1

Las cuadráticas personales (1/4)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA Contenido: 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales u operaciones inversas, al resolver problemas que implican una ecuación cuadrática. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si lo consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas. 1. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número? 2. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Cuál es ese número? 3. El producto de dos números consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?

Consideraciones previas: Se sugiere que cuando la mayoría de los equipos termine de resolver el primer problema, hacer un alto para analizar los procedimientos utilizados. Lo más probable es que utilicen el ensayo y error, es decir, que vayan probando con diferentes números hasta encontrar el que cumple con las condiciones del problema. En este momento conviene pedirles que traten de formular una ecuación, darles unos minutos y analizar las ecuaciones formuladas. La siguiente pregunta es ¿qué se puede hacer para resolver una ecuación como ésta? x2 – 5 = 220. Un recurso posible es simplificar la ecuación: x2 = 225 y luego sacar raíz cuadrada en ambos miembros para obtener el valor de x. Otro recurso es hacer el camino de regreso: a 220 sumarle 5, luego sacar raíz cuadrada al resultado. La finalidad de hacer un alto después de resolver el primer problema es socializar los recursos utilizados para que más alumnos tengan elementos para resolver los demás problemas. De cualquier manera, es importante dedicar el tiempo suficiente para revisar los resultados y procedimientos de los demás problemas.

2

Planteando ecuaciones (2/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen ecuaciones cuadráticas y las resuelvan mediante procedimientos personales u operaciones inversas. Consigna: En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas.

1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata? 2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál es ese

número? 3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es ese número?

Consideraciones previas: Las ecuaciones que resultan de los problemas anteriores son cuadráticas y pueden resolverse por ensayo y error, procedimiento muy probable que utilicen los alumnos. Es necesario considerar al menos 15 minutos para la discusión e iniciar con la revisión de las ecuaciones para ver si son iguales, equivalentes o distintas. Después, hay que analizar los procedimientos que usaron para resolverlas. Conviene decir en esta sesión que las tres ecuaciones que resultan son de segundo grado y que a diferencia de las de primer grado, la incógnita está elevada al cuadrado. Una vez que los alumnos son capaces de plantear y resolver problemas como los anteriores, se pueden proponer ejercicios de resolución de ecuaciones como las siguientes:

a) x2 - 4 = 0 b) (x - 5)2 = 144 c) 2x2 – 8 = 0 d) x2 +2x =35

3

Modelando situaciones (3/4) Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen la ecuación cuadrática que modela una situación y la usen para calcular datos faltantes empleando procedimientos personales u operaciones inversas. Consigna. En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora. 1. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado. Una parte cuadrada del terreno de 50

m por lado se ocupa como estacionamiento y el resto es el jardín con un área de 14 400 m2. Calculen cuánto mide por lado todo el terreno.

Ecuación: _______________ 2. A una pieza de cartón de forma cuadrada (Fig. B), se le recortan cuadrados en las esquinas para

hacer una caja sin tapa, con las siguientes medidas: Altura = 10 cm; Volumen =1 000 cm3. Calculen la medida por lado del cartón que se necesita para hacer la caja.

Fig. A Fig. B Ecuación: _______________ Consideraciones previas: Para el primer caso, se espera que los alumnos plateen la ecuación cuadrática x

2 – 2

500 = 14 400 y que realicen los cálculos necesarios para determinar el resultado del problema que es 130 m. Es importante hacer notar que la ecuación tiene dos soluciones: x1=130 y x2=-130; sin embargo, sólo una de ellas cumple con las condiciones del problema, puesto que las longitudes no pueden ser negativas. También hay que aprovechar este problema para informar a los alumnos que las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos soluciones como en el caso anterior, una solución o ninguna. El razonamiento para formular la ecuación del segundo problema es más complejo, sin embargo hay que esperar a que los alumnos realicen la tarea por sí solos y sólo brindarles ayuda si es muy necesario. La ecuación que resulta

es )10()20(1000 2 x , misma que si se divide entre 10 se obtiene 100=(x-20)2 y si a ésta se le extrae raíz

cuadrada queda así: 10=x-20, de donde resulta que x=30. Es probable que los alumnos obtengan este mismo resultado por otros medios, lo importante es que sepan explicar el procedimiento utilizado y por qué el resultado cumple con las condiciones del problema.

x

x

50

50

x

x

4

Inventando problemas (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos traduzcan al lenguaje común ecuaciones cuadráticas y las resuelvan usando procedimientos personales u operaciones inversas. Consigna: Organizados en parejas, inventen un problema que se pueda resolver con cada una de las ecuaciones presentadas. Resuelvan y comprueben resultados. Pueden utilizar calculadora.

a) x ( x +3) = 270

b) a2 +a = 132

c) 3n2-n=102 Consideraciones previas: La traducción de una ecuación a un problema no es una tarea sencilla pero es importante que los alumnos la llevan a cabo, con el fin de que le busquen sentido a una expresión algebraica. Los problemas inventados pueden corresponder a diferentes contextos tales como, cálculo de áreas, edades, números, dinero, etcétera, sin embargo, para una misma ecuación, los problemas siempre tendrán la misma estructura. Por ejemplo, para la del inciso a, los problemas pueden ser:

- El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m2, ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

- El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números?

- Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es 270, ¿qué edad tiene cada uno?

Los procedimientos para resolver las ecuaciones pueden ser todavía de ensayo y error, es hasta el siguiente bloque cuando se empieza el estudio de procedimientos más sistemáticos.

5

Lo mismo pero no igual (1/5)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M Contenido: 9.1.2: Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen el significado de los conceptos semejante y homólogo mediante la manipulación de figuras geométricas. Consigna: De manera individual realiza lo que se te indica. 1.- utilizando tu juego de geometría construye un triangulo isósceles con medidas de 3,4 y 4 cm. en sus lados luego utilizando una escala de dos a uno reprodúcelo, enseguida recorta ambos triángulos y coloca uno sobre el otro: ¿Cómo resulta ser, la copia con respecto a la forma y tamaño?___________________ 2.- Traza un punto cualesquiera en una hoja, coloca el triangulo original a cualquier distancia del punto enseguida traza líneas que partan del punto y pasen por los vértices del triangulo prolongándolas, acomoda el segundo triangulo entre esas líneas de manera que sus vértices coincidan con las líneas. ¿Qué lados quedan paralelos?_______________________________________________ Describe con tus propias palabras que significa la palabra “semejante” tomando en cuenta la actividad uno.

Describe que significa homólogos o correspondientes tomando en cuenta la actividad que acabas de realizar en el punto 2.____________________________________

Consideraciones previas: Los alumnos quizá pregunten qué significa 2:1 es momento de recordarles que el primer dato corresponde a las medidas de la copia y que el segundo dato es lo que mide la original. Tomando en cuenta las respuestas de los alumnos el maestro concluirá que la palabra semejante significa figuras que son proporcionales y que tienen la misma forma pero diferente tamaño. De igual manera el maestro concluirá que la palabra homologo se refiere a los lados de dos figuras que llevan el mismo sentido o dirección es decir que al sobreponer una sobre la otra los lados coinciden.

6

De la misma forma (2/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre las propiedades que guardan los elementos homólogos al construir triángulos semejantes y que adviertan que la congruencia es un caso especial de la semejanza. Consigna: Equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. Cada integrante del equipos construya los triángulos cuyos ángulos midan:

a) 60º, 60º y 60º b) 90º, 45º y 45º c) 90º, 60º y 30º

2. Agrupen sus triángulos, de acuerdo con las medidas de sus ángulos. Después contesten: ¿Por qué

creen que los triángulos de cada grupo tienen la misma forma? ___________________________________________________________

3. Elijan dos triángulos que tengan la misma forma y hagan lo siguiente:

a) Nombren uno de los triángulos con las letras ABC y al otro con A’B’C’ b) Nombren los lados de uno de los triángulos con las letras abc y los lados del otro con a’b’c’. c) Midan los lados de ambos triángulos y anoten los datos que se piden en la siguiente tabla.

Triángulo ABC

a= b= c= a/a’= b/b’= c/c’=

Triángulo A’B’C’

a’= b’= c’= a/b= a’/b’=

d) ¿Por qué se puede asegurar que los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ son proporcionales?

______________________________________________ Consideraciones previas: En esta actividad se debe dejar la opción a los alumnos de hacer los trazos con el juego geométrico o con un software de geometría dinámica (por ej. Cabri-Géomètre). Es importante que los alumnos se den cuenta de que dados tres ángulos se obtienen triángulos cuyos lados pueden tener diferentes medidas, pero conservan la misma forma, es decir, son triángulos semejantes. Al encontrar la razón entre los lados homólogos deberán concluir que se trata de una constante, lo cual indica que las medidas aumentan o disminuyen en la misma proporción. Es probable que en la construcción de triángulos o en la elección de triángulos para encontrar las razones de lados homólogos, se trate de triángulos de lados iguales, es decir, que tengan la misma forma y el mismo tamaño, si así sucede es importante que los estudiantes analicen sus propiedades y concluyan que también se trata de triángulos semejantes. Si no sucede lo anterior, se sugiere que el profesor proponga dicho análisis, con la intención de que los alumnos adviertan que los triángulos semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, que los triángulos congruentes también son semejantes.

7

Ampliación de una fotografía (3/5) Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las propiedades de la semejanza al resolver problemas. Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema. Se quiere ampliar una fotografía cuyas medidas son 4 cm de largo por 2 cm de ancho, de tal manera que el homólogo del lado que mide 4 cm, mida 7 cm en la fotografía ampliada, ¿cuánto deberá medir el otro lado? Consideraciones previas: Es necesario que durante la puesta en común los alumnos expliquen cómo determinaron la medida faltante. Un procedimiento posible es la regla de tres. Otro es buscar la constante de proporcionalidad entre 4 y 7, que es 7/4 y la multipliquen por 2. En caso de que resuelvan este problema muy rápido y quede tiempo, se les puede pedir que reproduzcan el siguiente rompecabezas (tangram), de manera que el lado que mide 2.5 cm, mida 4 cm en el tangram reproducido. Si este problema no se concluye en clase, se puede dejar de tarea. Los alumnos podrán comprobar que están bien los trazos que realizaron si las piezas embonan perfectamente.

2..5 cm

8

Congruente o semejante (4/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos verifiquen que los vértices de rectángulos semejantes que tienen un vértice común, son colineales. Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema. Tracen los rectángulos que muestran el tamaño de las fotografías de la sesión anterior sobre el siguiente plano cartesiano, ubicando uno de sus vértices en el origen de éste y tracen otros dos rectángulos semejantes a los dos primeros, de manera que coincidan con el punto (0,0). Expliquen cómo pueden saber que los dos últimos rectángulos son semejantes a los primeros.

Consideraciones previas: Es probable que los alumnos justifiquen la semejanza estableciendo la razón entre los lados de los rectángulos dibujados; sin embargo, también se les puede preguntar qué se observa con respecto a los vértices que no están sobre los ejes del plano y establecer que todos ellos quedan sobre una recta, por lo que son colineales. También se puede concluir que los segmentos paralelos entre dos líneas secantes son proporcionales; en este caso las secantes son x (eje horizontal) y m (línea) que une los vértices de los rectángulos (Teorema de Tales).

m

x

9

Polígonos semejantes (5/5) Intenciones didácticas: Que los alumnos usen las propiedades de la semejanza al construir dos polígonos semejantes. Consigna: En equipos, construyan un pentágono regular semejante al que aparece abajo, pero cuyos lados midan el doble; tomen como referencia el punto E”.

a) Comparen los lados homólogos de ambos polígonos y escriban el factor de proporcionalidad entre ellos. Después digan cómo son los ángulos correspondientes entre ambos polígonos.

Consideraciones previas: Nuevamente los alumnos deberán concluir que el factor de proporcionalidad de los lados homólogos es constante y que los ángulos correspondientes entre ambos polígonos son iguales. También se les puede pedir que unan el punto O con los demás puntos del polígono dado y con sus homólogos del polígono que trazaron y observen que nuevamente se obtienen segmentos proporcionales entre dos secantes. Se sugiere realizar la actividad “El pantógrafo” del fichero de actividades págs. 108 y 109.

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¿Cómo deben ser las medidas de los lados? (1/6)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M Contenido: 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. Intención didáctica. Que los alumnos concluyan que para formar un triángulo es necesario que la suma de dos de sus lados sea mayor que el tercer lado. Consigna 1. Organizados en equipos, realicen la actividad 1 de la ficha “Triángulos con palillos”, págs. 94 y 95, Fichero de actividades didácticas. Matemáticas, secundaria. (VER ANEXO) Consigna 2. Individualmente dibuja, si es posible, el triángulo DEF con las medidas indicadas en cada inciso. Al terminar contesta las preguntas.

a) DE = 3 cm; EF = 4 cm y FD = 5 cm b) DE = 4 cm; EF = 5 cm y FD = 10 cm c) DE = 5 cm; EF = 7 cm y FD = 5 cm d) DE = 8 cm; EF = 3 cm y FD = 4 cm

a) ¿En cuáles casos no pudiste construir el triángulo solicitado? ¿A qué crees que se debe?

________________________________________ b) Da dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un triángulo y explica por

qué._____________________________________________ Consideraciones previas. Para realizar las actividades correspondientes a este apartado es necesario que los alumnos usen su juego de geometría, tijeras y en especial para este plan se necesitan palillos. Se pretende que los alumnos analicen cuándo es posible formar triángulos y cuándo no. Es necesario que los alumnos se den cuenta de qué condiciones deben cumplir las medidas de los lados para construir un triángulo y las enuncien con sus propias palabras: “la suma de las medidas de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser mayor que la medida del tercer lado”, o bien, “la suma de las medidas de los dos lados menores debe superar la medida del lado mayor”.

Se anexa la ficha indicada en la consigna 1, como ANEXO 1

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ANEXO 1 DEL PLAN (1/6)

12

Fíjate en los lados (2/6)

Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de sus tres lados (LLL). Consigna. Organizados en equipos, construya cada uno un triángulo con la medida de los segmentos que se dan enseguida, recorten sus triángulos y compárenlos con los de sus compañeros de equipo. Después contesten las preguntas.

a) ¿Los triángulos dibujados por cada uno de ustedes fue igual al de sus compañeros de equipo?_______________________________________

b) Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qué se debieron.__________________________________________________

c) ¿Serán iguales los triángulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de sus compañeros de grupo?______ ¿Por qué?_____________________________________________

d) ¿Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener triángulos iguales? _______________

Consideraciones previas En esta actividad es importante que los alumnos observen que sus triángulos son iguales, no importa la posición en que los hayan dibujado (aquí se puede insistir que la posición no determina la igualdad o no de dos o más figuras). Asimismo, será necesario que todos los alumnos concluyan que si los tres lados de dos triángulos tienen la misma medida, entonces ambos triángulos son congruentes. Es necesario pedir juego de geometría y tijeras. Antes de llegar a esta conclusión el maestro puede cuestionarlos acerca de si creen que sea posible obtener un triángulo diferente, dadas las medidas de los tres lados.

13

Con dos lados y un ángulo (3/6)

Intención didáctica: Que los alumnos enuncien el criterio de congruencia de triángulos basado en la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL). Consigna 1. Organizados en equipos, cada uno construya un triángulo con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre ellos formen un ángulo de 60°. Comparen sus triángulos y digan qué sucedió. Consigna 2. Con los mismos datos dibujen un triángulo diferente al anterior. Comenten con sus compañeros de equipo qué sucedió y por qué. Consideraciones previas: Tal vez los alumnos digan que si el ángulo señalado se traza del lado izquierdo es diferente que si se traza del lado derecho. Será necesario cuestionarlos hasta que lleguen a la conclusión de que este hecho no importa. Una vez realizado este ejercicio será necesario que concluyan que dadas estas tres condiciones (la medida de dos lados y el ángulo que forman entre ellos) siempre se obtendrán triángulos iguales. Éste es otro criterio de congruencia. En caso de que el ejercicio se realice rápido y haya tiempo, se les puede pedir que un alumno dé la medida de dos segmentos y el ángulo que forman entre ellos, para que sus compañeros tracen el triángulo correspondiente y lo comparen. Pedir para esta clase su juego de geometría y tijeras.

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Con dos ángulos y un lado (4/6)

Intención didáctica: Que los alumnos, con base en las actividades realizadas, enuncien de manera precisa la congruencia de triángulos a partir de la medida de dos ángulos y el segmento entre ellos (ALA). Consigna 1: Organizados en parejas, construyan un triángulo con el segmento AC y los ángulos que se indican. Al terminar, compárenlo con el de otras parejas poniéndolos a contraluz. A_______________________C A = 40° C = 70° Consigna 2: Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera. Después, cada uno anote en un papelito tres medidas del triángulo que construyó para que con esta información la pareja pueda construir un triángulo igual. Comparen los triángulos para ver si efectivamente son iguales. Consideraciones previas: Es probable que algún alumno no sepa dónde y cómo trazar los ángulos que se indican, así que se les puede ayudar indicándoles cómo hacerlo. Antes de realizar la actividad de la consigna dos, posiblemente consideren que si cambian de posición los ángulos, es decir que A = 70° y C = 40°, obtengan un triángulo diferente al anterior. Conviene que verifiquen si esto es cierto y, si es necesario, pedirles que recorten el triángulo y lo comparen con el anterior. De esta manera se debe llegar a la conclusión de que dada la medida de dos ángulos y el segmento entre éstos, se obtienen triángulos congruentes. No olvidar pedir juego de geometría y tijeras. La segunda consigna es para que concluyan que con tres medidas de un triángulo dado se puede construir otro triángulo congruente, siempre y cuando las tres medidas no sean los tres ángulos. Si es necesario hay que ayudarlos a formular esta conclusión.

Se anexa la hoja de trabajo de Emat “Figuras directa o inversamente congruentes”, pá� ágs.124 y 125, para trabajar con Cabri. ANEXO 2

15

ANEXO 2

16

17

Con la misma forma (5/6)

Intenciones didácticas: Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones y la discusión acerca de la existencia y la unicidad. Consigna: De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica más abajo.

a) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes porque tienen la misma forma. ¿A qué creen que se debe que todos son semejantes? _______________________

b) Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas: ¿Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos? ______________ ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ___________ ¿Cuál es la razón entre sus áreas? _____________

c) Construya cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaños, después contesten las siguientes preguntas:

¿Por qué creen que todos los cuadrados que construyeron son semejantes? Consideren solamente dos cuadrados para contestar lo siguiente:

¿Cuál es la razón entre sus lados? ________________ ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ______________ ¿Cuál es la razón entre sus áreas? ________________

Consideraciones previas: La idea de iniciar el estudio de este apartado con el análisis de dos figuras regulares (lados y ángulos iguales), es que los alumnos tengan una idea general de lo que es la semejanza (figuras que tienen la misma forma), para después analizar algunos casos particulares. Es probable que varios alumnos pregunten qué es razón, ante lo cual hay que recordarles que una razón es un cociente entre dos cantidades. Por ejemplo, si un lado de un triángulo equilátero mide 3 cm y un lado de otro triángulo equilátero mide 5 cm, la razón entre los lados es 3/5 o bien 5/3, dependiendo de cuál triángulo se toma como punto de partida. A los alumnos les llamará la atención el hecho de que la razón entre los perímetros sea la misma que la razón entre los lados, pero no sucede lo mismo con la razón entre las áreas. Hay que pedirles que traten de explicar a qué se debe esto.

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Una razón constante (6/6) Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre las medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes. Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un triángulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos ángulos midan respectivamente 80°, 60° y 40°. Cuando termines tu trazo, haz y contesta lo que se indica en seguida.

a) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos. b) ¿Por qué creen que resultaron semejantes? ____________________________ __________________________________________________________________ c) Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los lados

correspondientes y márquenlos como se indica en el siguiente dibujo. Después, calculen las razones expresadas con letras.

''BA

AB=

''CB

BC=

''AC

CA=

d) ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los triángulos que trazaron?

_________________ e) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? _______________________________ f) ¿Cuál es la razón entre las áreas? ___________________________________

Consideraciones previas: Es importante que durante la puesta en común se explicite y se dicte el hecho de que, en dos o más triángulos que son semejantes se cumplen dos propiedades importantes: Primera: sus ángulos son respectivamente iguales Segunda: la razón entre sus lados correspondientes es constante. Esta segunda propiedad puede expresarse con letras de la siguiente manera:

''BA

AB=

''CB

BC=

''AC

CA Proponer ejercicios del libro de texto para reforzar.

B

C A

B’

C’ A’

19

Diferentes representaciones de la misma situación (1/2)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen el valor faltante en una gráfica cartesiana y logren identificar la variación directa en diversas representaciones. Consigna: Reunidos en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1) Con base en la gráfica de la travesía de una moto de carreras que va a una velocidad constante y se encuentra en determinado momento en el punto A (abscisa 20, ordenada 50) contesten las siguientes preguntas:

2) ¿Cuál de las siguientes situaciones puede asociarse con la representación anterior?

a) Luis tiene 50 años de edad y su hija Diana 20 ¿Qué edad tenía Luis cuando su hija tenía 1 año?

b) En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué

grosor es cada libro?

Consideraciones previas: Si es necesario, en el problema 1, propiciar que los alumnos reflexionen sobre la obtención de la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica. En el problema 2 sugerirles que usen la misma representación gráfica del problema 1 para validar los resultados a) y b) antes de responderlo. Si el tiempo lo permite, plantear otros problemas usando la misma gráfica, considerando que el eje de las x corresponda al tiempo (minutos) y el eje de las y, a la distancia (kilómetros) tales como:

a) ¿Cuál es la distancia que recorrió la moto a los 10 minutos? b) ¿Cuánto tiempo empleó en recorrer 40 km? c) ¿Cuál es la velocidad constante a la que se desplaza esta moto?

¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1?_________ ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?____________________ ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta gráfica?____________________________

10 20 30

10

20

30

40

50

X

y A

20

Cuáles son directamente proporcionales? (2/2) Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen el valor faltante en tabulaciones y a partir de expresiones algebraicas; asimismo, logren identificar la variación directa en diversas representaciones. Consigna 1. En equipos resuelvan el siguiente problema: Un automóvil viaja a una velocidad constante, algunas distancias y tiempos de recorrido se muestran en la tabla. Completa los datos que hacen falta en ella y contesta las preguntas.

Tiempo (h) 1.5 3 5 Distancia (km)

240 720

¿Cuál es la constante de proporcionalidad?_____________________ ¿Cuál de las siguientes expresiones d = 40t; d= 80t; d= 120t es la que corresponde? ________________________ Argumenten su respuesta ________________________________________________ Con base en la expresión algebraica identificada, calculen la distancia recorrida por el automóvil en:

a) 10 horas ________________________________ b) 12 horas y media ______________________________

Consigna 2. Dadas las siguientes situaciones identifiquen las que son variación proporcional directa y argumenten sus respuestas.

a) En la taquería de la esquina tienen esta tabla para calcular el precio de los tacos: b) El número de obreros que se necesitan para la construcción de una casa en un tiempo flexible se muestra

en la siguiente gráfica: c) La fórmula para calcular el 30% de descuento en una tienda está dada por la expresión y = 0.30x

Consideraciones previas: Tener en cuenta que el inciso b) de la consigna 2 es variación inversa y si es necesario, ayudar a los alumnos a reflexionar en esta actividad. Si el tiempo lo permite, para el caso del inciso a, se les puede pedir a los alumnos que construyan la gráfica y determinen la expresión algebraica que representa la relación de los datos. En el caso del inciso c, se les puede pedir que construyan una tabla y una gráfica que representa dicha expresión algebraica.

Tacos Precio ($)

3 12 5 20 8 32

tiempo

ob

rero

s

21

Caída libre (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática e identifiquen la expresión que modela dicha relación. Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema: Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se

registraron son los siguientes:

a) De acuerdo con la información, completen la siguiente tabla:

Tiempo Distancia de caída Altura a la que se encuentra el automóvil

0 0 245 1 5 240 2 20 3 45 4 80 5 6 7

b) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________

c) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en función del

tiempo transcurrido (t)? ________ Justifiquen su respuesta.

25td td 5 td 25 25 td Consideraciones previas: La finalidad de la pregunta del inciso b es que los alumnos, por sí solos, encuentren la relación que hay entre las dos primeras columnas de la tabla, siendo conscientes de que no es fácil encontrar dicha relación. En todo caso, el inciso c permitirá a los alumnos probar las fórmulas que se proponen y encontrar la que permite relacionar el tiempo con la distancia de caída. Una vez

encontrada la fórmula 25td , es necesario que los alumnos prueben que funciona en todos los casos y después explicarles

que en dicha fórmula hay una constante (5) que tiene que ver con la fuerza de gravedad.

Tiempo transcurrido (seg) 0 1 2 3 4 Distancia de caída (m) 0 5 20 45 80

22

Relaciones cuadráticas (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática y determinen la expresión que modela dicha relación. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación. a) .Escriban la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas.

________________________ b) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1.5

2.5

3.5

4.5

Área de la imagen (m2)

c) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de manera

que el área de la imagen sea de 24.01 m2.

d = ______________ Consideraciones previas: Es probable que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar la relación entre las variables que intervienen en este problema, puesto que es muy similar a la que se encontró en la sesión anterior. Para gestionar la actividad adecuadamente, es necesario que primero se encuentre la expresión algebraica, con base en la información de la primera tabla, y después se use para encontrar los datos que faltan en la segunda tabla. En el inciso c se trata de ver cómo los alumnos manejan la fórmula encontrada para encontrar la distancia cuando se conoce el área. El despeje que deben hacer no es simple pero ya se ha estudiado anteriormente.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1

2

3

Área de la imagen en m2

4

16

36

1 m 2 m

3 m

23

Planteando ecuaciones cuadráticas (3/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen algebraicamente relaciones de variación cuadrática. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, ¿cuál es la expresión algebraica que permite

determinar el área (y)? _____________________ Si al cuadrado se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensión, ¿cuál es la expresión que determina el área (y) del rectángulo que se ha formado? ___________________________________________

2. En la escuela se organizó un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario. a) ¿Cuántos saludos se realizan en total? ____________________________________ b). Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, ¿cuántos saludos se realizaran en total? ________________________________________ c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro tiene un jugador menos? _________________________

3. Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro de 20 metros, el cual tiene un lado de longitud x metros. Escriban una expresión algebraica que represente la variación del área (y) en función de x. ________________________________________________________

Consideraciones previas: Dado un tiempo razonable, si los equipos tienen problemas para construir estrategias para llegar a las soluciones de los problemas, se les puede sugerir que utilicen tablas con los valores de las variables o bien algún dibujo que representa la situación. Para el primer problema, una tabla como la siguiente permite deducir más fácilmente la relación de las variables.

Medida de un lado del cuadrado

Área del cuadrado

2 cm 4 cm2 3 cm 9 cm2 5 cm 25 cm2 x cm ¿ ?

Para el tercer problema un dibujo como el siguiente permite comprender mejor el problema y empezar a deducir la expresión del otro lado del rectángulo en función de x. El otro lado puede escribirse como 10 - x.

24

__?__

__?__ __?__

__x__

y = _________

Es importante subrayar que las expresiones que se piden en los problemas pueden escribirse de formas diferentes: (x) (x) o bien x2 (x + 2) (x + 3) o bien x2 + 5x + 6 x (x – 1) o bien x2 – x x (10 – x) o bien 10x – x2 Antes esta situación, se puede pedirles que resuelvan los factores para verificar su equivalencia con la otra expresión o bien pedirles que construyan una tabla con diferentes valores para la literal en cada expresión y que comparen los resultados, éstos deben ser iguales si las expresiones son equivalentes.

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¿Que tan probable es? (1/2) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.1.6 Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen la medida de la probabilidad mediante una fracción común, una expresión decimal o a través de un porcentaje y formalicen la escala de la probabilidad. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Si se realiza el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo. ¿Cuántos resultados puede

haber? _____________ Represéntenlos de tal manera que puedan verse todos. 2. Con base en los resultados de lanzar tres monedas al mismo tiempo, contesten lo siguiente:

La probabilidad del evento “Obtener 0 águilas” es 125.08

1

La probabilidad del evento “Obtener 1 águila” es _____8

3

La probabilidad de evento “Obtener 2 águilas” es _______8

La probabilidad del evento “Obtener 3 águilas” es ______

De los cuatro eventos anteriores, ¿cuál tiene mayor probabilidad? ________ ¿Por qué? _____________________________________________________________

3. Completen las siguientes afirmaciones:

a) Probabilidad del evento “Obtener 0 águilas”: 12.5 %. b) Probabilidad del evento “Obtener 1 águila”: ______% c) Probabilidad del evento “Obtener 2 águilas”: ______% d) Probabilidad del evento “Obtener 3 águilas”: ______%

4. En el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo, ¿puede haber un evento cuya

probabilidad sea 8

10? ___________ ¿Por qué? _________________________

____________________________________________________________________ Consideraciones previas: El primer reto de este plan es que los alumnos determinen el espacio muestral del experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo y de representarlo de tal manera que se visualicen todos sus elementos. Algunas posibles representaciones son las siguientes:

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Con respecto a los problemas 2 y 3, la intención es que los alumnos reconozcan que la probabilidad de un evento puede escribirse con una fracción común, con una expresión decimal o con un porcentaje. Con el problema 4, se espera que los alumnos deduzcan que la máxima probabilidad de un evento es 1 o el 100%. Este momento es pertinente para plantear preguntas de reflexión que lleven a los estudiantes a definir un evento seguro y un evento imposible y relacionarlos con su probabilidad, 1 y 0. Se sugiere seguir construyendo y utilizando las siguientes nociones: La medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento o suceso A cuando se realiza un experimento aleatorio se llama probabilidad del evento o suceso A y se representa con P(A). La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:

• Al evento o suceso imposible le corresponde el valor 0 • Al evento o suceso seguro le corresponde el valor 1.

Espacio Muestral. Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Ejemplo:

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale águila, sale sol} o E = {A, S}. Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5,

sale 6} o E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)}.

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

Obtener un número primo, A = {2, 3, 5} Obtener un número primo y par, B = {2} Obtener un número mayor o igual a 5, C = {5, 6}

S

A

A

A

A

S

S S

A

A

A

S

S S

Primer moneda

Segunda moneda

Tercer moneda

Resultado del experimento

A A A AAA A A S AAS A S A ASA A S S ASS S A A SAA S A S SAS S S A SSA S S S SSS

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¿Y los excluyentes? (2/2) Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las características de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Analicen el siguiente experimento e identifiquen las características de los eventos B y C y M y N. Experimento: Lanzar un dado. Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento B: “Cae un número menor que tres”. B = {1, 2} Evento C: “Cae un número mayor que cuatro”. C = {5, 6}

Características de los eventos B y C: __________________________________________ ________________________________________________________________________

Evento M: “Cae el número tres”. B = {3} Evento N: “Cae un número distinto de tres”. C = {1, 2, 4, 5, 6}

Características de los eventos M y N: __________________________________________ ________________________________________________________________________

2. Contesten las preguntas siguientes: a) Se lanzan cuatro volados consecutivos y en todos ellos ha caído águila. ¿Cuál es la probabilidad de

que en el quinto volado también caiga águila? _______________

b) En una caja hay cinco pelotas, una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Se realizan extracciones de una pelota al azar y se devuelve la misma a la caja. Si en la primera extracción resulta la pelota roja, en una segunda la verde y en una tercera nuevamente la roja, ¿qué probabilidad hay de sacar la pelota azul en una cuarta extracción? ________________________________________________

Consideraciones previas: Con respecto a los eventos B y C, se espera que los alumnos se den cuenta que los dos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea cuando se lanza el dado; es decir, el evento “Cae un número menor que tres” no ocurre en forma simultánea con el evento “Cae un número mayor que cuatro”, porque ningún elemento del evento B = {1, 2} aparece en los elementos del evento C = {5, 6} y viceversa. Posteriormente, el profesor puede comentar que este tipo de eventos reciben el nombre de “mutuamente excluyentes” y que su característica fundamental es que no pueden ocurrir en forma simultánea. Es muy probable que adviertan que los eventos M y N tampoco pueden ocurrir simultáneamente, por lo tanto, ahora la tarea, es que los estudiantes adviertan la diferencia entre los eventos B y C y los eventos M y N.

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La diferencia es que la suma de las probabilidades de M y N es igual al 100%, mientras que esto no sucede necesariamente con los eventos B y C. El profesor puede comentar que los eventos que cumplen con las características de M y N se les llaman “eventos complementarios”. El complemento de M es N (Mc = N) y el complemento de N es M (Nc = M) En el caso de las dos preguntas del problema 2, es muy probable que dados los resultados anteriores, los estudiantes contesten que sea más probable que caiga águila y que la pelota azul tenga menos posibilidades de salir respecto a la roja y la verde. Si fuera necesario los alumnos pueden simular los experimentos, la idea es que deduzcan que cada vez que se realiza un volado o se extrae una pelota, los espacios muestrales son iguales, por lo tanto, siempre que se lanza un nuevo volado, la probabilidad de que caiga águila siempre es igual a ½ o al 50%; en el caso de las pelotas, en cada extracción cada una de las cinco tiene el 20% de salir. Finalmente el profesor puede recapitular diciendo que cuando la probabilidad de un evento no es afectada por el resultado del otro, estos eventos se les llaman “eventos independientes”. Una vez que los alumnos han discutido ampliamente las características de los eventos mutuamente excluyentes, complementarios e independientes; se les puede solicitar que ellos busquen algunos ejemplos más de cada tipo. También se pueden plantear actividades como las siguientes: Señala en cada caso qué tipo de eventos corresponden y por qué.

a) Experimento: Lanzamiento de un dado” Evento B = {2} Evento C = {5, 6} Los eventos son: _______________________ porque _________________ __________________________________________________________________

b) Experimento: Lanzamiento de un dado” Evento B = {1, 3, 5} Evento C = {2, 4, 6} Los eventos son: _______________________ porque __________________ ______________________________________________________________

c) Experimento: Lanzamiento de un dado y una moneda”

Evento B = {6, A} Evento C = {(1, S), (2, S), (3, S), (4,S), (5,S) } Los eventos son: _______________________ porque __________________ ______________________________________________________________

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Encuestando (1/2) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.1.7 Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación. Intenciones didácticas: Que los alumnos recuerden los conceptos aprendidos en el manejo de la información tales como: tablas de datos, medidas de tendencia central (moda, mediana y media aritmética) tipos de graficas, población, muestra y frecuencias absoluta y relativa. Consigna: Lee el siguiente texto y contesta las preguntas En el pueblo de Tangamandapio hay una población aproximada de 6000 habitantes, Luis y Nancy desean poner una nevería por lo que deciden llevar a cabo un estudio Estadístico sobre las preferencias de la gente; para ello deciden entrevistar a 600 personas y les hacen la siguiente pregunta: 1.- ¿Cuál de los siguientes helados es su preferido?

a) Nieve de crema b) Nieve de agua c) Raspado d) Paleta de crema e) Paleta de Hielo

2.- Con esta información obtienen los siguientes resultados. Ayúdalos a completar los datos que faltan: Helados

Frecuencia absoluta Frecuencia Relativa Porcentaje

Nieve de crema

150

Nieve de agua

75

Raspado

Paleta de crema

180

Paleta de Hielo

125 0.2083 20.83%

Total

600 100%

3.- Contesta las siguientes Preguntas: a).- ¿Que helado tiene mayor preferencia (Moda)? ________________________ b).- De acuerdo a la lectura ¿Cómo defines población? ______________________________________________________________________________ c).- ¿Cómo se define frecuencia absoluta? _____________________________________________________________________________ d).- ¿Cómo se define frecuencia relativa? _____________________________________________________________________________ e).- ¿Cómo se define Muestra?___________________________________________________

f) De manera individual elabora 4 graficas (Poligonal, Barras, Histograma, Circular) con los datos del problema. Consideraciones previas: El maestro tendrá que explicar en el caso de que el alumno no recuerde los cálculos para obtener la frecuencia relativa la cual es: el cociente entre la frecuencia Absoluta y el total de datos, al mismo tiempo que la definición de muestra es la siguiente “Una muestra es una porción representativa de una determinada población”. Cuando no se puede realizar un censo, se recurre al muestreo, que es la herramienta que se utiliza para determinar qué porción de la realidad se estudiará”, para la elaboración de graficas el maestro podrá recordarles las características de cada una de ellas.

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Trabajando en Estadística (2/2)

Intenciones didácticas: Que los alumnos diseñen y lleven a cabo un estudio estadístico, desde la planificación del proceso hastala presentación de los resultados. Consigna 1: Organizados en equipos, planifiquen y lleven a cabo las actividades necesarias para contestar la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los deportes preferidos por los estudiantes de tu escuela? Siguiendo el modelo anterior realiza el estudio estadístico. 1.- ¿Cuál de los siguientes deportes es su preferido?

a) Básquet Bol. b) Vóley Bol. c) Fut Bol Soccer d) Beis Bol e) Fut Bol Americano

2.- Con esta información obtienen los siguientes resultados. Ayúdalos a completar los datos que faltan: Deporte

Frecuencia absoluta Frecuencia Relativa Porcentaje

Total

100%

3.- Contesta las siguientes Preguntas: a).- ¿Que deporte tiene mayor preferencia (Moda)? ________________________ b).- ¿Cual fue la población utilizada? _________________________________________________________________________ c).- ¿De qué tamaño fue la Muestra utilizada? y ¿Por qué?_______________________ ________________________________________________________________________ d) De manera individual elabora 4 graficas (Poligonal, Barras, Histograma, Circular) con los datos del problema. Consideraciones previas: El hecho de que únicamente se les plantee a los alumnos una pregunta es con la intención de que ellos hagan un trabajo amplio, desde definir la información que necesitan y cómo obtenerla hasta la presentación de los resultados. Cabe aclarar que esta actividad no es para una sesión de clase, sino para dos. Es probable que para algunos alumnos la pregunta planteada no sea interesante y hay que dejar abierta la posibilidad de que la cambien. Es importante comparar los resultados de los diferentes equipos y analizar las ventajas y desventajas de los trabajos realizados, por ejemplo, hay que ver si sólo recabaron información de una muestra o de toda la población; por qué decidieron una u otra forma de presentar los datos. Se sugiere que las muestras consideran al menos el 10% de la población.

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A modelar, pero las ecuaciones (1/4)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización al resolver problemas y ecuaciones de la forma ax2+bx=0. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. El área de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado?

2. El triple del área de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es igual a cero. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado?

Consideraciones previas:

En el primer caso se espera que los alumnos escriban la ecuación xx 82 ; luego, es muy probable que vayan probando con diferentes números hasta encontrar el valor de x que cumple con las condiciones del problema, que en este caso es 8. Quizás algunos intenten despejar y lleguen a lo siguiente:

082 xx Si esto sucede, ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la ecuación como x(x – 8) y que como este producto es igual a cero, uno de los factores, o los dos, debe ser cero. De manera que, o bien x=0, o x-8=0. De esta última ecuación se desprende que x=8. De estas dos soluciones, x1 = 0 y x2 = 8, claramente la que cumple con las condiciones del problema es 8.

Puede ocurrir que en la ecuación xx 82 , algunos alumnos hagan lo siguiente:

8

8

82

2

x

x

x

x

x

xx

Esta es otra manera de encontrar una de las soluciones de la ecuación.

En el segundo problema la ecuación que se espera que planteen los alumnos es: 063 2 xx . Una vez que han planteado la ecuación correctamente, pedirles que expresen a 3x2 -6x como el producto de dos factores. En esta parte es muy probable que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones equivalentes: x(3x -6)=0; 3x(x -2)=0; luego, que encuentren que los valores de x son 0 y 2. Agregado: concusión. Para factorizar ax²+bx=0 se obtiene un factor común. NOTA: Es importante incluir los temas relacionados a productos notables del primer bimestre y de textos que apoyen el contenido.

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Usa la factorización y resuelve (2/4) Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver problemas que implican ecuaciones de la forma ax2 =bx. Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema: La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un año mayor, da como resultado cinco veces la edad del primero. ¿Cuáles son las edades de Luis y de su hermano? Consideraciones previas: Se espera que los alumnos planteen la ecuación: x(x+1) = 5x Una vez que hayan planteado la ecuación y traten de despejar x, es probable que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones: x2 – 4x = 0 o x2 = 4x En este caso, conviene retomar el primer caso y ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la ecuación, transformándose la expresión en x(x – 4) = 0, y que los valores para x son 0 y 4. En el segundo caso, es conveniente pedirles que igualen a cero la ecuación. Una vez que hayan logrado determinar los valores de x, es necesario que verifiquen cuál de ellos es la solución del problema. Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta técnica que consiste en factorizar la ecuación para encontrar las soluciones, hay que plantearles muchos otros problemas como los siguientes: Calcular el lado de un cuadrado, sabiendo que el triple de su área es igual a 21 veces la longitud del

lado. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo número. ¿Cuáles es ese número?

También se les puede pedir que resuelvan algunas ecuaciones como las siguientes:

a) x(x+2)=4x b) 2x(x+1)=0 c) 2x2-4x=0

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Factorízalas, implícalas y resuélvelas (3/4) Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver problemas que implican ecuaciones de la forma ax2+ bx + c =0. Consigna. En equipo, resuelvan los siguientes problemas: A un cuadrado (Fig. A) se le aumenta 7 cm de largo y 3 cm de ancho, con lo que se forma un rectángulo (Fig. B) cuya área es x2+10x+21. Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica. a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido (Fig. B)? Base: _________ altura: _____________ b) Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+10x+21 c) Si el área de un rectángulo similar al de la figura B, es x2+9x+18, ¿cuántos centímetros se le aumentó

de largo y cuántos de ancho? d) Si el área x2+9x+18 es igual a 40 cm2, ¿cuántos centímetros mide de largo y cuántos centímetros

mide de ancho el rectángulo? Consideraciones previas: Aunque en el primer apartado del bloque 1 se haya trabajado la factorización, hay que tomar en cuenta que factorizar es una tarea compleja, por lo que en el caso del inciso c, hay que ayudarles a que se den cuenta que para encontrar los términos no comunes basta con descomponer el tercer término en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados den como resultado el tercer término del trinomio. Con ello, se espera que los alumnos factoricen al trinomio como )3)(6( xx y determinen que se le aumentó 6cm de largo y 3cm de ancho.

En el caso del inciso d, se espera que los alumnos primero establezcan la igualdad 401892 xx , luego igualen a cero y después factoricen; sin embargo es muy probable que algunos alumnos hagan lo siguiente: 40)3)(6( xx y luego por ensayo y error determinen el valor de x. Si esto sucede hay que

decirles que un camino es igualar a cero y luego factorizar, es decir, obtener la ecuación: 02292 xx

y luego factorizarla para obtener 0)2)(11( xx . Al llegar a esta forma hay que ayudarles a ver que

cada uno de los binomios se puede igualar a cero y se despejan las incógnitas, con lo cual se obtienen las dos soluciones de la ecuación: x1= -11 y x2= 2. Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son 8cm de largo por 5cm de ancho.

Fig. A

x

x

Fig. B

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Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros problemas para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo: a) ¿Cuántos metros mide por lado el siguiente cuadrado? b) ¿Cuántos centímetros mide la base y cuántos centímetros mide la altura del siguiente paralelogramo? c) ¿Cuáles son las dimensiones del siguiente rectángulo? Nota: se recomienda haber trabajado previamente las ecuaciones de tipo X² + (a+b)x + ab Es fundamental que el alumno domine las operaciones algebraicas, así como el despeje de variables, puntualización en las ecuaciones cuadráticas: completas e incompletas específicamente para este plan. ax²+bx=0

A = 100 m2 x + 5

x + 5

x + 8

x A = 48 cm2

x2 +6x +8= 35 cm2

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Ésta foto la veo doble, ¿cuánto medirá? (4/4) Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver problemas y ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0. Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema: Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografía y colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un rectángulo cuya área es 72 cm

2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que se forma? Consideraciones previas: Al relacionar los datos del problema, se espera que los alumnos formulen la ecuación x(28+4x)=72 y después a su

equivalente: 72284 2 xx . Después, plantearles la siguiente pregunta. ¿Qué se puede hacer para simplificar la ecuación?

La idea de es que dividan entre 4 para llegar a lo siguiente: 1872 xx Una vez que los alumnos lleguen a la ecuación anterior hay que pedirles que la igualen a cero y que la expresen como producto de dos factores que tienen un término común. Esta expresión escrita en su forma general es la siguiente: (x+a)(x+b)=0, misma que es equivalente a: x

2+ax+bx+ab= x

2+(a+b)x+ab,

es decir, se trata de encontrar dos números que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el término independiente. Para la ecuación x

2+7x-18=0 esos números son: (x+9)(x-2)=0. A partir de aquí, las soluciones están

a la vista: x1=-9 x2=2 Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo que se forma con las ocho piezas es 36 cm de largo por 2 cm de ancho. Una variante del problema consiste en plantearles que el área de todo el rectángulo, formado por la foto y su marco es (2x + 6)(2x + 8)= 48 + 72. Pedirles que resuelvan esta ecuación para hallar el ancho y el largo del marco armado. Para consolidar esta técnica se puede proponer que resuelvan por factorización ecuaciones como las siguientes:

a) 4x2 + 6x = 0

b) 5x2 + 10x = 0

c) x2 + 4x = 7x

d) x2 + 6x +8 = 0 e) m

2 + 10m + 21 = 0

f) n2 – 6 = - n

g) x2 - 10x + 25 = 0

h) x2 = - 6x - 9

i) 12x +36 = - x2

o que encuentren una ecuación cuyas soluciones sean por ejemplo: a) x1 = 3, x2= -1 b) x1 = 5, x2= 7 c) x1 = -4, x2= -1 d) x1 = -4, x2= 3

x x 8

6

36

Movimientos de rotación y traslación (1/5)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM

Contenido 9.2.2: Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Intención didáctica. Que los alumnos identifiquen las propiedades de la traslación. Consigna1. Organizados en parejas contesten las preguntas, con base en la información que ofrece el siguiente dibujo.

1. Cuando se habla de movimientos, hay dos que son muy conocidos, la rotación y la traslación. ¿Cuál de ellos creen que se muestra en el dibujo? ___________________________

2. ¿Cuál es la medida del movimiento que se realizó? ________¿Cómo lo averiguaron? _________________________________________________

3. ¿Cuáles medidas del triángulo ABC, que es la figura original, se conservan en el triángulo A’B’C’? __________________________________________

4. ¿Cómo son los lados homólogos de ambos triángulos?______________ Consideraciones previas: Al término de esta actividad, se espera que los alumnos concluyan que los lados homólogos de las dos

figuras son paralelos y tienen la misma medida, así como los ángulos correspondientes. Se les puede

preguntar cómo llegaron a la conclusión anterior (midiendo los lados y los ángulos, recortaron una figura y

la superpusieron en la otra, etc.) En la segunda pregunta es probable que las respuestas varíen

ligeramente y es correcto que así sea. Lo importante es que quede claro que las distancias entre dos

vértices correspondientes cualesquiera debe ser la misma. Al final hay que decir que la flecha es la

directriz del movimiento que se realizó.

A

B

C

B’

C’

A’

37

Consigna 2. Individualmente, realiza la traslación del polígono PQRST, considerando la directriz que se marca. Nombra P’Q’R’S’T’ a la figura que trazaste.

Consideraciones previas. Para revisar los trazos realizados por los alumnos, conviene que se reúnan en equipo e intercambien las hojas. Es conveniente que el maestro propicie que el alumno concluya que en todo movimiento de traslación los lados de las figuras y su imagen son congruentes y paralelos, sus vértices equidistantes y ángulos congruentes y que toda traslación tiene una dirección y magnitud determinada por la directriz. Por lo tanto, sobre la punta de la flecha se encontrará el punto P’ y los movimientos de los otros vértices de la figura tendrán que ser paralelos a la directriz.

P

Q

S

T

R

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¡¡¡Mejor rótala no te hagas!!! (2/5) Intención didáctica. Que los alumnos identifiquen las propiedades de la rotación. Consigna1. Organizados en parejas contesten las preguntas, con base en la información que ofrece el siguiente dibujo.

1. Cuando se habla de movimientos, hay dos que son muy conocidos, la rotación y la traslación. ¿Cuál de ellos creen que se muestra en el dibujo? ___________________________

2. ¿Cuál es la medida del movimiento que se realizó? ________¿Cómo lo averiguaron? _________________________________________________

3. ¿Cuáles medidas del rombo ABCD, que es la figura original, se conservan en el rombo A’B’C’D’? __________________________________________

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos deduzcan que el ángulo que deben medir es AOA’ y comprueben que es el mismo que BOB’, COC’ y DOD’. Si esto no sucede, se puede preguntar acerca de los ángulos que se forman entre los vértices homólogos y el centro de rotación (o). Asimismo, deberán concluir que al girar cualquier figura, ésta conserva la medida de sus lados y de sus ángulos, por lo tanto, las figuras ABCD y A’B’C’D’ son congruentes.

C

A

D

B

O

B'

C'D'

A'

39

Consigna 2: Con sus mismos compañeros comenten cuánto deben girar las siguientes figuras sobre su centro para quedar en la misma posición y digan qué relación existe entre la medida de ese ángulo y el ángulo central de la figura.

Consideraciones previas: Primero los alumnos deben encontrar el centro de cada figura (una forma es con el trazo de sus diagonales, con excepción del triángulo cuyo centro se encuentra con el cruce de sus mediatrices). Posiblemente recurran a recortar las figuras y con un alfiler o algo semejante sobre su centro las hagan girar. Deberán llegar a la conclusión de que, en el caso de los polígonos regulares, el ángulo de giro para que la figura quede en igual posición y su ángulo central tienen la misma medida. Si el tiempo lo permite, se les puede dar la siguiente consigna, si no da tiempo, este trabajo se puede realizar como tarea y hacer la puesta en común la siguiente clase. Consigna 3. De manera individual efectúa la rotación de la siguiente figura.

a) ¿Cuántos grados gira la figura en cada movimiento? _______________ b) Al tercer movimiento, ¿cuántos grados habrá girado la figura?__________ c) ¿Cuántos movimientos son necesarios para que la figura A regrese a la posición

original?________________ Consideraciones previas. En este ejercicio se quiere que los alumnos deduzcan la posición de la figura después de cada giro de 90° teniendo como centro de rotación el centro del cuadrado. Se puede pedir a los alumnos que elaboren o recorten un cuadrado en una hoja de papel y efectúen los movimientos en cada paso y así comprobar que requiere de un giro de 360° o cuatro movimientos de 90° para llegar a la posición original; también se pueden aprovechar estos movimientos dando sentido al ángulo (positivo o negativo). Se debe considerar el material necesario para que los alumnos realicen las actividades (compás, escuadras y transportador). Se puede proponer que elaboren algún diseño basado en la rotación de figuras.

A

40

Mírate al espejo haber que ves (3/5)

Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan y reconozcan diseños que combinen la simetría axial y central. Consigna: Organizados en equipos, tracen la imagen del triángulo ABC, considerando a “y” como eje de simetría y obtengan el triángulo A’B’C’; enseguida reflejen esta figura tomando la recta “x” como eje de simetría, para obtener la figura A’’B’’C’’. Al finalizar, comenten mediante qué movimiento podrían

obtener la figura A’’B’’C’’ directamente de la figura ABC.

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos usen lo que saben de simetría axial, que relacionen el resultado de dos simetrías axiales sucesivas a través de dos ejes perpendiculares, con la simetría central, cuyo centro de simetría está en la intersección de los dos ejes. También se les puede preguntar si se obtendría la misma figura (A’’B’’C’’) si primero se traza la imagen con respecto a x y después la imagen de ésta con respecto a y. Cualquiera que sea la respuesta a la pregunta hay que pedirles que la verifiquen realizando los trazos.

y

x

41

G

A

B

C e

H

F

E

D

Propiedades de la Simetría (4/5) Intenciones didácticas: Que los alumnos anticipen los efectos sobre los valores de las coordenadas, al construir una figura simétrica con respecto a un eje de coordenadas. Consigna 1: Organizados en equipos, hagan lo que se indica.

a) Anoten los valores que hacen falta en las tablas 2 y 3. b) Localicen los puntos en el plano cartesiano y tracen las figuras. c) Verifiquen que la figura que resulta de la tabla 2 es simétrica a la original con respecto al eje y. d) Verifiquen que la figura que resulta de la tabla 3 es simétrica a la que resulta de la tabla 2, con

respecto al eje x. y x -

10 -

8 -

6 -

4 -

2

2 4 6 8 10 12

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Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Figura original

Simétrica con respecto al

eje y

Simétrica con respecto al eje x

A( 0, 2) A’( , ) A’’( , ) B( -2, 1) B’( , ) B’’( , )

C( -7, 0.5) C’( , ) C’’( , ) D( -8, 1) D’( , ) D’’( , )

E (-5, 1.5) E’( , ) E’’( , ) F( -7, 2) F’( , ) F’’( , ) G(-6, 6) G’( , ) G’’( , )

H( -1, 3) H’( , ) H’’( , )

Consideraciones previas: Durante la puesta en común hay que destacar el hecho de que en la tabla 2 (simétrica con respecto a y) los valores de las abscisas son simétricos a los de la tabla 1, mientras que los valores de las ordenadas son iguales. En cambio los valores de la tabla 3 (simétrica con respecto a x) los valores de las abscisas son iguales y los de las ordenadas son simétricos. Modificado Observaciones posteriores: se corrigió el punto G y se elimino el I por que no esta en el plano

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Rotación o traslación (5/5) Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan y reconozcan diseños que combinen la simetría axial con la traslación. Consigna: Organizados en equipos, hagan lo siguiente:

a) Tracen el simétrico del triángulo ABC con respecto a la recta e, para obtener A’B’C’. b) Considerando al eje w, reflejen el triángulo A’B’C’ y obtengan el triángulo A’’B’’C’’. c) ¿Mediante qué movimiento y con qué medida se puede llegar del triángulo ABC directamente al

triángulo A’’B’’C’’? ___________________________

Consideraciones previas: Conviene aprovechar esta actividad para enfatizar las propiedades de la simetría axial y de la traslación, pidiendo a los alumnos que comprueben la equidistancia, el paralelismo y la perpendicularidad de los segmentos hacia el eje de simetría de la primera y tercera figuras, así como la congruencia de ángulos correspondientes y lados homólogos.

w e

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Transformaciones en el plano (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEyM Contenido: 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Intenciones didácticas. Que los alumnos anticipen cómo cambia una figura, al aplicarle una simetría, una rotación o una traslación. Consigna. Organizados en parejas, averigüen cuáles transformaciones se realizaron para pasar de la figura original a la final. En cada uno de los casos, señalen con líneas punteadas las transformaciones que identificaron. Caso 1

Caso 2

A´ B´

C´ D´

A B

C D

Q

R

S

p

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Caso 3

Q´

R´

S´

P´

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En cada caso, escribe qué tipo o tipos de transformaciones sufrió la primera figura para obtener la segunda.

Trapecio isósceles: ________________________________________________

Cuadrilátero PQRS: __________________________________________________

Pentágono ABCDE: __________________________________________________

A

B

C D

E E´

D´ C´

B´

A´

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Consideraciones previas Con respecto al primer caso, es probable que surjan diferentes respuestas, por ejemplo, algunas de ellas podrían ser: - primero se realiza una simetría axial con relación al eje x, luego una simetría central con centro de simetría sobre el eje y. - primero una simetría axial con relación al eje y, luego una traslación con dirección vertical y sentido hacia abajo. - una traslación con dirección oblicua y sentido hacia abajo. - Dos traslaciones, una con dirección horizontal y sentido a la derecha y otra con dirección vertical y sentido hacia abajo. Cualquiera de estas respuestas es válida, siempre y cuando se indiquen con líneas punteadas las transformaciones realizadas, como se muestra en la siguiente figura.

Con respecto al caso 2, también pueden surgir diferentes respuestas, por ejemplo, aplicar dos simetrías axiales como se muestra en la siguiente figura.

En el caso 3, no está marcado ningún eje de simetría, esto es con la finalidad de que los alumnos tracen los que consideren necesarios. Seguramente la mayoría de los alumnos identificarán una simetría axial y una traslación, pero puede haber otras respuestas válidas, como se muestra en la siguiente figura.

Durante el análisis colectivo de los tres casos, hay que tratar de que los alumnos se familiaricen con el lenguaje convencional, como lados homólogos, la imagen de un punto, dirección, sentido, etcétera, así como con la idea de que en este tipo de transformaciones las medidas de lados y ángulos se conservan.

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Construyendo y combinando movimientos (2/3) Intenciones didácticas. Que los alumnos identifiquen el proceso de construcción corto o directo de figuras. Consigna. Organizados en parejas describan el proceso más corto para construir los siguientes logos, empleando traslación, rotación y simetrías.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

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Consideraciones previas: Se espera que los alumnos puedan reconocer varios tipos de procesos de construcción que pueden deducir a partir del análisis de sus formas y relaciones da cada uno de los logos. Por ejemplo, para el primer logo, a partir de dos simetrías axiales de un rombo se forma el logo. E el caso del segundo logo, puede ser una simetría central o dos traslaciones. Para reafirmar los conocimientos, se puede proponer que analicen los siguientes mosaicos e identifiquen un patrón que a partir de la combinación de diferentes movimientos giros o simetrías se puede cubrir el plano.

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Nota aclaratoria los alumnos deben de tener muy claro en que consiste una simetría axial, una central. Que y cuando es rotación y una traslación.

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Sigue construyendo (3/3) Intenciones didácticas. Que los alumnos construyan diseños que impliquen realizar transformaciones de rotación traslación, simetría axial o central. Consigna. De manera individual, elije cualquiera de las siguientes figuras y construye mosaicos por traslaciones, por rotaciones o por simetrías.

a) b) c)

d) e) f) Consideraciones previas: Se espera que a partir de realizar rotaciones, simetrías o traslaciones puedan generar mosaicos. Por ejemplo, para el primer caso, podrán llegar a lo siguiente:

En el caso del inciso c) podrían generar mosaicos como por ejemplo: En los casos de los incisos d) y f), podrían formar mosaico como por ejemplo:

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Los mosaicos que podrían generar, depende del tipo de transformaciones que vayan haciendo los alumnos con las figuras. Para profundizar en el estudio de mosaicos generados por simetrías o por rotaciones, se les puede sugerir que consulten la siguiente página electrónica, donde podrán ver algunos ejemplos de cómo se generan mosaicos a partir de una figura llamada motivo; es decir, una pieza teórica, lo más pequeña posible de un mosaico. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/mosaicos/mosaicos.htm Luego, se les puede pedir que inventen un motivo y generen mosaicos combinando varios tipos de transformaciones.

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Relaciona las áreas (1/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M Tema: Medida Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la superposición de superficies y el cálculo de áreas. Consigna 1: Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente triángulo. Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor.

¿Con las figuras recortadas lograron cubrir toda la superficie del cuadrado mayor? ¿Por qué crees que sucede esto? ¿Qué clase de triángulo es el que está sombreado?

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Consigna 2: En los mismos equipos, resuelvan el siguiente problema: Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados.

¿Cuánto mide el área de cada una de las plazas? Encuentren qué relaciones hay entre las áreas de las tres plazas. ¿Qué figura geométrica representa el jardín? Consideraciones previas: Para realizar la actividad de la primera consigna se requieren tijeras, hojas de colores o de foami. Esta forma de comprobar la relación entre las áreas de los cuadrados es válida para el triángulo rectángulo isósceles. El armado de la figura de la primera consigna puede quedar así:

Se espera que los alumnos digan que es un triángulo rectángulo isósceles y que determinen que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados iguales es equivalente al área del cuadrado del lado mayor. En la segunda consigna, mediante el cálculo de las áreas de las plazas, se espera que los estudiantes se den cuenta que al sumar las áreas de los cuadrados menores el resultado es igual al área del cuadrado mayor. Es importante que los alumnos adviertan que no es la única relación, sino que determinen que hay otras relaciones, el área de un cuadrado menor es igual al área del cuadrado mayor menos el área del otro cuadrado menor.

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Verifica las relaciones (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos verifiquen las relaciones entre las áreas construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la comparación de superficies y de forma algebraica. Consigna 1. Reunidos en binas, comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qué relación hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1.

Con base en la relación que encontraron y considerando la figura 3, elaboren una conclusión. Figura 3 Consigna 2: En la misma bina, analicen las siguientes figuras y comprueben algebraicamente que la suma de las áreas sombreadas de la figura A es igual al área sombreada en la figura B.

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57

Consideraciones previas: Para efecto de cálculos, en la consigna 1 cada cuadrado de la cuadrícula representa una unidad de medida. La expectativa es que los alumnos adviertan que los cuatro triángulos de la figura 1 son iguales entre sí y con los cuatro triángulos de la figura 2, por lo tanto, la suma de las áreas de los dos cuadrados interiores de la figura 1 equivale al área del cuadrado interior de la figura 2. A partir de la equivalencia anterior y considerando la figura 3, se trata que los estudiantes verifiquen que se cumplen las relaciones entre los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Esta actividad puede realizarse utilizando el recurso tecnológico llamado “geogebra”, con la ventaja que al mover un vértice de la figura para cambiar sus dimensiones se puede apreciar que la relación entre las áreas de los cuadrados se conserva.

Si cuenta con Geogebra en su equipo, esta actividad la podrá descargar en: http://www.supervision12sectec.com.mx/Documentos/matematicas/plan%20de%20clase%20para%203%b0%20pagina%20web.ggb En la segunda consigna se trata que los alumnos recurran a sus conocimientos de álgebra para comparar las áreas de las figuras A y B y determinar que la suma de las áreas de los cuadrados internos de la figura A es equivalente al área del cuadrado interno de la figura B. Una forma de proceder es la siguiente:

(a + b)� =4ab

2+ c�

a� + 2ab + b� = 2ab + c� a� +b� = c� Que al contrastar dichos cuadrados con la figura C, puedan verificar una vez más las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. También se les puede solicitar que representen algebraicamente el área de uno de los cuadrados menores, si se conoce el área del cuadrado mayor y la del otro menor, para lo cual tendrán que despejar en a� +b� = c�.

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Construyendo el cuadrado en cada lado del triángulo (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos infieran que sólo en los triángulos rectángulos se cumple que el área del cuadrado construido con la medida del lado mayor es equivalente a la suma de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores, mediante el cálculo de las áreas. Consigna: Organizados en equipos calculen el área de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada triángulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide.

No. Figura

Suma de las áreas de los cuadrados

con las medidas de los lados menores

Área del cuadrado con la medida del lado mayor

Nombre del triángulo por la medida de sus

ángulos

Nombre del triángulo por la medida de sus

lados 1

2

3

4

¿En qué triángulos se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

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Escriban una conclusión acerca de la relación que encontraron. Modificado. Consideraciones previas: Después que los alumnos analizan diferentes triángulos, la expectativa es que determinen que sólo en los triángulos rectángulos la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor. Después de todas las experiencias relacionadas con este contenido, el profesor puede comentar que en un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado mayor) y los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos (lados menores) y que la propiedad estudiada “la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor”, la cual es exclusiva de los triángulos rectángulos, recibe el nombre de “Teorema de Pitágoras”. Esta propiedad se puede enunciar de manera sintética así, “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. En internet hay muchas opciones para consolidar este conocimiento, algunas de ellas se muestran a continuación:

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html En matemáticas 3°, Forma espacio y medida. Reactivo 38, teorema de Pitágoras /demostración/sumar áreas.

www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html. http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm

Videos: http://www.youtube.com/watch?v=9wexfpHMDCk http:/www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06

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Deduciendo el Teorema de Pitágoras (1/4) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM Contenido: Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras Contenido: 9.2.5 Que los alumnos, a través de la elaboración de figuras geométricas, deduzcan la relación entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triangulo rectángulo. Consigna: De manera individual, haz lo que se indica enseguida. Necesitas cartulina, tijeras y juego geométrico.

Traza un triángulo rectángulo con tres medidas diferentes que tú elijas. Traza sobre cada uno de los lados un cuadrado. Sobre el cuadrado mediano traza dos rectas que pasen por el centro, pero que sean paralelas a

los lados del cuadrado grande. (Observa el dibujo de abajo). Recorta el cuadrado mediano sobre las rectas trazadas para obtener cuatro partes. Recorta el cuadrado más pequeño. Con las cuatro piezas y el cuadrado menor cubre el cuadrado construido sobre la hipotenusa, de

manera que no queden huecos ni piezas sobrepuestas.

a) Comenten sus resultados y anoten las conclusiones acerca de la relación que existe entre el área de los cuadrados de los catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa.

b) Escriban una expresión algebraica que represente dicha relación. Modificado.

Consideraciones previas: No olvidar pedir a los alumnos los materiales para la actividad: cartulina, juego geométrico, lápiz y tijeras. Es probable que los alumnos tengan dificultades con el manejo de las escuadras, por lo que se les puede orientar al respecto. Durante la actividad se precisarán los términos: triángulo rectángulo, cateto, hipotenusa, cuadrado, área, paralelas, centro de un cuadrado. Con la manipulación de los recortes se pretende que relacionen las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo, para que concluyan que “el área de los dos cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa” y que construyan la expresión algebraica que lo representa, los alumnos podrán utilizar cualquier literal para ello.

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Buscando la relación de los cuadrados (2/4) Intención didáctica: Que los alumnos expresen algebraicamente las relaciones entre los cuadrados de los lados de triángulos rectángulos. Consigna. Reunidos con dos compañeros, realicen lo que se indica enseguida: 1. Expresen algebraicamente los valores solicitados en función de las otras dos variables.

________________2 z ________________2 c ________________2 c

________________2 x ________________2 a ________________2 a

________________2 y ________________2 2 a ________________2 b

________________z ________________c ________________a

________________x ________________a ________________b

________________y ________________c

2. En cada figura, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la siguiente afirmación conocida como Teorema de Pitágoras? Escríbanla en cada espacio correspondiente. “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Figura 1: _____________ Figura 2: _____________ Figura 3: _____________

x

y z a

a

c

a

b

c

Figura 1 Figura 2 Figura 3

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Consideraciones previas: En los planes de clase del contenido 9.2.4, los alumnos realizaron varias actividades que implicaron determinar las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo y concluyeron que “la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor”, esta propiedad es exclusiva de los triángulos rectángulos y recibe el nombre de Teorema de Pitágoras. Ahora se trata de simbolizar esta propiedad y las relaciones que se desprenden de ella. Con respecto a la primera actividad, es probable que algunos alumnos se les dificulte escribir las expresiones algebraicas solicitadas; si esto ocurre, se les puede plantear preguntas de reflexión sobre los significados de cada expresión, por ejemplo, para el primer caso, se les puede plantear las siguientes preguntas: Si se construye un cuadrado que tenga por lado la hipotenusa representada como z, ¿qué representa z2? ¿Qué representa x2? ¿Y y2? ¿A qué equivale z2? Con ello, se espera que los alumnos puedan reconocer que z2 representa el área del cuadrado sobre la hipotenusa; por lo que z2 equivale a x2 + y2. Una vez que los alumnos logren establecer la igualdad z2 = x2 + y2, se espera que no haya dificultad en escribir las relaciones restantes, ya que sólo implica realizar despejes de la relación z2 = x2 + y2. Con respecto a la segunda actividad, es probable que para la figura 2, los alumnos digan que hay un error, es decir, que un cateto del triángulo rectángulo isósceles debe asignarse con otra letra. Si esto ocurre, aclarar que se usa la misma letra o literal “a” porque los dos catetos son iguales. En este caso, se espera que los alumnos escriban cualquiera de las dos expresiones algebraicas siguientes: c2 = a2 + a2 c2 = 2a2

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Aplicando el Teorema (3/4) Intención didáctica: Que los alumnos apliquen el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora. 1. Un albañil apoya una escalera de 5 m de largo contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2

m del muro. Calculen a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera. 2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina

opuesta diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48 m y 64 m.

3. ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje

en forma de rombo, si cada lado mide 26 m y la diagonal menor 40 m? 4. El pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte del pueblo A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km

al este de B. ¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C?

Consideraciones previas: En los problemas anteriores será muy común encontrar que los alumnos dibujen la situación para ayudarse a comprenderla, sin embargo, en la puesta en común se pueden compartir las diversas estrategias aplicadas. En todos los casos, es pertinente utilizar el teorema Pitágoras para encontrar la respuesta. Con respecto al problema 4, es probable que los alumnos no sepan interpretar adecuadamente el problema. Si sucediera que nadie en el grupo hace una clara interpretación de las posiciones de A, B y C, será necesario orientarlos al respecto a través de preguntas como: ¿cuál es el primer punto que debemos ubicar? ¿Dónde está el siguiente pueblo (B)?, etc., incluso se les puede pedir que justifiquen sus

respuestas. Una vez hecho un dibujo semejante al de abajo, se les dejará buscar la manera de responder la pregunta del problema.

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Teorema de Pitágoras y las figuras semejantes (4/4) Intención didáctica: Que los alumnos usen el Teorema de Pitágoras y las propiedades de figuras semejantes para resolver problemas. Consigna: Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Individualmente, calculen el perímetro de cada uno. Consideraciones previas: Para resolver este problema no basta aplicar el teorema de Pitágoras, sino que es necesario recordar y aplicar las propiedades de los triángulos semejantes.. Para llegar a la respuesta, existen varios caminos, por ejemplo, es probable que algunos alumnos se les ocurra primero determinar el valor de x por teorema de Pitágoras, luego, por semejanza determinar el valor de z, para finalmente determinar por semejanza o por Pitágoras el valor de y. Es importante que mientras los alumnos trabajan, observar si han quedado claros los dos conceptos o si hay dificultad en alguno de ellos. Si el tiempo lo permite se puede pedir al grupo que resuelva los siguientes problemas, si no, se pueden dejar de tarea y revisar sus procedimientos en una puesta en común en la siguiente clase. 1. En la siguiente figura los triángulos son semejantes. Calcula la longitud x y determina la distancia entre los puntos A y B. 2. Calcular el área de un hexágono regular si se sabe que la longitud de cada uno de sus lados mide 4 m.

x 32

60 cm

1 y

z

8 cm 2

A

B

x

144 cm 48 cm

64 cm

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Eventos simples, compuestos y complementarios (1/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre el espacio muestra de un experimento aleatorio, sobre el significado de eventos simples, compuestos y complementarios y calculen su probabilidad. Consigna: Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tres de tus compañeros más cercanos. 2 3 1 4 8 5 7 6 1. Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en…

a) el número 5? _____________ b) un número menor que 4? _____________

c) un múltiplo de 2? _______________

d) un número impar? _________________

e) un número que no sea impar?

f) un número impar o par? _____________

2. Si se lanza el tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede sobre la superficie plana, …

a) sea color rojo? ___________

b) no sea de color rojo?

c) sea color verde o rojo? ___________

d) sea color verde o blanco o rojo? ___________

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Consideraciones previas: Es conveniente plantear primero el problema uno y hacer una puesta en común para analizar los resultados de los seis incisos. Debe quedar claro que el espacio muestra en el experimento de la ruleta es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y que a cada elemento le corresponde una probabilidad de 1/8. Con base en esto se podrán contestar las primeras seis preguntas. Si los alumnos preguntan cuáles son los múltiplos de dos hay que decirles que son todos los resultados de la tabla del dos. El evento “que se detenga en un número que no sea impar” es complementario del evento “que se detenga en un número impar”. Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestra y su intersección es vacía. Dicho de otra manera, el complemento de un evento A son todos los elementos del espacio muestra (E) que no se encuentran en A. La probabilidad de un evento complementario Ac es:

APAc 1

Así, la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número impar es 4/8 o bien ½. La probabilidad de su complemento “que se detenga la ruleta en un número que no sea impar” es 1 – ½ = ½. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1. Por lo que la probabilidad de que se detenga la ruleta en un número impar o par, es la suma de las probabilidades: “La probabilidad de que se detenga en un número par” más “la probabilidad de que se detenga en un número impar”, es decir, 4/8 + 4/8 = 1 En el segundo problema también conviene destacar el espacio muestra y enfatizar el hecho de que en los incisos c y d, se trata de eventos compuestos y que los conectivos “o” indican que se trata de la probabilidad de que suceda cualquiera de los dos o de los tres eventos, a diferencia del conectivo “y”, que se refiere a la probabilidad de que sucedan dos o más eventos a la vez. Por lo tanto, la probabilidad en el inciso c) es ¼ + ¼, mientras que en d) es ¼ + ¼ + ¼. Nota: Dos eventos son complementarios cuando la suma de sus probabilidades es 1 El conectivo(o) indica que ocurre uno u otro evento, el conectivo (y) indica que ocurren los dos eventos

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Eventos mutuamente excluyentes (2/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos distingan dos eventos que son mutuamente excluyentes de aquellos que no lo son y busquen, en este último caso, la manera de calcular la probabilidad.

Consigna: Resuelvan en equipos los siguientes problemas. Se hace referencia a la ruleta de la sesión anterior. 1. Si se tienen los eventos:

A. Que la ruleta se detenga en un número menor que cuatro. B. Que se detenga en un número múltiplo de cuatro.

a) ¿Cuál es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________ b) ¿Cuál es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________ c) ¿Qué significa que ocurra A o B?___________________________________ d) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________ Expliquen su respuesta. 2. Ahora se tienen los eventos siguientes:

C. Que la ruleta se detenga en un número mayor que cuatro. D. Que la ruleta se detenga en un múltiplo de cuatro.

a) Obtengan: p(C) = __________ p(D) = __________ b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________

3. Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las formas de obtenerlos. ¿Existe alguna diferencia en estos eventos? ¿Cuál? Consideraciones previas: Es conveniente que siempre que los alumnos calculen la probabilidad de un evento compuesto obtengan primero el espacio muestra y la probabilidad particular de cada evento, esto les permitirá apreciar si hay elementos comunes o si no los hay. Si no los hay ya saben que el resultado es la suma de las probabilidades particulares, si los hay, es probable que por sí solos concluyan que no se puede contar dos veces el mismo elemento del espacio muestra.

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La probabilidad en los eventos excluyentes (3/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). Intenciones didácticas: Que los alumnos consoliden los procedimientos para calcular la probabilidad de eventos compuestos. Consigna 1. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Se tienen dos dados, uno azul y otro rojo, que tienen sus caras marcadas con puntos del uno al seis. El experimento consiste en lanzar simultáneamente los dos dados. Los resultados posibles del experimento son parejas de números en los cuales el primero es el número de puntos del dado rojo y el segundo del azul. Completen la tabla.

D A D O A Z U L 1 2 3 4 5 6

DA

DO

RO

JO 1 1,1

2 2,2 3 4 5 5,4 6 6,5

a) ¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento? ________________ b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos? ____________ c) Anoten los resultados que hacen falta en la siguiente tabla. EVENTO RESULTADOS POSIBLES PROBABILIDAD A {La suma es dos} B {La suma es tres} C {La suma es siete} 6 6/36 D {La suma es diez} E {La suma es 3 o 10} F {La suma es mayor que 10 o múltiplo de 4}

d) ¿Qué evento tiene mayor probabilidad? _______________ e) ¿Qué evento tiene menor probabilidad? _______________ f) Formulen un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente excluyentes.

_________________________________ g) Formulen un evento compuesto por dos eventos que NO sean mutuamente excluyentes.

_________________________________ Consideraciones previas: Es necesario prever el tiempo suficiente para analizar las respuestas de una en una y detenerse en las que hay diferencias. Hay que centrar la atención sobre todo en los dos últimos incisos, analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventos compuestos y cuándo éstos se forman con eventos mutuamente excluyentes o no excluyentes. Nota: los eventos mutuamente excluyentes son los que no tienen elementos en común.

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Ecuaciones y fórmulas (1/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SNyPA

Contenido 9.3.1: Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen ecuaciones cuadráticas de la forma 02 cbxax y que las resuelvan mediante procedimientos ya conocidos. Consigna 1. Organizados parejas, encuentren las ecuaciones que modelan los siguientes problemas y resuélvanlos.

a) Un terreno rectangular mide 2 m más de largo que de ancho y su área es de 80 m2 ¿Cuáles son sus

dimensiones?

b) Erick es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 340, ¿cuántos

años tiene Erick?

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Consideraciones previas: En el caso del primer problema se espera que los alumnos asignen valores a los lados del rectángulo, tales como x y x+2 y que planteen la ecuación x(x+2)=80. Esta ecuación permite probar con distintos valores y encontrar la solución. Sin embargo, hay que pedir que se hagan las operaciones necesarias para llegar a

la expresión 08022 xx y pedir que la resuelvan por factorización. El problema del inciso b implica un camino más largo para formular la ecuación, ya que primero hay que representar las edades, por ejemplo x y x+2. Después plantear las relaciones que se establecen en el texto del problema:

x2+(x+2)

2=340 y finalmente efectuar las operaciones y simplificar para llegar a la expresión 033642 2 xx o

016822 xx . Aunque es posible resolver esta ecuación por factorización, los números se prestan para proponer el uso de la fórmula general, misma que deberá ser explicada y puesta en práctica con muchos otros ejemplos. Para ello, plantearles que la forma de las ecuaciones cuadráticas que se han estudiado es ax2 + bx + c = 0, donde a 0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. Luego, formalizar los términos de la ecuación de segundo grado, que se nombran como se indica en la siguiente tabla:

ax2

bx C Término de segundo grado o cuadrático

Término de primer grado o lineal

Término independiente

Esto llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación de la fórmula general que es:

a

acbbx

2

42

Para reafirmar lo anterior se pude dejar de tarea lo siguiente: Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general. Ecuación a b c 2x2 + 2x + 3 = 0 5x2 + 2x = 0 36x – x

2 = 62

En la siguiente clase conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque es muy probable que cometan errores en las sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula, por lo que es importante estar al pendiente de apoyarlos y guiarlos haciendo las aclaraciones que sean necesarias. Por ejemplo, el significado del +/- y el hecho de que el valor del discriminante indica si la ecuación tiene una solución, dos soluciones o ninguna, en los números reales.

71

¿Discriminamos? (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos asocien el valor del discriminante, que forma parte de la fórmula general, con el tipo de solución de la ecuación. Consigna: Organizados en binas calculen el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones de cada ecuación. Luego contesten lo que se pide:

ECUACIÓN VALOR DEL DISCRIMINANTE

b² - 4ac

SOLUCIONES

3x² - 7x + 2 = 0 x1= _____, x2 = _____ 4x² + 4x + 1 = 0 x1= _____, x2 = _____ 3x

2 -7x +5 = 0 x1= _____, x2 = _____

a) Si el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

______________________________ b) Si el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

______________________________ c) Si el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación?

______________________________

Consideraciones Previas: Es muy probable que algunos alumnos calculen la raíz negativa sin considerar el signo; en ese caso, el maestro pedirá que hagan la comprobación con la calculadora, que marcará como error; entonces se aprovechará esto para explicar que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro campo de números llamados imaginarios. La discusión generada acerca de la relación que los alumnos encuentren entre el discriminante y las soluciones deben encauzarse a determinar tres tipos de soluciones: Discriminante Tipo de solución

b2 -4ac 0 Dos raíces reales, por ejemplo: (3, 7), (-5, 3.2), (√5, 0), (4, -4) etc.

b2 -4ac =0 Solución única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etc.

b2 -4ac 0 Sin solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir, su solución es imaginaria i). Por ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 – 4 i)/6)

Se sugiere realizar la actividad complementaria “Funciones Cuadráticas”, en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000,pp. 129-130. También se pueden platear otros problemas retomados del libro de texto para que los alumnos reafirmen lo aprendido.

72

Usando fórmulas (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, al resolver problemas. Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m

2, ¿cuáles son sus dimensiones?

Consideraciones previas: Se espera que las alumnos encuentren la ecuación cuadrática que resuelve el problema: 3x

2 + 8x - 203 = 0 y utilicen la fórmula general para encontrar las soluciones a dicho problema. En la confrontación se deberá hacer la observación de que sólo una de las raíces cumple con las condiciones del problema. Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general se puede plantear, como tarea, la resolución de las siguientes ecuaciones:

a) 3x2-5x+2=0

b) x2+11x+24=0

c) 9x2-12x+4=0

d) 6x2 = x +222

e) 8x+5 = 36x2

X² X² X²

73

Congruente o semejante (1/4) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM Contenido 9.3.2: Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. Intenciones didácticas: Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones y la discusión acerca de la existencia y la unicidad. Consigna: De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica más abajo.

d) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes porque tienen la misma forma. ¿A qué creen que se debe que todos son semejantes? _______________________

___________________________________________________________________ e) Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas:

¿Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos? ______________ ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ___________ ¿Cuál es la razón entre sus áreas? _____________

f) Construya cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaños, después contesten las siguientes preguntas:

¿Por qué creen que todos los cuadrados que construyeron son semejantes?

___________________________________________________________________

g) Consideren solamente dos cuadrados para contestar lo siguiente: ¿Cuál es la razón entre sus lados? ________________ ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ______________ ¿Cuál es la razón entre sus áreas? ________________

Consideraciones previas: La idea de iniciar el estudio de este apartado con el análisis de dos figuras regulares (lados y ángulos iguales), es que los alumnos tengan una idea general de lo que es la semejanza (figuras que tienen la misma forma), para después analizar algunos casos particulares. Es probable que varios alumnos pregunten qué es razón, ante lo cual hay que recordarles que una razón es un cociente entre dos cantidades. Por ejemplo, si un lado de un triángulo equilátero mide 3 cm y un lado de otro triángulo equilátero mide 5 cm, la razón entre los lados es 3/5 o bien 5/3, dependiendo de cuál triángulo se toma como punto de partida. A los alumnos les llamará la atención el hecho de que la razón entre los perímetros sea la misma que la razón entre los lados, pero no sucede lo mismo con la razón entre las áreas. Hay que pedirles que traten de explicar a qué se debe esto.

74

Triángulos semejantes (2/4) Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre las medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes. Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un triángulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos ángulos midan respectivamente 80°, 60° y 40°. Cuando termines tu trazo, haz y contesta lo que se indica en seguida.

g) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos. h) ¿Por qué creen que resultaron semejantes? ____________________________ __________________________________________________________________ i) Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los lados correspondientes y

márquenlos como se indica en el siguiente dibujo. Después, calculen las razones expresadas con letras.

''BA

AB=

''CB

BC=

''AC

CA=

j) ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los triángulos que trazaron? _________________ k) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? _______________________________ l) ¿Cuál es la razón entre las áreas? ___________________________________

Consideraciones previas: Es importante que durante la puesta en común se explicite el hecho de que, en dos o más triángulos que son semejantes se cumplen dos propiedades importantes: Primera: sus ángulos son respectivamente iguales Segunda: la razón entre sus lados correspondientes es constante. Esta segunda propiedad puede expresarse con letras de la siguiente manera:

''BA

AB=

''CB

BC=

''AC

CA

B

C A

B’

C’ A’

75

Aplicando semejanza (3/4) Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen las propiedades de la semejanza de triángulos para calcular medidas faltantes. Consigna: Organizados en equipos, calculen las medidas señaladas con signo de interrogación.

3

4

5

? ?

6

1.5

3.5 3.5

4.5

? ?

76

Consideraciones previas: Se espera que al resolver estos problemas los alumnos expresen la igualdad entre dos razones para calcular un valor faltante. Este aspecto se estudió con profundidad en primer grado. Así, en el primer

caso pueden escribir: 6

3 = x

4, misma que equivale a 3x=6(4). Otro camino es encontrar el factor de

proporcionalidad y después multiplicarlo por cada medida conocida para encontrar su correspondiente. Se sugiere hacer una puesta en común tan pronto como la mayoría de los alumnos termine de resolver el primer problema, después continúan trabajando y al final se analizan los demás problemas.

4

2

6.5

2 ?

2

4

3

?

?

7

9

?

77

Congruencia y semejanza (4/4) Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen la semejanza de triángulos en el cálculo de distancias o alturas inaccesibles. Consigna 1: Organizados en equipos, analicen y resuelvan el siguiente problema: En el dibujo que se muestra a continuación, el segmento AB representa la longitud mayor de un lago, que no se puede medir directamente. Además, dicho segmento AB es paralelo al segmento CD. Con base en la información anterior y la que ofrece el dibujo, ¿cuál es la medida de la longitud mayor del lago?

Consigna 2. Con base en la información que proporciona el siguiente dibujo, calculen la altura del árbol.

Consideraciones previas: En el primer problema los alumnos deberán concluir que el triángulo ABE es semejante al triángulo DCE. Con base en la semejanza, pueden establecer la proporcionalidad entre los lados de ambos triángulos y calcular la medida solicitada. Para el segundo problema es la misma estrategia, los alumnos pueden establecer la semejanza de triángulos y por tanto la relación de lados proporcionales, o bien, recurrir al teorema de Tales y relacionar los segmentos para realizar los cálculos correspondientes.

172 m

8 m

12. 5 m

112º

A B

E

C D

1.5 m

x

C

12 m

A

B

2.25 m

B’

78

Un tal Tales (1/4) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: F. E. y M.

Contenido 9.3.3: Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Intención didáctica. Que los alumnos determinen el teorema de Tales mediante el análisis de las relaciones entre segmentos. Consigna: Trabajen en equipo con el problema siguiente: El dibujo corresponde a un portón hecho por un herrero. Su ayudante dice que existe relación entre los segmentos (ED’, D’C’, C’B’, B’A’) de la barra reforzadora (EA’) y la medida del ancho de cada lámina (ED, DC, CB, BA) que forma el portón. ¿Cuánto deben medir de ancho las láminas que hay en los extremos? ________________________

a) Describan en forma breve qué relación existe entre esas

medidas._________________________________________________

b) Observen y comenten qué otras relaciones encuentran, además de las que señala el ayudante del herrero.

Justifícalas

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos logren expresar la proporcionalidad entre los segmentos que

se forman entre las paralelas atravesadas por las transversales (BC

AB=

''

''

CB

BA, etc.). Pero que también observen que

los segmentos paralelos entre las transversales son proporcionales (BB

AA

'

'=

CC

BB

'

', etc.). También es importante que

se den cuenta que los triángulos A’AE, B’BE, C’CE, D’DE son semejantes y el porqué de dicha afirmación. Con esta idea el docente puede mencionar que esta relación se cumple cuando dos o más paralelas son cortadas por transversales (secantes) y esta condición fue descubierta hace muchos años por el sabio matemático griego Tales de Mileto y en su honor recibe el nombre de “Teorema de Tales”.

3 3

1.8

3.6

3.6

1.8

79

Justificando a Tales (2/4) Intención didáctica: Que los alumnos justifiquen, a partir del teorema de Tales por qué funciona una hoja rayada para dividir un segmento en partes iguales y dividan cualquier segmento en partes iguales. Consigna 1. Organizados en parejas señalen los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno.

a) ¿Cuántos puntos obtuvieron? ________________________________

b) ¿En cuántas partes quedó dividido el segmento? _________________

c) ¿Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales? ____ _____________________________________________________________

_______________________________________________________________ Consigna 2. Enseguida, dividan el segmento que aparece abajo en 7 partes iguales; pueden usar escuadras y compás.

Describan el procedimiento utilizado y justifíquenlo: ______________________ _______________________________________________________________ Consideraciones previas: Se espera que la consigna 1 no represente dificultades para los alumnos. En la consigna 3 es probable que algunos midan el segmento y dividan la longitud entre 7, obteniendo una segmentación aproximada; sin embargo, será importante observar si se les ocurre el uso de un segmento auxiliar y el trazo de paralelas, o bien una hoja rayada, basándose en el teorema de Tales. Si son necesarios más ejercicios, se sugiere resolver los del libro de texto del alumno.

80

Aplicando el Teorema (3/4) Intención didáctica: Qué los alumnos apliquen el teorema de Tales en diversos problemas geométricos. Consigna 1: Reunidos en equipos, realicen las siguientes actividades:

a) Dividan el segmento AB en dos partes, de tal forma que la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3

B A

b) Dividan los segmentos en partes cuya razón sea la indicada.

Consigna 2: La siguiente fotografía, es un homenaje a Escher. Las líneas negras se colocaron para resaltar las dos alturas que se observan de la construcción. Digan qué relación existe entre dichas alturas y los segmentos que las unen. Justifiquen su respuesta.

Consideraciones previas: En la consigna uno, es probable que los alumnos se auxilien del juego de geometría o de las hojas rayadas de la libreta para dividir cada segmento en partes iguales. Es muy probable que la dificultad principal no sea la división de los segmentos en partes iguales, sino la división en una razón dada. Por ejemplo, ¿qué quiere decir dividir un segmento en una razón de 2 a 3? Si es necesario, hay que volver a explicar que en este caso se requiere dividir el segmento en 5 partes iguales, de las cuales una parte tendrá dos y la otra tendrá tres.

81

P

Resolviendo problemas (4/4) Intención didáctica: Qué los alumnos apliquen el teorema de Tales en diversos problemas geométricos. Consigna: Organizados en binas y dados los siguientes triángulos semejantes calcula el lado que se pide: Si se tienen los medios se puede usar la propuesta del Teorema de Tales de Geometría Dinámica.EMAT sugerido en el programa (se anexa la lección). Se les podría presentar también la siguiente fotografía y dejarlos en libertad de que la analicen y encuentren relaciones.

R

T

S

Q

DATOS PR= 24 QR= 12 QS= 5 PT=?

82

83

¿Cuál es la razón? Plan de clase (1/4)

Escuela: __________________________________________________ Fecha: __________ Profr. (a): __________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEyM

84

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen y sepan calcular la razón de homotecia. Consigna 1: En equipos, analicen la siguiente figura y contesten las preguntas planteadas. El foco alumbra un pino y éste proyecta una sombra de mayor tamaño sobre la pared. Los segmentos de recta unen todos los vértices del arbolito con los de su sombra y la prolongación de éstos hacia la izquierda coincide en un punto O.

a) ¿Cuál es la razón entre OA’ y OA?______________________________ b) Elijan otro par de segmentos, sobre una misma recta, y verifiquen que guardan la misma razón que OA’ y

OA. c) Comparen la altura de la sombra con la del pino y anoten la relación entre ambas

medidas.________________________________________ Consideraciones previas: Es importante que los alumnos verifiquen que todas las razones del tipo: punto de convergencia-sombra sobre punto de convergencia-objeto, son constantes y que éstas coinciden con las razones que se pueden establecer entre una longitud de la sombra y su correspondiente en el objeto. Por otra parte, este es el momento adecuado para decir a los alumnos que a las razones del tipo OA’/OA se les llama razón de homotecia (de centro el punto O y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). , mientras que al punto O donde convergen los segmentos, se le llama centro de homotecia. Además, la sombra proyectada lleva el nombre de figura homotética. Los alumnos han estudiado con profundidad la proporcionalidad, por lo que se espera que le encuentren sentido a la razón de homotecia. Asimismo, es importante que concluyan que dos figuras homotéticas son semejantes, basándose en la razón entre las medidas de sus lados. En el inciso “a” la razón es 3.56/1.19 = 3

85

¿Quién cambia y quién no? Plan de clase (2/4)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEyM Contenido: 9.3.4 Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la razón de homotecia, las características que permanecen invariables y las que cambian en las figuras homotéticas. Consigna: Organizados en equipos, realicen la siguiente actividad. Tomen el punto O como centro de homotecia y únanlo con el punto A, prolónguenlo una distancia igual a OA para ubicar el punto A’; hagan lo mismo con los puntos: B, C, y D para encontrar los puntos B’, C’ y D’, Después, unan los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y contesten las preguntas.

a) ¿Qué relación existe entre la medida de los lados de ambos polígonos?_________________________________________________

b) ¿Cómo son los ángulos de las dos figuras?_______________________ c) ¿Qué relación existe entre los perímetros de ambas

figuras?_______________________________________________ d) ¿Qué relación existe entre las áreas de ambas

figuras?___________________________________________________ e) ¿Cuál es la razón de homotecia? _____________________________

Consideraciones previas: Con esta actividad se pretende que los alumnos construyan una figura homotética y encuentren la razón de homotecia. También deberán analizar las características que varían en una homotecia y las que se conservan (la medida de los ángulos permanece invariante, mientras que, en este caso, la medida de los lados y por tanto el perímetro en la imagen se duplican; el área se cuadruplica). Es importante que en la puesta en común, los alumnos concluyan que es lo mismo decir que los lados de ABCD miden la mitad que los de A’B’C’D’, o bien, que los lados de A’B’C’D’ miden el doble que los de ABCD y que esta relación se conserva en el perímetro de las figuras. Ejemplo de cómo aumenta el perímetro y área: Perímetro: 4 cm Perímetro: 8 cm Area: 1cm

2 Area: 4 cm2

A

B

C

D

1.5 cm 2 cm

4 cm 3 cm

1 cm 2 cm

86

¿Izquierda o Derecha?

Plan de clase (3/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan una figura homotética con razón igual a -1 e identifiquen las características que permanecen y las que cambian. Consigna: Organizados en equipo realicen la siguiente actividad: Tomen como centro de homotecia el punto O, tracen los segmentos AO, BO, CO y prolónguenlos hacia la izquierda la misma distancia. Ubiquen los puntos A’, B’, C’ y únanlos para formar un nuevo triángulo.

a) ¿En qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original?________________________________________________

b) ¿Dónde quedó el punto de homotecia con respecto de las dos figuras?_________________________________________________

c) ¿Cuál es la distancia OA?__________________________________ d) ¿ Y cuál la de OA’?________________________________________ e) Si consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta numérica, ¿cuál es el sentido que

tiene la distancia OA?________________ ¿Y el sentido de OA’?__________________ f) ¿Cuál es la razón de homotecia? ___________________________ g) ¿Cuál es el perímetro de ambas figuras?_______________ ¿Cuál es su

área?_________________________

Consideraciones previas: En este caso, los alumnos van a observar que la figura homotética se encuentra al otro extremo del centro de homotecia, está invertida con respecto a la original y probablemente consideren que hay cambios en los ángulos y lados, por lo que conviene pedirles que los analicen y obtengan como conclusión que la medida de los ángulos se conserva y cuando la distancia al punto de homotecia es la misma, también la medida de los lados de la figura se conserva. Es probable que los alumnos no relacionen el sentido positivo y negativo de los segmentos y puntos resultantes, por lo que es necesario tomar como referencia la recta numérica, teniendo el centro de homotecia como origen, el punto A positivo y el punto A’ negativo; posteriormente se les puede pedir que realicen la división del valor negativo OA’ entre el valor positivo OA, haciendo hincapié en que la razón resultante es negativa (k = -1) Actividad complementaria: Si el tiempo lo permite y el profesor lo considera conveniente puede plantear a los

alumnos una homotecia con razón igual a - 2

1, o bien, dejarlo como tarea para que hagan el análisis

correspondiente.

O

A

B

C

8 10

6

87

Composición de Homotecias Plan de clase (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen y sepan calcular la razón de homotecia. Intenciones didácticas: Que los alumnos comprueben que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de sus razones. Consigna: Organizados en parejas, analicen el siguiente dibujo y contesten las preguntas. La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura homotética (sombra 1) y la figura 3 es la segunda figura homotética (sombra 2). Se sabe que OP = 2.5 cm, OP’ = 5 cm, P’P’’ = 5 cm y QR = 2.2 cm. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 2 con respecto de la 1?_______ 1. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 2?________ 2. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 1?________ 3. Si el segmento QR mide 2.2 cm, ¿Cuánto mide el segmento Q’’R’’?____________ Consideraciones previas: Es necesario resaltar el hecho de que las dos imágenes proyectadas tienen un mismo centro de homotecia. Hay que decirles que a esto se le conoce como composición de homotecias con un mismo centro. Se espera que los alumnos concluyan que la distancia Q’’R’’puede calcularse considerando tanto la razón homotética de la figura 3 a la 1 por la distancia QR, como la razón homotetica de la figura 3 a la 2 por la distancia Q’R’. De igual modo se espera que se den cuenta de que el producto de las razones homotéticas de las figuras 2 a 1 por 3 a 2 es igual a la razón de homotecia de las figuras 3 a 1. Actividades complementarias: Con el apoyo del software CabriGeometre, se pueden efectuar ejercicios de homotecia positiva y negativa. En la siguiente página web se puede analizar con mayor detenimiento las relaciones de homotecia entre figuras: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm

88

Graficando ecuaciones (1/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: M. I. Contenido 9.3.5: Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas de relaciones lineales y no lineales y analicen sus características. Consigna: Reunidos en equipos tracen las gráficas que se indican, posteriormente contesten lo que se pide. Para el primer caso consideren (g = 9.81 m/s

2). Pueden utilizar su calculadora.

d = 2

2gt

d = vt

¿Qué fenómeno representa cada gráfica?___________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué diferencias y semejanzas tienen las gráficas?___________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ¿Qué relación encuentran entre las expresiones algebraicas y sus gráficas?_______________

t (s) d (m) (x ,y) 0 0 (0,0) 1 2 3 4 5

t (h) d (km) (x, y) 0 0 (0,0) 1 2 3 4 5

0 5

10

100

90

4Tiempo (segundo)

1 2 3

20D

ista

ncia

(m

etr

os)

50

60

70

80

30

40

0 5

10

100

90

4 Tiempo (horas)

1 2 3

20

Dis

tancia

(km

)

50

60

70

80

30

40

89

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos tengan claramente definido el concepto de caída libre (movimiento uniformemente acelerado) de un objeto, empleando la constante de aceleración (g = 9.81m/s

2), para el

segundo caso se trata de la distancia recorrida por un móvil que va a una velocidad constante durante un tiempo determinado. Sin embargo no es obstáculo para analizar los tipos de gráfica que resultan, sin perder de vista las líneas (rectas o curvas) que son generadas por una función lineal y por otra no lineal. Es importante también que se reconozca en la función no lineal que la variable está elevada a alguna potencia mayor que 1; y que el crecimiento o decrecimiento de la variable dependiente es mucho mas rápido que en las funciones lineales. Si se tiene al alcance algún software graficador como Excel, Geogebra, y FW 3.2 de Windows, u otro, se sugiere utilizarlo para realizar análisis mas profundos sobre las situaciones que se presentan en el manejo de funciones lineales y no lineales.

90

Interpretando graficas (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten gráficas de funciones no lineales, cuyo comportamiento responde a una fórmula geométrica. Consigna: Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica, la cual representa el área de un rectángulo en función de la medida de la base, cuando el perímetro es constante (10 cm). Posteriormente contesten lo que se pide.

a) ¿Por qué la curva no inicia en el origen del plano? b) ¿Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? ¿Por qué? c) ¿Cuánto puede medir la base cuando el área es igual a 4 cm

2?

d) ¿Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima? e) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima?

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos identifiquen claramente que las magnitudes representadas en los ejes son el largo y el área de rectángulos cuyo perímetro siempre es igual a 10 cm. Razón suficiente para afirmar que la curva no pude pasar por el origen, ya que el rectángulo no pude tener de base 0 cm, ni su área puede ser igual a 0 cm

2. Sería conveniente que

cuando los alumnos comenten sus respuestas, tengan a la vista una imagen grande de la gráfica, la cual apoye sus comentarios. Se espera que los alumnos no tengan dificultad en interpretar la gráfica y logren identificar las longitudes enteras de la base (2 y 3 cm), entre las cuales se ubica el área máxima. Sugerir si es necesario localizar en la gráfica puntos entre estas abscisas para observar la variación del área del rectángulo. A partir de esta observación será fácil para los alumnos llegar a la conclusión de que el área máxima del rectángulo se obtiene cuando se convierte en un cuadrado, es decir; su largo y ancho son iguales; en este caso el largo y el ancho miden 2.5 cm y el área máxima será de 6.25 cm

2.

Rectángulos de perímetro = 10 cm

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

base (cm)

Are

a (

cm

2)

91

Expresando relaciones (3/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos interpreten gráficas de funciones no lineales y que expresen algebraicamente la dependencia entre las magnitudes. Consigna: Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica, la cual representa la relación entre el área de la imagen proyectada sobre la pantalla y la distancia a la que se coloca el proyector. Posteriormente contesten lo que se pide.

a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m? b) ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área

de 4 m2?

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto?

d) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m?

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

distancia (m)

áre

a d

e l

a i

mag

en

(m

2)

92

Consideraciones previas: En este plan, a diferencia del anterior, además de interpretar la grafica de la función no lineal, se pide que los alumnos encuentren la expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes; para lograrlo son fundamentales las respuestas de las dos primeras preguntas, mismas que pueden escribirse en una tabla como la siguiente:

Distancia (m) Área (m2)

5 1 10 4

La expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes es: 1 área = -------- (distancia)

2

25 Para contestar la última pregunta, los alumnos podrán hacer una estimación utilizando la gráfica, en tal caso se sugiere pedirles que verifiquen el resultado empleando la expresión algebraica encontrada o en su defecto utilizar ésta de manera directa. A una distancia de 5.5 m, el área de la imagen es 1.21 m

2.

93

Analizando gráficas (1/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: Manejo de la información

Contenido 9.3.6: Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Intención didáctica: Que los estudiantes analicen gráficas con secciones rectas y curvas y las asocien con la situación que representan. Consigna 1. En equipos, seleccionen el texto que mejor describe la siguiente gráfica:

a) Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo bajar por el lado más bajo que por

el más alto. b) Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se detuviera y después de recibir una

infracción y de que el policía se retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad mayor a la que venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para recuperar el tiempo perdido por la infracción.

c) En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche anterior. Pedro se empezó a bañar e

hizo que la velocidad del flujo de salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó el agua al tanque hasta que quedó lleno.

d) Beatriz vive en una casa a desniveles. Se encuentra sentada en la cocina de su casa durante cierto tiempo.

Sube las escaleras hacia la sala de su casa y se queda viendo la televisión durante algún tiempo, finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida.

Consigna 2. Con el mismo equipo, ahora relacionen cada una de las siguientes gráficas con el texto que mejor describe su información.

I)

m(t)

Tiempo

II

m(t)

Tiempo

94

a) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una inyección.

b) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de píldoras cada cierto tiempo.

c) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una mezcla del medicamento con suero y vía intravenosa.

Consideraciones previas: Si bien la argumentación es una competencia que se promueve de manera permanente en el estudio de las matemáticas, las actividades de este plan representan una oportunidad inmejorable para dicho fin. En el caso de la primera consigna se espera que los alumnos puedan concluir que la situación que mejor describe la gráfica es la del inciso b. Es probable que en la consigna 2 los alumnos tengan dificultad para interpretar el texto del inciso c, el profesor puede intervenir para indicar que un medicamento administrado con suero por vía intravenosa es por goteo y con una frecuencia constante. Finalmente se espera que los alumnos relacionen la gráfica I con c); gráfica II con a) y la gráfica III con b).

III

m(t)

Tiempo

95

A interpretar gráficas (2/3) Intención didáctica: Que los estudiantes interpreten gráficas con secciones rectas y curvas y argumenten sus respuestas. Consigna 1. La gráfica que aparece a continuación representa el comportamiento de la temperatura de cierta solución (compuesto químico) en diferentes instantes. Organizados en parejas, hagan lo que se indica.

Describan y argumenten:

A. QUÉ OCURRIÓ DEL INICIO A LOS 5 MINUTOS

B. De los 5 minutos a los 8 minutos.

C. De los 8 a los 9 minutos.

(Minutos)

(Grados)

1

2

3

4

5

96

Consigna 2. Las siguientes gráficas representan el llenado de recipientes conforme varía la altura que va alcanzando el líquido en relación con el tiempo. Asocien cada uno de los 4 recipientes con su respectiva gráfica. Justifiquen sus respuestas.

Consideraciones previas: La primera consigna es muy acotada y se espera que los alumnos no encuentren mucha dificultad para explicar lo que pasa en diferentes periodos de tiempo, con base en lo que se puede leer en la gráfica. Básicamente se trata de que puedan interpretar cuando la temperatura sube, baja o se mantiene estable y si el aumento o disminución sucede de manera rápida o lenta. La consigna dos es más compleja pero más interesante porque permitirá a los alumnos hacer deducciones considerando el conjunto de los recipientes y las gráficas. Dichas deducciones pueden ser como la siguiente: “hay un recipiente en el que la altura del líquido avanza de manera constante en relación con el tiempo y este hecho debe estar representado con una sola recta”. Sin embargo hay que estar muy pendiente de las interpretaciones incorrectas y es necesario analizarlas y discutirlas. El caso más común consiste en asociar la forma de la gráfica con la forma del recipiente. En todo caso lo más importante es que se discutan las opiniones que viertan los alumnos y que traten de convencerse entre ellos sin la intervención del maestro.

t t

t t

97

Plan de clase (3/3)

Intención didáctica. Que los estudiantes bosquejen gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan ciertas situaciones. Consigna: Organizados en equipos, bosquejen una gráfica que represente cada una de las siguientes situaciones:

a) La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa con respecto al tiempo. b) La altura con respecto al tiempo de izar manualmente una bandera en un asta. c) La altura que alcanza el líquido en el recipiente que se muestra en relación con el tiempo.

Consideraciones previas: Es importante tener en cuenta que los alumnos deben hacer un bosquejo de las gráficas; es decir, una idea integral o general del fenómeno donde se indiquen los principales cambios de las variables, sin ser preciso en las magnitudes y las escalas. En la confrontación se pueden discutir las diferentes gráficas construidas y seleccionar entre todos aquella que mejor represente el fenómeno. Para el caso de la pelota puede resultar una gráfica semejante a la siguiente:

y 0 x

Altu

ra

Tiempo

98

¿Y el espacio muestral? (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI

Contenido 9.3.7. Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos calculen la probabilidad de eventos con base en la determinación del espacio muestral del experimento de azar. Consigna 1: En binas determinen el espacio muestral que resulta al hacer el experimento de lanzar dos dados y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos dados caigan en número par?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea un 10 o un 6?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10 y en ambas aparezca el mismo número? Consideraciones previas: La idea fundamental de este plan es retomar elementos básicos de la probabilidad mediante diversos cálculos. Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol son recursos que, si no surgen espontáneamente de los alumnos, pueden sugerirse para determinar el espacio muestral del experimento. Si se considera pertinente puede darse incompleta una de estas herramientas para que los estudiantes la terminen, por ejemplo el arreglo rectangular siguiente:

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) 2 (2,5) 3 (3,4) 4 (4,3) 5 (5,2) 6 (6,6)

Es importante que los alumnos se percaten que en los eventos d y e se están utilizando conectivos y que para el caso del primero (o) significa que se trata de la probabilidad de que ocurra cualquiera de dos eventos, mientras que el conectivo y implica que deben ocurrir ambos eventos a la vez. Si se presentan las diferentes formas de expresar la probabilidad (fracción, decimal o %), aprovechar para analizar sus equivalencias y conversiones.

99

¿Dependientes o independientes? (2/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen diversos fenómenos de azar e identifiquen los eventos que son independientes y que adviertan que la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Consigna 2. Organizados en equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Situación 1.

a) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al lanzar un dado y una moneda.

b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado, sabiendo que ya salió águila al lanzar la moneda.

Situación 2. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al lanzar un dado?

b) Sabiendo que ya salió par, ¿cuál es ahora la probabilidad que sea menor que 4?

Consideraciones previas: Igual que en el plan anterior, las probabilidades pedidas pueden obtenerse a partir de la determinación del espacio muestral correspondiente. La atención de este plan se centra en identificar la dependencia o independencia de los eventos que se presentan en cada situación: en la primera se trata de eventos independientes, el resultado de uno no tiene efecto en el resultado del otro, la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado no depende del resultado de lanzar la moneda, siempre es 1/6, aún sabiendo que la moneda ya cayó águila. En cambio en la segunda situación se trata de eventos dependientes, la probabilidad de que el número sea menor que 4 es ½ (1, 2 y 3), pero si se sabe que ya salió par, el espacio muestra se reduce a (2, 4 y 6), de los cuales uno (el 2) es menor que 4, por lo tanto la probabilidad es 1/3. Para contribuir con la intención didáctica de este plan es conveniente que se analicen otras situaciones que incluyan eventos independientes, algunos ejemplos son:

1. Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. ¿Cuál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga sol?

2. Se va a realizar una rifa con 200 boletos que han sido numerados del 1 al 200. Todos los boletos se han vendido. El boleto ganador será el primero que se saque de una urna. Ana compró los boletos 81, 82, 83 y 84. Juan adquirió los boletos 30, 60, 90 y 120. ¿Quién tiene más oportunidades de ganar?

100

Aplicando la regla del producto (3/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y utilicen la regla del producto para calcular la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes. Consigna 3. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a sus bebés. ¿Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón?

2. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número

4?

Consideraciones previas: Es muy probable que los alumnos obtengan por separado las probabilidades de cada evento en cada problema, para el primero ½ y ½ y para el segundo 1/6 y ½; sin embargo el asunto es averiguar como se relacionan estas medidas para obtener la probabilidad de que ocurran, en cada caso, los dos eventos a la vez, para el primero ¼ y para el segundo 1/12. Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol permiten visualizar el espacio muestral y los casos favorables de cada situación. Otros problemas que permitirán aplicar la regla encontrada son los siguientes:

1. Variantes del problema 2. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y 2? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y 6? ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un número mayor que 4?, etc.

2. Pedro y Mario van a extraer sin mirar una canica de una caja que contiene dos amarillas, una verde y tres rojas. Si después de cada extracción se regresa la canica a la caja, ¿cuál es la probabilidad de que Mario tome una canica roja y Pedro una amarilla?

101

¿Cuál es la expresión? (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA

Contenido 9.4.1 Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión. Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = x

2 que

represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales. Consigna: Organizados en binas, analicen la siguiente sucesión de figuras, completen la tabla y respondan lo que se cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su calculadora.

No. POSICION (n) CANTIDAD CUBOS

a) Si la sucesión continúa en la misma forma, ¿cuántos cubos se necesitan para formar la figura 5? ¿Y para la

figura 10? ¿Y para la figura 100? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la

sucesión? c) Se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa

figura en la sucesión? d) Una figura con 2 346 cubos, ¿pertenece a la sucesión? ¿Por qué?

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

102

Consideraciones previas: Para las preguntas a) y b) tal vez sea necesario dar a los alumnos alguna orientación. Luego pedirles que analicen la tabla y que traten de buscar la relación que existe entre el número de la posición de la figura y el número de cubos con los que está formada. Esto les permitirá ver que el número de cubos de la sucesión es: 1, 4, 9, 16, 25, …; y que se trata de los cuadrados de los números que expresan el orden de las figuras. Por consiguiente, la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión es n

2 En el caso del inciso c, es probable que algunos alumnos recurran al ensayo y error, otros tal vez planteen una

ecuación como: 70422 n y a partir de ella determinen que la figura 52 es la que estaría formada por 2 704

cubos. En el caso del inciso d, se espera que los alumnos digan que una figura con 2 346 cubos no pertenece a la sucesión porque no cumple con la regla general ya que no tiene raíz cuadrada Para reforzar

No. Pertenece a la sucesión No pertenece a la sucesión 7225

1230

9853

10,050

625

103

Vista de cuadros (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = ax2 que

represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales. Consigna: En equipos, con base en la siguiente sucesión de figuras, contesten las preguntas que se plantean. Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4

a) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 7, 10 y 13, respectivamente?

b) Que relación existe entre el número de figura y su base?

c) Que relación existe entre la b ase y la altura en cada figura?

d) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 100?

e) ¿Cuántos cuadritos de base y de altura tendría la figura que ocupa la posición n?

f) Encuentren una expresión algebraica que permita determinar la cantidad de cuadritos de cualquier figura que corresponda a la sucesión anterior.

Consideraciones previas: En el primer inciso se espera que los alumnos no tengan dificultad en encontrar el número de cuadritos de las figuras solicitadas. Se espera que en los incisos b) y c) los alumnos determinen que el #de la figura es el valor de la base y que la altura es lo doble de ésta. Entonces si la base es n y la altura 2n, la expresión algebraica para encontrar el # de cuadritos de cualquier figura es (n)(2n) ó 2n

2

104

¿Hay fórmula? (3/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma ax

2+ bx + c que

represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando el método de diferencias. Consigna: En la figura 1 de la siguiente sucesión se ven tres caras del cubo, en la figura 2 se ven nueve caras. En equipo determinen lo siguiente: a) ¿Cuántas caras se ven en la figura 3? _______¿Cuántas se verán en la figura 4?______

b) Si la sucesión de figuras continúa en la misma forma, ¿cuántas caras es posible ver en la figura que ocupa el

lugar 15? _______

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el total de caras que es posible ver en cualquier figura que esté en la sucesión?

Consideraciones previas: En los incisos a y b es muy probable que los alumnos no tengan dificultad para encontrar las respuestas: a) 17 y 27 b) 269 En el caso del c) es muy probable que los alumnos no puedan determinar la regla por ensayo y error; sin embargo, vale la pena dejarlos que lo intenten durante un tiempo breve. La regla general de la sucesión es n

2+ 3n –1. Aunque es posible encontrarla por ensayo y error, la situación se presta para proponer el método llamado de diferencias, que consiste en lo siguiente: Paso 1: Se representa la sucesión de números (en este caso número de caras que se ven) de las primeras figuras: 3, 9, 17, 27, 39, … Paso 2: Se calculan las primeras y segundas diferencias, como se muestra en la siguiente tablas:

Sucesión 3 9 17 27 39

Primeras diferencias

9 – 3 = 6 17 – 9 = 8 27- 17 = 10 39 – 27 = 12

Segundas diferencias

8 – 6 = 2 10 – 8 = 2 12 – 10 = 2

Cabe señalar que el hecho de que la segunda diferencia es constante, indica que se trata de una expresión cuadrática, por tanto la expresión general es: an2+ bn + c en la que n representa la posición de las figuras. Paso 3: Se resuelve la siguiente tabla. n= 1 n= 2 n = 3 n = 4 n =5 Expresión obtenida al sustituir el valor de n

a(1)2+b(1)+c=

a+b+c a(2)

2+b(2)+c=

4a+2b+c a(3)

2+b(3)+c=

9a+3b+c a(4)

2+b(4)+c=

16a+4b+c a(5)

2+b(5)+c=

25ª+5b+c

Primeras diferencias

(4a+2b+c) – (a+b+c)=3a+b

(9a+3b+c) – (4a+2b+c) =5a+b

(16a+4b+c) – (9a+3b+c) =7a+b

(25a+5b+c) – (16a+4b+c)=9a+b

Figura 1 Figura 2 Figura 3

105

Segundas diferencias

(5a+b) – (3b+b) = 2ª

(5a+b) – (3b+b) = 2a

(5a+b) – (3b+b) = 2a

Paso 4: Al combinar los resultados de la tabla anterior, se pueden establecer cualquiera de los tres siguientes sistemas de ecuaciones: 2a=2 3a+b= 6 a+b+c=3

2a=2 5a+b=8 4a+2b+c=9

2a=2 7a+b=10 9a+3b+c=17

Paso 5: Al resolver, por ejemplo, el sistema I se tiene: De la primera ecuación: 2a=2, a=2/2, a=1 Sustituyendo a en la segunda ecuación del sistema: 3(1)+b=6, 3+b=6, b=6 – 3, b=3 Sustituyendo a y b en la tercera ecuación del sistema: (1)+(3)+c=3, 4+c=3, c=3 – 4, c= –1 Y finalmente sustituyendo los valores de a, b y c en la expresión general de segundo grado an

2+ bn + c, se obtiene

la expresión algebraica buscada. (1)n

2+ (3)n + (–1)= n

2+ 3n –1

Una vez que los alumnos conozcan la expresión algebraica que permite conocer el número de caras que se pueden ver, se les puede plantear el siguiente problema para que la usen.

¿Qué número corresponde en la sucesión a la figura en la que es posible ver 153 caras de los cubos que la forman?

ACTIVIDAD DE CIERRE

Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta técnica, hay que plantearles muchos otros problemas como los siguientes:

¿Cuál es la regla general que permite determinar el número de cuadritos de cualquier figura de la siguiente sucesión?

Encuentra la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones:

a) 5, 12, 21, 32, 45, … b) 1, 6, 13, 22, 33, …

Construye una regla general y elabora la sucesión correspondiente, luego represéntala por medio de figuras

y compruébala utilizando el método de las diferencias.

I II III

Figura 1 Figura 2 Figura 3

106

¿Qué es un cuerpo de revolución? (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM

Contenido 9.4.2 Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Intenciones didácticas: Que los alumnos pronostiquen las características de algunos cuerpos de revolución. Consigna 1: Organizados en binas utilicen tres popotes como eje y peguen a cada uno de éstos un triángulo rectángulo, un rectángulo y un semicírculo.

1. Anticipen qué cuerpo geométrico se describe al girar cada figura. 2. Escriban las características de cada cuerpo generado.

Consideraciones previas: Es importante prever que los alumnos cuenten con los materiales necesarios (pueden ser otros similares a los propuestos) para realizar esta actividad y alentarlos para que con sus propias palabras describan las características de cada uno de los cuerpos generados: base(s), cara(s) curva(s) y plana(s), altura, generatriz (que corresponde a la hipotenusa del triángulo que lo genera y que no es la altura), cúspide o vértice, radio y diámetro, entre otras. Que concluyan por qué estos cuerpos se conocen como sólidos de revolución. Consigna 2: Comenten con sus compañeros de equipo: ¿qué cuerpo geométrico se genera al trasladar un círculo de un plano a otro paralelo? Consideraciones previas: Es importante que los alumnos analicen y comenten sus estrategias para realizar la traslación de un círculo. Es probable que algunos digan que basta con trasladar el radio y trazar el nuevo círculo, respuesta que es correcta si la traslación se efectúa en un plano, pero el propósito de esta actividad es que imaginen el cuerpo que se describe (cilindro) al trasladar el círculo de un plano a otro paralelo. Sugerencia.- proyectar un video de los sólidos en revolución.

Cara plana (base) Cara curva

Generatriz Cúspide

Altura

Base

107

Desarrollo plano de cuerpos geométricos. (2/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación entre las medidas de un cilindro y su desarrollo plano. Consigna : Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades:

Usen un tubo de cartón, de los que trae el papel sanitario, para trazar los círculos que puedan servir de tapa superior e inferior del tubo y recórtenlos.

Corten longitudinalmente el tubo y, completamente aplanado, péguenlo en un pliego de cartoncillo. Peguen donde corresponda las dos tapas para formar el desarrollo plano del cilindro. Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:

a) Altura del cilindro b) Radio del cilindro c) Perímetro de la base del cilindro.

A partir del modelo pegado en el cartoncillo, construyan el desarrollo plano de un cilindro cuyas medidas sean 4 cm de radio y 10 cm de altura. Recórtenlo y armen el cilindro.

Consideraciones previas: Es necesario solicitar con anticipación el material que usarán los alumnos para garantizar que sea el adecuado, ya que puede darse el caso de que los tubos sean de cartón muy grueso o de metal, con lo que no sería posible realizar la actividad.

Es importante analizar la relación entre las medidas del cilindro y las del desarrollo plano y enfatizar el hecho de que la cara curva del cilindro es un rectángulo tal, que uno de sus lados coincide con la altura del cilindro y el otro coincide con el perímetro de la base. Sugerencia: Buscar reactivo en examen de enlace del ciclo anterior

108

Desarrollo plano de cuerpos geométricos. (3/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan la relación entre las medidas de un cono y su desarrollo plano. Consigna: Organizados en equipos, usen un cono de papel para tomar agua y realicen las siguientes actividades:

Tracen el círculo que puede servir de tapa al vaso.

Identifiquen y midan la altura del cono; asimismo, determinen el diámetro de la base.

Corten longitudinalmente el cono, desde la base hasta el vértice y extiéndanlo.

Peguen el desarrollo plano del cono sobre un pliego de cartoncillo.

Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas: a) Radio del cono b) Altura del cono c) Generatriz del cono d) Perímetro de la base del cono e) Ángulo del sector circular que permite formar el cono.

Construyan el desarrollo plano para hacer un vasito en forma de cono que mida 4 cm de radio y 10 cm de

altura. Armen el vaso y verifiquen que tiene las medidas indicadas. Consideraciones previas: Es importante que se distingan la altura del cono y la generatriz, pues es muy común que los alumnos las confundan. También se debe tomar en cuenta que hay que estimular o motivar a los alumnos para que utilicen el teorema de Pitágoras para encontrar la altura del cono. De igual forma, para calcular la medida del ángulo que determina el arco de circunferencia que se necesita para que éste corresponda a la medida del perímetro de la circunferencia de la base, el alumno puede establecer una relación de proporcionalidad. Por ejemplo, si la base del cono mide 8 cm de diámetro, su perímetro es: πd = 25.1 cm (aprox.). Si la generatriz a utilizar es de 12 cm, los 360º de la circunferencia cubrirían una longitud de 75.4 cm (aprox.), por lo tanto; si 360º : 75.4 :: x : 25.1, entonces x es el número de grados de amplitud buscada.

24 (π) : 360° : : 8 (π) : x x = 3

1(360°) x = 120°

Altura Gen

era

triz

Radio

109

Nota: es necesario que el maestro se prepare con el material correspondiente para que los alumnos obtengan resultados iguales. (Comprar una caja de conos).

110

La pendiente (1/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM Contenido:9.4.3Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Intensión didáctica: Dado un triángulo rectángulo que los alumnos establezcan la relación entre la medida del ángulo agudo y el cociente de sus catetos. Consigna: De manera individual resuelve la siguiente situación que se plantea. En una competencia de motociclismo, los participantes hacen un recorrido por varias rampas y los jueces califican el desempeño de cada competidor; cada rampa tiene distinto grado de dificultad ya que unas están más inclinadas que otras; entre mayor sea el ángulo de inclinación de la rampa, mayor es el grado de dificultad que tiene el competidor al pasar por ella.

La siguiente tabla muestra las medidas de seis rampas como las de la figura

a) ¿Qué rampa tiene mayor ángulo de inclinación (ángulo A)?_______________

b) ¿Cuáles rampas tienen el mismo ángulo de inclinación?_______ y _________

Consideraciones previas: Es probable que el alumno conteste dibujando o por ensayo. Después de la puesta en común es importante que el alumno concluya que existe relación entre la medida del ángulo A con el cociente resultante entre las medidas de los lados a y b (catetos). Es decir entre mayor es el cociente de la división entre los lados, mayor es el ángulo. Para la clase siguiente es necesario encargar calculadora científica para el cálculo de la medida de los ángulos. RESPUESTAS:

a) La rampa 3

b) La rampa 1 tiene el mismo ángulo de inclinación que la 5. La 4 y la 6 también tienen el mismo ángulo de

inclinación

111

¿Y la tangente? (2/3)

Intensión didáctica: Que el alumno comprenda que en un triangulo rectángulo, se llama tangente del ángulo A al cociente que se obtiene de dividir al cateto opuesto al ángulo A entere el cateto adyacente, y se escribe como Tan(A). Consigna. En los siguientes triángulos rectángulos están representadas las medidas de las rampas de la tabla anterior. Están hechos a escala de 1 cm a 1m;en binas completa las medidas de ángulo de inclinación y el número de rampa para cada uno de los triángulos. De esta manera podrás corroborar las respuestas de la clase anterior.

112

RESPUESTAS Consideraciones previas: Para iniciar recordar a los alumnos que en un triángulo rectángulo se llama hipotenusa al lado mayor opuesto al ángulo recto y catetos a lo dos lados más pequeños. Solicitar que calculen el cociente de la división entre la medida del cateto opuesto al ángulo señalado y el cateto adyacente (ejemplificar en el primer triángulo). Una vez que todos hayan terminado hacer puesta en común para asegurarse de que todos tengan los mismos resultados y enseñarles a usar la calculadora para calcular e ángulo. CONCLUSIÓN En un triangulo rectángulo como el de la figura, se llama tangente del ángulo A al cociente que se obtiene de dividir al cateto opuesto al ángulo A entere el cateto adyacente, y se escribe como Tan(A).

Entre mayor es la tangente de un ángulo, mayor es el ángulo

113

Analizando la tangente (3/3)

Intensión didáctica:Que el alumno sea capaz de analizar las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Consigna: En equipos completen la siguiente tabla: Cateto opuesto al

ángulo de inclinación

(b)

Cateto adyacente al ángulo de inclinación

(a)

Cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente

Angulo de Inclinación

Rampa 1

3 5

Rampa 2

1.5 3.5

Rampa 3

3 3.25

Rampa 4

4.5 6

Rampa 5

1.5 2.5

Rampa 6

3 4

Para la rampa 1 y la rampa 2 contesta:

¿Cuál rampa tiene un mayor ángulo de inclinación?_______

¿En qué rampa el cociente calculado en la tabla anterior es mayor?_________

Para la rampa 3 y la rampa 4 contesta: ¿Cuál rampa tiene un mayor ángulo de inclinación?_________

¿En qué rampa el cociente calculado en la tabla anterior es mayor?_________

Para la rampa 4 y la rampa 6 contesta: ¿Cuál rampa tiene un mayor ángulo de inclinación?_______

¿Cómo es el cociente de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente al ángulo de inclinación, distinto

o igual?___________

¿Son semejantes los triángulos de la rampa 4 y la rampa 6? Justifica tu

respuesta_______________________________________________________________________________

_________________________________________

CONSIDERACIONES PREVIAS: Es importante permitir que los alumnos traten de desarrollar la consigna desde su inicio hasta las preguntas generadoras que surgen a partir de las tablas, ya que con este problema se pretende reforzar que la inclinación de un ángulo en un triangulo rectángulo puede medirse por el cociente que se obtiene al dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente a dicho ángulo, y refuercen que entre mayor sea ese cociente mayor es el ángulo.

114

Para la rampa 1 y la rampa 2 contesta:

La rampa 1 tiene mayor ángulo de inclinación porque tiene 31 ° y la 2 solo tiene 23 °.

El cociente de la rampa 1 (0.6) es mayor que el de la rampa 2 (0.42)

Para la rampa 3 y la rampa 4 contesta: La rampa 3 tiene un mayor ángulo de inclinación porque tiene 47° y la 4 sólo tiene 37°

El cociente de la rampa 3 (0.92) es mayor que el de la rampa 4 (0.75)

Tanto la rampa 4 como la 6 tienen igual ángulo de inclinación (37°) y sus cocientes son iguales (0.75)

Son triángulos semejantes porque tiene un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales

115

Triángulos mágicos (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM

Contenido 9.4.4 Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo. Intención didáctica. Que los alumnos empiecen a construir la noción de razón trigonométrica. Consigna: Organizados en binas y con base en la información que proporciona el siguiente diagrama, completen la tabla con 4 cifras decimales (hasta diezmilésimos) Después contesten las preguntas.

TRIÁNGULO ÁNGULO

A CATETO

ADYACENTE CATETO

OPUESTO HIPOTENUSA hipotenusa

opuestocat.

(SENO)

hipotenusa

adyacentecat.

(COSENO)

adyacentecat

opuestocat

.

.

(TANGENTE)

AMB 27º 6 6.71

ANC 27º 4 8.90

AOD 14 7 15.65

APE 10 22.36

a) ¿Cómo fue el resultado de la razón seno en los cuatro triángulos?______________________________________________

b) ¿Qué sucede con la razón coseno y tangente en los cuatro triángulos?______________________________________________

c) ¿A qué creen que se deba?_________________________________ Consideraciones previas: Este es el primer acercamiento que tienen los alumnos a las razones trigonométricas y su nombre, por lo que es probable que el maestro tenga que decir al grupo qué se entiende por cateto opuesto y cateto adyacente a un ángulo, o bien, que entre todos lo deduzcan, antes de iniciar con el llenado de la tabla. También es probable que se den cuenta de que éstas no son las únicas relaciones, pues existen sus inversas (cotangente, secante y cosecante). Aquí será necesario indicarles que por lo pronto sólo estudiarán las tres primeras. La discusión de las respuestas al inciso c es muy importante y se espera que los alumnos se den cuenta de que se trata de triángulos semejantes y a eso se debe que todos los cocientes que resultan de dividir, por ejemplo, el cateto opuesto entre la hipotenusa son constantes. Este cociente constante, con ayuda de una calculadora, puede servir para obtener el valor del ángulo y a la inversa, conociendo el valor del ángulo se puede obtener el valor del cociente constante. Esto mismo sucede con otras razones. Si los estudiantes usaron transportador para medir el ángulo A para llenar la tabla, habrá que hacerlos reflexionar en que la longitud de los lados no cambia la medida del ángulo (concepto visto en grados anteriores).

116

Relaciones entre las funciones (2/3)

Intención didáctica. Que los alumnos reflexionen acerca de la relación que existe entre las razones trigonométricas de un ángulo y las de su complemento. Consigna: Organizados en binas, contesten lo que se plantea enseguida. ¿Cuánto suman los ángulos M y N en el triángulo rectángulo que aparece abajo?________¿Qué nombre reciben

esos

ángulos?________________

¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de sus complemento?__________________________________________________________________________________________________________________ ¿Si el seno de un ángulo de 30 grados es igual a 0.5, ¿a qué es igual el coseno de un ángulo de 60 grados?______________ ¿A qué es igual el producto de la tangente de un ángulo de 30 grados por la tangente de un ángulo de 60 grados?__________________

10 8

6

sen M = cos M = tan M = sen N = cos N = tan N =

117

Consideraciones previas: En este momento es importante que los alumnos recuerden que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre son complementarios (suman 90º) y dejarlos que exploren con diferentes triángulos rectángulos para responder la última pregunta. También es importante que concluyan que: el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento y que la tangente de un ángulo es inversa multiplicativa a la tangente de su complemento. Se les puede dejar como tarea el problema que se enuncia más abajo. La finalidad es que indaguen la manera de obtener la medida que falta. Al revisarla es importante que vean la necesidad de recurrir al teorema de Pitágoras para obtenerla. De manera individual escriban las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para el siguiente triángulo rectángulo.

5

4

118

A encontrar medidas (3/3) Intención didáctica. Que los alumnos ejerciten acerca de la relación que existe entre las razones trigonométricas de un ángulo y las de su complemento. Consigna 1: Organizados en equipos, con calculadora científica, completen la siguiente tabla.

Consigna 2: Completen los datos que faltan en el siguiente triángulo.

Ángulo A____ ___________

Ángulo B_______________

Lado b___ ____________

Consideraciones previas: Aquí se pretende que los alumnos refuercen lo que han aprendido y despejen las dudas que pueden tener en la aplicación de las funcione trigonométricas. Respuestas tabla: Coseno X:= 30 º (29.97º) Tangente X = 30 º (29.99) Se comprueba que las funciones de un mismo ángulo dan el mismo valor. Respuestas triángulos: Se pueden utilizar diferentes procedimientos, por ejemplo Cos A = 3.25/4.6 = 45º Ángulo B = 90º – 45º = 45º Lado b= √ (4.6)

2 – (3.25)

2= 3.25 redondeado

Función trigonométrica

Triángulo 1

Seno X 4/8= 0.5 2da. Función seno= 30º

Coseno X

Tangente x

8

6.93

4

X

4.6

b

3.25

A

B

119

Aplicando funciones (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM

Contenido 9.4.5: Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Intención didáctica. Que los alumnos usen las funciones trigonométricas para resolver problemas. Consigna 1. Organizados en parejas calculen la altura del asta bandera, si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37º. Consideraciones previas: En la puesta en común es importante que los alumnos expongan y argumenten claramente a sus compañeros su procedimiento y cálculo, para que concluyan que dependerá de la situación que plantee el problema y los datos que contenga, la elección de la razón trigonométrica.

20 m

?

37°

N

M

L

120

¿Cuál es la altura? (2/3) Intención didáctica. Que los alumnos usen las funciones trigonométricas para resolver problemas. Consigna 1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes: a) ¿A qué altura del piso se encuentra la punta del papalote, cuando el hilo que lo sostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º. b) Calculen cuánto mide la sombra de la torre. Consideraciones previas: En la puesta en común los estudiantes fundamentarán por qué usaron determinada función, es importante que se analice primero un problema y hasta que todos estén de acuerdo y les quede claro se pasará al siguiente. Si el tiempo lo permite se puede plantear el siguiente problema y si no se puede dejar como tarea y analizarlo en la siguiente clase. Encuentren la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene.

35°

50 m

sombra n

65°

30 m

x y

B C

A

60 m

53º

?

121

Trigonometría y Pitágoras (3/3)

Intención didáctica. Que los alumnos adquieran habilidad en la resolución de triángulos rectángulos y establezcan relaciones entre funciones trigonométricas y teorema de Pitágoras. Consigna 1. Individualmente, calculen los valores que se piden. Consideraciones previas: En la puesta conviene resaltar la utilidad del teorema de Pitágoras para comprobar los resultados que se obtienen mediante razones trigonométricas. Consigna 2. Resuelve el siguiente problema. El metro cuadrado de cristal cuesta $200.00, ¿cuánto costará una pieza de cristal que tiene forma de triángulo equilátero cuyos lados miden 40 cm cada uno?. Consideraciones previas: En el proceso de resolución se puede sugerir a los alumnos que necesiten ayuda, el uso de un gráfico. Si existen condiciones, se sugiere trabajar la resolución de problemas usando el Programa Cabri Géomètre (Geometría Dinámica, EMAT) u otro Software. Anexa tabla.

A C

B

19°

5 a

b

a = __________ b = __________ B = __________

b = __________ c = __________ B = __________

b)

A C

B

c

b

23

a)

37°

a = __________ c = __________ B = __________

a = __________ c = __________ A = __________

A C

B

c

3.4

a

38°

c)

A C

B

62° c a

34

d)

122

123

$

Número de personas

Costo de entrada al cine

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

200 160 120

80 40 0

Costos y razón de cambio (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido 9.4.6: Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.. Intenciones didácticas: A partir de cierta información, que los alumnos construyan tablas y gráficas y que a partir de éstas, relacionen cantidades y obtengan nueva información. Consigna: De manera individual, resuelvan el siguiente problema. 1.- Los tres hermanos Pérez asistieron al cine. El boleto de entrada cuesta $40.00: a) ¿Cuánto pagaron por las tres entradas? ________________ b) Si cada uno llevó un invitado, ¿cuánto se pagó en total para que todos entraran? _________ c) Si además asistieron los padres de los hermanos Pérez, ¿cuánto se pagó por todos? ______

A partir de la información anterior, completen la siguiente tabla: Con los datos obtenidos en la tabla anterior, tracen la gráfica correspondiente. Consideraciones previas: Si el tiempo lo permite, los alumnos pueden formular otras preguntas para ser analizadas y contestadas por el grupo. Por ejemplo: 1) ¿Cuánto se pagará por dos personas? 2) Si se cuenta con $350.00 ¿cuál es el mayor número de personas que pueden ser invitadas? Antes de pasar a otra actividad, es importante que el profesor verifique que los alumnos alcancen soltura en el manejo de la información que proporcionan la tabla y la gráfica.

Personas 3 6 8 Costo ($) 160 480

Observen la gráfica y contesten: a) ¿Cuánto se pagará por cinco

personas? _____________ b) ¿Cuánto se pagará por nueve

personas? _____________

124

Funciones lineales y razón de cambio (2/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan, a partir de la gráfica de una función lineal, las razones de cambio del fenómeno que representa. Consigna: Organizados en binas, analicen la siguiente gráfica que muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros meses del año, posteriormente den respuesta a las preguntas. a) ¿Cuánto varió el precio del primero al tercer mes? __________________________ b) ¿Cuánto varió el precio del primero al cuarto mes? _________________________ c) Suponiendo que el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuánto varió el precio del tercero al sexto mes? _____________________________ d) ¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo? _________________________ e) Si el primer mes corresponde a enero, ¿cuál es el precio del artículo en marzo? __________ f) Si el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuál será el precio del artículo en diciembre? ________________________ g) Respecto al inciso a, encuentren el cociente del incremento en el precio entre el número de meses, es decir la “razón de cambio”. Encuentren la razón de cambio en los incisos b y c y compárenla con la del inciso a. ¿Cómo son? ________________________________________ h) ¿Qué relación tienen las razones de cambio que encontraron en el inciso g y la respuesta del inciso d? ____________________________________________________________________

$

meses

Variación del precio de un artículo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2200

1800

1400

1000

600

200

125

Consideraciones previas: Es posible que los alumnos confundan el precio del artículo y el incremento del mismo, en tal caso es preciso distinguir dichos valores. Por ejemplo, en el quinto mes el precio del artículo es de $1800.00 y el incremento respecto al tercer mes es de $600.00. También puede ser que los estudiantes tengan dificultad para interpretar la tarea o para establecer las razones que se piden en el inciso g, en tal sentido convendría analizar detenidamente la consigna, que en otras palabras, se trata en cada caso de determinar la razón entre el incremento del precio del artículo respecto al tiempo. Por ejemplo, la razón de cambio del inciso a es la siguiente: Incremento en el precio 1200 – 600 600 Razón de cambio = ----------------------------------- = ----------------------- = ---------= 300 Tiempo transcurrido 3 – 1 2 Lo cual significa que el precio del artículo se incremento $300.00 por mes, respuesta de la pregunta del inciso d. Es importante que los alumnos busquen algunos ejemplos de cantidades que cambian de manera proporcional con el tiempo, permitiendo la razón de cambio saber cuánto aumentan o disminuyen, por ejemplo: la distancia recorrida cuando la velocidad es constante, el costo de una llamada de larga distancia, el interés que se paga por un préstamo de dinero, etcétera. Hay que poner especial atención a las respuestas que den los alumnos al inciso (d), ya que la razón de cambio que se obtiene en este inciso permitirá establecer la generalización correspondiente.

126

Cálculo de la razón de cambio (3/3) Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen diferentes razones de cambio con la inclinación o pendiente de las rectas que las representan. Consigna: La siguiente gráfica muestra el costo del servicio telefónico de dos compañías, en equipo y con base en la información que proporciona, respondan lo que se pide.

a) ¿Cuál es la razón de cambio (incremento en el costo por llamada) en cada compañía? _______________________________________________________________________

b) ¿Cuál es la relación entre las razones de cambio y la pendiente o inclinación de las rectas?________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) ¿Por qué el costo de las 100 primeras llamadas telefónicas es el mismo en las dos compañías?____________________________________________________________________________________________________________________________________

d) ¿Cuál es el incremento en el costo de 50 a 100 llamadas en la Compañía A? ____________________________¿Y en la B?__________________________________

e) En la Compañía A, ¿el incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es el mismo que de 51 a 100 llamadas? ___________________¿Y en la B?____________________________

Consideraciones previas: Al igual que en el plan anterior es importante no confundir “incremento en el costo” y el “costo del servicio” En la compañía A el incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es de $75.00 y el costo de las primeras 50 llamadas es de $225.00. Si los alumnos tienen dificultades para identificar y obtener costos e incrementos, puede proponérseles el llenado de una tabla como la siguiente para cada compañía: Compañía A

Llamadas 0 1 10 50 100 Costo total ($) 150 151.50 165.00 Incremento ($) 0 1.50 15.00

Una vez que quede aclarado el significado de incremento o razón de cambio, se puede plantear la siguiente pregunta: Si la razón de cambio en la compañía A fuera la misma que en la compañía B, ¿cómo serían las rectas que representan a ambos fenómenos? ¿cómo serían sus pendientes?

Este apartado se puede vincular con las siguientes asignaturas: ciencias, español, educación física y asignatura estatal. En relación a analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función.

Número de llamadas

Costo ($)

100

300

150

Compañía B

Compañía A

0 0

Costo del servicio telefónico

127

Desviados, pero no tantos (1/3) Curso: Matemáticas 9 EJE TEMÁTICO: MI Contenido 9.4.7: Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión. Intención Didáctica: Los alumnos puedan obtener la media aritmética y el rango de un conjunto de datos. Consigna 1: De manera individual calcular la media aritmética (promedio) de las alturas expresadas en milímetros de los siguientes perros que se muestran en la figura, considera que la altura de cada perro esta indicada por la marca que se encuentra en los hombros. Pueden usar calculadora.

Perro Altura (mm)

1

2

3

4

5

Media

1- Describe brevemente como obtuviste la media aritmética (promedio)?. ________________________________________________________________________

Con relación a la tabla anterior contesta las siguientes preguntas:

1- Cual es la altura mayor de los perros? _____________________________________________________________________________

2- Cual es la altura menor de los perros? _____________________________________________________________________________

3- Cual es la diferencia entre dichas alturas? _____________________________________________________________________________ A la diferencia entre el dato mayor y el menor de un conjunto de datos se le llama RANGO.

1 2 3 4 5

128

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos no presenten dificultades al calcular la media con los datos anteriores, ya que es un tema abordado en cursos anteriores. El alumno puede tener dificultad al interpretar de manera errónea que de media aritmética y el promedio son conceptos distintos, por lo que en la puesta en común es importante la intervención del maestro para aclarar que ambos conceptos tiene el mismo significado. Es de esperarse que los alumnos completen los 5 datos en la tabla y realicen la siguiente operación: Es posible que los alumnos manejen números redondeados u otras aproximaciones, por lo que los resultados numéricos no serán iguales.

Una vez resuelta la consigna anterior y la puesta en común, se deberá indicar a los alumnos que cuenten con calculadora científica la forma en la que se puede obtener el dato de la media aritmética.

129

Datos dispersos (2/3). Intención Didáctica: Los alumnos obtengan la desviación media de un conjunto de datos. Consigna 2: Organizados en equipos analicen la siguiente información. En la escuela Técnica #100 se necesita actualizar la biblioteca con nuevos textos, procurando que sean de interés para los alumnos de acuerdo a la edad. En la siguiente tabla se registran las edades de los alumnos que cursan los niveles de primaria y secundaria. Completa lo que se indica: 4. Encuentren la media(x) del total de la población. _______________________________________ 5. ¿Que diferencia hay entre la media y el dato de 6 años de edad?_________________________ 6. ¿Que diferencia hay entre la media y el dato de los 10 años?_____________________________

7. Obtengan la distancia de la media a cada uno de los datos y regístrenlos en la tabla.

EDADES FRECUENCIA DISTANCIA DE LA MEDIA AL DATO (DESVIACION)

6 40 3.92

7 37

8 33

9 30

10 28

11 27 1.08

12 36

13 32

14 37

TOTAL

MEDIA (X)=

DESVIACION DE LA MEDIA 8. Obtengan el promedio de la distancias entre los datos y la media (tercer columna).____________ Al dato anterior se le llama “desviación media”. Consideraciones previas: Se espera que los alumnos puedan tener la dificultad para interpretar la tabla de datos confundiendo la columna de las edades durante la obtención de la media (X). Podrían los alumnos durante el cálculo de la distancia de la media a cada dato presentar algunos resultados en negativo, por lo cual es importante que el maestro clarifique que este valor es absoluto, es decir, siempre positivo. Al sumar los datos de la columna de FRECUENCIAS se obtiene un total de 2976, el cual se divide entre un total de 9 diferentes edades para obtener la media que es 9.92 Para obtener la distancia de la media en cada dato es necesario que al dato de FRECUENCIA se reste al dato de la MEDIA (X) para obtener las diferencias, recordando que es valor absoluto y al final de estos valores se obtiene un promedio el cual llamamos “desviación media”.

130

Desviación media (3/3). Intención Didáctica: Los alumnos obtengan la desviación media de un conjunto de datos. Consigna 3: En equipo de acuerdo a la información completen la siguiente tabla. Una compañía disquera realizó un estudio de mercado para encontrar la media de los precios entre los CD de los artistas nacionales.

ARTISTAS NACIONALES

ARTISTAS COSTO DEL

CD

DISTANCIA DE LA MEDIA AL DATO (DESVIACION)

Belinda 180

Vicente Fernández 210

Anahi 190

Sonora Escándalo 150

Camila 195

Reik 215

Espinoza Paz 230

Julion Álvarez 200

TOTAL

MEDIA (X)=

DESVIACION DE LA MEDIA

1- Obtener el rango de los datos del COSTO DE CD? Consideraciones previas: Al sumar los datos de la columna del COSTO DEL CD se obtiene un total de 1605, el cual se divide entre un total de 8 diferentes artistas para obtener la media que es 200.63. Para obtener la distancia de la media en cada dato es necesario que al dato de COSTO DEL CD se reste al dato de la MEDIA (X) para obtener las diferencias, recordando que es valor absoluto y al final de estos valores se obtiene un promedio el cual llamamos “desviación media”.

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Cuántos años tiene Matias (1/7) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA Contenido: 9.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada Intención didáctica: Dado un problema, determinar la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones con que se puede resolver, y viceversa, proponer una situación que se modele con una de esas representaciones. Consigna: De manera individual plantea el sistema de ecuaciones que modela la siguiente situación: 1.- La edad de don Matías es igual a cuatro veces la edad de Raúl. La suma de sus edades es 70 años. ¿Cuántos años tiene don Matías?___________ ¿Cuál es la edad de Raúl?__________________ Para saber la edad de don Matías y su hijo considera lo siguiente: “x” representa la edad de don Matías, “y” representa la edad de Raúl.

A) Completa la ecuación que representa el enunciado: La edad de don Matías es igual a cuatro veces la edad de Raúl”. Ecuación 1: x=_________________________

B) Completa la ecuación que representa el enunciado: La suma de sus edades es 70 años. Ecuación 2: ______________________ = 70

C) ¿Cuál sistema de ecuaciones corresponde a esta situación?

CONSIDERACIONES PREVIAS: Es importante permitir que los alumnos utilicen cualquier método para resolver el problema. Más adelante aprenderán técnicas convencionales. Se pretende que los alumnos echen mano de sus herramientas aritméticas y algebraicas para resolver el problema. En este momento lo importante es que logren plantear el sistema de ecuaciones que modela el problema y socialicen sus argumentos RESPUESTA:Don Matías tiene 56 años y Raúl 14 años RESPUESTA: El sistema 3 es el que modela el problema planteado x= 4y, x+y= 70

132

Método de sustitución (2/7) Intención didáctica: Que los alumnos recuerden y utilicen el método de resolución de sistemas de ecuaciones por sustitución. Consigna: En equipos resuelva el sistema de ecuaciones del problema anterior por medio del método de sustitución con ayuda del maestro.

a) La ecuación 1 se puede escribir como: x=4y, Esta ecuación indica que el valor de x es igual a 4 veces el valor de y. En la Ecuación 2, sustituyan x por 4y y resuelvan la ecuación que se obtiene después de esta sustitución. Ecuación 2: x + y =70

Sustitución ( ) + y = 70 b) Como resultado de la sustitución obtuvieron una ecuación de una incógnita.

Resuélvanla y encuentren el valor de y y= ________________ Encuentren el valor de x. x=________________

c) Para comprobar los valores que encontraron, sustituyan en las ecuaciones 1 y 2 los valores de “x” y de “y” que encontraron. E1: X + Y = 70 E2: X = 4Y ( ) + ( ) = 70 ( ) = 4 ( ) _____________= 70 56 =_________________

d) ¿Son verdaderas ambas igualdades que obtuvieron? ___________PORQUE?_________________________________________________________________________________________________________________________________________

CONSIDERACIONES PREVIAS: Es importante detectar los problemas de despeje aritmético para subsanar posibles errores. RESPUESTA:

133

134

Que método tan igualado (3/7) Intención didáctica: Que los alumnos recuerden y utilicen el método de resolución de sistemas de ecuaciones por igualación. Consigna: En equipos resuelva el sistema de ecuaciones por medio del método de igualación. Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones: E1: y=4x+13 E2: 2x-3 = y Una manera de resolver un sistema de ecuaciones cuando la misma incógnita está despejada en las dos ecuaciones consiste en aplicar el método de igualación. Para eso hay que igualar las dos expresiones algebraicas que son equivalentes a la incógnita despejada

a) ¿Qué ecuación se obtiene al igualar las dos expresiones algebraicas equivalentes a la incógnita y?

Resuelvan la ecuación que obtuvieron.

b) ¿Cuál es el valor de x?_____, ¿Cuál es el valor de y?_______

c) Verifiquen sus soluciones sustituyendo los valores que encontraron en las dos ecuaciones originales

CONSIDERACIONES PREVIAS: Es importante detectar los problemas de despeje aritmético para subsanar posibles errores. RESPUESTA:

135

136

Sigues de igualado (4/7)

Intención didáctica: Que los alumnos recuerden y utilicen el método de resolución de sistemas de ecuaciones de igualación. Consigna: En equipos resuelva el sistema de ecuaciones por medio del método de igualación comprueba tus resultados por medio del método de sustitución. 1.- Encuentren el sistema de ecuaciones que corresponda al problema siguiente:Doña Lupe fue a comprar queso. Por 2 quesos de vaca y 3 quesos de cabra pago $300.00. Si un queso de vaca vale $30.00 menos que un queso de cabra, ¿Cuánto vale una pieza de cada tipo de queso? Usen las letras x y y para representar las incógnitas del problema. X: precio de un queso de vaca Y: precio de un queso de cabra.

a) ¿Qué ecuación representa el enunciado: por 2 quesos de vaca y 3 quesos de cabra pago $ 300.00?

E1:__________________________________ b) ¿Qué ecuación representa el enunciado: un queso de vaca vale $30.00 menos que un queso de cabra?

E2:__________________________________

c) Algunas veces, antes de aplicar el método de igualación hay que despejar alguna de las incógnitas. Realiza

las siguientes actividades para resolver por igualación el sistema.

E1: 2x + 3y = 300 E2: x = y – 30

d) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones se obtiene al despejar la incógnita de x de la ecuación E1.? Subráyala.

X = (300 – y ) – 2

X = 150 – y

X = 300 - 3y

2

e) Igualen las expresiones que obtuvieron para la incógnita “ x “. Completen la ecuación.

___________ = y – 30 Resuelvan la ecuación que se obtiene ¿Cuánto vale X ?________________________ ¿Cuánto vale Y?_____________ CONSIDERACIONES PREVIAS: Quizá los alumnos no tengan claro que hacer para efectuar el despeje de x una vez que llegan a 2x=300-3y. Si lo considera pertinente, anote en el pizarrón y resuélvala juntos explicando que para despejar x hay que dividir todo lo que está a la derecha del signo igual entre dos. Pueden auxiliarse del procedimiento expuesto en el recuadro.

RESPUESTA:

137

138

Haber como resuelves el problema!!!!!! (5/7) Intención didáctica: Que los alumnos usen ecuaciones al resolver problemas. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas.

1. Un estudiante obtuvo 6.4 y 7.8 en dos exámenes respectivamente. ¿Cuánto debe obtener en un tercer examen para tener un promedio de 8?

2. La superficie de un terreno rectangular mide 396 m

2, si el lado más largo mide 4 m más que el otro lado, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?

3. El rendimiento de un automóvil es de 8 km por litro de gasolina en la ciudad y de 12 km por litro de gasolina

en autopista. Si este automóvil recorrió en total 399 km y consumió 36 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron en la ciudad y cuántos en la autopista?

Consideraciones previas: En el primer problema, se espera que los alumnos planteen la siguiente ecuación:

83

7.64.6

x o algo equivalente. En el segundo problema se espera una ecuación de segundo grado y en el

tercero un sistema de ecuaciones. Sin embargo, puede suceder que en algún caso no les de confianza plantear una ecuación y prefieran utilizar un procedimiento aritmético. En todo caso lo que se espera es poder confrontar diversos procedimientos y a partir de eso resaltar que el uso de ecuaciones es más eficiente. Si a los alumnos, por la razón que sea les pareció más eficiente un procedimiento aritmético, no conviene forzar el uso de las ecuaciones, más bien habría que modificar el problema para que el procedimiento aritmético resulte más complicado. El primer problema se puede complejizar agregando más calificaciones. El segundo problema se hace más difícil si en vez de dar la relación entre los lados se da el perímetro y el tercer problema seguramente no habrá necesidad de hacerlo más complejo. Como en otros casos, si ningún alumno o alumna formuló una ecuación en un problema es válido que el profesor la sugiera como un recurso más, pero también es importante averiguar las causas por las cuales los alumnos no formularon una ecuación y atenderlas. Como tarea para la casa se puede plantear el siguiente problema: Un garrafón lleno con 18 litros de agua cuesta $70.00, si el envase cuesta 1.5 veces lo que cuesta el líquido, ¿cuánto cuesta el envase y cuánto el líquido?

139

Escribe un poema para ella (6/7)

Intención didáctica: Que los alumnos inventen problemas, con sentido, que correspondan a ecuaciones dadas. Consigna: Organizados en equipos, analicen las siguientes ecuaciones y redacten un problema que se pueda resolver con cada una de ellas.

a) x + 0.2x = 60 b)

c) x(x + 5) = 150

Consideraciones previas: La forma más simple de inventar un problema que responda a una ecuación dada es pensar en números, por ejemplo, para la primera ecuación podría ser algo así: La suma de un número más dos décimos de ese mismo número, es 60. ¿De qué número se trata? Es probable que muchos la mayoría de los equipos planteen problemas similares y en principio está bien, pero hay que sugerirles que busquen otras opciones. Es conveniente analizar todos los problemas diferentes que se hayan formulado para la primera ecuación y después pasar a la siguiente. En cada caso, es necesario establecer si el problema es claro, si tiene sentido, si está completo, si es necesario corregirle algo. A continuación se sugieren otras ecuaciones que se pueden plantear en la misma sesión o como tarea para la casa.

a) 20455 xx , b) 2502

21002

yx

xy, c) 0132 xx

d) 60)3)(2(3 xx

x + y = 170 x – y = 20

140

La cajita otra vez (7/7) Intención didáctica. Que los alumnos, a partir de un modelo algebraico resuelvan diferentes problemas. Consigna. Organizados en equipos, formulen una ecuación que permita resolver el siguiente problema. Posteriormente contesten las preguntas. Pueden usar calculadora. 1. Se va a fabricar una caja sin tapa con una hoja cuadrada de cartón. Para ello, en cada esquina de la hoja

cuadrada hay que cortar un cuadrado de 3 pulgadas por lado y después doblar las partes restantes para formar la caja. Si la caja tendrá un volumen de 108 pulgadas cúbicas, ¿cuánto deberá medir por lado la hoja cuadrada? ______________

2. Supongamos que se quiere obtener un volumen menor que 108 pulgadas cúbicas. ¿Cuánto podrían medir por

lado los cuadrados que se recortan en la esquinas? _____________ 3. ¿Cuánto deberían medir por lado los cuadrados que se recortan en las esquinas si se quiere obtener el mayor

volumen posible?________¿Cuál es el mayor volumen posible?__________ Consideraciones previas: Este problema no es trivial, de manera que hay que estar pendiente por si los alumnos requieren apoyo para poder resolverlo. Parte de ese apoyo puede consistir en plantearles las siguientes preguntas: ¿Qué forma tendrá la caja? ¿Cuánto mide un lado de la hoja de cartón? Ante esta pregunta es probable que algunos establezcan una medida “a ojo”, considerando las medidas de los cuadraditos que se recortan. Habrá que hacerles ver que conla información disponible no hay una medida concreta y precisamente el problema consiste en encontrar esa medida. En principio se puede representar con x o cualquier otra letra. A partir de esta medida hipotética ya se pueden expresar otras medidas, por ejemplo, un lado de la base de la caja mide x-6 ¿por qué? El área de la base de la caja, que es cuadrada, mide (x - 6) (x - 6) ¿Cuánto mide la altura de la caja? Y entonces, ¿cómo se expresa el volumen de la caja? 3 (x - 6) (x - 6) = v, pero como v vale 108, la expresión final es 3 (x - 6) (x - 6) = 108. Al resolver esta ecuación se contesta el primer problema. Una vez que se conoce la medida de un lado de la hoja cuadrada (12 pulgadas), en los problemas 2 y 3 la incógnita es la medida de un lado de los cuadraditos que se recortan, de manera que la base de la caja mide por lado: 12 – 2x; el área de la base es (12-2x)

2 y el volumen de la caja sería x(12-2x)

2; así, dándole valores a x se puede averiguar

cuándo el resultado es menor que 108 y cuándo se obtiene el mayor resultado. En el caso del segundo problema, es muy probable que los alumnos encuentren diferentes respuestas y que sean correctas. En este caso, hay que pedirles que las justifiquen. En el tercer problema probablemente los alumnos prueben con cortes de 1, 2, 3, 4 y 5 pulgadas, quizás algunos se les ocurra probar con fracciones de pulgadas como por ejemplo 1.5, 2.5, 2.4, etc. si esto no ocurre hay que decirles que lo hagan, con la finalidad de que se den cuenta qué volúmenes se obtienen con estos cortes y con cuál de ellos se obtiene el mayor volumen de la caja. Cabe aclarar que el corte no puede ser 6 pulgadas o más y que tampoco puede ser cero.

3 pul.

3 pul.

141

“ Súper cortes “ 1/2

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM

Contenido 9.5.2: Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto. Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las figuras que se obtienen al hacer cortes rectos a un cilindro, un cono o una esfera. Consigna: En forma individual, anota debajo de cada cilindro, cono o esfera el nombre de la figura que se obtiene al hacer el corte que se indica. Al terminar compara con tus compañeros tus anotaciones y si no coinciden traten de ponerse de acuerdo.

Estos son algunos cortes que pueden hacerse en un cilindro:

Algunos cortes que se pueden hacer al

cono:

Paralelo a la base

Perpendicular a la base

Oblicuo a una de las base

Oblicuo a las 2 bases

Oblicuos a la base sin cortarla

Perpendiculares a la base

Paralelos a la generatriz cortando la base

142

Paralelo a la base

Algunos cortes que se pueden

Hacer a una esfera.

Consideraciones previas: La finalidad de realizar individualmente este trabajo es que todos los alumnos tengan la oportunidad de analizar los cortes y las figuras que resultan. Es probable que no todos identifiquen las mismas figuras y los mismos nombres, de manera que éste será un buen punto para discutir y obtener conclusiones. Es deseable que los alumnos (por equipo) cuenten con los sólidos indicados, para que hagan los cortes y verifiquen lo que se ve en los dibujos. El cilindro, el cono y la esfera pueden ser de unicel y adquirirse en papelerías o mercerías o bien hacerlos con plastilina o barro. Pueden utilizar para los cortes un cúter, teniendo en cuenta las medidas de seguridad pertinentes. Los cortes pueden ser verticales, horizontales o inclinados con respecto a la base o al eje de revolución. Es importante que los alumnos obtengan una descripción clara de las figuras que se observan al realizar los cortes: rectángulos, círculos, elipses y parábolas y conviene cuestionar si son las únicas figuras que se pueden obtener. En el caso de la esfera, será importante resaltar que no importa cómo y dónde se hagan los cortes, si éstos son rectos, la figura que se obtiene siempre es un círculo, además de señalar que tiene infinidad de ejes.

Perpendicular a un eje

Oblicuo a un eje

Perpendicular a un eje

143

“ Sube y baja “(2/2) Intenciones didácticas: Que el alumno analice y determine la variación que se establece en el radio de diversos círculos al realizar cortes paralelos en un cono recto y en una esfera. Consigna 1: En binas, analicen y contesten.

El cono que aparece abajo mide 10 cm de altura y 2 cm de radio en la base. Si se hacen cortes paralelos a la

base, ¿cuánto medirá el radio de cada círculo formado por los cortes por cada centímetro de altura? Completen la tabla.

Tracen la gráfica que

representa la relación entre las

diferentes alturas del cono que se obtienen al hacer cortes paralelos a su base y el radio de los círculos que se forman.

h (altura del cono)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

r (radio de la base)

2 1.8 1.6

h

144

Consigna 2: Contesten las siguientes preguntas. ¿Cuántos radios tiene una esfera?________________________________ ¿Cuántos diámetros?__________________________________________ ¿Por dónde deberá hacerse un corte a una esfera de manera que se obtenga el mayor círculo posible?________________________________________ ¿Qué tipo de gráfica se obtendrá al representar los radios de los círculos y la altura de los cortes de una esfera? Justifica tu respuesta.__________________ _______________________________________________________________ Consideraciones previas: Se puede relacionar los cortes obtenidos en la esfera con los paralelos de la Tierra, mencionando los trópicos de Cáncer y de Capricornio, lo mismo que los casquetes polares. Si el tiempo lo permite, se les puede plantear el siguiente problema relacionado con este tema:

a) ¿Cuánto mide el radio de la Tierra, si el Ecuador mide 40 075 004 km? b) El casquete polar tiene una longitud aproximada de 39 925 km, ¿cuánto mide el radio del casquete polar?

r

145

Mega construcciones (1/2)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM

Contenido 9.5.3: Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides. Intención didáctica: Que los alumnos construyan la fórmula para calcular el volumen de un cilindro. Consigna 1: Organizados en equipos, calcula el volumen de los siguientes prismas y cilindro.

Pregunta: ¿Que diferencia existe en la fórmula para calcular el volumen de cualquier prisma con respecto a la del cálculo del volumen del cilindro?

Prisma triangular Lado de la base = 4 cm Altura del prisma = 10 cm

Prisma cuadrangular Lado de la base = 3 cm Altura del prisma = 10 cm

Prisma pentagonal Lado de la base = 2.4 cm Altura del prisma = 10 cm

Prisma hexagonal Lado de la base = 2 cm Altura del prisma = 10 cm

Prisma decagonal Lado de la base = 1.2 cm Altura del prisma = 10 cm

Cilindro Radio de la base = 2 cm Altura del cilindro = 10 cm

146

Consideraciones previas: Anteriormente los alumnos calcularon y justificaron el volumen de prismas, por lo que se espera que sepan usar ese conocimiento, no sólo para calcular el volumen de los prismas elegidos, sino para inferir el procedimiento para calcular el volumen del cilindro. En los casos en los que se necesita la medida de la apotema, tendrán que recurrir al teorema de Pitágoras o a las razones trigonométricas para obtenerla. Si los alumnos tienen claro que el volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura, es muy posible que vinculen este procedimiento con el volumen del cilindro. Una vez que haya quedado claro el procedimiento para calcular el volumen del cilindro conviene plantear las siguientes preguntas: ¿En cuál de los cuerpos dibujados se usa menos material para construirlo? ¿Cuál de los cuerpos dibujados tiene mayor volumen?

147

Los diamantes en oferta!!! (2/2) Intención didáctica: Que los alumnos construyan la fórmula para calcular el volumen del cono. Consigna: Organizados en equipos, hagan lo siguiente:

a) Elijan al menos tres de las

pirámides dibujadas

y calculen su

volumen

b) Con base en el procedimiento que utilizaron para calcular el volumen de las pirámides elegidas, calculen el volumen del cono.

Pirámide triangular Lado de la base = 4 cm Altura de la pirámide = 10 cm

Pirámide cuadrangular Lado de la base = 3 cm Altura de la pirámide = 10 cm

Pirámide pentagonal Lado de la base = 2.4 cm Altura de la pirámide = 10 cm

Pirámide hexagonal Lado de la base = 2 cm Altura de la pirámide = 10 cm

Pirámide octagonal Lado de la base = 1.5 cm Altura de la pirámide = 10 cm

Pirámide dodecagonal Lado de la base = 1 cm Altura de la pirámide = 10 cm

148

Consideraciones previas: En las clases anteriores debió haber quedado clara la diferencia entre la generatriz y la altura en un cono, así como el hecho de que su base es un círculo. Con este trabajo también se espera que infieran la fórmula para calcular el volumen del cono, en el entendido de que el área de la base es πr

2. Además, se puede

recurrir al proceso de vaciado para lo que se requiere tener algunos materiales, tales como arroz, lentejas, arena, etc., usando el cilindro y el cono que construyeron en el apartado anterior para comprobar la relación que existe entre los volúmenes de dichos sólidos.

Pirámide de 20 lados Lado de la base = 0.6 cm Altura de la pirámide = 10 cm

Cono Radio de la base = 2 cm Altura del cono = 10 cm

149

Aguas frescas para todos (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: Forma, espacio y medida

Contenido 9.5.4: Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas. Intenciones didácticas: Que los alumnos estimen, calculen y relacionen el volumen de conos y cilindros. Consigna 1: Organizados en forma individual, resuelvan los siguientes problemas, sin hacer operaciones escritas.

a) Se tiene un garrafón con 4 litros de agua, que se va a repartir en vasitos cónicos de 8 cm de diámetro por 10 cm de altura. ¿Cuántos vasitos creen que podrían llenarse? __________________________

b) Si los vasitos fueran cilíndricos en vez de cónicos, pero con las mismas medidas, ¿cuántos creen que

podrían llenarse? __________________________________ Consigna 2: Un tráiler llega con un contenedor de forma cilíndrica lleno de granos de maíz y se desea depositarlo en un silo con forma de cono con las medidas que aparecen en la imagen siguiente:

¿Tendrá el silo la capacidad suficiente para recibir el contenido del contenedor cilíndrico? Argumenten su respuesta.

Consideraciones previas: La condición de no permitir operaciones escritas es para que los alumnos usen el cálculo mental y obtengan una aproximación en el primer problema, pero además, se espera que con base en esa aproximación puedan resolver el segundo problema. Una estimación posible es la siguiente: el volumen del cono es 4

2 por pi entre tres, aproximadamente igual a (4

2 x 3)/3 = 16 cm

3. Esta cantidad cabe aproximadamente 6 veces en

100; 60 veces en 1000 y 240 veces en 4000 cm3, que es el equivalente de los cuatro litros. Si los vasos fueran cilíndricos, la cantidad de vasos que se podrían llenar sería 240 entre 3, es decir 80 vasos. Es conveniente que, habiendo encontrado los resultados estimados de los dos primeros problemas, los alumnos usen la calculadora y vean qué tan cercanos (o lejanos) son los resultados obtenidos por ambos medios. Habrá que dejar que los alumnos discutan en su equipo cuáles son las mejores estrategias para dar respuesta a los problemas, sin esperar una respuesta exacta. También habrá que dejar que discutan acerca de la equivalencia entre las unidades de capacidad y las de volumen que ya fueron estudiadas anteriormente. Es importante verificar que los alumnos, más allá de la precisión en los cálculos, manejan son soltura los procedimientos para calcular volúmenes de cilindros y conos, la relación que existe entre ambos y la vinculación entre unidades de capacidad y volumen.

150

El roto…plasss (2/3)

Intenciones didácticas: Que los alumnos realicen despejes al utilizar fórmulas. Consigna: En binas, resuelvan los siguientes problemas. Pueden utilizar calculadora.

a) Don Melquiades quiere colocar una cisterna cilíndrica con una capacidad de 2500 l y un diámetro de 1.50 m. ¿Cuánto deberá excavar para que el depósito quede al nivel del piso? Hay que considerar que el depósito se colocará sobre una base de concreto de 10 cm de espesor.

b) Un vecino de Don Melquíades que pretendía hacer lo mismo, encontró piedra a 1.20 m de profundidad y

no fue posible colocar el mismo tipo de depósito. ¿De qué medida deberá ser el diámetro de otro depósito para que, conservando la misma capacidad de 2500 l se pueda instalar ahí?

Consideraciones previas: Se sugiere discutir los resultados y argumentaciones del primer problema, antes de pasar a la resolución del segundo. Los alumnos pueden tener dificultad para hacer el despeje de la altura y el radio, en este caso se puede sugerir que sustituyan en la fórmula los valores conocidos y que encuentren la relación numérica que se establece. Otra dificultad puede generarse de la confusión en uso del radio y el diámetro. Como tarea para la casa se puede plantear el siguiente problema. En algunas zonas rurales acostumbran almacenar forrajes, granos o semillas en depósitos de forma cónica llamados silos. El papá de Mariana va a construir un silo para almacenar 120m

3 de semilla que cosecha anualmente. ¿Cuál deberá ser la altura del silo, considerando que el diámetro medirá 8 metros?

151

¿Quien le comió a la barra de chocolate? (3/3)

Intenciones didácticas: que los alumnos analicen la relación entre la altura y el volumen de cilindros y conos cuando el área de la base se mantiene constante. Consigna 1: En equipos, realicen las siguientes actividades. Pueden usar calculadora:

a) Se tienen cinco barras de chocolate en forma cilíndrica, como los que se observan en el dibujo de abajo.

Llenen la tabla con los datos que faltan y contesten la pregunta. ¿Cómo varían la altura y el volumen del cilindro cuando el radio permanece constante?____

_________________________________________________________________________

b) Con las mismas dimensiones indicadas en la actividad anterior, ahora calculen el volumen de los rellenos cónicos señalados en el interior de cada barra de chocolate, completen la tabla y contesten la pregunta.

¿Cómo varían la altura y el volumen del cono cuando el radio permanece constante?____ Consideraciones previas: Al resolver ambos problemas se espera que los alumnos concluyan que la altura y el volumen tanto del cono como del cilindro varían proporcionalmente, cuando el radio permanece constante. Se sugiere que con los valores de las tablas se elaboren las gráficas correspondientes y puedan, los alumnos, observar la variación que se da entre volumen y altura. Se recomienda plantear situaciones en las que permanezca constante la altura y se haga variar el radio de la base para analizar lo que sucede con el volumen y verificar que no es el mismo comportamiento.

152

a) Completen la siguiente tabla: b) Si el calentamiento del agua continúa en la

misma forma, ¿cuál será su temperatura a los 20 minutos? ______ ¿Después de cuántos minutos empezará a hervir el agua? ________ (Recuerden que el agua hierve a los 100°C)

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela

esta situación? _________

d) Elabora la gráfica correspondiente al comportamiento de la temperatura y escribe que tipo de crecimiento representa

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS (1/4)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: (MI)

Contenido 9.5.5: Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen una regla de correspondencia entre dos conjuntos de cantidades que varían linealmente. Consigna 1: De manera individual, realiza lo que se indica a continuación: Se tiene un recipiente con agua a 20°C (temperatura ambiente). El agua se calienta, de tal manera que su temperatura aumenta 4°C por minuto. De acuerdo con esta información.

Tiempo (min)

Temperatura (°C)

0 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

153

Consideraciones previas: La intención de esta actividad, es que los alumnos entren en el tema que se va a estudiar. Se espera que la mayoría de los alumnos resuelva el problema sin muchas complicaciones, si así sucede, solo habrá que centrar la atención en que la expresión algebraica esté bien formulada y, en analizar expresiones equivalentes en caso de que surjan. Es importante dejar claro que, de acuerdo con la fórmula obtenida, la temperatura del agua, en un tiempo dado, es igual a cuatro veces el tiempo, más veinte. También vale la pena bosquejar la gráfica correspondiente. Las posibles expresiones algebraicas son: Temperatura = 4(t) + 20 o bien (si K=4 y t= tiempo) entonces: Temp.= t (k)+20 entre otras.

154

¿Cuánto gasta el barco? (2/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de cantidades que varían linealmente y expresen algebraicamente dicha relación. Consigna 2: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Un barco de carga tiene un tanque de almacenamiento para combustible de 2400 litros. Al navegar, cada día consume 150 litros de combustible. Con base en la información que hay en la siguiente tabla, anoten los datos que faltan.

DIAS TRANSCURRIDOS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LITROS DE COMBUSTIBLE EN

EL TANQUE 2400 2100 1200

a) ¿Cuánto combustible quedará después de 5 días?_________________ ¿Y después de 10

días?___________, ¿y después de 15 días?_____________

b) ¿Cuántos días deben transcurrir para que se agote el combustible? ____________________________________________________.

c) Escriban la expresión algebraica que relaciona la cantidad de combustible en el tanque, en función

de los días transcurridos. __________________________.

d) Bosqueja la gráfica correspondiente y escribe el tipo de crecimiento. Consideraciones previas: Este problema no es muy distinto del que los alumnos resolvieron en la sesión anterior, puesto que también se trata de una relación lineal. Se espera que sin mucha dificultad puedan establecer que la expresión algebraica que modela esta situación es: Ct = 2400 – 150t o una expresión equivalente. Dicha en palabras, esta expresión es: combustible en el tanque igual a 2400 menos 150 multiplicado por la cantidad de minutos transcurridos.

155

Bajo cero ( 3/4 ) Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la recursividad al relacionar dos conjuntos de cantidades y expresen algebraicamente dicha relación. Consigna 3: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: Una cierta cantidad de agua a una temperatura de 80°C se pone en un congelador que está a 0°C. En el proceso de enfriamiento se observa que la temperatura se reduce en un 5% por cada minuto que transcurre.

a) Completen la relación de los datos en la tabla. b) ¿En cuánto tiempo llega tener el agua una temperatura de 47.9°C c) Escriban una expresión algebraica que modele el fenómeno. d) Grafica los datos de la tabla y menciona el tipo de crecimiento que representa.

Minutos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 °C 80 76 61.9024

156

Consideraciones previas: Este problema presenta una dificultad mayor que el de la sesión anterior, en primer lugar porque ya no se trata de una relación lineal sino exponencial. Al contestar las preguntas que se plantean los alumnos deben echar mano del cálculo de porcentajes y de lo que suele llamarse cálculo recursivo, que no es más que calcular un resultado a partir de un resultado anterior. En este caso, lo más probable es que calculen el 5% de 80 que es 4, por tanto la temperatura después de transcurrir un minuto será 80-4=76 grados, posteriormente hay que repetir el proceso a partir de los 76 grados para calcular la temperatura después de dos minutos y así sucesivamente. El proceso anterior se simplifica al multiplicar la temperatura inicial (80°) por 0.95 a la x potencia, en el entendido de que 0.95 es el complemento a 100 de 0.05 (5%) y el exponente x representa los minutos transcurridos. De manera que la expresión algebraica podría escribirse así: T=80(0.95)

x

Es poco probable que los alumnos encuentren la fórmula por sí solos, pero sí pueden resolver los dos primeros incisos con ayuda de una calculadora. Si ningún equipo encuentra la fórmula el maestro la propone y sugiere que la usen para verificar que se obtienen los mismos resultados que se obtuvieron sin ella. Después de esto se pueden calcular las temperaturas que corresponden a diferentes cantidades de minutos.

157

El proyector y la pantalla (4/4)

Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática y encuentren la expresión que modela dicha relación. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación d) .Escriban la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas.

________________________ e) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1.5

2.5

3.5

4.5

Área de la imagen (m

2)

f) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de manera que el área

de la imagen sea de 196 m2.

d = ______________

Distancia entre el proyector y la pantalla (m)

1

2

3

Área de la imagen en m2

4

16

36

1 m 2 m

3 m

158

g) Elabora la grafica que representa la tabla del inciso b y menciona el tipo de variación que representa.

Consideraciones previas: Es importante que pongan en práctica los conocimientos que han desarrollado para que encuentren la expresión algebraica A= 4d

2 para dar respuesta al inciso a y puedan llenar la tabla. La respuesta del inciso c es 7 porque 7

2= 49, (49)(4)= 196m

2

159

La carrera de chupa cartas (1/2) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI

Contenido 9.5.6: Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables. Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiprobables o no equiprobables. Consigna: Organícense en equipos de tres lean y analicen la siguiente situación: “En la clase de matemáticas se realizó un “juego de carreras”, para ello se utilizaron dos monedas, en las que una de sus caras tenía el número uno y en la otra cara el cero. Para llevar a cabo el “juego” se utilizó como pista el tablero que se presenta a continuación:

PISTA Cada integrante escogió un carril (0,1 ó 2) y un objeto como contraseña personal para indicar su avance en el carril; se procede a lanzar las monedas, dependiendo de lo que marquen las caras superiores sus resultados se suman; si el resultado es uno avanza ese carril y si la suma es dos avanza el dos y así sucesivamente. Ganando el primero que llegue a la meta. 1. Comenten en equipo y den respuesta a las siguientes preguntas:

¿Consideran que en cualquier carril se tiene la misma probabilidad de ganar?_______ ¿Por qué? __________________________________

¿Habrá algún carril que siempre le gane a los demás? Argumenten su

respuesta.________________________________________________

¿Cuál es la probabilidad de que gane el carril 0? ______ ¿Por qué? _____________________________________________________

¿Cuál es la probabilidad de que gane el carril 1? ______ ¿Por qué?

_______________________________________________

Y, ¿del carril 2? ________ ¿Por qué? _____________________________

J U G A D O R E S

0 SALIDA

M E T A

1 SALIDA

2 SALIDA

160

2. Ahora realicen el juego de acuerdo a las instrucciones, cuando alguno de los tres llegue a la meta terminan el juego y revisen si sus predicciones fueron correctas. En caso de no ser así, argumenten lo sucedido para comentar con los demás equipos. ¿Tienen los tres carriles la misma probabilidad de ganar?_____ Argumenta tu respuesta________________________________. ¿Tienen algunos carriles la misma probabilidad de ganar? ____ ¿Cuáles? ¿Cuál(es) carril(es) tiene(n) mayor probabilidad de obtener la victoria? ______. Por qué?________________________________________________________________. Consideraciones previas: Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con los resultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral del experimento “ la suma de las caras superiores al lanzar dos monedas al aire”, que se puede representar mediante un diagrama de árbol o arreglo rectangular. Variante del juego: Si el tiempo lo permite, puede cuestionar a los equipos respecto a qué pasa si se cambian las condiciones del juego, (multiplicar las caras en lugar de sumarlas); algunos ejemplos de preguntas serían las siguientes:

a) ¿Tienen en los tres carriles la misma probabilidad de llegar a la meta? b) ¿En qué carril se llegará primero a la meta? c) ¿En algún carril se está en desventaja con respecto a los demás?

161

Si lanzo los dados, quién ganará (2/2) Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen las razones por las cuales dos situaciones de azar son equiprobables o no equiprobables.

Consigna 1: En parejas jueguen a lanzar dos dados, las reglas son las siguientes: En cada lanzamiento se calcula la diferencia entre los puntos de ambos dados, si es 0, 1 o 2, el jugador número uno gana una ficha. Si resulta 3, 4 o 5, el jugador número dos gana una ficha. El juego se inicia con un total de 20 fichas, de las que se toma una cada vez que gana un jugador. El juego termina cuando no quedan más fichas. Repitan el juego tres veces, contesten: Consideran justas las reglas del juego? ______ ¿Porqué? ________________ ____________________________________. ¿Consideran que ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar? ¿Por qué? __________________________________________ ¿En qué condiciones creen que se deba jugar para que los dos jugadores tengan la misma probabilidad de ganar? _______________________________

Consigna 2. Completa la siguiente tabla que muestra los posibles resultados del juego anterior.

Caras dado 1 y diferencia de puntos

1 difer. 2 difer. 3 difer. 4 difer. 5 difer. 6 difer.

Cara

s d

ad

o 2

1 (1,1) 0

2 (3,2) 1 (6,2) 4

3 (5,3) 2

4

5 (2,5) 3

6 (6,1) 5

Observa la tabla completa y contesta: ¿Cuántas formas diferentes hay para que la diferencia:

Sea cero?______________ Sea uno? __________ Sea dos? ____________

Sea tres? ______________ Sea cuatro? ________ Sea cinco? ___________

De acuerdo a los resultados obtenidos compara con tus primeras respuestas y comenta tus conclusiones al grupo.

Consideraciones previas: En el caso de que los alumnos no encuentren las condiciones que permitan un juego justo; sugiera por ejemplo: “si se sumaran las caras de los dos dados y dicha suma fuera par, ¿cuál es la probabilidad de que gane este jugador?, ¿cuál sería la probabilidad de ganar si la suma de las dos caras es impar?, ¿cómo son las probabilidades de ambos jugadores?” Una vez que se analice la tabla , es conveniente volver a plantear a todo el grupo la pregunta: ¿En qué condiciones creen que se deba jugar para que los dos jugadores tengan la misma probabilidad de ganar? ¿Qué reglas establecerían para que el juego resulte justo?