Clasa a IX-a Problema 1 – reprezentare Fibonacci · PDF fileClasa a X-a . Problema 1 ... Clasele a X-a . Problema 2 ... • Pentru 50% din teste şirul va conţine doar un tip de

IINNSSPPEECCTTOORRAATTUULL ŞŞCCOOLLAARR JJUUDDEEŢŢEEAANN CCLLUUJJ

CCOOLLEEGGIIUULL NNAAŢŢIIOONNAALL „„MMIIHHAAII VVIITTEEAAZZUULL”” TTUURRDDAA SSOOCCIIEETTAATTEEAA DDEE ŞŞTTIIIINNŢŢEE MMAATTEEMMAATTIICCEE DDIINN RROOMMÂÂNNIIAA -- FFIILLIIAALLAA CCLLUUJJ

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ

„MARIAN ŢARINĂ”

Ediţia a XIV-a, 16– 17 MAI 2014

Clasa a IX-a Problema 1 – reprezentare Fibonacci Suntem obişnuiţi cu scrierea numerelor într-o bază de numeraţie B, unde reprezentarea an-1an-2...a1a0 corespunde valorii a0 + B·a1 + ... + Bn-1·an-1.

Este posibil însă ca factorii cu care se înmulţesc cifrele să nu fie puterile unui număr fix.

Un astfel de sistem de reprezentare este sistemul Fibonacci. În acest sistem, reprezentarea an-1an-2...a1 corespunde numărului F1·a1+...+Fn-1·an-1, unde F1, ... Fn-1 sunt numerele lui Fibonacci (F1=1, F2=2 şi, pentru n≥3, avem Fn=Fn-1+Fn-2). În această schemă de reprezentare, orice număr natural poate fi reprezentat utilizând doar cifre 0 şi 1, însă această reprezentare nu este unică. De exemplu, numărul 8 are următoarele reprezentări echivalente: 10000FIB=8 , 1100FIB=3+5, 1011FIB=1+2+5. Cerinţă Dându-se două reprezentări în sistemul Fibonacci, se cere să se afle dacă acestea reprezintă sau nu acelaşi număr. Intrarea Fişierul fib.in va conţine:

• pe prima linie, numărul N de perechi de reprezentări de comparat • pe următoarele 2·N linii, câte un număr natural nenul, Mi, reprezentând numărul de cifre ale

reprezentării Fibonacci, urmat de un şir de Mi numere 0 sau 1 reprezentând cifrele, toate separate prin spaţii.

Ieşirea În fişierul fib.out se vor scrie N linii, astfel: dacă numerele de pe liniile 2·i şi 2·i+1 din fişierul de intrare sunt egale, linia i va consta din cuvântul DA, altfel va consta din cuvântul NU. Exemplu: fib.in fib.out

3 DA 5 1 0 0 0 0 NU 4 1 0 1 1 DA 5 1 1 0 0 0 4 1 1 0 0 5 1 1 1 1 1 6 1 0 1 0 0 1 Explicaţii: 10000FIB = 8 1100 FIB = 5+3 = 8 1011 FIB = 5+2+1 = 8 11111 FIB = 8+5+3+2+1 = 19 11000 FIB = 8+5 = 13 101001 FIB = 13+5+1 = 19 Restricţii şi precizări:

• Fiecare număr are cel mult 10000 de cifre, iar prima cifră este 1 • 1≤N≤100

Timp maxim de execuţie/test: 0.1 secunde. Total memorie disponibilă: 1 MB. Dimensiunea maximă a sursei: 5 KB.






Clasa a IX-a Problema 2 – bile Gigel şi-a confecţionat pentru un experiment un dispozitiv care constă într-o tijă metalică pe care sunt dispuse mai multe bile cu caracteristici identice. Tija străpunge fiecare bilă printr-un canal şi este prevăzută la fiecare capăt cu o piedică care nu permite căderea vreunei bile (vezi desenul alăturat). Fiecare bilă de pe această tijă se găseşte pe o anumită poziţie precizată relativ la capătul din stânga al tijei.

Gigel îşi imaginează următorul joc: la un moment dat poate fi lovită doar o bilă care se găseşte la una din marginile tijei (fie prima bilă din stânga, fie ultima bilă din dreapta). Astfel când Gigel loveşte prima bilă din stânga această bilă se deplasează spre dreapta cu o poziţie dacă poziţia din dreapta este liberă sau, dacă în dreapta bilei sunt mai multe bile succesive, efectul lovirii se propagă până la ultima bilă din succesiune, care se va deplasa spre dreapta cu o poziţie (vezi desenul alăturat). Analog, lovirea ultimei bile din dreapta are ca efect deplasarea unei bile spre stânga cu o poziţie. Cerinţă Cunoscându-se numărul de bile şi poziţiile acestora pe tijă, să se determine numărul minim de loviri care trebuie aplicate bilelor astfel încât toate bilele să ajungă în poziţii succesive. Date de intrare Fişierul de intrare bile.in conţine pe prima linie un număr natural n reprezentând numărul bilelor. Pe cea de-a doua linie a fişierului se găsesc, separate prin câte un spaţiu, în ordine crescătoare, cele n poziţii ale bilelor de pe tijă. Date de ieşire Fişierul de ieşire bile.out va conţine o singură linie pe care va fi scris numărul minim de loviri necesare pentru ca toate bilele să ajungă în poziţii succesive. Restricţii şi precizări

• 2 ≤ n ≤ 50000 • Poziţia maximă a oricărei bile de pe tijă este cel mult 5000000. • Pentru 50% din teste n ≤ 1000 şi poziţia maximă a oricărei bile de pe tijă este cel mult

50000. Exemplu bile.in bile.out Explicaţie 4 2 4 7 10

7 Sunt necesare 7 loviri ale bilelor pentru ca acestea să ajungă, de exemplu, în poziţiile 3 4 5 6.







Clasa a X-a Problema 1 – negativ Suntem obişnuiţi cu scrierea numerelor într-o bază de numeraţie B, unde reprezentarea an-1an-2...a1a0 corespunde valorii a0 + B·a1 + ... + Bn-1·an-1, unde B este un număr natural mai mare sau egal cu 2 şi fiecare cifră este cuprinsă între 0 şi B−1 inclusiv.

Acest sistem se poate extinde în diverse moduri, unul dintre acestea este să permitem ca baza de numeraţie să fie un număr negativ. În acest caz, B este un număr întreg, B ≤ −2. Cifrele rămân însă numere naturale, 0 ≤ ai < −B. Avantajul unei astfel de scrieri este acela că putem reprezenta orice număr întreg (posibil negativ), folosind un număr corespunzător de cifre. Reprezentarea este unică dacă impunem condiţia ca prima cifră a numărului să nu fie zero. Cerinţă

Dându-se două numere în reprezentarea într-o aceeaşi bază negativă, se cere să se calculeze reprezentarea sumei lor în aceeaşi bază. Intrarea

Fişierul negativ.in va conţine: • pe prima linie, baza B • pe fiecare din următoarele 2 linii, numărul Ni de cifre ale unui număr, urmat de Ni numere,

separate prin spaţii, reprezentând cifrele numărului.

Ieşirea

În fişierul negativ.out se va scrie, pe o singură linie, numărul N de cifre ale rezultatului, urmat de N numere reprezentând cifrele rezultatului, toate separate prin spaţii. Exemplu negativ.in negativ.out −3 2 1 2 4 1 1 0 2 3 2 1 0 Explicaţie 1102-3 = 1· (−27)+1·9+0· (−3)+2 = −16

210-3 = 2·9+1· (−3)+0 = 15

rezultatul este −1 = 1· (−3)+2 = 12-3

Restricţii şi precizări • −2 ≥ B ≥ −10000 • 1 ≤ Ni ≤ 30000 • Atât în datele de intrare, cât şi în cele de ieşire, prima cifră a fiecărui număr va fi diferită de

zero. Numărul zero se va reprezenta ca un şir de zero cifre.







Clasele a X-a Problema 2 – paranteze Dându-se un şir de paranteze, să se determine lungimea maximă a unei secvenţe din şir în care parantezele se închid corect. Date de intrare Fişierul de intrare paranteze.in conţine următoarele date: - pe prima linie un număr natural n reprezentând numărul parantezelor din şir; - pe cea de-a doua linie a fişierului se găsesc, fără spaţii între ele, cele n paranteze ale şirului. Date de ieşire Fişierul de ieşire paranteze.out va conţine o singură linie pe care va fi scrisă o singură valoare reprezentând lungimea maximă a unei secvenţe din şir în care parantezele se închid corect. Restricţii şi precizări

• 1 ≤ n ≤ 1000000 • În cadrul şirului pot apărea doar parantezele deschise ( , [ şi {, precum şi parantezele

închise corespunzătoare ) , ] şi }. • Pentru 30% din teste n ≤ 1000. • Pentru 50% din teste şirul va conţine doar un tip de paranteză deschisă şi perechea ei.

Exemple paranteze.in paranteze.out 10 ( ( ) ( ( ) ) ( ( )

6

paranteze.in paranteze.out 10 ] [ ( ) { [ ] } ] )

8







Clasele XI-XII Problema 1 – angrenaj Un angrenaj constă in nişte osii pe care se găsesc roţi dinţate. Unele perechi de roţi dinţate sunt angrenate. Dacă pe axul a1 se găseşte o roată dinţată cu n1 dinţi care este angrenată cu o roată cu n2 dinţi situată pe axul a2, atunci la fiecare rotaţie a axului a1 în sens orar, axul a2 efectuează n1/n2 rotaţii în sens antiorar. Cerinţă Să se afle ce roţi se rotesc, în ce sens şi cât, la fiecare rotaţie a axului 1.

Intrarea Datele se citesc din fişierul angrenaj.in având următorul format:

• pe prima linie, două numere naturale, N şi M, reprezentând numărul de osii şi numărul de perechi de roţi angrenate

• pe următoarele M linii, câte patru numere naturale, A, B, Na, Nb, reprezentând respectiv numărul axului pe care se găseşte prima roată, numărul axului pe care se află a doua roată, numărul de dinţi de pe prima roată şi numărul de dinţi de pe a doua roată. Axele sunt numerotate de la 1 la N.

Ieşirea În fişierul angrenaj.out se vor scrie N linii, câte una corespunzând fiecărui ax. Pe fiecare linie se vor scrie două numere întregi, P şi Q, cu semnificaţia că, pentru fiecare rotaţie a axului 1, axul corespunzător liniei curente face P/Q rotaţii. Numărul P este pozitiv dacă axul curent se roteşte în acelaşi sens cu axul 1, negativ dacă axul curent se roteşte în sens contrar axului 1 şi 0 dacă axul curent nu se roteşte deloc. Numărul Q trebuie să fie strict pozitiv. Dacă axul 1 nu se poate roti deloc, P va fi 0 pentru toate axele. Exemple angrenaj.in angrenaj.out angrenaj.in angrenaj.out 5 4 1 1 5 4 0 1 1 2 4 5 -4 5 1 2 5 5 0 1 2 3 7 8 7 10 2 3 5 5 0 1 2 3 21 24 0 1 1 3 5 5 0 1 4 5 3 4 0 1 4 5 3 4 0 1

Restricţii şi precizări • 1 ≤ N ≤ 200 • 0 ≤ M ≤ 200 • Pentru fiecare roată dinţată, numărul de dinţi este cuprins între 1 şi 99. • Dacă un ax nu are legătură nici direct nici indirect cu axul 1, el nu se roteşte deloc. • Numerele scrise în fişierul de ieşire nu este necesar să reprezinte fracţii ireductibile. • Pentru cel puţin 60% dintre teste, toate numerele P şi Q au valorile absolute mai mici de 231.

Timp maxim de execuţie/test: 5 secunde. Total memorie disponibilă: 1 MB. Dimensiunea maximă a sursei: 5 KB.






Clasele XI-XII Problema 2 – şiruri Dându-se un şir de litere mici ale alfabetului englez, să se determine: a. numărul subşirurilor crescătoare ale acestui şir modulo 41357; b. numărul minim de subşiruri crescătoare în care poate fi partiţionat acest şir. Date de intrare Fişierul de intrare siruri.in conţine următoarele date: - pe prima linie un număr natural p, pentru toate testele de intrare, numărul p putând avea doar valoarea 1 sau valorea 2; - pe a doua linie un număr natural n reprezentând numărul literelor din şir; - pe cea de-a treia linie a fişierului se găsesc, fără spaţii între ele, cele n litere ale şirului. Date de ieşire Fişierul de ieşire siruri.out va conţine o singură linie pe care va fi scrisă o singură valoare reprezentând rezultatul cerinţei a dacă valoarea lui p este 1 sau rezultatul cerinţei b dacă valoarea lui p este 2. Restricţii şi precizări

• 1 ≤ n ≤ 1000000 • Se vor număra doar subşirurile nevide. • Fiecare dintre cerinţe reprezintă 50% din punctaj. • Pentru 30% din teste n ≤ 10000.

Exemple siruri.in siruri.out 1 7 acabadc

41

siruri.in siruri.out 2 7 acabadc

3






Ediţia a XIII-a, 10– 11 MAI 2013

Clasa a IX-a Problema 1 – CEAS Un ceasornicar a construit un ceas mai special. Acest ceas are un cadran şi mai multe ace indicatoare. Fiecare indicator se roteşte cu viteză constantă, dar diferită de a celorlalte indicatoare. La punerea în funcţiune, ceasul are toate indicatoarele suprapuse şi indicând exact în sus. În timpul funcţionării, în diverse momente, două sau mai multe ace indicatoare se pot suprapune. După un anumit timp, toate acele indicatoare vor fi din nou suprapuse şi indicând în sus; în acel moment, ceasul va fi oprit. Cerinţă Să se determine numărul de suprapuneri de câte două ace indicatoare între momentul pornirii şi cel al opririi ceasului. Dacă trei sau mai multe ace se suprapun la un acelaşi moment, se vor număra toate perechile; astfel, dacă 4 ace se suprapun simultan, acest lucru se va număra ca 6 suprapuneri. Suprapunerile iniţială şi finală a tuturor acelor nu se vor considera în numărătoare. Date de intrare Datele se vor citi din fişierul ceas.in având următorul format:

• pe prima linie se găseşte numărul N de ace indicatoare; • pe fiecare dintre următoarele N linii se va găsi câte un număr natural reprezentând

durata unei rotaţii complete a acului corespunzător. Date de ieşire În fişierul ceas.out se va scrie, pe o singură linie, numărul de suprapuneri de ace. Restricţii şi precizări

• 2 ≤ N ≤ 100 • Duratele rotaţiilor acelor sunt distincte două câte două • Se garantează că atât timpul scurs între două momente în care toate acele se suprapun

şi indică în sus, cât şi numărul de suprapuneri sunt mai mici decât 263. Exemplu ceas.in ceas.out Explicaţie 3 1 2 3

5 Timpul după care toate trei acele ajung din nou să arate simultan în sus este 6. Acul 1 cu acul 2 se suprapun de 2 ori, la momentele 2 si 4 (plus la momentele 0 şi 6, care nu se numără). Acul 1 cu acul 3 se suprapun de 3 ori, la momentele 1.5, 3 şi 4.5 (plus la momentele 0 şi 6). Acul 2 cu acul 3 nu se suprapun niciodata (decât la momentele 0 şi 6).







Clasa a IX-a Problema 2 – TEREN Ion şi fraţii lui au primit în dar de la o rudă un teren agricol de formă dreptunghiulară. Terenul este parcelat sub forma unui caroiaj, fiecare parcelă de dimensiuni elementare având o anumită cantitate de cereale preconizată a fi recoltată. În urma unor discuţii, s-a stabilit suprafaţa care îi revine fiecărei persoane. Deoarece Ion este cel mai în vârstă dintre fraţi, el va alege primul zona de teren agricol pe care o va păstra. Această zonă de teren trebuie să fie, la rândul ei, de formă dreptunghiulară. Cerinţă Cunoscându-se dimensiunile terenului, cantitatea de cereale specifică fiecărei parcele şi aria suprafeţei agricole ce-i revine lui Ion, să se determine cantitatea maximă totală de cereale pe care o poate recolta Ion, ştiind că zona de teren pe care o va alege Ion este de formă dreptunghiulară şi că toate parcelele care intră în componenţa acestei zone îi revin acestuia. Date de intrare Fişierul de intrare teren.in conţine pe prima linie, separate prin câte un spaţiu, trei numere naturale n, m şi a, reprezentând, în ordine, dimensiunile terenului şi aria suprafeţei care îi revine lui Ion. Fiecare dintre următoarele n linii ale fişierului conţine, separate prin câte un spaţiu, câte m valori reprezentând cantităţile de cereale preconizate a fi recoltate din parcelele terenului. Date de ieşire Fişierul de ieşire teren.out va conţine o singură linie pe care va fi scrisă cantitatea maximă totală de cereale pe care o poate recolta Ion de pe zona agricolă aleasă. Restricţii şi precizări

• 1 ≤ n, m ≤ 500 • 1 ≤ a ≤ n x m • Cantitatea de cereale preconizată a fi recoltată dintr-o parcelă a terenului este o valoare

naturală cel mult egală cu 100. • Se garantează că Ion are cel puţin o variantă în stabilirea zonei pe care o va alege.

Exemplu teren.in teren.out Explicaţie 3 4 4 2 4 3 1 3 1 5 2 4 2 1 3

13 Dacă Ion alege zona dreptunghiulară cu colţul stânga-sus în parcela de pe linia 1 şi coloana 2 şi cu colţul dreapta-jos în parcela de pe linia 2 şi coloana 3, cantitatea totală de cereale recoltate este 13, cea mai mare posibilă.







Clasa a X-a Problema 1 – CUBURI Se consideră un paralelipiped format din M × N × P cuburi de latură 1. Se cere să se afle prin câte cuburi trece diagonala paralelipipedului. Se vor număra doar cuburile prin interiorul cărora trece diagonala, nu şi cele atinse doar pe muchie sau pe un vârf. Date de intrare Fişierul cuburi.in va conţine, pe o singură linie, cele 3 numere naturale M, N şi P. Date de ieşire În fişierul cuburi.out se va scrie numărul de cuburi prin care trece diagonala. Restricţii

• 1 ≤ M, N, P ≤ 260 Exemplu cuburi.in cuburi.out Explicaţie 2 4 5 8 Desenul de mai jos arată paralelipipedul văzut în lungul axei de

lungime 2. Cu linie continuă este figurată porţiunea din stratul inferior de cuburi, iar cu linie întreruptă cea din stratul superior. Linia taie câte 4 cuburi din fiecare dintre cele 2 straturi.







Clasa a X-a Problema 2 – INSULE După o lungă călătorie, căpitanul şi echipajul său au ajuns în preajma unui arhipelag mai puţin cunoscut. Legenda spune că aici s-ar găsi îngropată pe una dintre insule o mare comoară. Căpitanul deţine o hartă a acestor locuri în care apare inclusiv presupusul loc al comorii îngropate. Pentru a evita o posibilă revoltă a echipajului nemulţumit, pe de o parte, de terminarea apei de pe corabie şi nerăbdător, pe de altă parte, de a ajunge la comoară, căpitanul vrea să ştie timpul pe care îl mai are de petrecut pe mare până la acostarea la cea mai apropiată dintre insulele arhipelagului şi timpul minim necesar să acosteze la insula unde se presupune că e îngropată comoara. Cerinţă Cunoscându-se harta arhipelagului, poziţia corabiei şi poziţia presupusului loc al comorii, să se determine timpul minim de acostare pe cea mai apropiată dintre insulele arhipelagului şi timpul minim de acostare pe insula unde se presupune ca este îngropată comoara. Date de intrare Fişierul de intrare insule.in conţine pe prima linie, separate printr-un spaţiu, două numere naturale n şi m, reprezentând dimensiunile hărţii. Fiecare dintre următoarele n linii ale fişierului conţine, fără spaţii între ele, câte m valori de 0 sau 1 reprezentând o poziţie de pe hartă cu semnificaţia de apă, respectiv pământ. Penultima linie a fişierului conţine, separate printr-un spaţiu, două numere naturale r1 şi c1 reprezentând poziţia corabiei (numărul liniei, respectiv numărul coloanei, numerotate începând de la 1), iar ultima linie a fişierului conţine, separate printr-un spaţiu, două numere naturale r2 şi c2 reprezentând poziţia comorii. Date de ieşire În fişierul de ieşire insule.out se va scrie pe prima linie o valoare reprezentând timpul minim de acostare pe cea mai apropiată din insulele arhipelagului, iar pe cea de-a doua linie o valoare reprezentând timpul minim de acostare pe insula cu presupusa comoară. Restricţii şi precizări

• 1 ≤ n, m ≤ 100 • 1 ≤ r1 , r2 ≤ n • 1 ≤ c1 , c2 ≤ m • Harta este de formă dreptunghiulară şi este împărţită în n × m zone elementare de

dimensiuni 1 × 1. Astfel, poziţia unei zone elementare de pe hartă se identifică în mod unic, în această ordine, printr-un număr de linie şi printr-un număr de coloană. Numerotarea liniilor se face de sus în jos, iar numerotarea coloanelor de la stânga la dreapta.

• Două zone distincte de pe hartă se consideră învecinate dacă au cel puţin un punct în comun.

• Deplasarea corabiei dintr-o zonă oarecare într-o zonă vecină se realizează într-o unitate de timp.

• Două zone distincte se consideră că fac parte din aceeaşi insulă dacă se poate ajunge dintr-o zonă în cealaltă doar trecând prin zone vecine de uscat.

• Corabia poate acosta la ţărm dacă se găseşte într-o zonă de apă vecină unei zone de uscat.

• Se garantează că poziţia corabiei este una marcată cu apă pe hartă, iar poziţia comorii este una marcată cu pământ pe hartă.

• Dacă corabia nu poate acosta pe insula cu comoara, pe cea de-a doua linie a fişierului de ieşire se va scrie valoarea -1.

• Pentru rezolvarea corectă doar a primei cerinţe se acordă 30% din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă doar a celei de-a doua cerinţe se acordă 70% din punctaj.

Exemplu insule.in insule.out 6 7 0000010 0000110 0000000 0000100 0001000 0000001 4 1 1 6

2 3







Clasele XI-XII Problema 1 – NUMERE Nişte arheologi au descoperit o tăbliţă conţinând nişte simboluri necunoscute, aranjate pe N rânduri de diferite lungimi. După ceva cercetări, ei au descoperit că:

• fiecare rând reprezintă un număr; • numerele de pe tăbliţă sunt în ordine crescătoare; • în cadrul fiecărui număr, prima cifră este cea mai semnificativă; • fiecare cifră apare cel puţin o dată pe tăbliţă - astfel, ei au determinat imediat baza de

numeraţie utilizată ca fiind numărul de simboluri distincte de pe tăbliţă. Pentru început, arheologii au numerotat, într-o ordine arbitrară, începând de la 1, simbolurile distincte ce apar pe tăbliţă. Cerinţă Să se determine, pentru fiecare simbol de cifră, valoarea cifrei corespunzătoare. Date de intrare Datele se vor citi din fişierul numere.in având următorul format:

• pe prima linie, două numere naturale, B şi N, reprezentând numărul de simboluri distincte şi numărul de rânduri de pe tăbliţă;

• pe fiecare dintre următoarele N linii, câte un număr natural Li reprezentând numărul de simboluri de pe rândul curent, urmat de Li numere, cuprinse fiecare între 1 şi B, reprezentând simbolurile de pe rândul curent, conform numerotării date de arheologi.

Date de ieşire În fişierul numere.out se vor scrie, pe o singură linie, B numere naturale între 0 şi B-1, separate prin spaţii. Al i-lea număr va reprezenta valoarea cifrei reprezentată prin simbolul care a fost numerotat cu i în numerotarea dată de arheologi. Restricţii şi precizări

• 2 ≤ B ≤ N ≤ 10000 • Fiecare număr de pe tăbliţă are cel mult 100 cifre. • Se garantează existenţa şi unicitatea soluţiei.

Exemplu numere.in numere.out Explicaţie 3 5 2 1 1 2 3 2 2 3 3 3 1 2 2 3 1 2 1

1 0 2

Numerele sunt: • în reprezentarea în baza 3: 11, 20, 22, 100, 101 • în reprezentarea în baza 10: 4, 6, 8, 9, 10

Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă. Total memorie disponibilă: 1 MB. Dimensiunea maximă a sursei: 5 KB.






Clasele XI-XII Problema 2 – PUTERI Gigel este preocupat, mai nou, de operaţii matematice care implică multe numere. Astfel, el încearcă să răspundă la întrebări de genul: „Care este puterea maximă (număr natural) la care poate fi ridicat un număr natural c astfel încât valoarea rezultată să dividă produsul tuturor numerelor naturale dintr-un interval închis [a,b]?”. Gigel vrea să verifice dacă răspunsurile lui sunt corecte şi apelează la ajutorul vostru. Date de intrare Fişierul de intrare puteri.in conţine pe prima linie o valoare n reprezentând numărul de întrebări, iar pe următoarele n linii, corespunzător fiecărei întrebări şi separate prin câte un spaţiu, câte trei numere naturale a, b şi c având semnificaţia de mai sus. Date de ieşire Fişierul de ieşire puteri.out va conţine n linii, câte una pentru fiecare întrebare din fişierul de intrare; pe fiecare dintre aceste linii se va scrie o singură valoare reprezentând răspunsul la întrebarea corespunzătoare. Restricţii şi precizări

• 1 ≤ n ≤ 10000 • 2 ≤ ci ≤ 100000000, 1 ≤ i ≤ n • 1 ≤ ai ≤ bi ≤ 100000000, 1 ≤ i ≤ n

Exemplu puteri.in puteri.out 2 29 41 3 17 24 6

5 4


MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAAŢŢIIEEII,, CCEERRCCEETTĂĂRRIIII,, TTIINNEERREETTUULLUUII ŞŞII SSPPOORRTTUULLUUII

IINNSSPPEECCTTOORRAATTUULL ŞŞCCOOLLAARR JJUUDDEEŢŢEEAANN CCLLUUJJ CCOOLLEEGGIIUULL NNAAŢŢIIOONNAALL „„MMIIHHAAII VVIITTEEAAZZUULL”” TTUURRDDAA

SSOOCCIIEETTAATTEEAA DDEE ŞŞTTIIIINNŢŢEE MMAATTEEMMAATTIICCEE DDIINN RROOMMÂÂNNIIAA -- FFIILLIIAALLAA CCLLUUJJ



Ediţia a XII-a, 11– 12 MAI 2012

Clasa a IX-a Problema 1 – NUMERE Se dau două şiruri de numere naturale. Să se determine câte elemente ale primului şir se pot exprima ca sumă de unul sau mai multe elemente succesive ale celui de-al doilea şir. Date de intrare Fişierul de intrare numere.in conţine pe prima linie, separate printr-un spaţiu, două numere naturale n şi m reprezentând, respectiv, numărul de elemente ale primului şir şi numărul de elemente ale celui de-al doilea şir. Pe cea de-a doua linie a fişierului se găsesc, separate prin câte un spaţiu, cele n elemente ale primului şir, iar pe cea de-a treia linie a fişierului, separate prin câte un spaţiu, cele m elemente ale celui de-al doilea şir. Date de ieşire Fişierul de ieşire numere.out va conţine o valoare reprezentând numărul de elemente ale primului şir care se pot exprima ca sumă de elemente succesive ale celui de-al doilea şir. Restricţii şi precizări

• 1 ≤ n ≤ 1000 • 1 ≤ m ≤ 1000 • Toate elementele din cele două şiruri sunt numere naturale mai mici decât 1000000. • Orice sumă ce exprimă un număr al primului şir trebuie să aibă cel puţin un termen,

element al celui de-al doilea şir. Exemplu numere.in numere.out Explicaţie 4 5 2 4 1 8 2 2 6 0 2

3 2 = 2 4 = 2 + 2 8 = 2 + 6







Ediţia a XII-a, 11– 12 MAI 2012 Clasa a IX-a Problema 2 – TRIUNGHI Considerăm o coală de hârtie pe care avem desenată o grilă formată din triunghiuri echilaterale identice. O astfel de grilă este compusă din trei familii de linii drepte; în cadrul fiecărei familii, liniile sunt paralele echidistante, iar liniile din familii diferite se intersectează în unghiuri de 60 de grade. Mai presupunem că prima familie este formată din linii orizontale; a doua va fi formată din linii orientate din stânga-jos spre dreapta-sus, la 60 de grade faţă de orizontală şi 30 de grade faţă de verticală, iar liniile celei de-a treia familii sunt orientate dinspre dreapta-jos spre stânga-sus. În cadrul primei şi celei de-a doua familii, numerotăm liniile cu numere întregi, de jos în sus şi, respectiv, dinspre stânga-sus spre dreapta-jos. Astfel, fiecare vârf al vreunui triunghi din grilă poate fi identificat unic printr-o pereche de numere întregi, reprezentând numărul liniei din prima familie şi numărul liniei din a doua familie ce se intersectează în acel punct. Dându-se două vârfuri distincte ale grilei, se cere să se determine câte triunghiuri sunt tăiate de segmentul de dreaptă determinat de cele două puncte. Un triunghi se consideră tăiat de segment doar dacă segmentul intersectează interiorul triunghiului; dacă segmentul doar trece printr-un vârf sau de-a lungul unei laturi, nu considerăm că ar tăia triunghiul. Date de intrare Datele se citesc din fişierul triunghi.in având, pe o singură linie, patru numere întregi. Primele două numere descriu primul punct, fiind, respectiv, numărul liniei din prima familie (orizontală) şi numărul liniei din a doua familie (oblică stânga-jos spre dreapta-sus) la intersecţia cărora se găseşte acesta. Următoarele două numere descriu, în acelaşi mod, cel de-al doilea punct. Date de ieşire În fişierul triunghi.out se va scrie numărul de triunghiuri tăiate de segment. Restricţii

• Numerele date la intrare sunt întregi cuprinse între −500000000 şi 500000000. Exemplu 1 triunghi.in triunghi.out 0 -1 4 1 8

Exemplu 2 triunghi.in triunghi.out 0 1 1 0 0 Timp maxim de execuţie/test: 0.1 secunde. Total memorie disponibilă: 5 MB. Dimensiunea maximă a sursei: 5 KB.







Clasa a X-a Problema 1 – CUVINTE Ionică şi Vasilică, prieteni buni, caută mereu să-şi testeze îndemânarea şi logica. Cei doi se găsesc în faţa aceluiaşi calculator şi tastează, cât pot de repede, câte un cuvânt. Textul rezultat în urma tastării literelor din cele două cuvinte va avea literele cuvintelor amestecate între ele, deşi apar în aceeaşi ordine ca în cuvintele iniţiale. Mai mult, grăbindu-se, cei doi băieţi pot apăsa la un moment dat o aceeaşi tastă, acţiune care va avea ca rezultat apariţia unei singure litere în şirul final tastat. Cunoscându-se cele două cuvinte pe care cei doi băieţi le tastează şi textul rezultat, să se determine numărul de variante distincte în care băieţii au apăsat tastele şi o astfel de variantă. Date de intrare Fişierul de intrare cuvinte.in conţine pe prima linie cuvântul pe care l-a tastat Ionică, pe cea de-a doua linie cuvântul pe care l-a tastat Vasilică, iar pe cea de-a treia linie textul rezultat. Date de ieşire Fişierul de ieşire cuvinte.out va conţine pe prima linie numărul de variante în care băieţii au apăsat tastele, iar pe cea de-a doua linie o astfel de variantă. Restricţii şi precizări

• Lungimea fiecărui şir din fişierul de intrare este cel mult 200. • Şirurile conţin doar litere mici ale alfabetului englez. • O variantă de apăsare a tastelor va fi descrisă printr-un şir de valori 1, 2 sau 3, fără

spaţii între ele, reprezentând persoana care a apăsat tasta la momentul corespunzător poziţiei din şir (1 – Ionică, 2 – Vasilică, 3 – tasta a fost apăsată în acelaşi timp de ambii băieţi).

• Numărul total de variante este cel mult 1000000000. • Pentru rezolvarea corectă doar a primei cerinţe se acordă 60% din punctaj. Pentru

rezolvarea corectă doar a celei de-a doua cerinţe se acordă 40% din punctaj. Exemplu cuvinte.in cuvinte.out abbc abcb aabbccb

8 1213122








Clasa a X-a Problema 2 – PERECHI Lui Gigel îi plac numerele care au doua sau mai multe cifre consecutive egale. De exemplu, îi plac numerele 11, 22, 100, 110, 111. El doreşte acum să afle câte numere naturale, formate dintr-un număr dat de cifre, au cel puţin două cifre consecutive identice. De asemenea, el doreşte să poată face acest lucru şi pentru numerele scrise în altă bază decât 10. Scrierea numerelor se face intotdeauna fără zerouri în faţă (prima cifră a numărului nu poate fi 0). Dându-se două numere naturale N, şi B, se cere să se afle cate numere naturale au scrierea în baza B formată din exact N cifre şi au cel putin 2 cifre consecutive identice. Date de intrare Fişierul perechi.in contine, pe o singură linie, cele două numere naturale, N şi B, ambele reprezentate în baza 10 şi separate printr-un spaţiu. Date de ieşire În fişierul perechi.out se va scrie, pe o singură linie, numărul de numere ce conţin cel puţin o pereche de cifre consecutive identice, modulo 2012. Restricţii

• 1 ≤ N ≤ 1000. • 1 ≤ B ≤ 1000.

Exemplu 1 perechi.in perechi.out Explicaţie 2 10 9 Numerele căutate sunt: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Exemplu 2 perechi.in perechi.out Explicaţie 3 3 10 Numerele căutate, reprezentate în baza 3, sunt: 100, 110, 111, 112,

122, 200, 211, 220, 221, 222 Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă. Total memorie disponibilă: 5 MB. Dimensiunea maximă a sursei: 5 KB.






Ediţia a XII-a, 11– 12 MAI 2012 Clasele XI-XII Problema 1 – DISCURI Ionuţ a găsit în garajul tatălui său, mecanic de profesie, mai multe discuri cu dinţi, toate identice între ele. Băiatul vrea să facă un mic experiment cu aceste discuri. Astfel, el conectează mai multe perechi de discuri între ele. În acest mod obţine un sistem de discuri interconectate în care rotirea unui disc într-un anumit sens determină rotirea tuturor discurilor direct conectate la acest disc în sens opus (vezi imaginea alăturată). În final, ataşează fiecărui disc din sistem câte un motoraş capabil să producă discului căruia îi este ataşat într-o secundă o rotaţie completă în sensul acelor de ceasornic. Pentru a verifica sistemul construit, Ionuţ îşi cheamă câţiva prieteni şi îi roagă să acţioneze motoraşele. Evident, prietenii lui, încântaţi de sistemul construit, acţionează motoraşele fără a aştepta oprirea completă a celor anterior acţionate, ceea ce poate duce la blocarea întregului sistem de discuri. Cunoscându-se structura sistemului de discuri, să se determine: a) dacă sistemul este funcţional, adică dacă toate discurile pot fi rotite. Dacă cel puţin un disc nu se poate roti, întrucât rotirea lui într-un sens ar provoca, direct sau indirect, rotirea unui acelaşi disc simultan în sensuri contrare, sistemul este nefuncţional; b) numărul maxim de discuri care pot fi rotite în sensul acelor de ceasornic prin acţionarea unui singur motoraş din sistem; c) cunoscând, în plus, intervalele de timp în care este acţionat fiecare motoraş de către prietenii băiatului, se cere să se determine primul moment de timp în care sistemul se blochează. Sistemul se blochează dacă există cel puţin un disc care este forţat, direct sau indirect, de către motoraşe în funcţiune în acel moment, să se rotească simultan în ambele sensuri. Date de intrare Fişierul de intrare discuri.in conţine pe prima linie, separate prin câte un spaţiu, trei numere naturale n, m şi p reprezentând, respectiv, numărul de discuri, numărul de perechi de discuri direct conectate şi numărul de acţionări ale motoraşelor. Pe următoarele m linii se găsesc câte două numere naturale, separate între ele prin câte un spaţiu, reprezentând numerele de ordine ale două discuri direct conectate. Ultimele p linii conţin, separate între ele prin câte un spaţiu, câte trei numere întregi d i f reprezentând, corespunzător, numărul de ordine al motoraşului acţionat, momentul în care motoraşul este acţionat şi momentul în care acesta este oprit. La momentul iniţial, se consideră că toate motoraşele sunt oprite. Date de ieşire Fişierul de ieşire discuri.out va conţine pe prima linie numărul 1 sau 0 după cum sistemul este funcţional sau nu. Pe cea de-a doua linie a fişierului se va scrie o valoare reprezentând numărul

maxim de discuri care se rotesc în sensul acelor de ceasornic la acţionarea unui motoraş oarecare sau 0 dacă orice motoraş acţionat duce la blocarea sistemului. Pe cea de-a treia linie, se va scrie o valoare reprezentând primul moment de timp în care sistemul se blochează sau valoarea -1 dacă sistemul nu se blochează prin acţionarea motoraşelor precizate. Restricţii şi precizări

• Fiecare motoraş are numărul de ordine identic cu cel al discului pe care îl acţionează. • 3 ≤ n ≤ 1000 • 1 ≤ m ≤ 10000 • 2 ≤ p ≤ 1000 • 1 ≤ d ≤ n • 0 ≤ i < f ≤ 10000 • Oprirea unui motoraş determină oprirea concomitentă din rotaţie a tuturor discurilor din

sistem care sunt legate direct sau indirect de discul corespunzător motoraşului respectiv, exceptând situaţia în care unul sau mai multe alte motoraşe sunt încă în funcţiune.

• Dacă un motoraş este pornit concomitent cu oprirea altui motoraş, nu se consideră că aceste două motoraşe ar fi simultan în funcţiune (ca atare, chiar dacă acestea ar determina un acelaşi disc să se rotească în sensuri opuse, nu se consideră că sistemul se blochează).

• Mai multe discuri care determină rotirea unui disc în acelaşi sens nu modifică viteza de rotaţie a acestuia.

• Se garantează că acţionarea unui motoraş nu se face decât dacă acesta este oprit. • Pentru rezolvarea corectă doar a primei cerinţe se acordă 40% din punctaj, pentru rezolvarea

corectă doar a celei de-a doua cerinţe se acordă 30% din punctaj, iar pentru rezolvarea corectă doar a celei de-a treia cerinţe se acordă 30% din punctaj.

Exemple discuri.in discuri.out Explicaţie 5 5 3 2 3 1 5 1 3 4 3 4 5 2 1 6 3 9 10 4 4 7

1 3 -1

Sistemul este funcţional. Prin acţionarea motoraşului cu numărul de ordine 1 vor fi 3 discuri (1, 2 şi 4) care se rotesc în sensul acelor de ceasornic. Sistemul nu se blochează.

discuri.in discuri.out Explicaţie 4 3 3 2 3 1 3 4 3 2 3 6 3 2 4 4 4 7

1 3 3

Sistemul este funcţional. Prin acţionarea motoraşului cu numărul de ordine 1 vor fi 3 discuri care se rotesc în sensul acelor de ceasornic. Sistemul se blochează la momentul 3.







Ediţia a XII-a, 11– 12 MAI 2012 Clasele XI-XII Problema 2 – SALTURI Prinţul Persiei este un joc pe calculator, aflat în vogă acum 20 de ani. Personajul jocului trebuie să se deplaseze prin culoarele unui castel, să evite diverse capcane şi să deschidă porţile prin care intenţionează să treacă. Adesea, el trebuie să parcurgă un culoar în timp limitat, înainte ca o poartă aflată la capătul culoarului să se închidă. Dacă culoarul conţine capcane, el trebuie să sară peste acestea. În jocul original, personajul poate să fugă, să sară de pe loc, sau să sară din fugă. Saltul din fugă este mai rapid (mai rapid chiar decât fuga pe aceeaşi distanţă) şi mai lung (putând astfel evita capcane mai întinse), dar are nevoie de mai mult spaţiu pentru elan şi pentru oprire, comparativ cu saltul de pe loc. Ca atare, pe un culoar dat, un jucător bun trebuie să găsească secvenţa optimă de salturi şi de porţiuni parcurse în fugă pentru traversarea cât mai rapidă a acesteia. Culoarul de traversat este compus din N porţiuni de lungime 1; fiecare astfel de porţiune poate fi fie culoar normal, fie o capcană. În problema noastră, generalizăm puţin jocul, permiţând un număr oarecare de tipuri de salturi (precum şi deplasarea în fugă). Despre fiecare tip de salt, se cunoaşte lungimea necesară pentru elan, lungimea saltului propriu-zis şi lungimea necesară pentru oprire, precum şi timpul necesar efectuării lui. Porţiunile utilizate pentru elan şi pentru oprire trebuie să fie fără capcane; porţiunile peste care se sare pot fi oricum. Lungimea saltului este exact cea specificată; nu poate fi micşorată. După parcurgerea porţiunii de oprire a unui salt se poate începe imediat elanul saltului următor sau personajul poate fugi mai întâi o anumită distantă. Porţiunile parcurse în fugă pot fi oricât de lungi, dar nu au voie să conţină capcane. La finalul culoarului, personajul jocului nu are voie să fie în cursul unui salt, nici măcar în cadrul elanului sau opririi. Dându-se configuraţia culoarului şi caracteristicile salturilor posibile, se cere să se determine timpul minim necesar parcurgerii culoarului, precum şi o secvenţă de salturi şi porţiuni parcurse în fugă prin care se obţine acest minim. Date de intrare Datele se citesc din fişierul salturi.in având următorul format:

• pe prima linie, trei numere naturale nenule, L, N şi T0, separate prin spaţii, reprezentând lungimea culoarului, numărul de tipuri de salturi şi timpul necesar parcurgerii în fugă a unei porţiuni de culoar de lungime 1;

• pe a doua linie, L numere 0 sau 1 separate prin spaţii, reprezentând configuraţia culoarului; 0 reprezintă culoar liber, iar 1 reprezintă o capcană;

• pe fiecare din următoarele N linii, câte patru numere naturale nenule, reprezentând lungimea elanului, lungimea saltului propriu-zis, lungimea opririi şi durata totală a saltului.

Date de ieşire Rezultatele se vor scrie în fişierul salturi.out în următorul format:

• pe prima linie se vor scrie două numere naturale, T şi M, reprezentând timpul minim necesar şi suma dintre numarul de salturi şi numărul de porţiuni de lungime 1 parcurse în fugă

• pe a doua linie se vor scrie M numere, fiecare cuprins între 0 şi N inclusiv, reprezentând tipul saltului, valoarea 0 indicând parcurgerea în fugă a unei porţiuni de lungime 1.

Restricţii şi precizări

• 1 ≤ L ≤ 1000. • 1 ≤ N ≤ 1000. • Se garantează existenţa unei soluţii.

Exemplu salturi.in salturi.out 15 2 1 19 5 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 2 1 6 3 3 1 5 Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă. Total memorie disponibilă: 5 MB. Dimensiunea maximă a sursei: 5 KB.

MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAAŢŢIIEEII,, CCEERRCCEETTĂĂRRIIII,, TTIINNEERREETTUULLUUII ŞŞII SSPPOORRTTUULLUUII IINNSSPPEECCTTOORRAATTUULL ŞŞCCOOLLAARR JJUUDDEEŢŢEEAANN CCLLUUJJ

CCOOLLEEGGIIUULL NNAAŢŢIIOONNAALL „„MMIIHHAAII VVIITTEEAAZZUULL”” TTUURRDDAA SSOOCCIIEETTAATTEEAA DDEE ŞŞTTIIIINNŢŢEE MMAATTEEMMAATTIICCEE DDIINN RROOMMÂÂNNIIAA –– FFIILLIIAALLAA CCLLUUJJ



Ediţia a XI-a, 6–7 MAI 2011

Clasa a IX-a Problema 1 – ZEROURI Pe Gigel îl pasionează numerele şi operaţiile cu ele. Noua lui preocupare este de a găsi cu câte zerouri se termină produsul unor numere naturale. Ce a observat este că, evident, cu cât numerele sunt mai multe cu atât e mai greu să afle ce-l interesează. Aşa că Gigel apelează la ajutorul vostru. Cerinţă Cunoscându-se capetele unui interval închis, să se determine cu câte zerouri se termină produsul numerelor naturale din acest interval. Date de intrare În fişierul zerouri.in se află pe unica sa linie, separate printr-un spaţiu, două numere naturale a şi b reprezentând capetele unui interval închis. Date de ieşire În fişierul zerouri.out se va scrie o valoare reprezentând numărul de zerouri cu care se termină produsul numerelor naturale din intervalul [a,b]. Restricţii şi precizări • 1 ≤ a ≤ b ≤ 2000000000. • Pentru 30% din teste b - a ≤ 100000. Exemple zerouri.in zerouri.out Explicaţie 4 11 2 Produsul numerelor de la 4 la 11, egal cu 6652800, se termină

cu două zerouri. zerouri.in zerouri.out 134 5435435 1358821 Timp maxim de execuţie/test: 0.1 secunde. Total memorie disponibilă: 5 MB. Dimensiunea maximă a sursei: 5 KB.






Clasa a IX-a Problema 2 – GRAY Codul Gray este o reprezentare cu cifre 0 şi 1 a unui număr, construită după următoarele reguli:

• Codul Gray pe n cifre permite reprezentarea numerelor naturale cuprinse între 0 şi 2n−1 • Codul Gray pe 1 cifră reprezintă 0 ca 0 şi 1 ca 1 • Reprezentarea în cod Gray pe n+1 cifre a unui număr k (cuprins între 0 şi 2n+1−1) se construieşte astfel:

- dacă k este între 0 şi 2n−1, reprezentarea lui k pe n+1 cifre se formează din reprezentarea lui k pe n cifre, la care se adaugă un 0 în faţă; - dacă k este între 2n şi 2n+1−1, reprezentarea lui k pe n+1 cifre se formează din reprezentarea lui 2n+1−1−k pe n cifre, la care se adaugă un 1 în faţă.

A stfel, reprezentarea pe 4 cifre a numerelor de la 0 la 15 este: 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010

4 0110 5 0111 6 0101 7 0100

8 1100 9 1101 10 1111 11 1110

12 1010 13 1011 14 1001 15 1000

Cerinţă: Dându-se reprezentarea în cod Gray pe n cifre a două numere naturale, se cere reprezentarea în cod Gray pe n cifre a sumei lor.

Date de intrare Fişierul gray.in va conţine: • pe prima linie, numărul n de cifre • pe a doua linie, cele n cifre ale primului număr, separate prin spaţii • pe a doua linie, cele n cifre ale celui de-al doilea număr, separate prin spaţii

Date de ieşire În fişierul gray.out se vor scrie, pe o singură linie, cele n cifre ale sumei, separate prin spaţii.

Restricţii şi precizări - 1 ≤ n ≤1000 - se garantează că suma celor două numere este cel mult egală cu 2n−1

E xemplu

gray.in gray.out 4 1 1 0 1 0 0 1 1

1 1 1 0







Clasa a X-a Problema 1 – MUNTE Ionică şi Vasilică sunt doi buni prieteni cărora le plac munţii şi competiţia. Ei au selectat dintr-o regiune montană o zonă de formă dreptunghiulară căreia i-au asociat un caroiaj ce împarte această zonă în M x N pătrate. Pe baza tuturor datelor avute la dispoziţie, cei doi au stabilit dacă fiecare dintre aceste pătrate este accesibil sau nu. Ca antrenament în vederea unei viitoare expediţii montane mai dificile, băieţii şi-au propus ca, plecând din colţuri opuse ale acestei zone, să ajungă cât mai repede într-o aceeaşi poziţie (pătrat) din care, mai apoi, să-şi continue traseul împreună. Cerinţă Cunoscându-se dimensiunile zonei selectate şi accesibilitatea fiecărei poziţii din această zonă, să se determine, dacă e posibil, timpul minim T în care cei doi băieţi pot ajunge într-o aceeaşi poziţie şi numărul de poziţii în care ar ajunge după acest timp minim T. Date de intrare În fişierul munte.in se află: • pe prima linie, separate printr-un spaţiu, două valori M şi N, reprezentând dimensiunile zonei; • pe următoarele M linii, separate prin spaţii, câte N valori de 0 şi 1 reprezentând accesibilitatea

poziţiei corespunzătoare din zonă (0 – poziţie accesibilă, 1 – poziţie care nu poate fi atinsă). Date de ieşire Fişierului munte.out va conţine: • pe prima linie valoarea 1 sau 0 după cum există sau nu o poziţie în zonă care poate fi atinsă de

ambii băieţi; • dacă valoarea scrisă pe prima linie este 1, fişierul va mai conţine pe cea de-a doua linie timpul

minim T în care cei doi băieţi pot ajunge într-o aceeaşi poziţie, iar pe cea de-a treia linie numărul de poziţii care pot fi atinse de ambii băieţi în acest timp minim T.

Restricţii şi precizări • 3 ≤ M, N ≤ 100. • Ionică pleacă din poziţia (1,1), iar Vasilică din poziţia (M,N). Cele două poziţii sunt accesibile. • Deplasare dintr-o poziţie într-o altă poziţie este posibilă dacă cele două poziţii sunt ambele

accessibile şi vecine pe orizontală sau pe verticală. Deplasarea, dacă e posibilă, se realizează într-o unitate de timp.

• Nu e obligatoriu ca în fiecare unitate de timp să aibă loc o deplasare a fiecărui băiat. • Timpul total al unui traseu este dat de numărul deplasărilor efectuate în cadrul lui. • Pentru 20% din teste M, N ≤ 20.

Exemplu munte.in munte.out 4 5 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0

1 4 3







Clasa a X-a Problema 2 – DREPTE Se consideră n drepte distincte în plan. Se presupune că nu există două drepte paralele şi nici trei care să se intersecteze în acelaşi punct. Aceste drepte împart planul în regiuni poligonale de diverse forme (o regiune este delimitată de două sau mai multe drepte dintre cele date şi nu este tăiată de niciuna dintre dreptele date). Cerinţă Se cere să se determine toate regiunile de formă triunghiulară ce se formează. Date de intrare Datele se citesc din fişierul drepte.in având următorul format: • pe primul rând, numărul N de drepte; • pe fiecare dintre următoarele N rânduri, câte trei numere întregi, A B C, separate prin spaţii,

reprezentând dreapta formată din acele puncte din plan ale căror coordonate (X,Y) satisfac relaţia A*X+B*Y+C=0.

Date de ieşire În fişierul drepte.out se va scrie pe fiecare linie câte trei numere întregi reprezentând numerele de ordine, din fişierul de intrare, ale dreptelor ce determină o regiune de formă triunghiulară. Restricţii şi precizări • dreptele se consideră numerotate de la 1 la N; • nu are importanţă ordinea în care apar triunghiurile în fişierul de ieşire, şi nici ordinea în care se

dau cele trei drepte ce determină un triunghi; • N ≤ 50. • -1000 ≤ A, B, C ≤ 1000

Exemplu Drepte.in drepte.out Dreptele date: 4 0 1 0 1 0 0 1 -1 -1 1 1 -2

1 2 3 1 3 4

1

4


23






Clasele XI-XII Problema 1 – RADARE Poliţia rutieră îşi propune amplasarea unor radare fixe de-a lungul unei şosele pentru a supraveghea traficul. Se doreşte în particular supravegherea anumitor puncte de pe şosea unde au avut loc multe evenimente rutiere. Există doar anumite puncte în care pot fi amplasate radarele. Numărul de radare de amplasat este de asemenea fixat. Toate radarele sunt identice şi asigură acoperirea supravegherii traficului în ambele sensuri de circulaţie pe o anumită rază. Cerinţă Să se determine numărul maxim de puncte de interes care pot fi supravegheate precum şi numărul de variante de amplasare prin care acest maxim este atins. Date de intrare În fişierul radare.in se află: • pe prima linie, separate prin spaţii, patru valori M, N, P şi R. - M reprezintă numărul de puncte în care evenimentele rutiere sunt mai numeroase; - N reprezintă numărul de puncte în care pot fi amplasate radarele; - P reprezintă numărul de radare; - R reprezintă raza de acţiune a radarelor. • pe cea de-a doua linie M numere naturale distincte ai, separate prin spaţii şi în ordine

crescătoare, reprezentând distanţele la care se găsesc punctele ce trebuie supravegheate faţă de un capăt al şoselei;

• pe cea de-a treia linie N numere naturale distincte bi, separate prin spaţii şi în ordine crescătoare, reprezentând distanţele la care se găsesc punctele unde pot fi amplasate radarele faţă de acelaşi capăt al şoselei.

Date de ieşire Fişierului radare.out va conţine: • pe prima linie numărul maxim T de puncte care se vor afla sub supravegherea radarelor; • pe cea de-a doua linie numărul de variante de amplasare a acestor radare pentru asigurarea

supravegherii acestor T de puncte, modulo 9973. Restricţii şi precizări • 1 ≤ M, N ≤ 1000. • 1 ≤ P ≤ N. • 1 ≤ ai ≤ 1000000000, 1 ≤ i ≤ M. • 1 ≤ bi ≤ 1000000000, 1 ≤ i ≤ N. • Raza R de acţiune a radarelor este mai mică decât orice distanţă dintre două puncte posibile de

amplasare a radarelor. • Pentru 30% din teste N ≤ 20. • Pentru determinarea corectă a valorii T se acordă 50% din punctaj.

Exemplu radare.in radare.out Explicaţie 4 3 2 2 3 7 10 14 4 8 12

3 3

Pot fi supravegheate maxim 3 puncte. Numărul maxim de puncte care vor fi supravegheate se poate atinge amplasând cele două radare în trei moduri (în punctele 4 şi 8, în punctele 4 şi 12 sau în punctele 8 şi 12).







Clasele XI-XII Problema 2 – DOMINO

Avem un joc de domino mai special. Jocul constă dintr-un număr de piese dreptunghiulare, toate de aceeaşi dimensiune. Fiecare piesă are înscrise două numere, unul la marginea stângă şi unul la marginea din dreapta. În plus, fiecare piesă are o anumită culoare. Dorim să punem piesele cap la cap, cu laturile scurte lipite, formând un lanţ de piese, respectând următoarele două condiţii: - oricare două piese vecine să aibă culori diferite; - pentru oricare două piese vecine, numărul înscris la marginea din dreapta a primei piese să fie egal cu numărul înscris pe marginea din stânga a piesei imediat următoare.

Cerinţă Cunoscând toate piesele unui set de domino şi dându-se o piesă de început şi o piesă de sfârşit, se cere să se formeze un lanţ corect, de lungime minimă, care să aibă pe prima poziţie piesa de început şi pe ultima poziţie piesă de sfârşit date. Dacă există mai multe lanţuri de aceeaşi lungime minimă, se cere oricare dintre ele.

Date de intrare Datele se citesc din fişierul domino.in care are următorul format : • pe prima linie, trei numere întregi, N S F, separate prin spaţii, reprezentând numărul total de

piese, numarul piesei de început şi numarul piesei de sfârşit. Piesele se consideră numerotate de la 1 la N;

• pe fiecare dintre următoarele N linii, câte trei numere întregi, Si Di Ci, reprezentând numărul înscris pe marginea din stânga, numărul înscris pe marginea din dreapta şi culoarea piesei cu numarul i.

Date de ieşire Soluţia se va scrie în fişierul domino.out în următorul format: • pe prima linie, numărul K de piese din lanţ; • pe a doua linie, K numere naturale reprezentând piesele din lanţ.

Restricţii şi precizări • piesele nu se pot întoarce stânga-dreapta: o piesă cu numerele 1 - 2 nu poate fi aşezată după o

piesă cu numerele 2 - 2 (însă poate fi aşezată înaintea ei); • o piesă se poate utiliza cel mult o singură dată în lanţ; • 2 ≤ N ≤ 1000.

Exemplu domino.in domino.out 5 1 2 1 2 3 2 4 3 2 1 2 2 1 1 1 2 2

4 1 4 5 2




CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ „MARIAN ŢARINĂ”

Ediţia a X-a, 14–15 MAI 2010

Clasa a IX-a Problema 1 – FACTORIAL Se numeşte factorial al unui număr natural nenul n (notat n!) numărul obţinut prin înmulţirea numerelor naturale mai mici sau egale decât n: n!=1*2*…*(n-1)*n. Cerinţă Dându-se un şir de n numere naturale nenule şi o valoare k, să se verifice dacă k! este multiplu al produsului celor n numere date. Date de intrare În fişierul fact.in se găsesc pe prima linie separate printr-un spaţiu două valori n şi k cu semnificaţiile din enunţ, iar pe cea de-a doua linie cele n numere naturale separate prin spaţii. Date de ieşire În fişierului fact.out se va scrie 1 sau 0 după cum k! este sau nu multiplu al produsului numerelor date. Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 1000. • 1 ≤ k ≤ 10000. • Fiecare număr al şirului are cel mult 9 cifre. Exemple fact.in fact.out 3 5 6 1 2

1

fact.in fact.out 4 4 6 2 2 2

0

Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă





Clasa a IX-a Problema 2 – CUTII Se dau nişte obiecte cilindrice, de înălţimi şi diametre cunoscute, şi nişte cutii cilindrice, de asemenea de înălţimi şi diametre cunoscute. Cerinţă Să se plaseze un număr cât mai mare de obiecte în cutii, în condiţiile în care în fiecare cutie se poate plasa cel mult un obiect, iar acesta trebuie să aibă înălţimea mai mică sau egală cu înălţimea cutiei şi diametrul mai mic sau egal cu diametrul cutiei. Date de intrare În fişierul cutii.in se găsesc pe prima linie separate printr-un spaţiu două valori N şi K, reprezentând numărul obiectelor respectiv numărul cutiilor. Pe următoarele N linii câte două valori, separate prin spaţiu, reprezentând înălţimea şi diametrul unui obiect dat. În continuare, pe următoarele K linii câte două valori, separate prin spaţiu, reprezentând înălţimea şi diametrul unei cutii date. Date de ieşire În fişierului cutii.out se va scrie pe prima linie numărul M de obiecte plasate în cutii. Pe fiecare din următoarele M linii se va scrie câte o pereche de valori, reprezentând numărul de ordine al obiectului plasat şi numărul de ordine al cutiei în care acesta este plasat. În cazul în care exista mai multe soluţii se poate preciza oricare dintre ele. Restricţii şi precizări • 1 ≤ N ≤ 1000. • 1 ≤ K ≤ 1000. • Obiectele şi cutiile sunt numerotate în ordinea apariţiei în fişierul de intrare cutii.in. • Valorile pentru înălţimi şi diametre sunt numere naturale nenule mai mici decât 1000. Exemplu cutii.in cutii.out Explicaţie 4 3 5 2 4 6 3 8 2 5 4 5 6 6 2 3

2 1 2 4 1

Una dintre soluţiile posibile este plasarea a 2 obiecte: obiectul 1 în cutia 2 şi obiectul 4 în cutia 1.






Clasa a X-a Problema 1 – BABEL La conferinţa anuală a Naţiunilor Unite, fiecare ţară a trimis câte o delegaţie, care are în componenţa ei şi un interpret. Acesta cunoaşte, pe lângă limba oficială a ţării sale, cel puţin încă o limbă. Secretariatul pregăteşte materialul de lucru pentru conferinţă în câteva limbi, iniţiale. Acest material este dat interpreţilor delegaţiilor, care urmează să-l traducă în toate limbile. Orice interpret care dispune de o copie a materialului într-o limbă pe care o cunoaşte, îl poate traduce în toate celelalte limbi cunoscute lui. Materialul astfel tradus de către un interpret este pus la dispoziţia tuturor, putând fi tradus mai departe de către alţi interpreţi. Cerinţă Cunoscându-se numărul de delegaţii participante, limba oficială a fiecărei ţări participante şi limbile cunoscute de fiecare interpret în parte, să se determine numărul minim de limbi în care trebuie pregătit iniţial materialul de către secretariat şi care sunt aceste limbi, astfel încât fiecare delegaţie să poată obţine, în final, o traducere în limba oficială a ţării pe care o reprezintă. Date de intrare În fişierul babel.in se află: • pe prima linie numărul N de delegaţii participante; • pe fiecare din următoarele N linii, corespunzător fiecărei delegaţii în parte, separate prin spaţii,

mai multe valori – prima Li reprezentând limba oficială a ţării pe care o reprezintă delegaţia, a doua NRi reprezentând numărul de limbi cunoscute de interpretul din delegaţie, cele două valori fiind urmate de un şir de NRi numere reprezentând limbile cunoscute de interpret, 1 ≤ i ≤ N.

Date de ieşire Fişierul babel.out va conţine: • pe prima linie numărul minim de limbi în care trebuie pregătit iniţial materialul de către

secretariat; • pe cea de-a doua linie, separate prin spaţii şi în ordine crescătoare, limbile în care va fi pregătit

iniţial materialul. Restricţii şi precizări • 2 ≤ N ≤ 1000. • 1 ≤ Li ≤ 1000, 1 ≤ i ≤ N. • 1 ≤ NRi ≤ 100, 1 ≤ i ≤ N. • Fiecare limbă din cele 1000 care pot fi utilizate în cadrul conferinţei se identifică unic printr-un

număr natural nenul mai mic sau egal decât 1000. • Dacă există mai multe soluţii cu acelaşi număr minim de limbi, se va furniza cea mai mică

soluţie în ordine lexicografică.

Exemplu babel.in babel.out 5 3 2 1 4 2 1 4 8 1 9 7 1 8 9 2 11 10

2 1 7






Clasa a X-a Problema 2 – HOTEL Un hotel dispune de nişte săli de conferinţă, identice. Nişte potenţiali clienţi doresc să închirieze sălile pentru a organiza conferinţe. Cunoscând, despre fiecare client, data de început şi data de sfârşit a conferinţei, conducerea hotelului doreşte o planificare a acestora. O planificare validă trebuie să întrunească următoarele condiţii:

• fiecare client poate fi acceptat sau refuzat; • unui client acceptat i se alocă o singură sală pe toată durata solicitată de el (nu poate fi mutat

dintr-o sală în alta); • nu poate exista niciun moment în care o aceeaşi sală să fie alocată la doi clienţi.

Dintre toate planificările valide, se cere aceea pentru care numărul de clienţi acceptaţi este cel mai mare. Dacă mai multe planificări ating acelaşi număr maxim de clienţi acceptaţi, se va da oricare dintre ele.

Date de intrare Datele se vor citi din fişierul hotel.in având următorul format:

• pe prima linie, numărul N de săli şi numărul M de clienţi, separate prin spaţiu, • pe fiecare din următoarele M linii, câte două numere, Si Fi, separate prin spaţiu, reprezentând

prima zi şi ultima zi a conferinţei organizate de clientul i.

Date de ieşire Rezultatele se vor scrie într-un fişier ce se va numi hotel.out în următorul format:

• pe prima linie se va scrie numărul K de clienţi ce vor fi acceptaţi; • pe fiecare din următoarele K linii se va scrie o pereche de numere, Ki Li, separate prin spaţiu,

reprezentând numărul de ordine al clientului acceptat şi numărul de ordine al sălii ce-i este alocată.

Restricţii şi precizări • Clienţii se consideră numerotaţi de la 1 la M în ordinea din fişierul de intrare, iar sălile sunt

numerotate de la 1 la N. • 1 ≤ N ≤ 10000. • 1 ≤ M ≤ 10000. • 0 ≤ Si ≤ Fi ≤ 32000.

Exemplu hotel.in hotel.out 2 6 1 2 2 5 8 10 10 11 3 7 6 9

6 1 1 5 1 3 1 2 2 6 2 4 2






Clasele XI-XII Problema 1 – CEASURI Un colecţionar are mai multe ceasuri. Toate aceste ceasuri funcţionează bine, dar sunt reglate pe diverse fusuri orare. Colecţionarul examinează, pe rând, ceasurile, într-o ordine oarecare, putând reveni de mai multe ori la oricare dintre ceasuri. La fiecare examinare, el notează, într-un registru, numărul ceasului examinat şi ora indicată de acesta în momentul examinării.

Cerinţă Dându-se registrul întocmit de către colecţionar, se cere să se determine fusurile orare pe care sunt reglate ceasurile. Se consideră că:

• înregistrările din registru sunt în ordine cronologică, • diferenţele de fus orar sunt numere întregi de secunde, • fiecare examinare durează cel puţin 1 secundă, • ceasul numărul 1 este luat ca referinţă, pentru fiecare dintre celelalte se cere să se precizeze

cu câte secunde arată mai mult decât ceasul numărul 1, • există cel puţin o soluţie.

Dacă există mai multe soluţii, se va afişa una singură.

Date de intrare Datele se vor citi din fişierul ceasuri.in având următorul format:

• pe prima linie, numărul N de ceasuri şi numărul M de înregistrări, • pe fiecare din următoarele M linii, câte două numere, Ci Ti, separate prin spaţiu,

reprezentând numărul ceasului examinat şi timpul, în secunde, indicată de acesta.

Date de ieşire Rezultatele se vor scrie într-un fişier ce se va numi ceasuri.out care va conţine N-1 linii, corespunzătoare ceasurilor de la 2 la N. Pe fiecare linie se va scrie cu cât indică ceasul corespunzător mai mult decât ceasul numărul 1. De notat că acest număr va fi pozitiv dacă ceasul corespunzător este înaintea ceasului 1 şi negativ dacă ceasul este în urma ceasului 1.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ N ≤ 100. • 1 ≤ M ≤ 10000. • −10000 ≤ Ti ≤ 10000.

Exemplu ceasuri.in ceasuri.out Explicaţie 3 6 1 2 2 5 2 9 3 3 1 11 3 5

2 -7

Momentele examinărilor, conform ceasului de referinţă (ceasul 1) sunt : 2, 3, 7, 10, 11, 12. O altă soluţie este : 1, -7, presupunând că momentele examinărilor ar fi fost 2, 4, 8, 10, 11, 12.






Clasele XI-XII Problema 2 – VALUTĂ O casă de schimb valutar afişează ratele de schimb între diverse valute. Un turist doreşte să schimbe o sumă de bani din valuta pe care o deţine el într-o anumită valută de care are nevoie. El poate schimba banii direct, poate schimba mai întâi într-o valută intermediară şi apoi în valuta dorită sau poate efectua o secvenţă oricât de lungă de schimburi valutare, dintre cele oferite de casă.

Cerinţă Dându-se numărul de valute, perechile de valute între care casa oferă posibilitate de schimb, ratele de schimb pentru aceste perechi, valuta iniţială deţinută de turist şi valuta finală dorită, se cere o secvenţă de operaţii de schimb care să-i permită turistului obţinerea unei sume cât mai mari de bani în valuta finală.

Date de intrare Datele se vor citi din fişierul valuta.in având următorul format:

• pe prima linie, patru numere naturale, N M S D, reprezentând respectiv numărul de valute, numărul de perechi între care casa schimbă bani, valuta iniţială deţinută de turist şi valuta finală dorită de turist;

• pe fiecare din următoarele M linii, câte trei numere, Si Di Ri, separate prin spaţii, reprezentând valuta sursă, valuta destinaţie şi numărul de unităţi monetare destinaţie ce se obţin pentru o unitate monetară sursă. De notat că Ri este real pozitiv, putând fi supraunitar sau subunitar.

Date de ieşire Rezultatele se vor scrie într-un fişier ce se va numi valuta.out în următorul format:

• pe prima linie, numărul K de valute intermediare prin care se efectuează schimbul; • pe următoarea linie, K numere naturale reprezentând valutele intermediare prin care se

efectueză conversia optimă. De notat că valuta iniţială şi cea finală nu se vor scrie în fişierul de ieşire.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ N ≤ 100. • 1 ≤ M ≤ 10000. • Din motive de aproximări la calcule, este permisă generarea unei soluţii sub-optime. Soluţia

generată trebuie să ofere turistului cel puţin 99,99% din suma maximă ce poate fi obţinută. • Se garantează că există cel puţin o cea mai bună secvenţă de conversii.

Exemplu valuta.in valuta.out Explicaţie 3 4 1 3 1 2 0.5 2 1 1.9 1 3 0.25 2 3 0.6

1 2

Conversia 1 → 2 → 3 oferă o rată de schimb de 0,5×0,6=0,3 , care este mai bună decât rata corespunzătoare schimbului direct 1 → 3 care este de 0,25.



EDIŢIA A IX-A 15 – 16 MAI 2009

Clasa 9 Problema 1 – PREMII La un concurs de programare doi concurenţi s-au clasat pe primul loc cu acelaşi punctaj. Organizatorii concursului au la dispoziţie n obiecte pe care doresc să le împartă celor doi concurenţi astfel încât valorile totale ale obiectelor primite de fiecare concurent în parte să fie egale. Se presupune că fiecare câştigător al concursului primeşte cel puţin un obiect şi obiectele care nu sunt atribuite niciunuia dintre cei doi concurenţi vor fi redistribuite celorlalţi concurenţi. Cerinţă Cunoscându-se numărul n de obiecte şi valorile acestora, să se determine numărul posibilităţilor distincte de a împărţi aceste obiecte celor doi concurenţi câştigători. Date de intrare În fişierul premii.in se află: • pe prima linie un număr n reprezentând numărul de obiecte; • pe cea de-a doua linie, separate prin câte un spaţiu, n numere naturale reprezentând valorile în

bani ale acestor obiecte. Date de ieşire Fişierul premii.out va conţine o singură linie pe care va fi scris numărul posibilităţilor de împărţire a obiectelor. Restricţii şi precizări • 2 ≤ n ≤ 10. • Valoarea fiecărui obiect este un număr natural nenul mai mic decât 1000. • Două modalităţi de împărţire a obiectelor se consideră distincte dacă cel puţin un obiect este

acordat unei alte persoane. Exemplu premii.in premii.out Explicaţie 4 7 45 12 5

2 Varianta 1: primul concurent primeşte primul şi al patrulea obiect, iar al doilea primeşte al treilea obiect. Varianta 2: primul concurent primeşte al treilea obiect, iar al doilea primeşte primul şi al patrulea obiect.


MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAAŢŢIIEEII,, CCEERRCCEETTĂĂRRIIII ŞŞII IINNOOVVĂĂRRIIII IINNSSPPEECCTTOORRAATTUULL ŞŞCCOOLLAARR JJUUDDEEŢŢEEAANN CCLLUUJJ

CCOOLLEEGGIIUULL NNAAŢŢIIOONNAALL „„MMIIHHAAII VVIITTEEAAZZUULL”” TTUURRDDAA



Clasa 9 Problema 2 – TREN Între două localităţi, A şi B, este o linie de cale ferată (dublă). Din localitatea A pleacă spre B un număr de M trenuri, la interval de I minute unul de altul, primul tren plecând la momentul 0. Din B pleacă spre A un număr de N trenuri, la J minute unul de altul, primul tren plecând tot la momentul 0 (adică simultan cu primul tren din A). Durata călătoriei între A şi B este de D minute (aceeaşi pentru ambele sensuri şi pentru toate trenurile). Cerinţă Să se determine câte întâlniri de trenuri au loc pe traseu. Se consideră că, dacă un tren pleacă dintr-o localitate în momentul în care un alt tren soseşte în acea localitate, atunci cele două trenuri se întâlnesc. Date de intrare Datele se citesc din fişierul tren.in. Acesta are o singură linie, conţinând cinci numere naturale, M I N J D, separate prin spaţiu, reprezentând respectiv numărul de trenuri ce pleacă din A, intervalul de timp între două plecări consecutive din A, numărul de trenuri ce pleacă din B, intervalul dintre două plecări din B şi durata unei călătorii. Date de ieşire Rezultatul se va scrie în fişierul tren.out. Acesta va conţine o singură linie pe care se va afla un singur număr natural, reprezentând numărul de întâlniri. Restricţii • 1 ≤ M, I, N, J, D ≤ 30000 Exemple tren.in tren.out 2 3 2 4 4 4 tren.in tren.out 2 2 3 4 3 3 Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă





Clasa 10 Problema 1 – MISIUNE Într-o zonă de luptă de formă dreptunghiulară este paraşutată o trupă aeropurtată cu misiunea precisă de a elibera nişte prizonieri. Zona este împărţită în n x m locaţii, din care unele sunt minate şi, deci, nu pot fi parcurse. Se ştie că punctul de paraşutare (de coordonate 1 şi 1) şi punctul unde sunt ţinuţi prizonierii (de coordonate n şi m) nu sunt minate, însă întreaga zonă este încercuită de mine (din motive de securitate). Cerinţă Să se determine, dacă este posibil, timpul minim, măsurat în deplasări elementare (mişcări dintr-o locaţie în una vecină pe orizontală sau verticală), în care trupa paraşutată reuşeşte să elibereze prizonierii. Date de intrare De pe prima linie a fişierului misiune.in se citesc trei numere n, m şi p, reprezentând dimensiunile zonei de luptă şi, respectiv, numărul locaţiilor minate. De pe următoarele p linii se citesc câte două valori xi şi yi, separate printr-un spaţiu, reprezentând coordonatele locaţiei minate a i-a, 1 ≤ i ≤ p. Date de ieşire Pe unica linie a fişierului misiune.out se va scrie o singură valoare reprezentând timpul minim de salvare sau 0 dacă salvarea nu este posibilă. Restricţii şi precizări • 2 ≤ n, m ≤ 100. • 0 ≤ p ≤ n x m - 2. • 1 ≤ xi ≤ n, 1 ≤ yi ≤ m, 1 ≤ i ≤ p. Exemplu misiune.in misiune.out 4 5 5 1 2 3 1 2 4 3 3 4 3

9






Clasa 10 Problema 2 – BARE Un cod de bare este o secvenţă de bare (dungi negre) şi spaţii dintre bare (dungi albe). Barele şi spaţiile alternează, iar codul începe şi se termină cu o bară (astfel, numărul barelor este cu 1 mai mare decât numărul spaţiilor). Fiecare bară şi fiecare spaţiu are o lăţime egală cu număr întreg de unităţi de lungime. În plus, lăţimea fiecărei bare şi lăţimea fiecărui spaţiu trebuie să se încadreze între un minim şi un maxim, date. Este fixată lăţimea totală D a codului. Cerinţă Să se determine numărul de coduri distincte posibile. De notat că numărul de bare nu este fixat. Date de intrare Fişierul de intrare se numeşte bare.in şi conţine, pe o singură linie, trei numere întregi, D M N, reprezentând, respectiv, lăţimea totală a codului, lăţimea minimă a unei bare sau a unui spaţiu şi lăţimea maximă a unei bare sau a unui spaţiu. Date de ieşire În fişierul cu numele bare.out se va scrie un număr întreg R reprezentând numărul de coduri distincte posibile. Restricţie • D ≤ 100 Exemple bare.in bare.out 7 1 4 11 bare.in bare.out 8 2 3 3 Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă





Clasele 11-12 Problema 1 – BUGET Guvernul unui stat aflat într-o profundă criză financiară doreşte să reaşeze valoric salariile existente într-un sector al sistemului bugetar printr-o micşorare a acestora. Într-o primă etapă, comisiile guvernamentale stabilesc care sunt posturile şi care sunt relaţiile de subordonare dintre acestea. Se constată că fiecare post, cu excepţia unuia singur (ministrul), are exact un superior direct în ierarhia sectorului bugetar respectiv. Evident, salarizarea preconizată trebuie să acorde fiecărui post un salariu strict mai mare decât al oricărui post subordonat acelui post. Cerinţă Cunoscându-se numărul n de posturi existente în sectorul bugetar, relaţiile ierarhice între aceste posturi şi salariul smin minim pe care trebuie să îl primească orice persoană care ocupă un post în sectorul bugetar, să se determine suma minimă care trebuie alocată de guvern plăţii tuturor salariilor. Presupunând că, în plus, fiecare post din sector va fi limitat superior din punctul de vedere al salariului de o valoare smax, să se determine numărul de modalităţi în care guvernul poate stabili salariile asociate tuturor posturilor din întregul sector bugetar. Date de intrare În fişierul buget.in se află: • pe prima linie separate prin spaţii trei valori - n reprezentând numărul de posturi din sectorul

bugetar, smin şi smax cu semnificaţiile de mai sus; • pe fiecare din următoarele linii, separate printr-un spaţiu, câte două valori distincte ai şi bi

reprezentând două posturi din cadrul sectorului bugetar cu semnificaţia că persoana care ocupă postul ai este şeful direct al persoanei care ocupă postul bi, 1 ≤ i < n.

Date de ieşire Fişierul buget.out va conţine: • pe prima linie suma minimă care trebuie alocată de guvern pentru plata tuturor salariilor din

sectorul bugetar; • pe cea de-a doua linie numărul de modalităţi modulo 7907 în care guvernul poate stabili

salariile asociate tuturor posturilor din întregul sector bugetar în condiţiile limitării salariului asociat fiecărui post din sector.

Restricţii şi precizari • 2 ≤ n ≤ 100.



• 1 ≤ smin < smax ≤ 100. • 1 ≤ ai, bi ≤ n, 1 ≤ i < n. Exemplu buget.in buget.out 6 3 6 5 6 4 2 1 3 1 5 4 1

24 6




Clasele 11-12 Problema 2 – CAŞCAVAL Mickey Mouse şi cu Minnie se găsesc într-un labirint de caşcaval. Caşcavalul are goluri conectate prin tuneluri cu sens unic. Parcurgerea unui tunel de la un gol la altul durează 1 secundă. Din cauza capcanelor instalate de Tom, şoriceii trebuie să se deplaseze în permanenţă, fiind interzis să staţioneze într-un gol sau într-un tunel. La momentul iniţial, Mickey şi Minnie se găsesc în două goluri diferite. Ei doresc să se întâlnească, pentru aceasta fiind necesar să ajungă simultan într-un acelaşi gol din caşcaval. În plus, ei doresc să se întâlnească cât mai repede posibil. Date de intrare Fişierul cascaval.in conţine: • pe prima linie, trei numere naturale, N A B, reprezentând numărul total de goluri din caşcaval,

numărul golului în care se află iniţial Mickey şi numărul golului în care se află iniţial Minnie; • pe fiecare din următoarele N linii se află câte N numere separate prin spaţii, numărul al J-lea de

pe linia I+1 fiind 1 dacă din golul I există tunel spre golul J şi 0 în caz contrar. Date de ieşire În fişierul cascaval.out se va scrie: • pe prima linie timpul T necesar întâlnirii; • pe fiecare din următoarele T linii se vor scrie câte două numere, P şi Q. Numerele de pe linia

k+1 vor reprezenta poziţiile lui Mickey şi, respectiv, Minnie, la momentul k. De remarcat că, pe ultima linie, trebuie ca P=Q.

Dacă nu există soluţie, în fişierul de ieşire se va scrie o singură linie conţinând numărul 0. Restricţii • 1 ≤ A, B ≤ N. • 1 ≤ N ≤ 30. Exemple cascaval.in cascaval.out cascaval.in cascaval.out 5 1 5 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0

2 2 4 3 3

4 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0

0





EDIŢIA A VIII-A 16 – 17 MAI 2008

Clasa 9 Problema 1 – FERESTRE Pe ecranul unui calculator sunt deschise mai multe ferestre. Se ştie, despre fiecare fereastră, poziţia ei pe ecran precum şi „nivelul” ei (deasupra căror ferestre se află). Ferestrele pot să se acopere parţial. O fereastră poate fi închisă dacă colţul dreapta-sus al ei este vizibil. Odată închisă o fereastră, ea încetează să mai acopere ferestrele de sub ea. Ordinea sus-jos a ferestrelor nu poate fi modificată. O parte dintre ferestrele de pe ecran trebuie să rămână deschise. Se cere să se închidă cât mai multe dintre celelalte ferestre. Date de intrare Datele se vor citi din fişierul ferestre.in în următorul format:

• pe primul rând, numărul total n de ferestre şi numărul m de ferestre ce trebuie să rămână deschise

• următoarele n rânduri descriu ferestrele, de la cea mai de jos (eventual acoperită de toate celelalte) la cea mai de sus (neacoperită de nicio fereastră). Fiecare rând conţine câte 4 numere întregi x1 y1 x2 y2 reprezentând coordonatele colţurilor ferestrei; x1< x2, y1< y2; colţul dreapta-sus are coordonatele (x2 , y1).

• pe următoarele m rânduri, câte un număr natural reprezentând numărul de ordine al câte unei ferestre ce trebuie lăsată deschisă; numerotarea ferestrelor începe de la 1 de la fereastra cea mai de jos.

Date de ieşire: În fişierul ferestre.out se va scrie:

• pe primul rând, numărul maxim k de ferestre ce pot fi închise • pe următoarele k rânduri, numerele de ordine ale ferestrelor ce pot fi închise, în

ordinea în care vor fi închise Exemple: ferestre.in ferestre.out 4 1 2 0 1 2 5 4 0 0 3 4 3 4 2 5 5 1 1 5 3 2 Restricţii şi precizări:

• n ≤ 200 • coordonatele sunt numele întregi între -30000 şi 30000


MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAAŢŢIIEEII,, CCEERRCCEETTĂĂRRIIII ŞŞII TTIINNEERREETTUULLUUII IINNSSPPEECCTTOORRAATTUULL ŞŞCCOOLLAARR JJUUDDEEŢŢEEAANN CCLLUUJJ




Clasa 9 Problema 2 - ROBOŢI Într-o hală se găseşte o bandă rulantă circulară pe care sunt dispuse piese metalice, la distanţe egale una de cealaltă. Lângă bandă se găsesc două braţe de robot, în poziţii fixe. Banda se roteşte în sens invers acelor de ceasornic. Fiecare braţ ia de pe bandă toate piesele ce ajung în dreptul lui. Procesul se încheie după ce toate piesele de pe bandă au fost luate. Cerinţă Cunoscându-se numărul n de piese dispuse pe bandă şi greutăţile acestora, să se determine unde trebuie poziţionate cele două braţe astfel încât diferenţa, în valoare absolută, dintre suma greutăţilor pieselor luate de primul braţ şi suma greutăţilor pieselor luate de al doilea braţ să fie minimă. Date de intrare În fişierul roboti.in se află: • pe prima linie un număr n reprezentând numărul de piese dispuse pe bandă; • pe cea de-a doua linie, separate prin câte un spaţiu, n numere naturale reprezentând

corespunzător greutăţile celor n piese. Date de ieşire Fişierul roboti.out va conţine o singură linie pe care vor fi scrise, separate printr-un spaţiu, două numere distincte reprezentând poziţiile celor două braţe de robot. Poziţiile se dau prin numerele de ordine ale celor două piese în dreptul cărora se vor găsi iniţial cele două braţe (şi care vor fi totodată primele piese luate de cele două braţe). Piesele se numeroteaza de la 1. Restricţii şi precizări • 2 ≤ n ≤ 10000. • Greutatea fiecărei piese este un număr natural nenul mai mic decât 200. • Dacă există mai multe perechi de poziţii care duc la o diferenţă minimă se va alege cea mai

mică în ordine lexicografică (fiind date două perechi (a1,b1) şi (a2,b2) se spune că prima este mai mică lexicografic decât a doua dacă fie a1<a2, fie a1=a2 şi b1<b2).

Exemplu roboti.in roboti.out Explicaţie 5 7 14 2 2 8

2 4 Primul braţ de robot ridică piesele 2 şi 3 (cu greutatea totală 16), iar al doilea braţ de robot ridică piesele 4, 5 şi 1 (cu greutatea totală 17).






Clasa 10 Problema 1 - NUMERE Un şir X=(x1, x2, …, xn) este secvenţă a şirului Y=(y1, y2, …, ym) dacă există un indice k, cu 1 ≤ k ≤ m-n+1 cu proprietatea că xi = yk-1+i, 1 ≤ i ≤ n. Cerinţă Fiind dat un şir de cifre binare, să se determine cel mai mic număr natural nenul a cărui reprezentare în baza 2 nu se regăseşte ca secvenţă a şirului dat. Date de intrare În fişierul numere.in se află: • pe prima linie un număr n reprezentând dimensiunea şirului; • pe cea de-a doua linie, n cifre binare, fără spaţii între ele. Date de ieşire Fişierul numere.out va conţine o singură linie pe care va fi scrisă reprezentarea zecimală a numărului căutat. Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 200000. Exemplu numere.in numere.out Explicaţie 5 10110

4 Reprezentarea numărului 4 în baza 2 (100) nu este secvenţă a şirului.






Clasa 10 Problema 2 – Trenuri Într-un nod feroviar intră un număr de m linii de intrare, paralele. De-a lungul zonei nodului există un număr de macaze, unul după altul. Fiecare macaz fie uneşte două linii vecine într-una singură, fie desparte o linie în două. Astfel, la finalul zonei nodului feroviar iese un număr de linii de ieşire egal cu numărul liniilor de intrare plus numărul macazelor ce despart linii minus numărul de macaze ce unesc linii. Se mai dau nişte trenuri, pentru fiecare tren se ştie pe ce linie intră şi pe ce linie trebuie să iasă. Se cere să se determine ce traseu trebuie să urmeze fiecare tren astfel încât traseele trenurilor să fie disjuncte două câte două. Se garantează existenţa unei soluţii. Dacă există mai multe soluţii, se va da oricare dintre ele. Date de intrare Datele se vor citi din fişierul tren.in având următorul format:

• pe primul rând, numărul n de macaze, numărul m de linii de intrare şi numărul t de trenuri

• următoarele n rânduri descriu cele n macaze, în ordine, de la intrare spre ieşire. Pe fiecare rând se află o literă şi un număr. Litera este S dacă macazul separară o linie în două şi U dacă macazul uneşte două linii. Litera este urmată de numărul liniei ce este bifurcată, respectiv numărul primeia dintre liniile unite. Liniile sunt numerotate consecutiv de la 1 şi sunt renumerotate după fiecare macaz.

• pe următoarele t rânduri, câte o pereche de numere reprezentând linia de intrare şi linia de ieşire a trenului.

Date de ieşire: În fişierul tren.out se vor scrie t rânduri, câte unul pentru fiecare tren, descriind traseul trenului. Rândul va conţine un număr de litere egal cu numărul de macaze de separare întâlnite de tren. Fiecare literă este S dacă trenul trebuie să meargă "în sus" la macazul respectiv (spre linii cu număr de ordine mic), respectiv J dacă trenul trebuie să meargă în jos.



Exemplu: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2

3 2 2 2 4 4 3 4 3 4 3 3 3 5 4 3

4 5 4 4

6 5 4 5 4 5 4 5

tren.in tren.out 10 4 3 S S 3 J S S 5 J U 4 U 2 S 2 U 1 S 3 U 2 S 3 U 4 2 1 3 2 4 4 Restricţii şi precizări: m,n ≤ 1000 t ≤ 100 Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă



Clasele 11-12 Problema 1 - PROBLEME Elevii unei clase s-au hotărât să rezolve cât mai repede problemele propuse pentru examenul de bacalaureat la disciplina informatică. Urmărind aceste probleme, elevii şi-au dat seama că multe dintre ele sunt relativ uşor de rezolvat sau se repetă în diverse forme şi s-au hotărât să selecteze, să rezolve şi să discute mai apoi doar pe acelea care le ridică dificultăţi (se presupune că celelalte probleme, neselectate, vor fi rezolvate de fiecare elev în parte individual). Cerinţă Cunoscându-se numărul n de elevi ai clasei care susţin examenul de bacalaureat din informatică şi numărul m de probleme care au fost selectate, să se determine numărul de modalităţi distincte de împărţire a problemelor astfel încât fiecare problemă să fie rezolvată de cel puţin un elev şi fiecare elev să rezolve exact o problemă. Două modalităţi de împărţire a problemelor sunt distincte dacă cel puţin un elev rezolvă probleme distincte. Date de intrare În fişierul probleme.in se află pe unica linie a sa, separate printr-un spaţiu, cele două numere n şi m cu semnificaţiile din enunţ. Date de ieşire Fişierul probleme.out va conţine o singură linie pe care va fi scris numărul modalităţilor distincte de împărţire a problemelor. Restricţii şi precizări • 1 ≤ m ≤ n ≤ 30. • În 60% din teste valoarea determinată va avea cel mult 9 cifre. Exemple probleme.in probleme.out Explicaţie 3 2 6 Există şase variante de împărţire a problemelor. Specificând,

pentru fiecare elev, problema pe care o rezolvă, ele sunt: (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2).

probleme.in probleme.out Explicaţie 3 3 6 Soluţiile sunt: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă





Clasele 11-12 Problema 2 - OBSERVIUM Tehnologia locuitorilor de pe planeta Observium a avansat foarte mult în ultima eră. Ea le permite acestora să exploreze galaxia şi să construiască staţii de observare pe aproape orice corp ceresc solid. Ultima descoperire a acestora este planeta P1000. Pe acesta, observienii doresc construirea unei staţii de observare. Construirea staţiei constă în desfăşurarea mai multor activităţi. Fiecare activitate durează exact o zi, durând de la începutul până la sfârşitul zilei observiene în care este planificată. Pe parcursul unei zile se pot desfăşura oricâte activităţi în paralel. Unele activităţi sunt condiţionate de alte activităţi; o activitate poate începe doar după terminarea tuturor activităţilor de care depinde. Cerinţă Cunoscându-se numărul n de activităţi necesare construirii staţiei de observare şi activităţile care condiţionează începerea desfăşurării fiecărei activităţi în parte, să se determine numărul minim de zile în care se poate finaliza construirea staţiei şi activităţile care nu pot fi desfăşurate mai repede de ultima zi a acestei perioade minime. Date de intrare În fişierul observ.in se află: • pe prima linie un număr n reprezentând numărul de activităţi; • pe fiecare linie i+1 o valoare întreagă ki reprezentând numărul de activităţi care condiţionază

realizarea activităţii i urmată de ki valori distincte reprezentând activităţile care condiţionează începerea activităţii i, 1 ≤ i ≤ n (fiecare două valori succesiv scrise pe orice linie a fişierului sunt separate prin câte un spaţiu).

Date de ieşire În fişierul observ.out se va scrie: • pe prima linie o valoare reprezentând numărul minim de zile; • pe cea de-a doua linie, separate prin câte un spaţiu, în ordine crescătoare, activităţile care trebuie

desfăşurate în ultima zi. Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 4000. • 0 ≤ ki ≤ 10. • Se garantează că condiţionarea activităţilor nu împiedică construirea staţiei.



Exemplu observ.in observ.out Explicaţie 5 0 1 1 3 1 2 5 1 1 0

3 3

O planificare optimă este: în prima zi se planifică activităţile 1 şi 5, în a doua zi activităţile 2 şi 4, iar în a treia zi activitatea 3.



„MARIAN ŢARINĂ” EDIŢIA A VII-A 25 – 26 MAI 2007

Clasa a 9-a Problema 1 - MULTIPLU Se numeşte factorial al unui număr natural nenul n (notat n!) numărul obţinut prin înmulţirea numerelor naturale mai mici sau egale decât n: n!=1*2*…*(n-1)*n. Cerinţă Dându-se un număr natural k, să se determine cel mai mic număr natural n cu proprietatea că n! este multiplu al numărului k.

Date de intrare În fişierul multiplu.in se află pe unica linie a sa numărul k.

Date de ieşire Fişierul multiplu.out va conţine o singură linie pe care va fi scris cel mai mic număr n cu proprietatea că n! este multiplu al lui k.

Restricţie • 2 ≤ k ≤ 10000.

Exemplul 1: multiplu.in multiplu.out Explicaţie 5 5 5!=1*2*3*4*5=120, 120!5

Exemplul 2: multiplu.in multiplu.out Explicaţie 12 4 4!=1*2*3*4=24, 24!4 Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă





Clasa a 9-a Problema 2 - BAZE Cerinţă Dându-se n numere naturale, ki, 1 ≤ i ≤ n, se cere să se determine, pentru fiecare număr ki, cea mai mică bază de numeraţie bi în care scriind numărul respectiv ki, scrierea are toate cifrele egale. De notat că orice număr natural mai mare sau egal cu 2 poate fi bază de numeraţie.

Date de intrare În fişierul baze.in se află pe prima linie numărul n, iar pe cea de-a doua linie, despărţite prin câte un spaţiu, n numere naturale nenule ki, 1 ≤ i ≤ n.

Date de ieşire Fişierul baze.out va avea o singură linie pe care vor fi scrise, despărţite prin câte un spaţiu, n numere reprezentând, corespunzător, valorile bi ale bazele minime căutate.

Restricţii • 1 ≤ n ≤ 100. • 1 ≤ ki ≤ 1000000000, 1 ≤ i ≤ n.

Exemplu baze.in baze.out 4 5 3 26 21

4 2 3 4






Clasa a 10-a Problema 1 - TV Gigel e mare pasionat de tot ceea ce înseamnă aparatură electronică. El are în camera sa un televizor pe care îşi probează calităţile de electronist. La un moment dat Gigel a dereglat din greşeală reglajele programelor. Ca urmare, cele n programe ale televizorului au fost setate pe diverse frecvenţe, toate diferite între ele. Gigel cunoaşte cele n frecvenţe ale posturilor pe care doreşte să le memoreze pe televizorul său. Pentru a memora frecvenţa unui post pe un anumit program, Gigel poate doar să crească pas cu pas frecvenţa setată pentru programul respectiv; în momentul în care frecvenţa setată este egală cu frecvenţa maximă a televizorului, creşterea cu un pas duce la setarea valorii 1 pentru frecvenţă. Cerinţă Dându-se numărul n de programe şi de posturi, cele n frecvenţe memorate iniţial de cele n programe ale televizorului, cele n frecvenţe ale posturilor pe care Gigel doreşte să le memoreze şi limita superioară a frecvenţei pe care televizorul lui Gigel o poate prinde, să se determine, pentru fiecare program al televizorului, frecvenţa cărui post trebuie să o memoreze Gigel pe acel program, astfel încât să minimizeze timpul total necesitat de întregul proces. Timpul total este egal cu numărul total de paşi (de creştere cu o unitate sau de revenire de la frecvenţa maximă la 1) pentru toate programele televizorului.

Date de intrare În fişierul tv.in se află :

• pe prima linie, separate printr-un spaţiu, două numere, n şi v, reprezentând numărul de programe (egal cu numărul de posturi) şi, respectiv, frecvenţa maximă pe care o poate prinde televizorul lui Gigel ;

• pe a doua linie, despărţite prin câte un spaţiu, cele n frecvenţe memorate iniţial fi, 1 ≤ i ≤ n ; • pe a treia linie, despărţite prin câte un spaţiu, cele n frecvenţe ale posturilor pi, 1 ≤ i ≤ n.

Date de ieşire Fişierul tv.out va conţine, pe o singură linie, n numere naturale, separate prin spaţii. Al i-lea număr va reprezenta numărul postului care va fi atribuit programului al i-lea al televizorului. Dacă există mai multe soluţii cu acelaşi timp, se va da oricare dintre ele.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 1000.



• 1 ≤ v ≤ 1000. • 1 ≤ fi ≤ v, 1 ≤ i ≤ n; toate frecvenţele iniţial memorate sunt diferite între ele. • 1 ≤ pi ≤ v, 1 ≤ i ≤ n; toate frecvenţele posturilor tv sunt diferite între ele. • Toate frecvenţele sunt numere întregi. • Trecerea de la o frecvenţă oarecare la frecvenţa imediat următoare se realizează în exact o

unitate de timp. • Schimbarea unui canal pentru o nouă scanare şi memorarea efectivă a unui nou post se

realizează într-un timp neglijabil.

Exemplu tv.in tv.out Explicaţie 4 6 2 5 1 4 3 6 2 1

1 2 4 3 Timpul minim, egal cu 6 unităţi, se poate realiza, de exemplu, prin memorarea pe canalul 1 a postului 1, pe canalul 2 a postului 2, pe canalul 3 a postului 4 şi pe canalul 4 a postului 3 (1+1+0+4=6).




Clasa a 10-a Problema 2 - TÂRG Fie că vrei să vinzi, fie că vrei să cumperi, dacă ţii la preţ ziua în târg e lungă, însă ca orice lucru are un sfârşit. Aşa că cele câteva persoane care au mai rămas în târg şi care doresc fie să vândă fie să cumpere grâu hotărăsc, după multe discuţii, un acelaşi preţ de vânzare şi de cumpărare. Apare însă o altă problemă: niciun vânzător nu acceptă decât fie să vândă toată marfa, fie să nu vândă nimic; în acelaşi spirit, niciun cumpărător nu acceptă decât fie să cumpere toată cantitatea dorită, fie să nu cumpere nimic. Pe niciunul dintre ei nu-l interesează dacă vinde la mai multe persoane sau vinde tot la o singură persoană şi, de asemenea, dacă cumpără de la mai multe persoane sau dacă cumpără toată cantitatea de la o singură persoană. Desigur, o persoană va fi mulţumită doar dacă reuşeşte să vândă sau să cumpere ceea ce şi-a propus. Cerinţă Dându-se numărul n de persoane şi cantitatea pe care doreşte fiecare s-o vândă sau s-o cumpere, să se determine numărul maxim de persoane care vor pleca mulţumite din târg şi care sunt acestea.

Date de intrare În fişierul targ.in se află pe prima linie numărul n de persoane, iar pe cea de-a doua linie, despărţite prin câte un spaţiu, n numere întregi nenule xi, 1 ≤ i ≤ n, xi indicând, dacă este pozitiv, cantitatea pe care o are persoana a i-a la vânzare, respectiv, dacă este negativ, cantitatea pe care doreşte să o cumpere persoana a i-a.

Date de ieşire Fişierul targ.out va conţine pe prima linie numărul maxim de persoane care vor pleca mulţumite din târg, iar pe cea de-a doua linie, despărţite prin câte un spaţiu, numerele de ordine ale acestor persoane în ordine crescătoare.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 20. • -100000 ≤ xi ≤ 100000, xi ≠0, 1 ≤ i ≤ n. • Dacă sunt mai multe soluţii cu număr maxim de persoane implicate în tranzacţie va fi

determinată prima în ordine lexicografică (se poate considera că numerele de ordine indică ordinea sosirii persoanelor în târg şi conform zicalei “Cine se scoală de dimineaţă, departe ajunge.”…).



Exemplu targ.in targ.out 7 4 4 -2 3 2 -2 -3

5 1 3 4 6 7




Clasele 11-12 Problema 1 - DEAL Fie X un număr natural de n cifre (n≥3) şi x1, x2, … , xn cifrele sale (x1≠0). Se spune despre numărul X că are aspect de deal dacă există un indice p (1<p<n) astfel încât x1<x2<…<xp-1<xp şi xp>xp+1>…>xn-1>xn. Cerinţă Dându-se o bază b să se determine câte numere scrise în baza respectivă au aspect de deal.

Date de intrare În fişierul deal.in se află pe unica linie a sa baza b.

Date de ieşire Fişierul deal.out va conţine o singură linie pe care va fi scris numărul numerelor cu aspect de deal în baza b.

Restricţii şi precizări • 3 ≤ b ≤ 200. • În 30% din teste valoarea determinată va fi mai mică decât 1000000000.

Exemplu deal.in deal.out 3 3 4 24 Timp maxim de execuţie/test: 1 secundă





Clasele 11-12 Problema 2 - ORAŞ Comisia de modernizare din primăria unui oraş a identificat o zonă de formă dreptunghiulară de dimensiuni m x n în care în fiecare punct de coordonate întregi (x,y) din interiorul zonei (adică având 0<x<m şi 0<y<n) se găseşte un obiectiv turistic. Primăria a hotărât construirea unei telegondole care să survoleze cât mai multe dintre aceste obiective. Traseul telegondolei va porni din punctul de coordonate (0,0) (colţul sud-vestic al zonei), va traversa în linie dreaptă zona până la un punct de pe frontiera nordică, după care se va întoarce spre frontiera sudică, din nou traversând în linie dreaptă zona, şi aşa mai departe, traversând în zig-zag zona. Traseul trebuie să se încheie în punctul de coordonate (m,n) (colţul nord-estic). Fiecare traversare trebuie să ducă spre un punct mai estic decât punctul de plecare al traversării. Un obiectiv este considerat survolat dacă şi numai dacă telegondola trece exact pe deasupra lui. Cerinţă Dându-se dimensiunile m şi n ale zonei dreptunghiulare care conţine obiectivele turistice ale oraşului, să se determine traseul telegondolei, astfel încât numărul de obiective survolate de viitoarea telegondolă a oraşului să fie maxim.

Date de intrare În fişierul oras.in se află pe unica linie a sa două numere întregi m şi n reprezentând dimensiunile vest-est şi respectiv sud-nord ale zonei turistice.

Date de ieşire Fişierul oras.out va conţine:

• pe prima linie, numărul maxim de obiective peste care va trece telegondola; • pe a doua linie, separate prin spaţii, coordonatele x ale punctelor de pe frontiera sudică,

atinse de telegondolă, în ordinea în care apar acestea în traseu; • pe a treia linie, separate prin spaţii, coordonatele x ale punctelor de pe frontiera nordică,

atinde de telegondolă.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 1000. • 1 ≤ m ≤ 1000. • Dacă există mai multe soluţii cu număr maxim de obiective survolate, poate fi afişată oricare

dintre ele.



Exemplu oras.in oras.out Explicaţie 5 3 2

0 4 3 5

Traseul telegondolei trece prin punctele (0,0), (3,3), (4,0) şi (5,3). Obiectivele survolate sunt cele situate în punctele de coordonate (1,1) şi (2,2). O altă soluţie poate fi: 2 0 2 1 5



„MARIAN ŢARINĂ” EDIŢIA A VI-A 12 – 13 MAI 2006

Clasa a 9-a Problema 1 - JOC Cei n elevi ai claselor I dintr-o şcoală se aşează în cerc, elevul i pe poziţia i, 1 ≤ i ≤ n. La comanda profesorului de sport, elevii încep să se rotească circular: fiecare elev va ajunge în poziţia ocupată anterior de elevul cu numărul de ordine imediat mai mare, cu o excepţie – elevul n va ajunge în poziţia ocupată de elevul 1; o astfel de deplasare durează exact o secundă. La diverse intervale de timp profesorul doreşte să afle care copii se găsesc pe cele k poziţii stabilite iniţial de el. Cerinţă Dându-se numărul n de elevi şi cele k poziţii stabilite de profesor, să se determine la fiecare moment de timp precizat care sunt elevii care se găsesc pe poziţiile stabilite.

Date de intrare În fişierul joc.in se află pe prima linie separate prin câte un spaţiu trei numere: n numărul de elevi, k numărul de poziţii şi m numărul de momente la care se doreşte aflarea poziţiilor elevilor, pe linia a doua, despărţite prin câte un spaţiu, cele k poziţii stabilite iniţial de profesor, iar pe linia a treia, despărţite prin câte un spaţiu, cele m momente de timp ti, 1 ≤ i ≤ m.

Date de ieşire Fişierul joc.out va conţine m linii, fiecare linie i conţinând, despărţite prin spaţii, câte k numere aflate în ordine crescătoare, reprezentând elevii care se găsesc pe cele k poziţii date la momentul ti, 1 ≤ i ≤ m.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 100 • 1 ≤ k < n • 1 ≤ m ≤ 1000 • 1 ≤ ti ≤ 1000000000, 1 ≤ i ≤ m

Exemplu joc.in joc.out 3 2 2 2 3 1 3

1 2 2 3






Clasa a 9-a Problema 2 - NUMĂR MARE Fie un număr natural x de n cifre, x1 fiind o cifră nenulă. Prin eliminarea cifrei a i-a din numărul x se obţine un număr format din cifrele x1, x2, …, xi-1, xi+1, …, xn (în această ordine). Cerinţă Dându-se un număr natural x de n cifre, să se elimine k cifre astfel încât numărul obţinut să fie maxim posibil.

Date de intrare În fişierul nrmare.in se află pe prima linie separate printr-un spaţiu două numere: n numărul de cifre ale numărului de pe linia a doua şi k numărul de cifre de eliminat, iar pe linia a doua un număr natural.

Date de ieşire În fişierul nrmare.out se va scrie pe prima linie numărul maxim obţinut după eliminarea cifrelor.

Restricţii şi precizări • 2 ≤ n ≤ 200 • 1 ≤ k < n

Exemple nrmare.in nrmare.out 4 2 7352

75

nrmare.in nrmare.out 5 2 68136

836






Clasa a 10-a Problema 1 - CD Dirigintele unei clase a organizat o primă excursie pentru elevii unei clase de-a noua de la CNMV, excursia având ca scop, printre altele, şi cunoaşterea mai bună a elevilor, unii de către alţii. Toţi cei n elevi participanţi la excursie s-au simţit bine şi doresc să revadă scenele filmate în timpul excursiei. Primul dintre cei n elevi solicită dirigintelui cd-ul cu filmul excursiei. Acesta având încredere în unii colegi împrumută acestora cd-ul pentru vizionarea filmului şi, eventual, pentru crearea unor copii. Aceştia, la rândul lor, după vizionare, transmit mai departe cd-ul altor colegi în care au încredere. În momentul în care un elev la care se găseşte cd-ul nu mai are cui să-l transmită, el înapoiază cd-ul dirigintelui. Dirigintele anunţă clasa că cd-ul este în posesia lui şi, dacă mai e cazul, îl înmânează primului elev care încă nu a vizionat filmul. Cerinţă Dându-se numărul n de elevi participanţi la excursie şi cele m perechi formate din persoane care au încredere una în cealaltă, să se determine numărul de solicitări adresate dirigintelui şi de cine au fost făcute.

Date de intrare În fişierul cd.in se află pe prima linie două numere, despărţite printr-un spaţiu, n numărul de elevi participanţi la excursie şi m numărul de perechi de persoane. Pe următoarele m linii se găsesc câte două numere x şi y reprezentând numerele de ordine ale unor elevii care au încredere unul în celălalt.

Date de ieşire În fişierul cd.out se va scrie pe prima linie numărul de solicitări ale cd-ului adresate dirigintelui, iar pe linia a doua, despărţite prin spaţii, numerele de ordine ale persoanelor care au solicitat cd-ul.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 100 • 1 ≤ m ≤ 1000 • 1 ≤ x , y ≤ n

Exemplu cd.in cd.out 6 3 1 3 4 3 6 5

3 1 2 5




O1

O2

O3

O4

O5

O6

On



Clasa a 10-a Problema 2 - ROTUND

În ţara împăratului Rotund totul e rotund: ţara e rotundă, oraşele sunt rotunde şi are un singur drum care este tot rotund la fel ca în desen. În fiecare oraş Oi, 1 ≤ i ≤ n, din împărăţia Rotundă, există câte un zmeu. Fiecare zmeu are între 1 si 9 capete, pe fiecare cap poate să fie între 1 si 9 ochi. Împaratul oferă jumătate din împărăţie şi pe fiica lui cea mică de soţie celui care reuşeşte să omoare câţi mai mulţi zmei. Mergând din oraş în oraş, pornind din oricare oraş, fără a ocoli vreunul, voinicul nu are voie să omoare consecutiv doi zmei care au pe vreunul dintre capete acelaşi număr de ochi. Cel care nu respectă această regulă aduce greu blestem asupra împărăţiei.

Cerinţă Afişaţi oraşele care au scăpat de zmeu, în ordinea în care au fost parcurse.

Date de intrare În fişierul rotund.in se află pe prima linie n, numărul de oraşe, iar pe linia a doua, separate prin câte un spaţiu, n numere. Numărul de cifre dintr-un număr reprezintă numărul de capete ale zmeului. Cifrele unui număr reprezintă numărul de ochi de pe fiecare cap al zmeului.

Date de ieşire În fişierul rotund.out se va scrie pe prima linie numărul de oraşe care au fost eliberate de zmeu, iar pe a doua linie se vor scrie, separate prin câte un spaţiu, numerele de ordine ale oraşelor care au fost eliberate de zmeu.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 1000 • Dacă sunt mai multe soluţii poate fi afişată oricare.

Exemple rotund.in rotund.out 3 45 25 34

2 2 3

rotund.in rotund.out 6 757 52 27 35 11 21

4 3 4 5 1






Clasele 11-12 Problema 1 - LINII Într-un depou pe o linie de cale ferată se găsesc n vagoane, numerotate de la 1 la n într-o ordine oarecare. Din această linie se desprind mai multe linii de manevră care apoi se reunesc într-o altă linie de cale ferată. La un moment dat un vagon poate fi mutat fie de pe linia de intrare pe o linie de manevră, fie de pe o linie de manevră pe linia de ieşire. Cerinţă Dându-se ordinea celor n vagoane, să se determine numărul minim necesar de linii de manevră pentru ca vagoanele să iasă pe linia de ieşire în ordine de la 1 la n.

Date de intrare În fişierul linii.in se află pe prima linie numărul de vagoane n, iar pe linia a doua, separate prin spaţii, numerele de ordine ale vagoanelor.

Date de ieşire În fişierul linii.out se va scrie pe prima linie numărul minim necesar de linii de manevră.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 10000 • vagoanele vor fi mutate pe linii de manevră în ordinea în care se găsesc pe linia de intrare

Exemple linii.in linii.out Explicaţie 3 1 3 2

2 Primul vagon mutat este vagonul 1, al doilea vagonul 3, apoi vagonul 2

linii.in linii.out 4 3 2 1 4

3






Clasele 11-12 Problema 2 - Şiruri Un şir a de lungime n apare într-un şir b de lungime m dacă există un şir x1 < x2 < … < xn de indici cu proprietatea că a[i]=b[xi], 1 ≤ xi ≤ m, 1 ≤ i ≤ n. Două apariţii ale şirului a în şirul b se consideră distincte dacă cele două şiruri de indici diferă prin cel puţin un element. Cerinţă Dându-se două şiruri a şi b formate din litere mici ale alfabetului englez, să se determine numărul de apariţii distincte ale şirului a în şirul b.

Date de intrare În fişierul siruri.in se află pe prima linie şirul a, iar pe linia a doua şirul b.

Date de ieşire În fişierul siruri.out se va scrie pe prima linie numărul de apariţii distincte ale şirului a în şirul b.

Restricţii şi precizări • 1 ≤ n ≤ 1000, unde n este lungimea şirului a • 1 ≤ m ≤ 1000, unde m este lungimea şirului b • numărul determinat nu va avea mai mult de 30 de cifre

Exemple siruri.in siruri.out ab aabb

4

siruri.in siruri.out aba abbaabca

9





EDIŢIA A V-A 20 – 22 MAI 2005

Clasa a IX-a problema 1

Vase cu apǎ

Se dau douǎ vase de capacitate M şi respectiv N, plus un al treilea vas de capacitate nelimitatǎ, şi o sursǎ nelimitatǎ de apǎ. Se cere sǎ se mǎsoare o cantitate K de apǎ în vasul de capacitate nelimitatǎ. Operaţiile permise sunt transferuri de forma (a, b), însemnând cǎ se transferǎ apa din vasul a în vasul b. Transferul se face pânǎ când fie se goleşte vasul a, fie se umple vasul b. Numerotarea este: 0 — sursa, 1 — vasul de capacitate M, 2 — vasul de capacitate N, 3 — vasul de capacitate nelimitatǎ. Vasul 3 nu se poate umple niciodatǎ. Un transfer cu a=0 înseamnǎ cǎ se umple vasul b de la sursǎ. Un transfer cu b=0 înseamnǎ cǎ se aruncǎ toatǎ apa din vasul a. Transferurile (0, 0) şi (0, 3) sunt interzise. Intrarea Fişierul vase.in conţine, pe o singurǎ linie, numerele M, N şi K, separate prin spaţii. Se dǎ 1≤ M, N, K≤32767.

Ieşirea În fişierul vase.out se va descrie o soluţie (nu neapǎrat optimǎ). Pentru aceasta, se vor scrie operaţiile, câte una pe linie, sub forma a b, cu cele douǎ numere separate prin spaţii (a reprezentând sursa, b — destinaţia). Dacǎ nu existǎ soluţie, se va scrie pe o singurǎ linie perechea 0 0.

Exemplul 1 vase.in vase.out

2 3 1 0 2 2 1 2 3

Exemplul 2 vase.in vase.out 4 6 3 0 0

Timp maxim de execuţie 1 secundǎ.





Clasa a IX-a problema 2 Perioade Se ştie că orice număr raţional se poate scrie sub forma unei fracţii zecimale, eventual periodice. De exemplu, 1/3=0.(3), 1/6=0.1(6), 1/2=0.5 şi 12/11=1.(09). Dându-se numărătorul şi numitorul unui număr raţional, se cere să se determine scrierea lui ca fracţie zecimală. Date de intrare Datele se citesc din fişierul perioade.in având, pe o singură linie, două valori întregi a şi b, separate prin spaţiu, reprezentând numărătorul şi, respectiv, numitorul unei fracţii Date de ieşire Rezultatul va fi scris în fişierul perioade.out în următorul format: pe o singură linie fracţia zecimală corespunzătoare, fără spaţii, cu punct între partea întreagă şi partea fracţionară, şi cu partea periodică între paranteze. Restricţii şi precizări

• 1 ≤ a, b ≤ 200 Exemplul 1 perioade.in perioade.out 12 11 1.(09)

Exemplul 2 perioade.in perioade.out 1 8 0.125

Timp maxim de execuţie 1 secundă





Clasa a X-a problema 1

Secvenţe de litere

Se dǎ un numǎr N şi se considerǎ toate secvenţele formate din N litere distincte (se considerǎ doar cele 26 de litere mici ale alfabetului englezesc). Considerate în ordine alfabeticǎ, fiecare secvenţǎ primeşte un numǎr de ordine, începând de la 0. De exemplu, pentru N=2, secvenţele sunt în numǎr de 650: ab, ac, ad, ... , az, ba, bc, bd, ... , bz, ca, cb, cd, ce, ... , xz, yz. Secvenţa ab are numǎrul 0, secvenţa az are numǎrul 24, bd — 27, yz — 649. Se cere ca, dându-se un numǎr, sǎ se gǎseascǎ secvenţa ce are acel numǎr de ordine.

Intrarea Fişierul secv.in conţine, pe o singurǎ linie, douǎ numere, N şi M, separate prin spaţii, reprezentând respectiv numǎrul de litere din secvenţe şi numǎrul de ordine al secvenţei. Se ştie cǎ 1≤N≤26 şi M este un numǎr de ordine valid.

Ieşirea În fişierul secv.out se va scrie, pe o singurǎ linie, secvenţa de litere cerutǎ.

Exemplu secv.in secv.out 2 27 bd

Timp maxim de execuţie 1 secundǎ.





Clasa a X-a problema 2 Vizită Gigel, elev în clasa I, vizitează împreună cu colegii Observatorul Astronomic din oraş. Dorindu-şi mereu să fie primul între colegi, Gigel încearcă să ajungă primul în vârful observatorului, urcând la un moment dat mai multe trepte ale scării de acces a observatorului, dar nu mai mult de k trepte. Datorită efortului depus pentru a urca mai multe trepte deodată, Gigel oboseşte şi la următorul grup de trepte va urca mai puţine (adică cel mult cu o treapta mai puţin decât la momentul imediat precedent). În momentul în care Gigel urcă o singură treaptă, efortul depus e minim iar în momentul următor poate urca din nou mai multe trepte deodată (maxim k). Determinaţi în câte moduri poate urca Gigel cele n trepte ale scării de acces a observatorului. Date de intrare Datele se citesc din fişierul vizita.in cu următoarea structură:

• pe unica linie a fişierului se găsesc două valori întregi n şi k despărţite printr-un spaţiu, numere cu semnificaţiile din enunţ

Date de ieşire Rezultatele vor fi scrise în fişierul vizita.out în următorul format:

• pe o singură linie, numărul de modalităţi de urcare a scării Restricţii şi precizări

• 1 ≤ n ≤ 200 • 1 ≤ k ≤ 5 • k ≤ n • valoarea căutată nu va avea mai mult de 50 de cifre

Exemplu vizita.in vizita.out 4 3 6 Timp maxim de execuţie 1 secundă





Clasele XI–XII, problema 1

Şosele

N oraşe sunt dispuse pe un cerc. Se doreşte sǎ se construiascǎ nişte şosele între oraşe, respectând urmǎtoarele cerinţe:

• fiecare şosea leagǎ exact douǎ oraşe, în linie dreaptǎ • şoselele nu se întretaie • între oricare douǎ oraşe trebuie sǎ se poatǎ ajunge pe exact un singur traseu (format dintr-

un numǎr oarecare de şosele); cu alte cuvinte, şoselele trebuie sǎ alcǎtuiascǎ un arbore. Se cere sǎ se determine numǎrul de planuri de construcţie posibile.

Intrarea Fişierul sosele.in conţine, pe o singurǎ linie, numǎrul, N de oraşe; 2≤N≤50.

Ieşirea În fişierul sosele.out se va scrie, pe o singurǎ linie, numǎrul de planuri posibile.

Exemplu sosele.in sosele.out 4 12

Cele 12 planuri de construcţie sunt cele 3 figuri de mai jos împreună cu rotirile şi oglindirile lor.

Timp maxim de execuţie 10 secunde.



1 2

3

4

1 2

3

4

12

3

4



Clasele XI–XII, problema 2

Cutii

Gigel are N cutii paralelipipedice de diferite dimensiuni. El doreşte să introducă cât mai multe cutii una în cealaltă. O cutie poate fi introdusă în alta dacă fiecare din cele trei dimensiuni (lungime, lăţime şi înălţime) a primei cutii este strict mai mică decât dimensiunea corespunzătoare a celei de-a doua cutii. Dându-se numărul de cutii şi dimensiunile lor, găsiţi şirul de cutii pe care trebuie să le introducă Gigel una în cealaltă. Dacă există mai multe soluţii de lungime maximă, se cere doar una dintre ele.

Intrarea Fişierul cutii.in conţine:

• pe prima linie, numǎrul N de cutii; 1≤N≤200; • pe fiecare din următoarele N linii, câte trei numere întregi, L W H separate prin spaţii,

reprezentând respectiv lungimea, lăţimea şi înălţimea cutiei; se ştie că 1≤H≤W≤L≤32767.

Ieşirea În fişierul cutii.out se va scrie:

• pe prima linie, numǎrul maxim de cutii ce pot fi introduse una în cealaltă • pe a doua linie, numerele de ordine ale cutiilor ce se vor introduce una în alta în ordine, de

la cea mai din interior până la cea mai din exterior. Cutiile se numerotează de la 1 la N.

Exemplu cutii.in cutii.out 4 3 10 8 3 4 2 3 9 5 5 10 7 6 4 4 4

Timp maxim de execuţie 1 secundă.




EDIŢIA A IV-A 14 – 16 MAI 2004

Clasa a IX-a, problema 1

Big brother Organizatorii emisiunii “Big brother” doresc sǎ verifice daca o videocamera poate supravegea intreaga incapere in care este asezata. Încăperea are forma unui poligon oarecare. Videocamera poate supraveghea un punct din încăpere dacă nu se interpune nici un perete. Dându-se coordonatele intregi ale colturilor camerei (varfurile poligonului) precum şi poziţia videocamerei, se cere să se determine dacă videocamera poate supraveghea întreaga încăpere. Exemple :

Intrarea Colţurile încăperii sunt date în ordine (două colţuri consecutive sunt unite prin perete, iar ultimul colţ este de asemenea unit cu primul). Un set de date conţine descrierea unei încăperi şi mai multe amplasamente ale videocamerei; răspunsul se cere pentru fiecare amplasament în parte. Datele se citesc din fişierul brother.in având urmǎtorul format:

• pe prima linie, numărul N de colţuri ale încăperii (N<=20000), urmat de 2N numere întregi reprezentând coordonatele colţurilor. Coordonatele sunt date în sens ivers acelor de ceas si sunt numere cuprinse intre -32000 si 32000.

• Pe a doua linie, numărul M (M<=500) de locuri posibile pentru amplasarea videocamerei, urmat de 2M numere reprezentând coordonatele amplasamentelor videocamerei.

Ieşirea Rezultatul se va scrie în fişierul big.out având, pe o singură linie, M numere 0 sau 1, corespunzând amplasamentelor posibile ale videocamerei ; 1 înseamnă că din acel amplasament se poate supraveghea întreaga încăpere (cifrele se vor scrie separate printr-un spatiu). Exemplu brother.in big.out 6 9 0 11 3 12 9 4 10 2 5 6 4 1 0 2 8 7 9 2 Timp maxim de executie 1 secundă

Vede Nu vede

MMIINNIISSTTEERRUULL EEDDUUCCAAŢŢIIEEII ŞŞII CCEERRCCEETTĂĂRRIIII IINNSSPPEECCTTOORRAATTUULL ŞŞCCOOLLAARR JJUUDDEEŢŢEEAANN CCLLUUJJ




Clasa a IX-a, problema 2 Şiruri Se dau n numere întregi x1, x2, …, xn. Cerinţă Să se determine numărul de progresii aritmetice care conţin numerele date, în aceeaşi ordine şi încep cu x1.

Progresia aritmetică se defineşte ca un şir de numere care se obţine prin adunarea repetată a unei aceleaşi valori numite raţie (fiecare termen al şirului, cu excepţia primului, se obţine adunând raţia la termenul anterior). Progresiile determinate vor avea ca raţie orice valoare întreagă nenulă. Exemplu:

Cu numerele 5, 8, 14 se pot forma următoarele două progresii aritmetice:

1. 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,… şi 2. 5,8,11,14,17,…

Deci rezultatul este 2.

Date de intrare În fişierul sir.in se află pe prima linie n, iar pe linia a doua numerele x1, x2, …, xn separate între ele prin câte un spaţiu.

Date de ieşire În fişierul sir.out se va scrie pe prima linie numărul de progresii aritmetice.

Restricţii • n – număr natural, n>1, n<10000 • xi – număr întreg, -1000000000<xi<1000000000, 1<=i<=n

Exemple sir.in sir.out 3 1 3 1

0

sir.in sir.out 3 5 8 14

2






Clasa a X-a, problema 1

Big brother Organizatorii emisiunii “Big brother” doresc sǎ gǎseascǎ amplasamentul optim pentru camerele TV în casa “Big brother”. Pentru aceasta, ei au împǎrţit casa în N zone, şi au propus M amplasamente pentru camerele TV. De asemenea, au determinat pentru fiecare amplasament zonele vizibile. Se cere acum alegerea unui numǎr minim de camere TV (dintre cele propuse) astfel încât sǎ fie supravegheata întreaga casa. Daca sunt mai multe soluţii optime, se va da doar una din ele. Intrarea Datele se citesc din fişierul big.in având urmǎtorul format:

• pe prima linie, douǎ numere naturale N (N<=30) şi M (M<=20), reprezentând respectiv numǎrul de zone şi numǎrul de amplasamente posibile pentru camerele TV

• fiecare din urmǎtoarele M linii va descrie câte un amplasament de camerǎ TV şi va conţine câte un numǎr natural k, urmat de k numere naturale cuprinse între 1 şi N, reprezentând zonele vizibile din acel amplasament

Ieşirea Rezultatul se va scrie în fişierul big.out având:

• pe prima linie, numǎrul S de camere TV • pe a doua linie, numerele de ordine ale amplasamentelor în care se vor monta cele S camerele

TV Exemplu big.in big.out 4 3 2 2 1 3 1 2 2 2 4 2 2 3 Timp maxim de executie 10 secunde.





Clasa a X-a, problema 2

Cod de bare Se doreşte crearea unei codificări de bare. Un cod de bare constă dintr-un număr de bare separate prin spaţii. Lăţimea oricărei bare sau spaţiu este egală cu una, două sau trei lăţimi elementare. Lăţimea totală, N este dată. Fiecărui cod i se asociază un şir de numere cuprinse între 1 şi 3, reprezentând alternativ lăţimile barelor şi spaţiilor. Considerăm codurile de bare ordonate în ordinea lexicografică a şirurilor de numere asociate. Mai departe, numerotăm în această ordine codurile de bare, începând de la 0. De exemplu, pentru N=4, codurile posibile — date în ordinea de mai sus — sunt : (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1). Alt exemplu, pentru N=3, codurile posibile sunt (1,1,1) şi (3). Pentru un cod de bare dat, se cere să se determine numărul total de coduri de bare de aceeaşi lungime, precum şi numărul de ordine al codului dat.

Intrarea Datele se citesc din fişierul cod.in având urmǎtorul format:

• pe prima linie, lăţimea totală N (N≤200) ; • pe a doua linie, un şir de numere naturale cuprinse între 1 şi 3, reprezentând codul de bare dat

Ieşirea Rezultatul se va scrie în fişierul cod.out având :

• pe prima linie, numărul total de coduri de bare de lungimea N ; • pe a doua linie, numărul de ordine al codului dat.

Exemplu cod.in cod.out 4 2 1 2 1 1 Timp maxim de execuţie 1 secunda/test Nota: Se acordă punctaj parţial pentru prima cerinţă.





Clasele XI - XII, problema 1

Baloane La spectacolul de 1 iunie se lansează nişte baloane. Apoi, în cadrul unui concurs de tir cu arcul, se trag săgeţi în aşa el încât să fie sparte toate baloanele. Baloanele se presupun a fi fixe, sferice şi situate toate într-un singur plan vertical. Pentru fiecare balon se cunoaşte poziţia şi raza. Săgeţile se trag vertical în sus, pornind de la sol, din puncte situate în planul baloanelor. Fiecare săgeată sparge toate baloanele situate pe traiectoria sa, inclusiv pe cele pe care le atinge tangenţial. Se doreşte găsirea poziţiilor de tragere pentru a sparge toate baloanele folosind un număr minim de săgeţi. Intrarea Datele se citesc din fişierul baloane.in având:

• pe prima linie, numărul N de baloane (1≤N≤10000) ; • pe urmǎtoarele N linii, câte două numere întregi, X şi R, cuprinse între 1 şi 1000000,

reprezentând respectiv abscisa centrului şi raza balonului (altitudinea centrului nu are importanţă).

Ieşirea În fişierul baloane.out se va scrie:

• pe prima linie, numǎrul K de săgeţi necesare • pe următoarele K linii, câte un număr întreg, reprezentând abscisele punctelor de tragere

Dacă există mai multe soluţii optime, se va scrie doar una singură. Exemplu baloane.in baloane.out 3 2 1 2 3 7 3 4 4 1 Timp maxim de execuţie 1 secundă





Clasele XI - XII, problema 2 Baza de numeraţie Fie un număr natural P, P≥2. Se consideră toate numerele naturale nenule a căror reprezentare în baza P este formată din cel mult [P/2] cifre şi nu conţine nici o cifră de două ori. Cifra cea mai semnificativă nu poate fi zero. Se consideră acum şirul format din toate numerele formate conform regulilor de mai sus, ordonat descrescător după valoarea numerelor. Dându-se un număr de ordine N, se cere să se dermine numărul aflat pe acea poziţie în şir.

Intrare Fişierul bazap.in în care prima linie conţine baza P, scrisă în reprezentare zecimală, 2 ≤P≤ 20. A doua linie a fişierului conţine numărul N, tot în reprezentare zecimală.

Ieşire În fişierul de ieşire bazap.out se va scrie pe prima linie al N-lea element din şir, reprezentat în baza P. Cifrele mai mari decât 9 se vor scrie prin litere majuscule.

Exemplu 1

bazap.in bazap.out 5 43 1

Exemplu 2 bazap.in bazap.out 5 2 19 Exemplu 3 bazap.in bazap.out 16 FEDCB962 123



Documents

Clasa a IX-a Problema 1 – reprezentare Fibonacci · PDF fileClasa a X-a . Problema 1 ... Clasele a X-a . Problema 2 ... • Pentru 50% din teste şirul va conţine doar un tip de