UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO

Facoltà di Scienze della Formazione

Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria

Indirizzo Scuola dell’Infanzia

La concezione del numero naturale nei bambini in

età prescolare Tesi di Laurea di Relatore Bonsignore Benedetta Prof.re Spagnolo Filippo Matricola n° 0512914

ANNO ACCADEMICO 2006/2007

1

INDICE

PREMESSA……………………………………………………… 3

CAPITOLO I………………………….…………………………. 5

1.1 Il numero………………………………………………….. 5

1.2 Analisi storico-epistemologica…………………………… 8

1.3 Le operazioni aritmetiche………………………………… 29

1.4 Gli approcci al numero naturale……………….………… 33

1.4.1 Approccio cardinale…………………………………… 33

1.4.2 Approccio ordinale…….……………………………… 35

1.4.3 Approccio ricorsivo…….……………………………… 36

1.4.4 Approccio geometrico…….…………………………… 37

CAPITOLO II: Evoluzione storica dei modelli delle abilità

matematiche……………………………………. 40

2.1 Come si percepiscono i numeri…………………………... 40

2.2 Il modello di Piaget……………………….………………. 43

2.3 Il modello neuropsicologico…………………………….... 47

2.3.1 Il modello cognitivo di comprensione e produzione

numerica e di calcolo aritmetico di McCloskey,

Caramazza e Basili…………………………………… 48

2.4 Karen Wynn, Gelman e Gallistel……………………..…. 50

2.5 Modello di Dehaene, di Butterworth e di Devlin ……... 52

CAPITOLO 3: Fase sperimentale…………………………........ 61

Premessa……………………………………………………… 61

3.1 Ipotesi sperimentale……………………………………… 62

2

3.2 Campione della fase sperimentale…………….………… 63

3.3 La metodologia……………………………………………. 63

3.4 Gli strumenti utilizzati………………………….………… 64

3.4.1 Analisi a priori delle strategie risolutive……………. 67

3.4.2 Analisi quantitativa dei dati sperimentali……..……. 68

- Analisi descrittiva……….………………………….. 69

- Riflessioni conclusive……………………………….. 72

3.5 II Ipotesi sperimentale…………………………………… 73

3.5.1 Analisi descrittiva dei dati…………………………… 76

CAPITOLO IV: La didattica della matematica nella scuola

dell’infanzia…………………………..………. 79

4.1 Che cosa significa “Fare matematica nella scuola

dell’infanzia”………………………………………………. 79

4.2 La teoria delle situazioni…………………………………… 81

4.2.1 Schema di una situazione a-ditattica …………………. 86

CONCLUSIONI……………………………..…………………….. 91

Allegato 1…………………………………………………………… 93

Allegato 2…………………………………………………………… 99

Allegato 3…………………………………………………………… 101

BIBLIOGRAFIA…………………………………………………… 102

SITOGRAFIA……………………………………………………… 104

3

PREMESSA

“Veramente ogni cosa che si conosce, reca un numero; infatti, è impossibile,

senza numeri, conoscere e capire con la ragione alcunché. L’Uno è il

fondamento di tutte le cose” Filolao (450 a.C.)

Il concetto di numero è frutto della storia dell’umanità, senza di esso è

impensabile concepire sia lo sviluppo del pensiero dell’Uomo che

l’evoluzione della civiltà.

I numeri sono un modo per ricercare la perfezione, un modo per avvicinarsi

all’armonia dei rapporti naturali.

L’idea di numero si può far risalire a circa 30000 anni fa, quando l’uomo

preistorico registrava quantità numeriche inizialmente con le dita e, nel

caso in cui non fossero sufficienti, formando mucchi di pietre o incidendo

tacche su ossa o bastoni.

Allo stesso modo un bambino, pur non conoscendo un sistema di

numerazione, opera un confronto, in base ad un principio di

corrispondenza, instaurando una relazione tra le dita della sua mano e gli

elementi che vuole contare.

J. Piaget aveva a lungo indagato su questo parallelismo tra asse evolutivo

storico ed asse filogenetico e numerose furono le ricadute didattiche delle

sue ricerche.

Il “contare” rientra nelle attività prematematiche che vengono svolte nella

scuola dell’infanzia; appartiene, quindi, all’esperienza prescolastica della

maggior parte dei bambini. L’apprendimento del concetto di numero,

tuttavia, non è un’impresa facile e, gli approcci al numero naturale sono

molteplici; nessuno è da considerarsi più importante dell’altro.

4

Il presente lavoro si pone il fine di indagare sulle concezioni spontanee del

numero naturale possedute dai bambini di 4-5 anni di età, secondo i diversi

approcci.

Nelle pagine che seguono vengono presentati i seguenti argomenti:

Nel primo capitolo si affronta l’analisi storico-epistemologica del

concetto di numero, gli approcci al numero naturale;

Nel secondo capitolo si analizza l’evoluzione storica dei modelli

delle abilità matematiche, precursore è stato sicuramente Piaget.

Successivamente, intorno agli anni settanta, Gelman e Gallistel fino

ad arrivare al modello neuropsicologico e al contributo degli studi di

neuroscienze con Dehaene, Butterworth e Devlin;

Nel terzo capitolo si affronta la fase sperimentale con la relativa

descrizione dell’ipotesi, del campione, della metodologia, degli

strumenti utilizzati, quindi, l’analisi a-priori e i comportamenti attesi

dai bambini e, infine, la tabulazione dei dati con la relativa analisi;

Nel quarto capitolo si affronta l’importanza della didattica della

matematica nella scuola dell’infanzia, con particolare riferimento

alla Teoria delle Situazioni di Guy Brousseau;

Infine si riportano le considerazioni conclusive che hanno favorito

una riflessione dell’analisi dei risultati raggiunti. Seguono gli allegati

e la bibliografia.

5

CAPITOLO I

1.1 IL NUMERO All’inizio l’uomo si è chiesto:

I NUMERI ESISTONO?

I numeri, quelle entità con le quali facciamo addizioni, sottrazioni,

moltiplicazioni, divisioni e quant'altro, esistono? ?

Già 2400 anni fa, circa, Platone si era posto il problema: che cosa esiste?

Ecco allora che considerava il concetto di dunamis (potenza) secondo il

quale esisterebbe tutto ciò che può (dunatai) compiere e subire un'azione.

Esisteranno quindi tutti gli enti materiali che ci circondano, ed è evidente,

perché possono allo stesso tempo compiere e subire azioni: ad esempio, il

cane corre e può essere accarezzato, quindi esiste. Ma con questa

definizione si è costretti ad ammettere anche l'esistenza di enti immateriali:

le idee, ossia quelli che noi definiamo oggetti del pensiero, dovranno avere

una loro esistenza proprio perché subiscono l'azione di essere pensati. Di

conseguenza, in qualche misura esisteranno anche i numeri come oggetto

del nostro pensiero..Invece, secondo Aristotele i numeri esistono, ma come

pure e semplici astrazioni: egli effettua un'importantissima distinzione tra

sostanza (ciò che per esistere non ha bisogno di null'altro all'infuori di sé) e

accidente (ciò che per esistere ha bisogno di una sostanza cui riferirsi). Così

la terra o il libro saranno sostanze proprio perché dotati di esistenza

autonoma, il blu o il marrone saranno accidenti perché potranno esistere

solo se abbinati ad una sostanza: il blu e il marrone di per sé, spiega

Aristotele, non esistono, bensì esistono libri blu e terra marrone. Gli

accidenti si trovano dunque ad avere un'esistenza che potremmo definire

"parassitaria", ossia totalmente legata ad una sostanza cui riferirsi. Per

quanto riguarda i numeri Aristotele non esita a collocarli tra gli accidenti: il

6

2 o il 3, di per sé, non esistono, bensì esistono gruppi di due o tre sostanze:

tre libri, due penne, due case...

Non è sbagliato dire che, in un certo senso, il numero è l'ultima cosa che

permane man mano che si tolgono a due o più oggetti le differenze: i due

libri hanno colori diversi, tolgo il colore; hanno scritte diverse, tolgo le

scritte; hanno dimensioni diverse, tolgo le dimensioni; alla fine, quando li

avrò spogliati di ogni cosa, resterà solo il numero: sono due.

Così ragiona Aristotele e così siamo portati a ragionare anche noi: non ci

sogneremmo mai di sostenere che il 2 o il 3 esistano di per sé senza

sostanze cui riferirsi. Tuttavia Platone, a differenza di Aristotele, sosteneva

l'esistenza dei numeri sganciata dalle sostanze: il 2 o il 3 per Platone

esistono non solo nelle cose materiali (sostanze) che ne partecipano (2 case,

3 gatti...), ma addirittura come enti a se stanti: se ho un gruppo di 6 libri

significa che esso partecipa all'idea del 6 (il numero ideale 6).

L'idea di numero è "universale": infatti,mentre gli oggetti sensibili sono

caratterizzati dal divenire e dal mutamento, soltanto delle idee si può

propriamente dire che sono stabilmente se stesse; proprio questa differenza

di livelli ontologici, ossia di consistenza di essere, qualifica le idee come

modelli rispetto agli oggetti sensibili corrispondenti. L’idea è dotata di

esistenza autonoma, né dipende per la sua esistenza dal fatto di poter essere

pensata; essa è ciò di cui gli oggetti sensibili partecipano. La partecipazione

all’idea, per esempio, di bellezza rende un determinato oggetto sensibile,

bello. Le idee hanno quindi una quadruplice valenza: 1) ontologica: i

cavalli esistono perché copiano l'idea di bellezza; 2) gnoseologica:

riconosco che quello è un cavallo perché nella mia mente ho l'idea di

cavallo; 3) assiologica: ogni idea è il bene cui tendere, lo scopo a cui

aspirare; 4) di unità del molteplice: i cavalli esistenti sono tantissimi e

diversissimi tra loro, ma l'idea di cavallo è una sola. .

7

Ora anche i numeri sono idee e hanno pertanto le prerogative delle idee:

così come quel cavallo è bello perché partecipa all'idea di bellezza, esso è

uno perché partecipa all'idea di uno; così come i cavalli materiali sono una

miriade, ma l'idea di cavallo è una, così anche i 3 scritti sulle lavagne o sui

fogli sono una miriade, ma l'idea di tre è una sola, da cui tutti gli altri tre

dipendono. I numeri sono sì idee come le altre, ma si tratta d’idee

particolarmente complesse tant'è che Platone non esita a collocarli su un

livello superiore: i numeri ideali, ossia le essenze stesse dei numeri, in

quanto tali, non sono sottoponibili ad operazioni aritmetiche. Il loro status

metafisico è ben differente da quello aritmetico, appunto perché non

rappresentano semplicemente numeri, ma l' essenza stessa dei numeri. I

Numeri ideali, quindi, costituiscono i supremi modelli dei numeri

matematici. Inoltre, per Platone i numeri ideali sono i primi derivati dai

Principi primi, per il motivo che essi rappresentano, in forma originaria e

quindi paradigmatica, quella struttura sintetica dell' unità nella molteplicità,

che caratterizza anche tutti gli altri piani del reale a tutti gli altri livelli.

Platone ha introdotto gli "enti matematici intermedi" per i seguenti motivi: i

numeri su cui opera l'aritmetica, come anche le grandezze su cui opera la

geometria, non sono realtà sensibili, ma intellegibili. Però, tali realtà

intellegibili non possono essere Numeri Ideali né Figure geometriche ideali

perché le operazioni aritmetiche implicano l'esistenza di molti numeri

uguali (pensiamo ad esempio ad un'equazione dove, per dire, il numero 6

può comparire diverse volte) e le dimostrazioni e le operazioni geometriche

implicano molte figure uguali e molte figure che sono una variazione della

medesima essenza (pensiamo a molti triangoli uguali e molte figure che

sono variazioni della medesima essenza, ossia triangoli di vario tipo:

equilatero, isoscele...). Invece, ciascuno dei Numeri Ideali (così come

ciascuna forma ideale) è unico, e inoltre i Numeri Ideali non sono operabili.

8

Quindi per Platone, gli enti matematici hanno caratteri "intermedi" fra il

mondo intellegibile e il mondo sensibile, ed in quanto sono immobili ed

eterni, essi condividono i caratteri delle realtà intellegibili, e cioè delle idee;

invece, in quanto ve ne sono molti della medesima specie, sono analoghi ai

sensibili. .

Il fondamento teoretico di questa dottrina sta nella convinzione

radicatissima in Platone della perfetta corrispondenza fra il conoscere e

l'essere, per cui ad un livello di conoscenza di un determinato tipo deve

necessariamente far riscontro un corrispettivo livello di essere. Di

conseguenza, alla conoscenza matematica, che è di livello superiore alla

conoscenza sensibile, ma inferiore alla conoscenza filosofica, deve

corrispondere un tipo di realtà che ha le corrispettive connotazioni

ontologiche. Certo oggi a noi la concezione di Platone sembra molto

distante e improbabile e preferiamo quella aristotelica, tuttavia sorge un

dubbio che rimette in gioco la teoria platonica: e se nessuno contasse più, i

numeri continuerebbero ad esistere? Con la definizione aristotelica, infatti,

essi esistono solo come processo di astrazione della mente umana e, se vi

fosse un improvviso annichilimento della realtà, sembra quasi che non

contando più nessuno i numeri debbano sparire, ma è evidentemente

ridicolo dire così. 2 + 2 = 4 è vero anche senza che io lo pensi e quindi pare

aver ragione Platone: i numeri hanno esistenza autonoma.

1.2 Analisi storico-epistemologica

Le origini

La matematica ebbe inizio dalla necessità di contare e di fissare in forma

duratura i numeri. Non è mai esistita una società che non abbia utilizzato

qualche forma di conteggio e che non abbia accompagnato una raccolta di

9

oggetti con gruppi di segni manipolabili, quali pietre, nodi, funi, segni

incisi come intagli su legno o su ossa. Si può parlare della protomatematica

che esisteva quando ancora non vi erano forme di registrazione scritta.

Le nozioni originarie collegate ai concetti di numero, grandezza e forma si

possono far risalire alle epoche più antiche in cui visse l’uomo.

Lo sviluppo del concetto di numero è stato un processo lungo e graduale e

la sua consapevolezza diventò col tempo così estesa e viva da far nascere il

bisogno di esprimere tale proprietà in qualche modo. Sicuramente

dapprima si utilizzò soltanto un linguaggio di segni; le dita di una mano

poterono facilmente venire usate per indicare un insieme di due o tre o

quattro o cinque oggetti, mentre il numero uno in un primo momento non

venne riconosciuto come vero numero. Usando le dita di entrambe le mani

si poterono rappresentare gruppi di oggetti contenenti fino a dieci elementi

e, combinando le dita delle mani con quelle dei piedi si poté giungere fino a

venti. Quando le dita si dimostrarono insufficienti , si usarono mucchi di

pietre per rappresentare una corrispondenza con gli elementi di un altro

insieme. Spesso l’uomo primitivo ammucchiava le pietre in gruppi di

cinque, poiché l’osservazione delle mani e dei piedi gli aveva reso familiari

i multipli di cinque.

Aristotele notò che l’uso, oggi diffuso, del sistema decimale non fu altro

che il risultato del fatto anatomico accidentale che la maggior parte di noi è

nata con dieci dita dei piedi e dieci dita delle mani.

Uno studio di parecchie centinaia di tribù di indiani d’America mostrò che

la maggior parte usava una base decimale e molti altri un sistema quinario-

decimale.

L’uomo preistorico inoltre registrava i numeri incidendo intaccature su un

bastone o su un pezzo di osso. L’osso di Ishango, ritrovato nell’area delle

sorgenti del Nilo (nord est del Congo) che risale a più di 20000 anni fa,

10

presenta delle incisioni che potrebbero indicare una primitiva conoscenza

della sequenza dei numeri primi. I segni sull’osso ishango consistono in

una serie di incisioni disposte su tre colonne distinte; la riga (a) contiene

quattro gruppi di incisioni, con rispettivamente, 9,19,21 e 11 segni. Nella

riga (b) ci sono quattro gruppi di 19,17,13 e 11 segni; la riga (c) ha otto

gruppi di incisioni di cui l’ultima coppia (6,3) è più ravvicinata, come lo

sono i numeri (8,4) e (5,5,10), a suggerire un ordinamento voluto in

sottogruppi distinti. De Heinzelin (1962), l’archeologo che collaborò allo

scavo dell’osso ishango, scrisse che l’osso “può rappresentare un gioco

aritmetico particolare, ideato da una popolazione che aveva un sistema

numerico in base 10 e aveva anche una conoscenza della duplicazione e dei

numeri primi”. Inoltre aggiunge dicendo che il sistema numerico ishango

avesse viaggiato raggiungendo il lontano Egitto e avesse influenzato

l’evoluzione di quello che fu il primo sistema decimale del mondo.

Secondo altri studiosi invece i segni sull’osso ishango costituiscono un

sistema di notazione sequenziale, cioè una registrazione delle diverse fasi

lunari.

ln Cecoslovacchia, circa 30000 anni fa, è stato trovato un osso di lupo che

presenta, profondamente incise, cinquantacinque intaccature, disposte in

due serie: venticinque nella prima e trenta nella seconda, divise in gruppi di

cinque. Era probabilmente la registrazione di un cacciatore del numero di

animali uccisi. Tali scoperte archeologiche forniscono una prova del fatto

11

che l’idea di numero è molto più antica di progressi tecnologici quali l’uso

di metalli o la costruzione di veicoli a ruote.

Solitamente si suppone che la matematica sia sorta in risposta a bisogni

pratici dell’uomo, ma ricerche antropologiche suggeriscono l’ipotesi che

l’arte del contare sia sorta in connessione con riti religiosi primitivi, e che

l’aspetto ordinale abbia preceduto il concetto quantitativo per il fatto che

nelle cerimonie rituali, vi era la necessità di chiamare i partecipanti

secondo un certo ordine. Inoltre tale origine indica la possibilità che sia

stata unica l’origine del contare, e in seguito si è diffusa ad altre regioni

della Terra; ciò è provato dal fatto della divisione rituale dei numeri interi

in dispari e pari, i primi considerati come maschili e i secondi come

femminili.

Il concetto di numero intero è uno dei più antichi concetti matematici e i

sistemi decimali sono stati il prodotto della matematica dell’età moderna.

Non ci sono dubbi che l’origine della matematica è più antica della stessa

scrittura e risale a un’epoca anteriore alle più antiche civiltà, ma non

bisogna commettere l’errore d’identificare l’origine della stessa alla civiltà

greca. In particolare si deve agli arabi l’uniformazione, in campo

matematico, delle tecniche di misurazione, che dai primordi egizi si sono

evolute per merito degli alessandrini; l’introduzione dell’1, cioè il sistema

numerico originario dell’India e che usiamo tuttora e, infine, l’introduzione

dell’algebra.

Erodoto sosteneva che la matematica avesse avuto origine in Egitto; infatti,

riteneva la nascita di questa disciplina per rispondere alla necessità di

misurare le terre dopo le periodiche inondazioni del Nilo. Anche per

Aristotele la matematica era nata nella Valle del Nilo perché i sacerdoti vi

trovarono l’agio per sviluppare la conoscenza teorica.

12

Matematica dell’Antico Egitto (2000 a.C. – 600 a.C.)

Sulla matematica egizia esistono due fonti maggiori e molte fonti minori.

La fonte di maggiore importanza e il più famoso e completo testo

matematico a noi noto è il papiro di Ahmes che risale al 1650 a.C., copia -

avverte lo scriba Ahmes che lo compose - di un esemplare più antico di tre

secoli. È anche conosciuto come il Papiro matematico Rhind, dal nome del

collezionista che lo acquistò nel 1858 donandolo poi al British Museum.

All'inizio del papiro si legge: “Regole per scrutare la natura e per conoscere

tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto”, e contiene tavole di calcolo

e 87 problemi ripartiti in vari gruppi, di natura pratica connessi con le

attività di ingegneria edile, di agricoltura, di amministrazione, di

approvvigionamento etc., esposti con intento didattico.

Il papiro è scritto in ieratico, la scrittura corsiva egizia, usata per scrivere

con pennello e inchiostro sui papiri, che si diffonde dal 2400 a.C. circa

accanto alla più antica scrittura monumentale geroglifica.

La seconda fonte principale è il Papiro di Mosca, scritto circa nel 1850 a.C.

e venne portato in Russia, nel Museo delle Belle Arti di Mosca verso la

metà del XIX secolo. Il Papiro di Mosca fu composto da uno scriba rimasto

sconosciuto, contiene venticinque problemi, e tra questi due risultati

notevoli per la matematica egizia: la formula del volume di una piramide

tronca a base quadrata e l’area della superficie curva di un emisfero. Sia il

Papiro di Ahmes che il Papiro di Mosca contengono una raccolta di

centododici problemi.

Il sistema di numerazione egizio è di tipo additivo con base decimale. Nella

scrittura geroglifica (pittorica), usata per iscrizioni su lapidi e monumenti, i

numeri vengono rappresentati tramite la giustapposizione di sette simboli

rappresentanti le potenze di 10, da 1 a 1000000. Non esiste lo zero, né

come segno né come spazio vuoto. Uno dei più antichi reperti con numeri

13

scritti in geroglifici è la cosiddetta mazza del faraone Narmer, risalente a

circa 3000 a.C, che commemora la conquista delle regioni del delta del

Nilo e in cui sono riportati alcuni grandi numeri: 120000 prigionieri,

400000 bovini e 1422000 capre, cioè i bottini di guerra del faraone Narmer.

Nella scrittura ieratica (simbolica) i simboli si semplificano notevolmente e

si formano nuovi simboli per indicare simboli ripetuti. I segni usati sono

ora più numerosi, ma permettono una scrittura più rapida dei numeri. Poi vi

è la scrittura demotica, un adattamento popolare della notazione ieratica.

Egizi - geroglifica

numerazione a base

decimale, additiva

14

Egizi - ieratica

numerazione a base

decimale, additiva

Nel periodo ellenistico gli studiosi dell’Egitto abbandonano l’antica lingua

adottando la greca, così da quel momento la matematica egiziana si fuse

con quella greca dando vita alla grande matematica ellenistica.

Matematica dell’antica Mesopotamia (1900 a.C. – 300 a.C.)

Conquiste matematiche più avanzate si trovano nei popoli della

Mesopotamia. La nostra conoscenza della matematica babilonese deriva dal

ritrovamento, risalente alla metà del XIX secolo, di più di 400 tavolette di

argilla. Scritte in carattere cuneiforme, la maggior parte è datata dal 1800 al

15

1600 a.C., e trattano argomenti che includono frazioni, algebra, equazioni

di secondo grado e tavole trigonometriche. La matematica babilonese

faceva uso di un sistema di numerazione posizionale sessagesimale (cioè a

base 60): con due simboli fondamentali, un cuneo verticale per le unità e

una parentesi uncinata per le decine, si rappresentavano i numeri da 1 a 59.

Per i numeri non si introducevano altri simboli, ma si affiancavano gruppi

di cunei come i precedenti per indicare le successive potenze del 60. Quindi

si tratta di un sistema posizionale per rappresentare i numeri (come quello

arabico in uso oggi in tutto il mondo) che differenzia i Babilonesi da

Egiziani, Greci e Romani. Ad esempio il numero costituito da tre gruppi di

due cunei verticali ( ) sta a indicare 2x602 + 2x60 + 2, ossia 2x3600 +

2x60 + 2 cioè 7322. Il sistema di spaziatura consentiva spesso di risolvere

le ambiguità di interpretazione dei raggruppamenti e delle eventuali

colonne vuote. Successivamente, ai tempi di Alessandro il Grande si

cominciò a usare un simbolo (due cunei obliqui) per indicare un posto

vuoto; questo simbolo svolgeva alcune funzioni del nostro zero, ma non

tutte: veniva usato fra colonne e mai per indicare colonne vuote alla fine

della sequenza; dunque bisognava dedurre dal contesto l'interpretazione

finale del numero.

Sumeri

numerazione

additiva

16

Babilonesi

numerazione

posizionale, a base

sessanta

Un testo di fondamentale importanza che risale al periodo babilonese

antico (1900 – 1600 a.C. circa) è la tavoletta Plimpton 322 che ha un

profondo significato matematico dal punto di vista della teoria dei numeri e

si ricollega a una forma embrionale trigonometrica.

Matematica greca (circa 550 a.C. – 400 d.C.)

La matematica greca ha avuto inizio con Talete di Mileto (624-546 a.C.) e

Pitagora di Samo (582-507 a.C.) che furono influenzati dalle idee della

matematica egiziana, babilonese e indiana. Pitagora fondò la scuola

17

pitagorica che diede importanti contributi alla geometria con la

dimostrazione del Teorema di Pitagora (già scoperto empiricamente da

egiziani e babilonesi) e alla teoria dei numeri. Per Pitagora i numeri

rappresentano il fondamento del Tutto; la stessa realtà può essere compresa

solo se la si riduce ad una quantità misurabile attraverso l’Aritmetica. Nella

tradizione pitagorica i Numeri si distinguono in intellettuali, esistiti da

sempre nella mente di Dio, e scientifici, che procedono dall’unità. Questi

ultimi sono pari, con proprietà divisibili e femminili, e dispari, indivisibili e

maschili.

Nella civiltà greca classica sono noti due principali sistemi di numerazione.

Il primo, più antico, è noto come attico ed è per molti aspetti simile a

quello in uso presso i Romani, faceva infatti, uso accanto ai simboli

fondamentali per l'1 e le potenze di 10 fino a 10000, di un simbolo speciale

per il 5, che combinato con i precedenti, dava altri simboli anche per 50,

500, 5000, 50000. Compaiono testimonianze di questo sistema a partire dal

V secolo al I secolo a.C., ma a partire dal III secolo a.C. l'altro sistema,

detto ionico o alfabetico, aveva preso il definitivo sopravvento. Questa

notazione si serve di ventisette simboli alfabetici (alcuni dei quali arcaici e

non più usati nella Grecia classica) per indicare le unità da 1 a 9, le decine

da 10 a 90, le centinaia da 100 a 900. Si usavano poi nuovamente le prime

nove lettere precedute da un apice in basso per indicare i multipli di 1000, e

per esprimere numeri ancora più grandi si ricorreva al simbolo (iniziale

di miriade) che indicava di moltiplicare per 10000 il numero che seguiva.

Ad esempio, la scrittura rappresenta il nostro 77.777.777.

18

Greci

numerazione a base

decimale, additiva

Successivamente con la fondazione ad Alessandria della Biblioteca e del

Museo, che raccoglievano le più grandi menti dell’epoca, si distinse l’opera

di Euclide (367-283 a.C.).

Gli Elementi di Euclide non sono soltanto la maggiore e più antica opera

matematica greca che ci sia pervenuta, ma costituiscono anche il più

autorevole manuale di matematica di tutti i tempi. L’opera fu composta

verso il 300 a.C., e da allora in poi fu copiata e ricopiata ripetutamente.

Si ritiene spesso, erroneamente, che gli Elementi di Euclide si limitino a

trattare argomenti di geometria. Il II e il V libro riguardano quasi

esclusivamente l’algebra, e il VII, l’VIII e il IX sono dedicati alla teoria dei

numeri.

Il termine “numero” per i greci si riferiva sempre ai numeri che oggi

chiamiamo numeri naturali, ossia ai numeri interi positivi.

Il libro VII si apre con una serie di ventidue definizioni che distinguono

diversi tipi di numeri – dispari e pari, primi e composti, piani e solidi – e

infine, definiscono un numero perfetto come “quello che è uguale alle sue

parti”.

In questi libri ciascun numero è rappresentato da un segmento, infatti,

Euclide indica un numero con AB, inoltre usa le espressioni “è misurato

19

da” e “misura”; ossia, un numero n è misurato da un altro numero m se

esiste un terzo numero k tale che n=km.

Il libro VII contiene due proposizioni che costituiscono una famosa regola

della teoria dei numeri, oggi nota come l’“algoritmo di Euclide” per trovare

il massimo comune divisore (la misura) di due numeri.

Fra le proposizioni successive troviamo formulazioni equivalenti a noti

teoremi dell’aritmetica, in particolare, la Proposizione 8 afferma che, se

an=bm e cn=dm, allora (a-c)n = (b-d)m. La Proposizione 24 afferma che, se

a e b sono primi rispetto a c, allora ab è primo rispetto a c. Il libro termina

con una regola (Proposizione 39) per trovare il minimo comune multiplo di

parecchi numeri.

Il Libro VIII si apre con una serie di proposizioni concernenti numeri in

proporzione continua (progressione geometrica) e quindi tratta alcune

semplici proprietà dei quadrati e dei cubi, terminando con la Proposizione

27: “Numeri solidi primi hanno l’uno con l’altro il rapporto che un numero

cubo ha con un numero cubo”, cioè se abbiamo un “numero solido”

ma*mb*mc e un “numero solido simile” na*nb*nc, allora il loro rapporto

sarà m3:n3, ossia staranno tra loro come un cubo sta a un cubo.

Il Libro IX, l’ultimo dei tre libri dedicati alla teoria dei numeri, contiene

molti teoremi che presentano un interesse particolare. Fra questi il più

famoso è la Proposizione 20: “I numeri primi sono più di una qualsiasi

assegnata moltitudine di numeri primi”, cioè Euclide dimostra che il

numero dei numeri primi è infinito. La dimostrazione è indiretta, cioè si

mostra, infatti, che l’ipotesi dell’esistenza di un numero finito porta a una

contraddizione.

La Proposizione 35 contiene una formula per la somma di numeri in

progressione geometrica: “Se tanti numeri quanti se ne vuole sono in

proporzione continua, e dal secondo e dall’ultimo si sottraggono numeri

20

uguali al primo, allora come l’eccesso del secondo starà al primo, così

l’eccesso dell’ultimo starà a tutti quelli che lo precedono”. Questa

proposizione equivale alla formula

1

12

21

11

... aaa

aaaaa

n

n −=

+++−+

La quale a sua volta è equivalente alla formula

raraS

n

n −−

=1

L’ultima proposizione del libro IX è la formula per i numeri perfetti: “ Se

tanti numeri quanti ne vogliamo, a cominciare dall’unità, vengono posti

continuamente in proporzione doppia fino a che la somma di tutti i numeri

non diventi un numero primo, e se la somma viene moltiplicata per l’ultimo

numero, il prodotto sarà un numero perfetto”.

Se Sn = 1+2+22+…+2n-1 =2n -1 è un numero primo, allora 2n-1(2n-1) è un

numero perfetto.

Gli antichi greci conoscevano i primi quattro numeri perfetti:

6,28,496,8128. Oggi sappiamo che tutti i numeri perfetti pari sono del tipo

euclideo, ma la questione dell’esistenza di numeri perfetti dispari è ancora

un problema irrisolto.

Infine, il Libro X degli Elementi che contiene 115 proposizioni, oggi viene

considerato un trattato sui numeri irrazionali.

I Romani

Nel sistema di numerazione romano, a base decimale, ci si serviva, come è

noto, anche di simboli speciali per indicare 5, 50, 500. Alcune antiche

epigrafi inducono a ritenere che i segni usati fossero inizialmente segni

speciali, forse di origine etrusca, che solo successivamente, in seguito a

21

successive trasformazioni, assunsero l'aspetto e furono identificati con le

lettere I, V, X, L, C, D, M. La scrittura dei numeri avveniva combinando

additivamente i segni precedenti. Per agevolare scrittura e lettura si ricorse

in alcune epoche e facoltativamente a un sistema sottrattivo, già utilizzato

dagli Assiri, che ha traccia anche nelle forme verbali, come ad esempio

“undeviginti”, stessa cosa di “decem et novem”: un simbolo posto alla

sinistra di un simbolo di quantità maggiore viene sottratto, così IX e VIIII

indicano entrambi il numero nove.

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Romani

numerazione a base

decimale, additiva

Matematica medioevale

Matematica delle civiltà precolombiane

Il periodo classico della civiltà Maya si situa tra il 200 e l’800 d.C.. Gli

sviluppi della matematica Maya furono dovuti principalmente ai loro studi

astronomici; essi usarono un sistema posizionale a base venti nel quale

appariva anche lo zero che non fu considerato un numero, ma solo una

cifra. La civiltà Inca (1400-1530) invece sviluppò un sistema di

numerazione a 10 e, per indicare i numeri, usavano i cosiddetti quipu, un

insieme di lunghi fili paralleli. Ogni filo rappresentava una potenza di dieci

e il numero di nodi la cifra in quella posizione.

Matematica cinese (200 a.C. – 1200)

Non conosciamo molto della matematica cinese perché nel 212 a.C.

l’imperatore Qin Shi Huang ordinò il rogo di tutti i testi scritti e, inoltre,

gran parte delle opere erano scritte sul bamboo, molto deperibile. Del

periodo Shang (1500 a.C. – 1027 a.C.) il più antico reperto di interesse per

22

la storia della matematica consiste in un guscio di tartaruga su cui sono

incisi dei numeri che usano una specie di notazione decimale; ma non

sappiamo con precisione quando questo sistema, che era il più avanzato al

mondo in quel periodo, fu inventato. Dopo il rogo dei libri, durante la

Dinastia Han (206 a.C.- 221 d.C.) furono prodotti vari lavori matematici; il

più importante di questi è I nove capitoli dell’Arte matematica che consiste

in una raccolta di 246 problemi riguardanti l’agricoltura, il commercio,

l’ingegneria e altro materiale riguardante i triangoli rettangoli. Zu

Chongzhi (V secolo) calcolò il valore di π con sette cifre decimali esatte.

I matematici cinesi svilupparono una particolare predilezione per i quadrati

magici e svilupparono il Triangolo di Pascal o di Tartaglia che si trova nel

frontespizio del trattato Ssu Yuan Yu scritto dal matematico Zhu Shijie.

23

Il triangolo di Pascal nella numerazione moderna:

Matematica indiana (400 – 1500)

La civiltà indiana, più antica di quelle cosiddette ”classiche” greca o

romana è già documentata nel periodo dei costruttori di piramidi egizie

(3000-2000 a. C.). Ma di questo periodo non ci rimangono testimonianze

per quanto riguarda la matematica. Sebbene un'attività matematica dovesse

essere ben sviluppata già molto prima, i primi testi che ci sono giunti

risalgono al V secolo d. C.

Non è ancora chiaro esattamente dove e quando si sia sviluppato il sistema

di notazione decimale posizionale che poi attraverso gli arabi si è diffuso in

Europa. Tale sistema è utilizzato nell'opera del matematico indiano

Aryabhata, vissuto intorno al 500 d.C., la più antica che ci è pervenuta se si

eccettuano frammenti sparsi di matematici anteriori, dove però manca

ancora l'uso di un simbolo zero. Testimonianze di scritture in forma

posizionale si registrano anche prima, mentre per avere datazioni sicure di

forme complete in cui compare anche il simbolo zero bisogna arrivare al IX

secolo d.C..

24

Nel VII secolo Brahmagupta scoprì l’identità e la formula che portano il

suo nome e per primo nel Brahma-sphuta-siddhanta usò senza riserve lo

zero e il sistema decimale. È da una traduzione del testo che i matematici

arabi accettarono il sistema decimale.

L'idea di usare un numero limitato di simboli a cui dare valore diverso a

seconda della posizione occupata può essere, secondo alcuni studiosi,

arrivato agli indiani dalla conoscenza diretta o tramite i greci, del sistema

sessagesimale babilonese. Gli indiani avrebbero allora iniziato ad utilizzare

solamente i primi 9 simboli del loro sistema decimale in caratteri Brahmi,

in uso dal III secolo a.C. Questi simboli assumono forme un po' diverse a

seconda delle zone e dei periodi, ma sono comunque questi che gli arabi

più tardi utilizzarono e che dalla forma araba sono passati in Europa fino

alla forma definitiva resa uniforme dalla stampa nel XV secolo.

Indiani (XI sec.

d.C.)

numerazione

posizionale, a base

decimale

Quindi il nostro sistema numerico prende il nome di sistema indiano o

indo-arabo, nome che indica l’origine indiana e la sua trasmissione per

opera degli arabi. Inoltre il sistema numerico indiano fu introdotto in

occidente da Leonardo il Pisano detto “il Fibonacci” che con la

pubblicazione del suo trattato “Liber Abaci” del 976 d.C. fece conoscere un

metodo di calcolo, fino allora sconosciuto in Europa, che aveva appreso dai

mercanti Arabi con i quali teneva rapporti commerciali. Il Liber Abaci

descriveva le “nove figure indiane” assieme al segno zero, che in arabo

25

veniva chiamato “zefiro”. È da zephirum e dalle sue varianti che sono

derivati i nostri termini di “cifra” e “zero”.

Matematica persiana e araba (750-1400)

L’Impero islamico nell’VIII secolo d.C. entrò in contatto con la matematica

ellenistica e con quella indiana e nella seconda metà del secolo, Baghdad

divenne un nuovo centro del sapere a livello mondiale. Thabit ibn Qurra

fondò una scuola di traduttori che tradusse in arabo le opere di Archimede,

Euclide, Apollonio e molti testi indiani.

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850 circa), un matematico

persiano, scrisse importanti volumi sul sistema di numerazione indiano e

sul metodo per risolvere le equazioni. La parola “algoritmo” deriva dal suo

nome e “Algebra” dal titolo della sua opera più importante Al-Jabr wa-al-

Muqabilah. Al-Khwarizmi introdusse anche il sistema decimale nel mondo

arabo, ed è considerato da molti studiosi il fondatore dell’algebra moderna.

Ibn Qurra studiò i numeri amicabili; altri sviluppi alla materia furono

apportati da Abu bakr al-Karaji (953-1029) nel suo trattato al-Fakhri.

XVI, XVII, XVIII, XIX e XX secolo

Nell’Europa del Cinquecento, e in particolare in Italia, si diffuse un forte

interesse per l’algebra. In questo periodo si cominciarono ad accettare i

numeri negativi chiamati “falsi”. Niccolò Tartaglia fu uno dei più

importanti matematici del periodo e autore di una traduzione degli Elementi

di Euclide in italiano.

Nel XVII la matematica europea ricevette un forte impulso. Gli uomini di

scienza iniziarono a riunirsi in Accademie o società, favorendo così lo

sviluppo delle tecniche matematiche.

Pierre Fermat (1601-1665) fu uno dei matematici più produttivi del secolo

che oltre ad occuparsi di geometria, diede un enorme contributo alla Teoria

dei numeri; introdusse i numeri primi di Fermat, congetturò diversi teoremi

26

come il teorema sulle somme di due quadrati. Il teorema di Fermat ci

permette di classificare i numeri primi in due categorie: quelli che sono e

quelli che non sono la somma di due quadrati.

Nel XVIII secolo, Leonhard Euler (1707-1783) chiamato Eulero, uno dei

più grandi matematici di tutti i tempi e importante teorico dei numeri, fornì

una dimostrazione dell’infinità dei numeri primi, dando inizio alla teoria

analitica dei numeri. Inoltre, dimostrò molti teoremi lasciati indimostrati da

Fermat e introdusse la funzione phi di Eulero.

Goldbach (1690-1764) enunciò la sua famosa congettura tutt’oggi irrisolta

che afferma che ogni numero pari eccetto 2 è esprimibile come somma di

due numeri primi.

Un altro importante matematico del periodo fu Adrien-Marie Legendre

(1752-1833) che congetturò il metodo dei minimi quadrati

indipendentemente da Gauss. Fu anche un brillante teorico dei numeri:

dimostrò l’ultimo teorema di Fermat per il caso n=5, congetturò il Teorema

dei numeri primi.

Nel XIX secolo conosciuto come L’età dell’oro della matematica,

nacquero le prime società matematiche. Nella seconda metà del secolo il

centro per gli studi matematici si sposta da Parigi a Gottinga dove

risiedevano matematici come Gauss, Riemann e Dirichlet.

Gauss (1777-1855) dopo aver dimostrato nel 1799 il teorema fondamentale

dell’algebra, si occupò di teoria dei numeri, pubblicando nel 1801 le

Disquisitiones Arithmeticae. La teoria dei numeri, in questo secolo, vide

l’introduzione di nuovi concetti sempre più legati ai metodi analitici.

Nelle Disquisitiones Gauss introduceva l’aritmetica modulare, il concetto

di intero gaussiano e congetturò indipendentemente da Legendre il metodo

dei minimi quadrati e il teorema dei numeri primi che mette in relazione la

distribuzione di questi con la funzione logaritmica.

27

Dirichlet (1805-1859) che alla morte di Gauss prese il suo posto

d’insegnante dimostrò il teorema secondo il quale in tutte le progressioni

aritmetiche si trovano infiniti numeri primi, usando complessi metodi

analitici.

Il lavoro più importante nella teoria dei numeri fu quello di Riemann

(1826-1866), il successore di Dirichlet nella cattedra di matematica a

Gottinga che in un articolo del 1859 introdusse la funzione zeta di

Riemann, egli capì il collegamento di questa con la distribuzione dei

numeri primi.

Joseph Liouville (1809-1882) dimostrò nel 1844 l’esistenza di numeri

trascendenti.

Nella seconda metà del secolo si iniziò a cercare di definire logicamente il

concetto di numero. Weierstrass e Dedekind (1831-1916) definirono il

concetto di numero reale partendo da quello di numero naturale e di

numero razionale.

Frege (1848 – 1925) definì il concetto di numero naturale su basi logiche,

definizione che si basava sul concetto di cardinalità di un insieme. La

definizione di Frege di numero cardinale di una data classe, sia essa finita o

infinita, è la classe di tutte le classi che sono simili alla classe data ( simili

nel senso che gli elementi delle due classi possono essere messi in

corrispondenza biunivoca). Questa definizione apparve per la prima volta

nel 1884 in un libro famoso, I fondamenti dell’aritmetica.

Giuseppe Peano (1858 – 1932), matematico italiano, introdusse cinque

assiomi che descrivevano il concetto di numero naturale in modo

assiomatico. Gli assiomi di Peano, formulati nel 1889 negli Arithmetices

principia nova methodo exposita, sono:

1) Zero è un numero;

2) Se a è un numero, il successivo di a è un numero;

28

3) Zero non è il successivo di nessun numero;

4) Due numeri, i cui successivi sono uguali, sono essi stessi uguali;

5) Se un insieme S di numeri contiene zero e contiene anche il

successivo di ogni numero contenuto in S, allora ogni numero è

contenuto in S.

L’ultimo postulato è l’assioma d’induzione.

Dedekind definì per primo l’infinità di un insieme come il fatto che un suo

sottoinsieme potesse essere messo in corrispondenza biunivoca con esso.

Partendo da questo lavoro Georg Cantor (1845 – 1918) iniziò a studiare gli

insiemi infiniti, scoprendo che i numeri interi sono tanti quanti i numeri

razionali (ossia i due insiemi hanno la stessa potenza) ma che l’insieme

infinito dei numeri reali è più grande di quello dei razionali. Congetturò poi

che non vi fossero altre potenzialità di infinito tra questi due insiemi. La

congettura è chiamata l’ipotesi del continuo. Anche se queste scoperte

generarono scetticismo nella comunità dei matematici, le idee di Cantor

sono alla base della moderna teoria degli insiemi.

Nel XX assistiamo a una moltiplicazione di teoremi e scoperte

matematiche.

Nel 1901 Bertrand Russel (1872 – 1970) espose, in una lettera a Frege, il

cosiddetto paradosso di Russel che metteva in discussione la sua

formulazione della teoria degli insiemi e dunque della matematica. Questa

scoperta portò Ernst Zermelo e Adolf Fraenkel a riformulare la teoria su

basi assiomatiche. Anche Russel cercò parallelamente di rifondare la

matematica su degli assiomi, e insieme a Whitehead (1861-1947) scrisse

Principia Mathematica. Il fallimento di queste impostazioni assiomatiche

(anche di quella di Peano), fu decretato nel 1931 da Godel (1906-1978) con

il suo famoso teorema di incompletezza di Godel, secondo il quale in ogni

29

sistema assiomatico coerente esistono proposizioni indecidibili, che non

possono essere né dimostrate né confutate.

Nel XX secolo anche la teoria dei numeri ricevette un grande impulso;

Srinivasa Ramanujan (1887-1920), il genio indiano del XX secolo,

dimostrò molti teoremi e formule, introdusse la funzione mock theta.

Atle Selberg (1917-2007) e Paul Erdos (1913-1996) dettero nel 1949 una

dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi.

Nel 1994, dopo anni di lavoro, Andres Wiles dimostrò l’Ultimo teorema di

Fermat, usando molte tecniche di algebra moderna.

1.3 Le operazioni aritmetiche

Una delle caratteristiche principali del sistema di numerazione indo-arabico

è quella di poter eseguire, senza l'aiuto di strumenti e con procedimenti

relativamente semplici e veloci, calcoli scritti (e dunque controllabili

successivamente). L'abilità nel far di conto viene spesso indicata come uno

dei fattori che contribuirono ad una rapida espansione e supremazia nel

commercio dei mercanti Toscani.

Gli algoritmi che apprendiamo a scuola per eseguire addizioni, sottrazioni,

moltiplicazioni e divisioni e che sembrano rigide regole immutabili (“Si fa

così”) hanno una storia fatta di tentativi e di accorgimenti diversi, anche

dovuti ad esigenze diverse (velocità, sicurezza, semplicità ...) che ha

origine nell'India del VI secolo d.C. e prosegue nel contributo di

matematici arabi e persiani del Medioevo fino al Rinascimento europeo ed

in particolare italiano.

• Addizione

L'addizione veniva effettuata già in India in maniera molto simile a quella

odierna; l'idea fondamentale è quella dell'incolonnamento e l'esecuzione

30

delle somme a partire dalla colonna delle unità con eventuale riporto. Nel

Liber abaci e in molti trattati d'abaco il risultato veniva scritto sopra e non

sotto gli addendi.

• Sottrazione

Per la sottrazione accanto ad un procedimento che è sostanzialmente il

nostro, troviamo anche un modo detto per complemento; consiste nel

sommare a partire dalla colonna delle unità la cifra del minuendo con il

complemento a 10 della cifra del sottraendo nella stessa colonna e, scritte le

unità del risultato, procedere poi analogamente con la colonna subito a

sinistra con l'accorgimento che se la somma parziale trovata nella colonna

precedente non supera 10 si deve calcolare non il complemento a 10 ma il

complemento a 9.

• Moltiplicazione

La moltiplicazione è l'operazione per la quale troviamo la maggior varietà

di metodi, che anche graficamente assumono aspetti molto diversi tra loro e

ai quali gli abachisti assegnarono i nomi più fantasiosi. L'attuale metodo

veniva detto in Toscana per biricucolo forse dal nome di certe crostate di

albicocche che lo schema a quadretti presente nei testi più antichi poteva

ricordare. Probabilmente per lo stesso motivo lo stesso metodo veniva

invece indicato come per schacchiere a Venezia e per organetto a Verona.

Si tratta comunque di un metodo molto antico, già usato in India.

Nel Liber abaci Fibonacci espone un metodo detto per crocetta noto agli

indiani come moltiplicazione fulminea perché, una volta acquisito, è un

metodo molto rapido tanto che viene ancora oggi usato dai campioni di

calcolo mentale.

31

Un algoritmo che riduce al minimo le possibilità di errori, perché i possibili

riporti si hanno solo in sede di addizioni che seguono una serie di semplici

moltiplicazioni a una cifra, è quello detto in Italia a gelosia e noto già agli

indiani e poi agli arabi come a caselle o a reticolo. Nel procedimento

moltiplicando e moltiplicatore si scrivono lungo due dei lati di un

rettangolo diviso in caselle, a loro volta divise a metà lungo la diagonale,

entro cui si scrivono decine e unità dei prodotti incrociati delle singole cifre

di moltiplicando e moltiplicatore e poi si somma lungo le diagonali.

Gelosia è il nome della grata posta a protezione delle finestre e dunque,

come si legge ad esempio nel trattato di Francesco Feliciano, Scala

grimaldelli: “Moltiplicare per gelosia over per graticola si è per certa

similitudine di quelle che si mettono alli balconi, over finestre, perché le

donne non si vedano s'elle non vogliono. Il qual si fa al modo del

quadrilatero, eccetto che a quello si teneva le decene, e a questo non si

tiene. Ma ogni cosa si mette giù, fatto la figura, come vedi qui da canto”.

Ecco uno schema di moltiplicazione a gelosia, tratto dall'Aritmetica di

Treviso. La moltiplicazione eseguita è 934 per 314, (da porre in alto e a

destra della griglia) il cui risultato, 293276, si legge di seguito al margine

sinistro e basso della griglia stessa:

32

Il quadrilatero era un altro metodo molto comune, esposto anche nel

Liber abaci. Questo è lo schema relativo alla stessa moltiplicazione

precedente, tratto sempre dall'Aritmetica di Treviso:

Inoltre vi è un metodo alla francese detto anche a calice o coppa o tazza o

bicchiere per la forma dello schema, rovesciato rispetto a quello che viene

altrove indicato come a piramide.

• Divisione

Per quanto riguarda la divisione, il procedimento che noi utilizziamo ha

raggiunto l'attuale forma nel XV secolo ed è detto a danda probabilmente

perché una volta ottenuta una cifra del quoziente, il dividendo deve dare

una cifra da collocare accanto al precedente resto. Si trovano, e tuttora si

insegnano, due varianti, a danda lunga e a danda corta a seconda che si

scriva o no la sottrazione che porta di volta in volta al resto.

Prima del XV secolo la divisione veniva eseguita con un metodo di origine

indiana che gli abachisti medioevali chiamavano a galera o a battello, per

la somiglianza che vedevano nella disposizione delle cifre nello schema

risolutivo, con una nave a remi. Questo metodo anche se più laborioso e

meno sicuro della danda venne usato fino al XVII secolo.

33

1.4 Gli approcci al numero naturale

“Dio creò i numeri naturali, tutto il resto è opera dell’uomo” diceva

Kronecker, riconoscendo che il concetto di numero è una realtà

estremamente complessa. Esso è la base della matematica; infatti, alla

parola “matematica” si associa comunemente la parola “numeri” e alla

parola “numeri” si associa subito che servono per contare: 1,2,3,4,5,……..,

sono quelli che ci diventano subito familiari fin dall’inizio della scuola e

ancora prima.

Il contare è stato con ogni probabilità uno dei primi processi “matematici”

che l’uomo ha sviluppato. La sua conquista è una questione troppo

articolata perché l’insegnante possa sottovalutarla. L’idea di numero è

complessa e questa complessità richiede un approccio che si avvale di

diversi punti di vista senza trascurarne né privilegiarne alcuno.

I vari approcci al concetto di numero naturale, proposti tra l’Ottocento e il

Novecento, sono:

Approccio cardinale;

Approccio ordinale;

Approccio ricorsivo;

Approccio geometrico.

1.4.1 Approccio cardinale

L’approccio cardinale considera il numero di oggetti contenuti in un

insieme non attraverso un conteggio di questi, ma mediante un confronto

con altri insiemi. Così, ad esempio, il numero cardinale “cinque” di un

insieme viene determinato dalla corrispondenza degli elementi con il

numero delle dita di una mano.

I presupposti logici che garantiscono una corretta acquisizione del concetto

di numero naturale secondo l’approccio cardinale sono le attività di:

34

• Classificare;

• Mettere in relazione;

• Effettuare partizioni secondo relazioni di equivalenza.

L’approccio cardinale si sviluppa dunque attraverso l’uso della

corrispondenza biunivoca per il confronto tra insiemi e la conseguente

caratterizzazione di insiemi equipotenti.

La semplicità di quest’approccio, privilegiato dall’insiemistica, viene oggi

contestata da molti; infatti, se dal punto di vista matematico potrebbe essere

accettata la conclusione a cui erano pervenuti i bourbakisti, secondo cui il

numero cardinale era prioritario e quindi più semplice di quello ordinale,

dal punto di vista didattico non è così. Infatti, l’acquisizione dell’aspetto

cardinale è funzionale alla comprensione del “tanti quanti” e quindi,

dall’intuizione del principio di invarianza. La comprensione del principio

d’invarianza è un momento determinante nel processo cognitivo del

bambino perché segna il passaggio da una visione fortemente egocentrica

ed irreversibile della realtà ad una visione relativa delle cose attraverso la

quale comincia a farsi strada la reversibilità del pensiero. Gli studi condotti

da Piaget mostrano che i bambini tra i cinque e i sette anni incontrano

difficoltà nell’accettare che alcune quantità continue (acqua e altri

liquidi,..) e discontinue (insieme di monete, di palline,…) conservano la

stessa entità se sono disposte in maniera differente. Secondo Piaget la

conquista del principio è un’importante tappa nell’evoluzione del pensiero

che diventa “reversibile” e quindi, capace di operazioni logiche.

Quindi, la comprensione dell’aspetto cardinale del numero viene raggiunta

dal bambino attraverso la comprensione dell’irrilevanza dell’ordine e

dell’invarianza rispetto alle disposizioni spaziali.

Per il raggiungimento della comprensione e dell’uso consapevole

dell’approccio cardinale si possono proporre le seguenti attività:

35

Formare insiemi;

Rappresentare insiemi e individuare relazioni di appartenenza;

Individuare l’insieme vuoto, l’insieme unitario e il sottoinsieme di un

insieme;

Individuare relazioni fra insiemi;

Confrontare insiemi;

Riconoscere e costruire insiemi equipotenti;

Intuire l’astrattezza dei criteri per la formazione dei gruppi numerici.

1.4.2 Approccio ordinale

Alcune ricerche sperimentali hanno dimostrato invece che i bambini

acquistano la nozione di numero sotto forma di sequenza ordinata e solo

più tardi sotto forma di quantità.

È la concezione ordinale secondo cui il bambino determina il numero di

oggetti contenuti nell’insieme non con un confronto, ma contando “uno,

due, tre, quattro, cinque” per cui l’ultimo numero pronunciato è anche il

numero cardinale dell’insieme.

I presupposti operativi che garantiscono un’acquisizione corretta del

concetto di numero naturale secondo l’approccio ordinale sono le attività

di:

• Confrontare;

• Mettere in relazione;

• Ordinare.

L’approccio ordinale si sviluppa attraverso l’uso della relazione d’ordine

che consente di confrontare due numeri e di decidere, nel caso in cui siano

diversi, quale dei due è maggiore. Quindi le basi teoriche dell’approccio

ordinale sono la relazione d’ordine e il principio di induzione.

36

Mentre nell’aspetto cardinale il numero è visto sotto forma di quantità,

nell’aspetto ordinale è visto sotto forma di sequenza ordinata. L’uso

consapevole di relazioni spazio-temporali (davanti-dietro, prima - dopo)

determina il controllo della relazione d’ordine e prepara alla comprensione

dell’idea di successore e di predecessore.

Per il raggiungimento della comprensione e dell’uso consapevole

dell’approccio ordinale si possono proporre le seguenti attività:

Usare consapevolmente i termini davanti-dietro, prima - dopo, subito

prima-subito-dopo,

Riconoscere ed applicare relazioni d’ordine di carattere estensivo e

temporale;

Confrontare quantità;

Stabilire una relazione d’ordine fra due numeri usando i simboli >, =,

<;

Ordinare i numeri da 0 a 9;

Conoscere ed utilizzare la linea dei numeri.

1.4.3 Approccio ricorsivo

Non va dimenticato che il numero naturale è anche collegato con il

concetto di ricorsività. Il bambino che conta quante volte riesce a saltare a

piedi uniti, quanti quadretti disegna in fila, quante volte riproduce un

suono, ripete un’operazione e contemporaneamente tiene conto di quante

volte la sta riproducendo.

I risultati di ogni singola operazione vengono accumulati ed il bambino

adopera il numero per valutare il risultato di quest’accumulo che continua

fino a quando egli è in grado di contare o ripetere l’operazione.

Quest’approccio si fonda sulle successioni e le regole che consentono la

costruzione delle successioni stesse; esso si contraddistingue per le qualità

37

dinamiche, costruttive e di essenzialità che possiede e, per l’impostazione

interdisciplinare che lo caratterizza.

Le successioni che entrano in un primo momento nell’organizzazione

mentale del bambino sono le successioni temporali; successivamente si

svilupperanno nello spazio attraverso giochi di movimento individuali o

collettivi. Si tratta di successioni finite ma con la possibilità di poter trovare

sempre ancora un altro elemento dopo l’ultimo.

Nell’approccio ricorsivo si rinuncia a dire che cosa è un numero naturale

ma si precisa come funziona il sistema dei numeri naturali, basandosi

sull’idea del successivo.

Questo approccio offre anche l’opportunità di preparare l’idea di funzione

che è importante sia come idea portante della costruzione matematica ma

anche della formazione del pensiero.

Per il raggiungimento della comprensione del numero naturale attraverso

l’approccio ricorsivo si possono proporre le seguenti attività:

Usare consapevolmente i termini davanti-dietro, prima-dopo, destra-

sinistra;

Riconoscere e continuare un ritmo grafico cromatico;

Individuare sequenze e scoprire serie ascendenti e discendenti;

Intuire che la serie naturale dei numeri si forma con la successiva

aggiunta di un’unità;

Realizzare serie numeriche ascendenti e discendenti;

Consolidare l’intuizione del “+1” come funziona che fa nascere la

serie dei numeri naturali.

1.4.4 Approccio geometrico

L’approccio geometrico è connesso con la tradizione geometrica greca,

tradizione che è fondamento del patrimonio culturale collettivo.

38

L’approccio geometrico presuppone un approccio al numero dal punto di

vista della misura.

Infatti, saper rispondere a domande del tipo: “quante matite ci sono nel

banco?” è diverso dal rispondere a domande del tipo “quanta acqua c’è

nella bottiglia?” o “quanta sabbia hai adoperato per costruire il castello?”

Nella prima situazione l’alunno può contare, mentre invece la capacità di

rispondere al secondo gruppo di domande presuppone un approccio al

numero di tipo geometrico.

È necessario che il bambino sappia trovare un’unità di misura, ad esempio

un bicchiere, iterarla contando il numero dei travasi realizzati e, nel caso in

cui la grandezza da misurare non sia stata esaurita, suddividere l’unità di

misura. Il numero viene così collegato a unità di misura.

Naturalmente misurare è molto più complesso che contare, di conseguenza

richiede maggiore consapevolezza da parte dei bambini e l’intervento

didattico deve agire nella direzione di non disperdere o ignorare l’aspetto

percettivo legato alla misura. Attraverso attività mirate bisogna rafforzare

ed estendere tutte le operazioni mentali sottese all’attività di misura. In

particolare, l’itinerario di lavoro per far conseguire al bambino tale

concetto è articolato in tre fasi distinte:

1. Attraverso il confronto diretto;

2. Attraverso il confronto indiretto con campioni arbitrari;

3. Attraverso il confronto indiretto con le unità di misura

convenzionali.

Per il raggiungimento della comprensione e dell’uso consapevole del

“numero dimensionato” si possono proporre le seguenti attività:

Riconoscere ed applicare relazioni d’ordine: invitare l’alunno

a mettere in ordine gli oggetti dal più piccolo al più grande o

secondo il peso, la quantità;

39

Operare confronti di quantità;

Anche attraverso i regoli in colore: ogni numero misura una

lunghezza che varia a seconda del colore del regolo. I regoli

sono una buona rappresentazione pratica dell’approccio al

numero tramite la misura;

Operare confronti fra grandezze.

Tutti gli approcci che portano all’acquisizione del numero naturale non

sono da intendersi come strade autonome e separate. Infatti, quando si deve

rispondere alla domanda “quanti sono” è necessario contare gli oggetti

(aspetto cardinale) e nello stesso momento in cui si contano, si vanno

ordinando (aspetto ordinale) e nella conta si procede aggiungendo uno in

più (aspetto ricorsivo).

40

CAPITOLO II

EVOLUZIONE STORICA DEI MODELLI DELLE ABILITÀ

MATEMATICHE

2.1 Come si percepiscono i numeri

Tutti siamo concordi nell’affermare che la realtà numerica circondi la

persona. Non è altrettanto noto quali siano i meccanismi che permettono al

bambino di apprendere questo universo fatto di simboli e segni. Quindi, è

fondamentale definire come avviene questo processo.

Come punto di partenza si può dire che la percezione del numero deriva da

una maturazione intellettuale, uno sviluppo che assegna ad ogni stadio un

preciso percorso di riconoscimento simbolico matematico. Ciò che deve

essere appreso è il ragionamento matematico, quale espressione di

concettualizzazioni che stanno alla base di ogni discorso numerico. Il

simbolo dell’uguale, ad esempio, per l’adulto può apparire tanto naturale

quanto la sua percezione, eppure fin tanto che il bambino non ha ben chiaro

quale sia l’implicazione logica derivante da quel determinato simbolo, cioè

l’equiparare due entità reali, non avrà la possibilità di elaborare altre idee

come la grandezza, la minoranza e la maggioranza, le quali prevedono una

maggiore difficoltà logica.

L’importanza di un opportuno riconoscimento da parte del bambino del

concetto di numero non si dimostra solo nell’elaborazione di operazioni,

come il sommare o il sottrarre, poiché la persona, attraverso

l’appropriazione e l’uso dei numeri, esprime la sua natura logico-razionale.

Per la percezione del numero e il successivo ragionamento matematico

sono individuabili quattro fasi: la prima che si colloca verso i due anni di

età, è chiamata fase pre-numerica, in cui il bambino ha il compito di

apprendere le parole e il loro significato al fine di una propria produzione

41

verbale. Qui si attivano meccanismi cerebrali fondamentali per la

percezione del numero e delle grandezze fisiche. Dopo aver superato questa

fase, si incontra una seconda fase detta genesi del numero e della logica in

cui si gettano le basi per una logica matematica che avrà il ruolo di far

comprendere quello che Riemann descrive come calcolo superiore. Qui la

persona traduce i simboli, cioè i numeri, in significati specifici, in

rappresentazioni concettuali. In questa fase le capacità operative ed

operazionali si legano a quelle linguistiche al fine del miglioramento sia

dell’espressione verbale che dell’assimilazione di concetti come:

corrispondenza, accoppiamento, ordinamento. Questo stadio da una parte

permette al bambino di valutare i numeri come espressione quantitativa,

dall’altro prepara la strada all’ingresso di una futura concezione del numero

visto come idea e non più come essenza reale e concreta.

Segue la terza fase, quella della conoscenza del numero in cui si percepisce

l’idea andando oltre la semplice grandezza fisica percepita dai sensi, i

concetti appresi assumono un’altra prospettiva, nel senso che il bambino

non considera più solo la quantità, ma quella quantità che di volta in volta

si trova a dover relazionare e che trasforma e plasma a seconda

dell’oggetto.

Nella quarta ed ultima fase, a cui i bambini giungono tra i 5 e gli 8 anni, si

attua un processo di conservazione nel quale si sedimenta l’idea di quantità

a cui si aggiunge la logica-razionale. Il concetto di conservazione da una

parte è perno per un corretto apprendimento dell’insieme dei numeri

(conservazione semplice), dall’altro si relaziona con la logica matematica,

descritta da Russel (conservazione complessa). Infatti, comprendere che

una data quantità rimane costante, anche dopo molteplici trasformazioni,

purché quello che si aggiunge sia uguale a quello che si sottrae, è

un’operazione poco memorizzabile. In questo caso subentra l’intuito

42

matematico, rintracciabile in quella conservazione complessa che permette

una relazione tra le entità numeriche.

Il concetto di conservazione è legato allo stadio di appartenenza di ogni

singolo bambino e quindi, diviene fondamentale il suo riconoscimento al

fine di produrre un percorso che non presenti bruschi salti. Inoltre,

riconoscere nello stadio pre-numerico quali parole il bambino è in grado di

percepire è importante quanto la produzione stessa, al fine di determinare

una maturazione significativa.

Un ulteriore passo in avanti, nel processo di apprendimento del numero,

oggi è costituito dalle neuroscienze, che Goldberg definisce “anima del

cervello”. Grazie all’apporto delle neuroscienze nel campo educativo, la

percezione del numero si può descrivere come attività cerebrale e, più

specificatamente, come dinamica del lobo frontale sinistro dove risiede la

parte logico-razionale, il quale risulta essere codificatore e recettore di ogni

entità numerica. Nello stesso tempo questa porzione encefalica è adibita

anche al riconoscimento delle grandezze di tali numeri grazie a una sorta di

righello mentale numerico, dove ogni numero viene collocato in base alla

sua grandezza per mezzo di una logica che prevede la collocazione di un

numero a sinistra di quello più grande dello stesso.

È importante che l’insegnante prenda coscienza del fatto che questo sapere

influenzerà in maniera definitiva tutto il campo di apprendimento.

In conclusione è doveroso dare ragione a Gardner (Gardner 1975) quando

scrive: “Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere la

matematica interessante a studenti e non, è quello di accostarla come se

fosse un gioco. A livelli superiori, specialmente quando la matematica è

applicata a problemi concreti, può e deve essere terribilmente seria. A

livello più basso, nessuno studente può essere motivato a studiare, per

esempio, la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la troverà bella,

43

interessante, o addirittura utile, se diventerà un fisico delle particelle

elementari”. Questa metodologia non attiverà quelle parti del cervello che

permettono l’apprendimento del numero?

Anche Peano un grande matematico diceva: “I calcoli sui numeri astratti

diventano più divertenti, se fatti sotto forma di giochi”. E prima ancora

Platone: “In Egitto sono stati inventati giochi aritmetici per i bambini, che

così imparano divertendosi con piacere. …. Così facendo i bambini

prendono confidenza con i numeri…. rendendo più vivace il loro modo di

ragionare”.

2.2 Il modello di Piaget

Piaget è considerato il fondatore dell’epistemologia genetica, scienza che

cerca di spiegare come il pensiero umano sia capace di produrre la

conoscenza scientifica, attraverso quali mezzi passa da un livello di

conoscenza meno elevato ad uno più elevato. Cerca di spiegare la

conoscenza scientifica sulla base della sua storia (filogenesi), sull’origine

dei concetti, delle operazioni, sulle quali si fonda. Piaget ricorre anche

all'ontogenesi, cioè allo studio dello sviluppo della conoscenza matematica,

fisica, logica ecc. nel bambino, nell'intento di cercare le radici della

conoscenza dalle sue forme più elementari fino al livello del pensiero

scientifico.

Un altro contributo significativo della teoria piagetiana è nell’aver

introdotto il concetto di readness che definisce l’idoneità

all’apprendimento. Tale concetto comporta un’implicazione fondamentale

riguardante il rapporto tra l’insegnamento e l’apprendimento, nel senso che

non è possibile insegnare contenuti di apprendimento che richiedono

determinate strutture cognitive di cui ancora il soggetto non dispone,

44

conseguentemente l’insegnamento deve tenere in alta considerazione il

livello di maturità conseguito dal singolo soggetto.

Piaget si è anche occupato della genesi del numero nel bambino; per lui le

abilità matematiche sono un’espressione dell’intelligenza che si sviluppa

attraverso l’interazione con l’ambiente e l’azione sulla realtà circostante.

L’acquisizione delle abilità matematiche dipende dall’acquisizione del

linguaggio e del pensiero operatorio concreto. Quindi, per Piaget la

capacità di numerare gli oggetti, e conseguentemente di compiere

operazioni con i numeri, non è solo il risultato di un apprendimento

scolastico, infatti, un bambino può affermare che due insiemi contengono

entrambi 5 elementi (e sembrerebbe saper contare fino a 5) e subito dopo

affermare che uno dei due insiemi ne contiene di più perché la fila è più

lunga, basandosi su un’evidenza percettiva fuorviante.

La sua tesi principale è che l’acquisizione del concetto di numero si

sviluppa per tappe successive, parallelamente al consolidarsi delle strutture

logiche, e che la sequenza dei numeri è la sintesi operatoria della

comprensione sia dell’aspetto ordinale che dell’aspetto cardinale, solo in

parte aiutata dall’apprendimento.

Per J. Piaget, il numero, a differenza di quanto afferma Russell, non è

basato esclusivamente sulle operazioni di classificazione, ma risulta da una

sintesi di due strutture: la struttura d'ordine e quella d’inclusione. Questa

sintesi di strutture logiche produce nuove proprietà che si possono

chiamare numeriche. Il numero risulta da un'astrazione delle qualità che

differenziano un elemento dall'altro. Quest’ astrazione rende un elemento

equivalente agli altri: 1 = 1 = 1 = 1 ...

Questi elementi possono essere classificati secondo le inclusioni:

(1) ⊂ (1+1)⊂ (1+1+1)⊂ (1+1+1+1) .....

45

ma nello stesso tempo, ordinati in serie. Ordinarli è il solo mezzo per non

contare due volte lo stesso elemento. Studiando lo sviluppo di questa

nozione nel bambino (ontogenesi) Piaget constata che a livello pre-

operatorio queste strutture sono relativamente indifferenziate mentre in

seguito (a livello operatorio) si assiste ad una differenziazione ed ad una

sintesi tra queste strutture.

Questa sintesi numerica si afferma molto progressivamente, dapprima per i

primi numeri (7-8) poi per numeri maggiori.

Quindi, secondo Piaget “ il numero è la sintesi tra classi e relazioni”, ciò

significa semplicemente che un insieme di elementi, per acquisire lo statuto

di quantità numerica, deve essere percepito, identificato, preso in

considerazione a partire dal numero di elementi che lo compone e essere

riconosciuto come più grande, più piccolo, di un altro in funzione di questo

stesso criterio. In altri termini deve essere classificato, messo insieme con

altri in funzione della sua numerosità e situato nella serie numerica in

funzione dello stesso criterio.

Per l’acquisizione del numero non è sufficiente solo riconoscere

l’equipotenza di due insiemi1 ma diventa fondamentale anche la

conservazione della quantità.

Piaget in tal senso ha condotto tanti esperimenti che hanno mostrato che

solo verso i 7 anni si può dare per scontato che i bambini hanno acquisito

l’invarianza della quantità e quindi, sappiano usare i numeri, nel loro

aspetto cardinale e ordinale. L’età intorno ai 6 anni è critica ai fini di questa

acquisizione, a questa età i bambini si trovano in un’area di “sviluppo

prossimale”, ed è per tale motivo che proprio il concetto di numero ha un

1 Piaget con l’esperimento dei gettoni rossi e blu ha dimostrato che a livello operatorio attraverso il metodo della corrispondenza termine a termine, viene riconosciuta l’equipotenza di due insiemi, indipendentemente dalla loro disposizione spaziale.

46

ruolo centrale nella continuità da costruire tra la scuola dell’infanzia e la

scuola primaria.

Questa teoria è un limite della teoria piagetiana; oggi sappiamo che Piaget

si è sbagliato, infatti, è vero che i bambini piccoli hanno molto da imparare

in aritmetica e che sono necessari anni perché le loro capacità concettuali si

approfondiscano, ma è altrettanto vero che non sono privi di capacità

numeriche prima di iniziare la scuola dell’infanzia e neppure al momento

della loro nascita.

Gli esperimenti che sono stati condotti da Piaget erano viziati e non

permettevano ai bambini di dimostrare quello di cui erano veramente

capaci. Per esempio, per quanto riguarda la prova classica di conservazione

dei numeri, nel 1967 nella rivista americana “Science”, Mehler e Bever

hanno dimostrato che i risultati dell’esperimento di Piaget cambiano

completamente a seconda del contesto e della motivazione dei bambini.

Mehler e Bever sottoposero i bambini a due serie di esperimenti, la

situazione classica con due file di biglie, una era corta, ma formata da sei

biglie, mentre l’altra, nonostante più lunga, era formata da quattro biglie.

Se si chiedeva, in quale fila ci fossero più biglie, la maggior parte dei

bambini di 3 e 4 anni sbagliava scegliendo la fila più lunga ma meno

numerosa. Nel secondo esperimento le biglie furono sostituite dalle

caramelle e, invece di fare domande complicate, gli sperimentatori si

limitarono a permettere ai bambini di scegliere una delle due file e di

mangiare le caramelle. I bambini sceglievano la fila con più caramelle

anche dopo averne modificato la lunghezza, dimostrando così la loro

competenza numerica. Inoltre nell’esperimento di Mehler e Bever i

bambini più piccoli, intorno ai due anni, superavano brillantemente sia la

prova con le biglie che quella con le caramelle. Sicuramente l’insuccesso

dei bambini più grandi nell’esperimento di conservazione delle biglie

47

corrispondeva a un calo momentaneo delle loro prestazioni, oppure come

sostiene Dehaene a una mancanza di maturazione della corteccia

prefrontale, la regione del cervello che ci permette di scegliere una strategia

senza lasciarci distrarre da qualcosa. Quindi, è chiaro che le prove

piagetiane non misurano le reali capacità del bambino.

Da allora sono stati fatti notevoli passi in avanti, anche se prima degli anni

Ottanta nessuna esperienza rimetteva veramente in dubbio il dogma

piagetiano secondo il quale i bambini molto piccoli erano sprovvisti del

concetto di numero. Successivamente invece sono state riscontrate capacità

numeriche anche in bambini con meno di sei mesi.

2.3 Il modello neuropsicologico

Negli ultimi anni il mondo dei numeri è divenuto oggetto di interesse di

diversi studi nell’ambito della neuropsicologia cognitiva e delle

neuroscienze.

Secondo gli studi condotti dalla neuropsicologia classica le abilità

numeriche sono totalmente indipendenti dalle funzioni intellettive, dalla

memoria e dal linguaggio.

Per la neuropsicologia dello sviluppo, grazie a studi con neonati e animali,

le abilità numeriche sono certamente innate. Dunque, le abilità numeriche

si sviluppano a partire da alcune abilità innate, subendo l’influenza di altre

funzioni cognitive.

Quindi, oggi numerosi ricercatori sostengono che in realtà, contrariamente

a quanto diceva Piaget, i bambini piccolissimi compiono operazioni di

conteggio, così come alcuni animali. Inoltre, i bambini si avvicinano

all’aritmetica ed al calcolo molto precocemente e non dopo aver acquisito

degli schemi cognitivi.

48

Il modello che impone questo tipo di approccio necessita

dell’approfondimento della componente strutturale, che consiste nella

struttura, organizzazione, architettura dei numeri e del calcolo e della

componente evolutiva, che consiste nell’evoluzione dei bambini e nel

modo in cui apprendono.

Grazie a tali studi, oggi siamo a conoscenza di tutto l’insieme di processi

che regolano le nostre capacità di riconoscimento e comprensione dei

numeri, e del loro utilizzo nell’esecuzione di operazioni, dalle più semplici

alle più complesse. A tal fine è fondamentale il modello di comprensione

numerica e calcolo aritmetico proposto da McCloskey, Caramazza e Basili.

2.3.1 Il modello cognitivo di comprensione e produzione numerica e di

calcolo aritmetico di McCloskey, Caramazza e Basili

Il modello di McCloskey, Caramazza e Basili elaborato nel 1985 prevede

l’intervento di due sistemi indipendenti nella risoluzione dei problemi

aritmetici: il sistema dei numeri e il sistema del calcolo. Fanno parte del

sistema dei numeri i processi di comprensione e di produzione numerica,

cioè riconoscere e riprodurre i simboli numerici o le parole che indicano i

numeri. Il sistema del calcolo comprende tutto l’insieme di conoscenze

necessarie per eseguire i calcoli aritmetici come: i nomi e la funzione dei

simboli operazionali, le procedure per l’esecuzione delle quattro operazioni

e i “fatti aritmetici”.

Quando presentiamo un numero a un bambino, egli deve attivare differenti

processi chiamati lessicali, di comprensione delle singole cifre che lo

costituiscono. Questi processi si modificano in funzione del formato in cui

viene presentata l’informazione; infatti, il numero può essere presentato in

forma fonologica verbale, in forma grafemica scritta e in forma di numero

arabo. Quando l’informazione viene presentata oralmente si accede al

49

sistema semantico, dove è depositato il significato relativo a quella

particolare sequenza di suoni. Se l’informazione viene presentata in forma

di parola scritta il bambino mette in atto un processo di comprensione di

lettura per risalire al corretto significato del numero. Infine, se

l’informazione viene presentata in forma di numero arabo bisogna attivare

il sistema di conoscenze relative al sistema dei numeri, per accedere al

significato del simbolo grafico corrispondente al numero.

Nel processo di comprensione dei numeri è importante anche la conoscenza

della sintassi numerica, cioè l’insieme di relazioni tra gli elementi (numeri

arabi o parole) che consentono di comprendere il numero nel suo

complesso. Ad esempio la sintassi numerica ci fa comprendere la

differenza tra 126 e 162 e la differenza tra 1005 e 1500.

Il corretto funzionamento del sistema dei numeri può essere valutato

mediante compiti di transcodifica come: il dettato dei numeri, la lettura di

numeri ad alta voce e, la traduzione in codice verbale, di numeri scritti in

codice arabo e viceversa.

Per quanto riguarda il sistema del calcolo esso si basa su tre tipi di

conoscenze:

1) La conoscenza dei simboli operazionali;

2) Dei fatti aritmetici;

3) Delle procedure delle quattro operazioni.

Naturalmente per svolgere correttamente le quattro operazioni, è necessario

che il bambino riconosca nelle diverse forme in cui può essere presentato, il

simbolo operazionale corrispondente a ciascuna operazione e di attivare

l’algoritmo che corrisponde all’operazione in oggetto. Inoltre si devono

attivare determinate procedure che, se erroneamente eseguite, influenzano

negativamente il risultato finale dell’elaborazione.

50

Alcune operazioni semplici possono essere eseguite in assenza di un vero e

proprio processo di calcolo, si tratta dei fatti aritmetici, cioè operazioni con

numeri compresi entro la prima decina. Un esempio sono le moltiplicazioni

comprese nella tavola pitagorica che, una volta apprese nel corso della

scuola primaria, vengono immagazzinate in memoria a lungo termine. Un

bambino che conosce la tavola pitagorica dire che 2*8 è uguale a 16 è un

fatto, un’informazione che recupera facilmente dal proprio magazzino di

memoria a lungo termine in assenza di un processo di calcolo.

Tutti i processi descritti sopra concorrono a formare nel bambino le

competenze aritmetiche.

2.4 Karen Wynn, Gelman e Gallistel

Il senso del numero, ne siamo ormai convinti è innato e, quindi,

indipendente dalla capacità di linguaggio.

Capita spesso di osservare che, di fronte a due mucchietti di caramelle, uno

piccolo e l’altro grande, un bambino pesca dal mucchietto più grande.

Rigorosi esperimenti dimostrano come il bambino venga al mondo con

meccanismi innati di percezione di una piccola numerosità, lo stesso senso

presente anche in alcuni animali.

La ricercatrice Karen Wynn ritiene che non solo i bambini, ma anche

alcune specie animali utilizzino lo stesso meccanismo: nella mente di

ognuno agisce un contatore emettitore di battiti che, a loro volta, sono

inseriti in un accumulatore quando si è in presenza di una nuova entità da

memorizzare. Nel 1992, nella sua tesi di dottorato al MIT in Massachusetts,

ha illustrato il comportamento di bambini di 5 mesi davanti a un teatrino di

marionette. Al bambino veniva presentato per qualche secondo un pupazzo,

nascondendolo successivamente con uno schermo; a questo punto, in

presenza del bambino, lo sperimentatore poneva un secondo pupazzo dietro

51

lo schermo. Una volta tolto lo schermo, le condizioni sperimentali

prevedevano la presentazione di 2 pupazzi (soluzione corretta) o di un solo

pupazzo (soluzione errata). Nei casi di soluzione errata i bambini

presentavano tempi di fissazione più lunghi, dimostrando di aspettarsi la

soluzione corretta con 2 pupazzi. Risultati analoghi si sono trovati anche

nella condizione 2-1, sottraendo il numero di pupazzi da quello atteso.

Con questo e altri metodi gli psicologi hanno dimostrato che i bambini

piccoli, persino nei primissimi giorni d’età, dimostrano il senso del numero,

naturalmente in relazione a pochissime unità.

Quindi, i bambini già nei primi mesi di vita posseggono abilità di tipo

matematico ed inoltre, come sostiene la Wynn, l’abilità di conteggio è il

prerequisito fondamentale dell’apprendimento matematico. I bambini,

infatti, imparano molto presto a recitare la filastrocca dei numeri,

generalmente i primi 10 o 20 numeri, ma non si tratta di un vero e proprio

conteggio in quanto il bambino non fa altro che imitare il comportamento

dell’adulto, memorizzando una lista di parole senza che esse abbiano

inizialmente un significato numerico preciso. Ma perché ci sia un vero e

proprio processo logico di conteggio, è necessario che il bambino rispetti i

principi del conteggio definiti da Gelman e Gallistel (1978), quali:

o Il principio dell’ordine stabile, il conteggio richiede una sequenza in

un ordine fisso;

o Il principio uno-a-uno, ad ogni oggetto corrisponde una sola

etichetta numerica;

o Il principio di cardinalità, l’ultimo numero contato corrisponde al

numero totale di oggetti contati;

o Il principio d’irrilevanza dell’ordine, gli oggetti possono essere

contati in qualunque ordine;

o Il principio di astrazione, qualunque cosa può essere contata.

52

Gelman e Gallistel affermano che questi principi si instaurano

spontaneamente in quanto l’abilità di contare è innata nell’individuo; ben

prima di imparare a contare ad alta voce quindi, i bambini sono in grado di

capire i principi concettuali che sottostanno il conteggio.

Sulla natura innata di tali abilità matematiche vi sono numerosi dibattiti;

diversi sono gli autori che pur condividendo l’importanza dei principi

definiti da Gelman e Gallistel sostengono che essi vengono appresi solo a

seguito della continua esposizione ai modelli adulti.

Una posizione diversa, che dirime la controversia “innato/appreso” è quella

di Sophian (1998), il quale ipotizza l’esistenza di una relazione dinamica

tra la conoscenza concettuale dei numeri e le attività con i numeri svolte dal

bambino: la conoscenza concettuale facilita lo svolgimento di attività

sempre più complesse che a loro volta innalzano il livello di conoscenza

del concetto di numero.

2.5 Modello di Dehaene, di Butterworth e di Devlin

Nel nostro cervello esistono speciali circuiti neurali funzionali alla

matematica. Questo significa che veniamo al mondo con un modulo

numerico, con informazioni codificate geneticamente che ci conferiscono

un’intuizione delle quantità numeriche. “Fin dalla nascita – afferma

Stanislas Dehaene nel suo libro, Il pallino della matematica – disponiamo

di un accumulatore interno in grado di valutare in modo approssimativo gli

oggetti che ci circondano”. Nuovi strumenti, disponibili soltanto da pochi

anni, come la camera a positroni, hanno finalmente consentito di

visualizzare l’attività cerebrale e di avviare nuovi studi sul cervello,

arrivando a localizzare anche i circuiti neurali della matematica.

La tesi di Dehaene è che il cervello umano possieda un meccanismo di

comprensione delle quantità numeriche, ereditato dal mondo animale, e che

53

questo lo guidi nell’apprendimento della matematica. Anche l’Homo

sapiens, come gli altri animali, viene al mondo con un’idea di numero.

Questo <senso dei numeri> presente anche negli animali è dunque

indipendente dalla capacità di linguaggio e possiede una lunga storia

evolutiva. I neuroni della corteccia parietale dei due emisferi entrano in

attività soltanto in presenza di numeri e restano sistematicamente silenziosi

davanti ad altre parole, quindi, l’intuizione dei numeri è saldamente

ancorata nel nostro cervello.

In particolare nel bambino la stima numerica, il confronto, il contare, le

addizioni e le sottrazioni semplici esistono spontaneamente, senza

un’educazione esplicita.

Il modello di Dehaene è detto “modello del triplo codice”, vi sono tre

diversi codici rappresentati in tre diverse aree cerebrali:

Processamento codice arabico (aree occipito-temporali ventrali

bilaterali);

Codifica verbale dei numeri (aree perisilviane sinistre);

Rappresentazione analogica delle quantità (aree intraparietali

bilaterali).

Inoltre per Dehaene ci sono due rappresentazioni esatte di numerosità:

1) Rappresentazione esatta di numerosità per piccole quantità

(subitizing), basato sulla percezione immediata della quantità,

che si evolve da 2-3 elementi nei bambini prescolari a 4-5

elementi negli adulti. Non è chiaro se questo sistema venga

coinvolto nei processi di enumerazione e calcolo e se sia in

relazione con i sistemi simbolici di rappresentazione dei

numeri.

2) Rappresentazione approssimata di numerosità anche per

grandi quantità, basato sulla rappresentazione della linea dei

54

numeri. Questo sistema viene gradualmente messo in relazione

con i sistemi simbolici di rappresentazione dei numeri per

l’enumerazione e il calcolo.

Quindi, il nostro cervello tratta in maniera diversa gli insiemi contenenti al

massimo tre elementi da quelli più grandi. Quando si chiede a soggetti

adulti di nominare il numero dei punti disposti a caso in un’immagine

mostrata loro, il tempo che impiegano per rispondere è quasi identico nel

caso di uno e due punti, ed è solo leggermente superiore per tre punti (poco

più di mezzo secondo). Oltre il tre, tuttavia, il tempo richiesto comincia ad

aumentare rapidamente. Al crescere del numero dei punti, cresce anche

quello degli errori. Dunque tutti ci comportiamo come, la tribù aborigena

dei Warlpiris, e cioè considerando solo tre possibilità: uno, due e molti, in

un sistema in cui il conteggio termina con il tre, limite oltre il quale

l’insieme viene semplicemente definito grande.

Il fatto che quando si superano i tre oggetti il nostro comportamento cambi

all’improvviso indica che il cervello si serve, nei due casi, di due

meccanismi diversi, che Dehaene, nel suo “The Number Sense”, presenta

con una serie di esperimenti molto interessanti. La percezione della

quantità per i numeri fino a tre è istantanea. Non contiamo ma ne

percepiamo immediatamente la presenza. Si tratta di una vera e propria

subitizzazione.

Anche i nostri 2 e 3 altro non sono che varianti grafiche, rispetto alla

notazione araba da cui discendono, di due e tre tratti orizzontali

sovrapposti. A partire dal 4, la notazione diventa simbolica e corrisponde

ad una capacità quasi esclusivamente umana di superare i limiti della

percezione immediata delle quantità numeriche.

Il tempo necessario per decidere la numerosità di un insieme aumenta in

modo lineare passando da tre a sei. Il fatto che in generale il cervello

55

manipoli gli insiemi contenenti non più di tre elementi mediante un

processo immediato, istintivo (e inconscio) trova ulteriori conferme negli

studi effettuati su pazienti con particolari lesioni cerebrali. Sebbene le

lesioni cerebrali spesso interessino vaste aree del cervello distruggendo

diverse facoltà mentali, a volte possono essere ben localizzate e avere uno o

due effetti molto specifici. In un caso, descritto da Dehaene, una paziente

era stata colpita da una lesione cerebrale che aveva cancellato la sua

capacità di contare e perfino di spuntare uno alla volta gli oggetti di una

serie. Tuttavia, se le si mostravano non più di tre punti sullo schermo di un

computer, la donna era ancora in grado di dire immediatamente quanti

fossero.

Quindi, più un numero è grande, più diminuisce la precisione della sua

rappresentazione mentale, e per indicare questa incertezza usiamo i numeri

approssimati.

Questi nuovi risultati sperimentali dimostrano che il cervello del bambino,

al momento della nascita non è una pagina bianca, come asserivano i

costruttivisti, e quindi, l’insegnamento precoce del numero sarebbe

dannoso perché il bambino non ne potrebbe comprendere il significato. “Il

cervello del bambino non è una spugna – sostiene invece Dehaene – è un

organo già strutturato che impara soltanto ciò che è in risonanza con le sue

conoscenze anteriori”. Come osservava lo stesso Locke nel 1689: “ Sono

molti quelli che sanno che 1+2 fa tre, senza aver mai riflettuto sugli assiomi

che lo dimostrano”.

“ È inutile dunque bombardare un giovane cervello di assiomi astratti. Mi

sembra che la sola strategia ragionevole per insegnare la matematica sia

quella che arricchisce progressivamente l’intuizione dei bambini, facendo

leva sul loro talento precoce per la manipolazione delle quantità e il

conteggio. Si comincerà con lo stuzzicare la loro curiosità con giochetti

56

divertenti; si passerà poi a esporre, a poco a poco, quanto siano utili le

scorciatoie che la notazione matematica simbolica permette, senza tuttavia

separala mai dall’intuizione quantitativa; infine, si introdurranno i sistemi

formali o assiomatici, sempre motivati da un’esigenza di semplicità. Si

tratta quasi di tracciare, nel cervello di ciascun allievo, la storia della

matematica e delle sue motivazioni” ( Dehaene, pag.268).

La teoria di Stanislas Dehaene trova grande approvazione negli studi del

neuropsicologo Brian Butterworth e in Keith Devlin, i quali partendo dalla

metafora dell’accumulatore di Dehaene elaborano altri concetti.

L’interesse di Brian Butterworth per il mondo dei numeri nasce quando

cominciò a occuparsi di pazienti un po’ particolari. La loro memoria era

normale, così come il linguaggio, ma non riuscivano a contare. Infatti, c’è

un’area particolare del cervello che è preposta alla gestione dei numeri,

perché i pazienti che hanno difficoltà a gestire i numeri presentano dei

danni in un’area della parte sinistra del cervello nota come il lobo parietale;

area molto lontana dai centri che si occupano del linguaggio e da quelli che

si occupano del ragionamento e della deduzione, processi che avvengono

nella parte frontale. Inoltre nella parte del cervello che si occupa dei numeri

esistono aree specializzate, ad esempio, una che gestiste la tabella delle

moltiplicazioni e un’altra che gestiste il riporto. Vi sono persone che

sbagliano soltanto in una di queste aree.

Da ciò Butterworth ha dedotto che esiste un’area del cervello specializzata

per i numeri, che chiama “Modulo Numerico”. Se il Modulo non funziona

bene, il soggetto è gravemente svantaggiato nella vita di tutti i giorni.

Il Modulo Numerico è la capacità posseduta dall’uomo di cogliere piccole

numerosità senza dover contare, è il nucleo innato delle nostre capacità

numeriche ed ha la funzione di classificare il mondo in termini di

numerosità, fino a un massimo di 4 o 5; se si desidera andare oltre tale

57

numerosità occorre ricorrere agli strumenti concettuali, perché la capacità

di saper usare correttamente gli strumenti matematici ci viene fornita dalla

nostra cultura. Gli strumenti concettuali si dividono in quattro categorie

principali:

Rappresentazioni che fanno uso di parti del corpo (dita delle mani,

dei piedi,..);

Rappresentazioni linguistiche (vocaboli speciali usati per contare);

Simboli numerici (simboli scritti speciali);

Rappresentazioni che fanno uso di aiuti esterni (incisioni di tacche,

calcolatrici,..).

Per Butterworth: “Siamo nati per contare. Abbiamo dei circuiti incorporati

che ci permettono di classificare il mondo in termini numerici. Perfino i

neonati percepiscono il numero delle cose”.

Le capacità numeriche dipendono da tre fattori: il nucleo centrale innato, le

conoscenze matematiche della cultura in cui viviamo, e la misura in cui

abbiamo acquisito tali conoscenze.

La base della matematica è rappresentata dal nostro senso della numerosità

e ciò non dipende dall’istruzione. I nostri antenati avevano questa capacità,

posseduta anche dagli animali, ma ciò che ci differenzia da loro sono due

competenze:

1. Siamo capaci non solo di distinguere la numerosità di un insieme

formato da quattro elementi da quella di un insieme di tre, ma siamo

in grado di

o Sperimentare la qualità astratta dell’essere quattro;

o Di riflettere su questa esperienza consapevole.

2. Siamo capaci di contare, ciò ci permette di enumerare oltre il quattro.

La combinazione del nostro senso innato con le due competenze è il

fondamento dalla matematica moderna.

58

Devlin a differenza di Butterworth e Dehaene affronta il problema

dell’innesto e della crescita della matematica simbolica sulla base delle

capacità cerebrali matematiche che sono sostanzialmente analogiche.

Anche per Devlin il pensiero matematico è un’abilità innata, che abbiamo

fin dalla nascita. Il senso dei numeri innato nei neonati è simile a quello

osservato nei ratti, nelle scimmie; Mark Hauser e i suoi colleghi

dell’Università di Harvard hanno, infatti, ripetuto sulle scimmie gli

esperimenti originali di Karen Wynn, ottenendo risultati simili. Ma fra tutte

le specie animali, solo gli esseri umani sembrano capaci di servirsi di

quest’abilità. L’uomo fin dalla nascita possiede la facoltà cerebrale

preposta al pensiero matematico che è la stessa che ci consente di usare il

linguaggio. Questa facoltà è il pensiero simbolico, definito da Devlin,

pensiero off-line, cioè la capacità che possediamo di formulare i

ragionamenti astratti, la capacità di cui abbiamo bisogno quando

formuliamo pensieri matematici.

Alla nostra capacità di fare matematica contribuiscono nove abilità mentali

che non sono tutte indipendenti le une dalle altre. Queste abilità sono:

Il senso del numero, insieme ad altre specie di animali gli esseri

umani hanno un senso del numero che è innato e non deve essere

appreso. Il senso del numero non richiede i numeri e si trova anche

nei bambini molto piccoli; infatti, se mettiamo di fronte a un

bambino due mucchietti di caramelle, uno piccolo e l’altro più

grande, sicuramente egli sceglierà il mucchietto più grande. Il

bambino non ha bisogno di contare le caramelle per capire quale dei

due mucchietti ne contiene di più. Ma per i bambini, il senso del

numero è ancora più sorprendente. Nel 1992 Karen Wynn ha

dimostrato che i bambini di cinque mesi, non soltanto hanno il senso

del numero, ma sanno che 1+1 fa due, che 3-2 fa uno e conoscono

59

tutta l’aritmetica, l’addizione e la sottrazione, per i numeri 1,2 e 3. In

seguito, altri psicologi hanno dimostrato che i neonati di due giorni

possiedono la stessa abilità.

La capacità numerica, richiede i numeri, soltanto gli esseri umani

hanno questa abilità, tranne alcuni casi come gli scimpanzé e le

grandi scimmie che dimostrano una certa conoscenza dei numeri.

Infatti, se si pone uno scimpanzé di fronte al teatrino delle marionette

e gli si fanno vedere le stesse cose, questo si comporta un po’ come

il bambino piccolo, proposto da Karen Wynn. Gli animali che

sembrano avere il miglior senso del numero, oltre agli esseri umani,

sono gli uccelli. I numeri in sé dipendono dal linguaggio, lo

psicologo Stanislas Dehaene ha verificato che una persona ricorda i

numeri nella lingua in cui li ha imparati.

La capacità algoritmica, è una sequenza specifica di passaggi che

portano ad un particolare obiettivo, è l’equivalente, per il

matematico, della ricetta per cucinare una torta.

Le prime tre abilità mentali sono i principali e necessari ingredienti per

fare dell’aritmetica.

La capacità di destreggiarsi con l’astrazione, è una capacità che il

cervello umano ha acquisito quando ha acquisito quella di usare il

linguaggio. Quindi, la ragione per cui moltissime persone hanno

difficoltà con la matematica è dovuta all’incapacità di applicare

quell’abilità alle astrazioni matematiche.

La percezione della causa e dell’effetto, abilità acquisita in età

precoce che conferisce a chi la possiede un vantaggio in termini di

sopravvivenza.

60

La capacità di costruire e seguire una concatenazione causale di

fatti o eventi, capacità esclusiva degli esseri umani acquisita dopo i

primi anni di vita.

La capacità di ragionamento logico, capacità di costruire e seguire

un ragionamento logico, collegata alla precedente abilità.

La capacità di ragionare in termini di relazioni, gran parte della

matematica si fonda sulle relazioni tra oggetti. Il ragionamento sulle

relazioni matematiche esistenti tra oggetti matematici non è molto

diverso dal ragionamento sulle relazioni interpersonali fra esseri

umani.

La capacità di ragionamento spaziale, qualunque creatura che si

muove deve possedere questa abilità, è essenziale per la

sopravvivenza di molte specie. È un’abilità che è alla base della

geometria.

Le nove abilità descritte sopra combinandosi fra loro ci consentono di fare

matematica.

Per Devlin la matematica rende visibile ciò che è invisibile; la matematica

non è solo ragionamento, ma il più delle volte è creatività e fantasia.

61

CAPITOLO III

FASE SPERIMENTALE

Premessa

I bambini iniziano molto presto a fare esperienze relative ai numeri con

funzioni e significati diversi e già nel periodo della scuola dell’infanzia li

sanno distinguere, denominare, contare, usare in diversi contesti.

Lo scopo dell’insegnante deve essere quello di rendere consapevole

l’attività del contare e di far comprendere gradualmente gli usi e le funzioni

che il numero può svolgere.

Per favorire ciò è necessaria una didattica legata ad esperienze ludiche,

perché attraverso i giochi è possibile rilevare le conoscenze e le

competenze dei bambini.

Il gioco è l’attività principale dei bambini, è grazie adesso che i bambini

sviluppano molteplici competenze: imparano a risolvere problemi, a

superare ostacoli che via via si presentano, ad orientarsi nello spazio, a

mettere in relazione oggetti ed elementi, a fare ipotesi e congetture, ad

operare confronti di quantità e a sperimentare tutti gli aspetti del numero

(cardinalità, ordinalità, ricorsività, misura).

È fondamentale costruire, fin dai primi anni di scuola, un’immagine della

matematica positiva e stimolante, per “Suscitare simpatia nei riguardi delle

attività a carattere matematico e … favorire una bella immagine di tutto

ciò che riguarda la matematica”2.

Grazie al gioco si possono favorire situazioni significative di

apprendimento per gli alunni e contribuire all’immagine di una matematica

dal volto umano.

2 Bruno D’Amore- Aglì, L’educazione matematica nella scuola dell’infanzia. Lo spazio, l’ordine, la misura. Milano: Juvenilia.

62

Nel seguente capitolo vengono presentati l’ipotesi sperimentale, verificata

sul campo; le soluzioni sottese ad un determinato ragionamento e le

strategie messe in atto dagli alunni delle sezioni A e B dell’I.C. “Renato

Guttuso” di Palermo relative alle schede proposte; la metodologia utilizzata

e l’analisi a-priori dei comportamenti attesi.

3.1 Ipotesi sperimentale

IPOTESI DI PARTENZA

Focalizzare l’attenzione su ciò che il bambino conosce del numero e

avviarlo verso la concezione pluralistica di esso.

L’apprendimento del concetto di numero non è un’impresa semplice. Per

conquistare questa abilità, percezione, parola, azione e pensiero si

intrecciano in modo dinamico e complesso, in un processo lento, che

assume forme e meccanismi diversi, a seconda dei soggetti interessati, della

loro età e della loro esperienza. Gli approcci al numero naturale sono

molteplici e nessuno è da considerarsi più importante dell’altro. L’idea di

numero è molto complessa e per tale motivo ritengo di particolare

importanza seguire la linea della pluralità degli approcci che deve essere

favorita dall’insegnante.

IPOTESI SPERIMENTALE IPOTESI GENERALE I Rilevare attraverso la somministrazione di

schede, le intuizioni spontanee sul numero naturale possedute dai bambini

di 4-5 anni di età, secondo i diversi approcci.

II Se i bambini hanno acquisito le diverse funzioni del numero: numero

cardinale, ordinale, ricorsivo e numero –misura, sono in grado di risolvere

63

situazioni problematiche con le operazioni aritmetiche (addizione e

sottrazione).

IPOTESI ALTERNATIVA Presenza di concezioni errate da non

consentire ai bambini di argomentare e di attivare i loro processi di

ragionamento.

IPOTESI NULLA L’inesistenza del concetto di numero secondo la

pluralità di approcci non consente ai bambini l’esecuzione delle schede e

conseguentemente la risoluzione di situazioni problematiche.

3.2 Campione della fase sperimentale

Per la sperimentazione sono state coinvolte due sezioni A e B della scuola

del’Infanzia dell’I.C. “Renato Guttuso” di Palermo, durante l’anno

scolastico 2006/2007, nel periodo compreso tra Febbraio e Aprile 2007.

I bambini coinvolti sono stati 42 di età compresa tra i 4 e i 5 anni

(precisamente 12 bambini di 4 anni e 30 di 5 anni).

Il campione esaminato appartiene ad un contesto socio-culturale medio.

3.3 La metodologia

La metodologia è un aspetto importantissimo da non trascurare durante la

fase sperimentale.

Premesso che un apprendimento è sempre il risultato dell’interazione

contemporanea con un ambiente fisico, con un contesto sociale e con

l’ambito individuale, i bambini sono stati invitati, in un primo momento, a

lavorare individualmente e successivamente a verbalizzare ciò che avevano

fatto.

64

Ciò ha consentito ai bambini di socializzare le loro idee, a rispettare il

proprio turno, quindi ha favorito il rispetto delle regole.

La socializzazione delle esperienze è importantissima poiché

l’apprendimento avviene soprattutto dal confronto di esperienze e se queste

vengono vissute da più sensi si crea una maggiore consapevolezza della

conoscenza.

3.4 Gli strumenti utilizzati

La scelta dello strumento è indispensabile in una ricerca perché deve

consentire l’osservazione oggettiva dei fenomeni e la loro misurazione

adeguata.

Quindi, nello scegliere uno strumento, è importante valutare non solo la sua

intrinseca efficacia, ma anche la possibilità e l’opportunità del suo impiego

rispetto a ciò che si vuole osservare.

Lo strumento deve essere valido, cioè servire per misurare proprio ciò che

s’intende misurare e fedele, cioè che non modifichi la sua capacità di

misurazione.

A tal fine, gli strumenti scelti per la sperimentazione sono stati le schede e

l’analisi a-priori.

La scelta della scheda è stata guidata dall’idea che essa ci consente di

raccogliere informazioni, perché interroga i bambini sui concetti portanti

dell’argomento che ci interessa verificare.

Le schede proposte sono coerenti con il target di riferimento, le condizioni

socio-culturali di provenienza degli alunni e le loro capacità attentive

generali. Ciò è stato possibile grazie all’osservazione partecipata delle

attività didattiche sia scolastiche che extrascolastiche degli alunni e dei

momenti di progettazione a cui ho preso parte.

65

Le schede realizzate hanno lo scopo di verificare l’ipotesi sperimentale

formulata e quindi di rilevare le intuizioni sul numero naturale possedute

dai bambini secondo la pluralità degli approcci.

Le schede così strutturate sono state consegnate ai bambini una per volta

rispettando il loro tempo di esecuzione.

L’obiettivo della prima scheda è quello di operare corrispondenze tra

oggetti, simboli e quantità. Vi sono disegnati quattro insiemi, dei quali solo

due sono equipotenti e i bambini, devono associare il simbolo numerico

alla quantità, scriverlo nel riquadro colorato e unire gli elementi dei due

insiemi che hanno lo stesso numero di elementi. Inoltre viene chiesto al

bambino di disegnare nel riquadro bianco tanti oggetti quanti sono gli

elementi contenuti nel rispettivo insieme.

L’obiettivo della seconda scheda è quello di associare numeri e quantità. I

bambini devono contare le bolle di sapone dei pagliacci, colorarle e

collegarle con una linea al numero corrispondente.

Nella terza scheda vi sono sei insiemi e i bambini sono invitati a mettere in

corrispondenza, con le frecce, numeri e insiemi.

Nella quarta scheda si invitano i bambini a riconoscere e continuare

l’attività rispettando il ritmo. Ogni ritmo ha una sua caratteristica strutturale

e inoltre, nel concetto di ritmo è implicita l’idea di successione.

Il concetto di numero è fondato sul ritmo.

Nella quinta scheda i bambini devono colorare il percorso dell’ape

ghiottona di miele che partendo da un fiore ne trova sempre uno in più

nell’aiuola successiva. Questa scheda è fondamentale affinché i bambini

intuiscano che la serie naturale dei numeri si forma con la successiva

aggiunta di un’unità.

Nella sesta ed ultima scheda, i bambini devono ordinare le matite colorate

dalla più corta alla più lunga. È implicito il concetto di misura, infatti, i

66

bambini devono riconoscere e applicare una relazione d’ordine poiché

devono mettere in ordine delle matite in base alla loro dimensione (dalla

più corta alla più lunga).

Per ogni scheda presentata, il bambino è invitato a formulare il proprio

modello implicito, verbalizzare le proprie strategie, corrette e non,

argomentare e difendere ed usare un linguaggio comprensibile da tutti, solo

così l’errore diviene una tappa indispensabile nel processo di costruzione e

maturazione della conoscenza.

Le schede strutturate, devono a tal fine, condurre i bambini a rivedere i loro

ragionamenti e formulare le strategie.

Un altro strumento, da non trascurare, utilizzato durante la

sperimentazione è stato l’analisi a-priori.

L’analisi a-priori di una situazione didattica è un momento molto

importante del controllo sperimentale. Essa è l’insieme delle

rappresentazioni epistemologiche, delle rappresentazioni storico-

epistemologiche e dei comportamenti ipotizzati3.

L’analisi dei comportamenti ipotizzabili, tenendo conto degli errori,

ostacoli della disciplina, misconcetti e conflitti, consente di individuare

quelle attività che, nel rispetto dei diversi stili cognitivi degli alunni,

favoriranno l’apprendimento.

Nella fase sperimentale l’analisi a priori ha permesso di determinare le

possibili strategie risolutive, corrette e non, in riferimento alle schede.

Lo strumento dell’analisi a-priori, oltre a fornire la possibilità di tabulare i

dati emersi dalla somministrazione dei problemi aperti, configurandosi

altresì come risorsa funzionale ai fini valutativi, consente di poter 3 Per “rappresentazioni epistemologiche” si intendono le rappresentazioni dei percorsi conoscitivi riguardanti un particolare concetto. Per “rappresentazioni storico-epistemologiche” si intendono le rappresentazioni dei percorsi conoscitivi (sintattici, semantici, pragmatici) riguardo un particolare concetto. Per “comportamenti ipotizzabili” dell’allievo nei confronti della situazione/problema sono tutte le possibili strategie risolutive sia corrette che non.

67

focalizzare l’attenzione del ricercatore su una serie di aspetti interessanti, il

primo dei quali può essere considerato lo spazio degli eventi, ovvero

l’insieme delle possibili risposte, corrette e non, che si possono ipotizzare

in uno specifico contesto.

Sulla base dello spazio degli eventi è possibile inoltre individuare sia il

buon problema e quindi, una “situazione didattica fondamentale” che

permette la migliore formulazione in termini ergonomici della conoscenza,

sia le variabili didattiche che permettono di favorire un cambiamento nel

comportamento degli allievi (Spagnolo, 1998, pp. 258-259).

La costruzione dell’analisi a-priori è avvenuta sia durante la costruzione

delle schede4, facendo riferimento alle attese personali del ricercatore e

all’analisi epistemologica dei contenuti messi in gioco, sia dopo un pre-test

effettuato su sei bambini, sia dopo la somministrazione delle schede al

campione.

3.4.1 Analisi a-priori delle strategie risolutive

Le strategie risolutive, sia corrette che non, che sono state prese in

considerazione per la tabulazione dei dati, relative alle schede, sono

elencate di seguito:

a1: Il bambino associa correttamente i numeri alla quantità;

a2: Il bambino disegna e colora tanti pallini quanti sono gli elementi

presenti nell’insieme;

a3: Il bambino unisce gli elementi degli insiemi che hanno un numero

uguale di elementi;

a4: Il bambino collega con una freccia ogni insieme al numero

corrispondente;

a5: Il bambino completa correttamente il ritmo; 4 Si veda Allegato 1

68

a6: Il bambino colora correttamente il percorso dell’ape;

a7: Il bambino ordina correttamente le matite dalla più bassa a quella più

alta;

a8: Il bambino non associa correttamente i numeri alla quantità;

a9: Il bambino unisce gli elementi degli insiemi che hanno un numero

diverso di oggetti;

a10: Il bambino disegna e colora più o meno pallini, rispetto agli oggetti

presenti nell’insieme;

a11: Il bambino collega con una freccia l’insieme al numero non

corrispondente;

a12: Il bambino non completa correttamente il ritmo;

a13: Il bambino colora senza rispettare la sequenza corretta del percorso

dell’ape;

a14: Il bambino non ordina correttamente le matite.

3.4.2 Analisi quantitativa dei dati sperimentali

Per l’analisi dei dati sperimentali – relativi alla somministrazione delle

schede al campione di 42 bambini di due sezioni della scuola dell’infanzia

dell’I.C. “R. Guttuso” di Palermo – si è fatto riferimento alla statistica

descrittiva (frequenza relativa e percentuale) che grazie alla tabulazione dei

dati con il programma Excel, ha consentito di stabilire come i bambini

hanno adottato le diverse strategie per la compilazione delle schede.

69

Analisi descrittiva

I dati emersi dalla somministrazione delle schede, tabulati sulla base

dell’analisi a-priori, sono stati inseriti in una tabella a doppia entrata

alunni-strategie5.

Legenda:

- Valore 1: Strategie utilizzate dall’alunno;

- Valore 0: Strategie non utilizzate dall’alunno;

- Lettere minuscole: Strategie;

- Lettere maiuscole: Alunni e precisamente, con le lettere seguite dal

numero 4 si indicano i bambini di 4 anni di età.

Inoltre sono state classificate le strategie, sia corrette che non, messe in atto

dai bambini, relative ai vari approcci:

- Approccio cardinale: a1, a2, a3 strategie corrette, a8, a9, a10 strategie non

corrette;

- Approccio ordinale: a4 strategia corretta, a11 non corretta;

- Approccio ricorsivo: a5, a6, strategie corrette, a12, a13 non corrette;

- Approccio geometrico: a7 strategia corretta, a14 strategia non corretta.

Di seguito sono riportate le percentuali relative agli approcci utilizzati dai

bambini delle due sezioni A e B e, le percentuali relative all’intero

campione.

5 Si veda Allegato 2

70

Percentuali relative agli approcci utilizzati dalle sezioni A e B6

Approccio

cardinale

Approccio

ordinale

Approccio

ricorsivo

Approccio

geometrico

Sezioni

C NC C NC C NC C NC

A 15% 10% 19% 6% 20% 5% 17% 8%

B 14% 11% 18% 8% 23% 1% 15% 10%

14%

18%

23%15%

11%

8%

1%10%

C O R G C0 O0 R0 G0

6 C indica la strategia corretta; NC la strategia non corretta; C0, O0, R0, G0 indicano le strategie non corrette relative rispettivamente all’approccio cardinale, ordinale, ricorsivo e geometrico.

15%

19%

20%

17%

10%

6%

5%8%

C O R G C0 O0 R0 G0

71

Percentuali relative agli approcci utilizzati dall’intero campione

Totale

risposte %

Approcci

C NC C NC

Cardinale 24 18 14% 11%

Ordinale 31 11 18% 7%

Ricorsivo 37 5 22% 3%

Geometrico 27 15 16% 9%

14%

18%

22%16%

11%

7%3%

9%

C O R G C0 O0 R0 G0

72

Dalle tabelle, in riferimento alla sezione A si evince che:

Il 15% dei bambini utilizza correttamente l’approccio cardinale;

Il 19% dei bambini utilizza correttamente l’approccio ordinale;

Il 20% dei bambini utilizza correttamente l’approccio ricorsivo;

Il 17% dei bambini utilizza correttamente l’approccio geometrico.

Invece, per quanto riguarda la sezione B, si evince che:

Il 14% dei bambini utilizza correttamente l’approccio cardinale;

Il 18% dei bambini utilizza correttamente l’approccio ordinale;

Il 24% dei bambini utilizza correttamente l’approccio ricorsivo;

Il 15% dei bambini utilizza correttamente l’approccio geometrico.

In riferimento all’intero campione, emerge che l’approccio cardinale viene

utilizzato correttamente dal 14% del campione; l’approccio ordinale dal

18% del campione; l’approccio ricorsivo e quello geometrico,

rispettivamente dal 22% e dal 16% del campione.

Riflessioni conclusive

Dall’analisi dei dati della prima ipotesi sperimentale, in riferimento alle

schede somministrate, si evince che tutti i bambini utilizzano tutti gli

approcci, e contrariamente a quanto mi aspettavo, il 22% del campione

utilizza correttamente l’approccio ricorsivo, solo il 3% sbaglia.

Quindi, contrariamente a quanto affermano Russel, Piaget e i Bourbakisti,

non è detto che il numero cardinale è più semplice del numero ordinale e

viene acquisito dai bambini prima degli altri approcci.

Infatti, dall’analisi della prima ipotesi sperimentale emerge che il 18% del

campione utilizza l’approccio ordinale contro il 14% del campione che

utilizza l’approccio cardinale e, addirittura il 22% e il 16%, utilizzano

rispettivamente, l'approccio ricorsivo e geometrico.

73

Quindi, l’approccio cardinale è l’ultimo ad essere acquisito; infatti, è un

errore considerare gli insiemi la “materia prima” sulla quale costruire tutta

la matematica.

3.5 II Ipotesi sperimentale

Una volta che i bambini hanno raggiunto una buona padronanza della

successione dei primi numeri naturali, possiamo porre loro qualche

semplice situazione problematica con le operazioni aritmetiche di

addizione e sottrazione7.

Ciò naturalmente presuppone:

La padronanza della successione orale (e scritta) dei primi numeri

naturali, cioè il bambino abbia raggiunto una sufficiente

consapevolezza del concetto di numero ordinale;

Che abbia maturato un primo approccio al concetto ricorsivo del

numero, secondo il principio che ogni numero naturale si ottiene

aggiungendo un’unità al numero precedente;

Che il bambino abbia intuito la corrispondenza del numero ad una

determinata quantità;

Che abbia acquisito la consapevolezza del numero dimensionato.

Le due situazioni problematiche sono state poste come gioco, infatti, la

metodologia ludica, la discussione collettiva e il colloquio con i compagni,

coordinati adeguatamente dall’insegnante sono una modalità didattica

efficacissima, per favorire l’acquisizione di concetti matematici.

Un approccio alla matematica, che dà spazio all’attività di discussione,

induce nei bambini un sistema epistemologico coerente con una visione

dinamica e non individuale della matematica e, di conseguenza, un

atteggiamento positivo nei confronti della matematica scolastica. 7 Si veda Allegato 3

74

I bambini sono stati divisi in otto gruppi, rispettivamente 5 bambini per

ogni gruppo.

Ad ogni gruppo è stato dato un cartellone dove sono illustrate le due

situazioni problematiche e l’insegnate li ha invitati a trovare una soluzione

unica per ogni squadra, a disegnarla e infine, a verbalizzare all’intero

gruppo.

L’insegnante spiega la prima situazione problematica: su un filo della luce

ci sono 5 rondinelle, passa un’automobile e 3 rondinelle si spaventano e

volano via. Quante rondinelle invece rimangono ferme sul filo?

Riporto di seguito le strategie risolutive messe in atto dagli otto gruppi di

bambini.

I gruppo

S1: I bambini disegnano su un filo 5 rondinelle, ne tagliano con un

pennarello 3 e contano ad alta voce quelli che rimangono, ossia 2.

È stato interessante notare il procedimento messo in atto dai bambini,

infatti, nel tagliare le rondinelle che erano volate via, hanno operato

procedendo da sinistra verso destra. Ciò perché erano già abituati a

compiere piccoli spostamenti verso destra o verso sinistra, lungo la linea

dei numeri, grazie a delle attività laboratoriali realizzate sia in orario

scolastico che extrascolastico. Interessante è stata quella in orario

scolastico, per un giorno alla settimana, da Febbraio ad Aprile, a cui ho

preso parte.

II gruppo

S2: I bambini disegnano due linee una con 5 rondini e l’altra con 3 rondini,

mettono in corrispondenza le rondini e dal confronto uno ad uno emergono

le rondinelle che non possono essere messe in corrispondenza biunivoca.

III gruppo

S3: i bambini adottano la strategia S1.

75

IV gruppo

S4: I bambini utilizzano la linea dei numeri disegnata in palestra e si

posiziona tutto il gruppo sulla linea. Poi a partire da sinistra, si toglie un

bambino per volta, ogni bambino che si toglie pronuncia ad alta voce, “io

sono il quinto”, “io sono il quarto”, io sono “il terzo”. Quindi osservano

che sono rimasti sulla linea solo in due, ossia il numero delle rondinelle

rimaste.

V gruppo e VI Gruppo. I bambini adottano la strategia S1.

VII gruppo

S7: I bambini adottano la strategia S4, ma con un errore, perché effettuano

gli spostamenti dalla linea dei numeri, sì tre bambini, ma partendo dal

numero 1.

VIII gruppo.

S8: I bambini adottano la strategia S1.

Dopo la verbalizzazione di tutti i bambini, l’insegnante illustra la seconda

situazione problematica: ci sono due figure geometriche, familiari ai

bambini, un quadrato e un triangolo e una coccinella che si diverte a

camminare lungo i lati del quadrato e percorre un lato al giorno. Poi la

coccinella cammina lungo i lati del triangolo, percorrendo sempre un lato

giorno. L’insegnante chiede ai bambini di scoprire il numero dei giorni che

la coccinella impiega per percorrere il quadrato e poi il triangolo.

Le strategie risolutive messe in atto dagli otto gruppi di bambini sono le

seguenti: sette gruppi rispondono correttamente, di cui quattro gruppi

verbalizzano che la coccinella percorre il quadrato in quattro giorni, perché

il quadrato ha quattro lati; invece, percorre il triangolo in tre giorni, perché

contando i lati, questi sono tre.

76

Due gruppi disegnano una coccinella per ogni lato del quadrato e una

coccinella per ogni lato del triangolo, poi contano le coccinelle.

Un gruppo crea con i cubetti un quadrato e un triangolo e poi mette per

ogni lato delle due figure degli animaletti che poi vengono tolti ad uno ad

uno e contati.

Un gruppo non risponde perché non ha capito la consegna.

3.5.1 Analisi descrittiva dei dati

Dall’analisi dei dati della seconda ipotesi sperimentale si evince che i

bambini sono in grado di risolvere situazioni problematiche e riescono a

distinguere l’addizione dalla sottrazione; infatti, di fronte alle due

situazioni problematiche non hanno avuto dubbi sull’operazione da

scegliere né sulla risposta da dare.

In particolare, in riferimento al primo problema, si evince che l’87,5% (35)

dei bambini risponde correttamente e, precisamente:

25 bambini (62,5%) utilizzano la strategia di separazione;

5 bambini (12,5%) utilizzano la strategia della corrispondenza

biunivoca;

5 bambini (12,5%) utilizzano la linea dei numeri, spostandosi

correttamente da sinistra verso destra;

5 bambini (12,5%) utilizzano la linea dei numeri, ma si spostano da

destra verso sinistra.

In riferimento alla seconda situazione problematica l’87,5% (35) dei

bambini risponde correttamente e, precisamente:

20 bambini (50%) contano i lati delle due figure;

10 bambini (25%) utilizzano il disegno e poi contano;

5 bambini (12,5%) posizionano degli oggetti sui lati delle figure

create da loro e poi contano;

77

5 bambini (12,5%) non rispondono.

Tutti i bambini, sia che utilizzano il disegno o figure create da loro,

procedono sempre nella conta dei lati.

Per quanto riguarda il gruppo di bambini che non ha risposto correttamente

o non ha risposto del tutto, non deve indurci a pensare che non riescano ad

affrontare semplici situazioni problematiche, perché ciò può dipendere

dall’insorgenza degli ostacoli che Brousseau8 classifica in:

Ostacoli genetici;

Ostacoli ontogenetici;

Ostacoli epigenetici:

Ostacoli epistemologici;

Ostacoli di origine didattica.

Gli ostacoli genetici sono quelli legati al corredo cromosomico di un

individuo, quello che fornisce a ciascuno vari comportamenti innati; questi

comportamenti possono essere causa di ostacoli, a volte anche insuperabili.

Gli ostacoli ontogenetici sono legati allo sviluppo dell’intelligenza, dei

sensi e dei sistemi percettivi. Questi sono legati all’evoluzione individuale;

se per esempio l’ostacolo è legato alla maturazione psichica individuale,

allora tale ostacolo verrà rimosso dal superamento di quella fase.

Gli ostacoli epigenetici, che racchiudono quelli epistemologici e di origine

didattica, derivano dalle possibili influenze culturali.

In particolare, gli ostacoli epistemologici, risiedono nella Storia e nei

Fondamenti e rappresentano i mattoni costitutivi della conoscenza; gli

ostacoli di origine didattica sono legati alla trasposizione didattica e alla

comunicazione delle matematiche.

8 F. Spagnolo, 1998, pp. 129-135.

78

Secondo Gaston Bachelard (1938), un ostacolo epistemologico è

rappresentato da una conoscenza ben organizzata, avente una sua validità,

contro la quale bisogna combattere per costruire una nuova conoscenza:

<<si conosce contro una conoscenza anteriore, distruggendo le conoscenze

mal fatte…>>.

Nell’insegnamento/apprendimento esso corrisponde a un ostacolo didattico

ed è condizione necessaria per lo sviluppo del pensiero dell’alunno.

79

CAPITOLO IV

LA DIDATTICA DELLA MATEMATICA NELLA SCUOLA

DELL’INFANZIA

4.1 Che cosa significa “fare matematica nella scuola dell’infanzia”

Il motore dello sviluppo di una persona è il desiderio di comprendere il

mondo, di condividere i propri interrogativi con gli altri, di entrare in una

cultura. All’interno dell’istituzione scolastica le discipline scientifiche, al

pari di quelle umanistiche, rivestono un ruolo fondamentale ed

insostituibile per la crescita culturale degli allievi.

Purtroppo una delle eredità lasciate dalla Riforma Gentile è quella di

considerare Cultura con la C maiuscola esclusivamente quella umanistica e

di considerare quella scientifica come una cultura di secondo piano, non

rilevante nella formazione degli individui.

Le discipline scientifiche sono spesso viste come “aride”, in cui dominano

rigidi schemi e procedure.

Ciò deriva anche dal fatto che molto spesso c’è divario tra le conoscenze

scientifiche che vengono insegnate e le concezioni spontanee degli alunni.

Quindi, è necessario che fin dalla scuola dell’infanzia sia riscoperta e

diffusa l’importanza e la rilevanza che le discipline scientifiche rivestono

sul piano cognitivo, culturale e educativo di ciascuno.

In particolare, lo studio della matematica è fondamentale per lo sviluppo

cognitivo, promuove, infatti, le facoltà sia intuitive che logiche, educa ai

procedimenti euristici, ma anche ai processi di astrazione e di

formalizzazione di concetti, esercita a ragionare induttivamente e

deduttivamente, sviluppa le attitudini sia analitiche che sintetiche.

80

La matematica stimola a ragionare e a riflettere, a sistemare logicamente e

a riesaminare criticamente le conoscenze via via acquisite; aiuta a crescere

nel prendere decisioni.

La matematica occupa quindi un ruolo fondamentale sul piano cognitivo,

culturale e educativo di ciascuno; con il suo spirito ed i suoi metodi è una

colonna portante nella cultura di ogni individuo. Proprio per questo è

necessario riuscire a trasmettere un’immagine complessiva della disciplina,

da non identificarsi come un processo di pura trasmissione dei saperi, ma

come un percorso di costruzione individuale e collettiva di conoscenze.

Quindi, un insegnante deve farsi interprete di una trasposizione didattica,

cioè adattare la conoscenza matematica e trasformarla in “conoscenza per

essere insegnata”, tenendo conto del sistema didattico e dell’ambiente

sociale e culturale, cioè della noosfera in cui si trova ad agire.

Le Indicazioni nazionali per i Piani personalizzati delle attività educative

nelle Scuole dell’infanzia e, in particolare, gli Obiettivi Specifici di

Apprendimento indicati nel quadro “Esplorare, conoscere e progettare”

introdotto dal Decreto legislativo n. 59 del 19 febbraio 2004, recepiscono

alcuni elementi significativi delle ricerche condotte nel campo

dell’apprendimento di concetti scientifici e nell’ambito dei processi

cognitivi che sostengono la costruzione stabile del pensiero matematico.

Naturalmente non è sufficiente parlare solo di processi che afferiscono alla

capacità di cogliere, comprendere e risolvere situazioni problematiche, o

alla capacità di dare significato a simboli, segni e procedure matematiche

senza porre attenzione anche ai processi psicologici connessi alla

motivazione, all’affettività, all’emotività e agli aspetti metacognitivi

fondamentali del pensiero.

Fare matematica nella scuola dell’infanzia non significa fornire al bambino

solo notizie, conoscenze o informazioni, ma significa avviarlo alla

81

costruzione di un pensiero e di un atteggiamento matematico, mediante la

progressiva acquisizione di competenze connesse alla capacità di osservare,

manipolare, scoprire, dare significati, cogliere somiglianze e differenze,

confrontare opinioni, riconoscere un problema e cercare di risolverlo.

Nel corso degli anni, i risultati della ricerca didattica hanno veicolato

diversi modelli di apprendimento e, conseguentemente, diversi modelli di

insegnamento applicati in ambito matematico: dall’apprendimento per

scoperta-euristico, al modello legato al problem-solving, al modello

interattivo, al modello costruttivista o generativo.

Ogni modello presenta aspetti teorici e metodologici rilevanti, ma è

altrettanto importante sottolineare che un’azione educativa efficace non

può che fare riferimento alla teoria delle situazioni di Guy Brousseau.

4.2 La Teoria delle Situazioni

Guy Brousseau (1989) definisce la didattica della matematica, <<una

scienza che si interessa alla produzione e comunicazione delle conoscenze

matematiche, ed in che cosa questa produzione e questa comunicazione

hanno di specifico>>, una scienza che ha come oggetti specifici di studio:

• Le operazioni essenziali della diffusione delle conoscenze, le condizioni

di questa diffusione e le trasformazioni che essa produce;

• Le istituzioni e le attività che hanno come scopo quello di facilitare

queste operazioni.

Di fondamentale importanza è la Teoria delle Situazioni elaborata dalla

scuola di didattica francese, in particolare dal Prof. Guy Brousseau: teoria

dell’apprendimento di chiaro stampo costruttivista nella quale

l’apprendimento si produce mediante la risoluzione dei problemi.

82

La teoria delle situazioni si propone di recuperare la valenza formativa

dell’educazione matematica, che a tal fine diviene strumento per lo

sviluppo psichico ed in particolare della capacità del problem-solving.

Essa evidenzia tutti i possibili soggetti e le relative relazioni all’interno di

una situazione didattica: il sapere, l’insegnante, l’allievo, che rappresentano

i capisaldi di riferimento attorno ai quali si sviluppano le dinamiche del

rapporto di apprendimento-insegnamento9.

Lo schema seguente evidenzia tali elementi costitutivi attraverso una

chiave di lettura sistemica:

Viene messa in discussione la pratica educativa tradizionale di trasmissione

del sapere precostituito, attraverso un percorso unidirezionale che va

dall’insegnante all’allievo.

La teoria delle situazioni propone di attivare un processo di ricostruzione

condivisa dal sapere matematico. 9 F. Spagnolo, 1998, pp. 92-98.

Sapere

Sapere-Situazione

Situazione

Insegnante-Sapere

Insegnante Allievo

Sapere-Allievo

Insegnante-Allievo

Insegnante-Situazione

Situazione-Allievo

83

Il “sapere” non è altro che il prodotto culturale di un’istituzione avente per

obiettivo di individuare, di analizzare e di organizzare le conoscenze al fine

di facilitarne la comunicazione, il loro uso sotto forma di conoscenze o di

saperi e la produzione di altri saperi10.

Le relazioni, rispettivamente:

• Insegnante-Sapere riguarda l’epistemologia dell’insegnante;

• Insegnante-Allievo, riguarda l’insieme dei comportamenti di natura

psicologica sia se si analizza la relazione Insegnante-Allievo che

Allievo-Insegnante;

• Allievo-Sapere, rappresenta lo scopo finale che si propone

l’insegnante che al termine del suo lavoro di mediatore scompare per

far sì che l’alunno abbia un rapporto personale con il sapere.

Con l’introduzione della “Situazione Didattica” abbiamo:

• Sapere-Situazione: l’analisi epistemologica e/o storico-epistemologica

del “Sapere” in gioco nella situazione didattica;

• Situazione-Allievo: l’insieme delle strategie risolutive messe in atto

dall’Allievo rispetto ad una determinata situazione/problema;

• Insegnante-Situazione: l’analisi a-priori delle strategie risolutive di un

determinato problema rispetto alle conoscenze dell’insegnante sia

rispetto al Sapere, sia rispetto ai comportamenti degli allievi ipotizzati

rispetto alla risoluzione di un determinato problema (analisi a-priori).

Per Spagnolo, si definisce situazione l’insieme delle circostanze nelle quali

si trova una persona, le relazioni che l’uniscono all’ambiente (milieu),

l’insieme dei dati che caratterizzano un’azione in un determinato momento.

10 F. Spagnolo, La ricerca in didattica: alcuni riferimenti teorici.

84

Una situazione è didattica quando un individuo (in generale l’insegnante)

ha l’intenzione di insegnare ad un altro individuo (in generale l’allievo) un

determinato sapere.

Una situazione è di apprendimento quando permette ad un soggetto di

passare da uno stato di conoscenza ad un altro stato di conoscenza.

Una situazione didattica su un certo tema relativo al sapere possiede due

componenti:

♦ Un contratto didattico;

♦ Una situazione a-didattica.11

Il contratto didattico viene definito da Spagnolo (1998) come «Risultato

della negoziazione dei rapporti stabiliti esplicitamente e/o implicitamente

tra un allievo e un gruppo di allievi, un certo ambiente ed un sistema

educativo, al fine di far appropriare gli allievi di un sapere costituito o in

via di costituzione». Si tratta dunque di un insieme di regole stabilite

all’interno della classe, derivanti dalla presa in carico della situazione, le

quali organizzano le relazioni tra il contenuto oggetto di insegnamento, gli

alunni, l’insegnante e le attese, al fine di favorire una buona devoluzione

della situazione problematica.

Una situazione è a-didattica quando l’insegnante non esplicita le sue

intenzioni agli allievi.

L’allievo sa che il problema propostogli è stato scelto per fargli acquisire

una nuova conoscenza e, nello stesso tempo, sa che questa conoscenza è

giustificata dalla logica interna della situazione.

Nella situazione a-didattica riveste particolare importanza la

“devoluzione”, il processo attraverso il quale l’insegnante fa accettare

11 Bruno D’Amore, p. 28.

85

all’allievo la responsabilità di una situazione di apprendimento (a-

didattica).

Quindi, la devoluzione è una situazione in base alla quale l’allievo

“funziona” in modo scientifico, e non solo in risposta a spinte esterne alla

situazione, per esempio di tipo didattico.

Tale fase si può realizzare solo se il problema ha una dimensione

comparabile con le effettive risorse degli allievi sì da presentarsi come

esperienza realmente "vivibile". Infatti, un compito con le difficoltà che

superano lo stato delle conoscenze e delle competenze di cui dispone il

gruppo di lavoro in quel particolare momento, risulterebbe poco spendibile

e comunque poco significativo perché gli allievi se ne possano fare carico e

mettere così in discussione se stessi come protagonisti all'interno delle

dinamiche di risoluzione, mentre un compito non ben congegnato perché o

troppo facile o ripetitivo o con un numero eccessivo di variabili indurrebbe

un atteggiamento di omologazione delle procedure richiamate e dunque

non innescherebbe quei processi che sono presupposto per un reale

apprendimento.

Le condizioni per la messa a punto di una situazione a-didattica sono:

L’alunno deve trovarsi in una situazione di incertezza sulle decisioni da

prendere;

Il contesto a-didattico deve favorire delle retroazioni, cioè deve

consentire all’allievo di correggere la sua azione, di accettare o di

respingere un’ipotesi, di scegliere tra soluzioni diverse;

La situazione-gioco deve essere ripetibile, nel senso che attraverso

l’individuazione delle variabili didattiche implicate nel contesto

formativo faciliti l’apprendimento e la verifica.

L’insegnante all’interno della situazione a-didattica diventa tutor nei

confronti degli allievi e mediatore nei confronti del sapere.

86

Quindi, il docente in quanto tutor:

♦ Deve individuare una buona situazione da proporre agli allievi,

situazione dalla quale possono emergere le concezioni che entreranno in

gioco nella situazione didattica;

♦ Deve controllare le dinamiche relazionali, promuovendo fra gli alunni

un positivo confronto ed un’efficace interazione verbale;

♦ Non deve comunicare una conoscenza, ma deve far sì che vi sia una

buona devoluzione del problema.

4.2.1 Schema di una situazione a-didattica

La nozione di situazione a-didattica è centrale nella Teoria delle Situazioni.

Brousseau propone come modello quello del gioco nel quale l’insegnante

spinge a “…….. far devolvere all’allievo una situazione a-didattica che

provoca in lui l’interazione la più indipendente e la più feconda possibile”.

Per tale motivo si astiene o comunica, secondo il caso, delle domande, delle

informazioni, delle euristiche,…”.

Così come nel gioco c’è una posta da vincere, nella situazione si vince la

conoscenza.

Nella situazione a-didattica l’allievo costruisce la sua conoscenza non per

ragioni didattiche, ma perché motivato dalla logica interna della situazione.

L’obiettivo didattico perseguito dall’insegnante non è dichiarato.

87

La situazione a-didattica è particolarmente idonea perché favorisce:

I fase: la consegna

L’insegnante espone all’allievo le regole del gioco, il problema,

l’argomento della situazione a-didattica, servendosi anche di una

dimostrazione pratica con un allievo. L’azione, infatti, riduce l’ambiguità

del linguaggio verbale. Attraverso l’azione, inoltre, l’insegnante può

SITUAZIONE DI GIOCO

SPINTA

CHIEDERSI I PERCHÈ

APPRENDIMENTO PER SCOPERTA

SIGNIFICATIVITÀ

METACOGNIZIONE

INSEGNANTE

ALLIEVI

REGOLE DEL GIOCO

FEED-BACK

FEED-BACK

CURIOSITÀ

88

cogliere il processo di retroazione attivato dall’allievo il quale può

ripercorrere la situazione per effettuare un controllo e modificare l’azione.

II fase: situazione di azione (gioco di uno contro uno)

Essa agisce sull’ambiente e favorisce il sorgere di teorie implicite che

funzioneranno nella classe come modelli protomatematici.

L’interazione fra l’allievo e il suo ambiente (gli altri allievi, la situazione

problematica, l’insegnante), grazie alla quale sono ipotizzate le prime

strategie, è definita dialettica dell’azione.

Siamo in una fase in cui l’allievo costruisce un modello implicito: un

insieme di relazioni o regole in base alle quali l’allievo prende le sue

decisioni senza essere capace di averne coscienza e quindi di formularle.

III fase: situazione di formulazione (gruppo contro gruppo)

Questa situazione favorisce l’acquisizione di modelli e linguaggi espliciti.

SITUAZIONE ALLIEVO AZIONE

INFORMAZIONE

ALLIEVO-emittente ALLIEVO-destinatario

Verbalizzazione e formulazione delle strategie

Feed-back

89

In questa fase l’allievo è portato dalla situazione a formulare il proprio

modello implicito, a verbalizzare le proprie strategie, ad argomentarle e,

difenderle, per far in modo che siano fatte proprie dagli altri allievi.

Per far ciò, ognuno dovrà elaborare progressivamente un linguaggio tale da

essere compreso da tutti.

Lo scambio comunicativo tra gli allievi porta a una continua formulazione

della strategia: siamo nella fase di dialettica della formulazione.

IV fase: situazione di validazione (il gioco della scoperta, prova e

dimostrazione)

I modelli formulati precedentemente possono essere accettati o rifiutati

dalla classe. All’interno del gruppo gli allievi sono in una situazione

paritaria che permette loro di discutere per accettare o rifiutare le possibili

strategie. Le ipotesi accettate da tutti diventano teoremi. Quindi, il dialogo

e la negoziazione tra pari riveste un ruolo fondamentale, in accordo ai

principi del costruttivismo sociale espressi da P. Ernest e studiati nella

pratica educativa da P. Cobb.

In questa fase, agli allievi sono richieste prove e spiegazioni sulle teorie

utilizzate ed esplicitazione dei mezzi che sottendono ai processi

dimostrativi.

Spesso gli allievi accettano teorie sbagliate, la situazione a-didattica deve

condurli a rivedere i loro ragionamenti e a riformulare le strategie in modo

corretto. In questo modo l’errore diviene una tappa indispensabile nel

processo di costruzione della conoscenza.

Infatti, la discussione sulla strategia scorretta più spontanea, costituisce un

momento molto forte di confronto critico che si rivela produttiva per tutto il

gruppo classe.

90

Chi incontra e supera un errore (ostacolo epistemologico secondo

Brousseau) ha una conoscenza diversa rispetto a colui che non si è

scontrato con esso. L’errore-ostacolo è uno strumento conoscitivo

dell’evoluzione del pensiero matematico.

Con la fase di validazione si arriva a formalizzare il concetto matematico

che nel metodo tradizionale di insegnamento spesso non rappresenta un

punto d’arrivo, ma un punto di partenza.

91

CONCLUSIONI

A conclusione del lavoro sperimentale posso affermare che è stata

un’esperienza significativa e gratificante sia per me che per i bambini.

La ricerca consente e favorisce l’avvicinamento alla conoscenza in modo

critico e la problematizzazione della realtà al fine di una migliore

comprensione della stessa.

Inoltre la ricerca incrementa la motivazione, l’interesse, l’attenzione e la

curiosità degli allievi.

La ricerca e la sperimentazione educativa migliorano la qualità del sistema

scolastico, in quanto permettono di trovare soluzioni pedagogiche e

didattiche nuove alle problematiche emergenti.

Non si deve perdere di vista l’idea di una scuola come luogo di

sperimentazione nella quale i bambini si mettono in gioco in prima persona

e conquistano gli strumenti culturali necessari per la propria crescita.

La ricerca sperimentale, da me condotta, mi ha consentito di rilevare le

intuizioni spontanee sul numero naturale possedute dai bambini di 4-5 anni

di età, secondo i diversi approcci.

La prima fase, che ha coinvolto 42 bambini delle sezioni A e B della scuola

dell’infanzia, mi ha consentito di rilevare, contrariamente a quanto mi

aspettavo, che l’approccio cardinale viene utilizzato correttamente dal 14%

del campione; l’approccio ordinale dal 18% del campione; l’approccio

ricorsivo e quello geometrico, rispettivamente dal 22% e dal 16% del

campione.

La seconda fase, ha coinvolto 40 alunni nella risoluzione di due situazioni

problematiche.

Dall'analisi dei dati è emerso che i bambini sono in grado di risolvere

situazioni problematiche e riescono a distinguere l’addizione dalla

92

sottrazione; infatti, di fronte ai due problemi proposti, non hanno avuto

dubbi sull’operazione da scegliere né sulla risposta da dare.

In particolare, sia in riferimento alla prima che alla seconda situazione

problematica, si evince che l’87,5% (35) dei bambini risponde

correttamente.

Inoltre dall’analisi dei dati della seconda ipotesi sperimentale si evince che

l’utilizzo in sezione di metodologie riguardanti, la discussione collettiva ed

il gioco favoriscono gli apprendimenti.

La discussione è una modalità utilissima a far diventare il soggetto

consapevole, attraverso il confronto con gli altri, la negoziazione e la

condivisione dei propri presupposti teorici e delle proprie operazioni

mentali. Essa, è una risorsa che consente l’acquisizione di competenze più

profonde e più facilmente generalizzabili.

La discussione inoltre, costituisce un’occasione privilegiata per la crescita

cognitiva degli alunni e, se ben realizzata, incrementa l’attività di ricerca.

Come afferma G. Morgan, ciascuno di noi stabilisce una conversazione con

il mondo allorché avvia una ricerca; in questa, come in ogni forma di

comunicazione, abbiamo appuntamento in primo luogo con il nostro

universo personale. Al pari di ogni altra attività, la ricerca in matematica, è

un modo di conoscere non solo il mondo, ma anche e soprattutto sé stessi12.

12 Viganò Renata, Pedagogia e sperimentazione, Vita e Pensiero, 1999.

93

ALLEGATO 1

Scheda n. 1

94

Scheda n. 2

95

Scheda n. 3

96

Scheda n. 4 Con quale forma si continua il ritmo… …….

97

Scheda n. 5 Colora il percorso che parte da 1 e trova sempre un fiore in più nell’aiuola

successiva.

98

Scheda n. 6 Osserva bene le matite colorate e poi ordinale dalla più corta alla più lunga.

99

ALLEGATO 2

SCHEDE STRATEGIE

Sezioni/Alunni a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14Sezione A

A 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 C 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 D 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 E 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

F 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 G 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 H 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 I 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 J 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0

K 4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 L 4 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 M 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1

N 4 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 O 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 P 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

Q 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 R 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

S 4 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 T 4 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 U 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 V 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Tot. 13 13 13 17 18 18 15 9 9 9 5 4 4 7

Sezione B A 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1

B 4 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 C 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 E 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 F 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 G 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 H 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 I 4 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 J 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 K 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

L 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 M 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 N 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

O 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 P 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 Q 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 R 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1

100

S 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 T 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Tot. 11 11 11 14 19 19 12 9 9 9 6 1 1 8

101

ALLEGATO 3

Osserva il disegno

Sul filo della luce ci sono 5 rondinelle. Passa un’automobile e 3 volano via.

Quante rondinelle rimangono sul filo?

Il viaggio della coccinella

Una coccinella cammina lungo i lati di un quadrato

e percorre un lato al giorno. Quanti giorni impiega

per fare il giro completo?

Ora la coccinella cammina lungo i lati di un

triangolo e percorre un lato al giorno. Quanti giorni

impiega per fare il giro completo?

102

BIBLIOGRAFIA

AA.VV. (1999), Maestri domani. Guida alla professionalità docente

primaria e orientamento per il concorso magistrale (volume I, II), Le

Monnier, Firenze;

Aldo Scimone, Filippo Spagnolo (2005), Argomentare e congetturare

nella Scuola primaria e dell’infanzia, Editore Palumbo;

Aldo Scimone, Filippo Spagnolo, Luciana Bazzini (2006), Il mondo

dei numeri,teoria e didattica, Editore Palumbo;

Boero Paolo (1979), L’insegnamento scientifico e il ruolo della

matematica, Atti del IV Convegno UMI-Ciim sull’insegnamento della

matematica, suppl. n. 8-9, NUMI;

Boyer Carl B. (2003), Storia della matematica, Oscar Mondadori;

Milano;

Butterworth Brian (1999), Intelligenza matematica, Rizzoli;

Camaioni Luigia (1999), Manuale di psicologia dello sviluppo, il

Mulino;

Castelnuovo Emma (1963), Didattica della matematica, La Nuova

Italia, Firenze;

Cornoldi C., Caponi B., Falco G., Focchiatti R., Lucangeli D.,

Todeschini M. (2002), Matematica e metacognizione, Erickson,

Trento;

D’amore Bruno (2001), Didattica della matematica, Pitagora Editrice,

Bologna;

D’amore Bruno, Speranza Francesco (1995), La matematica e la sua

storia, Franco Angeli, Milano;

Devlin Keiyh (2002), Il gene della matematica, Longanesi & C.,

Milano;

103

Green T.R., Laxon V.J. (1985), Lo sviluppo del concetto di numero,

La Scuola, Brescia;

Gheverghese George Joseph (2000), C’era una volta un numero, Il

Saggiatore, Milano;

G.R.I.M. (2001), Quaderni di ricerca in didattica, n.10, Palermo, (pp.

144-156);

Ianes Dario (1996), Metacognizione e insegnamento. Spunti teorici e

applicativi, Erickson, Trento;

Piaget Jean (2003), Lo sviluppo mentale del bambino, Piccola

Biblioteca Einaudi;

Rosati (2004), Didattica della cultura e cultura della didattica,

Morlacchi, Perugia;

Spagnolo Filippo (1998), Insegnare le matematiche nella scuola

secondaria, La Nuova Italia, Firenze;

Speranza F., Medici Caffara D., Quattrocchi P. (1986), Insegnare la

matematica, Zanichelli, Bologna;

Stanislas Dehaene (2001), Il pallino della matematica, Oscar

Mondadori;

Viganò Renata (1999), Pedagogia e sperimentazione. Metodi e

strumenti per la ricerca educativa, Vita e Pensiero, Milano;

Zanniello Giuseppe (1997), La prepedagogicità della

sperimentazione, Palumbo, Palermo;

Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio Personalizzati Legge 28

Marzo 2003, n. 53;

Programmi Ministeriali D.P.R. n. 104 del 12 Febbraio 1985.

104

SITOGRAFIA

http://Didmat.dima.unige.it;

http://Macosa.dima.unige.it/pub/pme/pmeit.htm;

http://Math.unipa.it/~Grim.