(vA' )x +mB(vB

    ' )x

    VA VB V’BV’A

    A BImpacto

    *(y,z no varían con el impacto) VA

    V’BV’A

    VB

    9. Trabajo y potencia.

    - Trabajo de una Fuerza:

    - Trabajo de un momento par:

    - Potencia:

    - Potencia de un par:

    - Rendimiento / Eficiencia:

    10. Energía cinética.

    - Energía cinética de una partícula:

    - Energía cinética en movimiento plano:

    11. Energía potencial.

    - Energía potencial de una partícula:

    - Energía potencial de un muelle:

    12. Conservación de la Energía.

    Cuando una partícula se mueve bajo la acción de fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial de la partícula permanece constante.

    EC1 +EP1 = EC2 +Ep2

    dU = F ds ⇒ U = F dss0

    s1∫U = Mdθ

    θ0

    θ1∫Pot.= P = dU

    dt= F·drdt

    = Fv P = E / t

    P = Mdθdt

    =Mω

    η = SalidaEntrada

    EPm =V =12k(x − xo )

    2

    EP =V =mg(hf − ho )h0 hf

    x0

    x

    EC =T =12mv 2

    EC =T =12mv 2 + 1

    2Iω 2

    ω

    v

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  • Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

    6 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 3

    CinéticaVibraciones

    1. Segunda ley de Newton.

    Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es 0, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud resultante.

    definiendo fuerza como

    La velocidad es cte. pero la masa varía con el tiempo:

    Fuerza de rozamiento:

    Equilibrio dinámico se define como:

    2. Ecuaciones de movimiento en coordenadas.

    Intrínsecas.

    Polares.

    Cartesianas

    3. Cantidad de movimiento.

    La resultante de las fuerzas que actúan es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento.

    Cantidad de movimiento angular:

    4. Movimiento Plano de un cuerpo rígido.

    F∑ =ma

    Fr = µma

    F =ma =mdvdt

    F = !mv = dmdtv

    F −ma = 0∑

    Ft =mdvdt∑ Fn =m

    v 2

    r∑

    Fθ =maθ∑Fr =mar∑

    (Fx!i + Fy

    !j + Fz

    !k ) =m(ax

    !i + ay

    !j + az

    !k )∑

    ∑Ft∑Fn

    ∑Fr∑Fθ

    F =ma =mdvdt

    = ddt

    (mv)∑ ⇒ L =mv ⇒ F = !L∑

    Ho = r ×mvH0

    rmv

    MG + [r × (−ma)]+ (−Iα ) = 0∑

    F1 F2

    F3

    ma

    IαG

    1. Vibración Libre.

    2. Vibración Forzada.

    3. Vibración amortiguadas.

    4. Vibraciones forzadas amortiguadas.

    El movimiento del sistema se define mediante la ecuación diferencial:

    La vibración de estado estable del sistema se representa mediante una solución particular de la ecuación de desplazamiento:

    md 2xdt 2

    + c dxdt

    + kx = Pm sinω f t

    xpart = xm sin(ω f t −ϕ)

    Frecuencia Circular Forzada =ω f

    Desplazamiento = δ = kδm sinω f t

    Factor de Amplificación =xmPm / k

    =xmδm

    = 11− (ω f /ωn)

    2

    Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2

    + kx = Pm sinω f tEn función del desplazameinto⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ md

    2xdt 2

    + kx = kδm sinω f t

    Periodo = τ n =2πωn

    Frecuencia = f = 1τ n

    Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2

    + kx = 0 Siendo lafrecuencia Natural⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ ωn =km

    Nos da⎯ →⎯⎯ d2xdt 2

    +ωn2x = 0

    Desplazamiento ⇒ x = xm sin(ωnt +φ) ⇒φ = ángulo de desfasexm = amplitud

    ⎧⎨⎩⎪

    Velocidad ⇒ vm = xmωn

    Aceleración ⇒ am = xmωn2

    x

    -xm

    xm

    0Equilibrio

    Coeficiente de amortiguamiento = c

    Sobreamortiguamiento ⇒ c > ccAmortiguamiento crítico ⇒ c = ccSubamortiguamiento ⇒ c < cc

    Coef. amortiguamiento crítico ⇒ cc = 2m k /m = 2mωn

    Ec. Diferencial⇒ md2xdt 2

    + c dxdt

    + kx = 0

    k c

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  • Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

    2 609.478.523 © Guillermo Soler García © Guillermo Soler García 609.478.523 7

    z’

    r=rer

    4. Centros Instantáneos de Rotación.

    5. Movimiento Relativo.

    Vabs= velocidad absoluta.

    Varr = velocidad arrastre.

    Vrel = velocidad relativa.

    6. Coordenadas Polares.

    ω =vAAC

    ω =vBBC

    VA

    VA

    VBVB

    AA

    B

    C

    C

    B

    v = ( !r ) er+ (r !θ) e

    θ = (vr ) er + (rω ) eθ = (vr ) er + (vθ ) eθ

    a = (!!r − r !θ 2) er+ (r !!θ + 2 !r !θ) e

    θ= (at − rω

    2) er+ (rα + 2vrω ) eθ

    Per

    θO

    vabs = varr +vrel

    aabs = aarr + arel + acor ⇒ aarr = (aarr )n + (aarr )tarel = (arel )n + (arel )tacor = 2ωarr ×vrel

    ⎨⎪

    ⎩⎪

    Prabs(P ) = rarr (A) + rrel (P /A)

    AO

    rP

    rA

    rP/A

    y

    xz

    x’

    y’

    z’

    Apéndice1. Trigonometría.

    - Razones Trigonométricas

    - Teorema del Seno:

    - Teorema del Coseno:

    2. Álgebra Vectorial.

    - Vector Unitario:

    - Producto Vectorial:

    - Producto Escalar:

    λOE =OE! "!!

    OE= cosθx i

    !+ cosθy j

    !+ cosθzk

    !

    V = P ×Q =i j kPx Py PzQx Qy Qz

    P iQ = PQcosθ

    i × i = 0 j × i = −k k × i = ji × j = k j × j = 0 k × j = −ii × k = − j j × k = i k × k = 0

    i i i = 1 j i j = 1 k i k = 1i i j = 0 j i k = 0 k i i = 0

    Proyección de un vector sobre el eje OE ⇒ POE = P i λOE

    sinα = ac

    cosα = bc

    tanα = ab

    ca

    asinα

    = bsinβ

    = csinγ

    c

    a

    β γ

    c2 = a2 + b2 − 2abcosγc

    ab γ

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  • Cinemática y Dinámica Cinemática y Dinámica

    8 609.478.523 609.478.523 1

    1. Movimiento Rectilíneo.

    Velocidad y aceleración de un movimiento rectilíneo (Método analítico).

    Movimiento rectilíneo uniforme.

    Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

    2. Componentes Tangencial y Normal (Intrínsecas)

    3. Método de Superposición (traslación más rotación).

    a = dvdt

    = d2xdt 2

    = v dvdx

    v = dxdt

    x = x0 +vt

    v = v0 + at

    x = x0 +v0t +12at 2

    v 2 = v02 + 2a(x − x0)

    O P

    x

    a = at + an ⇒ at = α × r ⇒ at = αr

    an =ω2r

    ⎧⎨⎪

    ⎩⎪v =ω × r

    ω = dθdt

    α = d2θdt 2

    = dωdt

    =ω dωdθ

    x

    y

    at

    an

    αωx

    y

    ω

    r

    v

    vB = vA +vB/A aB = aA + aB/A

    VA

    VBA ω

    VA

    VBVB/A

    AB

    Posición de una partícula en mov. rectilíneo.

    CinemáticaMomentos de inercia de masas.

    Barra Ligera

    Cilindro rectangular

    Disco delgado

    Esfera

    Prisma rectangular

    Cono circular

    Placa rectangular

    delgada

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    x

    y

    zL

    x

    y

    z

    L

    x

    y

    za

    b

    c

    x

    y

    z h

    x

    y

    z

    cb

    Iy = Iz =112mL2

    Ix =12mr 2

    Iy = Iz =112m(3r 2 + L2)

    Ix =12mr 2

    Iy = Iz =14mr 2

    Ix = Iy = Iz =25mr 2

    Ix =112m(b2 + c2)

    Iy =112m(c2 + a2)

    Iz =112m(a2 + b2)

    Ix =310mr 2

    Iy = Iz =35m

    14r 2 + h2

    ⎛⎝⎜

    ⎞⎠⎟

    Ix =112m(b2 + c2)

    Iy =112mc2

    Iz =112mb2

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