FORMULA LUI HERON

Heron din Alexandria, numit şi Heron Mecanicul, de origine egipteană, a fost unul din reprezentanţii de seamă ai celebrei Şcoli din Alexandria. A trăit şi a activat în perioada finelui secolului I şi începutul secolului al II-lea d. Hr. El a scris lucrări de geometrie şi mecanică, dintre care cele mai importante sunt Metrica (originalul ei a fost descoperit în 1869 la Constantinopol) şi Dioptra.

În Metrica, Heron dă două metode pentru calculul ariei unui triunghi când i se cunosc lungimile laturilor; prima se reduce la calculul unei înălţimi a triunghiului (folosind teorema lui Pitagora generalizată aşa cum o întâlnim în manualele şcolare), iar a doua utilizează segmentele determinate pe laturi de cercul înscris în triunghi, ceea ce a condus la celebra formulă

cpbpappABC , rămasă în istorie, ca formula lui Heron. Frumuseţea formulei, ca şi

teorema lui Pitagora, a atras atenţia multor matematicieni în decursul istoriei, astfel că s-au dat mai multe demonstraţii chiar de către matematicieni celebri ca Newton, Euler etc.

Mai mult, s-au căutat formule analoage pentru patrulatere (numai patrulaterul inscriptibil permite o formulă analoagă), pentru tetraedre (numai tetraedrele echifaciale şi cele tridreptunghice admit), ba chiar şi pentru triunghiurile sferice. Pe de altă parte, expresia ABC a trezit ideea

determinării triunghiurilor pentru care avem Ncba ,,, , aşa numitele triunghiuri heronice,

declanşând astfel o veritabilă teorie geometrică pe care am putea-o numi „geometrie heronică” . Unii istorici ai matematicii, au ajuns la concluzia că formula lui de calcul a ariei unui triunghi, în funcţie de laturile sale, a fost stabilită de Arhimede, şi de aceea ar trebui să fie numită formula lui Arhimede-Heron.

În cele ce urmează vom încerca să prezentăm cititorului „câte ceva” din această geometrie. Dar mai întâi, vom expune câteva demonstraţii date în decursul istoriei, acestei celebre formule.

Demonstraţii ale formulei lui Heron 1. Demonstraţia lui Heron (sec. I d. Hr.) Urmărim pe figura 1. Se prelungeşte AC cu

lungimea CM=BE, astfel că AM = p = 2

cba , unde a, b, c sunt lungimile laturilor ΔABC.

Avem evident OFAM = SABCrp unde r este

lungimea razei cercului înscris triunghiului. Perpendicularele în O pe AO şi în C pe AC se întâlnesc în L, evident patrulaterul AOCL este inscriptibil şi deci .2drALCAOC

Însă drBOEAOC 2 din care rezultă <ALC=<BOE şi

triunghiurile dreptunghice ACL şi BOE sunt asemenea.

Deci: OB

AL

OE

CL

BE

AC

De asemenea FOKCKL ~ (unde KOLAC )

Deci: OK

KL

FK

CK

OF

CL

Din şi rezultăKL

KFCK

CM

CMAC

FK

CK

CM

AC

sau .2

KFAF

CFAF

CMAM

AM

KF

CF

CM

AM

Cum ΔAOK este dreptunghic, avem:

2OFFKAF

Fig. 1

90º

90º A

C

B

M

D E

O

F

L

1

2

2

OF

CFAF

CMAM

AM

. Urmează că CFCMAFAMOFAM 22 sau

cpbpappABCS 22

În încheiere, Heron calculează cu această formulă, aria unui triunghi cu laturile 7, 8, 9,

găsind 720512 .

2. Demonstraţia a trei fraţi arabi (Mohammed, Ahmed şi Alhasan în sec. al IX-lea d. Hr.)

Urmărim pe figura 2. Prelungim laturile BA cu AG=CF şi BC cu CI=AF; avem BG=BI=p. Ducem în G perpendiculara pe BA care întâlneşte bisectoarea BO în O , astfel că IOGO unde

I este piciorul perpendicularei duse din O pe BC. Luăm

pe AC, AH=AG şi avem 222 ICIOCO şi 222 AGGOAO ; de unde

.2222 AGICAOCO

Cum cpAGAH ;

.ICapAGbAHbCH Deducem că:

2222 AHCHAOCO ceea ce înseamnă că H este

piciorul perpendicularei coborâte din Ope AC şi deci

AO este bisectoarea unghiului <GOH.

Pe de altă parte în patrulaterul inscriptibil OGAH ,

avem drHOGGAH 2 şi cum drBAHGAH 2 rezultă BAHHOG precum şi

jumătăţile lor: .DAOAOG Se observă că ΔAG O~ΔADO; de unde

AGADGOODGO

AD

AG

OD

şi

AGAD

OD

GOOD

OD

GO

OD

22

. Cum GOOD , avem că

BG

BD

AGAD

OD

BG

BD

GO

OD

2

.

Deci AGBDADBGBGODAGBDADBGOD 222

cpbpappABCS 22 unde BG=p; AD=p-a; BD=p - b; AG=p - c.

3. O demonstraţie clasică (care apare în mai multe lucrări ale matematicienilor din perioada sec. XII - XV, fără a putea fi atribuită unui autor concret). Urmărim pe Figura 3. Fie O centrul cercului exînscris triunghiului, corespunzător

unghiului B, a cărui rază este r , iar G, H, I punctele de contact ale cercului cu laturile triunghiului. Avem mai întâi

rpABC ; apoi

rbpr

bacACOBCOABOABC

2

Prin înmulţirea acestor relaţii obţinem: '2 rrbppABC .

Fig. 2

A

G

I

C

B

D

E

O

F H

O'

Fig. 3

A

G

C

B

D E

O

F

H

O'

I

2

Se observă că ADOAGO ~' ; deci cpapAGADrrGOOD '' ,

de unde rezultă .22 cpbpappABCS

4. Demonstraţia lui Newton ( din Aritmetica universală, 1707).

Urmărim pe Figura 4. Fie P mijlocul lui AC. Purtăm pe AC, de o parte şi de alta faţă de A AJ=AK=c şi la fel faţă de C, CL=CM=a. Evident <JBK=900,

Fie ACBN ; avem

2222 CNANBCAB

CNANCNAN .

De unde rezultă b

bc

AC

BCABPN

22

2222

.

Din 2

bcPK scădem PN şi rezultă că

b

bpcp

b

cbacba

b

cba

b

acbbcNK

2

222

222222

.

Scăzând NK din JK=2c, avem:

b

app

b

acbacb

b

acb

b

acbbccJN

2

222

22

22222

Cum ΔJBK este dreptunghic, putem scrie:

cpbpappb

NKJNBN 2 şi cpbpapp

BNbABCS

2

Observaţie: Din Fig. 4, observăm că JM=2p; JL=c+b-a; KM=a+b-c; KL=c-b+a, de unde

;2b

JLJMJN

2

KLKMNK

, iar

b

KMKLJLJMBN

2

şi deci

KMKLJLJMABCS 4

1 care exprimă aria triunghiului în funcţie de cele patru

segmente de pe AC, formă pe care a dat-o Newton.

5. Demonstraţia lui Euler (1748 ) Urmărim pe Figura 5. Coborând din A pe CO perpendiculara AJ care întâlneşte pe FO în K. Din figură avem:

BODABCBCABACAOJ 2

190

2

1

2

1 0 .

Se observă că: ΔAJO ~ ΔBDO r

BD

JO

AJ

şi ΔACJ ~ ΔAOK JO

AJ

OK

AC .

A P N C K MLc b2

a a

I

B

Fig. 4

3

Scăzând din , avem că

rACOKBDOK

AC

r

BD ; însă OK=FK-r, deci

rBDFKBDrFKBDOKBD ; de unde

rprACBDrBDrACFKBD .

Pe de altă parte ΔCFO ~ ΔKAF

CFAFrFKr

CF

AF

FK şi

CFBDAFrFKBD .

Rezultă că: cpbpapCFBDAFrp 2

sau

cpbpappS 2 .

Observaţie: Fie AM BCM mediană în ΔABC iar G =

baricentrul ΔABC. Dacă D este simetricul lui G faţă de M,

atunci se vede în figura 6, uşor că ABCBDG 3 .

Dacă ma, mb, mc sunt lungimile medianelor ΔABC, atunci

amBD

3

2 ;

bmBG3

2 ;

cmBD3

2 iar semiperimetrul

ΔBDG este cba mmm 3

1.

Aplicând formula lui Heron ΔBDG, găsim că

cbacbacbccba mmmmmmmmmmmmABCS 3

1

Extinderi ale formulei lui Heron 1. La patrulatere

Se cunoaşte că în comparaţie cu triunghiurile, la patrulatere apare şi problema convexităţii.

Evident vom lua în consideraţie numai patrulaterele convexe care sunt construibile (determinate) cunoscând numai lungimile laturilor. În acest mod, de la început excludem paralelogramul (evident şi rombul), ca şi pătratul şi dreptunghiul. Primul patrulater în vizor este trapezul care e determinat (deci are arie) cunoscându-i laturile: a (baza mică), b ( baza mare) iar c şi d laturile neparalele. În acest caz urmărind pe Figura 7, avem:

Fie AE BC =c; evident ΔADE este bine determinat

cunoscându-i laturile: c, d, b-a. Din ΔADE, aplicând

teorema cosinusurilor, găsim abd

cdabD

2ˆcos

222

.

A

C

B

O

D

E

F

J

K

Fig.5

B C

A

M

G

D Fig. 6

D C

A B

d

b

c c

a

E

F

Fig. 7

4

Deci abd

cdababdDD

2

4cos1ˆsin

222222

2 iar

dcbadcbabadcbadcab

baABCD

4 formulă

care nu îmbracă întocmai haina formulei lui Heron. În caz că c=d (trapez isoscel) avem:

ababcbacbaab

baABCD

22

4

cbacbaba

ABCD 224

care aparent nu are o „formă Heron”.

Să calculăm acum aria unui patrulater inscriptibil care e bine determinat de lungimile laturilor. Fie patrulaterul inscriptibil ABCD (deci suma măsurilor unghiurilor este 1800) cu lungimile laturilor a, b, c, d. Aplicând teorema cosinusurilor triunghiurilor ABD şi BCD pentru diagonala DB şi egalând cele două expresii avem:

AbccbAadda ˆcos2ˆcos2 2222 ( căci cosC =- cosA) deducem

adbc

cbdaA

2cos

2222

iar :

adbc

cbdabcda

adbc

cbdaA

22cos1

22

adbc

dcbadcba

adbc

dacbA

22cos1

22

.

Dacă notăm dcbap 2 , atunci rezultă imediat că apdcba 2 ;

bpdcba 2 ; cpdcba 2 şi dpdcba 2 iar

adbc

cpbpAA

2

cos1

2cos ;

adbc

dpapA

2sin şi deci

adbc

dpcpbpapAAA

2

2cos

2sin2sin . Deci :

AbcAadBCDABDABCD 0180sinsin2

1

,2

sindpcpbpapbcad

A care reprezintă formula lui Heron pentru

patrulatere inscriptibile .

Se observă imediat că dacă c=d şi CDAB ( cazul trapezului isoscel care este totdeauna

inscriptibil) formula găsită pentru acesta, este un caz particular al formulei de mai sus.

2. La tetraedre Considerăm tetraedrul ABCD cu lungimile muchiilor BC=a; CA=b; AB=c; DA=l; DB=m; DC=n, în [1] se demonstrează relaţia care exprimă volumul tetraedrului:

22222222222222222222

2222222222222222144

mlcnlbnmacbancnmlcba

mbnmcbalanmlcbaV

care nu are o „formă heronică” în sensul celei de la triunghi.

5

Dacă considerăm tetraedrul tridreptunghic OABC cu OCOBOA şi cu BC=a; CA =b;

AB= c; OA=p; OB=q; OC=r ca în Figura 8, atunci

2222366

rqpVrqp

V

.

Cum 222222222 ;; brparqcqp

rezultă imediat, notând 2222

2s

cba

că :

;2

22222

2 ascba

p

22222

2

2bs

cbaq

şi

22222

2

2cs

cbar

. Deci

222222

6

1csbsasV , „ formula lui Heron” pentru tetraedru tridreptunghic.

În cazul tetraedrului echifacial (tetraedrul cu muchiile opuse congruente) cu toate cele patru feţe egale cu triunghiul ce are ca laturi a, b, c. Se observă că acest tetraedru se obţine din divizarea

paralelipipedului dreptunghic cu muchiile de lungimi p, q, r prin plane aşa cum se vede în Figura 9.

Paralelipipedul DCBAABCD se descompune în

patru tetraedre tridreptunghice, luând vârfurile într-un anumit mod. De exemplu, dacă luăm vârfurile în

DBCA ,,, (diametral opuse) avem următoarea

descompunere: CADDCABBCBDCBDAA .;.;.;.

( patru tetraedre tridreptunghice egale, având fiecare volumul

egal cu rqp 6

1 ) şi tetraedrul echifacial DBAC (cele

patru feţe sunt triunghiuri egale cu laturile

222222 ;; rpcrqbqpa ).

rqprqprqpVVV BDAADCBAABCDDBAC 3

1

6

44

Cu notaţiile de mai înainte, rezultă că:

222222

3

1csbsasV DBAC

care reprezintă „formula lui Heron” pentru tetraedre echifaciale. Aceste aşa zise formule Heron, se pot extinde pentru tetraedre n-dreptunghice şi n-echifaciale din Rn.

A

O C

B

c

a

b

p

r

q

Fig. 8

A' B'

A B

D

D' C'

C

r

p

q

Fig. 9

6

Proiect didactic Data:

Clasa a IX-a A

PROPUNATOR: Oprişor Valerian

Disciplina: Matematică / Geometrie

Tema : Formule pentru aria unui triunghi

Unitatea de invatare : Formula lui Heron

Tipul lecţiei: Lecţie predare –învăţare

COMPETENŢE GENERALE

CG1 Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite.

CG2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice.

CG3 Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală unei situaţii concrete.

CG4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora.

CG5 Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problemă.

CG6 Modelarea matematică a unor contexte matematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii.

COMPETENŢE SPECIFICE

CS1 Identificarea elementelor necesare pentru calculul unor lungimi de segmente şi măsuri de unghiuri.

CS2 Utilizarea unor tabele şi formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie.

CS3 Determinarea măsurilor unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice.

CS4 Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice.

CS5 Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare.

CS6 Analiza şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice.

7

COMPETENŢE DERIVATE

La sfârşitul orei elevii vor fi capabili:

CD1 Să calculeze aria unui triunghi.

CD2 Să determine înălţimea unui triunghi.

CD3 Să determine raza cercului înscris şi circumscris unui triunghi.

CD4 Să aplice corect noţiunile teoretice în rezolvarea exerciţiilor.

CD5 Să-şi însuşească treptat exigenţele unui exprimări riguroase specifice disciplinei.

CD6 Să justifice prin argumente înlănţuite logic, paşii de rezolvare a unei probleme.

Metode si procedee

Conversaţia euristică Explicaţia Demonstraţia Exerciţiul Problematizarea Învăţarea prin descoperire ŞTIU / VREAU SĂ ŞTIU /AM INVATAT

Forme de organizare a clasei:

Frontală Individuală

Resurse materiale:

Materiale didactice: fişe de lucru Mijloace de învăţământ: tabla, creta.

8

DESFĂŞURAREA LECŢIEI Secvenţele activităţii didactice

Activitatea profesorului

Activitatea elevului

Metode Procedee de

evaluare Moment organizatoric Asigurarea ordinii şi liniştii.

Notarea absenţelor. Elevii se pregătesc pentru oră.

conversaţia observaţia

Captarea atenţiei Se verifică, individual/frontal, calitativ/cantitativ, tema pentru acasă, prin sondaj.

Elevii prezintă caietele conversaţia observaţia

Verificarea cunoştinţelor din lecţia anterioară

Reamintim subiectul discutat ora trecută. „Rezolvarea triunghiului oarecare” şi rog elevii să-mi scrie pe tablă teoremele ce stau la baza rezolvării triunghiului oarecare.

Elevii vor scrie pe tablă teorema cosinusului şi teorema sinusurilor.

conversaţia Aprecierea răspunsurilor primite.

Anunţarea temei şi a obiectivelor lecţiei

Astăzi, vom prezenta „Formule pentru aria unui triunghi” . Vom calcula aria unui triunghi, vom determina înălţimea unui triunghi, raza cercului înscris şi circumscris unui triunghi.

Elevii îşi notează titlul lecţiei în caiet.

conversaţia

Comunicarea noilor cunoştinţe

Profesorul face pe tabla tabelul ŞTIU / VREAU SĂ ŞTIU /AM INVATAT Solicită elevilor să scrie în coloana ŞTIU formulele de calcul pentru aria unui triunghi. În coloana VREAU SĂ ŞTIU o vom completa cu ce vrem să învăţăm: Aria S a unui triunghi verifică relaţiile:

S cba hchbha ⋅=⋅=⋅=21

21

21

.

S2sin

2sin

2sin BacAbcCab

===

S ( )( )( )cpbpapp −−−= (formula lui Heron)

S =A

CBasin2

sinsin2

Lunghimea ah a înălţimii corespunzătoare vârfului A din

triunghiul ABC este ah ( )( )( )cpbpappa

−−−=2

.

Elevii prezintă formulele de calcul pentru arii care le cunosc. Elevii îşi notează în caiet formulele.

Explicaţia, conversaţia euristică, exerciţiul, problematizarea, învăţarea prin descoperire

Observarea sistematică a elevilor, aprecierea răspunsurilor primite.

9

În orice triunghi ABC, avem S

abcR4

= şi pSr = .

Să se calculeze aria triunghiului ABC în cazurile :

a) a = 3, b = 4, C = 3π

,

b) a = 5, b = 6, c = 7,

c) b = 4, C = 4π

, A = 6π

.

Un elev rezolvă la tablă, iar ceilalţi îşi notează în caiete

Fixarea noilor cunoştinţe şi realizarea feed-back-ului

1. Calculaţi aria triunghiului ABC, dacă: a = 6, A =60 şi b + c = 9. 2. Arătaţi că în orice triunghi avem: S = 2R 2 sin A sin B sin C

r = 4R sin 2A

sin 2B

sin 2C

Elevii promesc fise de lucru

Fiecare elev rezolvă pe caiet, apoi comunică rezultatul

Munca independentă Observarea sistematică a elevilor, aprecierea răspunsurilor primite.

Evaluarea Apreciez cunoştinţele elevilor ce s-au remarcat la oră, solicitând părerea proprie şi a clasei în vederea notării.

Clasa va aprecia elevii ce s-au remarcat la oră.

conversaţia Nota în catalog

Tema pentru acasă.

Tema pentru acasă: Ex recapitulative din manual

Notează tema Activitate independentă Notarea răspunsurilor

Fişă de lucru nr 1

1. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că

( )ˆ2, 2 2, 45AB AC m A= = = .

2. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că

( )ˆ6, 4, 30AB AC m A= = = .

3. În triunghiul ABC se dau 5, 12, 13AB AC BC= = = . Să se calculeze aria triunghiului ABC şi sin sin sinA B C+ + .

4. Să se calculeze lungimea laturii AB a triunghiului ABC ştiind că aria triunghiului ABC este 21ABCA∆ = şi că ( ) 60 , 4 3m BAC AC= =

. 5. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că 4, 6, 8AB AC BC= = = .

FISA DE LUCRU nr 2

1. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că AC = 2, m(∠BAC) = 300 şi AB = 4 .

2. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = AC = 2 , m(A) = 300.

3. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = 6 , AC = 8 şi BC =10 .

4. Să se demonstreze că, în orice triunghi dreptunghic ABC de arie S şi ipotenuză de lungime a , este adevărată identitatea a2 sin BsinC = 2S.

10

2. Laturile unui triunghi au lungimile 13, 14 si 15 cm. Inaltimea si mediana duse la laturamai mare il impart in trei triunghiuri. Sa se calculeze ariile acestor triunghiuri.

Solutie

�������

bbbb

bbbb

bbbbLLLLLLL

C

A D E B

1413

Fie in triunghiul ABC AB = 15 cm, AC = 13 cm, BC = 14 cm, CD inaltimea, iar CE –mediana duse din varful C.

Calculam aria 4ABC, urilizand formula lui Heron:

A4ABC =√

21 · 8 · 7 · 6 =√

3 · 7 · 8 · 7 · 3 · 2 = 7 · 3 · 4 = 84.

Cum CE este mediana, obtinem A4BCE = A4ACE =A4ABC

2= 42.

Calculam inaltimea CD:

A4ABC =1

2· AB · CD = 84,

de aici1

2· 15 · CD = 84 rezulta CD =

56

5.

Gasim lungimea catetei AD a triunghiului dreptunghic ADC:

AD =

√132 −

(56

5

)2

=

√(13− 56

5

)(13− 56

5

)=

√9

5· 121

5=

33

5.

1. Triunghiul ABC are AB=6, AC=3 și BC=5. Calculați lungimea înălțimii AD.Rezolvare: Calculam semiperimetrul triunghiului ABC si obtinem:

Aria triunghiului ABC se calculeaza cu formula lui Heron astfel:

Mai departe avem:

TEST DE EVALUARE

Calculam A4ADC =1

2· AD · CD =

1

2· 33

5· 56

5=

924

25.

In fine,

A4CDE = A4ACE − A4ADC = 42− 924

25=

1050− 924

25=

126

25.

Raspuns: 42 cm2,924

25cm2,

126

25cm2.

11

3. Dintre toate triunghiurile de perimetru dat determinaŞi triunghiul de arie maximŁ.

Soluţie : ConsiderŁm un triunghi arbitrar de laturi a, b, c ĸi de perimetru 2p=a+b+c cunoscut.

Aria triunghiului, prin formula lui Heron este cpbpappA . Folosind inegalitatea

dintre media aritmeticŁ ĸi media geometricŁ pentru numerele pozitive p-a, p-b, p-c avem cŁ

333 pcpbpapcpbpapp

.

RezultŁ cŁ 93

32

3

ppp a p b p cpA

p

. RezultŁ cŁ

932

maxA p pentru p-a=p-b=p-c.Deci triunghiul de arie maximŁ este echilateral de laturŁ

32pa .

In orice triunghi cu lungimile laturilor a, b, c si arie S, este adevarata inegalitatea

a2 + b2 + c2 ≥ 4S√

3 + (a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2.

Demonstratie. Inegalitatea mai poate fi rescrisa astfel

2(ab + bc + ca)− (a2 + b2 + c2) ≥ 4S√

3.

Ridicand la patrat inegalitatea de mai sus si tinand cont de formula lui Heron, vom avea

4∑

ab

)2

+

(∑a2 − 4

(∑ab

)(∑a2

( )2 )≥ 3(a + b + c)

∏(b + c− a),

unde∑cyc

cyc cyc cyc cyc

reprezinta sumarea ciclica. Inegalitatea de mai sus este echivalenta cu

6cyc

a2b2 + 4cyc

a2bc +cyc

a4 − 4∑ ∑ ∑ ∑

ab(a + b) ≥ 3(a + b + c)∏

6∑cyc

a2b2 + 4∑cyc

a2bc +∑cyc

a4 − 4∑cyc

cyc

ab(a + b) ≥ 3(a + b + c)(∑cyc

ab(a + b)−

(b + c− a)⇔

∑cyc

a3 − 2abc)⇔

∑cyc

a4 +cyc

a2bc ≥∑ ∑

cyc

ab(a2 + b2),

care rescrisa sub forma

a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2),

nu este altceva decat inegalitatea lui Schur ın cazul particular t = 2.

O alta inegalitatea foarte interesanta este reversul inegalitatii Finsler-Hadwiger, anume

In orice triunghi cu lungimile laturilor a, b, c si arie S, este adevarata inegalitatea

a2 + b2 + c2 ≤ 4S√

3 + 3[(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2].

Demonstratie. √Consideram a = x+y, b = y+z si c = z+x, unde x, y, z > 0. Din formula lui Heron,vom avea ca S = xyz(x + y + z). Astfel, inegalitatea noastra va fi echivalenta cu urmatoareainegalitate algebrica ∑ √ √

(x + y)2 ≤ 4 3 · 3xyz(x + y + z) + 3∑cyc

(x− y)2

cyc

4.

5.

12

care la randul ei va fi echivalenta cu

2∑

xy −∑cyc

x2 ≤√

3xyz(x + y + z).cyc

Aplicand acum inegalitatea lui Schur, i.e.

2∑

xy −∑

x2 ≤ 9xyz

x + y + z,

3√

cyc cyc

ne mai rmane sa aratam ca 27xyz ≤ (x+y +z)3 care se reduce la inegalitatea mediilor, x+y +z ≥3 xyz.

6. Fie S(a, b, c) aria unui triunghi care are laturile de lungimi a, b, c. Aratati ca√S(x, y, z) +

√S(x′, y′, z′) ≤

√S(x + x′, y + y′, z + z′).

Intuim usor ca avem egalitate atunci cand triunghiurile sunt asemenea, adica atunci

candx

x′ =y

y′=

z

z′. Deoarece acesta este tocmai cazul de egalitate ın inegalitatea

CBS, ne gandim ca va trebui sa aplicam respectiva inegalitate.

x + y + z

2si p′ =

x′ + y′ + z′

2. AtunciNotam cu p respectiv p′ semiperimetrele p =

(x + x′) + (y + y′) + (z + z′)= p + p′.

2

Cu formula lui Heron, inegalitatea de demonstrat revine la

4√

4√

p(p− x)(p− y)(p− z) + p′(p′ − x′)(p′ − y′)(p′ − z′) ≤

4√

(p + p′)(p + p′ − x− x′)(p + p′ − y − y′)(p + p′ − z − z′).

Aplicam de doua ori inegalitatea CBS:

4√

4√

p(p− x)(p− y)(p− z) + p′(p′ − x′)(p′ − y′)(p′ − z′) ≤√[√ √p′(p′ − x′)

]·[√

(p− y)(p− z) +√

(p′ − y′)(p′ − z′)]≤p(p− x) +√√

(p + p′)(p− x + p′ − x′) ·√

(p− y + p′ − y′)(p− z + p′ − z′) =

4√

(p + p′)(p + p′ − x− x′)(p + p′ − y − y′)(p + p′ − z − z′).

7. Fie Tap clasa triunghiurilor cu baza a şi perimetrul 2p. Demonstraţi că triunghiul isoscel din Tap este figura cu aria maximală în această clasă.

Rezolvare. Admitem că baza a = 2m = BC a triunghiului ABC este situată pe axa Ox, originea O este mijlocul bazei şi vârful A are coordonatele (x,h), h > 0. Notăm q=b+c=2p-a. Fixăm mărimea h > 0 a înălţimii

triunghiului ABC. Admitem că x ≥ 0, B(-m,0) şi C(m,0). Atunci b=22h (m x) şi c=

22h (m x) .

Pentru x=0 obţinem b=c=2h 2m . Examinăm funcţia f(x)=

22h (m x) +22h (m x) . Funcţia

f(x) este nenegativă şi atinge valoarea minimă pentru x=0. Pentru x = 0 triunghiul este isoscel. Acest fapt rezolvă problema.

13

8. Fie Tp clasa triunghiurilor cu perimetrul 2p, adică 2p = a+b+c. Demonstraţi că triunghiul echilateral din

clasa Tp este figura cu aria maximală în această clasă.

Rezolvare. Afirmaţia din problemă este o consecinţă a problemei precedente. Să prezentăm o soluţie

elementară, folosind inegalităţile de tip Cauchy.

1. Fie x,y,u,v mărimi nenegative. Atunci x+y≥2 xy şi x+y+u+v≥4 4 xyuv . Deci,3

zyx=

4

3

zyxzyx

≥ 4

3

zyxxyz şi, prin urmare,

3

zyx=≥ 3 xyz . Acestea sunt inegalităţile

Cauchy.

2. Conform formulei lui Heron, aria triunghiului S= ))()(( cpbpapp . Din inegalitatea lui

Cauchy obţinem p=(p-a)+(p-b)+(a+b-p)≥3 3 ))()(( pbabpap . Deci, p3≥27(p-a)(p-b)(a+b-p).

Prin urmare, S= ))()(( cpbpapp = = ))()(( pbabpapp ≤27

3pp =

9

2p3 . Pentru

a=b=c vom avea egalitatea S=9

2p∙ 3 . Prin urmare, orice triunghi echilateral este soluţie a problemei.

14