Componentes Simetricos - Corcoran

Unidade 5COMPONENTES SIMTRICOSCORCORAN (captulo XIV, pag 537 569)5.1 DEFINIO: Componentes Simtricos so mecanismos feitos para facilitar algumas resolues analticas de circuitos eltricos no equilibrados, como as mquinas eltricas polifsicas, e alguns tipos de problemas de transformadores polifsicos. Semelhante ao teorema de Fourier relativo a ondas complexas, os componentes simtricos, que o teorema de Fortescue, consiste em decompor um sistema trifsico no equilibrado em trs sistemas equilibrados, ou seja, qualquer sistema de vetores trifsicos no equilibrados pode ser resolvido com a adio de trs sistemas equilibrados, que so: 1. Sistema de seqncia positiva: Sistema trifsico equilibrado com a mesma seqncia de fase do sistema desequilibrado; 2. Sistema de seqncia negativa: Sistema trifsico equilibrado com a seqncia de fase inversa quele do sistema desequilibrado; 3. Sistema de seqncia zero ou unifsico: Sistema de trs vetores monofsicos que so iguais em mdulo e em fase no tempo. Portanto, um sistema trifsico no equilibrado de seqncia direta, pode ser representado como:

=

+

+

Observe que o subndice 1 indica que o vetor assim marcado pertence ao sistema de seqncia positiva, 2 refere-se ao sistema de seqncia negativa e 0 ao sistema de seqncia zero. J as letras referemse ao vetor original do qual o vetor das seqncias acima uma parte componente.

Viu-se que o sistema desequilibrado pode ser representado como sendo a adio de trs sistemas equilibrados, ou melhor:

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran) Exemplo - Verificar as expresses acima para um sistema de vetores no equilibrado, abaixo:

Observe que: 5.2 OPERADOR Para facilitar, pode-se escrever qualquer sistema trifsico equilibrado relacionando uns aos outros com o emprego do operador . Por exemplo, um vetor unitrio 120 adiantado em relao ao eixo de referncia e um vetor unitrio 240 adiantado em relao ao eixo de referncia. O operador , aplicado a qualquer vetor, gira-o por 120 no sentido positivo ou anti-horrio. J o operador , aplicado a qualquer vetor, gira-o por 240 no sentido positivo, o que , logicamente, equivalente, a uma rotao de 120 no sentido negativo. Se ;

Pode-se, ento, escrever as relaes acima em funo do operador :

2

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran) 5.3 Determinao dos vetores de seqncia positiva, negativa e seqncia zero Dado: Vetores originais no equilibrados e atrasado de ; Vetores de seqncia Positiva: Vetores de seqncia Negativa: Vetores de seqncia Zero: Observe que: ou na seqncia direta onde onde onde onde e e . o vetor base, atrasado de

a) Clculo de Para calcular deve-se ter em mente que as componentes relacionadas a canceladas. Portanto basta multiplicar nas expresses acima: (2) por e (3) por . Multiplicando (2) por tem-se: Como , resulta em: Multiplicando (3) por tem-se: Como , resulta em: . . . . . Como tem-se: . e devem ser

Somando as duas equaes acima com a equao (1) obtm-se:

A equao acima significa que um vetor que tem um valor igual a um tero do valor do vetor que resulta da adio dos trs vetores: , adiantado de e adiantado de . Exemplo 5.1 Calcule )= , e dado os vetores: , . ; )= . ;

b) Clculo de

De forma similar ao clculo de , para calcular deve-se eliminar os termos relacionados e a . Ento, basta multiplicar-se a equao (2) por , a equao (3) por e somar estes resultados com a equao (1), obtendo-se: . Assim, . O que significa que um vetor que tem um valor igual a um tero da soma de: 120) e com (adiantado de 120). com (atrasado de

3

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran) Exemplo 5.2 Calcule ; )= )= ; . , e dado os vetores: , .

c) Clculo de Para determinar-se

basta somar as equaes: (1), (2) e (3). Dessa forma, tem-se: .

O componente de seqncia zero simplesmente um vetor que tem um valor igual a um tero do valor obtido pela adio dos vetores , e . Exemplo 5.3 Calcule , e dado os vetores: , ; .

. , Exemplo 5.4 Calcule encontradas nos exemplos

e atravs dos componentes de seqncia positiva, negativa e zero anteriores e confronte com os valores originais: , . ; .

, faa: Problema 5.1 Dado as tenses: & e comprove os resultados pela adio de V , V e V ; & & & a) Determine os componentes simtricos de Va a1 a2 a0 & & & b) Calcule V e V em funo dos componentes simtricos de V ;b c a

c) Trace um diagrama vetorial ilustrando todos componentes simtricos e suas composies vetoriais. Resp.: a) , , . 5.4 AUSNCIA DE COMPONENTES DE SEQNCIA ZERO Considerando a equao , observa-se que os componentes de seqncia zero no existem sempre que a soma dos vetores originais do sistema de tenses ou de correntes for nula. Este fato pode facilitar os clculos numricos em sistemas com estas caractersticas, pois, o reduz a dois sistemas trifsicos equilibrados de seqncias de fases opostas. Tal ausncia tem significado fsico importante na anlise de clculos de curtos-circuitos em sistemas de fora. 5.5 APLICAES ESPECFICAS 5.5.1 - Tenses entre linhas trifsicas Pelo fato de que a soma das tenses de linha ser nula,& & & & & & & & & Vab + Vbc + Vca = Va Vb + Vb Vc + Vc Va = 0 , conclui-se que no existe componente de seqncia zero para tenses entre linhas e, dessa forma, elas podem ser representadas por um sistema de seqncia positiva e por um sistema de seqncia negativa. Este fato

(

) (

) (

)

4

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran)& & independe se o sistema tem ligao ou pois no caso da ligao podem-se considerar as tenses Va , Vb & e V como sendo aquelas da ligao estrela equivalente. Veja na figura abaixo uma ilustrao dasc

componentes de seqncia positiva e de seqncia negativa para as tenses e correntes de linha.

Carga resistiva com ligao

Carga resistiva com ligao

Correntes de seqncia positiva Tenses de seqncia positiva

Tenses de seqncia negativa Correntes de seqncia negativa

Sistemas positivo e negativo de tenses e de correntes para um determinado sistema trifsico.

5

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran)O fato de tenses entre linhas desequilibradas ( , e na seqncia ab-bc-ca) poderem ser resolvidas em dois sistemas equilibrados de seqncias opostas de considervel importncia nas anlises de mquinas girantes trifsicas como, por exemplo, no caso de motores de induo. Os componentes do vetor base de tenses entre linhas desequilibradas podem ser determinadas pelas expresses: ;

.

Observou-se que o componente de seqncia positiva do vetor base ( neste caso) obtido avanando-se de 120 o vetor que est atrasado do vetor base e retardando de 120 o vetor que est adiantado do vetor base. Operaes inversas so empregadas para se obter os componentes de seqncia negativa. De forma geral, podem-se empregar as relaes definidas na seo (2.5), abaixo indicadas: ;

;

;

para determinar as componentes de seqncias positiva, negativa e zero de tenses ou de correntes, entre linhas ou de fases, seqncias direta ou inversa bastando para isto definir a seqncia de trs vetores: o primeiro sendo o fasor base, o segundo atrasado do fasor base e o terceiro, adiantado do fasor base. Assim, para trs vetores ( , e na seqncia inversa) a seqncia dos trs vetores ser ( , e ) e as equaes correspondentes: ;

;

.

Cuidados especiais devem ser tomados em casos em que as correntes produzidas tm seqncia de fases invertida das tenses que a produziram, decorrentes do desequilbrio das impedncias. Por exemplo, para o circuito abaixo, dado os parmetros: Tenses ente linhas: & Vab = 100 150 V ; & V = 100 90 V ; & Vca = 100 30 V .bc

Impedncias de fase: & Z ao = 5,77 0 ; & Z = 10 90 ;bo

& Z co = 10 90 .

Resolvendo-se este circuito para as correntes e tenses de fase, obtm-se: Correntes de fase: & I a = 10 180 A; & I b = 5,77 30 A; & I = 5,77 30 A;c

Tenses de fase: & & & V = Z I = 57,7 180 V ;a ao a

& & & Vb = Z bo I b = 57,7 60 V ; & & & Vc = Z co I c = 57,7 60 V .

6

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran)A inspeo destes resultados mostra que a tenso entre linhas tem seqncia de fases a-b-c (direta) e esta devendo ser o ponto de partida e denominado sistema de seqncia positiva. Por outro lado, mesmo tendo a corrente da fase b ter-se adiantado da corrente da fase a (seqncia inversa) nos clculos dos componentes de seqncias positivo e negativo das correntes de fase deve-se considerar a seqncia ( , e ). Caso isto no seja feito o sistema de seqncia positiva das correntes no corresponderia ao sistema de seqncia positiva das tenses.& & & Problema 5.2 Um sistema trifsico de tenses de linha Vab , Vbc e Vca tm os componentes simtricos: & & V = 4.000 60 e V = 2.000 180 volts. Pede-se:ab1 ab 2

a) Trace um diagrama vetorial de origem comum ilustrando as tenses de seqncia positiva e de seqncia & & & negativa de Vab , Vbc e Vca . & & & b) Determine o mdulo das trs tenses V , V e V .ab bc ca

c) Trace um diagrama vetorial ilustrando todos componentes simtricos e suas composies vetoriais. Resp.: b) , e volts.

5.5.2 - Tenses de fase de cargas ligadas em & & & As tenses de fase Va , Vb e Vc podem possuir qualquer valor vetorial, desde que o vetor soma das tenses entre linhas seja nulo. Em geral, em sistemas no equilibrados, & & & Va + Vb + Vc 0. Portanto, geralmente, as tenses individuais por fase tm componentes de seqncia zero mesmo que estas componentes estejam ausentes nas tenses entre linhas. Estes componentes de seqncia zero no podem ser calculados em funo das tenses de linha.

Exemplo 5.5 Para as tenses de fase , numa ligao estrela, calcule as componentes de seqncia zero das tenses entre linhas e das tenses de fases. ; .

; ;

;

5.5.3 - Transformaes de tenso

Y

Em anlise de componentes simtricos muito vantajoso e freqente considerar sistemas ligados em numa base equivalente. Se a carga mostrada no item (5.5.1) deve ser analisada numa base equivalente deve-se fazer: 1. Converter as impedncias da ligao nas equivalentes da ligao ; 2. Determinar os componentes simtricos de seqncias positiva e negativa para as tenses de linha; 3. Determinar os componentes simtricos de seqncias positiva e negativa para as tenses de fase a partir daqueles calculados para as tenses de linha. Para seqncia direta, observando os diagramas fasoriais no item (5.5.1) observa-se que: & & Vab Vab & & Va1 = 1 30 e Va2 = 2 30 . 3 3

7

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran)& O fato de Va0 no poder ser calculado em funo das tenses entre linhas no representa sria

desvantagem, como ser mostrado mais adiante, porm impede a possibilidade de se calcular imediatamente & & & & a tenso de fase, Va = Va1 + Va2 + Va0 . As relaes especificadas no item (3) acima so importantes na anlise de banco de transformadores ligados em - e ilustrados no esquema seguinte.

Problema 5.3 Para o banco de transformadores acima, com seqncia direta para as tenses entre linhas no primrio, tm-se as polaridades e relaes de tenses abaixo, pede-se: & & & Va 'b ' = n Van (transformador a); Vab1 = 4.000 60 volts; & & & V = n V (transformador a); V = 1.000 90 volts;b 'c ' bn ab 2

& & Vc 'a ' = n Vcn (transformador a).

& & b) Se n=10, determinar os mdulos e posies dos vetores Va 'b ' e Vb 'c ' . & & Resp.: V = 4 .891,6 65,867 , V = 3.173,6 170,935 volts; & & Va 'b ' = 28.242 84,133 , Vb 'c ' = 23.805 135,964 volts.ab bc

& Van 0 = 0. & & a) Determinar os mdulos e posies dos vetores Vab e Vbc ;

Problema 5.4 Para o banco de transformadores do Problema anterior, com seqncia direta para as tenses & & entre linhas no primrio e sabendo-se que Vab2 = 0 e Van 0 = 0 , pede-se: & & a) Determinar as posies vetoriais relativas de V e V ;& & b) Determinar as posies vetoriais relativas de Vbc e Vb 'c ' ; & & Resp.: V atrasa-se V por 30; & & Vb 'c ' atrasa-se Vbc por 30.a 'b ' ab ab a 'b '

5.5.4 Correntes trifsicas de linha trifilar e correntes de fase

associadas

Para as correntes de linha, independentemente da carga trifsica de linha trifilar ser ligada em ou , no existe componente de seqncia zero j que a soma das correntes nula, ou melhor, se ento, . Logo, no existe componente , e (seqncia zero) restando apenas as componentes de seqncias positiva e negativa. Observando-se diagramas fasoriais para as correntes de linha e de fase de uma carga em , nas seqncias direta e inversa, conclui-se facilmente que: & & Ia Ia & & I ab1 = 1 30 e I ab2 = 2 30 . 3 3

8

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran)No banco de transformadores - mostrado no item (5.5.3) onde no existe componente de seqncia zero nos enrolamentos do primrio ligados em provoca, tambm, a no existncia desses componentes nos enrolamentos do secundrio ligados em , uma vez que N p I p = N s I s . O fato de um banco de transformadores - eliminar correntes de seqncia zero importante nos estudos de curtocircuitos em redes de potncias. & & Problema 5.5 Determinar a corrente de linha I a no sistema ligado em da seo (5.5.1) se I ab1 = 10 0 , & & I = 5 60 e I = 7 19,5 ampres.ab2

& Resp.: I a = 15 0 ampres.

ab0

5.5.5 - Correntes trifsicas de linha trifsicos a 4 fios (associadas a um neutro deretorno)Se um sistema Y-Y funciona com neutros ligados a terra ou com um fio de ligao entre neutros, a soma vetorial das correntes de linha, em geral, no ser igual a zero. Neste caso . Como , tem-se que

Observe que a corrente de retorno pela terra ou neutro, ou seja, trs vezes o valor dos componentes individuais de seqncia zero das correntes de linha.Os componentes de seqncia zero das correntes de linha s vezes denominados componentes unifsicos tm importante significado fsico no que se refere s interferncias indutivas entre linhas de potncia trifsicas e linhas telefnicas colocadas em paralelo. So, tambm, de importncia no clculo das correntes de curto-circuito em sistema de potncia.

Exemplo 5.6 A figura abaixo mostra um curto-circuito entre linha e terra num alternador em ligado terra. Determinar os componentes simtricos (seqncia positiva, negativa e zero) para as trs correntes de linha onde: , e . Tm-se: ; e ;; . Na forma de diagramas fasoriais:

e

;

9

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran)

Problema 5.6 Determinar os componentes simtricos (seqncia positiva, negativa e zero) para as trs correntes de linha de um sistema trifsico tetrafilar onde: & & & I a = 20 60 , I b = 12 100 e I c = 10 75 . Respostas: & I a1 = 11,62 35,6 ampres; & I = 11,62 155,6 ampres;& I c1 = 11,62 84, 4 ampres; & I a2 = 5,03 125,9 ampres; & I = 5,03 5,9 ampres;b2

b1

& I c2 = 5,03 114,1 ampres; & I a0 = 7,375 61,65 ampres.

5.6 POTNCIA POR MEIO DE COMPONENTES SIMTRICOS Para qualquer sistema trifsico no equilibrado a potncia total consumida a soma das potncias absorvidas em cada fase. Assim: . Se a tenso de uma dada fase, por exemplo, obtm-se: . Decompondo-se a corrente for decomposta em seus componentes simtricos

em seus componentes simtricos obtm-se: + + .

Desenvolvendo obtm-se:

e

de forma similar a

, somando as potncias de fase e efetuando simplificaes,

- Mdulo do componente de seqncia positiva das tenses de fase; - Mdulo do componente de seqncia negativa das tenses de fase; - Mdulo do componente de seqncia zero das tenses de fase; - Mdulo do componente de seqncia positiva das correntes de linha; 10

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran) - Mdulo do componente de seqncia negativa das correntes de linha; - Mdulo do componente de seqncia zero das correntes de linha. Essa equao mostra que a potncia total consumida por um sistema trifsico no equilibrado a soma das potncias representadas por cada um dos sistemas componentes simtricos. Portanto, para se obter a potncia total, poderia determinar a soma algbrica da potncia total das seqncias positiva, negativa e zero. Exemplo Para o sistema trifsico trifilar abaixo, dados: Tenses ente linhas: & Vab = 200 0 V ; & Vca = 141,4 135 V ; & V = 141,4 135 V .bc

Impedncias de fase: & Z ao = 20 0 ; & Z = 20 0 ;

& Z bo = 30 60 .

co

Resolvendo-se este circuito para as correntes e tenses de fase, obtm-se: Correntes de fase: & I a = 3, 482 8,595 A; & I c = 4,743 109,17 A; & I = 4,386 115, 465 A.b

Tenses de fase: & & & Va = Z ao I a = 69,64 8,588 V ; & & & V = Z I = 94,857 109,165 V ; & & & Vb = Z bo I b = 131,586 175,467 V .c co c

Decompondo-se as tenses e correntes de fase em seus componentes simtricos, obtm-se: volts; volts; volts; ampres; ampres; ampres. Pede-se: a) Calcular a potncia real na fase a usando as expresses: = 69,64 3,482 cos(8,588 - 8,595) = 242,49 watts; = 3,482 x [91,06 cos (30-8,595) + 24,404 cos (-30-8,595) + 38,683 cos (-143,64-8,595)] = 3,482 [84,779 + 19,074 34,229] = 242,43 watts; + +

11

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran)91,06 4,172 cos (30-4,878) + 91,06 0,733 cos (30-166,971) + 0 + 24,404 4,172 cos (-30-4,878) + 24,404 0,733 cos (-30-166,971) + 0 + 38,683 4,172 cos (-143,64-4,878) + 38,683 0,733 cos (-143,64-166,971) + 0 = 343,97 48,79 + 0 + 83,52 17,11 + 0 137,63 + 18,46 + 0 = 242,42 watts. b) Calcular a potncia real total da carga trifsica usando as expresses: = 69,64 3,482 cos (8,588 - 8,595) + 131,586 4,386 cos (175,467 - 115,465) + 94,857 4,743 cos (-109,165 + 109,17) = 242,49 + 288,55 + 449,91 = 980,95 watts; = 3 [91,06 4,172 cos (30 - 4,878) + 24,404 0,733 cos (-30 - 166,971) + 0] = watts.

5.6.1 - Perdas por efeito Joule em funo de componentes simtricosAs perdas por efeito Joule, para qualquer sistema trifsico no equilibrado dada por: . Para o exemplo da seo anterior, tem-se: 20 . 15 . 20 .242,49 + 288,55 + 449,92 = 980,96 watts. , e por seus componentes

No caso particular em que , substituindo simtricos, desenvolvendo e simplificando (veja Corcoran), obtm-se: .

A equao mostra que a perda total por efeito Joule devida s correntes resultantes a mesma que a soma das perdas por efeito Joule, devidas s componentes de seqncia, calculadas separadamente. Por outro e se as resistncias das correntes de seqncia positiva, negativa e zero so lado, com diferentes, pode ser determinada por: , onde: Resistncia para a componente de corrente de seqncia positiva; Resistncia para a componente de corrente de seqncia negativa; Resistncia para a componente de corrente de seqncia zero.

5.6.2 - Componentes de seqncias (+), (-) e (zero) de impednciaAs auto-impedncias podem ser resolvidas em seus componentes similarmente s tenses e s correntes. Logo, os componentes simtricos de trs auto-impedncias, , e , so: impedncia de seqncia positiva; impedncia de seqncia negativa; impedncia de seqncia zero.

Observaes: Se as tenses ou correntes que devem ser associadas a estas impedncias componentes so resolvidas na ordem a-b-c, ento as impedncias devem ser resolvidas na mesma ordem; O termo auto-impedncia implica em que no existe acoplamento mtuo entre as impedncias individuais. A fim de distinguir os componentes de auto-impedncia dos componentes de impedncia mtua, so empregados duplos subndices; As partes resistivas das impedncias componentes podem possuir sinais negativos mesmo que as partes reais de , e sejam todas positivas; 12

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran) Os componentes simtricos acima de um conjunto de impedncia no equilibradas no devem ser confundidos com impedncias para correntes de seqncias positivas, negativas e zero que so definidas como: Impedncia para seqncia positiva, Impedncia para seqncia negativa, Impedncia para seqncia zero, ; ;

Exemplo 5.7 Considerando as impedncias ligadas em Y da figura ao lado e sabendo-se que: Determinar os componentes de seqncia impedncia . e da

;

; ..

Determinar os componentes de seqncia zero, positiva e negativa da impedncia ; ; . Determinar os componentes de seqncias zero, positiva e negativa da impedncia ; ; .

.

Problema 5.7 Por composio de seus componentes simtricos calcule Problema 5.8 Dado trs impedncias ligadas em : e; a) Determinar os componentes simtricos de b) Determinar os componentes simtricos de ( + + )= .

e

do exemplo anterior.

ohms, pede-se: em funo daqueles de e comprovar que

Respostas:

.

13

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran) 5.6.3 Regra de seqncias aplicada s tenses componentesEscrevendo-se as quedas de tenses em funo dos componentes simtricos, por exemplo, para a fase a, obtm-se: =( + + )( + + )=

. Estes nove componentes de tenso podem ser agrupados de modo a formar componentes de seqncias zero, positiva e negativa de de acordo com a regra:

A ordem do sistema de tenso qual um queda IZ pertence igual soma das ordens dos sistemas aos quais pertencem, individualmente, I e Z.Na aplicao da regra as ordens consideradas so: 1 seqncia positiva; 2 seqncia negativa; 0 ou 3 seqncia zero. As somas (1 + 0) como (2 + 2) so consideradas de ordem 1. Aplicando esta regra aos componentes de obtm-se: ; ; . Expresses similares so vlidas para as tenses de fase b e c, e .

5.6.4 Aplicao da regra de seqncias a cargas trifilares no equilibradasPara carga trifilar com ligao sabido que as componentes de seqncia zero das correntes de fase so nulas. Assim, os componentes de tornam-se: ; ; . Observe que mesmo com =0, em geral tem um valor no nulo dado por . Alm disso, conhecendo-se as tenses entre linhas, , e determinam-se os valores de e de , e, a seguir, obtm-se e que permitem determinar os valores de e de resolvendo-se o sistema de equaes complexas: & & & & Z an0 Z an 2 I a1 Van1 = & & & & Z an1 Z an0 I a 2 Van2

14

CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran) Exemplo 5.8 Para a carga trifilar com ligao mostrada abaixo e sabendo-se que:Tenses entre linhas: & Vab = 200 volts; & V = 141,4 volts;bc

& Vca = 141, 4 volts; Seqncia de tenses ab-bc-ca; & Vab na referncia.

Impedncias de fase: ; ; .

Pede-se determinar

e

pelo mtodo dos componentes simtricos.& Vca = 141,4 135 volts.

Valores fasoriais das tenses entre linhas: & & Vab = 200 0 ; Vbc = 141, 4 135 ;

& Componentes simtricos da tenso de linha Vab : & & & Vab1 = 157,8 0 , Vab 2 = 43, 2 0 e Vab 0 = 0 volts. & Componentes simtricos da tenso de fase Van : & & V = 91 30 e V = 24, 4 30 volts.an1 an 2

Componentes simtricos da impedncia de fase : ; e

ohms.

Componentes simtricos da corrente de fase - resolvendo-se o sistema de equaes complexas: & & & & & Z an 0 Z an 2 I a1 Van1 4,78 78,8 4,38 - 136,8 I a1 91 30 & & & = & & = 24,4 30 obtm-se: 4,78 78,8 I a 2 Z an1 Z an0 I a 2 Van2 5,47 0 & & I a1 = 10,95 39,8 e I a2 = 11,8 77,45 ampres.Corrente de fase : & & & & I a = I a1 + I a2 + I a0 = 11,83 22,2 ampres. Componentes simtricos : = 69,14 119,46 volts.

Tenso de fase : & = V + V + V = 71,27 22,17 volts. & & & Van an1 an 2 an 0

Problema 5.10 Para o exemplo anterior calcule & e compare Vab = 200 0 com ( ).

,

,

e

pelo mtodo dos componentes simtricos

15


PROBLEMAS (Captulo 14 - Corcoran)XIV -11. As tenses entre linha e neutro de um sistema trifsico tetrafilar so representadas pelas seguintes & & & expresses vetoriais: Va = 200 0 , Vb = 100 75 e Vc = 150 150 . Determinar os componentes de seqncias positiva, negativa e zero das tenses acima, e comprovar os resultados obtidos pelas adies grficas dos componentes simtricos. XIV -12. As trs correntes de linha de uma carga em Y tetrafilar (como a mostrada na Fig. XIV-7) orientadas para a juno comum so: & I an = 15 j 20 ampres; & I = 8 + j15 ampres;bn

& I cn = 8 j 25 ampres.& & & Determinar I an1 , I an2 e I an0 .

Fig. XIV-7 XIV.13. As trs impedncias ligadas em Y pelas quais fluem as correntes do problema XIV-12 so, respectivamente, & Z an = 20 j 20 ohms; & Z = 30 + j10 ohms;bn

& Z cn = 10 j 20 ohms. & & & Determinar Z , Z e Zan1 an2

an0

. Empregar a seqncia an, cn e bn.

& & & & & & XIV -14. Empregando os componentes simtricos I an1 , I an2 , I an0 , Z an1 , Z an2 e Z an0 determinadas nos & & & problemas XIV-12 e XIV-13, calcular Van = I an Z an em funo dos mesmos e comprovar o resultado em & & comparao com o valor conhecido de I Z .an an

XIV-I5. Supor que as tenses de linha trifsicas mostradas na Fig. XIV-14 sejam & & & Vbc = 200 0 , Vca = 100 120 e Vab = 173, 2 210 . & & & a) Determinar V , V e V ;bc1 bc2 bc0

& & & b) Determinar Vnc1 , Vnc2 e Vnc0 . Empregar a seqncia de fases bc,

ab e ca.FIG. XIV-14 - Ver o problema XIV-15.

& & b) Determinar Van1 e Van2 , tenses em equivalentes da carga em mostrada na Fig. XIV-14. & & c) Explanar como as correntes de linha podem ser determinadas por meio de Van1 , Van2 e pelas impedncias

XIV-16. As trs tenses entre linhas mostradas na Fig. XIV-14, na seqncia ab-bc-ca, so: Vab = 100 , Vbc = 150 e Vca = 175 volts. & & & a) Determinar V , V e V .ab1 ab2 ab0

da carga em .

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CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran)XIV -17. As tenses entre linhas de um sistema trifsico trifilar so Vab = 200 volts, Vbc = 141,4 volts e

Vca = 141,4 volts. A seqncia das tenses ab-ca-bc. Um conjunto de impedncias estticas ligadas em Y & & & ( Z an = 20 0 ohms, Z bn = 30 60 ohms e Z cn = 20 0 ohms) est ligado s trs linhas a, b e c na ordem & & & indicada pelos subndices. Determinar as correntes de linha I , I e I pelo mtodo de componentesan bn cn

simtricos. & XIV-18. Resolver para I a , na Fig. XIV-13, pelo mtodo de componentes simtricos se Vab = 200 , Vbc = 173,2 e Vca = 100 volts. A seqncia das tenses entre linhas ab-bc-ca.

Respostas dos PROBLEMAS (Captulo 14 - Corcoran)

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CE2 - Unidade 5 Componentes Simtricos (Captulo 14 Corcoran) REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Traduo de Reynaldo Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Traduo de: Alternating Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 14, p. 537-569. 2. ROBBA, E. J. et al. Introduo a sistemas eltricos de Potncia - componentes simtricas. 2. ed. rev. e ampl. So Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpresso, 2007. cap 3. p. 193-301.

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Componentes Simetricos - Corcoran