23
Calcul Numeric Cursul 8 2015 Anca Ignat

CN - curs 08 - 2015

Embed Size (px)

DESCRIPTION

sd

Citation preview

  • Calcul Numeric

    Cursul 8

    2015

    Anca Ignat

  • 1

    Metode iterative pentru matrici simetrice i pozitiv definite

    Considerm cazul sistemelor liniare cu matricea sistemului simetric i pozitiv definit:

    = matrice simetrica = , = 1,2,T ij jiA A a a i j n

    11 12 13 1 11 21 31 1

    21 22 23 2 12 22 32 2

    31 32 33 3 13 23 33 3

    1 2 3 1 2 3

    = = =

    n n

    n nT

    n n

    n n n nn n n n nn

    a a a a a a a aa a a a a a a aa a a a a a a aA A

    a a a a a a a a

    = =T TA A A L D L

  • 2

    11

    2211 22

    0 00 0

    = diag[ , , , ] =

    0 0

    nn

    nn

    aa

    D a a a

    a

    12 13 1

    23 221

    331 32

    11 2 3

    00 0 0 0

    0 00 0 0

    0 0 00 0= =

    0 0 00

    0 0 0 0

    n

    n

    nT

    n nn n n

    a a aa a

    aa

    a aL L

    aa a a

  • 3

    Definiii Matricea simetric n nA se numete pozitiv semidefinit (A 0): , 0n nAx x x . Matricea simetric A se numete pozitiv definit (A > 0) dac:

    , 0 , 0n nAx x x x . Propoziie Dac matricea n nA este pozitiv definit atunci matricea A este nesingular. Demonstraie: Presupunem prin reducere la absurd c matricea A este pozitiv definit i singular. Atunci, sistemul de ecuaii liniare

  • 4

    Ax=0 are pe lng soluia banal x=0 i o soluie x0 0 . Avem: 0 0 0 00 0 , 0, 0 contradic ie!x Ax x x

    0 , 0 1, ,ii i iA a Ae e i n Lem

    Fie n nA o matrice simetric i n nB o matrice nesingular astfel nct matricea P = B + BT - A este pozitiv definit. Fie matricea M = In - B-1A. Atunci raza spectral a matricii M este strict subunitar dac i numai dac matricea A este pozitiv definit:

    ( ) < 1 > 0M A

  • 5

    Teorem

    Fie n nA o matrice simetric, nesingular, cu diagonala pozitiv, aii > 0, = 1, ,i n i nb vectorul termenilor liberi. Atunci metoda lui Gauss-Seidel genereaz iruri convergente la soluia * 1=x A b , x(0) dac i numai dac A este pozitiv defnit.

    Demonstraie: Din teorema de convergen avem: ( ) * , ( ) < 1kx x k M

    Dac matricea A se scrie sub forma:

    = TA L D L matricile B i C sunt date de:

    = , = = TB L D C B A L

  • 6

    Matricea iteraiei M este: 1 1 1= = ( ) = nM B C B B A I B A

    ncercm s aplicm Lema de mai sus. Pentru aceasta verificm

    dac matricea P este pozitiv definit:

    = = ( ) =T T TP B B A L D L D L D L D 2

    =1( , ) = ( , ) = (( ) ,( ) ) =n n n

    n

    pp p p i i ii ii

    Px x Dx x a x x a x > 0 ( , ) > 0 , 0 > 0n niia i Px x x x P

    Putem aplica Lema de unde deducem convergena irului construit cu metoda Gauss-Seidel doar n cazul n care matricea A este pozitiv definit:

    pozitiv definit( ) * , ( ) < 1kx x k M A

  • 7

    Metodele relaxrii

    Fie n nA o matrice real ptratic de dimensiune n, simetric, A=AT i pozitiv definit, A > 0 i nb un vector real. Considerm sistemul de ecuaii liniare:

    Ax = b

    Deoarece matricea A este pozitiv definit sistemul de mai sus are soluie unic, * 1=x A b . Vom considera funcia : nf : ( ) ( ), ,n nf y A x y x y y Din faptul c matricea A este pozitiv definit avem:

    ( ) 0 , i ( ) ( ) ,nf y y f y f x y x

  • 8

    Prin urmare x* este i unica soluie a problemei de minimizare: min ( ) ; 0 ( )nf y y f x

    Vom cuta soluia sistemului Ax=b, * 1=x A b ca fiind soluia problemei de minimizare de mai sus folosind o metod de tip relaxare de forma:

    (0) ( 1) ( )

    ( 1) ( ) ( 1) ( )

    dat, , 0,1,

    , ,

    n k kk l k

    k k k kj j l l k

    y y y c e l l k

    y y j l y y c

    Constanta ck se determin astfel nct ( 1) ( )( ) ( )k kf y f y n sperana c irul y(k) astfel construit converge la x*.

  • 9

    Notm cu :

    r(k) = b - Ay(k) vectorul reziduu. Avem:

    ( ) ( ) ( ) ( )( )k k k kr b Ay Ax Ay A x y

    ( 1) ( ) ( ) 2( ) ( ) 2k k kk l k llf y f y c r c a

    Pentru ca ( 1) ( )( ) ( )k kf y f y este necesar i suficient s alegem ck astfel ca:

    ( ) ( )2 ( )

    ( )

    2 ( 0) 0, 2 sau 2 , 0

    , cu 0,2

    k kk l l

    k ll k l ll kll ll

    kl

    k k kll

    r rc a c r a ca a

    rca

  • 10

    Metoda de relaxare obinut este urmtoarea:

    ( )(0) ( 1) ( )dat, 0,1, , 0,2kn k k lk l kll

    ry y y e ka

    Pentru a aproxima x* se deduce o clas de metode numite metodele relaxrii successive. Aceste metode se obin aplicnd metodele de relaxare de mai sus. Vom considera:

    ,k k Vom construi un ir ( )k nx astfel:

  • 11

    (0) (0)

    (0)(1) (0) 1

    111(1)

    (2) (1) 22

    22

    ( 1)( ) ( 1)

    (1) ( )

    un vector din dat

    1

    2

    n

    nn n n

    nnn

    n

    x yrl y y earl y y ea

    rl n y y ea

    x y

  • 12

    Trecerea de la iteraia k la iteraia urmtoare se face astfel:

    ( ) ( )

    ( )( 1) ( ) 1

    111

    ( 1)( 2) ( 1) 2

    222

    ( 1)( ) ( 1)

    ( 1) (( 1) )

    1

    2

    , 0,1,2,

    k kn

    knkn kn

    knkn kn

    kn nkn n kn n n

    nnn

    k k n

    x yrl y y ea

    rl y y ea

    rl n y y ea

    x y k

  • 13

    Acum putem scrie dependena vectorului x(k+1) de x(k): (0)

    1( 1) ( ) ( 1) ( )

    1

    1( 1) ( ) ( 1) ( )

    1 1

    0,2 date,

    , 1,2, , ,

    ) , 1,2, , ,

    n

    i nk k k k

    i i i ij j ij jj j iii

    i nk k k k

    i i i ij j ij jj j iii

    x

    x x b a x a x i na

    x x b a x a x i na

    k

    0,1,2,

    Metodele de mai sus poart numele de metodele relaxrii successive. Pentru 1 obinem metoda Gauss-Seidel.

  • 14

    o 0 1 metodele se numesc de sub-relaxare i pot fi folosite n

    cazul cnd metoda Gauss-Seidel diverge. o 1 2 metodele se numesc de supra-relaxare i pot fi folosite

    pentru accelerarea convergenei n cazul cnd metoda Gauss-Seidel converge.

    Rearanjnd formulele de mai sus avem:

    1( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )

    1 1

    ( )

    (1 )i nk k k k kiiij j i ii i ij j ii

    j j i

    kii

    aa x x B x a x a x b

    C x b

    Matricea A fiind simetric, poate fi scris sub forma:

  • 15

    21

    1 2 1

    11 22

    0 0 00 0

    cu ,

    0

    diag , , ,

    T

    n n n n

    nn

    aA L D L L

    a a a

    D a a a

    Cu aceste notaii, matricile B i C de mai sus pot fi scrise astfel:

    1 1, TB L D C D L

    Vom verific dac metodele relaxrii succesive se nscriu n clasa general de metode iterative, adic vom verifica dac A=B-C :

  • 16

    1 1 T TB C L D D L L D L A

    Convergena irului x(k) la soluia x*=A-1b ? Teorem Fie o matrice n nA , simetric, A=AT cu detA 0, aii>0 ,

    1, ,i n , nb un vector real i 0,2 . Atunci irul x(k) construit cu o metoda de relaxare successiv converge la soluia x* a sistemului liniar Ax=b oricare ar fi iteraia iniial x(0) dac i numai dac matricea A este pozitiv definit.

    ( ) (0), , ) 0 , 0k nx x k x Ax x x x

  • 17

    Demonstraie: Vom verifica dac raza spectral a matricii iteraiei este subunitar folosind Lema. Avem: 1 1 1nM B C B B A I B A

    11 221 1, det 0 ( 0 , )nn iinB L D B a a a a i

    Matricea A este simetric iar matricea B este nesingular. Pentru a fi ndeplinite ipotezele Lemei trebuie s verificm c matricea P este pozitiv definit:

    1 1 2T T TP B B A L D L D L D L D

  • 18

    2

    1

    (2 ), 0 0 0, )

    (2 ) 0 0,2

    n

    ii i iii

    Px x a x x a i

    Toate ipotezele lemei sunt ndeplinite, prin urmare avem convergena dorit.

  • 19

    Valori i vectori proprii (eigenvalues, eigenvectors)

    Definiie Fie n nA . Numrul complex se numete valoare proprie a matricii A dac exist un vector , 0nu u astfel ca:

    Au=u Vectorul u se numete vector propriu asociat valorii proprii . Pentru existena vectorului 0u este necesar i suficient ca matricea (In A) s fie singular , adic det(In A)=0.

  • 20

    Polinomul de grad n: detA np I A se numete polinom caracteristic al matricii A. Propoziia 1 Fie rdcinile polinomului caracteristic 1, 2, ..., n distincte, i j pentru 1 i j n i 1 2, , , nu u u vectorii proprii corespunztori. Atunci 1 2, , , nu u u sunt liniar independeni. (demonstraia se face prin inducie)

  • 21

    Propoziia 2 Fie valorile proprii i ale matricii n nA distincte. Atunci exist o matrice nesingular T astfel ca:

    11 2diag[ , , , ]nT AT .

    Demonstraie. Fie 1 2, , , nu u u vectorii proprii ai matricii A. Considerm matricea T ale crei coloane sunt vectorii proprii ui ,

    1 2 ]nu u u . Deoarece vectorii proprii sunt liniar independeni conform propoziiei 1 rezult c matricea T este nesingular. Vom avea: 1 2 1 1 2 2 1 2.diagn n n nAT Au Au Au u u u T nmulind cu T-1 obinem concluzia propoziiei 2.

  • 22

    Definiie Matricile A i B sunt asemenea (notaie AB) dac i numai dac exist o matrice nesingular T (det T 0) astfel ca:

    A=T B T -1 Propoziia 3 .A BA B p p Demonstraie.

    1 1 1

    1 1

    det( ) det det

    det det( )det detA n n

    n n B

    p I A I TBT TT TBT

    T I B T T I B T p

    Propoziia 3 ne spune c matricile asemenea au acelai polinom caracteristic i aceleai valori proprii.