COLÉGIO CASCAVELENSE

A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsaA Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense-ColCascavelense

11


22


33

REALIZAÇÃOREALIZAÇÃO

COLÉGIO CASCAVELENSECOLÉGIO CASCAVELENSESÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASASÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASA

DIREÇÃODIREÇÃOPROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI)PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI)


44

Condição de alinhamento de Condição de alinhamento de três pontos por determinantetrês pontos por determinante

TeoremaTeorema

Três pontos A(xTrês pontos A(xAA;y;yAA), ), B(xB(xBB;y;yBB) e ) e C(xC(xCC;y;yCC) são ) são colineares se, e somente se:colineares se, e somente se:

xxAA y yAA 1 1

det.det. = = xxBB y yBB 1 1 = = 00

xxCC y yCC 1 1

A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRA Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelenseBsa-ColCascavelense

55

OBS: Dois pontos estão OBS: Dois pontos estão sempre alinhadossempre alinhados

Três pontos Três pontos distintos podem:distintos podem:

a) a) Estar Estar alinhadosalinhados

(det = 0).(det = 0). Nesse Nesse caso dizemos que caso dizemos que os pontos estão os pontos estão colineares.colineares.

b) b) Determinar um Determinar um triângulo.triângulo. (det. (det. 0) 0)

AB

A

B

C

A

B C


66

Ex:01 Verifique se os pontos A, Ex:01 Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados:B e C estão alinhados:

a) A(3, 2), B(4, 1) e a) A(3, 2), B(4, 1) e

C(1, 4).C(1, 4).

Sol: Vamos calcular o Sol: Vamos calcular o determinante:determinante:

3 2 13 2 1

D = 4 1 1 = 3 + 2 + 16 - 1 D = 4 1 1 = 3 + 2 + 16 - 1

1 4 1 - 12 - 21 = 01 4 1 - 12 - 21 = 0

Resp: Como D = 0, os pontos Resp: Como D = 0, os pontos são colineares.são colineares.

b) A(2, 3);B(-2,-5) e b) A(2, 3);B(-2,-5) e

C(-1,-3)C(-1,-3)

c) A(-2, 0), B(1, 3) e C(2, 4)c) A(-2, 0), B(1, 3) e C(2, 4)

d) A(1, 2), B(3, 4) e C(3, -1)d) A(1, 2), B(3, 4) e C(3, -1)

e) A(1, 0), B(3, 1) e C(-7, 0)e) A(1, 0), B(3, 1) e C(-7, 0)

Resp: a) e b) sim; Resp: a) e b) sim;

c) e d) nãoc) e d) não


77

Ex:02 Determinar os valores de a de Ex:02 Determinar os valores de a de modo que os pontos A(a;7),modo que os pontos A(a;7),

B(2,-3) e C(a,1) sejam vértices de um B(2,-3) e C(a,1) sejam vértices de um triângulo.triângulo.

Sol:Sol: Pontos vértices de um triângulo Pontos vértices de um triângulo Det.Det. 0 0

a 7 1a 7 1

Det. = 2 -3 1 Det. = 2 -3 1 0 0 -3 a +7 a +2 + 3 a -a -14 -3 a +7 a +2 + 3 a -a -14 0 0

a 1 1 a 1 1 6 a – 12 6 a – 12 0 0 a a 2. 2.

Resp: a Resp: a 2. 2.

A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCaA Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelensescavelense

88

Ex:03 Determinar m para que os Ex:03 Determinar m para que os pontos A(-1,m); B(2, -3) e C(-4, 5):pontos A(-1,m); B(2, -3) e C(-4, 5):

A) A) estejam alinhadosestejam alinhados Sol: Pontos alinhados Sol: Pontos alinhados Det. = 0Det. = 0

(resolva e confira que (resolva e confira que ) m = 1.) m = 1.

b) Sejam b) Sejam vértices de um triângulovértices de um triângulo Sol: Três pontos vértices de um Sol: Três pontos vértices de um

triângulo triângulo Det. Det. 0 0 (resolva e (resolva e confira que confira que ) m ) m 1. 1.

A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelense

9

Ex:04 Os pontos A(-3,a), B(9, b) Ex:04 Os pontos A(-3,a), B(9, b) e C(1, -2) são colineares. e C(1, -2) são colineares.

Determine o valor de 2 a + b.Determine o valor de 2 a + b.

Sol: Sol:

Pontos colineares Pontos colineares Det. = 0.Det. = 0.

(Armando e resolvendo o (Armando e resolvendo o determinante, determinante,

encontramos que: 2 a + b = -6). encontramos que: 2 a + b = -6).

A Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascaveleA Reta-LevePrfPraCasa-Prof.EdRBsa-ColCascavelensense

1010

Ex: 05 O ponto A é a interseção Ex: 05 O ponto A é a interseção da reta que contém os pontos da reta que contém os pontos

B(1, 3) e C(2, 5) com o eixo das B(1, 3) e C(2, 5) com o eixo das abscissas. Determinar as abscissas. Determinar as

coordenadas de A.coordenadas de A.Sol:Sol:

Faça uma representação gráfica no PC e veja: Faça uma representação gráfica no PC e veja:

a) Como A a) Como A 0x 0x yA = 0 yA = 0 A(xA,0); A(xA,0);

b) Pontos A, B e C alinhados b) Pontos A, B e C alinhados Det = 0 de onde Det = 0 de onde determinamos que xA = - ½.determinamos que xA = - ½.

Resp: A(-1/2; 0)Resp: A(-1/2; 0)


1111

Equação Geral da retaEquação Geral da reta

Consideremos os pontos A(2, 1), B(1, -1) e um Consideremos os pontos A(2, 1), B(1, -1) e um ponto genérico P(x, y).ponto genérico P(x, y).Para que A, B e C sejamPara que A, B e C sejam alinhadosalinhados, devemos ter: , devemos ter: (Faça gráfico no PC)(Faça gráfico no PC)

x y 1x y 1 Det = 0 Det = 0 2 1 1 = 0.2 1 1 = 0. 1 -1 11 -1 1 Desenvolvendo esse det, temos como resultado Desenvolvendo esse det, temos como resultado

final: 2x – y – 3 = 0.final: 2x – y – 3 = 0. Essa equação representa todos os pontos P(x,y) Essa equação representa todos os pontos P(x,y)

que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por que estão alinhados com A(2,1) e B(1,-1) e, por isso, é chamada de isso, é chamada de “Equação Geral da Reta”.“Equação Geral da Reta”.


1212

Equação Geral da reta – Equação Geral da reta – (Cont.)(Cont.)

Representação: ax + by + c = 0Representação: ax + by + c = 0 Dados: A(xDados: A(xAA; y; yAA), B(x), B(xBB; y; yBB) e P(x; y).) e P(x; y).

x

x y 1

xA yA 1 = 0

xB yB 1

ax + by + c = 0

Não sendo a e b simultaneamente nulos.

B

xA x xB

yB

yA

y

y

0

A

P


1313

Ex: Determinar os coeficientes a, b Ex: Determinar os coeficientes a, b e c de cada equação de reta abaixo e c de cada equação de reta abaixo :: A) 3x – 2y – 7 = 0 => (a = ;b = ;c = )A) 3x – 2y – 7 = 0 => (a = ;b = ;c = ) B) 5x + 4y = 0 => (a = ; b = ; c = )B) 5x + 4y = 0 => (a = ; b = ; c = ) C) 3x – 2 = 0 => (a = ; b= ; c = )C) 3x – 2 = 0 => (a = ; b= ; c = ) D) 5 – 2y = 0 => (a = ; b= ; c = )D) 5 – 2y = 0 => (a = ; b= ; c = ) E) x = 0 => (a = ; b= ; c = )E) x = 0 => (a = ; b= ; c = ) F) y = 0 => (a = ; b= ; c = )F) y = 0 => (a = ; b= ; c = )


1414

Ex: 06 Determine a equação geral da Ex: 06 Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:reta que passa pelos pontos:

a)a) A(3, 1) e B(6, 3)A(3, 1) e B(6, 3)

Sol: Considere um ponto genérico P(x,y) Sol: Considere um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta r que passa pelos pertencente a reta r que passa pelos pontos A(3,1) e B(6,3). Pelo alinhamento:pontos A(3,1) e B(6,3). Pelo alinhamento:

x y 1x y 1

Det = 0Det = 0 3 1 1 = 0. Desenvolvendo o 3 1 1 = 0. Desenvolvendo o

6 3 1 determinante, 6 3 1 determinante,

temos:temos:

(r) : 2x – 3y – 3 = 0.(r) : 2x – 3y – 3 = 0.


1515

Continuação:Continuação:

b) A (3, 2 ) e B (2, 1)b) A (3, 2 ) e B (2, 1)

c) A(-1, 2) e B(-3, -2)c) A(-1, 2) e B(-3, -2)

d) A(0, 2) e B(6, 0)d) A(0, 2) e B(6, 0)

e) A(-3, 2) e B(1, 4)e) A(-3, 2) e B(1, 4)

Em todos itens aplicar e desenvolver Em todos itens aplicar e desenvolver det. = 0det. = 0 . .

Resp: a) (s): x – y – 1 = 0 Resp: a) (s): x – y – 1 = 0

b) (t): 2x – y + 4 = 0b) (t): 2x – y + 4 = 0

c) (w): x + 3y – 6 = 0 c) (w): x + 3y – 6 = 0

d) (k): x – 2y + 7 = 0d) (k): x – 2y + 7 = 0


16

Ex:07 Determinar a equação Ex:07 Determinar a equação geral da reta r em cada caso:geral da reta r em cada caso:

a) a) Sol: Em ambos os itens, determine os 2 pontos de cada reta e use o det. conforme ex. anterior.

Resp:

a) (t): x + y – 3 = 0

b) (r): x – y – 2 = 0

x

b)y

0 2

2

4r

xt

y

3

30


1717

Equação Reduzida da retaEquação Reduzida da reta

Para se Para se encontrar a equação reduzidaencontrar a equação reduzida de uma reta basta se tirar o valor de y na de uma reta basta se tirar o valor de y na equação geral ax + by + c = 0 (b equação geral ax + by + c = 0 (b 0), ou 0), ou seja: by = - ax – c => seja: by = - ax – c => y = - a/b. x + (-c/a) => y = - a/b. x + (-c/a) =>

y = m.x + qy = m.x + q

Onde : Onde : m = - a/bm = - a/b => (Coeficiente angular da reta) => (Coeficiente angular da reta)

e e q = - c/bq = - c/b => (Coeficiente linear da reta – É => (Coeficiente linear da reta – É a ordenada do ponto interseção com o eixo y).a ordenada do ponto interseção com o eixo y).


1818

Ex:08 Determinar a eq. reduzida e os Ex:08 Determinar a eq. reduzida e os coeficientes angular e linear das retas:coeficientes angular e linear das retas:

A) 3x + 4y – 12 = 0A) 3x + 4y – 12 = 0

B) 2x – 3y – 7 = 0B) 2x – 3y – 7 = 0

C) ax + by + c = 0C) ax + by + c = 0

D) 2x – y + 3 = 0D) 2x – y + 3 = 0

E) que passa pelos pontos E) que passa pelos pontos

A(-1, 2) e B(1, 3).A(-1, 2) e B(1, 3).

Resp: a) y = -3/4 x + 3;Resp: a) y = -3/4 x + 3;

m = -3/4 e q = 3m = -3/4 e q = 3

b) y = 2/3 x – 7/3; m = 2/3 e b) y = 2/3 x – 7/3; m = 2/3 e

q = - 7/3q = - 7/3

c) y = -a/b.x –c/a; m=-a/b e c) y = -a/b.x –c/a; m=-a/b e

q = - c/a q = - c/a

d) y = 2x + 3; m = 2 e q = 3 d) y = 2x + 3; m = 2 e q = 3

e) y = ½ x +5/2; m = ½ e e) y = ½ x +5/2; m = ½ e

q = 5/2q = 5/2


1919

O que é inclinação(O que é inclinação() de ) de uma reta?uma reta?

É o menor ângulo entre uma reta e o eixo dos x, É o menor ângulo entre uma reta e o eixo dos x, orientado no sentido anti-horário do eixo dos x orientado no sentido anti-horário do eixo dos x para a reta para a reta ( 0°( 0° < 180°).< 180°).

x

y

0° < < 90°

ra)

x

y

0

90° < < 180°

r

b)


2020

O que é inclinação(O que é inclinação() de ) de uma reta? (cont.)uma reta? (cont.)

..

x

x

r // 0x

0

y

r = 0x

= 0°d)=90°c)

r 0y

y

x

y

x

r // 0y


2121

O que é Coeficiente Angular?O que é Coeficiente Angular?

Definição:Definição:

Chama-se coeficiente Angular Chama-se coeficiente Angular (ou (ou declividade)declividade) de uma reta não vertical, à de uma reta não vertical, à tangente trigonométrica da sua tangente trigonométrica da sua inclinação. Representa-se por “m”.Ou inclinação. Representa-se por “m”.Ou seja:seja:

m = tg m = tg


2222

Determinação do Coeficiente Determinação do Coeficiente Angular dados dois pontos.Angular dados dois pontos.

Seja r uma reta não vertical onde A(xSeja r uma reta não vertical onde A(xAA,y,yAA), ), B(xB(xB,B,yyBB) são dois de seus pontos.) são dois de seus pontos.

x

y

B

xA xB

yB

yA

0

C

No triângulo ABC => tg = BC/CA

m = tg = y B – y A

x B – x A


23

Observações importantes do Observações importantes do Coeficiente Angular.Coeficiente Angular.

1º) 1º) = 0° = 0° tg tg = tg 0° = tg 0° m = 0 m = 0

2°) 0° < 2°) 0° < < 90° < 90° tg tg > 0 > 0 m > 0 m > 0

3°) 90° < 3°) 90° < < 180° < 180° tg tg < 0 < 0 m < 0 m < 0

4°) 4°) = 90° = 90° tg tg = tg 90° = tg 90° m m


2424

Ex:09 Determinar a inclinação(Ex:09 Determinar a inclinação(),os ),os coeficientes Angular/Linear das retas:coeficientes Angular/Linear das retas:

A) A)

)

(0, q)x

y

Resp:Inclin.= ; m = tg ; q = q

(0, -4)

x

y

150°

Resp:Inclin.= .30º ; m = 3/3; q = -4

b)


2525

Continuação do Ex: 09Continuação do Ex: 09

C)C)

120°

x

y

-4/3

d)y

x

135° 3

e)y

x

5

y

x

f )

5


2626

Ex:10 Assinale as Ex:10 Assinale as afirmativas verdadeiras:afirmativas verdadeiras:

01. Toda reta tem coeficiente angular;01. Toda reta tem coeficiente angular; 02. Uma reta perpendicular ao eixo dos y tem 02. Uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo;coeficiente angular nulo; 04. Se a inclinação de uma reta é um ângulo 04. Se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coef.angular é negativo;obtuso o seu coef.angular é negativo; 08. Se o coef. Angular de uma reta é positivo, a 08. Se o coef. Angular de uma reta é positivo, a sua inclinação será um ângulo positivo;sua inclinação será um ângulo positivo; 16. Uma reta perpendicular ao eixo das 16. Uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular .abscissas não tem coeficiente angular . Soma: 30Soma: 30


2727

Ex:11 Ache o coef. Angular da reta Ex:11 Ache o coef. Angular da reta que passa pelos pontos e comente que passa pelos pontos e comente a sua inclinação.a sua inclinação.

a) A(- 4, - 5) e B(-9, -7)a) A(- 4, - 5) e B(-9, -7)

Sol: Sol: m = m = yyBB – y – yAA = -= -7 - (-5)7 - (-5) => => m=2/5 (m=2/5 ( é agudo) é agudo)

xxBB – x – xAA -9 – (-4) -9 – (-4)

b) A(1, -3) e B(-3, 0) c) A(5, -2) e B(1, -2)b) A(1, -3) e B(-3, 0) c) A(5, -2) e B(1, -2)

d) A(4, -5) e B(4, -8)d) A(4, -5) e B(4, -8)

Resp: b) m = -3/4 (obtuso); c) m = 0 (nulo)Resp: b) m = -3/4 (obtuso); c) m = 0 (nulo)

d) m d) m ( ( = 90°) = 90°)


2828

Condição de alinhamento de três Condição de alinhamento de três pontos por coeficiente angular.pontos por coeficiente angular.

Teorema: Três pontos A(xTeorema: Três pontos A(xAA,y,yAA),B(x),B(xBB,y,yBB) e ) e C(xC(xCC,y,yCC) são colineares se, e somente se ) são colineares se, e somente se m m ABAB = = m m BCBC, ou , ou não existem m não existem m ABAB e m e m BCBC..

A

BCy

xxA xB xC

yC

yB

yC

0

tg = m AB = m BC


2929

Ex:12 Verificar se os pontos Ex:12 Verificar se os pontos estão alinhados:estão alinhados:

a)a) A(4, 5), B(6,10) e C(0. -5).A(4, 5), B(6,10) e C(0. -5). Sol: Sol: Vamos usar a condição dos coeficiente Vamos usar a condição dos coeficiente

angulares, ou seja: angulares, ou seja: m m ABAB = m = m BCBC..

m m ABAB = = yy B B – y – y AA = = 10 – 510 – 5 = 5 / 2 = 5 / 2

x x BB – x – x AA 6 – 4 6 – 4

m m BCBC = = y y CC – y – y BB = = -5 – 10 -5 – 10 = = -15-15 = 5 / 2 = 5 / 2

x x CC - x - x BB 0 - 6 - 6 0 - 6 - 6

Resp: Como m Resp: Como m ABAB = m = m BCBC = 5/2=> (Alinhados) = 5/2=> (Alinhados)

b)b) A(2, 3), B(2 +4t, 3 –5t) e C(2 +4n, 3 – 5n).A(2, 3), B(2 +4t, 3 –5t) e C(2 +4n, 3 – 5n). Sol: Sol: (Pra você RESOLVER) Resp: (Alinhados) (Pra você RESOLVER) Resp: (Alinhados)


30

Ex:13 Determinar eq. geral e reduzida das Ex:13 Determinar eq. geral e reduzida das retas dados dois pontosretas dados dois pontos

a)a) A(-3, -5) e B(-7, -8).A(-3, -5) e B(-7, -8).

Sol:Considerando um ponto genérico Sol:Considerando um ponto genérico P(x, y)P(x, y) da da reta AB, e a igualdade de coeficientes reta AB, e a igualdade de coeficientes angulares angulares m m PAPA = m = m ABAB, temos:, temos:

y P – y Ay P – y A = = y B – y Ay B – y A => => y – (-5) y – (-5) = = -8 –(-5) -8 –(-5) => =>

x P – x A x B – x Ax P – x A x B – x A x – (-3) x + 3 x – (-3) x + 3

=> => 3x - 4y – 1 = 0 (Geral) e y = ¾ x – ¼(reduzida)3x - 4y – 1 = 0 (Geral) e y = ¾ x – ¼(reduzida)

b) A(2, -1) e B(-3, 2)b) A(2, -1) e B(-3, 2) Sol: (Pra você) Sol: (Pra você) Resp: 3x + 5y – 1 =0 e y = -3/5 x + 1/5Resp: 3x + 5y – 1 =0 e y = -3/5 x + 1/5


3131

Cálculo de equação de reta Cálculo de equação de reta dados um Ponto e o Coeficiente dados um Ponto e o Coeficiente

Angular.Angular. DadosDados: ponto A(x : ponto A(x AA, y , y AA) e Coef. Ang. (m).) e Coef. Ang. (m).

Para cálculo da equaçãoPara cálculo da equação, usa-se um ponto , usa-se um ponto genérico P(x, y) da reta, e então:genérico P(x, y) da reta, e então:

m = tg m = tg = = y – y y – y AA ou seja: ou seja: y – y y – y AA = m = m

x – x x – x AA x – x x – x AA ou ainda : ou ainda : y – y y – y AA = m(x – x = m(x – x AA))


3232

Ex:14 Ache a equação da reta (r) Ex:14 Ache a equação da reta (r) nos seguintes casos:nos seguintes casos:

a)a) Passando por Passando por A(3, -4) e m = - 5/2A(3, -4) e m = - 5/2..

Sol: Usando P(x, y) Sol: Usando P(x, y) r e tg r e tg = m => = m =>

=> => y – (-4)y – (-4) = - 5/2 => = - 5/2 => (r) 5x + 2y – 7 = 0(r) 5x + 2y – 7 = 0

x - 3x - 3

b) Passa pelo ponto b) Passa pelo ponto P(-2, 1) e tem m= -3P(-2, 1) e tem m= -3..

Sol: (pra você) Sol: (pra você) Resp: 3x + y + 5 = 0Resp: 3x + y + 5 = 0


3333

Cálculo de equação de reta Cálculo de equação de reta dados um ponto e a dados um ponto e a Inclinação (Inclinação ( 90°). 90°).

DadosDados: : ponto A(x A, y A) e a Inclinação (ponto A(x A, y A) e a Inclinação ().).

I) Determinamos o coef.AngularI) Determinamos o coef.Angular: m = tg : m = tg ..

II) Usa-se agora o processo do cálculo da reta II) Usa-se agora o processo do cálculo da reta da qual tem-se um ponto e “m”, ou seja: da qual tem-se um ponto e “m”, ou seja:

y – y y – y AA = m ( x – x = m ( x – x AA))


3434

Ex:14 Obtenha a eq. da reta(r) que Ex:14 Obtenha a eq. da reta(r) que passa passa pelopelo ponto A(7, 1) e tem ponto A(7, 1) e tem

inclinação 45°.inclinação 45°.

Sol: Sol: Inicialmente precisamos determinarInicialmente precisamos determinar o o coef. coef. AngularAngular: m = t g : m = t g = t g 45° = 1. = t g 45° = 1.

A reta procurada possui m = 1 e passa pelo ponto A(7, 1). A reta procurada possui m = 1 e passa pelo ponto A(7, 1).

Assim: y – y A = m (x – x A) => y – 1 = 1.(x – 7) => Assim: y – y A = m (x – x A) => y – 1 = 1.(x – 7) =>

(r) x – y – 6 = 0.(r) x – y – 6 = 0.

Ex: Idem para; A(0,1) e Ex: Idem para; A(0,1) e = 150°. = 150°.

Sol: Sol: (Pra você) (Pra você) Resp: (r) Resp: (r) 3 x + 3y – 3 = 03 x + 3y – 3 = 0


3535

Ex:15 Determine as equações das Ex:15 Determine as equações das retas r e s mostradas na figura.retas r e s mostradas na figura.

Sol: (pra você) Sol: (pra você) Resp: Resp: (r):y = (r):y = 3/3 x – 2 e (s): y =-x + 43/3 x – 2 e (s): y =-x + 4

y

x

135°60°0

-2

sr

4


3636

Equação da 1ªBissetriz ou bissetriz dos Equação da 1ªBissetriz ou bissetriz dos quadrantes ímpares(b13)quadrantes ímpares(b13)

Determinação da equação:Determinação da equação:- Temos que Temos que = 45° = 45° => m= tg => m= tg = 1. = 1.- O ponto origem O ponto origem O(0,0) O(0,0) b b1313..

- Assim: Assim: y – y o = m ( x – x o)y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x-0) => => y – 0 = 1(x-0) => y = xy = x ( (Todo Todo pontoponto que pertence a bque pertence a b13 13 tem coordenadas iguais)tem coordenadas iguais). .

Ex: A(a,a); B(-b,-b)

x

y

45°

b13

(0,0) a

a

-b

-b


37

Equação da 2ªBissetriz ou bissetriz dos Equação da 2ªBissetriz ou bissetriz dos quadrantes pares(b24)quadrantes pares(b24)

Determinação da equação:Determinação da equação:- Temos que Temos que = 135° = 135° => m= tg => m= tg = - 1. = - 1.- O ponto origem O ponto origem O(0,0) O(0,0) b b2424..- Assim: Assim: y – y o = m ( x – x o)y – y o = m ( x – x o) => y – 0 = 1(x - 0) => => y – 0 = 1(x - 0) => y = - xy = - x

((Todo pontoTodo ponto que pertence a bque pertence a b24 24 tem coordenadas opostas tem coordenadas opostas (ou simétricas) )(ou simétricas) ). .

x

y

135°

b24

(0,0) a

- a

- b

b

Ex: A(a,-a); B(-b,b)


3838

Interseção de duas retasInterseção de duas retas

Todo ponto de interseção de duas (ou mais) Todo ponto de interseção de duas (ou mais) retas tem de satisfazer(pertencer) as equações retas tem de satisfazer(pertencer) as equações das duas (ou mais) retas.das duas (ou mais) retas.EsteEste ponto comum ponto comum

P(x o,y o) é determinadoP(x o,y o) é determinado resolvendo o sistema resolvendo o sistema formado pelas equações.formado pelas equações.

x

yrs

P(x o, y o)

P(x o,y o) = r s = a1 x+b1 y+c 1 = 0

a2 x+b2 y+c 2=0


3939

Ex:16 Obter a interseção das retas:Ex:16 Obter a interseção das retas:(r) x – y + 1 = 0 e (s) 2x + y – 2 = 0(r) x – y + 1 = 0 e (s) 2x + y – 2 = 0

Sol: Vamos resolver o sistema pelo método da Sol: Vamos resolver o sistema pelo método da adição:adição:

x – y + 1 = 0 ( I )x – y + 1 = 0 ( I )

2x + y – 2 = 02x + y – 2 = 0 ( II ) ( II )

3x – 1 = 0 => 3x – 1 = 0 => x = 1/3.x = 1/3. Substituindo em (I), temos: 1/3 – y + 1 = 0 Substituindo em (I), temos: 1/3 – y + 1 = 0 => => y = 4/3.y = 4/3. Logo, a Logo, a interseção de r com s é P(1/3; 4/3)interseção de r com s é P(1/3; 4/3)

+


4040

Ex:17 Determinar o ponto I Ex:17 Determinar o ponto I de interseção entre as de interseção entre as

retas: retas: A) r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0.A) r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0. Sol: Pra você Sol: Pra você Resp: I(-1, 1)Resp: I(-1, 1) B) r: y = 2x – 3 e s: y = 3x – 5.B) r: y = 2x – 3 e s: y = 3x – 5. Sol: Pra você Sol: Pra você Resp: I(2, 1)Resp: I(2, 1) C)C)

Resp: I (4/3, - 8/3)

y

x

sr

4

- 4

4

-2I

Sol: Pra você


4141

ATENÇÃO: Concorrência de 3 ATENÇÃO: Concorrência de 3 retas em um mesmo pontoretas em um mesmo ponto

Dadas as equações de 3 retas Dadas as equações de 3 retas para verificar para verificar se elas concorrem num mesmose elas concorrem num mesmo pontoponto, basta , basta que se que se determine o ponto dedetermine o ponto de interseção de interseção de duasduas, em , em seguida verifiqueseguida verifique se o ponto se o ponto encontrado pertence a terceiraencontrado pertence a terceira retareta, caso , caso pertença, então as retas são concorrentes em pertença, então as retas são concorrentes em um mesmo ponto.um mesmo ponto.


4242

Ex:18 Provar que as retas 2x + 3y – 1 = 0, Ex:18 Provar que as retas 2x + 3y – 1 = 0, x + y =0 e 3x + 4y – 1 = 0 concorrem no x + y =0 e 3x + 4y – 1 = 0 concorrem no

mesmo ponto.mesmo ponto.

Sol: Sol: 1º) Determinemos P, interseção da 1ª com a 2ªreta1º) Determinemos P, interseção da 1ª com a 2ªreta ;; 2x + 3y – 1 = 0 => x = -1 e y = 1 2x + 3y – 1 = 0 => x = -1 e y = 1 x + y = 0 =>P(-1,1)x + y = 0 =>P(-1,1)

2º) Provemos que P pertence a 3ª reta;2º) Provemos que P pertence a 3ª reta; 3xp + 4yp – 1 = 3.(-1)+ 4.1-1 =-3 + 4 – 1 = 0.3xp + 4yp – 1 = 3.(-1)+ 4.1-1 =-3 + 4 – 1 = 0. Fica provado então que as retas Fica provado então que as retas concorrem no mesmo ponto.concorrem no mesmo ponto.


4343

Ex:19 Verificar se as retas 2x - 3y - 7= 0; Ex:19 Verificar se as retas 2x - 3y - 7= 0; 3x – y - 14 = 0 e x - 3y – 8 = 0 concorrem no 3x – y - 14 = 0 e x - 3y – 8 = 0 concorrem no

mesmo ponto.mesmo ponto.

Sol: Pra você Resp: Não.Sol: Pra você Resp: Não.

Ex:20(UFC) Encontre o número real m de Ex:20(UFC) Encontre o número real m de modo que as retas: x + y = 8; 2x – 3y = 6 modo que as retas: x + y = 8; 2x – 3y = 6 e 5x + my = 3 passem por um mesmo e 5x + my = 3 passem por um mesmo ponto.ponto.

Resp: m = -27 / 2.Resp: m = -27 / 2.


44

Equação Segmentária da RetaEquação Segmentária da Reta

Sejam P(p, 0) e Q(0, q) pontos distintos Sejam P(p, 0) e Q(0, q) pontos distintos entre si e localizados sobre os eixos.entre si e localizados sobre os eixos.

Aplicando o det. nos pontos,encontramos a Aplicando o det. nos pontos,encontramos a equação: x y 1equação: x y 1

p 0 1 = 0 => p 0 1 = 0 => pq = qx + pypq = qx + py

0 q 1 (dividindo por pq)0 q 1 (dividindo por pq)

=> => X/P + Y/q = 1X/P + Y/q = 1

x

y

P(p,0)

Q(0,q)


4545

Ex:21 Obter a equação Ex:21 Obter a equação segmentária da reta nos casos:segmentária da reta nos casos:

A) passa pelos pontos A) passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, -5).A(2, 0) e B(0, -5). Sol: Usando Sol: Usando xx + + yy = 1 => = 1 => x x + + yy = 1 = 1

a b a b 2 -52 -5

b) b) 6

4 x

y

2

-3

x

yc)

Resp:b) x/4 + y/6 =1

c) x/2 + y/-3 = 1


4646

Ex:22 Obter a equação segmentária da reta Ex:22 Obter a equação segmentária da reta cuja equação geral é 2x – 3y + 4 = 0cuja equação geral é 2x – 3y + 4 = 0

Sol: Sol: 2x – 3y + 4 = 0 => 2x – 3y = - 4 2x – 3y + 4 = 0 => 2x – 3y = - 4 (dividindo a equação por -4) => (dividindo a equação por -4) => 2x2x + + (-3y) (-3y) = = -4-4 => =>

-4 -4 -4-4 -4 -4 x x + + y y = 1 = 1

-2 4/3-2 4/3

Ex: 23 Idem para 4x + 3y – 2 = 0.Ex: 23 Idem para 4x + 3y – 2 = 0.

Sol: Prá você Resp: Sol: Prá você Resp: x/(1/2) + y/(2/3) = 1x/(1/2) + y/(2/3) = 1


4747

Equações ParamétricasEquações Paramétricas

São as equações que não relacionam São as equações que não relacionam diretamente as coordenadas x e y. Tais diretamente as coordenadas x e y. Tais equações são dadas em função de uma equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada parâmetro:terceira variável, t, chamada parâmetro:

x = f(t)x = f(t) y = g(t),y = g(t), f e g são funções afins f e g são funções afinsOBS: A partir das equações paramétricas, OBS: A partir das equações paramétricas,

obtém-se a equação geral, eliminando-se o obtém-se a equação geral, eliminando-se o parâmetro t.parâmetro t.


4848

Ex:24 Determinar a equação geral da reta r dadas as paramétricas:

A) A) x = 2t + 4x = 2t + 4 y = t – 3y = t – 3Sol: Sol: Vamos isolar t na segunda equação:Vamos isolar t na segunda equação:

y + 3 = t => t = y + 3.y + 3 = t => t = y + 3.Substituindo t por y + 3 na 1ª equação,temos: Substituindo t por y + 3 na 1ª equação,temos: x = 2(y + 3) + 4 => x = 2(y + 3) + 4 => x – 2y – 10 = 0 é a equação x – 2y – 10 = 0 é a equação

geral de r.geral de r. B) x = 3t e y = 3 – t.B) x = 3t e y = 3 – t.Sol: Prá você Resp: Sol: Prá você Resp: (r) x + 3y – 9 = 0(r) x + 3y – 9 = 0


4949

Ex:25 Determinar as equações paramétricas da reta:

a) ( r ) 3x – 2y – 6 = 0.

Sol: Vamos isolar x na equação.

3x = 2y + 6 => x = 2/3 y + 6/3 =>x = 2(y/3+1)

Fazendo y/2 + 1 = t => y/2 = t – 1 =>y = 2t - 2, obtemos: x = 2t e y = 2t - 2 que são as

paramétricas

b) ( s ): x + 5y – 3 = 0.

Sol: Prá você Resp: x = 3 – t e y = - t / 5


5050

Exercícios de RevisãoExercícios de RevisãoEx:26 Determinar: a) a equação geral Ex:26 Determinar: a) a equação geral

b) a equação reduzida; c) a equação b) a equação reduzida; c) a equação segmentária; d) o coeficiente angular da reta segmentária; d) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(-2; -3) e B(4; 2). que passa pelos pontos A(-2; -3) e B(4; 2).

Resp: a)5x - 6y – 8 = 0; b) y = 5/6 x – 4/3 Resp: a)5x - 6y – 8 = 0; b) y = 5/6 x – 4/3 c) x / (8/5) + y / (-4/3) = 1 d) m = 5/6c) x / (8/5) + y / (-4/3) = 1 d) m = 5/6

Ex:27 Determinar a eq. geral; reduzida e segmentária das Ex:27 Determinar a eq. geral; reduzida e segmentária das paramétricas: paramétricas:

2x = t + 1 e y = 3t – 2.2x = t + 1 e y = 3t – 2. Resp: a) 6x – y – 5 = 0; b) y = 6x – 5; Resp: a) 6x – y – 5 = 0; b) y = 6x – 5; c) x / (5/6) + y / -5 = 1c) x / (5/6) + y / -5 = 1


51

RETAS PARALELAS:(//)RETAS PARALELAS:(//)

Duas RETAS, (r) aDuas RETAS, (r) a11x + bx + b11y + cy + c11 = 0 e = 0 e (s)a(s)a22x + bx + b22y + cy + c22 = 0,distintas e não = 0,distintas e não verticais, são paralelas se, e somente se, verticais, são paralelas se, e somente se, têm coeficientes angulares iguais.têm coeficientes angulares iguais.

Dem: Dem: r // s r // s = = tg tg = tg = tg m r = m s m r = m s

c2

c1i) r // s a1 = b1 c1

a2 b2 c2

ii) r s a1 = b1 = c1

a2 b2 c2


5252

RETAS CONCORRENTES:(X)RETAS CONCORRENTES:(X)

Duas RETAS, (r) aDuas RETAS, (r) a11x + bx + b11y + cy + c11 = 0 e (s)a = 0 e (s)a22x + x + bb22y + cy + c22 = 0, elas serão concorrentes se tiverem = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes coeficientes angulares diferentes (r (r s = { P }). s = { P }).

r X s => m r r X s => m r m s => - a m s => - a1/1/ b b11 -a -a22 / b / b2 => 2 =>

aa11 / a / a22 b b11 / b / b22

x

y

rs

P


5353

RETAS PERPENDICULARES(RETAS PERPENDICULARES()) Duas RETASDuas RETAS, (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + , (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x +

b2y + c2 = 0,distintas e não verticais, são b2y + c2 = 0,distintas e não verticais, são perpendiculares se, e somente se, perpendiculares se, e somente se, o produto de o produto de seus coeficientes angulares é igual a - 1.seus coeficientes angulares é igual a - 1.

Dem: Se r Dem: Se r s, s, entãoentão: : = 90°+ = 90°+ => tg => tg = tg (90°+ = tg (90°+ ) )

=> tg => tg = = sen (90°+ sen (90°+ )) = = cos cos => tg => tg = - cotg = - cotg =-1 / tg =-1 / tg

cos (90°+ cos (90°+ ) -sen) -sen

=> tg => tg . tg . tg = -1 => m s . m r = - 1 = -1 => m s . m r = - 1r

s0

x

y

Se r s => m r.m s = -1


5454

Ex:28Dadas as eq.de retas; (r) y = 3x Ex:28Dadas as eq.de retas; (r) y = 3x + 5; (s) y = 3x- 2; (t) 6x- 2y+10= 0 + 5; (s) y = 3x- 2; (t) 6x- 2y+10= 0

e (u) y = 5x.e (u) y = 5x. Determinar a posição relativa entre:Determinar a posição relativa entre: A) r e s b) r e t c) s e u.A) r e s b) r e t c) s e u. Sol: Temos que: i) m r = 3 e q r = 5; Sol: Temos que: i) m r = 3 e q r = 5; ii) m s = 3 e q s = -2; ii) m s = 3 e q s = -2; iii) a eq. reduzida de t é y = 3x + 5 => m t = 3 e q t = 5; iii) a eq. reduzida de t é y = 3x + 5 => m t = 3 e q t = 5; iv) m u = 5 e q u = 0.iv) m u = 5 e q u = 0. Assim, temos: Assim, temos: a)a) m r = m s e q r m r = m s e q r q s => q s =>r e s são paralelas distintas; r e s são paralelas distintas; b)b) m r = m t e q r m r = m t e q r q t => q t => r e t são paralelas coincidentesr e t são paralelas coincidentes;;

c)c) m s m s m u => m u => s e u são concorrentes.s e u são concorrentes.


5555

Ex:29 Para que valores de a as retas Ex:29 Para que valores de a as retas r:3x + 2y – 1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0 r:3x + 2y – 1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0 são paralelas?são paralelas?

Sol: Escrevendo as eq. em forma reduzida Sol: Escrevendo as eq. em forma reduzida temos: r: y = -3/2 x+ ½ =>temos: r: y = -3/2 x+ ½ =>mr=-3/2 e qr=1/2mr=-3/2 e qr=1/2

s: y = - ax/5 – 3/5=> s: y = - ax/5 – 3/5=> ms =-a/5 e qs=-3/5ms =-a/5 e qs=-3/5.. Para Para r // s => m r = m sr // s => m r = m s => - 3/2 = - a/5 => => - 3/2 = - a/5 =>

a = 15 / 2.a = 15 / 2.

Nota: Observe que as retas são paralelas Nota: Observe que as retas são paralelas distintas, pois q r distintas, pois q r q s (1/2 q s (1/2 - 3/5).- 3/5).


5656

Ex:30 Para que valores de a as retas Ex:30 Para que valores de a as retas r:(a²-10)x – y – 4 = 0 e s:3ax + y + 1 = 0 são r:(a²-10)x – y – 4 = 0 e s:3ax + y + 1 = 0 são

concorrentes?concorrentes?

Sol: Retas concorrentes: Sol: Retas concorrentes: r X s => m r r X s => m r m s => -a r / b r = -a s / b s m s => -a r / b r = -a s / b s NOTA: NOTA: Sendo r:a x + b y + c = 0 (b Sendo r:a x + b y + c = 0 (b 0) => 0) =>

m r = - a/bm r = - a/b e e q r = -c/bq r = -c/b (Coeficientes (Coeficientes angular e linear respectivamente).angular e linear respectivamente).

Então: a ² - 10 Então: a ² - 10 -3 a -3 a a² + 3 a - 10 a² + 3 a - 10 0 0

=> => a a - 5 e a - 5 e a 2 2..


5757

Ex:31 Obter uma equação da reta r que Ex:31 Obter uma equação da reta r que passa por P(5,2) e é paralela a reta s do passa por P(5,2) e é paralela a reta s do

gráfico.gráfico.

GráficoGráfico

Sol:Sol:Como Como r // s => m r = m sr // s => m r = m s = tg = tg = tg 135°=> = tg 135°=>

m r = -1.m r = -1.

Temos que Temos que P(5, 2) P(5, 2) r. r.

Usando a equação fundamental da reta, assim:Usando a equação fundamental da reta, assim:

y – y p = m r( x – x p)y – y p = m r( x – x p) =>y – 2 = -1(x – 5) =>y – 2 = -1(x – 5)

=> => r: x + y – 7 = 0r: x + y – 7 = 0

x

5

s

2 135ºP

y

0


58

Ex: 32 Determinar a eq. geral e reduzida da Ex: 32 Determinar a eq. geral e reduzida da reta r que passa pelo ponto P(-1, 6) e é reta r que passa pelo ponto P(-1, 6) e é

paralela à reta s: 4x +2y – 1 = 0paralela à reta s: 4x +2y – 1 = 0

Sol: Sol: Como Como r // s => m r = m sr // s => m r = m s =-a/b = =-a/b = -4/2 => m r = -2.-4/2 => m r = -2.

Temos que Temos que P(-1, 6) P(-1, 6) r. r. Pela equação fundamental da reta, temos:Pela equação fundamental da reta, temos: y – y p = m r( x – x p)y – y p = m r( x – x p) =>y – 6 = - 2 (x+1) =>y – 6 = - 2 (x+1) => => r: 2x+ y– 4 = 0(ger.) e y = -2x + 4 (red)r: 2x+ y– 4 = 0(ger.) e y = -2x + 4 (red)


5959

Ex:33 Obter a eq. reduzida da reta r que passa por Ex:33 Obter a eq. reduzida da reta r que passa por P(4, 6) e é perpendicular à reta do gráfico.P(4, 6) e é perpendicular à reta do gráfico.

..

Sol: Sol: SeSe r r s => m s => m r.mr.m s = -1. s = -1. Temos que: m s = tg 120°= tg (180°- 60°) =Temos que: m s = tg 120°= tg (180°- 60°) = - tg 60°= - - tg 60°= - 3 3 m rm r = - 1/ m s = -1/- = - 1/ m s = -1/-3 = 3 = 3/33/3. . Pela equação fundamental da reta, temos:Pela equação fundamental da reta, temos: y – y p = m r ( x – x p)y – y p = m r ( x – x p) => y – 6 = => y – 6 = 3/3 3/3 (x- 4)(x- 4) => => y = y = 3/3 3/3 x – 4. x – 4. 3 / 3 + 6 3 / 3 + 6

4x

Ps

6

120º

y

0


6060

Ex:34 Obter a eq.geral da reta s que passa Ex:34 Obter a eq.geral da reta s que passa por P(2, -3) e é perpendicular à reta por P(2, -3) e é perpendicular à reta

r: x + 2y + 5 = 0r: x + 2y + 5 = 0

Sol: Cálculo de m r: m r = -a / b = -1/2.Sol: Cálculo de m r: m r = -a / b = -1/2. Como Como r r s => m r. m s = -1 s => m r. m s = -1 m s = 2m s = 2..

Temos que Temos que P(2, -3) P(2, -3) r. r. Pela equação fundamental da reta, temos:Pela equação fundamental da reta, temos:

y – y p = m s. ( x – x p)y – y p = m s. ( x – x p) => y – (-3) = => y – (-3) = 2 2 (x- 2) (x- 2)

=> => (s): 2x – y – 7 = 0(s): 2x – y – 7 = 0


6161

35: Ache a eq. da mediatriz do 35: Ache a eq. da mediatriz do segmento AB, dados A(3,9) e B(1, 5)segmento AB, dados A(3,9) e B(1, 5)

Sol: Sol: Esquema:Esquema:

i)i) OO ponto médio de ABponto médio de AB é M((3+1)/2 ;(9+5)/2)=> é M((3+1)/2 ;(9+5)/2)=> M(2,7)M(2,7)ii)ii) O coeficiente angularO coeficiente angular da reta AB: m da reta AB: m ABAB=(9-5)/(3-1)= 2=(9-5)/(3-1)= 2iii)iii) A mediatriz r A mediatriz r reta AB reta AB => m r. m => m r. m ABAB = - 1 = - 1 m r=-1/2m r=-1/2 Pela equação fundamental da reta, temos:Pela equação fundamental da reta, temos:

y – y M = m s. ( x – x M)y – y M = m s. ( x – x M) => y – 7 = -1/ => y – 7 = -1/2 2 (x- 2)(x- 2) => a eq. da mediatriz => a eq. da mediatriz (r): x +2 y -16 = 0(r): x +2 y -16 = 0

A mediatriz(r) do segmento AB é a reta que passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a AB.A(3,2)

B(-2, -4)

Mediatriz(r)

M


6262

Ex:36 Resolver o problema anterior Ex:36 Resolver o problema anterior

usando “Lugar Geométricousando “Lugar Geométrico”.”. Sol:Sol:

Lugar GeométricoLugar Geométrico: O L.G. dos pontos que têm uma : O L.G. dos pontos que têm uma determinada propriedade é o conjunto de pontos que determinada propriedade é o conjunto de pontos que

contém todos esses pontos exclusivamente.contém todos esses pontos exclusivamente. A MEDIATRIZ de ABA MEDIATRIZ de AB é o L.G. dos pontos P(x,y) tal que (distância) é o L.G. dos pontos P(x,y) tal que (distância)

d(P, A) = d(P, B), isto é, dos pontos eqüidistantes de A e B.d(P, A) = d(P, B), isto é, dos pontos eqüidistantes de A e B. Vamos resolver o problema anterior.Vamos resolver o problema anterior. Dados os pontos A(3, 2), B(-2, -4) e o genérico P(x, y), temos:Dados os pontos A(3, 2), B(-2, -4) e o genérico P(x, y), temos:

(quadrando a equação) (quadrando a equação) d (P,A) = d (P,B)d (P,A) = d (P,B) => (x – 3)²+(y +2)² = (x + => (x – 3)²+(y +2)² = (x + 2)² + (y + 4)² => Operando os quadrados e os termos semelhantes, 2)² + (y + 4)² => Operando os quadrados e os termos semelhantes, temos: temos: x + 2y – 16 = 0x + 2y – 16 = 0


6363

37: Determine as coordenadas da projeção 37: Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto A(3, -2) sobre a reta (r) ortogonal do ponto A(3, -2) sobre a reta (r)

2x – 3y + 14 = 02x – 3y + 14 = 0 Sol: EsquemaSol: Esquema

Denominando a Denominando a projeção de A’(x,y) = r projeção de A’(x,y) = r s s i)Cálculo de: m r = -a / b = -2 / -3= 2 / 3i)Cálculo de: m r = -a / b = -2 / -3= 2 / 3 ii)Cálculo de m s: Como r ii)Cálculo de m s: Como r s => s => m s = - 3 / 2m s = - 3 / 2 iii)Cálculo de s: Usando y – y iii)Cálculo de s: Usando y – y AA=m s(x – x =m s(x – x AA) =>) => s: 3x + 2y – 5 = 0.s: 3x + 2y – 5 = 0. iv) iv) Cálculo de A’:Cálculo de A’:A’(x,y) = r A’(x,y) = r s (armando sistema com as s (armando sistema com as

equações das retas r e s, temos como solução): equações das retas r e s, temos como solução): x = -1 e y = 4 x = -1 e y = 4 => => A’ (-1, 4)A’ (-1, 4)

A(3,2)

A’(x,y)

r

s


6464

38: Determine as coordenadas do ponto P’, 38: Determine as coordenadas do ponto P’, simétrico de P(-1,6) em relação à reta simétrico de P(-1,6) em relação à reta

(r) 3x-4y +2 =0(r) 3x-4y +2 =0

Sol: Sol: EsquemaEsquema

P’(x,y) é simétrico de PP’(x,y) é simétrico de P em relação à reta r; a reta s é em relação à reta r; a reta s é perpendicular a reta r, logo:perpendicular a reta r, logo:Coef. angular de r: m r = -a / b = 3 / 4 => Coef. angular de r: m r = -a / b = 3 / 4 => m s = - 4/3m s = - 4/3..Equação da reta sEquação da reta s:: y – y p = m s(x – x p) => y – y p = m s(x – x p) =>

y – 6 = -4/3 (x + 1) => y – 6 = -4/3 (x + 1) => (s): 4x + 3y – 14 = 0(s): 4x + 3y – 14 = 0..Coordenadas de M: M = r Coordenadas de M: M = r s (sistema) => s (sistema) => M(2,2)M(2,2)Coord. P’:Coord. P’: x m = (x p+x p’)/2=> 2=(-1+x p’)/2=> x m = (x p+x p’)/2=> 2=(-1+x p’)/2=> x p’=x p’= 55 ;y m ;y m = (y p+y p’) / 2=>2 = (6+y p’) / 2=>= (y p+y p’) / 2=>2 = (6+y p’) / 2=>y p’= -2y p’= -2. .

Logo P’(5, -2)Logo P’(5, -2)

P’(x,y)

P(-1,6)

r

M(x m;y m) (Médio de PP’).

s


65

39: Considere o triângulo ABC, em que a 39: Considere o triângulo ABC, em que a reta AB tem por equação x – 12y +6 = 0, e o reta AB tem por equação x – 12y +6 = 0, e o

vértice C(1, 1).vértice C(1, 1). Ache a equação da altura relativa lado AB.Ache a equação da altura relativa lado AB. Sol:Sol:

Cálculo de m AB: m AB = -a / b = -1 / -12 = 1/12.Cálculo de m AB: m AB = -a / b = -1 / -12 = 1/12. Cálculo de m DC:Cálculo de m DC: Como AB Como AB DC => DC => m DC = -12m DC = -12 Cálculo da equação da altura DCCálculo da equação da altura DC : Usando a Eq.Fundamental: : Usando a Eq.Fundamental:

y – y C = m DC(x = x C ) y – y C = m DC(x = x C )

=> y – 1 = -12(x – 1) => => y – 1 = -12(x – 1) => 12x + y – 13 = 012x + y – 13 = 0

C(1,1)

A BD

h


6666

ÂNGULO ENTRE DUAS RETASÂNGULO ENTRE DUAS RETASSejam as retas r e s, e Sejam as retas r e s, e o ângulo agudo o ângulo agudo

entre elasentre elas a)Retas não verticaisa)Retas não verticais b) Uma reta não b) Uma reta não

possui coef.angularpossui coef.angular

r s

x

y

0

tg = 1__

m s

r s

x

y

0

tg = m r – m s

1 + mr.ms


6767

NOTAS:NOTAS:

1) 1) Se no cálculo daSe no cálculo da

tg tg obtivermos obtivermos

tg tg = 0 = 0, isso significa , isso significa que as retas que as retas r e s sãor e s são paralelas.paralelas.

2) Se o 2) Se o denominador denominador da expressãoda expressão

m m rr – m – m ss

1 + m 1 + m rr .m .m ss

for igual a zerofor igual a zero, , então o ângulo então o ângulo formado por formado por r e s ér e s é 90°.90°.


6868

Ex:40 Determinar os ângulos Ex:40 Determinar os ângulos

formados pelas retasformados pelas retas..

a) a) r: 2x + y -5 = 0r: 2x + y -5 = 0 e e s: 3x – y – 5 = 0s: 3x – y – 5 = 0 Sol:Sol: i) Cálculo dos coef. Angulares das retas:i) Cálculo dos coef. Angulares das retas:

m r = -a / bm r = -a / b = -2 / -1= 2 => = -2 / -1= 2 => m r = 2 m r = 2

m s = -a / bm s = -a / b = -3 /-1 = 3 => = -3 /-1 = 3 => m s = 3m s = 3

ii) ii) Aplicando a fórmula do ângulo agudo:Aplicando a fórmula do ângulo agudo:

tg tg = = m r – m sm r – m s = = - 2 – 3 - 2 – 3 = = - 5 - 5 = = 11

1 + mr.ms1 + mr.ms 1 +(-2).3 -5 1 +(-2).3 -5

=> => = arc tg 1 = arc tg 1 => => = 45° (Ângulo agudo). = 45° (Ângulo agudo). O O âng. obtusoâng. obtuso entre r e s é o suplemento de entre r e s é o suplemento de , ,

ou seja: ou seja: ’ = 180° - 45°= 135°’ = 180° - 45°= 135°


6969

Ex:41 Dados os pontos A(3, -1), B(1, 3) e C(4, Ex:41 Dados os pontos A(3, -1), B(1, 3) e C(4, 5), determinar ângulo agudo formada pelas 5), determinar ângulo agudo formada pelas

retas AB e BC.retas AB e BC.

Sol: i) Sol: i) Cal. dos coeficientes angulares:Cal. dos coeficientes angulares:

m m ABAB == y y BB – y – y AA = = 3 –(-1) 3 –(-1) = = 4 4 = = - 2- 2

x x BB - x - x AA 1 – 3 -2 1 – 3 -2

m m BCBC = = y c – y y c – y BB = = 5 – 3 5 – 3 = = 22

x c - x x c - x BB 4 – 1 4 – 1 33

ii) Cal. do ângulo agudo:ii) Cal. do ângulo agudo:

tg tg = = mmABAB – m – mBCBC = = - 2 – 2/3- 2 – 2/3 = = - 8/3- 8/3 = 8 = 8

1 + m1 + mABAB. m. mBC 1 + (-2).2/3 -1/3BC 1 + (-2).2/3 -1/3

Resp: Resp: = arc. tg 8 (Consultando uma tabela: = arc. tg 8 (Consultando uma tabela: 83°)83°)


7070

Ex:42 Determine o ângulo agudo formado Ex:42 Determine o ângulo agudo formado pelas retas r: x = 3 e pelas retas r: x = 3 e

s: s: 3 x + y + 5 = 0.3 x + y + 5 = 0.

Sol: i) Cal. dos coef. Angulares:Sol: i) Cal. dos coef. Angulares:

m r = -a / b = -1 / 0 m r = -a / b = -1 / 0 => r é vertical. => r é vertical.

m s = -a / b = - m s = -a / b = - 3 / 1 = 3 / 1 = - - 3 .3 .

ii) Cál de ii) Cál de ::

tg tg = 1 / l m s l = 1 / l = 1 / l m s l = 1 / l - - 3 l = 1 / 3 l = 1 / 3 = 3 = 3 / 33 / 3

= arc. tg = arc. tg 3 / 3 => 3 / 3 => = 30° = 30°


7171

Ex: 43 Determine a eq da reta r que passa Ex: 43 Determine a eq da reta r que passa por P(-1, 4) e forma ângulo de 45° com a por P(-1, 4) e forma ângulo de 45° com a

reta s:4x +y +2 =0.reta s:4x +y +2 =0.

Sol: Sol: i) i) Cal do m sCal do m s: m s = - a/b = - 4/1= : m s = - a/b = - 4/1= - 4- 4.. ii)ii) Cal do m rCal do m r: tg : tg = = m r – m sm r – m s => tg 45° = => tg 45° = mr –(-4) mr –(-4) => => 1+ mr.ms 1- 4mr1+ mr.ms 1- 4mr

m r + 4m r + 4 = = 1 => a) 1 => a) m r + 4m r + 4 = -1 => = -1 => m r = 5 / 3m r = 5 / 3 1 – 4mr 1 – 4mr1 – 4mr 1 – 4mr b) b) m r + 4m r + 4 = 1 => = 1 => m r = - 5 / 3m r = - 5 / 3 1 – 4mr1 – 4mr iii) Cál da iii) Cál da eq da reta req da reta r que passa por que passa por P(-1,4)P(-1,4) e: e:a)a) mr = 5/3mr = 5/3 => y – yp = mr(x – xp) =>y – 4 = 5/3 (x + 1) => => y – yp = mr(x – xp) =>y – 4 = 5/3 (x + 1) => 5x- 3y+17=05x- 3y+17=0b) b) mr = -5/3mr = -5/3 =>y – yp = mr(x– xp) =>y – 4 = -5/3 (x + 1) => =>y – yp = mr(x– xp) =>y – 4 = -5/3 (x + 1) => 3x+5y+17=03x+5y+17=0


7272

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETARETA

Dado um ponto P(xp; yp) e uma reta r de Dado um ponto P(xp; yp) e uma reta r de equação (r): ax + by + c = 0, a distância equação (r): ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por:entre P e r é dada por:

d(P,r) = d(P,r) = l a.x l a.x pp + b.y + b.y pp + c l + c l

a² + b²a² + b²

r

P

dNOTA: Distância Reta/Origem

d(O,r) = l c_l__

a² + b²


7373

Ex:44 Calcular a distância do ponto Ex:44 Calcular a distância do ponto P(2,1) à reta r: 3x – 4y + 8 = 0.P(2,1) à reta r: 3x – 4y + 8 = 0.

Sol: A d(P,r) = Sol: A d(P,r) = l a.x p + b.y p + c ll a.x p + b.y p + c l

a² + b²a² + b²

onde: a = 3; b = -4; c = 8; x p = 2 e y p = 1.onde: a = 3; b = -4; c = 8; x p = 2 e y p = 1.

Logo: d(P,r) = Logo: d(P,r) = l 3.2 + (-4).1 + 8 ll 3.2 + (-4).1 + 8 l = = 1010 = 2. = 2.

3² + (-4)² 5 3² + (-4)² 5

Resp: d(P,r) = 2 Resp: d(P,r) = 2


7474

Ex:45 Calcular a distância entre as retas Ex:45 Calcular a distância entre as retas r: 12x + 5y + 38 = 0 e s: 12x + 5y + 25 = 0.r: 12x + 5y + 38 = 0 e s: 12x + 5y + 25 = 0.

Sol: Sol: i) r // s pois m r = m s = -12 / 5.i) r // s pois m r = m s = -12 / 5. ii) A distância entre duas retas paralelas é a distância de ii) A distância entre duas retas paralelas é a distância de

um ponto P, pertencente a uma delas, até a outra.Para um ponto P, pertencente a uma delas, até a outra.Para obter P(x,y)obter P(x,y)r, atribuindo r, atribuindo

x x pp = 1 => 12.1+5y+25=0=>y = 1 => 12.1+5y+25=0=>y p p =-10 =-10 P(1; -10).P(1; -10). iii) Calculando d(P,s) = iii) Calculando d(P,s) = l 12.1 + 5.(-10)+25ll 12.1 + 5.(-10)+25l = 1 = 1

12² + 5²12² + 5² Logo a d (r,s) = d(P,s) = 1Logo a d (r,s) = d(P,s) = 1

Resp: d(r,s) = 1Resp: d(r,s) = 1NOTA: Distância entre retas //.

d = l c r – c s l

a² + b²


7575

Ex:46 Calcular a medida da altura Ex:46 Calcular a medida da altura relativa ao vértice A do triângulo relativa ao vértice A do triângulo ABC, onde A(-3;0), B(0; 0) e C(6; ABC, onde A(-3;0), B(0; 0) e C(6;

8).8). Sol: Sol: A medida h da alturaA medida h da altura relativa do ponto A à relativa do ponto A à

reta BC:reta BC: é é h = d(A,BC).h = d(A,BC). Uma equação da reta BC: Uma equação da reta BC: x y 1x y 1 6 8 1 = 0 => 8x – 6y = 06 8 1 = 0 => 8x – 6y = 0 0 0 1 4x – 3y = 00 0 1 4x – 3y = 0 Cál. de h:Cál. de h: h = d(A,BC) = l h = d(A,BC) = l 4.(-3) + (-3).0 l 4.(-3) + (-3).0 l = = l -12 ll -12 l = 12 / 5 = 12 / 5 4² + (-3)² 54² + (-3)² 5 Resp: h = 12 / 5Resp: h = 12 / 5

A

B Ch


7676

Ex:47 Determinar o(s) ponto(s) do eixo y que Ex:47 Determinar o(s) ponto(s) do eixo y que dista(m) 2 unidades da reta dista(m) 2 unidades da reta r: 15x + 8y + 2 = 0.r: 15x + 8y + 2 = 0.

Sol: Sol: i) i) P P 0y => P(0, a). 0y => P(0, a). ii) Temos que: ii) Temos que: d(P,r) = 2d(P,r) = 2, assim: , assim:

l 15.0 + 8 a + 2 ll 15.0 + 8 a + 2 l = 2 = 2 l 8 a + 2 l = 34 l 8 a + 2 l = 34 15² + 8 15² + 8

a) 8 a + 2 = 34 => a = 4 a) 8 a + 2 = 34 => a = 4 b) 8 a + 2 = -34 => a = -9/2b) 8 a + 2 = -34 => a = -9/2 Resp: P(0; 4) e P(0; -9/2) Resp: P(0; 4) e P(0; -9/2)


7777

Ex:48 Calcule k para que a reta 3x + 4y + k = 0 Ex:48 Calcule k para que a reta 3x + 4y + k = 0 estejam localizada a três unidades de P(5,2).estejam localizada a três unidades de P(5,2).

Sol: Usando a fórmula distância ponto/reta: Sol: Usando a fórmula distância ponto/reta: d(P,r) = d(P,r) = l a.x p + b.y p + c ll a.x p + b.y p + c l

a² + b²a² + b² 3 = 3 = l3.5 + 4.2 + k l3.5 + 4.2 + k 3² + 4² => l k + 23 l = 153² + 4² => l k + 23 l = 15

Logo: Logo: i) k + 23 = 15 => k = - 8i) k + 23 = 15 => k = - 8 ii) k + 23 = - 23 => k = -38ii) k + 23 = - 23 => k = -38 Resp: k = -8 ou k = - 38.Resp: k = -8 ou k = - 38.


7878

ÁREA DE UM TRIÃNGULOÁREA DE UM TRIÃNGULODados Dados três pontos não colinearestrês pontos não colineares A(xA(xAA,y,yAA), B(x), B(xBB,y,yBB) e C(x) e C(xCC,y,yCC), a área S do ), a área S do triângulo formada por esses pontos é triângulo formada por esses pontos é

dada por: dada por: S = S = ½½. l D l. l D l onde: onde:

D = xD = xAA y yAA 1 1

xxBB y yBB 1 1

xxCC y yCC 1 1 A

B

C

y

yB

yC

yA

xA xB xC0


79

Ex:49 Determinar a área do triângulo de Ex:49 Determinar a área do triângulo de vértices A(2,5(, B(0,1) e C(3,6).vértices A(2,5(, B(0,1) e C(3,6).

Sol: 2 5 1 Sol: 2 5 1 i) Cal. de Di) Cal. de D: D = 0 1 1 = 2: D = 0 1 1 = 2

3 6 13 6 1 Cal. da áreaCal. da área::

A = ½ lDlA = ½ lDl = ½ .l2l = 1 = ½ .l2l = 1

Resp: A = 1 u.a.Resp: A = 1 u.a.


8080

Ex:50 Calcule a área do quadrilátero de Ex:50 Calcule a área do quadrilátero de vértices A(1,0) B(5,0), C(4,2) e D(0,3).vértices A(1,0) B(5,0), C(4,2) e D(0,3).

Sol: Representa-se os pontos no plano.Sol: Representa-se os pontos no plano.

ii) Forma-se um det. com as coordenadas ii) Forma-se um det. com as coordenadas 1 01 0 D = 5 0 = 19 D = 5 0 = 19 Área = ½.lDl = ½.l19l Área = ½.lDl = ½.l19l 4 2 4 2 0 3 0 3 Área = 19 / 2 u.a.Área = 19 / 2 u.a. 1 01 0

A

CD

B

Sentido das linhas do determinante


8181

Ex:51 Determinar a área do triângulo limitado Ex:51 Determinar a área do triângulo limitado pelas retas r: y = 2x; s: y = 4x-8 e pelas retas r: y = 2x; s: y = 4x-8 e

t: y = -2x+ 4.t: y = -2x+ 4. Sol: Os vértices do triângulo são os pontos: Sol: Os vértices do triângulo são os pontos: {E} {E}

= r = r s; {F} = r s; {F} = r t e {G} = s t e {G} = s t t .Todos os vértices .Todos os vértices são determinados formando sistemas com os são determinados formando sistemas com os pares de retas:pares de retas:onde: onde:

E = (4, 8); F = (1, 2) e G(2, 0).E = (4, 8); F = (1, 2) e G(2, 0). Daí então a Daí então a Área = ½. lDlÁrea = ½. lDl = ½ l12l = 6 = ½ l12l = 6

Resp: Área = 6 u.aResp: Área = 6 u.a..

Nota: D é o determinante dos vértices E, F e GNota: D é o determinante dos vértices E, F e G


8282

Retas Bissetrizes (bRetas Bissetrizes (b11 e b e b22) dos ângulos ) dos ângulos entre duas Retas Concorrentes (r e s)entre duas Retas Concorrentes (r e s)

y

P(x p,y p)

s

r

x0

b1

b2

Sejam as retas concorrentes:

r : a1x + b1y + c1= 0

s : a2x + b2y + c2 = 0

Seja P(x p,y p) um ponto genérico de uma das bissetrizes (b2).

Se P(x,y) b2, então

d (Pr) = d (Ps), isto é:

l a1xp+b1yp+c1 l =l a2xp+b2yp+c2 l

a1² + b1² a2² + b2²

As equações de b1 e b2 são:

a1xp+b1yp+c1 = a2xp+b2yp+c2

a1² + b1² a2² + b2²

a1xp+b1yp+c1 a2xp+b2yp+c2 = 0 ou

a1² + b1² a2² + b2²


8383

Ex:52 Obter as Ex:52 Obter as equaçõesequações das bissetrizes das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas dos ângulos formados pelas retas (r) 3x + 4y -1= 0 e (s) 12x – 5y = 0.(r) 3x + 4y -1= 0 e (s) 12x – 5y = 0.

Sol: Pela teoria, temos:Sol: Pela teoria, temos: 3x + 4y -13x + 4y -1 12x – 5y 12x – 5y = 0 => = 0 => 3x + 4y -13x + 4y -1 12x – 5y 12x – 5y = 0 = 0

3² + 4² 3² + 4² 12²+5² 5 1312²+5² 5 13

=> => 13 ( 3x + 4y -1 ) 13 ( 3x + 4y -1 ) 5 (12x – 5y ) = 0 5 (12x – 5y ) = 0, de onde , de onde

Obtemos: Obtemos: 99x + 27y – 13 = 0 ou -21x + 77y – 13 = 099x + 27y – 13 = 0 ou -21x + 77y – 13 = 0

NOTA: Observe que as bissetrizes são perpendiculares,pois;NOTA: Observe que as bissetrizes são perpendiculares,pois;

m1 = - 99 / 27 = - 11 / 3 e m2 = -21 / 77 = 3 / 11 =>m1 = - 99 / 27 = - 11 / 3 e m2 = -21 / 77 = 3 / 11 =>

=> m1 . m2 = -1 => => m1 . m2 = -1 => b1 b1 b2 b2 . .


8484

Ex:53 Qual é a bissetriz do ângulo agudo formado Ex:53 Qual é a bissetriz do ângulo agudo formado pelas retas r: 2x + 3y -1 =0 epelas retas r: 2x + 3y -1 =0 e

s: 3x +2y + 1 = 0? s: 3x +2y + 1 = 0? Sol: Sol: i) Obtemos as duas bissetrizesi) Obtemos as duas bissetrizes:: 2x + 3y - 12x + 3y - 1 3x +2y + 13x +2y + 1 = 0 = 0 2² + 3² 2² + 3² 3² + 2²3² + 2² => (2x + 3y - 1 ) => (2x + 3y - 1 ) (3x +2y + 1) = 0 de (3x +2y + 1) = 0 de

onde temos:onde temos: (b1)(b1) 2x + 3y - 1 + 3x +2y + 1 = 0 => 2x + 3y - 1 + 3x +2y + 1 = 0 => x + y = 0x + y = 0 (b2)(b2) 2x + 3y - 1 - 3x -2y - 1 = 0 => 2x + 3y - 1 - 3x -2y - 1 = 0 => x – y + 2 = 0x – y + 2 = 0

ii) Qual delas é a bissetriz do ângulo agudo?ii) Qual delas é a bissetriz do ângulo agudo? Tomamos um ponto qualquer P Tomamos um ponto qualquer P r e calculamos dPb1 e dPb2 r e calculamos dPb1 e dPb2. .

A menor distância corresponde a bissetriz do ângulo agudo.A menor distância corresponde a bissetriz do ângulo agudo.

Na equação r, se Na equação r, se x p = 2x p = 2 => => y p = -1y p = -1, logo: , logo: P(2; -1).P(2; -1). Daí então: Daí então: d Pb1d Pb1 = = 1 / 1 / 22 e e d Pb2d Pb2 = = 5/ 5/ 22 => => d Pb1 < d Pb2d Pb1 < d Pb2 => => Resp: (b1) x + y = 0Resp: (b1) x + y = 0


8585

EQUAÇÃO DO FEIXE DE EQUAÇÃO DO FEIXE DE RETAS PARALELASRETAS PARALELAS

Definição: Dada uma reta Definição: Dada uma reta

(r) a x + b y + c = 0(r) a x + b y + c = 0, ,

uma equação do feixe de retas paralelas a uma equação do feixe de retas paralelas a r r

é é (r’): (r’): a x + b y + k = 0a x + b y + k = 0, ,

onde onde k varia em k varia em . .

Retas Paralelas possuem o mesmo coeficiente angular ou não possuem.

ry

x

k/a

r’

c / a


86

Ex:54 Dada a reta r: 3x + 4y + 1 = 0, Ex:54 Dada a reta r: 3x + 4y + 1 = 0, determinar:determinar:

a) uma equação do feixe de retas paralelas a ra) uma equação do feixe de retas paralelas a r

b) Obter uma equação do feixe,que dista 6 unidades do ponto P(-b) Obter uma equação do feixe,que dista 6 unidades do ponto P(-2;7).2;7).

Sol: a) Sol: a) Uma reta do feixeUma reta do feixe de paralelas a r é: de paralelas a r é: ( r’): 3x +4y +k = 0( r’): 3x +4y +k = 0..

b) Para obter kb) Para obter k de modo que o ponto P diste 6 unidades de uma de modo que o ponto P diste 6 unidades de uma reta do feixe, resolve-se a equação:reta do feixe, resolve-se a equação:

d (Pr’) = 6d (Pr’) = 6 => l => l 3(-2) +4.7 +k l3(-2) +4.7 +k l = 6 = 6 l22 + k l l22 + k l = 6 = 6

3² + 4² 53² + 4² 5

l 22 + k l = 30l 22 + k l = 30. Logo obtemos:. Logo obtemos:

i)i) 22 + k = 30 => 22 + k = 30 => k = 8k = 8

ou ou ii)ii) 22 + k = - 30 => 22 + k = - 30 => k = - 52k = - 52..

Resp: Resp: Temos então duas retasTemos então duas retas do feixe distante 6 u de r: do feixe distante 6 u de r:

(r’): 3x + 4y + 8 = 0(r’): 3x + 4y + 8 = 0 e e (r”): 3x + 4y – 52 = 0(r”): 3x + 4y – 52 = 0


8787

FEIXE DE RETAS CONCORRENTES FEIXE DE RETAS CONCORRENTES NUM PONTONUM PONTO

Def. Feixe de retas concorrentes num ponto é Def. Feixe de retas concorrentes num ponto é um um conjunto de infinitas retasconjunto de infinitas retas concorrentes concorrentes num mesmo ponto num mesmo ponto C(x C(x oo,y ,y oo).).

Dizemos que o feixe está definido, quando são conhecidas duas de suas retas ou então o centro do feixe.

C

X o

y o

y

x


8888

Equação Cartesiana de um Feixe Equação Cartesiana de um Feixe de Retas de Centro C(xo,yo).de Retas de Centro C(xo,yo).

Seja C(xo,yo) o ponto comum (centro) a todas a Seja C(xo,yo) o ponto comum (centro) a todas a retas do feixe e P(x,y) um ponto genérico de retas do feixe e P(x,y) um ponto genérico de uma das retas do feixe (não perpendicular a 0x). uma das retas do feixe (não perpendicular a 0x). Sendo m o coeficiente angular da reta tomada, Sendo m o coeficiente angular da reta tomada, teremos: m = (y – yo) / (x – xo) => teremos: m = (y – yo) / (x – xo) =>

y – y o = m (x – x o),y – y o = m (x – x o), que a medida que se atribua valores m que a medida que se atribua valores m , ,

obtém-se a eq. de todas as retas que passam obtém-se a eq. de todas as retas que passam por C, com exceção da reta vertical do feixe, por C, com exceção da reta vertical do feixe, que tem como equação que tem como equação x = x o.x = x o.


8989

FEIXE DE RETAS FEIXE DE RETAS CONHECIDAS DUAS RETASCONHECIDAS DUAS RETAS

Sejam as retas Sejam as retas (r) a(r) a11x + bx + b11y + cy + c11 = 0 = 0 e e

(s) a(s) a22x + bx + b22y + cy + c22 = 0 = 0, , concorrentesconcorrentes, que , que definem o definem o feixe de retasfeixe de retas de centro de centro

C(x C(x oo,y ,y oo).). Afirmamos que: Afirmamos que: A equação do feixe de retas concorrentes A equação do feixe de retas concorrentes

em C(x em C(x oo,y ,y oo) é: ) é: (a(a11x + bx + b11y + cy + c11)+ )+ (a (a22x + bx + b22y + cy + c22)= 0 )= 0

(( e e ). ).


9090

Ex:55 Determinar uma equação do feixe de Ex:55 Determinar uma equação do feixe de retas concorrentes de centro C(4,6).retas concorrentes de centro C(4,6).

Sol: Sol: i) Iniciamos i) Iniciamos obtendo as eq de duasobtendo as eq de duas retas distintasretas distintas deste feixe deste feixe. As mais simples . As mais simples são a vertical x = 4 são a vertical x = 4 x – 4 = 0(I)x – 4 = 0(I) e a e a horizontal y = 6 horizontal y = 6 y – 6 = 0 (II).y – 6 = 0 (II).

Multiplicando ambosMultiplicando ambos os membros de (I) os membros de (I) por um parâmetro por um parâmetro realreal , , as de (II) poras de (II) por e e adicionando membro a membroadicionando membro a membro estas estas duas equações, duas equações, obtemosobtemos uma equação do uma equação do feixe: feixe: (x – 4) + (x – 4) + (y – 6) = 0(y – 6) = 0..


9191

Ex:56 Obter uma equação do feixe de retas Ex:56 Obter uma equação do feixe de retas concorrentes que contém as retas concorrentes que contém as retas

r: 2x – y + 3 = 0 e s: x + 4y = 0.r: 2x – y + 3 = 0 e s: x + 4y = 0.

Sol: Sol: SendoSendo 2x – y + 3 = 0 (i) e x + 4y = 0 2x – y + 3 = 0 (i) e x + 4y = 0 (ii)(ii) ; ;

Multiplicando ambos membros de (i) por Multiplicando ambos membros de (i) por e por e por ambos membros de (ii), onde ambos membros de (ii), onde e e são reais e não simultaneamente nulos, são reais e não simultaneamente nulos, obtém-se:obtém-se:

(2x – y + 3 ) = 0 e (2x – y + 3 ) = 0 e (x + 4y ) = 0.(x + 4y ) = 0. Adicionando membro a membro essas Adicionando membro a membro essas

equações, obtemos uma equação do feixe:equações, obtemos uma equação do feixe: (2x – y + 3 ) + (2x – y + 3 ) + (x + 4y ) = 0(x + 4y ) = 0..


9292

Ex:57 Obter o centro do feixe de retas Ex:57 Obter o centro do feixe de retas concorrentes concorrentes (2x + y – 3) +(2x + y – 3) +(x – y + 6)=0, em que (x – y + 6)=0, em que

e e são reais não simultaneamente nulos. são reais não simultaneamente nulos.

Sol: Sol: Para obter as equaçõesPara obter as equações de duas retas de duas retas distintas desse feixe, distintas desse feixe, basta atribuir valores a basta atribuir valores a e e não simultaneamente nulos não simultaneamente nulos..

Por exemplo:Por exemplo: = 1 e = 1 e = 0 => 2x + y – 3 = 0 ( i ) = 0 => 2x + y – 3 = 0 ( i ) = 0 e = 0 e = 1 => x – y + 6 =0 ( ii ). = 1 => x – y + 6 =0 ( ii ).

As equações (i) e (ii) representam duas eq do As equações (i) e (ii) representam duas eq do feixe. feixe. Resolvendo o sistema formado com as Resolvendo o sistema formado com as duas equações encontramosduas equações encontramos o o centro do feixe, centro do feixe, ou seja: x = -1 e y = 5. Logo C(-1, 5)ou seja: x = -1 e y = 5. Logo C(-1, 5)


93

Inequações do 1º grau com Inequações do 1º grau com duas variáveisduas variáveis

Uma inequação do 1º grau com Uma inequação do 1º grau com duas variáveis admite infinitas duas variáveis admite infinitas soluções, que podem ser soluções, que podem ser representadas apenas representadas apenas graficamente.graficamente.

Ex: 2x – y Ex: 2x – y 0; x - 2y > 0;8y – 1/3 x 0; x - 2y > 0;8y – 1/3 x 0.0.

y

xx

yy

x

y

x

y

x

y

xx


9494

Ex:58 Representar no plano cartesiano o Ex:58 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequações:semiplano determinado pelas inequações:

a) x < 4 b) x = 4 c) x > 4a) x < 4 b) x = 4 c) x > 4 Sol:Sol: a)abscissas menores que 4; b) abscissas= 4; c) abscissas>4a)abscissas menores que 4; b) abscissas= 4; c) abscissas>4

a) x < 4 b) x = 4 c) x > 4a) x < 4 b) x = 4 c) x > 4

y

x 4

y

x 4

y

x 4


95

Ex:59 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas inequações:

• a) y < 3 b) y 2• Sol:• a) Ordenadas menores que 3 b) Ordenadas menores ou iguais a 2

x

y

3

x

y

2


9696

Ex:60 Representar no plano cartesiano Ex:60 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pelas o semiplano determinado pelas

inequações:inequações: a) y < 2x + 4 b) y a) y < 2x + 4 b) y 2x + 4 2x + 4 Sol:Sol:

a) a) Semiplano dos pontos “abaixo” (< ) Semiplano dos pontos “abaixo” (< )

da reta origem (y = 2x + 4).da reta origem (y = 2x + 4).

b) b) Semiplano da união dos pontos darSemiplano da união dos pontos dar reta origem com o conjunto dos pontosreta origem com o conjunto dos pontos “ “acima” (acima” () dessa reta. ) dessa reta.

y

x

4

-2

x

y4

-2


9797

Ex:61 Representar no plano cartesiano Ex:61 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pela o semiplano determinado pela inequação y inequação y -3x + 6. -3x + 6.

Sol: Iniciamos representando a reta origem do Sol: Iniciamos representando a reta origem do semiplano y = -3x + 6 (atribuímos dois valores a x) semiplano y = -3x + 6 (atribuímos dois valores a x) no PC. no PC. O semiplano determinado pela inequação O semiplano determinado pela inequação y y -3x + 6 é a união da reta origem (=) com o -3x + 6 é a união da reta origem (=) com o conjunto dos pontos acima (>) dessa reta. Veja o conjunto dos pontos acima (>) dessa reta. Veja o gráfico abaixo.gráfico abaixo.

y

x

6

20


9898

Ex:62 Representar no plano cartesiano o Ex:62 Representar no plano cartesiano o semiplano determinado pela inequação:semiplano determinado pela inequação:

2x – y – 5 > 0.2x – y – 5 > 0.

Sol: Sol: Isolamos a variávelIsolamos a variável yy na inequação: na inequação: 2x – y – 5 > 0 => – y > -2x + 5 => 2x – y – 5 > 0 => – y > -2x + 5 =>

y < 2x – 5y < 2x – 5. . Procedemos a seguir, da Procedemos a seguir, da

mesma forma do ex. 61, mesma forma do ex. 61,

considerando os pontos considerando os pontos

abaixoabaixo (<) da equação (<) da equação

origem (y = 2x – 5).origem (y = 2x – 5).

Veja gráfico:Veja gráfico:

y

x0 5/2

-5


9999

Ex:63 Representar no plano cartesiano os pontos Ex:63 Representar no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfaçam o seguinte sistema de (x, y) que satisfaçam o seguinte sistema de

inequações:inequações:

x – y + 1 > 0x – y + 1 > 0

y – 2 y – 2 0 0 Sol: Sol: Isolando a variável y nas inequações, temos: Isolando a variável y nas inequações, temos: y < x + 1 y < x + 1

(i);(i); e e y y 2 (ii). 2 (ii). Representamos as inequações no mesmo PC Representamos as inequações no mesmo PC e e verificamos os pontosverificamos os pontos da interseção dos semiplanos. Veja da interseção dos semiplanos. Veja figura.figura.

=>

(i)

-1

1

x

y

(ii)

(i)

-1

1

x

y

(ii)

Resp:


100100

ConteúdoConteúdo

Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi)Prof.Edmundo Reis Bessa (Edi)

Produção e DiagramaçãoProdução e Diagramação


Revisão FinalRevisão Final


RealizaçãoRealização

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