CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL labourie/L3/CD/  · CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

  • View
    213

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL labourie/L3/CD/  · CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL...

  • CINQUANTE-SIX EXERCICES DE CALCUL DIFFRENTIELPOUR LA TROISIME ANNE DE LICENCE

    20122013

    Michle Audin

    1. Espaces vectoriels norms

    Exercice 1.1 (Manhattan). Une ville est quadrille par une famille de rues rectilignes numrotes et unefamille orthogonale davenues rectilignes numrotes. Montrer que, dans des coordonnes (x, y) asso-cies des axes parallles ces directions, la distance parcourir pour aller du point de coordonnes(a, b) (sur la a-ime rue et la b-ime avenue) au point de coordonnes (a, b) esta a+ b b .

    Dans R2, on considre(x, y)1 = |x|+ |y| .

    Montrer que cest une norme. Dessiner sa boule unit.

    Exercice 1.2 (Les paralllogrammes sont des boules). On considre un paralllogramme (non aplati) deR2 centr lorigine. Montrer quil existe une norme sur R2 dont ce paralllogramme est la bouleunit.

    Exercice 1.3 (Norme et convexit). Montrer quon peut, dans la dfinition dune norme sur lespacevectoriel E, remplacer la troisime proprit (ingalit triangulaire) par la suivante :

    {x E | x 1} est convexe.

    Exercice 1.4 (Les normes p). Soit p > 0. Pour x = (x1, . . . , xn) Rn, on pose

    xp =( ni=1|xi|p

    )1/p, x = sup

    1in|xi| .

    (1) On suppose dabord que n = 2. Dessiner lensemble

    Bp ={x R2 | xp 1

    }dans chacun des cas o p = 1/2, 1, 3/2, 2, 3,.

    (2) Montrer que, si p q, Bp Bq.(3) La boule B1/2 dans R2 est-elle convexe ? Montrer que, plus gnralement, p nest pas une

    norme sur Rn quand p < 1.(4) On fixe x Rn. Montrer que xp tend vers x quand p tend vers linfini (ce qui justifie la

    notation).(5) On suppose maintenant que p 1. Montrer que xi 7 xpi est une fonction convexe sur ]0,+[,

    puis que x 7 xpp est une fonction convexe sur Rn. Montrer que p est une norme sur Rn.

    Ces exercices sont inspirs du livre [1] et des archives quont bien voulu me transmettre Myriam Ounaies et Ilia Itenberg,que je remercie. Merci Jrme Poineau pour son aide.

  • 2 MICHLE AUDIN

    Exercice 1.5 (Ingalits de Young et de Hlder). On considre un nombre rel p > 1 et le nombre rel qdfini par

    1p

    + 1q

    = 1.

    (1) Montrer que lon a, pour tous a, b R :

    |ab| |a|p

    p+ |b|

    q

    q

    (cest lingalit de Young).(2) En dduire que lon a, pour tous rels a1, . . . , an, b1, . . . , bn :

    ni=1

    aibi

    (

    ni=1|ai|p

    )1/p( ni=1|bi|q

    )1/q(ingalit de Hlder).

    (3) Montrer ( nouveau) que p satisfait lingalit triangulaire.

    Exercice 1.6 (Retour sur lquivalence des normes). Il est dmontr dans le cours que toutes les normessur Rn sont quivalentes. Cest le cas en particulier des normes p considres dans lexercice 1.4,qui sont quivalentes entre elles, ce qui veut dire que, pour tous p, q [1,+], il existe une constantepositive C(p, q) telle que

    pour tout x Rn, xq C(p, q) xp .Le but de cet exercice est de dterminer la plus petite constante Cp,q vrifiant cette ingalit.

    (1) Dessiner la boule(1) B(0, 1) (dans R2), ainsi, sur la mme figure, que la plus petite (resp. laplus grande) boule Bp(0, r) la contenant (resp. quelle contient).

    (2) Montrer que Cp, = 1 et C,p = n1/p pour 1 p .(3) Montrer que Cp,q = 1 pour p q.(4) Montrer que

    Cp,q = n1q 1

    p pour p q.

    Exercice 1.7. (1) Montrer que la formule

    N(x) = suptR

    x1 + tx21 + t2

    dfinit bien une application N : R2 R et que cest une norme sur R2.(2) Montrer que N(x) = 12(

    x21 + x22 + |x1|).

    (3) Dessiner la boule unit de la norme N .(4) Comparer la norme N la norme euclidienne de R2.

    Exercice 1.8 (Norme dune matrice). On dfinit, sur lespace Mn(R) des matrices carres nn coef-ficients rels,

    A = supx1

    Ax .

    (1) Montrer que est une norme sur Mn(R).(2) Les coefficients dune matrice A sont nots ai,j . Montrer que

    A = sup1in

    nj=1|ai,j | .

    Exercice 1.9 (En dimension infinie, suites). On fixe un p 1. Soit E lensemble des suites x = (xn)nNde nombres rels telles que

    la srie+n=0|xn|p est convergente.

    (1)Par Bp(x, r), on dsigne la boule ferme de centre x et de rayon r pour la norme p.

  • EXERCICES DE CALCUL DIFFRENTIEL 3

    (1) Montrer que E, avec laddition des suites et leur multiplication par les nombres rels, est unespace vectoriel.

    (2) Pour x E, on pose

    xp =( +n=0|xn|p

    )1/p.

    Montrer que p est une norme sur E.

    Exercice 1.10 (En dimension infinie, fonctions continues). Soit E lespace vectoriel des fonctions conti-nues de [0, 1] dans R. Pour f E, on pose :

    f1 = 1

    0|f(t)| dt, f = sup

    t[0,1]|f(t)| .

    (1) Montrer que 1 et sont des normes sur E.(2) Montrer que

    pour tout f E, on a f1 f .(3) Montrer que ces deux normes ne sont pourtant pas quivalentes.

    Exercice 1.11. Soit E lespace vectoriel des suites relles (xn)nN nulles partir dun certain rang,cest--dire telles quil existe un entier ` (qui dpend de la suite considre) tel que tous les xp avecp > ` sont nuls. Pour x = (xn)nN E, on pose

    x1 =+n=0|xn| .

    (1) Montrer que 1 est une norme sur E.(2) Montrer que lespace vectoriel norm E nest pas complet.

    2. Applications linaires continues

    Exercice 2.1. On note x y le produit scalaire des vecteurs x et y de Rn. On fixe un vecteur a Rnet on considre lapplication

    f : Rn Rx 7 a x

    (1) Montrer que f est linaire et continue.(2) Calculer la norme de f quand Rn est muni de la norme p (avec 1 p ) (R est muni de

    la valeur absolue).

    Exercice 2.2. On considre lespace vectoriel E des fonctions continues de [0, 1] dans R. On le munitde la norme 1 (comme dfinie dans lexercice 1.10). On considre lapplication P : E E qui, toute fonction continue f associe sa primitive qui sannule en 0. Montrer que P est un endomorphismecontinu et calculer sa norme.

    Exercice 2.3. Soient E, F et G trois espaces vectoriels norms. On munit E F de la norme

    (x, y) = sup(x , y).

    Soit B : E F G une application bilinaire.(1) Montrer que les trois proprits suivantes sont quivalentes :

    (a) Lapplication B est continue.(b) Lapplication B est continue en (0, 0).(c) Il existe une constante M 0 telle que

    pour tous (x, y) E F, B(x, y) M x y .

    (2) On suppose que E et F sont de dimension finie. Montrer que toutes les applications bilinairessont continues.

  • 4 MICHLE AUDIN

    (3) Dans le cas gnral, on appelle L2(E F,G) lensemble des applications bilinaires continuesde E F dans G. Montrer que cest un espace vectoriel, que

    B = supx1,y1

    B(x, y)

    est une norme sur cet espace, et quon a

    pour tout (x, y) E F, B(x, y) B x y .

    3. Diffrentiabilit

    Exercice 3.1. On suppose que (x, y) 7 f(x, y) est diffrentiable (de R2 dans R). Driver la fonctionu(x) = f(x,x) et calculer la diffrentielle de lapplication g(x, y) = f(y, x).

    Exercice 3.2. crire la diffrentielle dune application constante, dune application linaire, dune ap-plication quadratique sur Rn.

    Exercice 3.3. Soit U un ouvert dun espace vectoriel norm E, soit F un espace vectoriel norm, etsoit f : E F une application diffrentiable. On fixe a U et v E. On demande de calculer ladrive de

    t 7 f(a+ tv)en t = 0.

    Exercice 3.4. On reprend les notations de lexercice 2.3. On suppose que E, F et G sont de dimensionfinie. Montrer que toute application bilinaire est diffrentiable et calculer sa diffrentielle.

    Exercice 3.5. Soient f : R R et g : R2 R deux applications diffrentiables. Montrer quelapplication

    h : R2 R(x, y) 7 f(x+ g(x, y))

    est diffrentiable et calculer sa diffrentielle en chaque point.

    Exercice 3.6. Soit E lespace des matrices carres n n. On fixe une matrice M E. On considrelapplication

    f : E EA 7 AMA.

    Montrer quelle est diffrentiable en tout point et calculer sa diffrentielle.

    Exercice 3.7. Soit E un espace vectoriel norm de dimension finie. Lespace L(E) des endomorphismesde E est muni de la norme

    L = supx1

    L(x) .

    Soit k un entier 1. Montrer que lapplication L 7 Lk (de L(E) dans lui-mme) est diffrentiable etcalculer sa diffrentielle.

    Exercice 3.8. Soient f : R R et g : R2 R deux applications diffrentiables. Montrer quelapplication

    h : R2 R(x, y) 7 f(xy2g(x, y))

    est diffrentiable et calculer sa diffrentielle en chaque point.

  • EXERCICES DE CALCUL DIFFRENTIEL 5

    Exercice 3.9. On considre deux applications diffrentiablesg : R3 R2

    (x, y, z) 7 (g1(x, y, z), g2(x, y, z))et f : R R. Montrer que lapplication

    h : R3 R2

    (x, y, z) 7 (f(g1(x, y, z)g2(x, y, z)), g1(x, y, z) + f(g2(x, y, z)))est diffrentiable et calculer sa diffrentielle en chaque point.

    Exercice 3.10. On considre lapplication f : R2 R dfinie par

    f(x, y) =

    x2y2

    x2 + y2 si (x, y) 6= 0,

    0 sinon.Calculer ses drives partielles. Sont-elles continues ? Lapplication f est-elle diffrentiable en (0, 0) ?Mmes questions avec lapplication g : R2 R dfinie par

    g(x, y) =

    xy2

    x2 + y2 si (x, y) 6= 0,

    0 sinon.

    Exercice 3.11 (Diffrentielle de linverse). Lespace Mn(R) des matrices n n relles est muni dunenorme opratorielle(2) . On appelle Id la matrice identit.

    (1) Montrer que, si H < 1, la matrice IdH est inversible, et quon a :

    (IdH)1 =k=0

    Hk.

    (2) Montrer que, pour toute matrice inversible A, le groupe GL(n; R) des matrices inversiblescontient une boule ouverte centre en A, et en dduire que cest un ouvert de Mn(R).

    (3) Montrer que lapplication f : GL(n; R) GL(n; R) dfinie par f(A) = A1 est diffrentiableen Id et calculer sa diffrentielle.

    (4) Montrer quelle est diffrentiable en A pour tout A et calculer sa diffrentielle.

    Exercice 3.12. On considre les applications f et g dfinies parf : R2 R3 g : R3 R2

    (x, y) 7 (x2y, xy, xy3) (x, y, z) 7 (x+ y + z, xyz)Calculer

    la matrice jacob