Circu Mohr

Zuly Caldern Carrillo

TRANSFORMACIN DEESFUERZOS

2D

TENSOR DE ESFUERZOS


zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

xx

zz

yy

xy

xz

zx

yz

yx

zy

y

x

z

Zuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO

Cada plano del cubo:

Dos componentes de cizalla

Un componente normal

Cada plano del cubo. Esfuerzo de corte: doscomponentes perpendiculares los cuales deben estar

alineados con los ejes de los bordes, de cada cara del

cubo

DESCOMPOSICIN DEL ESFUERZO DE CIZALLA


x xyxz

x

y

x

z

y

x

zy

xzy

xz


Nueve componentes deesfuerzos:

tres esfuerzos normales

seis esfuerzos de corte

Nueve componentesindependientes - valores

requeridos para definir

completamente el esfuerzo

en un punto

TENSOR DE ESFUERZOS


zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx


TENSOR DE ESFUERZOS


xx

zz

yy

xy

xz

zx

yz

yx

zy

y

x

z xy

Primer subndice:

Plano sobre el cual acta

Segundo subndice:

Direccin del componente


TENSOR DE ESFUERZOS


Esfuerzos xy y xycapaces de provocaruna rotacin segn eleje Z

Para anular losmomentos de estosvectores se requiere

xy = yx

xy

yx

z


Equilibrio rotacional

Equilibrio rotacional, todas las fuerzas sobre los lados del cubo, deben estar balanceadas, no hay movimiento rotacional. Esto significa que:

xy = yx ; xz = zx ; yz = zy

TENSOR DE ESFUERZOS


zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

MATRIZ SIMETRICA


TRANSFORMACIN DE ESFUERZOS

EN DOS DIMENSIONES


Si el plano va cambiando de posicin, varan los esfuerzos

,


x

y

yx

xy

Y

plano

Y

xy

x

X

X

a

bo

X

Y

xyxx

yy

xx

yy

yx

xy

yx

Componentes del esfuerzo

en dos dimensiones

Esfuerzos actuando en un

plano inclinado un ngulo

ESFUERZOS EN DOS DIMENSIONES


Muchos problemas geolgicos pueden

ser resueltos considerando el esfuerzo

en dos dimensiones, para lo cual se

considera que la fuerza acta paralela

a uno de los ejes, por ejemplo al eje Z.


Zuly Caldern CarrilloZuly Caldern Carrillo CONSTRUIMOS FUTURO

ESFUERZOS EN OTRO SISTEMA DE COORDENADAS X, Y


Transformacin del tensor de

esfuerzos

Esfuerzo normal y de cizalla

a travs de un plano

Esfuerzos en dos dimensiones.


CONSIDERACIONES Tomar un corte e del

pequeo cubo

Cubo en equilibrio

Equilibrio de fuerzas y demomentos en todos los

puntos del cuerpo



X

Y

xy

xx

yy

xx

yy

yx

xy

yx

Equilibrio rotacional del cuadrado alrededor del eje z


Ejes z y z coinciden

Elemento en estudio rota unngulo con relacin al

sistema de coordenadas

original

Dos esquinas (a, b) del cuborotado tocan dos lados del

cubo original



Y

X

a

ob


Base = el tringuloresultante aob

Se deben conocer losesfuerzos x, y y xy en el

sistema de coordenadas

dado (x,y)



x

y

yx

xy

Y

plano

Y

xy

x

X

X

a

bo

ab

oaCosy

ab

obSen

l,




ab

oaCosy

ab

obSen

ab es igual a l

CosloaySenlob **




l,

Fx

Fy

Fyx

Fxy

Y

plano

Y

xy

x

X

X

a

bo


Cuerpo en equilibrio

esttico:

sumatoria de fuerzas

igual a cero



Y

Y

xy

x

X

X

CosleX **

SenleY **

CosleXY **

SenleYX **

o b

a

CosloaySenlob **




0' Fx

0'

le

xCosSenle

yxSenCosle

xySenSenle

yCosCosle

x

CosSenSenCos XYYXX 222

'

x

y

yx

xy

Y

plano

Y

xy

x

X

X

a

bo

Esfuerzo en x




x

y

yx

xy

Y

plano

Y

xy

x

X

X

a

bo

Esfuerzo en y

0' Fy

0'' leYXSenSenleYXCosCosleXYCosSenleYSenCosleX

22'' SenCosCosSenCosSen XYYXYX



por 2


'

222

22

22'

CosSenSenCos XYYXy

PARA Y (ngulo)



222

22

22'

CosSenSenCos XYYXy

PARA Y (ngulo)

CosSen

2

SenCos

2


'y

https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQBSDxht65FO7byH22HHGJVeYgus69KoHkSFKVNti0y1xuJnuYIXw


SenCosCosSen XYYXY 222

'

222

22

22'

CosSenSenCos XYYXy

PARA Y (ngulo)

2CosSen SenSenCosCosCos

CosCos CosSen

2

SenCos

2





'


'


XY

Y

X

YX

y

X

CosSenSen

SenCosSen

SenSenCos

222

12

2

1

2

2

22

22

''

'

'

CosSenSen 22 222 SenCosCos


EJEMPLOS


Dado x = 40 Mpa , y = 30 Mpa y xy = 15 Mpa,

Calcule x , y y xy , para igual a 300

EJEMPLO 2-2


X

Y

40 40

30

30

15

15

15

15Y

X

= 300

X

Y


EJEMPLO 2-2



'

866.05.015*25.030866.040 22' X

MPaX

49.50'


)5.0866.0(15)866.0()5.0(30)5.0()866.0(40 22'' YX

MPaYX

17.3''


Para el estado de esfuerzos dado en el Ejemplo 2-2,

calcule x y xy y dibuje las direcciones de los

esfuerzos para los siguientes ngulos (recuerde que el

ngulo es medido desde el eje x hasta la normal del plano.

= 00

= 300

= 450

= 900

EJEMPLO 2-3


X

Y

40 40

30

30

15

15

15

15


EJEMPLO 2-3


Caso ngulo

(grados)

Esfuerzo

normal

x (Mpa)

Esfuerzo

de cizalla

xy (Mpa)

(a) 00 40.0 15.0

(b) 300 50.5 3.1

(c) 450 50.0 -5.0

(d) 900 30.0 -15.0

Resultados obtenidos x y xy , para los cuatro ngulos


EJEMPLO 2-3


Caso ngulo x (Mpa) xy (Mpa)

(a) 00 40.0 15.0

y

x


EJEMPLO 2-3



(b) 300 50.5 3.1

y

x


EJEMPLO 2-3



(c) 450 50.0 -5.0

y

x


EJEMPLO 2-3



(d) 900 30.0 -15.0

y

x


CIRCULO DEMOHR

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Christian_Otto_Mohr.jpg

2

2

)( 31 R

2

31 a

P (x, xy)

r

(a,0)

b0

A = 3 B = 1

max

Esfuerzos principales

Estado de esfuerzos CM

Ecuaciones del CM

Propiedades del CM

Ejemplos

CIRCULO DE MOHR


Tcnica usada ingeniera representar tensorsimtrico (2x2 o 3x3) calcular momentos de

inercia, esfuerzos y deformaciones,

adaptndolos caractersticas circunferencia

(radio, centro, etc)

Crculo de Mohr proporciona solucionesgrficas fciles de usar, para determinar la

magnitud y orientacin de los esfuerzos

principales, as como de esfuerzos normales y

de cizalla, para planos de cualquier orientacin

CIRCULO DE MOHR


Crculo de Mohr es siempre atribuido a ChristianOtto Mohr - fuentes bibliogrficas a Karl

Culmann el primer cientfico en concebir este

medio grfico para representar esfuerzos.

El profesor Mohr realiz mltiplescontribuciones pioneras a la teora de

estructuras, as como al crculo de esfuerzos,

aplicaciones en 2D y 3D.

Industria del petrleo, aplicaciones ej., el criteriode falla de Mohr-Coulomb

CIRCULO DE MOHR


LOS ESFUERZOS PRINCIPALES


plano

y

x

a

bo

Cuando el cuerpo essometido a esfuerzo,existen dos planos donde=0 (nulo), estos planos secortan en ngulo recto(planos principales)

Los esfuerzos que actan en losplanos principales sedenominan esfuerzosprincipales.

1, 3

Cualquier anlisis de falla (dctil o frgil) requiere

esfuerzos principales ya que ellos representan los

esfuerzos mximo y mnimo, o el valor del mximo

diferencial de esfuerzos.



3

2

1

00

00

00

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

H

h

Fractura P

R

Esfuerzos

In-situ

h

H

Invasin de

filtrado

Fluido de

leakoff

CIRCULO DEMOHR

2

2

)( 31 R

2

31 a

P (x, xy)

r

(a,0)

b0

A = 3 B = 1

max

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/Otto_Mohr.JPG

Componentes de un esfuerzo normal ejercido sobre un

plano en el que =0



plano

y

x

a

bo

Esfuerzos principales: 1 y 3 (=0)

13

a

Max

r

(x, xy)

(y, yx)Esfuerzo

principal

mximo

Esfuerzo

principal

mnimo

Compresin uniaxial

Compresin general


1

3

1

3=0

Estado de esfuerzos en C. Mohr

1

13

Tensin uniaxial

Tensin general



1

3=0

1

3

1

13

Tensin y compresin

Esfuerzo de cizalla puro



1

3

1

3 = - 1


CIRCUNFERENCIA!!!

Ecuacin de una circunferencia:

y

r

(x,y)

.

. x

(xc, yc)

222 ryyxx cc

Coordenadas cartesianas

Centro (xc, yc)

Radio r

Si, centro de la circunferencia coincide con el origen (0,0)

222 ryx


Circunferencia:

centro (a,0)

radio r

Reemplazando:

13

a

Max

r

(x, xy)

(y, yx)

222 ryyxx cc

CIRCUNFERENCIA!!!

Reemplazar a y r !

f (1 y 3 )


Circunferencia:

centro (a,0)

radio r

Reemplazando:

222 ''' ra YXX

2

312

2

31

22''

'

YX

X

13

a

Max

r

(x, xy)

(y, yx) 222 ryyxx cc

CIRCUNFERENCIA!!!

1. Calcular esfuerzos principales y mximo esfuerzo

de corte(conocido estado de esfuerzos)

13

a

Max

r

(x, xy)

(y, yx)Esfuerzo

principal

mximo

Esfuerzo

principal

mnimo

Mximo

esfuerzo

de corte


Radio del crculo:(Pitgoras)

Centro del crculo:

22 22

1XYYXr

YXa 2

1

ECUACIONES C. M. f(, )

a

r

(x, xy)

(y, yx)

222 22 XYYXr


f( a, r)

Esfuerzo principal mximo

Esfuerzo principal mnimo

Mximo esfuerzo de corte

PROPIEDADES DE C. M.

13

a

Max

r

(x, xy)

(y, yx)


Esfuerzos principales y

mximo esfuerzo de corte:

Esfuerzo principal mximo

1 = a + r

Esfuerzo principal mnimo 3 = a - r

Mximo esfuerzo de corte max = r


13

a

Max

r

(x, xy)

(y, yx)

EJEMPLO-1

Conocido el estado de esfuerzos,

determinar los esfuerzos principales y

sus orientaciones


EJEMPLO-1

Calcule los esfuerzosprincipales, el mximo

esfuerzo de corte y el

ngulo de rotacin para

los datos mostrados en la

figura.

Dibuje los esfuerzosprincipales en la direccin

correcta.

X

Y

40 40

30

30

15

15

15

15

i,j , i,j = MPa


Radio del crculo:

Centro del crculo:

c

r

(x , xy) = (40, 15)

(y , yx) = (30, 15).

.

1

3

22 22

1XYYXr

YXa 2

1

EJEMPLO-1

1 = a + r

3 = a - r

max = r


x = 40 Mpay = 30 Mpaxy = 15 Mpa

Radio del crculo:

Centro del crculo:

c

r

(x , xy) = (40, 15)

(y , yx) = (30, 15).

.

1

3

22 22

1XYYXr

22 15230402

1r MPar 81.15

YXa 2

1 3040

2

1a

MPaa 00.35

EJEMPLO-1


Esfuerzos principales y mximo esfuerzo de corte:

Esfuerzo principal mximo 1 = a + r1 = 35 + 15.81 1 = 50.81 Mpa

Esfuerzo principal mnimo 3 = a - r

3 = 35 - 15.81 3 = 19.19 Mpa

Mximo esfuerzo de corte max = r = 15.81 Mpa

EJEMPLO-1

DIRECCIN DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES




'


'


XY

Y

X

YX

y

X

CosSenSen

SenCosSen

SenSenCos

222

12

2

1

2

2

22

22

''

'

'

CosSenSen 22 222 SenCosCos


Direccin de los esfuerzos principales:



22 SenCosCosSen XYYX

222 SenCosCos

CosSenSen 22





222

1CosSen XYYX

YXXYTan

Cos

Sen

22

2

2

YXXYTan

2

2

1 1


ngulo de rotacin (Planos principales):

078.35

y

x

= 35.780

y

y

1= 50.81 MPa

= 19.19 MPa3

EJEMPLO-1

YXXYTan

2

2

1 1


ngulo de rotacin (Planos principales):

YXXYTan

21

3040152

1

Tan

056.71

078.35

EJEMPLO-1

22

)( 31 R

P (x, xy)

r

(a,0) b0

3 1

max

2

Construccin del

Crculo de Mohr

2

2

)( 31 R

2

31 a

P (x, xy)

r

(a,0)

b0

A = 3 B = 1

max

X

Y

40

30

15

15


CONSTRUCCIN DEL CM

Construya sistema de ejes ortogonales x y y,utilizando la misma escala. Haga coincidir eleje con el eje x; y el eje con el eje y.

Grafique los esfuerzos normales x y ysobre el eje .

Dibuje el esfuerzo de corte xy actuando en elborde derecho del elemento de la figura,directamente debajo o encima del punto querepresenta x sobre el eje normal .


CONSTRUCCIN DEL CM

Si el esfuerzo de corte xy acta en direccincontraria a las manecillas del reloj con relacin

al centro del elemento, grafique el punto por

encima del eje normal ; pero si el esfuerzo de

corte xy acta en direccin a las manecillas del

reloj el punto se grafica por debajo del eje

normal

Esta convencin de signos solo se utiliza para graficar losesfuerzos de corte en el crculo de Mohr ya que estos signosson solo vlidos para la representacin grfica


CONSTRUCCIN DEL CM

Dibuje el esfuerzo de corte yx actuando en elsistema, por encima o por debajo del punto y,pero en el lado opuesto al eje del esfuerzo normaldibujado en el paso anterior, de manera que lospuntos sean diametralmente opuestos.

Ahora, una los puntos, (x, xy) y (y , xy)mediante una lnea recta, la cual constituye eldimetro del crculo. La lnea dibujada corta el ejede esfuerzo normal en el punto (x + y).

Dibuje el crculo con centro en el eje normaligual a (x + y).

2. Calcular el esfuerzo normal () y el esfuerzo de cizalla ()

conocidos el ngulo de inclinacin y los esfuerzos

principales



'


ECUACIONES CM

Retomando:

Utilizando identidades trigonomtricas:

2

212 Cos

Cos

2

212 Cos

Sen

Haciendo coincidir los ejes cartesianos con lasdirecciones principales:

CosSenSen 22



'

ECUACIONES CM

2

212 Cos

Cos

2

212 Cos

Sen

2

21

2

21'

CosCosYXX

222

3131' CosX


ECUACIONES CM


2

2

2

231''

SenSenYX

22

31'' SenYX

CosSenSen 22


ECUACIONES CM

222

3131' CosX

Definiendo los trminos a y r:

22

31'' SenYX

f( a, r)


ECUACIONES CM

222

3131' CosX

Definiendo los trminos a y r:

2

31 a

2

31 r

2' CosraX

22

31'' SenYX

2'' SenrYX

EJEMPLO-2

Conocidos los esfuerzos principales y el ngulode inclinacin, determinar el esfuerzo normal() y el esfuerzo de cizalla ()

3

1


Determine el esfuerzo normal y el esfuerzo de cizalla,

para los siguientes datos:

1 = 200 Mpa3 = 50 Mpa

EJEMPLO-2

o25

Ragan, Daniel. Structural geology, an introduction to geometrical techniques. Third edition. 1985


222

3131' CosX

22

31'' SenYX

EJEMPLO-2

)25(22

50200

2

50200' CosX

MPa

X2.173'

22

31'' SenYX

MPaYX

45.57''

MTODO ANALTICO:


MTODO GRFICO:Centro del crculo:

Radio del crculo:

312

1 a MPaa 125

EJEMPLO-2

312

1 r

502002

1a

502002

1r MPar 75

Construir el crculo

2

22

3131' CosX

22

31'' SenYX


MPaa 125

EJEMPLO-2

MPar 75

TAREA!!!Construir el crculo

222

3131' CosX

22

31'' SenYX

2' CosraX

2'' SenrYX

2


Crculo de Mohr

'X ''YX

2' CosraX 2'' SenrYX

0

90

180

270

360

312

1 a 31

2

1 r


Crculo de Mohr

'X ''YX

2' CosraX 2'' SenrYX

0 200 0

90 125 -75

180 50 0

270 125 75

360 200 0

312

1 a 31

2

1 r

Propiedades delCrculo de Mohr





22 SenCosCosSen XYYX

222 SenCosCos CosSenSen 22

222

1CosSen XYYX

YXXYTan

Cos

Sen

22

2

2

YXXYTan

2

2

1 1


Angulo representado en el CM:

Comparando las dos ecuaciones


2

2

)( 31 R

2

31 a

P (x, xy)

r

(a,0)

b0

A = 3 B = 1

max

Cosraboaob

2

31

2

31 r

CosobX

22

3131'

222

3131' CosX

2

CM Realidad


Relacin diametral de puntos para planosperpendiculares. Cualquier par de planos perpendiculares serepresentan como dos puntos diametralmente opuestos en elcrculo de Mohr.


r = max

13=450

A

B

AB

450 =900


Mximo esfuerzo de corte

Est representado por la longitud del radio Ocurre cuando = 900 o = 450, de manera que los

planos del mximo esfuerzo de corte estn orientados a450.


r = max

13=450

A

B

A B

450 =900


Mximo esfuerzo de cortePrueba de tensin (dctil, frgil) - falla resultante tieneforma de cono en un ngulo cercano a 45 grados (Losplanos del mximo esfuerzo de corte estn orientados a450 )


AADNOY, B.S. y LOOYEH, R. Petroleum rock mechanics: drilling operations and well design. First edition.USA: Elsevier. 2011.


FALLA vs. DIACLASA

H

Fractura P

R

H


FALLA vs. DIACLASA

Falla

Discontinuidad que se formapor fractura en las rocas

Movimiento de uno de los lados respecto del otro

Se forman esfuerzos tectnicoso gravitatorios

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/

3/34/Fault_limestone.jpg/220px-Fault_limestone.jpghttp://es.wikipedia.org/wiki/Falla

H = 2

h = 3

v = 1


FALLA vs. DIACLASA

Diaclasa

Fractura en las rocas No hay deslizamiento de los

bloques

Desplazamiento correspondemnima separacin transversal

http://es.wikipedia.org/wiki/Diaclasa

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Diaclasas_en_dolom%C3%ADas_Cuenca.jpg/290px-Diaclasas_en_dolom%C3%ADas_Cuenca.jpg

Diaclasas conjugadas

No existe un mtodosencillo para dibujar elcrculo de Mohr querepresente el caso msgeneral, donde actan elesfuerzo normal y elesfuerzo de corte, en lasseis caras de un cubo

Su construccin es mscomplicada, que en el casode dos dimensiones

CIRCULO DE MOHR - 3D


xx

y

zz

yy

xy

xz

zx

yz

yx

zy

x

z

Elemento cbico y Diagramas de Mohr

CIRCULO DE MOHR - 3D


3

2

1

3 2 1

Existe un caso simple en el cual se pueden representar

tres crculos en el espacio (, ), cuando en el elemento

cbico actan solo esfuerzos normales (es decir esfuerzos

principales) sobre las seis caras del cubo.

CIRCULO DEMOHR

2

2

)( 31 R

2

31 a

P (x, xy)

r

(a,0)

b0

A = 3 B = 1

max

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Circu Mohr