Compendiu Heron

  • View
    60

  • Download
    2

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Probleme

Text of Compendiu Heron

  • FORMULA LUI HERON

    Heron din Alexandria, numit i Heron Mecanicul, de origine egiptean, a fost unul din reprezentanii de seam ai celebrei coli din Alexandria. A trit i a activat n perioada finelui secolului I i nceputul secolului al II-lea d. Hr. El a scris lucrri de geometrie i mecanic, dintre care cele mai importante sunt Metrica (originalul ei a fost descoperit n 1869 la Constantinopol) i Dioptra.

    n Metrica, Heron d dou metode pentru calculul ariei unui triunghi cnd i se cunosc lungimile laturilor; prima se reduce la calculul unei nlimi a triunghiului (folosind teorema lui Pitagora generalizat aa cum o ntlnim n manualele colare), iar a doua utilizeaz segmentele determinate pe laturi de cercul nscris n triunghi, ceea ce a condus la celebra formul

    cpbpappABC , rmas n istorie, ca formula lui Heron. Frumuseea formulei, ca i

    teorema lui Pitagora, a atras atenia multor matematicieni n decursul istoriei, astfel c s-au dat mai multe demonstraii chiar de ctre matematicieni celebri ca Newton, Euler etc.

    Mai mult, s-au cutat formule analoage pentru patrulatere (numai patrulaterul inscriptibil permite o formul analoag), pentru tetraedre (numai tetraedrele echifaciale i cele tridreptunghice admit), ba chiar i pentru triunghiurile sferice. Pe de alt parte, expresia ABC a trezit ideeadeterminrii triunghiurilor pentru care avem Ncba ,,, , aa numitele triunghiuri heronice,declannd astfel o veritabil teorie geometric pe care am putea-o numi geometrie heronic . Unii istorici ai matematicii, au ajuns la concluzia c formula lui de calcul a ariei unui triunghi, n funcie de laturile sale, a fost stabilit de Arhimede, i de aceea ar trebui s fie numit formula lui Arhimede-Heron.

    n cele ce urmeaz vom ncerca s prezentm cititorului cte ceva din aceast geometrie. Dar mai nti, vom expune cteva demonstraii date n decursul istoriei, acestei celebre formule.

    Demonstraii ale formulei lui Heron 1. Demonstraia lui Heron (sec. I d. Hr.) Urmrim pe figura 1. Se prelungete AC cu

    lungimea CM=BE, astfel c AM = p = 2

    cba , unde a, b, c sunt lungimile laturilor ABC.

    Avem evident OFAM = SABCrp unde r estelungimea razei cercului nscris triunghiului. Perpendicularele n O pe AO i n C pe AC se ntlnesc n L, evident patrulaterul AOCL este inscriptibil i deci .2drALCAOC

    ns drBOEAOC 2 din care rezult

  • 22

    OF

    CFAF

    CMAM

    AM

    . Urmeaz c CFCMAFAMOFAM

    22 sau

    cpbpappABCS 22

    n ncheiere, Heron calculeaz cu aceast formul, aria unui triunghi cu laturile 7, 8, 9,

    gsind 720512 .

    2. Demonstraia a trei frai arabi (Mohammed, Ahmed i Alhasan n sec. al IX-lea d. Hr.)

    Urmrim pe figura 2. Prelungim laturile BA cu AG=CF i BC cu CI=AF; avem BG=BI=p. Ducem n G perpendiculara pe BA care ntlnete bisectoarea BO n O , astfel c IOGO unde I este piciorul perpendicularei duse din O pe BC. Lum

    pe AC, AH=AG i avem 222 ICIOCO i 222 AGGOAO ; de unde

    .2222 AGICAOCO

    Cum cpAGAH ;

    .ICapAGbAHbCH Deducem c:

    2222 AHCHAOCO ceea ce nseamn c H este piciorul perpendicularei coborte din Ope AC i deci

    AO este bisectoarea unghiului

  • Se observ c ADOAGO ~' ; deci cpapAGADrrGOOD '' ,de unde rezult .22 cpbpappABCS

    4. Demonstraia lui Newton ( din Aritmetica universal, 1707).

    Urmrim pe Figura 4. Fie P mijlocul lui AC. Purtm pe

    AC, de o parte i de alta fa de A AJ=AK=c i la fel fa de C,

    CL=CM=a. Evident

  • Scznd din , avem c

    rACOKBDOK

    AC

    r

    BD ; ns OK=FK-r, deci

    rBDFKBDrFKBDOKBD ; de unde rprACBDrBDrACFKBD .

    Pe de alt parte CFO ~ KAF

    CFAFrFKr

    CF

    AF

    FK i

    CFBDAFrFKBD .

    Rezult c: cpbpapCFBDAFrp 2

    sau

    cpbpappS 2 .

    Observaie: Fie AM BCM median n ABC iar G =baricentrul ABC. Dac D este simetricul lui G fa de M,

    atunci se vede n figura 6, uor c ABCBDG 3 .Dac ma, mb, mc sunt lungimile medianelor ABC, atunci

    amBD

    3

    2 ; bmBG

    3

    2 ;

    cmBD3

    2 iar semiperimetrul

    BDG este cba mmm 3

    1.

    Aplicnd formula lui Heron BDG, gsim c

    cbacbacbccba mmmmmmmmmmmmABCS 3

    1

    Extinderi ale formulei lui Heron 1. La patrulatere

    Se cunoate c n comparaie cu triunghiurile, la patrulatere apare i problema convexitii.

    Evident vom lua n consideraie numai patrulaterele convexe care sunt construibile (determinate) cunoscnd numai lungimile laturilor. n acest mod, de la nceput excludem paralelogramul (evident i rombul), ca i ptratul i dreptunghiul. Primul patrulater n vizor este trapezul care e determinat (deci are arie) cunoscndu-i laturile: a (baza mic), b ( baza mare) iar c i d laturile neparalele. n acest caz urmrind pe Figura 7, avem:

    Fie AE BC =c; evident ADE este bine determinat

    cunoscndu-i laturile: c, d, b-a. Din ADE, aplicnd

    teorema cosinusurilor, gsim abd

    cdabD

    2cos

    222

    .

    A

    C

    B

    O

    D

    E

    F

    J

    K

    Fig.5

    B C

    A

    M

    G

    D Fig. 6

    D C

    A B

    d

    b

    c c

    a

    E

    F

    Fig. 7

    4

  • Deci abd

    cdababdDD

    2

    4cos1sin

    222222

    2 iar

    dcbadcbabadcbadcab

    baABCD

    4 formul

    care nu mbrac ntocmai haina formulei lui Heron. n caz c c=d (trapez isoscel) avem:

    ababcbacbaab

    baABCD

    22

    4

    cbacbabaABCD 224

    care aparent nu are o form Heron.

    S calculm acum aria unui patrulater inscriptibil care e bine determinat de lungimile laturilor. Fie patrulaterul inscriptibil ABCD (deci suma msurilor unghiurilor este 1800) cu lungimile laturilor a, b, c, d. Aplicnd teorema cosinusurilor triunghiurilor ABD i BCD pentru diagonala DB i egalnd cele dou expresii avem:

    AbccbAadda cos2cos2 2222 ( cci cosC =- cosA) deducem

    adbc

    cbdaA

    2cos

    2222

    iar :

    adbc

    cbdabcda

    adbc

    cbdaA

    22cos1

    22

    adbc

    dcbadcba

    adbc

    dacbA

    22cos1

    22

    .

    Dac notm dcbap 2 , atunci rezult imediat c apdcba 2 ; bpdcba 2 ; cpdcba 2 i dpdcba 2 iar

    adbc

    cpbpAA

    2

    cos1

    2cos ;

    adbc

    dpapA

    2sin i deci

    adbc

    dpcpbpapAAA

    2

    2cos

    2sin2sin . Deci :

    AbcAadBCDABDABCD 0180sinsin2

    1

    ,2

    sindpcpbpapbcad

    A care reprezint formula lui Heron pentru

    patrulatere inscriptibile .

    Se observ imediat c dac c=d i CDAB ( cazul trapezului isoscel care este totdeauna

    inscriptibil) formula gsit pentru acesta, este un caz particular al formulei de mai sus.

    2. La tetraedre Considerm tetraedrul ABCD cu lungimile muchiilor BC=a; CA=b; AB=c; DA=l; DB=m; DC=n, n [1] se demonstreaz relaia care exprim volumul tetraedrului:

    22222222222222222222

    2222222222222222144

    mlcnlbnmacbancnmlcba

    mbnmcbalanmlcbaV

    care nu are o form heronic n sensul celei de la triunghi.

    5

  • Dac considerm tetraedrul tridreptunghic OABC cu OCOBOA i cu BC=a; CA =b;

    AB= c; OA=p; OB=q; OC=r ca n Figura 8, atunci

    2222366

    rqpVrqp

    V

    .

    Cum 222222222 ;; brparqcqp

    rezult imediat, notnd 2222

    2s

    cba

    c :

    ;2

    22222

    2 ascba

    p

    22222

    2

    2bs

    cbaq

    i

    22222

    2

    2cs

    cbar

    . Deci

    2222226

    1csbsasV , formula lui Heron pentru tetraedru tridreptunghic.

    n cazul tetraedrului echifacial (tetraedrul cu muchiile opuse congruente) cu toate cele patru fee egale cu triunghiul ce are ca laturi a, b, c. Se observ c acest tetraedru se obine din divizarea

    paralelipipedului dreptunghic cu muchiile de lungimi p, q, r prin plane aa cum se vede n Figura 9.

    Paralelipipedul DCBAABCD se descompune n patru tetraedre tridreptunghice, lund vrfurile ntr-un anumit mod. De exemplu, dac lum vrfurile n

    DBCA ,,, (diametral opuse) avem urmtoarea

    descompunere: CADDCABBCBDCBDAA .;.;.;.

    ( patru tetraedre tridreptunghice egale, avnd fiecare volumul

    egal cu rqp 6

    1 ) i tetraedrul echifacial DBAC (cele

    patru fee sunt triunghiuri egale cu laturile

    222222 ;; rpcrqbqpa ).

    rqprqprqpVVV BDAADCBAABCDDBAC 3

    1

    6

    44

    Cu notaiile de mai nainte, rezult c:

    2222223

    1csbsasV DBAC

    care reprezint formula lui Heron pentru tetraedre echifaciale. Aceste aa zise formule Heron, se pot extinde pentru tetraedre n-dreptunghice i n-echifaciale din Rn.

    A

    O C

    B

    c

    a

    b

    p

    r

    q

    Fig. 8

    A' B'

    A B

    D

    D' C'

    C

    r

    p

    q

    Fig. 9

    6

  • Proiect didactic Data:

    Clasa a IX-a A

    PROPUNATOR: Oprior Valerian

    Disciplina: Matematic / Geometrie

    Tema : Formule pentru aria unui triunghi

    Unitatea de invatare : Formula lui Heron

    Tipul leciei: Lecie predare nvare

    COMPETENE GENERALE

    CG1 Identificarea unor date i relaii matematice i corelarea lor n funcie de contextul n care au fost definite.

    CG2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse n enunuri matematice.

    CG3 Utilizarea algoritmilor i a conceptelor matematice pentru caracterizarea local sau global unei situaii concrete.

    CG4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaii concrete i a algoritmilor