Ing. Andrés Morocco A.

MATEMÁTICA APLICADA

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Temario• Números complejos. Corriente alterna.

• Circuitos de corriente alterna sinusoidal en régimen estable.

• Fundamentos de estadística.

• Regresión lineal.

• Aplicaciones de la derivada e integral en Electrotecnia. .

• Ecuaciones diferenciales y su aplicación a circuitos eléctricos.

• Series de Fourier - Aplicación de las series de Fourier en circuitos

eléctricos.

• Transformada de Laplace -Aplicación de las transformadas de

Laplace al análisis de circuitos eléctricos.

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Resultados

Este curso aporta al logro de los siguientes Resultados de la Carrera:

a. Los estudiantes aplican matemática, ciencia y tecnología en el diseño, instalación, operación y mantenimiento de sistemas eléctricos.

f. Los estudiantes identifican, analizan y solucionan problemas de equipos y sistemas.

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Objetivos del curso• Objetivos Generales

– Desarrollar criterios para analizar, formular y resolver problemas

de tecnología eléctrica utilizando el cálculo superior.

• Objetivos Específicos

– Aplicar la matemática para el entendimiento de los principios de

electrotecnia.

– Analizar, formular y desarrollar soluciones a problemas de

tecnología eléctrica.

– Interpretar los fundamentos de matemática superior en los

procesos de naturaleza eléctrica.

– Usar herramientas informáticas en el análisis de datos.

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Sistema de Evaluación: a

Nota Final = 0.70 PA + 0.30 E

Donde: E = ExamenPA = Pruebas de Aula

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Bibliografía• Edminister Joseph A, "Circuitos eléctricos", McGraw-Hill,

México, 1996.

• Charles, Alexander, “Fundamentos de Circuitos Eléctricos", Ed. McGraw Hill. México, 2002.

NUMEROS COMPLEJOS

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Resolver la siguiente ecuación de segundo grado.

0522 =++ xx

ℜ∉−±−=−±−=2

162

2

2042x

Los números complejos surgen de la necesidad de resolverecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real.

Introducción

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• Se define la raíz cuadrada de un número negativo.

Unidad imaginaria

• Utilizando esta definición de unidad imaginaria ya sepueden hallar las raíces cuadradas de los númerosnegativos.

• Resolviendo la ecuación anterior se tiene:

jj

x 212

42

2

1612 ±−=±−=−±−=

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Ejemplo: Encuentre la ecuación cuyas raíces son:

11

Ejemplo: Compruebe que: -4+3i verifica la ecuació n

02582 =++ xx

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Definición: Número complejo

• Un número complejo z es un par ordenado de números reales x e y, escrito como:

REAL

IMAGINARIA

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Notación

Notación binómica z = x + j y

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Representación Gráfica de los números complejos

REAL

IMAGINARIO

Los números complejos se representan en unos ejes coordenados en elplano, que se llama plano de Gauss. La parte real se representa en el eje deabcisas X, que se llama eje real y la parte imaginaria en el eje de ordenadasY, que se llama eje imaginario.

El afijo de un número complejo es el punto que se le hace corresponder en elplano. El afijo del número complejo z=a+bi es el punto P(a,b).

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Ejemplo: Representar gráficamente

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Opuesto y Conjugado

Ejemplo: Representar gráficamente el opuesto y conjugado de:

42 jz +=

17

Ejercicio: Determinar el opuesto y el conjugado de:

Z6=4 /_60°

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Potencias de j

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Calcule: j323

j435

Para hallar jn , basta dividir n entre 4, el residuo será el nuevo exponente

254j

20

Ejercicio:

21

Operaciones con Complejos

Suma:Para sumar o restar números complejos en forma binómica se su man ose restan las partes reales y las partes imaginarias.

22

Ejemplo:

23

Multiplicación:

Para multiplicar números complejos en forma binómica se mul tiplicancomo binomios teniendo en cuenta que j 2=-1

24

)32)(54( ii +−

Ejercicio:

25

División:

Para dividir dos números complejos en forma binómica se mult iplica elnumerador y el denominador por el conjugado del denominador .

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Ejercicio: Hallar:

Ejercicio: Hallar el conjugado de:

j

jz

21

1

−+=

=+−+i

i

27

318

27

Módulo

Argumento

Todo número complejo se representa como un vector; por lo tan to ala longitud del vector se le denomina módulo (r) y al ángulo qu eforma con el eje real se le llama argumento ( α).

Números Complejos en forma Polar

28

Ejemplo:

29

Polar a forma Binómico

30

Ejemplo

31

Dado un número complejo existen dos formas adicionales derepresentarlo:

Otras representaciones

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a) Forma trigonométrica

b) Forma exponencial

Ejemplo

33

Multiplicación:Para multiplicar dos números complejos en forma polar se mul tiplicanlos módulos y se suman los argumentos

Ejemplo

Operaciones con complejos enforma polar

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División:

Para dividir dos números complejos en forma polar, se divide n losmódulos y se restan los argumentos

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Potencia:

Para elevar a una potencia un número complejo en forma polar s e elevael módulo al exponente y se multiplica el argumento por el exp onente

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Fórmula de Moivre:

La fórmula de Moivre es la potencia de un número complejo escr ita enforma trigonométrica.

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RadicaciónPara hallar las raíces enésimas de unnúmero complejo se hace la raízenésima del módulo y se divide elargumento entre el índice.

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PROBLEMAS

39

PROBLEMAS

40

PROBLEMAS

41

PROBLEMAS

42

PROBLEMAS

43

PROBLEMAS

44

PROBLEMAS

Encontrar el valor de x para que el producto: (2-5j)(3+xj) se a:

Un número real.Un número imaginario puro.

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PROBLEMAS

Calcular la impedancia equivalente del circuito mostrado.

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PROBLEMAS

Calcular la impedancia equivalente del circuito mostrado.

Comandos de Matlab para complejos

complex(a,b) – regresa el complejo a +jb

imag(c) – regresa Im[c]

conj(c) – regresa c*

angle(c) – regresa el angulo de fase

abs(c) – regresa la magnitud de c

real(c) – regresa Re[c]

isreal(c) – regresa 1 si la parte imaginaria de c es 0

EjemplosA = 4 + 5j, B = 3 – 2j, C = -6 – 5j;% a) C - BC - B% b) -3B* +5C-3*conj(B) + 5 * C% c) j 5C2(A + B)*j^5*C^2*conj(A + B)% d) B Re[A] + A Re[B]B*real(A) + A*real(B)% e) (A + B)/(C - B)(A + B)/(C - B)

Resultados-9.0000 - 3.0000i

-39.0000 -31.0000i-3.8700e+002 +2.5700e+002i

24.0000 + 7.0000i-0.8000 - 0.0667i

Ejemplos

A = -18.5 - 26jabs(A)angle(A)*180/piA = 17.9 - 12.2jabs(A)angle(A)*180/piA = -21.6 + 31.2jabs(A)angle(A)*180/picomplex(61.2*cos(-111.1*pi/180),61.2*sin(-111.1*pi/180))complex(-36.2*cos(108*pi/180),-36.2*sin(108*pi/180))complex(5*cos(2.5),5*sin(2.5))

31.9100-125.4333

21.6622-34.2769

37.9473124.6952

-22.0318 -57.0968i11.1864 -34.4282i-4.0057 + 2.9924i