Comunicatii mobile

UNIVERSITATEA POLITEHNICA TIMIOARA FACULTATEA DE ELECTRONIC I

TELECOMUNICAII B-dul V. Prvan Nr. 2, 300223 TIMIOARA, ROMNIA

tel/fax: +40-256-403291 e-mail: [email protected] http:// www.etc.upt.ro

CONTRIBUII LA ANALIZA I MBUNTIREA PERFORMANELOR TURBO CODURILOR N CANALE

CU FADING PLAT

Tez de doctorat Conductor tiinific: Doctorand: Prof. Dr. Ing. Miranda NAFORNI As. Ing. Maria KOVACI

_________________________2009 _____________________

U1920

Cuprins

List abrevieri ................................................................................................. 3

Cap.1. Introducere ......................................................................................... 5

Cap.2. Coduri convoluionale .................................................................... 9

2.1 Principiul codrii convoluionale ........................................................... 9

2.2 Tipuri de coduri convoluionale ............................................................. 11

2.3 Reprezentarea grafic a codurilor convoluionale ............................... 15

2.4 Distana liber ...................................................................................... 18

2.5 Funcia de transfer asociat unui cod convoluional ................. 19

2.6 Simularea spectrului ponderilor ................................................ 24

Cap.3 Turbo coduri .. 27

3.1 Turbo codorul ......................................................................................... 29

3.2 Turbo decodorul .............................................................................. 30

3.3 Concatenarea paralel a codurilor convoluionale ............................... 32

3.4 Dispozitive de ntreesere ........................................................................ 33

3.4.1 Interleaver aleator ......................................................................... 35

3.4.2 Interleaver de tip S ..................................................................... 35

3.4.3 Interleaver bloc .......................................................................... 36

3.4.4 Interleaver pseudo-aleator ........................................................ 37

3.4.5 Interleaver Takeshita-Costello ..................................................... 38

3.4.6 Interleaver bloc-aleator ............................................................. 38

3.4.6.1 Interleaver bloc aleator n linie, BRL .............................. 39

3.4.6.2 Interleaver bloc cu linii aleatoare, BLR ........................... 40

3.4.7 Performanele interleaver-elor utilizate n turbo coduri ........... 41

3.5 Algoritmi de decodare ......................................................................... 48

3.5.1 Algoritmul Viterbi ......................................................................... 49

3.5.1.1 Algoritmul Viterbi cu decizie hard ................................... 49

3.5.1.2 Algoritmul Viterbi cu decizie soft ..................................... 50

Cuprins 2

3.5.2 Algoritmul MAP ............................................................................ 53

3.5.3 Algoritmul Max-Log-MAP ........................................................... 61

3.5.4 Algoritmul Log-MAP .................................................................... 65

3.5.5 Performane ale algoritmilor de decodare ................................... 67

3.6 Concluzii ............................................................................................... 68

Cap.4 Performanele turbo codurilor n canalele cu fading plat . 69 4.1 Propagarea radio n comunicaiile mobile ........................................ 69

4.2 Modelul sistemului de transmisie ...................................................... 78

4.3 Fading plat de tip Rayleigh ................................................................ 80

4.4 Fading plat de tip Rice ........................................................................ 88

4.5 Fading plat de tip Nakagami .................................................................. 96

4.6 Concluzii .................................................................................................. 104

Cap.5 Turbo coduri multi-binare ........................................................... 105 5.1 Interleaver-e pentru turbo coduri multi-binare .................................. 113

5.2 Performanele turbo codurilor i a turbo codurilor multi-binare puncturate ......................................................................................................

118

5.3 Performanele turbo codurilor multi-binare n canalele cu fading plat ....................................................................................................................

125

5.3.1 Fading plat de tip Nakagami .......................................................... 125

5.3.2 Fading plat de tip Raylegh ............................................................. 132

5.4 Concluzii ................................................................................................... 138

Cap.6 Contribuii i concluzii ................................................................... 139

Anexa A ............................................................................................................ 142

Anexa B ............................................................................................................. 145

Anexa C ............................................................................................................ 146

Anexa D ............................................................................................................ 156

Bibliografie ...................................................................................................... 158

List abrevieri

APP A Posteriori Probability

AWGN Aditive White Gaussian Noise

BER Bit Error Rate

BLR Bloc with Random Lines

BPSK Binary Phase Shift Keying

BRL Block Random in Line

CC Convolutional Code

CCSDS Consultative Comittee for Space Data Systems

DVB-T Digital Video Broadcasting-Terrestrial

FER Frame Error Rate

ISI Inter Symbol Interference

LDPC Low-Density Parity-Check

LFSR Linear Feedback Shift Register

LLR Log Likelihoods Ratio

Log-MAP Logarithm-MAP

LOS Line-Of-Sight

MAP Maximum A-Posteriori

Max-Log-MAP Maximum-Logarithm-MAP

MBTC Multi-Binary Turbo Code

NRNSC Non-Recursive Non-Systematic Code

NRSC Non-Recursive Systematic Code

psd Power Spectral Densiy

QPSK Quarternary Phase Shift Keying

RF Radio Frequency

RNSC Recursive Non-Systematic Code

RSC Recursive Systematic Convolutional Code

SISO Soft Input Soft Output

SNR Signal to Noise Ratio

SOVA Soft Output Viterbi Algorithm

TC Turbo Code

List abrevieri 4

UMTS Universal Mobile Telecommunications System

WCDMA Wideband Code Division Multiple Access

WiMAX Worldwide Interoperability for Microwave Access

CAPITOLUL 1

Introducere

Noi servicii de comunicaii i tehnologia informaiei apar aproape zilnic i cererile

de a avea o capacitate de comunicaie i rate de transmisie din ce n ce mai mari

continu s creasc. Acest progres spectaculos al comunicaiilor se datoreaz, n mare

msur, creterii performanelor codurilor i reducerii costului tehnologiei.

Calitatea unui sistem numeric de comunicaii este n general evaluat prin

probabilitatea de eroare a simbolurilor recepionate, sau rata erorii pe bit, BER

(Bit Error Rate).

Aceast probabilitate depinde de raportul semnal pe zgomot al mesajului,

SNR (Signal to Noise Ratio), din canalul de comunicaii. Cu ct SNR este mai

mare, BER este mai mic. Pentru a ameliora calitatea unui sistem de comunicaii

numerice este necesar creterea acestui raport.

O soluie de a scdea BER, fr creterea SNR este codarea mesajulului de

transmis. Operaia de codare const n a aduga la mesajul de transmis simboluri,

numite de redundan, dup o lege dat. Necesitatea de a se introduce redundan n

mesaj, pentru a se proteja contra erorilor de transmisie, este demonstrat n cadrul

teoriei informaiei, [BOR99].

Pentru un mesaj lipsit de redundan, fiecare simbol este esenial i astfel

orice eroare de transmisie conduce la o pierdere ireversibil de informaie. n

schimb, introducerea de simboluri de redundan va corela simbolurile mesajului

codificat. Astfel, n anumite condiii, simbolurile eronate n cursul transmisiei

vor modifica legea de codare utilizat la emisie, ceea ce va permite detectarea,

apoi eventual, corectarea erorilor.

n celebra sa lucrare din 1948, [SHA48], Shannon a demonstrat c o comunicaie

sigur este posibil printr-un canal orict de zgomotos dac este ndeplinit condiia ca

rata de transmisie s fie mai mic dect capacitatea canalului. Totui, Shannon nu a

propus soluii explicite de codare a canalului pentru implementri practice. Astfel,

vreme de aproape 60 de ani, cercettorii au creat coduri, limitate ca performan de

complexitatea decodrii i de complexitatea canalului. n urma cercetrilor efectuate

s-au impus n principal dou mari familii de coduri, codurile bloc i codurile

convoluionale [PRO00].

Introducere - 1

6

n structura oricrui receptor digital exist un detector. n prezent se

utilizeaz dou tipuri de detectoare, hard i soft. Acestea din urm utilizeaz

valori ale unui raport de plauzibilitate. Prima soluie, care conduce la o pierdere

ireversibil de informaie pentru decodor, a dat natere la algoritmi de decodare

de tip algebric, bine adaptai la structura codurilor bloc [THI93]. A doua soluie,

permite decodorului s exploateze cel mai bine informaia disponibil, conduce

la algoritmi de decodare de tip probabilist, utilizai n special pentru codurile

convoluionale [FAN63, VIT67].

Pentru a atinge cel mai bun rezultat din punct de vedere al BER-ului i al

complexitii de implementare, n tehnicile de codare a informaiei au fost

imaginate diferite asocieri de coduri elementare. Una dintre aceste asocieri

const n concatenarea a dou coduri elementare astfel nct simbolurile de la

ieirea primului codor, numit exterior, s fie aplicate la intrarea celui de al

doilea, numit interior. n general concatenarea codurilor este realizat prin

asocierea unui cod convoluional, interior, cu un cod bloc, exterior. n cazul

concatenrii a dou coduri convoluionale, [HAH89], pentru a atinge cel mai bun

rezultat n urma concatenrii, este necesar ca decodorul interior s poat furniza

decizii ponderate decodorului exterior.

Decodarea codurilor convoluionale este n general realizat pornind de la

algoritmul Viterbi care furnizeaz decizii hard [OMU69, VIT71]. Acest algoritm

nu poate fi utilizat dect pentru decodarea codului interior. Au fost propuse mai

multe soluii pentru a rezolva problema decodrii codurilor convoluionale cu

decizii soft la ieire. Bahl .a. [BCJR74] au propus s se decodeze codurile

convoluionale determinnd simbolul cel mai plauzibil. Algoritmul propus se

numete MAP (Maximum A-Posteriori). Acest algoritm este mai complex

comparativ cu algoritmul Viterbi. Au fost propuse mai multe versiuni ale

algoritmului Viterbi, ce permit furnizarea deciziilor ponderate la ieirea

decodorului, de diferii autori printre care i Berrou .a. [BAAF93]. Totui

performanele unei astfel de soluii sunt nc destul de deprtate de cele

previzionate de Shannon.

O cretere semnificativ a performanelor poate fi obinut folosind

decodarea turbo, prin optimizarea subsistemului din structura receptorului,

format din decodoare i detector. Aceast optimizare presupune aducerea unei

pri din informaia de la ieirea detectorului la intrarea primului decodor.

1 - Introducere

7

Aceasta este aa numita informaie extrinsec. Sistemul obinut se numete turbo

decodor, [BGT93]. Funcionarea acestuia este iterativ, aportul informaiei

extrinseci la scderea BER-ului diminundu-se odat cu creterea numrului de

iteraii.

Din momentul apariiei, turbo codarea a evoluat ntr-un ritm fr precedent, datorit

eforturilor intense depuse de cercettorii din domeniu. Ca urmare, turbo codurile au fost

introduse i n standarde, ca de exemplu standardul pentru comunicaii mobile de

generaia a treia (3G) [HOT04]. n sistemele video de difuzare, unde ntrzierea asociat

sistemului este mai puin critic dect n sistemele interactive, ctigurile n performan

care pot fi atinse sunt i mai impresionante.

Conceptul de turbo codare a fost introdus n 1993, de ctre Berrou, Glavieux i

Thitimajashima, care au raportat rezultate excelente de ctig de codare [BGT93],

apropiate de limita lui Shannon. Secvena de informaie este codat de dou ori, avnd

un interleaver (dispozitiv de ntreesere) ntre cele dou codoare (concatenate paralel)

care servete la realizarea a dou secvene de date aproximativ independente statistic

una fa de cealalt. Cel mai des sunt utilizate codoarele convoluionale recursive

sistematice, RSC (Recursive Systematic Convolutional Code). Fiecare codor RSC, din

structura unui turbo codor, produce o ieire sistematic, care conine secvena de

informaie original, precum i o secven de informaie de paritate. Cele dou secvene

de paritate pot fi apoi puncturate [VUY01, KBDN07], nainte de a fi transmise

mpreun cu secvena de informaie original. Aceast puncturare a informaiei de

paritate permite o gam larg a ratelor de codare i deseori este transmis jumtate din

informaia de paritate de la fiecare codor. Puncturarea coduce la creterea ratei de

codare, obinndu-se de exemplu o rat de codare a TC-ului egal cu 1/2, comparativ cu

cazul nepuncturat, unde rata de codare este 1/3.

n prezent turbo codurile se utilizeaz n cele mai moderne sisteme de

comunicaii. Un exemplu potrivit este cel al sistemelor fr fir (wireless). n

cazul acestor sisteme canalele sunt variante n timp, deoarece propagarea se face

pe mai multe ci. Acestea sunt numite canale cu fading. Majoritatea lucrrilor

despre turbo coduri din literatura de specialitate trateaz cazul canalului AWGN

(Aditive White Gaussian Noise). Scopul acestei teze este studiul sistematic al

comportrii turbo codurilor pe canale cu fading plat. Diferena fa de abordrile

anterioare este dat tocmai de acest caracter sistematic al studiului.

Introducere - 1

8

Capitolele 2 i 3 reprezint o introducere n teoria turbo codurilor, pe care

am considerat-o necesar pentru ca teza s aib un caracter unitar. Capitolul 4

reprezint partea central a tezei. Capitolul 5 se refer la modul n care

acioneaz ultima generaie de turbo coduri, cele multi-binare, n cazul canalelor

cu fading plat.

Teza n continuare este structurat dup cum urmeaz.

n capitolul 2 am fcut o prezentare a codurile convoluionale, a codrii,

respectiv decodrii acestora. Deasemenea, am simulat i am analizat spectrul

ponderilor pentru diferite coduri convoluionale, de memorie 2.

n prima parte a capitolului 3 am descris, pe scurt, turbo codul. n continuare,

am prezentat cteva tipuri de interleaver-e. Apoi, am propus, simulat i analizat

dou noi tipuri de interleaver-e, i anume: interleaver-ul bloc aleator n linie i

interleaver-ul bloc cu linii aleatoare. Tot n cadrul acestui capitol am fcut o

prezentare a algoritmilor de decodare: Viterbi, MAP, Max-Log-MAP (Maximum-

Logarithm-MAP) i Log-MAP (Logarithm-MAP). La sfritul capitolului am artat

performanele algoritmilor de decodare MAP, Max-Log-MAP i Log-MAP, prin

intermediul rezultatelor pe care le-am obinut cu ajutorul simulrilor.

La nceputul capitolului 4 am prezentat cteva noiuni legate de propagarea

radio n comunicaiile mobile i am prezentat pe scurt o clasificare a

manifestrilor fading-ului n canale. Apoi, am analizat i simulat comportarea

turbo codurilor n diferite canale cu fading plat de tip: Rayleigh, Rice i

Nakagami. Deasemenea, am fcut o estimare a canalului, necesar pentru

construcia coeficientului Lc, utilizat n algoritmul de decodare MAP.

n capitolul 5 am reprezentat, structurile unui turbo cod multi-binar ct i

codoarelor sale componente multi-intrare RSC. Apoi, am fcut o analiz a celor

dou metode de decodare, decodare pe bit i decodare pe simbol, ce pot fi

realizate n cadrul turbo codurilor multi-binare. Deasemenea, am analizat

performanele BER i FER (Frame Error Rate) ale turbo codurilor puncturate i

a turbo codurilor multi-binare puncturate ct i cele ale turbo codurilor multi-

binare n canalele AWGN i cu fading plat (Rayleigh i Nakagami).

n capitolul 6 am prezentat principalele contribuii i concluzii pe care le-am

avut, respectiv, obinut n cadrul acestei lucrri.

CAPITOLUL 2

Coduri convoluionale

Codurile convoluionale (CC) se utilizeaz frecvent n aplicaii cum sunt:

comunicaiile spaiale i prin satelit, telefonia celular, televiziunea digital, Digital

Video Broadcasting Terrestrial (DVB-T), etc., [VUY01]. Rspndirea lor este datorat

structurii simple i implementrii facile a metodelor de decodare.

2.1. Principiul codrii convoluionale

Codurile convoluionale introduse n 1954 de P. Elias [ELI54] reprezint o

clas de coduri corectoare de erori avnd o mare aplicabilitate practic. Datorit

simplitii lor i posibilitii de a utiliza algoritmi de decodare de tip Soft Input

Soft Output (SISO), CC-urile sunt cele mai utilizate coduri componente n turbo

coduri.

n cazul CC-urilor, fiecare bloc de n simboluri binare de la ieirea codorului

depinde att de blocul de k simboluri binare prezent la intrarea sa, la momentul

considerat, ct i de m blocuri precedente [THI93]. n consecin CC-urile

introduc un efect de memorie de ordinul m.

Lungimea de constrngere a codului convoluional, exprimat n bii ai

mesajului, este definit ca numrul de deplasri dup care un bit al mesajului

poate influena ieirea decodorului. ntr-un codor avnd un registru de deplasare

cu m celule, i memoria codorului egal cu m, sunt necesare K=m+1 deplasri

pentru ca un bit al mesajului s intre n registrul de deplasare i s ias n final.

Astfel lungimea de constrngere a codorului este K [HAY00].

Principiul codorului convoluional este prezentat n Fig. 2.1. Codorul este

constituit:

- dintr-un sistem de m registre de ntrziere, fiecare avnd o capacitate de k bii, care

memoreaz cele m blocuri de k simboluri de informaie,

- dintr-o mulime de funcii liniare, ce genereaz blocurile de n simboluri de la ieire,

- dintr-un convertor paralel-serie.

Raportul R=k/n se numete rat de codare.

Coduri convoluionale - 2

10

Un cod convoluional de rat R este o aplicaie de la mulimea matricilor (binare) cu

un numr de k linii i numr infinit de coloane ctre mulimea matricilor (binare) cu un

numr de n linii i numr infinit de coloane, unde n > k [THI93]:

Fig. 2.1 Principiul de realizare a unui codor convoluional.

nk MMC : (2.1)

Astfel, prin transformarea C, fiecrei matrici kMI , de forma :

=

LLLLLLLLLLLL

jkkkk

j

j

iiii

iiiiiiii

210

22212

1

02

211101

I { } ksji js 1, ,0, 1,0 ==

(2.2)

i se ataeaz o matrice nMV , de forma :

=

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

jnnnn

jkkkk

j

j

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

210

210

2221202

1211101

V { } nsja js 1, ,0, 1,0 ==

(2.3)

. . .

. . .

. . .

Funcii liniare

Conversie paralel/serie

1 2 K=m+1

bloc de k simboluri de informaie

cuvnt de cod bloc de n simboluri

m registre de ntrziere

.

.

.

2.1 - Principiul codrii convoluionale

11

Matricea I conine biii de informaie, n ordinea KK 1100201 iiii k , iar matricea V

secvena codat : KK 1100201 aaaa n . Dac js jsa i pentru orice j pozitiv i pentru

orice ks = 1 , atunci codul se numete sistematic. Fcnd apel la o reprezentare

polinomial, matricile I i V se pot scrie ca, [BAK04a]:

( )

=

=

=

=

0

02

01

s

ssk

s

ss

s

ss

Di

Di

Di

DM

I , ( )

=

=

=

=

=

0

0

02

01

s

ssn

s

ssk

s

ss

s

ss

Da

Da

Da

Da

D

M

MV

(2.4)

Cu aceste notaii, relaia de codare, poate fi scris astfel :

( ) ( ) ( )DDD IGV = (2.5) unde G(D) se numete matricea generatoare a codului i are forma:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

DgDgDg

DgDgDgD

nknn

k

LLLLL

L

21

11211G

(2.6)

2.2 Tipuri de coduri convoluionale

n funcie de forma polinoamelor gjs(D) i a criteriului adoptat, codurile

convoluionale pot fi clasificate ca i, [FOR90, HLY02]:

1. Coduri sistematice, respectiv nesistematice.

1.a) Dac primele k linii din G(D) formeaz matricea unitate de ordinul k, Ik, atunci

codurile sunt sistematice. La codurile sistematice, simbolurile de informaie sunt plasate

toate, fie la nceputul fie la sfritul cuvntului de cod. Astfel, dac cele k simboluri de

informaie, prezente la intrarea codorului din Fig. 2.1, sunt efectiv emise, adic se

gsesc n mod explicit n blocul de n simboluri de la ieirea codorului pe primele k

poziii, codul se numete cod sistematic [FOR70]. Altfel spus, n cazul codurilor


12

sistematice biii sau simbolurile de informaie originale constituie parte din cuvntul de

cod codat i astfel, ei pot fi recunoscui n mod explicit la ieirea codorului [HLY02].

1.b) Pentru codurile nesistematice, biii din V sunt combinaii liniare ale biilor din

I, neexistnd bii de informaie i de control ca i n cazul precedent.

2. Coduri recursive, respectiv nerecursive.

2.a) Dac toate polinoamele generatoare care compun G(D) sunt finite, atunci codul

rezultat este nerecursiv.

2.b) Dac polinoamele generatoare gjs(D) pot fi scrise sub forma:

)()(

)(DbDa

Dgjs

jsjs =

(2.7)

unde polinoamele ajs i bjs sunt finite, i dac exist cel puin un polinom bjs(D)1,

atunci codul este recursiv.

Lungimea de constrngere este unul dintre parametri importani ai codurilor

convoluionale. O alt definiie a sa este dat n relaia de mai jos, [BAK04a]:

( ) ( ){ }DbDagradK sjsjsj ,,, ,max1+=

(2.8)

Pentru a ilustra codurile convoluionale nerecursive i nesistematice, n Fig.

2.2 se prezint un exemplu de codor convoluional de rat R = 1/2 i de lungime

de constrngere K=m+1=3. Intrarea sa este constituit din blocurile de k=1 simbol de informaie i ieirea sa de blocurile de n=2 simboluri codate.

Fig. 2.2 : Exemplu de codor convoluional nerecursiv, nesistematic (R = 1/2, K = 3).

ik ik-1 ik-2 D D 2ka

1ka V

2.2 - Tipuri de coduri convoluionale

13

Caracterul convoluional al codurilor provine din faptul c fiecare ieire a

codorului este egal cu produsul de convoluie dintre irul de simboluri prezente

la intrarea codorului i rspunsul codorului, definit prin polinoamele sale

generatoare. n codorul din Fig. 2.2 ieirile aik ; i = 1, 2 sunt multiplexate de

ctre un comutator, obinndu-se o singur secven de cod, V. Relaiile de calcul

ale acestor secvene de ieire sunt:

=

=

2

0

11

jjjkk gia

(2.9)

=

=

2

0

22

jjjkk gia

(2.10)

Cele dou secvene generatoare sunt:

[ ] [ ][ ] [ ]1,1,1,,

1,0,1,,22

21

20

2

12

11

10

1

==

==

gggg

gggg

(2.11)

Ieirile codorului fiind egale cu o combinaie liniar a simbolurilor de

informaie, codul este liniar. Codurile convoluionale sunt de asemenea definite

pornind de la polinoamele lor generatoare exprimate n funcie de variabila D

(delay-ntrziere) echivalent cu variabila Z-1 a transformatei Z [FOR70].

Considernd tot exemplul din Fig. 2.2, polinoamele generatoare ale acestui cod

au expresiile:

222

21

20

22

212

11

10

11

)(

)(

DgDggDGgDgDggDGg

++=

++=

(2.12)

i:

( )( ) 22

21

1

1

DDDG

DDG

++=

+=

(2.13)

rezultnd matricea generatoare G=[1+D2, 1+D+D2].


14

i

+ D DD

+

a0 a1 a2 aM-1 aM

b1 b2 bM-1 bM

i

c

n general polinoamele generatoare ale codorului se exprim n octal i

astfel, pentru cazul din Fig. 2.2, avem:

octal)7(n 1] 1 [1

octal)5(n 1] 0 [1 2

1

==

==

G

G

(2.14)

CC-urile nesistematice pot fi catastrofice. Codurile catastrofice sunt codurile

pentru care un numr finit de erori n canalul de transmisie poate da natere unui

numr infinit de erori la ieirea din decodor. O condiie necesar i suficient,

[BOR99], pentru apariia erorilor catastrofice n cazul codurilor cu R=1/n este

ca polinoamele generatoare s aib factor comun.

Astfel, dac un cod de rat R=1/2 are polinoamele generatoare de forma

G1(D)=1+D i G2(D)=1+D2, el este un cod catastrofic, deoarece polinoamele

generatoare l au ca i factor comun pe 1+D. Deoarece se face o sumare modulo

doi, putem scrie: (1+D)(1+D)=1+D+D+D2=1+D2. Dup cum se observ din

matricea generatoare, G, codorul din Fig. 2.2 nu genereaz un cod catastrofic.

Pentru codurile sistematice, exist cel puin o secven binar de informaie de

pondere infinit, care d natere unei secvene binare de pondere finit la ieirea codorului. n consecin, codurile sistematice nu pot fi catastrofice.

n Fig. 2.3 a) se prezint schema general a unui codor RSC, iar n Fig. 2.3 b) un caz

particular al acesteia.

a) b)

Fig. 2.3 CC recursiv sistematic: a) schema general, b) exemplu (R=1/2, K=3). n exemplul considerat matricea generatoare este de forma:

i

i

c

+ D D

+

2.2 - Tipuri de coduri convoluionale

15

++

+= 2

2

11,1

DDDG

(2.15)

n figura urmtoare este prezentat un exemplu de codor sistematic i nerecursiv, NRSC

(Non-Recursive Systematic Code), considerndu-se rata R=1/2 i lungimea de

constrngere K=3, [BOR99]:

Fig. 2.4 CC sistematic i nerecursiv, R=1/2, K=3, G=1+D+D2.

2.3 Reprezentarea grafic a codurilor convoluionale

Proiectarea algoritmilor de decodare poate fi simplificat dac se utilizeaz

reprezentri grafice ale CC-urilor. Reprezentarea cea mai uzual i mai bine

adaptat este, n mod incontestabil, reprezentarea grafic sub forma unui trellis

sau sub forma unei diagrame de stri. n continuare se prezint diagrama trellis

i diagrama de stri pentru codorul convoluional nesistematic din Fig. 2.2,

[THI93].

Diagrama trellis

Fiecare bloc de n = 2 simboluri de la ieirea acestui codor depinde de blocul

de k = 1 simbol prezent la intrarea sa dar i de m = 2 blocuri de k simboluri

coninute n memoria sa. Aceste mk = 2 simboluri definesc starea codorului. Se

noteaz cu S0 = (00), S1 = (01), S2 = (10) i S3 = (11), cele patru stri posibile

ale codorului din Fig. 2.2. Oricare ar fi starea iniial a codorului, dup m+1=3

ntrzieri la intrarea codorului, toate strile au fost atinse.

Funcionarea codorului poate fi explicat innd seama doar de strile sale i

de tranziiile dintre acestea, numite ramuri (ramificaii, brae). Diagrama trellis

iDDi

C


16

astfel obinut este reprezentat n Fig. 2.5, pentru codorul convoluional din

Fig. 2.2, presupunnd ipoteza c starea sa iniial era S0=(00).

Fig. 2.5: Trellis-ul codorului convoluional din Fig. 2.2.

Ramurile reprezentate prin linii punctate corespund prezenei unui simbol de

informaie egal cu 1, la intrarea codorului, i ramurile reprezentate prin linii

pline, unui simbol de informaie egal cu 0. Fiecrei ramuri i s-a asociat valoarea

cuplului binar disponibil la ieirea codorului.

Dup m+1 ntrzieri, oricare ar fi starea iniial a codorului, trellis-ul se

repet. Din fiecare nod pleac 2k ramuri (n cazul de fa sunt dou ramuri) i n

fiecare nod converg 2k ramuri.

Pornind de la starea S0 = (00) n momentul t = 0, de exemplu, vedem c

exist patru ci care permit atingerea strii S0 = (00) n momentul t = 4.

00 00 00 00 calea 1

00 11 01 11 calea 2

11 10 10 11 calea 3

11 01 11 00 calea 4

Diagrama de stri

Diagrama de stri este o alt reprezentare a funcionrii unui codor

convoluional, n care timpul nu apare n mod explicit. Aceast diagram, care

00 00 00 00

00 0011 11 11 11

11 11

01 01 01

01 01

10 10 10

10 10

t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

00

01

10

11

21 , kk aaik=1

21 , kk aaik=0

2.3 - Reprezentarea grafic a codurilor convoluionale

17

se poate deduce din trellis, nu reine dect diferitele stri ale codorului i felul n

care acestea comunic.

n Fig. 2.6 s-a reprezentat diagrama de stri asociat codorului convoluional

din Fig. 2.2. Diagrama de stri permite evaluarea funciei de transfer a

codorului, care va fi utilizat pentru calculul performanelor codului.

Fig. 2.6: Diagrama de stri a codorului din Fig. 2.2.

Diagramele de stri corespunztoare codurilor convoluionale din Fig. 2.3 b) i

Fig. 2.4 sunt prezentate n Fig. 2.7.

Fig. 2.7 Diagramele de stri pentru codoarele convoluionale: a) RSC; b) NRSC.

00

10

11 01

11

01

10 00

00

10 01

11

21 , kk aaik=1

21 , kk aaik=0

00

10 01

11

00

00

01 01

11 11

10

10

a)

00

10 01

11

00

00

01

01

11

11

10

10

b)


18

2.4 Distana liber

La fel ca pentru codurile bloc, distana minim a CC este un parametru

fundamental, deoarece determin capacitatea de control a erorii cnd numrul mediu de

erori raportat la numrul de cuvinte de cod este mic. Oricum, procesul de estimare a

distanei este mai complex n cazul codului convoluional dect n cazul unui cod bloc

deoarece aceast operaie depinde de tipul de decodor folosit. Mai precis depinde de

numrul de cadre, m, folosit de decodor [WAD00] (Fig. 2.8).

Fig. 2.8 Cadrele folosite de un decodor convoluional binar.

Distana minim dm, de ordin m, a unui CC este minimul distanelor Hamming

dintre toate perechile posibile ale secvenelor codate sau ale cuvintelor de cod de

lungime de m cadre (sau ramuri) ce difer n cadrul lor iniial :

dm=min dH(um,vm), u1v1 (2.16)

unde, primele m cadre ale celor dou cuvinte de cod sunt notate um i vm.

Fr a pierde din generalitate, relaia (2.16) se poate reduce la gsirea distanei

Hamming minime de la cuvntul specific la oricare din celelalte cuvinte de cod. n

consecin, distana minim a unui CC reprezint numrul minim de 1 din toate

cuvintele de cod care nu au toi biii de informaie egali cu zero.

Conform teoremei care afirm c distana minim, d, a unui cod liniar este egal cu

ponderea Hamming minim a vectorilor nenuli, rezult c pentru determinarea distanei

minime trebuie identificat pe trellis-ul asociat codului studiat, calea cu ponderea cea

mai mic. Prin ponderea unei ci se nelege numrul de simboluri de 1 care apar pe

acea cale. De exemplu, folosind Fig. 2.2, se identific calea de pondere minim (este

cea marcat cu rou).

me cadre k bii n bii

m cadre

intrarea codorului

ieirea codorului

ieirea decodorului

2.4 - Distana liber

19

Odat ce dm a fost determinat putem folosi acelai mecanism de control al erorii ca

i pentru codurile bloc. CC poate corecta orice structur de t erori sau mai puin de t

erori din oricare m cadre adiacente, dac este satisfcut condiia:

12 + tdm (2.17)

Un decodor convoluional poate corecta orice structur (izolat) de t sau mai puine

erori care apar ntr-o secven continu de mn simboluri. Dup cum am menionat mai

sus distana minim, dm, depinde de tipul de decodare utilizat.

De exemplu, tehnicile simple de decodare cu logic de prag au o memorie de

decodare egal cu doar o lungime de constrngere. Cea mai important distan

msurat pentru codurile convoluionale corespunde lui m i este denumit dfree, distan liber. Aceast distan este potrivit pentru metodele de decodare

probabilistice, cum ar fi decodarea Viterbi i decodarea secvenial, din moment ce aici

memoria de decodare este n principiu nelimitat. Pentru a gsi distana liber n

diagrama trellis din Fig. 2.5, se examineaz toate cile care pleac din starea zero

i se ntorc la aceast stare. Calea cu ponderea Hamming minim ne d dfree, care

n cazul codului din Fig. 2.2 rezult a fi dfree=5, corespunztor cuvntului de cod:

110111.

2.5 Funcia de transfer asociat unui cod convoluional

Funcia de transfer a codului este utilizat pentru a determina distribuia ponderilor

Hamming ale diferitelor ci care diverg de la calea nul i apoi converg din nou spre ea.

Ea se poate calcula pornind de la diagrama de stri, scindnd starea S0=(00) n dou

stri (starea Si i starea Sf), apoi aducnd pe fiecare ramur un cuplu DjBi unde

exponenii acestor argumente indic: pentru D - ponderea secvenei emise, pentru B -

ponderea secvenei de intrare corespunztoare (0 sau 1). Graful ataat diagramei de

stri din Fig. 2.6 este prezentat n Fig. 2.9.


20

Fig. 2.9 Graful corespunztor diagramei de stri din Fig. 2.6.

Prezena lui B semnific faptul c la intrarea codorului bitul de informaie, i,

a fost 1. Gradul lui D ne d ponderea secvenei emise, adic numrul de unu-ri

din aceast secven.

Funcia de transfer T(D, B) a codului este definit de urmtoarea relaie:

( )i

f

SS

BDT =,

(2.18)

Utiliznd graful din Fig. 2.9, putem s scriem urmtoarele ecuaii:

233

12

2

321

12

DBSDBSSBSBSDS

DSDSSSDS

i

f

+=

+=

+=

=

(2.19 a)

rezult:

if BSDBDS5)21( ==

(2.19 b)

Dup rezolvarea acestui sistem de patru ecuaii, se obine funcia de transfer a

codului:

BDBD

SS

BDTi

f

21),(

5

==

(2.20)

Dezvoltnd funcia de transfer T (D, B) n serie de puteri, putem s scriem [GLJ96]:

Si

S3

S2 SfS1D2

DB

DB

D2B

D

B

D

2.5 - Funcia de transfer asociat unui cod convoluional

21

=

++=

0

152),(k

kkk BDBDT

(2.21)

Aceast dezvoltare n serie arat c exist 2k ci de pondere Hamming (k+5)

i c acestea corespund respectiv secvenelor de ponderi (k+1) de la intrarea

codorului. Exponentul variabilei D, n primul termen al dezvoltrii n serie de

puteri a funciei de transfer, pentru k=0, este egal cu distana liber dfree a

codului (pentru exemplul nostru dfree = 5).

Pentru un cod de rat R=k/n, probabilitatea de eroare Peb poate fi mrginit

superior de urmtoarea relaie:

( )1,

,1

==

BDeb B

BDTk

P

(2.22)

unde T(D,B) este funcia de transfer a codorului i este o mrime ce depinde de tipul

canalului utilizat.

n continuare se prezint valorile lui pentru dou canale clasice.

1. Canal cu ieire binar:

=

=1

010

jjj pp

(2.23)

unde pi,j, i=0,1 este probabilitatea ca un eantion binar de la intrarea decodorului s fie

egal cu j, condiionat de emisia, de la codor, a unui element binar avnd valoarea i.

2. Canal cu ieire continuu:

( ) ( )+

= dyypyp 10

(2.24)

unde pi(y), i=0,1 reprezint densitatea de probabilitate a eantioanelor analogice de la

intrarea decodorului, condiionat de emisia de la codor a unui element binar avnd

valoarea i.


22

Pentru a ilustra calculul probabilitii de eroare voi considera dou exemple:

1. Canal binar simetric

Se cunoate c intrarea i ieirea unui canal binar simetric sunt alctuite din

elemente binare, din alfabetul {0,1}. Cantitatea pi,j, i=0,1, ce apare n relaia (2.23),

reprezint aadar probabilitatea de tranziie a canalului. Notnd cu p probabilitatea de

eroare din canal, se obine:

pi,j = p, dac i j

pi,j = 1-p, dac i = j

(2.25)

Rezult c va fi egal cu:

( )pp = 12 (2.26)

Considernd codorul convoluional din Fig. 2.2 (k=1 i n=2) i innd cont de faptul c:

( )[ ]2

5

21,

DBD

BBDT

=

(2.27)

probabilitatea de eroare Peb, conform relaiei (2.22), este mrginit superior de:

( )[ ]( )[ ]2

5

141

132

pp

ppPeb

(2.28)

Dac se consider o modulaie binar (modulaie de faz cu dou sau 4 stri),

probabilitatea de eroare p pe canalul binar simetric este egal cu:

021

NRE

erfcp b=

(2.29)

2.5 - Funcia de transfer asociat unui cod convoluional

23

unde Eb reprezint energia pe element binar de informaie transmis, erfc este funcia

eroare, R=1/2 reprezint rata codului, iar N0 este densitatea spectral de putere

unilateral a zgomotului.

2. Canal AWGN

Ieirea unui canal AWGN (zgomot aditiv alb gaussian) fiind format din eantioane

analogice, mrimile pi(y), i=0,1 reprezint densitile de probabilitate condiionate ale

acestor eantioane. Mrimea definit de relaia (2.24) este egal cu:

( ) ( )

== +

010 exp N

REdyypyp b

(2.30)

i probabilitatea de eroare pe element binar de informaie, pentru codul convoluional

din Fig. 2.2, poate fi mrginit superior conform relaiei (2.22) i utiliznd relaia (2.27)

rezult:

( )22/2/5

0

0

21 NE

NE

ebb

b

e

eP

(2.31)

Calculul marginii superioare a probabilitii de eroare Peb plecnd de la relaia (2.22)

necesit determinarea funciei de transfer a codorului. Din pcate numrul de stri ale

codorului crete exponenial n funcie de lungimea sa de constrngere, iar calculul

funciei de transfer devine dificil de efectuat pe msur ce lungimea de constrngere

depete cteva uniti. Aceast problem poate fi rezolvat prin nlocuirea funciei de

transfer cu dezvoltarea sa n serie, n expresia (2.22) a marginii superioare a

probabilitii de eroare.

Pentru codorul din Fig. 2.2 lund B=1 n relaiile (2.21) i (2.27), i dezvoltnd n

serii de puteri rezult:


24

( ) ddd

d

dd

dd

d

ddB

DdnDDDD

DBDTff

f =

=

=

=

===

= 2221

),(0

55

1

( )[ ] ( ) ( ) ( )

d

ddd

d

dd

ddddB DdwDdDdDD

DB

BDT

ff

f =

=

=

===+=

=

0

52

5

1 421221

,

(2.32)

Probabilitatea de eroare va fi marginit superior de:

( ) ( ) dd

d

BDeb dB

BDTP =

=

== 5

5

1,

42,

(2.33)

Notnd:

( ) ( )42 5 = ddw d (2.34)

i remarcnd c d=5 este distana liber a codului, expresia (2.33) se poate scrie mai

general, pentru un cod de rat k/n, sub forma:

( ) ddd

ebf

dwk

P =

1

(2.35)

Ansamblul de coeficieni n(d) i w(d) este numit spectrul de distan al codului.

2.6 Simularea spectrului ponderilor

n literatur, [THI93], am gsit spectrul ponderilor doar pentru un numr redus de

coduri convoluionale de rat R=1/2 i lungime de constrngere K=3. n tabelul urmtor

am reprezentat, cu ajutorul propriilor simulri, [BAK04a], spectrul ponderilor (coloana

n(d)) pentru toate codurile convoluionale, exceptnd codurile convoluionale recursive

i nesistematice, RNSC (Recursive Non-Systematic Code).

2.6 - Simularea spectrului ponderilor

25

Tabel 2.1 Spectrul ponderilor pentru codurile convoluionale de rat 1/2 i K=3. Cod

d NRSC[1,5] (1) n(d) w(d)

NRSC[1,7] (2) n(d) w(d)

RSC[1,7/3] (3) n(d) w(d)

RSC [1,1/5] (4) n(d) w(d)

RSC[1,7/5] (5) n(d) w(d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

0 0 0 0 1 1 1 2 1 3 2 6 4 14 7 30 11 57 17 102 27 181 44 324 72 580 117 1028 189 1801 305 3130

0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 5 15 0 0 13 58 0 0 34 201 0 0 89 655 0 0 233 2052 0 0 610 6255

0 0 0 0 0 0 1 2 2 4 2 6 5 18 8 32 13 62 24 128 40 236 69 452 120 856 205 1586 354 2956 610 5458

0 0 0 0 1 2 3 6 5 10 8 18 12 29 19 49 31 84 51 145 81 239 130 401 210 678 341 1151 553 1944 885 3218

0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 4 14 8 32 16 72 32 160 64 352 128 768 256 1664 512 3584 1024 7680 2048 16384

Cod d

RSC[1,1/7] (6) n(d) w(d)

RSC[1,3/7] (7) n(d) w(d)

RSC[1,5/7] (8) n(d) w(d)

NRNSC[3,7] (9) n(d) w(d)

NRNSC[5,7] (10) n(d) w(d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

0 0 0 0 0 0 2 5 0 0 5 15 0 0 13 46 0 0 34 139 0 0 89 413 0 0 233 1210 0 0 610 3505

0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 2 6 5 17 8 32 13 55 24 112 40 204 69 376 120 704 205 1284 354 2354 610 4302

0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 6 4 14 8 32 16 72 32 160 64 352 128 768 256 1664 512 3584 1024 7680 2048 16384

0 0 0 0 0 0 1 2 2 4 2 8 5 21 10 48 15 87 28 188 54 394 85 698 146 1350 269 2664 460 4906 770 9008

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 4 12 8 32 16 80 32 192 64 448 128 1024 256 2304 512 5120 1024 11264 2048 24576

unde: d reprezint ponderea cii; n(d) este numrul de ci de pondere d, w(d) este

suma ponderilor din secvenele de informaie corespunztoare celor n(d) ci.

n continuare, pe baza rezultatelor pe care le-am obinut, am fcut o analiz a acestor

coduri.

O prim comparaie ce se poate face pe baza tabelului 2.1 este din punct de vedere

al distanei minime a codului. Astfel, exist :

- dou coduri cu distana minim dmin=3, codul nerecursiv i sistematic, NRSC[1,5]

i codul recursiv i sistematic, RSC[1,1/5],

- cinci coduri: NRSC [1,7], RSC[1,7/3], RSC[1,1/7], RSC[1,3/7] i NRNSC (Non-

Recursive Non-Systematic Code) [3,7] au dmin=4,

- iar codurile: RSC[1,7/5], RSC[1,5/7] i NRNSC[5,7] au dmin=5.


26

Am notat n paranteze matricea generatoare n octal. De exemplu, lui

G(D)=[1,1/1+D2] i corespunde G=[1,1/5]. Distana minim superioar a ultimelor 3

coduri, specificate mai sus, indic o superioritate din punctul de vedere al capacitii de

corecie, fapt ce se va manifesta, n special la raporturi semnal/zgomot mari, unde sunt

importante cuvintele (cile) de ponderi mici. n Fig. 2.10 se prezint spectrul ponderilor

codului recursiv i sistematic, RSC[1,5/7]:

Fig. 2.10 Distana spectral a codului RSC[1,5/7]: a) log(n(d)+1) /d; b) log(w(d)+1) / d.

Pe baza observaiilor anterioare i datorit faptului c funcia w(d) ia valoarea 1

pentru codul NRNSC[5,7] i 2 pentru codul RSC[1,7/5] pentru dmin=5, se poate

concluziona c cel mai performant cod la SNR-uri mari va fi NRNSC[5,7], [BAK04a].

La SNR-uri mici, vor conta cile cu ponderi mari. Cu alte cuvinte, aici se recomand

codurile NRSC[1,7] i RSC[1,1/7] sau chiar NRSC[1,5] i RSC[1,3/7].

5 4.5 4

3.5 3

2.5 2

1.5 1 0.5 0

54.54

3.53

2.52

1.51

0.500 02 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16

a) b) d d

log(

n(d)

+1)

log(

w(d

)+1)

CAPITOLUL 3

Turbo coduri

Dintre toate metodele de corecie a erorilor cunoscute pn astzi, turbo codurile

(TC) alturi de codurile LDPC (Low-Density Parity-Check), [CFRU01, BCVSV02] se

apropie cel mai mult de limita lui Shannon [SHA48], limita teoretic a ratei maxime de

transfer a informaiei printr-un canal cu zgomot. Datorit performanelor lor apropiate

de capacitatea lui Shannon, TC-urile, nc de la introducerea lor [BGT93], au beneficiat

de o atenie deosebit. Astfel, din momentul apariiei lor, TC-urile au fost studiate pe

larg i adoptate n mai multe sisteme de comunicaii.

Turbo codurile sunt atractive, n special, pentru sistemele de comunicaii mobile,

fiind incluse n standardele celulare de generaia a treia (3G), cum ar fi: Sistemul de

Telecomunicaii Mobile Universal (UMTS-Universal Mobile Telecommunications

System), cunoscut i sub denumirea de Acces Multiplu prin Divizare n Cod de Band

Larg (WCDMA-Wideband Code Division Multiple Access), [TSG99] i CDMA2000,

[TIA02]. Deasemenea, sunt incluse i n standardele video de difuzare digital (DVB-

Digital Video Broadcasting) de la canal spre satelit (DVB-RCS), [[ETSI03]] n

sistemul de distribuie terestr (DVB-RCT), [ETSI02] ct i n standardele 802.16-2004

(deseori numit 802.16d), [STAND04] i 802.16e-2005 (care este o mbuntire a

standardului 802.16-2004 i care este deseori numit 802.16e) [STAND05], primul

standard fcnd referire la WiMAX (Worldwide Interoperability for Microwave

Access) fix deoarece acest standard nu are suport pentru mobilitate, iar al doilea la

WiMAX mobil, deoarece a introdus, printre alte lucruri, i suportul pentru mobilitate.

Secvena de informaie este codat de dou ori, avnd un interleaver ntre cele dou

codoare. Rolul interleaver-ului este acela de a se asigura c cele dou secvene de bii

codate sunt independente una fa de cealalt, datorit amestecrii biilor de informaie

de ctre acesta. Cel mai des sunt utilizate codoarele RSC cu ieire sistematic care este

echivalent cu sevena de informaie original, precum i o secven de informaie de

paritate. Cele dou secvene de paritate pot fi apoi puncturate nainte de a fi transmise

mpreun cu secvena de informaie original a decodorului. Aceast puncturare a

informaiei de paritate permite o gam larg a ratelor de codare i deseori este transmis

Turbo coduri - 3

28

jumtate din informaia de paritate de la fiecare codor. mpreun cu secvena de date

original acesta conduce la o rat de codare 1/2.

Dou decodoare RSC sunt utilizate la decodare. Trebuie utilizai algoritmi speciali

de decodare, care s accepte intrri soft i care genereaz ieiri soft pentru secvena

decodat. Aceste intrri i ieiri soft furnizeaz o indicaie asupra faptului c un bit

oarecare a fost 0 sau 1, precum i raportul de plauzibilitate care d probabilitatea ca

bitul respectiv s fi fost corect decodat. Turbo decodorul opereaz n mod iterativ. n

prima iteraie primul decodor RSC furnizeaz ieiri soft dnd o estimare a secvenei de

date originale bazate doar pe intrrile soft furnizate de canal. De asemenea el furnizeaz

o ieire extrinsec. Ieirea extrinsec pentru un bit dat nu se bazeaz numai pe intrarea

canalului corespunztoare acestui bit ci i pe informaia biilor vecini i pe

constrngerile impuse de ctre codul ce a fost utilizat. Aceast ieire extrinsec de la

primul decodor, este utilizat de ctre cel de-al doilea decodor RSC, ca informaie a-

priori, i aceast informaie mpreun cu intrrile canalului sunt utilizate de ctre cel de-

al doilea decodor RSC pentru a genera ieirea sa soft i informaia sa extrinsec. n

ceea de a doua iteraie informaia extrinsec a celui de-al doilea decodor, de la prima

iteraie, este utilizat ca informaie a-priori de primul decodor, i, utiliznd aceast

informaie a-priori, decodorul poate decoda corect mai muli bii fa de prima iteraie.

Acest ciclu poate continua, la fiecare iteraie, ambele decodoare RSC producnd o ieire

soft i informaie extrinsec bazate pe intrrile canalului i pe informaia a-priori,

obinut din informaia extrinsec provenit de la cellalt decodor. Dup fiecare iteraie,

BER scade, dar mbuntirile obinute cu fiecare iteraie se micoreaz pe msur ce

numrul de iteraii crete, astfel c din motive de complexitate sunt utilizate de obicei

ntre 4 i 15 iteraii.

n lucrarea lor de nceput, Berrou .a., au invocat o versiune modificat a

algoritmului de decodare MAP, datorit lui Bahl .a., [BCJR74], n structura iterativ de

mai sus pentru decodarea codurilor componente. Acest algoritm, clasic, conduce la o

probabilitate minim a erorii pe bit. De la apariia turbo codurilor s-a depus un efort

mare pentru a reduce complexitatea decodorului, de ctre diveri cercettori, ca

Robertson, Villebrun i Hoher [RVH95], Berrou .a. [BAAF93], Goff, Glavieux i

Berrou [GGB94]. Robertson i Worz [ROW98] sugereaz utilizarea codurilor mpreun

cu scheme de modulaie care folosesc eficient banda de frecvene. Lucrrile lui

Benedetto i Montorsi [BEM96a, BEM96b] respectiv Perez .a. [PSC96] au facilitat

nelegerea cauzelor performanelor excelente ale turbo codurilor. Un numr de

3.1 - Turbo codorul

29

contribuii similare au fost aduse de ctre Hagenauer, Offer i Papke [HOP96] i de

Pyndiah [PYN97], care extind conceptul de turbo i la codurile bloc concatenate n

paralel. Brbulescu i Peitrobon [BAP94], ca i un numr de ali autori, aloc o mare

importan realizrii interleaver-ului.

Din punctul de vedere al concatenrii codurilor convoluionale componente de la

codor, respectiv, decodor, rezult urmtoarele scheme: coduri convoluionate

concatenate paralel (turbo codurile), coduri convoluionale concatenate serie i coduri

convoluionale concatenate hibrid. n paragraful 3.3 se prezint codurile convoluionale

concatenate paralel.

3.1. Turbo codorul

Structura general utilizat n turbo codor este prezentat n Fig. 3.1, [BGT93].

Sunt utilizate dou coduri componente pentru a coda biii de intrare i un interleaver

plasat ntre cele dou codoare.

Fig. 3.1 Schema unui turbo codor.

n general sunt utilizate codurile RSC, ca i coduri componente, dar este

posibil de a se obine performane bune, utiliznd o structur ca cea din Fig. 3.1,

cu ajutorul altor coduri componente, cum ar fi codurile bloc, propuse de

Hagenauer, Offer i Papke [HOP96]. De asemenea, este posibil s se utilizeze

mai mult de dou coduri componente.

Ieirile celor dou codoare componente sunt mai apoi puncturate [THI93] i

multiplexate. De obicei ambele coduri componente RSC sunt de rat 1/2, dnd

un bit de paritate i un bit sistematic pentru fiecare bit de intrare.

bii de intrare

Codor 1

Codor 2 Interleaver

Puncturare i

Multiplexare bii de ieire

Turbo coduri - 3

30

Pentru a obine un turbo codor cu o rat de codare R=1/2, trebuiesc

puncturai jumtate din biii de ieire ai fiecruia dintre codoare. Astfel, se

transmit toi biii sistematici ai primului codor RSC i jumtate din biii de

paritate ai fiecrui codor. De precizat c biii sistematici sunt foarte rar

puncturai, deoarece aceasta degradeaz dramatic performana codului.

n Fig. 2.3b) s-a prezentat un cod RSC de rat 1/2 i lungime de constrngere

K=3, ce poate fi folosit ca i cod component n Fig. 3.1. Codurile concatenate n

paralel au fost propuse i analizate de Claude Berrou .a. n articolul din 1993,

[BGT93].

mbuntiri considerabile n performan ale turbo codurilor se datoreaz

interleaver-ului utilizat ntre cele codoare i a utilizrii codurilor recursive ca i

coduri componente. Articolele publicate de Benedeto i Montorsi [BEM96a,

BEM96b] ncearc s explice remarcabilele performane ale turbo codurilor,

ajungnd la concluzia c turbo codurile pot avea un ctig al performanei

proporional cu lungimea interleaver-ului utilizat. Complexitatea decodrii per

bit nu depinde de lungimea interleaver-ului. Aadar pot fi obinute perfomane

foarte bune cu o complexitate rezonabil prin utilizarea interleaver-elor foarte

lungi. ns, n multe aplicaii importante, precum transmisiile vocale, lungimile

blocurilor de date extrem de mari nu sunt practice, datorit ntrzierii rezultate.

3.2 Turbo decodorul

Structura general a unui decodor iterativ este reprezentat n Fig. 3.2. Dou

componente decodoare sunt conectate prin interleaver-e, ntr-o structur similar

cu cea de la codor. Aa cum se observ din figur, fiecare decodor are trei

intrri: biii de ieire din canal codai sistematic, biii de paritate transmii de

ctre codul component asociat i informaia de la cellalt decodor numit

informaie a-priori. Decodoarele componente au de explorat ambele intrri

provenite din canal i aceast informaie a-priori.

3.2 - Turbo decodorul

31

Fig. 3.2 Schema turbo decodorului.

Ele trebuie de asemenea s furnizeze i (cele ce sunt cunoscute ca i) ieiri soft pentru

biii decodai. Aceasta nseamn c, la fel cum furnizeaz secvena de bii de la ieire

decodat, decodoarele componente trebuie s genereze probabilitile de decodare

corect, asociate pentru fiecare bit. Ieirile soft sunt tipic reprezentate n termenii aa

numiilor logaritmi de rapoarte de plauzibilitate, (Log Likelihoods Ratios), LLRs.

Polaritatea LLR-ului determin semnul bitului, n vreme ce amplitudinea sa cuantific

probabilitatea deciziei corecte.

Turbo decodorul din Fig. 3.2 lucreaz iterativ, n prima iteraie primul decodor

component preia doar valorile ieirilor canalului i produce o ieire soft ca o estimare a

biilor de date. Ieirea soft a primului decodor este apoi utilizat ca informaie

adiional de cel de al doilea decodor mpreun cu ieirile canalului pentru a calcula

estimaii si pentru biii de date. Acum cea de a doua iteraie poate s nceap, primul

decodor decodeaz din nou ieirile din canal, dar de data aceasta cu o informaie

adiional despre valorile biilor de intrare furnizat de ieirea celui de-al doilea decodor

n prima iteraie. Aceast informaie adiional permite primului decodor s obin un

set de ieiri soft de acuratee mai mare, care este apoi utilizat de cel de-al doilea decodor

ca informaie a-priori. Acest ciclu este repetat i cu fiecare iteraie rata de eroare per bit

a biilor decodai, tinde s scad. ns, mbuntirea performanei cu creterea

numrului de iteraii descrete. Astfel, din motive de complexitate, sunt utilizate uzual

doar un numr de 8 iteraii.

Datorit ntreeserii utilizat la codor, trebuie ntreesut i de-ntreesut LLR-ul care

este utilizat pentru a reprezenta valorile soft ale biilor, aa cum se vede n Fig. 3.2. n

plus, datorit naturii iterative a decodorului, trebuie avut grij s nu se reutilizeze

aceeai informaie mai mult de o dat la fiecare pas de decodare. Din acest motiv a fost

Decodor 1

Decodor 2

Interleaver

Interleaver

De-Interleaver

+

+

Intrri

soft

din

canal

Sistematic

Paritate 1

Paritate 2

-

-

-

-

Ieire soft

Turbo coduri - 3

32

Iex21

C1

C2

I

u x1 DEC1

DI

DEC2

I I

Can

al d

e tr

ansm

isie

Iex12

x0

x2

y1

y0

y2

LLR1

utilizat conceptul aa numitei informaii extrinseci i intrinseci n articolul scris de

Berrou .a. [BGT93]. Alte decodoare, neiterative, care dau o decodare optimal a turbo

codurilor au fost propuse, [BRH00, BRH97]. ns mbuntirea n performan,

comparativ cu decodoarele iterative, s-a gsit a fi de doar 0,35 dB [HLY02], i sunt

foarte complexe. Aadar schema prezentat n Fig. 3.2 este utilizat cel mai des.

3.3 Concatenarea paralel a codurilor convoluionale

n cadrul acestei teze, n primele simulri realizate, am utilizat codurile

convoluionale concatenate n paralel (turbo codurile), nepuncturate. Schema general a

unui turbo cod, TC, este prezentat n Fig.3.3:

Fig. 3.3 Coduri convoluionale concatenate paralel.

Secvena de informaie, notat u, este codat de ctre codorul C1 rezultnd secvena

de paritate x1. Aceeai secven de bii, u, este furnizat, ns n alt ordine obinut prin

ntreesere cu ajutorul interleaver-ului I, codorului C2, care genereaz la rndul su,

secvena de paritate x2. Secvenele rezultate ux =0 , x1 i x2, prin multiplexare i

modulare (operaii omise n Fig. 3.3) se transform n semnalul ce va fi emis n canal.

La ieirea acestuia, prin demodulare i demultiplexare rezult secvenele (soft)

recepionate, corespunztoare: y0, y1 i y2.

Fiecare decodor calculeaz LLR-ul pentru fiecare bit din u:

( ) ( )( )yupyup

uLLRi

ii 0

1ln

=

=

= . (3.1)

3.3 - Concatenarea paralel a codurilor convoluionale

33

n figur este prezentat doar logaritmul raportului de plauzibilitate al primului

decodor, notat LLR1 i informaia extrinsec destinat celuilalt decodor.

Fiecare decodor primete informaie extrinsec i pe baza ei i a secvenelor venite

din canal (y0 i y1 respectiv y0 ntreesut i y2) furnizeaz la rndu-i informaie

extrinsec. Acest proces se repet iterativ de un anume numr de ori (impus sau

calculat, funcie de tipul turbo codului). Dup efectuarea tuturor iteraiilor se ia o

decizie hard asupra logaritmului raportului de plauzibilitate generat dup ultima iteraie

de unul din cele dou decodoare (n Fig. 3.3 s-a ales LLR1). Secvena rezultat

constituie ieirea turbo decodorului.

3.4 Dispozitive de ntreesere

ntreeserea este o tehnic de cretere a capacitii de corecie a erorii de codare. A

fost deseori utilizat mpreun cu codarea controlat a erorilor pentru canalele cu erori

n rafal [VUY01]. Un exemplu este cel al canalului cu fading multici, la care variaiile

de semnal datorate propagrii multici determin adeseori scderea nivelului semnalului

sub cel al nivelului zgomotului, ducnd la un numr mare de erori.

O metod efectiv de reducere a acestor erori este aceea de a insera un interleaver

ntre codor i intrarea canalului. Datele codate sunt reordonate de interleaver i apoi

transmise n canal. La receptor, de-interleaver-ul realizeaz operaia invers, pentru a

reda datele n ordinea original. Ca rezultat al acestei operaii de ntreesere i de-

ntreesere, erorile n rafal sunt mprtiate, astfel nct erorile dintr-un cuvnt de cod

apar independent. Astfel, canalul cu erori n rafal este transformat ntr-un canal cu erori

aleatoare i un cod realizat pentru un canal cu erori independente poate fi utilizat i n

cazul canalelor cu erori n rafale.

n cazul turbo codrii, ntreeserea este realizat nainte de a fi codat informaia de

date de cel de-al doilea codor component. n general lungimea N a interleaver-ului este

semnificativ mai mare dect memoria codului i elementele interleaver-ului sunt alese n

mod aleator.

Limita capacitii Shannon poate fi atins doar de coduri bloc de lungime mare.

Acestea pot fi implementate n varianta construcional doar folosind memorii mari.

Rolul de baz al interleaver-ului este de a construi un cod bloc lung pentru coduri

convoluionale cu memorie mic.

Turbo coduri - 3

34

Un alt rol al interleaver-ului este acela de a mprtia erorile n rafal. Interleaver-ul

furnizeaz informaia de date amestecat spre cel de-al doilea codor component

[BGT93], i decoreleaz intrrile celor dou decodoare componente de la

recepie, astfel nct poate fi aplicat un algoritm de decodare sub-optimal iterativ

bazat pe schimbul de informaie necorelat dintre cele dou decodoare

componente. De exemplu, dup corecia unor erori n primul decodor

component, cteva din erorile rmase pot fi mprtiate de ctre interleaver astfel

nct s poat fi corectate de cellalt decodor. Crescnd numrul de iteraii, n

procesul de decodare, probabilitatea erorii pe bit se apropie de capacitatea

canalului.

Un dispozitiv de ntreesere realizeaz o permutare a unei secvene de numere

[BAK04b), KBN05], de forma:

II : , cu { }NI K,2,1= , (3.2)

unde N reprezint lungimea secvenei ce trebuie ntreesut. Pentru refacerea ordinii

iniiale se utilizeaz un dispozitiv pereche, de de-ntreesere, ce implementeaz funcia

invers:

II :1 , cu ( )( ) Iiii = ,1 . (3.3)

Un interleaver bun trebuie s ndeplineasc dou condiii: s aib o distan minim

de ntreesere de valoare ct mai mare i s aib un grad de mprtiere ct mai bun.

Fiind dat funcia interleaver, , definim distana de ntreesere dintre poziiile i i j

ca:

( ) ( ) ( ) jiIjijijijid += , , ,, . (3.4)

Atunci distana minim de ntreesere este dat prin, [CRO00, MCK04]:

) ,(min,

jiddji

Ijimin

= .

(3.5)

3.4 - Dispozitive de ntreesere

35

Mulimea valorilor funciei d(.), dat prin relaia (3.5), este mrginit inferior de

valoarea 2 iar superior de 2N-2. 3.4.1 Interleaver aleator

Interleaver-ul aleator, [VUY01] este relativ simplu de realizat, ofer o bun

mprtiere a secvenei originale, ns are n general dmin=2, adic cea mai mic valoare

posibil. n Fig. 3.4 este ilustrat operaia de permutare de tip aleator pentru un bloc de

date de lungime N=10. Procedeul de construcie al unui dispozitiv de ntreesere aleator

este urmtorul. Cunoscnd lungimea de ntreesere, N, se construiete mulimea

A={1,2 ...N}. Se alege n mod aleator un numr, n1A. Se atribuie (1) = n1 i se elimin aceast valoare din A. Procedeul se repet pn la epuizarea mulimii A. Aadar,

se poate scrie funcia de mprtiere aleatore de forma:

r(i) = rand(i), iI={1,2 ...Nr}. (3.6)

Fig. 3.4 Dispozitiv de ntreesere aleator.

Un dezavantaj major al ntreeserii aleatoare este nereproductibilitatea procedeului de

generare al funciei : Odat generat funcia de tip aleator ea trebuie memorat pentru

a putea fi reprodus.

3.4.2 Interleaver de tip S

Interleaver-ul S este de tip aleator [DIP95], ns, spre deosebire de interleaver-ul pur

aleator, prin construcie se foreaz o distan minim de ntreesere egal cu S.

Algoritmul de construcie al funciei de ntreesere este urmtorul: se selecteaz o

posibil poziie viitoare pentru bitul curent. Aceasta este comparat cu poziiile celor S

bii selectai anterior n aceeai manier aleatoare. Dac se ndeplinete condiia ca:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 6 1 5 10 2 8 7 3 9

Intrare

Ieire

Turbo coduri - 3

36

Sjn > )()( pentru n i j cu Sjn


37

Fig. 3.5 ntreesere bloc.

3.4.4 Interleaver pseudo-aleator

Interleaver-ul pseudo-aleator [JBD04], face parte din recomandarea CCSDS

(Consultative Comittee for Space Data Systems) denumit CCSDS Recomandation for

Telemetry Channel Coding, [CCSDS02].

Denumirea dispozitivului provine de la faptul c permutrile nu sunt aleatoare n

adevratul sens al cuvntului (avem de-a face cu o dezordine controlat). Este un

dispozitiv de ntreesere performant, care mbin avantajele furnizate de interleaver-ele

aleator i bloc, adic prezint o bun mprtiere la o distan minim suficient de mare.

Permutarea pentru fiecare secven de lungime N a blocului este dat de o

reordonare particular a biilor 1, 2, ... N, generat de urmtorul algoritm:

N = k1k2 unde k1 este un parametru fix, iar k2 variaz n funcie de lungimea

dispozitivului de ntreesere;

pentru s de la 1 la N (poziia curent nainte de interschimbare) se efectueaz

urmtoarele operaii i se obin permutrile )(s :

2mod)1( = sm

=

221

ksi

221 iksj

= )119( += it mod

21k

tq = mod 18 + )21( mjpc q += mod 2k

mNcts +++= )12

1(2)(

Citire pe coloane, n ordinea: 1 2 3 . . . . . 10

nscriere pe linii,

n ordinea: 1 2 3 . . . . .

10

Turbo coduri - 3

38

n care: [ ] parte ntreag,

mod operaie modulo (clase de resturi),

q = 18 i 1p =31, 2p =37, 433 =p , 474 =p , 535 =p , 596 =p , 617 =p ,

678 =p .

3.4.5 Interleaver Takeshita-Costello

Interleaver-ul Takeshita-Costello, este prezentat n [TAC98] i presupune c

lungimea interleaver-ului, NTC, este o putere ntreag a lui 2. Construcia funciei

interleaver-ului este dat n cele ce urmeaz. Vectorul ci=1N, este construit cu

relaia urmtoare:

c(i)=ki(i+1)/2 (3.10)

unde k, n mod uzual, este egal cu unu. Funcia de ntreesere va fi:

(c( i)) = c(i+1), iI (3.11)

3.4.6 Interleaver bloc-aleator

n cadrul acestui paragraf propun dou variante noi de interleaver-e pe care le-am

realizat i analizat. Acest tip nou de interleaver-e , [KBN05], dorete s mbine calitile

interleaver-elor bloc (dmin de valori mari) i aleator (o bun mprtiere), fiind o

alternativ a celui de tip S, care este greu de realizat. Astfel, am propus dou variante

noi de interleaver-e: interleaver bloc aleator n linie, BRL (Block Random in Line),

notat IXBRLY (X i Y sunt dai n Tabelul 3.1) i interleaver bloc cu linii aleatoare,

BLR (Bloc with Random Lines), notat IXBLRY (X i Y sunt dai n Tabelul 3.1), ai cror algoritmi de generare vor fi descrii n continuare. Am presupus c lungimea

acestor interleaver-e este Nbr=XY, la fel ca pentru un interleaver bloc.


39

3.4.6.1 Interleaver bloc aleator n linie, BRL

Pentru nceput, am construit matricea:

c(i,j)=1+i+jX, iI={0,1X-1}, jJ={0,1Y-1} (3.12)

Apoi, am permutat fiecare linie a acestei matrici, c(i,J) folosind relaia:

r(i) = rand(i), iI={1,2 ...Nr}, (3.13 a)

obinnd, astfel matricea b de forma:

b(i,J)= c(i,r(J)) iI (3.13 b)

n final, pentru a crete distana minim de ntreesere se reordoneaz liniile

astfel nct pe primele X/2 poziii s se regseasc liniile impare. Dup ce

realizez ordonarea liniilor fac o citire pe coloan:

BRL(k+jY+1)=b(i, j), i=(2k)I, jJ BRL(k+jY+Y2+1)=b(i, j), i=(2k1)I, jJ (3.14)

unde: Y2 = floor[(Y 1)/2].

Schema interleaver-ului bloc aleator n linie este dat n Fig. 3.6:

Fig. 3.6 Schema interleaver-ului bloc aleator n linie, BRL.

Y

X

nscrie pe coloan

Citete pe coloan

Permutare n linii Reordoneaz liniile

Turbo coduri - 3

40

3.4.6.2 Interleaver bloc cu linii aleatoare, BLR

Algoritmul de generare este identic cu cel al interleaver-ului BRL, cu excepia

pasului doi unde aleatorizarea nu o fac n linie ci ntre linii:

d(i,J)= c(r(i), J)) iI={0,1X-1} (3.15)

Astfel c:

BLR(j+i Y+1)=d(i, j), iI, jJ (3.16)

Distana minim de ntreesere este dminY n cazul interleaver-ului BRL i dminX

n cazul interleaver-ului BLR. Pentru a obine o bun mprtiere n cazul interleaver-

ului BRL dimensiunea X trebuie aleas ct mai mare, iar pentru BLR Y trebuie s fie ct

mai mare. Un bun compromis se obine dac se alege X Y2 pentru BRL respectiv

Y X2.

n Fig. 3.7 este dat schema interleaver-ului bloc cu linii aleatoare:

Fig. 3.7 Schema interleaver-ului bloc cu linii aleatoare, BLR.

n concluzie, se poate spune c cele dou interleavere propuse se difereniaz

prin urmtoarele caracterisitci:

- n cazul interleaver-ului bloc aleator n linie se realizeaz o ntreesere de tip

aleator pur pentru fiecare linie separat. Aceasta reprezint un avantaj deoarece

metoda pur aleatoare este uor de aplicat i de implementat pentru blocuri mai

mici (cum pot fi considerate liniile de lungime Y). Ulterior, reordonarea liniilor

va conferi i o distan minim egal cu X/2. Aadar, interleaver-ul va dispune

i de o bun amestecare (datorit ntreeserii aleatoare) ct i de o distan

nscrie pe coloan

Citete pe linie Permutare ntre linii Y

X


41

minim suficient de mare. Este de ateptat ca acest interleaver s ofere

performane bune.

- n cazul celui de-al doilea interleaver, interleaver bloc cu linii aleatoare, un

dezavantaj fa de primul este c ntreeserea aleatoare a liniilor nu va reui o

distan minim impus (ntreeserea pur aleatoare are deobicei distana minim

egal cu 2, adic cea mai mic posibil).

3.4.7 Performanele interleaver-elor utilizate n turbo coduri

n scopul analizei performaelor, BER i FER (rata erorii pe cadru), interleaver-elor

(de diferite lungimi) utilizate n turbo coduri, am folosit interleaver-ele prezentate mai

sus. Astfel, n Tabelul 3.1, au fost trecute notaiile corespunztoare acestor interleaver-e.

Tabelul 3.1. Interleavere folosite.

unde: - Interleaver-ul aleator s-a notat cu INrS1,

- Interleaver-ul S s-a notat cu INsSY,

- Interleaver-ul bloc s-a notat cu IXRY,

- Interleaver-ul pseudo-aleator s-a notat cu IXP8,

- Interleaver-ul Takeshita-Costello s-a notat cu IXTC,

- Interleaver-ul bloc aleator n linie s-a notat cu IXBRLY,

- Interleaver-ul bloc cu linii aleatoare s-a notat cu IXBLRY .

Nr, Ns, X i Y, iau valorile din Tabelul 3.1.

n diagramele din Fig. 3.8, am prezentat cteva curbe cu performanele BER pe care

le-am obinut, utiliznd diferite interleaver-e:

- interleaver aleator,

- interleaver S,

N 400 900 1800 3600 IXRY I19R21 I29R31 I41R45 I59R61 INrS1 I392S1 I896S1 I1784S1 I3568S1

INsSY I392S5 I392S10 I392S13

I896S5 I896S10 I896S20

I1784S10 I1784S20 I1784S29

I3568S10 I3568S20 I3568S40

IXP8 I392P8 I896P8 I1784P8 I3568P8 IXTC I512TC I1024TC I2048TC I4096TC IXBRLY I49BRL8 I81BRL11 I121BRL15 I225BRL16IXBLRY I7BLR56 I9BLR99 I11BLR165 I15BLR240

Turbo coduri - 3

42

- interleaver bloc,

- interleaver pseudo-aleator,

- interleaver Takeshita-Costello,

- interleaver-e BLR i BRL.

Aceste interleaver-e au fost introduse ntr-un turbo cod nepuncturat, de rat 1/3, n

care dou coduri componente RSC, avnd matricea generatoare G=[1, 15/13] i

lungimea de constrngere a codului convoluional K=4, sunt conectate n paralel

[BGT93]. Lungimile interleaver-elor sunt n jur de: 400, 900, 1800 i 3600. Valorile

exacte iau n consideraie limitarea impus de construcia fiecrui interleaver. n

simulri am folosit algoritmul de decodare MAP i un numr de 12 iteraii. S-a

considerat canalul AWGN i modulaia BPSK (Binary Phase Shift Keying).

0 0.5 1 1.5

10-4

10-3

10-2

10-1

SNR(dB)

BER

uncodedI19R21I392S1I392S5I392S10I512TC

Fig. 3.8 a) Performanele BER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru 5 interleaver-e cu N400.


43

0 0.5 1 1.5

10-4

10-3

10-2

10-1

SNR (dB)

BER

uncodedI392S13I392P8I49BRL8I7BLR56

Fig. 3.8 b) Performanele BER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru alte 4 interleaver-e cu

N400.

0 0.5 1 1.510

-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

SNR (dB)

BER

uncodedI29R31I896S1I896S5I896S10I896S20I896P8I1024TCI81BRL11I9BLR99

Fig. 3.8 c) Performanele BER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru interleaver-e cu N900.

Turbo coduri - 3

44

0 0.2 0.4 0.6 0.8 110

-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

SNR (dB)

BER

necodatI41R45I1784S1I1784S10I1784S20I1784S29I1784P8I2048TCI121BRL15I11BLR165

Fig. 3.8d) Performanele BER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru interleaver-e cu N1800.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.710

-8

10-6

10-4

10-2

100

SNR(dB)

BER

necodatI59R61I3568S1I3568S10I3568S20I3568S40I3568P8I4096TCI225BRL16I15BLR240

e)

Fig. 3.8 e) Performanele BER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru interleaver-e cu N3600.


45

n Fig. 3.8 se poate observa c performanele S-interleaver-lor cresc odat

cu S, distana de interleav-are minim. Deci, la un grad de mprtiere dat

(deoarece toate sunt interleaver-e aleatoare ele au acelai grad de mprtiere)

aceast distan reprezint o msur a performanelor.

n diagramele din Fig. 3.9 sunt reprezentate curbele corespunztoare

performanelor FER, utiliznd aceleai interleaver-e: interleaver aleator (S=1),

interleaver S, interleaver rectangular (R), interleaver pseudo-aleator (P),

interleaver Takeshita-Costello (TC) i interleaver-ele BLR i BRL.

0 0.5 1 1.510

-4

10-3

10-2

10-1

100

SNR(dB)

FER

Limita ShannonI19R21I392S1I392S5I392S10I392S13I392P8I512TCI49BRL8I7BLR56

Fig. 3.9 a) Performanele FER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru interleaver-e cu

N400.

Turbo coduri - 3

46

0 0.5 1 1.5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

SNR(dB)

FER

Limita ShannonI29R31

I896S1

I896S5

I896S10I896S20

I896P8

I1024TC

I81BRL11I9BRL99

Fig. 3.9 b) Performanele FER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru interleaver-e cu

N900.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

10-4

10-3

10-2

10-1

100

SNR(dB)

FER


Fig. 3.9 c) Performanele FER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru interleaver-e cu

N1800.


47

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

10-4

10-3

10-2

10-1

100

SNR(dB)

FER


Fig. 3.9 d) Performanele FER ale turbo-codurilor de rat 1/3, [1, 15/13], pentru interleaver-e cu

N 3600.

Analiznd curbele din Fig. 3.8 i Fig. 3.9, am observat c atunci cnd lungimea de ntreesere crete, gradul de mprtiere devine factorul cel mai

important n analiza performanelor BER i FER, [KBN05, BAK04b]. Aadar,

pentru lungimi mici de ntreesere, interleaver-ele au un caracter bloc. n acest

caz, interleaver-ele R, TC, BLR au performane similare cu celelalte. Cel mai bun

interleaver este interleaver-ul TC. La o lungime de ntreesere egal cu 3600

aceste interleaver-e (R, TC, BLR) au cele mai slabe performane. n Fig. 3.8 se

poate observa c performanele interleaver-lor S cresc odat cu S, distana de

interleav-are minim. Deci, la un grad de mprtiere dat (deoarece toate sunt

interleaver-e aleatoare ele au acelai grad de mprtiere) aceast distan

reprezint o msur a performanelor.

Interleaverul P (recomandat de CCSDS, [CCSDS02]), are performane bune

la toate lungimile de ntreesere. Dar, cu creterea lungimii de ntreesere, au

performane mai sczute n comparaie cu interleaver-ele aleatoare.

Analiznd performanele interleaver-lor bloc-aleatoare BLR i BRL, pot fi

fcute urmtoarele observaii. Interleaver-ul BLR are performane similare cu ale

interleaver-elor bloc. Performanele interleaver-ului BRL sunt similare

Turbo coduri - 3

48

performanelor interleaver-lor S, avnd o distan minim comparabil.

Similaritile pot fi explicate innd cont de procedura de construcie. n

construcia interleaver-ului BLR lungimea permutrilor aleatoare a fost egal cu

jumtate din lungimea permutrilor aleatoare realizate n construcia interleaver-

ului BRL. Mai mult, n cazul interleaver-lui BLR, toate coloanele sunt permuate

n acelai fel. n construcia interleaver-lui BRL permutrile sunt realizate

independent de la linie la linie. n ciuda faptului c, la o lungime mare de

ntreesere (N>1000) interleaver-ul S, cu un S mare, este foarte bun, construcia

sa este dificil. n aceast analiz a fost utilizat doar un cod, [1, 15/13], dar

aceast concluzie este valabil pentru orice cod, [BAK04e]. Acesta este motivul pentru care interelaver-ul BRL propus este atractiv; are performane bune i o

construcie simpl.

Aadar, se pot trage urmtoarele concluzii. Am propus dou tipuri de interleaver-e,

interleaver-ul bloc aleator n linie i interleaver-ul bloc cu linii aleatoare, i am comparat

performaele lor, BER i FER, cu ale altor interleaver-e cunoscute n literatur. Analiza

performanelor recomand interleaver-ul BRL propus ca o alternativ la interleaver-ul S,

care este cel mai bun la lungimi mai mari de 1000 bii. Performanele interleaver-ului

propus, BRL, sunt foarte apropiate de cele ale interleaver-ului S, cu S maxim, dar

construcia noului interleaver este mai simpl. n simulrile realizate, deoarece TC-urile opereaz la mai puin de 1dB distan de limita teoretic, s-a cutat obinerea unei

precizii suficient de mari asupra curbelor BER/SNR (FER/SNR) n vederea unei

comparaii veridice, [BAK04c]

3.5 Algoritmi de decodare

Cuvintele de la ieirea unui codor convoluional sunt corelate i fiecare cuvnt este

funcie de m+1 blocuri de informaie. Pentru a decoda o secven binar alctuit din N

cuvinte, este necesar s se considere secvena recepionat n ansamblul su. La ieirea

codorului sunt posibile doar anumite secvene binare, ele corespunznd diferitelor ci ce

exist n trellis. Ca i pentru codurile bloc, decodarea unui cod convoluional n prezena

unui canal binar simetric va consta n a cuta n trellis, secvena binar (corespunztoare

unei ci particulare) cea mai apropiat de secvena recepionat. Aceast secven este

numit secvena cea mai probabil. Adoptnd acelai criteriu ca i pentru codurile bloc,

secvena emis cea mai probabil este cea care se gsete la distan minim

3.5 - Algoritmi de decodare

49

fa de secvena recepionat. Algoritmul Viterbi permite decodarea codurilor

convoluionale, cutnd secvena cea mai probabil din trellis, i este bine adaptat la

decodarea codurilor ce au lungimea de constrngere puin mai mare (tipic, K=7),

[WAD00]. Algoritmul Viterbi poate fi implementat att cu decizie hard ct i cu

decizie soft.

O variant a algoritmului Viterbi, este SOVA (Soft Output Viterbi Algorithm

algoritm Viterbi cu ieire soft), [HAH89]. Acest algoritm este folosit n special la

schemele cu coduri concatenate i anume n turbo coduri.

n afara utilizrii algoritmului SOVA, n turbo coduri se folosesc, ca i algoritmi de

decodare, algoritmii: MAP, Max-Log-MAP i Log-MAP.

3.5.1 Algoritmul Viterbi

3.5.1.1 Algoritmul Viterbi cu decizie hard

Pentru prezentarea acestui algoritm se consider un canal binar simetric (fr

memorie), intrarea decodorului fiind alctuit dintr-o secven de simboluri binare.

n fiecare moment dou ramuri, aparinnd la dou ci diferite, converg spre fiecare

nod al trellis-lui (Fig. 2.5). Din aceste dou ci una este mai probabil, altfel spus, se

gsete la cea mai mic distan Hamming fa de secvena recepionat, dect cealalt

cale. Distana fiind o funcional aditiv, n fiecare nod se pstreaz calea cea mai

probabil numit cale supravieuitoare. Dac se obin dou ci cu aceeai distan

Hamming, doar o singur cale este pstrat, alegndu-se n mod arbitrar una din cele

dou ci posibile, [GLJ96].

n general este dificil s se atepte ca toat secvena binar emis s fie recepionat

pentru a se ncepe operaia de decodare. De fapt, aceasta va introduce o ntrziere

important la decodare, i va fi necesar o memorie de talie foarte mare pentru a

memora toate cile supravieuitoare.

n practic, un decodor Viterbi are o memorie finit ce poate fi vzut ca o fereastr,

W, numit fereastr de decodare, ce pstreaz o poriune finit a trellis-ului. Observnd

derularea algoritmului Viterbi pn la momentul curent t=n, se poate remarca c, urcnd

suficient n timp, cile supravieuitoare converg aproape ntodeauna spre acelai drum n

t=n-W, Fig. 3.10.

Turbo coduri - 3

50

Fig. 3.10 Convergena supravieuitorilor spre o cale unic n t=n-4 (W=4).

Astfel, pentru a decoda elementul binar de informaie emis la t=n-W, rareori este

necesar s se observe secvena recepionat ncepnd de la t=n. Practic, memorarea

supravieuitorilor poate fi aadar limitat la un interval temporal de durat W, i astfel,

ntrzierea la decodare rmne finit pentru a decoda o secven infinit. n fiecare

moment t=n, decodorul Viterbi furnizeaz o decizie cu privire la elementul binar de

informaie prezent la intrare codorului la momentul t=n-W. W trebuie s fie suficient de

mare pentru a asigura o decizie corect asupra celui mai vechi cadru transmis. Durata

intervalului de timp necesar pentru obinerea unui drum unic este o variabil aleatoare.

Simulri pe calculator au demonstrat c durate de:

( )KW 54 , (3.17)

produc aproximri cu erori neglijabile comparativ cu o memorie infinit (W)

a decodorului, fapt pentru care decodoarele Viterbi practice au ferestre de

decodare dimensionate dup relaia (3.17).

3.5.1.2 Algoritmul Viterbi cu decizie soft

n paragraful anterior, s-a prezentat algoritmul Viterbi considernd c intrarea

decodorului a fost alctuit dintr-un ir de simboluri binare (decizii ferme). Codurile

convoluionale se comport bine n decodarea ponderat utiliznd algoritmul Viterbi.

n cazul decodrii ponderate intarea decodorului este n mod sigur constituit de o

secven de simboluri analogice. Dac se consider cazul unei transmisii pe un canal cu

zgomot aditiv alb i gaussian, aceste simboluri sunt gaussiene i necorelate, codiionnd

t = n-4 t = n-3 t = n-2 t = n-1 t = n

So=00

S1

Documents

Comunicatii mobile