Circuite logice integrate in automatizari

  • View
    127

  • Download
    11

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Curs

Text of Circuite logice integrate in automatizari

Circuite logice integrate n automatizri Partea I 2 Funcii logice; forme de reprezentare a funciilor logice Labazaproiectriicircuitelordigitalestalgebraboolean.AlgebraBoolean, cunoscut i sub denumirea de Algebra logic, opereaz cu funcii logice.Funcialogicsaufunciabinariavaloarealogic1cndesteadevrati0cnd este fals. Funciilelogicesepotexprimaprinexpresiilogice.Acesteexpresiisepotdeducedin tabelul de adevr1 sau decurg din anumite observaii intuitive legate de comportamentul unei anumite funcii logice. Operaiile logice de baz sunt prezentate n tabelul de mai jos: MatematicLogicTehnic Primalegede compoziie (suma logic) x1+ x2 Disjuncie x1v x2 SAU (OR) x1v x2 Adoualegede compoziie (produsul logic) x1 x2 Conjuncie x1. x2 I (AND) x1 x2 Elementul invers xNegaie ( x NU (NOT) xSeobservcdenumirileisimbolurileoperaiilorlogicediferdelaundomeniula altul. n cele ce urmeaz, vom utiliza aproape exclusiv notaiile din matematic. Exprimareamatematicauneifunciilogicenecesitcunoatereaaxiomeloria teoremelor ale algebrei Booleene. Axiomele algebrei Booleene Se consider o mulime, M, compus din n elemente (x1, x2, ..., xn) i operaiile "" (produs logic) i "+" (sum logic) deja prezentate. Spunem c mulimea M formeaz o algebr Boolean dac: 1. Mulimea M conine cel puin dou elemente distincte: - xi, xj e M, cu xi = xj.2. Pentru orice xi, xj e M, avem: xi xj e M i xi + xj e M, cu 1 s i, j s n.3. Operaiile "" i "+" prezint urmtoarele proprieti: a) comutativitatea: x1 x2 = x2 x1;x1 + x2 = x2 + x1;b) asociativitatea: x1 x2 x3 = (x1 x2) x3 = x1 (x2 x3) = ... ; x1 + x2 + x3 = (x1 + x2) + x3 = x1 + (x2 + x3) = ... ;c) distributivitatea (uneia fa de cealalt): 3 x1 (x2 + x3) = x1 x2 + x1 x3; x1 + (x2 x3) = (x1 + x2) (x1 + x3);4. Ambele operaii admit cte un "element neutru" cu proprietatea: x 1 = 1 x = x;x + 0 = 0 + x = x;5. Pentru orice x e M, va exista un elementx(non x) cu proprietile: x x= 0;x +x= 1.Ultimele dou relaii poart numele de principiul contradiciei, respectiv - principiul terului exclus i se enun astfel: Principiul contradiciei: o propoziie nu poate fi i adevrat i fals n acelai timp. Principiulteruluiexclus:opropoziieestesauadevrat,saufals,oatreia posibilitate fiind exclus. Teoremelealgebrei Booleene Pornind de la axiome, se deduc urmtoarele teoreme care devin reguli de calcul n cadrul algebrei Booleene: 1. Principiul dublei negaii: x = x (dubla negaie este echivalent cu afirmaia). 2. Idempotena: x x x xn= ... ; x x x xn= + + + ... . 3. Absorbia: x1 (x1 + x2) = x1; x1 + (x1 x2) = x1. 4. Legile elementelor neutre: x 0 = 0; x + 0 = x; x 1 = x; x + 1 = 1. 5. Formulele lui De Morgan: 2 1 2 1x x x x + = ; 2 1 2 1x x x x = + . tiai c.. Algebra Boolean a fost conceput pe la mijlocul secolului al XIX-lea, de ctre matematicianul englez George Boole (1815 1864) care a propusointerpretarematematicalogiciipropoziiilorbivalentede tip Da Nu sau Adevrat Fals etc. Abian1938,ClaudeShannon,delaInstitutuldeTehnologiedin MassachusettsCalifornia,aveasoutilizezepentruprimaoarla analiza circuitelor de comutaie. 4 Forme de reprezentare a funciilor logice O funcie logic se poate defini printr-o expresie logic sau printr-un tabel de adevr. n tabelul de adevr se indic valoarea funciei logice pentru toate combinaiile posibile ale variabilelorbooleenedeintrare.Tabeluldeadevrconinenprimelecoloanevalorile logicealevariabilelor(considerateindependente)inultimacoloan-valorilelogice ale funciei, obinute prin aplicarea operaiilor logice asupra variabilelor. 1.Funcii de 1 variabiln=1 variabile de intrare (x) m=2n=21=2 configuraii distincte iN=2m=22=4 funcii de o variabil (f0, f1, f2 i f3) xf0f1f2f3 00101 10011 f0(x)=0 funcia ZERO f1(x)= xfuncia NOT f2(x)=xfuncia DRIVER f3(x)=1funcia TAUTOLOGIE 2.Funcii de 2 variabile n=2 variabile de intrare (x, y) m=2n=22=4 configuraii distincte ale variabilelor iN=2m=24=16 funcii de 2 variabile (f0, f1, f2 f15) xyf0f1f2f3f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13f14f15 000101010101010101 010011001100110011 100000111100001111 110000000011111111 Recunoatem: f0(x,y)=0funcia ZERO f3(x,y)= xfuncia NOT f5(x,y)= yfuncia NOT f12(x,y)=xfuncia DRIVER f10(x,y)=yfuncia DRIVER f15(x,y)=1funcia TAUTOLOGIE Analizm funciile f8, f7, f14, f1, f6 i f9: -f8funcia I (AND) realizeaz produsul logic xy xyf8(x,y)=xy 000 010 100 111 Funcia I (AND) ia valoarea 1 cnd variabilele de intrare iau valoarea 1 5 -f7funcia I NEGAT (NAND) realizeaz produsul logic negaty x xyf7(x,y)= y x 001 011 101 110 FunciaINEGAT(NAND)iavaloarea0cndvariabileledeintrareiau valoarea 1 -f14funcia SAU (OR) realizeaz suma logicy x +xyf14(x,y)=x+y 000 011 101 111 Funcia SAU (OR) ia valoarea 0 cnd variabilele de intrare iau valoarea 0 -f1funcia SAU NEGAT (NOR) realizeaz suma logic negaty x + xyf1(x,y)= y x +000 010 100 110 Funcia SAU NEGAT (NOR) ia valoarea 1 cnd variabilele de intrare iau valoarea 0 -f6funcia SAU EXCLUSIV (XOR) realizeaz suma logic modulo2y x xy f6(x,y)= y x 000 011 101 110 Funcia SAU EXCLUSIV (XOR) ia valoarea 0atunci cnd variabilele de intrare iau aceiai valoare (valoarea 0 sau valoarea 1) 6 -f9funciaSAU EXCLUSIV NEGAT(NXOR) realizeaz suma logic modulo2 negaty x xyf6(x,y)=y x 001 010 100 111 Funcia SAU EXCLUSIV NEGAT (NXOR) ia valoarea 1 cnd variabilele de intrare iau aceiai valoare (valoarea 0 sau valoarea 1) 7 Minimizareafunciilor logice Pentruacomparadoufunciilogiceelepotfiaduselaoformstandard,denumit form canonic. Forma canonic presupune operarea cu termeni canonici. Prin termen canonic nelegem un termen n care sunt prezente toate variabilele independente, luate sub form direct sau negat. Exist dou posibiliti de a exprima forma canonic a unei funcii:-forma canonic conjunctiv (fcc) expresia funciei este o sum de produse -forma canonic disjunctiv (fcd) expresia funciei este un produs de sume Ambeleformesededucdintabeluldeadevrafunciei.Pentruprimaformse nsumeaz toi termenii pentru care funcia este egal cu 1, iar pentru a doua form se scrie produsul sumelor de termeni pentru care funcia este egal cu 0. Un termen este unprodusalvariabilelordeintrare,nformdirect(ne-negat)daccombinaia corespunztoareare un1pepoziiavariabileirespectivesaun formcomplementat dac este 0. Forma disjunctiv se obine prin dubla complementare a formei conjunctive i aplicarea axiomelor de transformare ale logicii booleene. Forma general a unei funcii scris n forma canonic disjunctiv este:

1 m 1 m 1 1 0 0P a ... P a P a f + + + =n care:a0,,am-1suntcoeficieniicareiauvaloarea1dactermenulaparine funciei i valoarea 0 dac termenul nu aparine funciei. m=2n unde n reprezint numrul de variabile care descriu funcia P0,, Pm-1 sunt termenii canonici disjunctivi sau mintermenii funciei. Exemplu: C B A C B A C B A P P P P = C) F(A,B,7 5 2 0 + + = + + + Forma general a unei funcii scris n form canonic conjunctiv este: f=(a0+S0)(a1+S1)(am-1+Sm-1) unde:a0,,am-1suntcoeficieniicareiauvaloarea1dactermenulnuaparine funciei i valoarea 0 dac termenul aparine funciei. m=2n unde n e numrul de variabile care descriu funcia. S0,,Sm-1reprezinttermeniicanoniciconjunctivisaumaxtermenii funciei. C B A = P0 C B A = P5 C A = P7 BC B A P2 =ABCF 0001 0010 0101 0110 1000 1011 1100 1111 8 Exemplu: C) B A C)( B A )( C B )(A C B (A S S S S = C) B, F(A,6 4 3 1+ + + + + + + + = Forma elementar Formaelementaresteaceaformdeexprimareafunciilorlogicencarecel puinuntermennuestecanonic,adicnuestedescrisdetoatevariabilele.Un asemenea termen se numete termen elementar. Formaelementarauneifuncii(f.e.)arenalctuirecelpuinuntermenelementar. Prin termen elementar se nelege un termen care nu conine toate cele n variabile ale funciei, deci care nu este canonic. La forma elementar se ajunge prin minimizare. Exemplu: C A AC = C) F(A,B, + Minimizarea funciilor logice Minimizareaconstnobinereaformeiceleimaisimpledeexprimareafunciilor booleene n scopul reducerii numrului de circuite i a numrului de intrri aleacestora. Minimizarea(simplificarea)uneifunciilogicesefacepebazaaxiomelori teoremeloralgebreibooleene.Scopulacesteioperaiiestedeareducenumrulde operatorilogicinecesaripentruimplementareafuncieiiimplicitdeareducenumrul decircuitelogicenecesarepentruimplementareafizicafunciei.Pentrureducerea expresiilor logice se folosesc diferite metode: -metodeintuitivesebazeazpeobservaiiempiricecuprivirelaexpresia funciei logice -metode algebrice - constau n aplicarea succesiv a postulatelor i teoremelor algebrei booleene. -metoda lui Karnagh const n utilizarea unor tablouri care permit identificarea unor posibiliti de simplificare a expresiilor -metodaQuein-McClurscymetodmailaborioasdarcaresepoate implementa printr-un program n general nu exist o form minim unic pentru o expresie logic. Metodele de mai sus pot duce la obinerea unui optim, dar nu garanteaz acest lucru. Metoda algebric ABCF 0001 0010 0101 0110 1000 1011 1100 1111 C B A = S3+ +C B A = S1+ +C B A = S4+ +C B A = S6+ +9 Metodaalgebricconstnaplicareasuccesivapostulateloriteoremeloralgebrei booleene scrise sub form canonic disjunctiv sau conjunctiv. O funcie care nu este specificat iniial sub o form canonic poate fi adus la aceast form. nvedereaminimizrii,seurmretereducereanumruluidetermeniaiexpresiei,a numrului de apariii ale variabilelor i a numrului de variabile din fiecare termen. Diagrame Veitch Karnaugh (VK) OdiagramKarnaughconstituieovariantmodificataunuitabeldeadevr.Ea este,defapt,oreprezentaregraficaformelorcanonice.ngeneral,odiagram Karnaugh pentruo funcie boolean den variabile se reprezint sub forma unui ptrat saudreptunghimpritn2nptratecompartimente),fiecareptratfiindrezervatunui termen canonic al funciei. n cazul unei exprimri sub forma canonic disjunctiv (f.c.d.) a funciei, fiecrui termen i corespunde o locaie care conine "1" logic, iar n cazul exprimrii sub form canonic conjunctiv (f.c.c.) - o locaie care conine "0" logic. Pentru a se putea reprezenta n mod simplu funcii date n mod convenional prin indicii termenilor canonici, se poate nota fiecare compartime