03/08/2012

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Distancia interplanarDistancia interplanarDistancia entre planos paralelos muy cercanos y que tienen los mismos tienen los mismos índices de Miller índices de Miller

a= parámetro de red (arista de la celda)h k l = índices de Miller de los planos considerados

d(hkl) = Distancia interplanar entre planos paralelos, adyacentes con los mismos índices de Miller (hkl)

d((hklhkl)) =a

√h2+k2+l2

� En la celda unidad hexagonal se utilizan 4 ejes

(a1, a2, a3, c)(a1, a2, a3, c)..

Direcciones y planos cristalográficos en celdas hexagonales

+a1

+a2+a3

- a3

-a1

-c

+c

-a2

Entre a1 a2 a3 ángulo de 120ºEstos con C ángulo de 90º

Planos cristalográficos en celdas hexagonales

Índices de Miller-Bravais

Direcciones y planos cristalográficos en celdas hexagonalesDirecciones y planos cristalográficos en celdas hexagonales

� Se encuentran las intercepciones del plano con los cuatro ejescuatro ejes de coordenadas. Si el plano pasa por el origen se debe trasladar.

� Se hallan los recíprocos.� Se eliminan las fracciones, no se simplifica.� Se colocan los índices en paréntesis.

(h k i l)

Ejercicio

� Calcular los índices de Miller-Bravais de los planos indicados en la celda hexagonal

a1

a3

a2

c

A(0001)

(1121)

(1101)

A

CD

(1101)

B E

(0002)

Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales.

Se pueden expresar mediante tres(3) o cuatro dígitos.

Tres dígitos : a1, a2, c, a1, a2, c, Miller-Bravais

a3 no existe

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Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales.

1. Se seleccionan dos puntos sobre las direcciones ca y co y se determinan sus coordenadas.

2. Se restan las coordenadas.

3. Se eliminan fracciones. Se simplifica a los mínimos enteros.

4. [ ].

PROCEDIMIENTO

Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales

Hallar los índices de Miller-Bravais para las direcciones indicadas en la celda hexagonal

Ejercicio

Cf

Ci

a1 a2 c

1, 1, 0

a1

a2

c

0, 1, 0

A

[ 1 0 0 ]

B

Cf

Ci

= 0, 0, 1

1, 0, 0

[ 1 0 1 ]C

Cf

Ci

= 0, 1, 0

1, 0, 0[ 1 1 0 ]

Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales

[h’k’l’] �������� [h k i l]

Pasar las direcciones a cuatro índices

h = 13

(2h’- k’)

k = 13

(2k’- h’)

i = 13

(h’+ k’)

l = l’

_

[ 1 0 0 ]

[ 1 0 1 ]

Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales

h = 13

(2(1)- 0)

k = 13

(2(0)- 1)

=23

=13

_

i = 13

(1 + 0)_ =13

_

[ 2 1 1 0 ]

i = 13

(1 + 0)_ =13

h = 13

(2(1)- 0) =23

_

k = 13

(2(0)- 1) =13

[ 2 1 1 3 ]

Secuencia de apilamiento y Secuencia de apilamiento y empaquetamiento compactoempaquetamiento compacto

No compactos

Compacto

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3

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

Capa A

Al agregar otra capa � � �

Cada esfera o átomo descansará sobre 3 de la capa A, que delimitan una posisción X u O

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x Capa ACapa B

Al agregar otra capa � � �

Cada esfera o átomo descansará sobre 3 de la capa A, que delimitan una posisción X u O

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x Capa ACapa BCapa A

ABABAB

a1

a3

a2

c

� HCP (0001)

(0002)

Estructura Hexagonal Compacta (HCP) Estructura Hexagonal Compacta (HCP)

ABABAB

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4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

Capa A

Al agregar otra capa � � �

Cada esfera o átomo descansará sobre 3 de la capa A, que delimitan una posisción X u O

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

Capa ACapa BCapa C

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

Capa ACapa BCapa C

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

ABCABCABC

Capa ACapa BCapa CCapa A

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

ABCABCABC

Capa ACapa BCapa CCapa A

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� FCC (111) ABCABC

Estructura cúbica compacta o FCC

PLANOS Y DIRECCIONES COMPACTAS

Estructura Direcciones Planos

CS <100> Ninguna

BCC <111> Ninguna

FCC <110> {111}

HC <100>,<110>ó <1120> (0001),(0002)

Recordemos el factor de empaquetamiento de los sistemas cristalinos cúbico y hexagonal

0.52CS

BCC

FCC

HCP

0.68

0.74

0.74

Estructuras cristalinas compactos

�El espaciamiento interplanar d321 en un metal BCC es 0.084165 nm. a) ¿Cuál es la constante de red a? b) ¿Cuál es el radio atómico del metal

c) ¿Cuál metal podría ser?

�Determine los índices de Miller-Bavais de las direcciones y planos del sistema hexagonal de las figuras

� Dibuje los siguientes planos en una celda hexagonal(1230) (1010) (1122)

�Calcule el radio atómico de un metal BCC con parámetro de red a) 0,3229 nm y un átomo por punto de red.

a

a

a

c

A

a1

a3

a2

c

A