Continuity and Irrational Numbers

7/27/2019 Continuity and Irrational Numbers

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Stetigkeit und Irrationale Zahlen

Richard Dedekind

Continuity and Irrational Numbers

English translation with notes by

Robert Eldon TaylorCopyright 2004


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Continuity and Irrational NumbersAn English translation of

Stetigkeit und Irrationale Zahlenby Richard Dedekind

first published 1872

Based on the 7th Edition

English translation and notes by Robert Eldon Taylor.

INTRODUCTIONRichard Dedekind (1831-1916) was, to understate the case, one of the mostimportant mathematicians of the 19th century, and this paper is the nearest thingto a "classic" you can get in mathematics. He and it have had a profound effecton our world. But the world has absorbed these ideas and moved on and it isdifficult to understand this paper without some understanding of the intellectualenvironment in which Dedekind worked and the history of it and particularly thecontemporary understanding of the concept of real number,Zahlgroessen,numeric magnitudes.

Essential to that understanding is the ancient distinction between magnitude andnumber, which is not an easy one for those reared on modern ideas. Thefollowing excerpt from Aristotle's Metaphysics (v13 1020 7-14 Synthese Vol. 841990 no.2 p. 164 "Eudoxos and Dedekind: On the Ancient Greek Theory ofRatios and its Relation to Modern Mathematics") may (or may not) clarify theseideas.

We call a quantity that which is divisible into constituent parts ofwhich each is by nature a one and a "this". A quantity is amultitude if it is numerable, a magnitude if it is measurable. We

call a multitude that which is divisible into non-continuous parts, amagnitude that which is divisible into continuous parts; inmagnitude that which is continuous in one dimension is length, intwo breadth, in three depth. Of these, limited multitude is number,limited length is a line, breadth is a surface, depth a solid.

Clearly a magnitude is not a number and indeed the various categories of objectswhich we now collect under the term "number", and regard as aspects orrepresentatives of the same object, were in former times strictly segregated andseparately conceived as different orders of things. The ancient theoretical systemdistinguished: arithmos, number properly and strictly speaking, a collection or

multitude of unities (things), from magnitude which was, in contrast to discretenumber, continuous, and of various sorts such as length, angle, time.

Magnitudes and numbers are essentially different, but a magnitude can be reducedto number by measuring with a chosen unit. In theoretical work it had long beenrecognized that not every magnitude can be so numbered. If, for instance, onechooses the side of a square as the unit, the diagonal cannot be so numbered. It isincommensurable, non-measurable with the side and it is precisely this,irrationality of certain magnitudes, which motivates the thinking ofmathematicians for thousands of years.


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Two numbers or two magnitudes (of the same sort) stand in a certain relationshipas regards size; they have a ratio. Although as we shall see, ratios formed thesource of our modern numbers, it is hard to see that, when studying Euclid. Ratiowas nota number and not the result of a division. Ratios were notfractions,which came to be recognized as multitudes of fragments, sub-multiples, of theunit. Without the calculus it was not possible to reduce all magnitudes to a

common measure and the definition of addition of ratios was impractical. And itwas the development of the calculus which allowed Newton to supply adefinition which unites in one concept of number all of these distinct ideas. InUniversal Arithmetick(see Appendix) Newton definedNumberas "the abstractedRatio of any Quantity, to another Quantity of the same Kind, which we take forUnity."

He went on to distinguish three kinds of number: "integer, fracted, and surd: AnIntegeris what is measured by Unity, aFraction, that which a submultiple Part ofUnity measures, and a Surd, to which Unity is incommensurable."

He thus combined in one definition what had been very distinct concepts. WhileDescartes and his contemporaries had worked with continuous magnitude anddiscontinuous number, Newton defined numberto include both.

It was from these essentially geometric notions of number which Dedekindbegins. "Stetigkeit und irrationale Zahlen" is based on a rejection of geometry andgeometric techniques as a foundation for analysis. He carefully distinguishesgeometric techniques from arithmetic ones and repeatedly draws attention to thisand to the importance of keeping geometric concepts distinct from arithmetic sothat the arithmetic concepts be not dependent on geometric ideas.

Dedekind makes clear his dissatisfaction with the inherited concepts andcomplains that in order to demonstrate that a variable which steadily grows butnot beyond all bounds must approach a boundary value, he must appeal togeometric evidence. But such a demonstration, he says, cannot claim to bewissenschaftliche, scientific, and must be replaced with one which is reinarithmetische, purely arithmetical. He proceeds to outline the foundation ofarithmetic on the act of counting, but it is not clear to me why arithmeticconceptions are more "scientific" than geometric ones. Why were the concepts ofwhole and rational number considered more clear than those of point and line? Itseems to me if you disconnect analysis from geometry and base it on arithmeticalconcepts, you remove the very motivation for the creation of real numbers. To

put it succinctly, if you had no geometric ideas in your head, but only arithmeticones, why would you be the least surprised that there was no number which, whenmultiplied by itself, equaled 2?

But to return to the "Stetigkeit", Dedekind makes very clear his dissatisfactionwith the then current state of affairs, but does not really explain the source of thatdissatisfaction, and seems to take it for granted that one should be so dissatisfied.Newton, on the contrary, accepted continuous magnitude as a proper foundationfor number, giving the definition of number I quoted, and defining 'whole number'as a number measured by a unit. Carl B. Boyer, in the next to the last page of his


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"History of Analytic Geometry", just before the one and only reference toDedekind, mentions " - the postulate, tacitly accepted since the days of Descartes,that to each point of a line there corresponds a real number, and conversely." Butwith the definition of Newton, there is no question of such a correspondence,therefore between Newton and Dedekind the understanding of number must havechanged. Exactly how remains to be explored.

In the forward Dedekind provides some background and motivation for writingthe essay and some hint of what he is about. In the first section he examines someof the "Characteristics of rational numbers" and in the second section, analogousproperties of the points of a line. In the third section he examines the concept ofcontinuity as it relates to a right line and draws out from that a definition ofcontinuity. In "Creation of Irrational Numbers", he uses that definition and thefamous "cuts" to provide a precise definition of irrational numbers in terms ofrationals. In the fifth section, he shows that the domain he has created is orderedin the same way rationals are, but is continuous. In the penultimate section, heshows how to establish the arithmetic of real numbers on the foundation of thearithmetic of rationals. In the final section, he wraps up by showing the relation

of the preceding to the principles of Infinitesimal Analysis.

THE TRANSLATION

Translation is the highest art - the translator must know all, understand all. Hemust have skill and courage because he must decide and choose with carefuljudgement. He must have a commitment to truth. Most of all, he must haverespect for the author and the reader, and the commitment to represent the author'sintent as well as possible to the reader. I indulge in this encomium lest thefollowing be taken as disparaging of the work of others.

Most translations proceed somewhat as follows: first we read a passage in thesource language, decide what we think it means, then write in our own wordswhat we think should have been written. For some purposes this may beadequate, even inevitable, but not for the present purposes. These techniques,when applied to an historical document, particularly in the hands of a personwithout a properly developed historical sense or with very strong views as to whatthe author should have said, result in the complete lifting of the document out ofits historical context, restatement in modern terms with the imposition ofinappropriate modern views. Moreover, translators are often, perhaps usually,better writers than their subjects, which generates a certain tendency to "improve"on the original. This can be particularly dangerous when the subject matter is

difficult of expression. And it is precisely in those cases where the author ishaving difficulty expressing himself that the translator needs to beware he is notdistorting the ideas themselves.

This is not the procedure I have followed in this translation. It is not my purposeto translate into the modern mathematical manner, but to understand that ofDedekind. Indeed the biography at St. Andrews (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Dedekind.html) says "his work would changethe style of mathematics into what is familiar to us today". So to translate intomodern mathematical terminology means to translate into a language which did


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not exist in 1872. Instead I have followed as closely as possible the originalGerman text making only such changes as are required to make the matterunderstandable to someone with little or no German. For those with someGerman, I have included the original text, page by page.

There are exceptions. An example occurs on page 16 in which he says that hesuppresses (unterdrcke) a proof. The dictionaries give 'suppress' for

'unterdrcke' but this seemed to me a rather strong word so I use 'omitted' instead,but perhaps suppress is the right word. Perhaps a 19th century Germanmathematics professor felt such a strong urge to prove that it could only besuppressed, rather than merely omitted. But the German word is there in case youthink it significant.

I have been assisted in this translation by the handsome and witty lads onalt.usage.german to whom again I extend my warm thanks and apologies for notusing all their suggestions. It goes without saying that I am solely responsible forany defects in the final product.

THE TEXT

Let me point out again that Richard Dedekind wrote this paper in 1872. I haveseen the 2nd edition, which is printed in Fractur with very quaint spelling. Thetext of this, the 7th edition, differs very little from the 2nd. But Dedekind says hewas working on it many years before and his mode of expression is maybe 20 or30 years older. One would expect some out-dated usages in such a paper.English expression has changed a good deal also; even Ronald Reagan could nothave used "four score and seven years ago". I suppose it is a matter of tastewhether one translates an old fashioned phrase into an old fashioned or a more

modern expression, but I do not see how you can translate the mathematicalterminology into modern terminology, much of which Dedekind himselfintroduced in this very paper, especially as the concepts involved were still veryunclear to Dedekind. For instance, Dedekind in this paper introduces his famous'cuts', but he uses more than one expression for them. We have fixed (in English)on 'Dedekind cut' but it would be absurd to translate it thus.

Dedekind's style is a mixture of symbols and words quite different from a modernwork on mathematics. This poses some problems for translation because of theword order in German. Modern style requires fewer words and more symbols, sothe tendency is to abandon the words in these cases, but I am very reluctant to do

so because I think it is (or should be) up to the reader to decide whether the styleis significance, or, rather, what the significance of the style is.

I have used the 7th German edition published in 1965. I have also access to the4th and second editions, which, except for spelling and printing in Fractur, seemnot much different. There is an authorized English translation, published in 1901by Wooster Woodruf Beman.

I have enclosed my comments and asides in square brackets [].


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Richard Dedekind

Stetigkeit und Irrationale ZahlenSiebente Auflage

Friedrich Vieweg & Sohn Braunschweig1965,1969


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Richard Dedekind

Continuity and Irrational NumbersSeventh Edition

Friedrich Vieweg & Sohn Braunschweig1965,1969


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Stetigkeit und Irrationale Zahlen

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Inhalt

Vorwort 3

1. Eigenschaften der rationalen Zahlen 5 2. Vergleichung der rationalen Zahlen mit den Punkten einer geraden Linie 7 3. Stetigkeit der geraden Linie 8 4. Schpfung der irrationalen Zahlen 11 5. Stetigkeit des Gebietes der reellen Zahlen 16 6. Rechnungen mit reellen Zahlen 17 7. Infinitesimal-Analysis 20


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Continuity and Irrational Numbers

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Contents

Forward 3

1. Characteristics of rational numbers 5 2. Comparison of the rational numbers to the points of a right line 7 3. Continuity of the straight line 8 4. Creation of irrational numbers 11 5. Continuity of the domain of real numbers 16 6. Reckoning with real numbers 17 7. Infinitesimal analysis 20


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Seinem geliebten Vater,

dem Geh. Hofrat,Prof. Dr. jur. Julius Levin Ullrich Dedekind

in Braunschweigbei Gelegenheit seines fnfzigjhrigen Amts-Jubilums

am 26. April 1872 gewidmet.

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Vorwort

Die Betrachtungen, welche den Gegenstand dieser kleinen Schrift bilden,stammen aus dem Herbst des Jahres 1858. Ich befand mich damals als Professoram eidgenssischen Polytechnikum zu Zrich zum ersten Male in der Lage, dieElemente der Differentialrechnung vortragen zu mssen, und fhlte dabei

empfindlicher als jemals frhrer den Mangel einer wirklich wissenschaftlichenBegrndung der Arithmetik. Bei dem Begriffe der Annherung einervernderlichen Gre


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To his beloved father,The Privy Councilor,

Professor Julius Levin Ullrich Dedekind, Doctor of Jurisprudence,in Braunschweig

on the occasion of his fiftieth anniversary in officethe 26th of April 1872.

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Forward

The considerations, which produced the topics of this short paper, stemfrom the fall of the year 1858. At that time I found myself as professor at theFederal Polytech of Zurich in the position of having for the first time to lecture onthe elements of the differential calculus and felt more sensitive to the lack of a

truly scientific foundation for arithmetic than at any time before. For the conceptof the approaching of a variable magnitude to


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an einen festen Grenzwert und namentlich bei dem Beweise des Satzes, da jedeGre, welche bestndig, aber nicht ber alle Grenzen wchst, sich gewi einemGrenzwert nhern mu, nahm ich meine Zuflucht zu geometrischen Evidenzen.Auch jet halte ich solches Heranziehen geometrischer Anschauung bei demersten Unterrichte in der Differentialrechnung vom didaktischen Standpunkte aus

fr auerordentlich ntzlich, ja unentbehrlich, wenn man nich gar zu viel Zeitverlieren will. Aber da diese Art der Einfhrung in die Differentialrechnungkeinen Anspruch auf Wissenschaftlichkeit machen kann, wird wohl niemandleugnen. Fr mich war damals dies Gefhl der Unbefriedigung ein soberwltigendes, da ich den festen Entschlu fate, so lange nachzudenken, bisich eine rein arithmetische und vllig strenge Begrndung der Prinzipien derInfinitesimalanalysis gefunden haben wrde. Man sagt so hufig, dieDifferentialrechnung beschftige sich mit den stetigen Gren, und doch wirdnirgends eine Erklrung von dieser Stetigkeit gegeben, und auch die strengstenDarstellungen der Differentialrechnung grnden ihre Beweise nicht auf dieStetigkeit, sondern sie appellieren entweder mit mehr oder weniger Bewutsein

an geometrische, oder durch die Geometrie veranlate Vorstellungen, oder abersie sttzen sich auf solche Stze, welche selbst nie rein arithmetisch bewiesensind. Zu diesen gehhrt z.B. der oben erwhnte Satz, und eine genauereUntersuchung berzeugte mich, da dieser oder auch jeder mit ihm quivalenteSatz gewissermaen als ein hinreichendes Fundament fr die Infinitesimalanalysisangesehen werden kann. Es kam nur noch darauf an, seinen eigentlichenUrsprung in den Elementen der Arithmetik zu entdecken und hiermit zugleicheine wirkliche Definition von dem Wesen der Stetigkeit zu gewinnen. Dies gelangmir am 24. November 1858, und wenige Tage darauf teilte ich das Ergebnimeines Nachdenkens meinem teuren Freunde Durge mit, was zu einer langenund lebhaften Unterhaltung fhrte. Spter habe ich wohl dem einem oder anderen

meiner Schler diese Gedanken ber eine Wissenschaftliche Begrndung derArithmetik auseinandergesetzt, auch hier in Braunschweig in demwissenschaftlichen Verein der Professoren einen Vortrag ber diese Gegenstandgehalten, aber zu einer eigentlichen Publikation konnte ich mich nicht rechtentschlieen, weil erstens die Darstellung nicht ganz leicht, und weil auerdemdie Sache so wenig fruchtbar ist. Indessen hatte ich doch schon halb und halb


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a fixed boundary value and especially for the proof of the proposition, that eachmagnitude, which grows steadily, but not beyond all bounds, must certainly comenear to a boundary value, I must resort to geometric evidence. Even now, from adidactic standpoint, I hold such utilization of geometric conceptions to beextraordinarily useful in the first instruction in the differential calculus, indeed

indispensable, if one does not wish to lose much time. But that this sort ofintroduction into the differential calculus can make no claim to be scientific(Wissenschaftlichkeit), doubtless no one will deny. For me this feeling ofdissatisfaction was so overwhelming, that I formed the firm resolution (so long) tomeditate until I had found a purely arithmetical and completely rigorousestablishment of the principles of infinitesimal analysis. It is frequently said, thedifferential calculus concerns itself with continuous magnitude, and yet nowhereis given an explanation of this continuousness, and even the most rigorouspresentation of the differential calculus bases its proofs, not upon the continuity,but it appeals, more or less consciously, either to geometric (ideas) or conceptsderived from (veranlate , caused or occasioned by) geometry or else it supports

itself upon such propositions, which, themselves, never have been proved in apurely arithmetical way. Among these belongs, for instance, the above mentionedproposition, and a more thorough investigation convinced me that this or even anyequivalent proposition could be regarded to a certain extent (as) a sufficientfoundation for infinitesimal analysis. It only depended on discovering the trueorigin [i.e. of Stetigkeit] in the elements of arithmetic and with that at the sametime to gain a true definition of the essence of continuity. I succeeded on 24November 1858, and a few days later I imparted the result of my meditations tomy dear friend Durge, which lead to a long and lively conversation. Laterdoubtless (wohl) I discussed these ideas (Gedanken, thoughts) about a scientificfoundation of arithmetic with one or the other of my students, also here in

Braunschweig in the Scientific Union of Professors gave a lecture about thistopic, but I could not really resolve myself to a proper publication, because firstlythe presentation is not at all easy, and, besides, because the matter is so littlefruitful. Nevertheless I had already tentatively


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selected this theme as the topic of this occasional paper (Gelegenheitsschrift, i.e. apaper written for a particular occasion), when after a few days, on 14 March, theessay: "Die Elemente der Functionenlehre", by E.Heine (Crelle's Journal, Vol.74), through the kindness of its highly esteemed author, came to me andstrengthened me in my determination. Essentially I am in full accord with the

contents of this paper, as indeed it could not otherwise be, but I will freely admitthat my presentation seems to me to be simpler in form and to emphasize moreprecisely the truly essential point. And while I am writing this forward (20 March1872), I received the interesting treatise:, "ber die Ausdehnung eines Satzes ausder Theorie der trigonometrischen Reihen", by G. Cantor(Math. Annalen vonClebsch undNeumann, Vol. 5), for which I give warm thanks to the sagacious(scharfsinnigen, sharpwitted) author. From a complete first reading (raschemDurchlesen, hasty reading through), I find the axiom in 2, apart from externalform, agrees with that which in I designate below in 3 the Essence ofContinuity. What use however, the distinction, even if merely conceptual, ofnumbers of still higher kind will yield, I am not yet able to discern, at least

according to my conception of the real number domain (which is) within itselfcomplete. [See note on Cantor's paper in Appendix.]

1Characteristics of rational numbers

The development of the arithmetic of rational numbers will in fact bepresumed here; still I think it good, without (further) discussion, to emphasize afew important considerations, only in order from the outset to mark out thestandpoint which I take in the following. I view the whole of arithmetic as anecessary or at least natural result of the simplest arithmetical act, counting, and

counting itself is nothing other than the successive creation of the unending seriesof positive whole numbers, in which each individual is defined from theimmediately preceding one; the simplest act is the passage from an alreadycreated individual to the newly created one following it. The chain of thesenumbers as such forms an exceedingly useful resource for the human intellect,and it provides an exhaustive wealth of remarkable (curious or noteworthy) laws,

Note to page 5. It is not at all clear to me what Dedekind means by "creating"numbers. Particularly in the case of the integers, he says that each is definedfrom the previous, but does this mean it doesn't exist until created by adding 1 to

the previous number? This implies that5!!! does not exist because 5!!! 1 has

not been created.


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Gesetzen dar, zu welchen man durch die Einfhrung der vier arithmetischenGrundoperationen gelangt. Die Addition ist die Zusammenfassung einerbeliebigen Wiederholung des obigen einfachsten Aktes zu einem einzigen Akte,und aus ihr entspringt auf dieselbe Weise die Multiplikation. Whrend diese beideOperationen stets ausfhrbar sind, zeigen die umgekehrten Operationen, die

Subtraktion und Division, nur eine beschrnkte Zulssigkeit. Welches nun auchdie nchste Veranlassung gewesen sein mag, welche Vergleichungen oderAnalogieen mit Erfahrungen, Anschauungen dazu gefhrt haben mgen, bleibedahingestellt; genug, gerade diese Beschrnktheit in der Ausfhrbarkeit derindirekten Operationen ist jedesmal die eigentliche Ursache eines neuenSchpfungsactes geworden; so sind die negativen und gebrochenen Zahlen durchden menschlichen Geist erschaffen, und es ist in dem System aller rationalenZahlen ein Instrument von unendlich viel grerer Vollkommenheit gewonnen.Dieses System, welche ich mitR bezeichnen will, besitzt vor allen Dingen eineVollstndigkeit und Abgeschlossenheit, welche ich an einem anderen Orte *) alsMerkmal eines Zahlkrpers bezeichnet habe, und welche darin besteht, da die

vier Grundoperationen mit je zwei Individuen inR stets ausfhrbar sind, d. h. dadas Resultat derselben stets wieder ein bestimmtes Individuum inR ist, wenn manden einzigen Fall der Division durch die Zahl Null ausnimmt.

Fr unseren nchsten Zweck ist aber noch wichtiger eine andereEigenschaft des SystemsR, welche man dahin aussprechen kann, da das SystemR ein wohlgeordnetes, nach zwei entgegengesetzten Seiten hin unendliches Gebietvon einer Dimension bildet. Was damit gemeint sein soll, ist durch die Wahl derAusdrcke, welche geometrischen Vorstellungen entlehnt sind, hinreichendangedeutet; um so notwendiger ist es, die entsprechenden rein arithmetischenEigentmlichkeiten hervorzuheben, damit es auch nicht einmal den Anscheinbehlt, als bedrfte die Arithmetik solcher ihr fremden Vorstellungen.

Soll ausgedrckt werden, da die Zeichen a und b eine und dieselberationale Zahl bedeuten, so setzt man sowohl a = b wie b = a. DieVerschiedenheit zweier rationalen Zahlen a, b zeigt sich darin, da die Differenza b entweder einen positiven oder einen

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*)Vorlesungen ber Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dir ichle t . ZweiteAuflage. 159.


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at which one arrives through the introduction of the four fundamental arithmeticaloperations. (The operation of) addition is the combination of an arbitraryreiteration of the above mentioned simplest acts into a single act, and from itmultiplication arises in a similar way. While both these operations are alwayspermissible, the inverse operations, subtraction and division, exhibit only a

limited admissibility. Now whatever the next occasion may have been, whatcomparison or analogy with experience or perception (Anschauungen) mightpossibly have led to it, remains to be set out; be that as it may (genug), exactlythis limitation in the applicability of the indirect operations has been, in everycase, the true origin of a new creative act; thus the negative and fractionalnumbers are conceived by the human mind, and in the system of all rationalnumbers there has been gained an instrument of infinitely (much) greaterperfection. This system, which I will denote withR, possesses above all things acompleteness and self-containedness, which I, in another place*) , have describedas characteristic of aZahlkrper(number body), and which consists in that thefour fundamental operations between any two individuals inR always are

possible, that is, that the result of the same (derselben) is always again a definiteindividual inR, if one excludes the single case of division by the number zero.

Our next object (Zweck) is, however, another yet more important propertyof the systemR, which one can express thus: that the systemR forms a well-ordered, one-dimensional domain (which extends) endlessly on two contrarysides. What should be understood by this is sufficiently implied through thechoice of expressions, which are borrowed from geometric conceptions; it is allthe more necessary to emphasize the corresponding purely arithmeticcharacteristics, that there not even be retained the least appearance as thougharithmetic requires such alien conceptions. [Note the care with which heseparates the geometric and arithmetic ideas.]

If it is to be expressed, that the signs (marks) a and b signify one and thesame rational number, then one sets a = b as well as b = a. The distinctness oftwo rational numbers a, b manifests itself in that the difference a b has eithera positive or a negative value. [I.e. it is either positive or negative but not zero.]

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*)Vorlesungen ber Zahlentheorie von P.G.Lejeune Dirichlet. ZweiteAuflage. 159.['Zahlkrper' would now be translated 'number field', but that term was notintroduced until 1893. For the history of this book and the term Zahlkrper see:

http://members.aol.com/jeff570/f.html]


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negativen Wert hat. Im ersten Falle heit a gre r als b, b kle iner als a, wasauch durch die Zeichen a > b, b < a angedeutet wird *). Da im zweiten Falle b a einen positiven Wert hat, so ist b > a, a < b. Hinsichtlich dieser doppeltenMglichkeit in der Art der Verschiedenheit gelten nun folgende Gesetze.

I. Ist a > b, und b > c, so ist a > c. Wir wollen jedesmal, wenn a, c zwei

verschiedene (oder ungleiche) Zahlen sind, und wenn b grer als die eine,kleiner als die andere ist, ohne Scheu vor dem Anklang an geometrischeVorstellungen dies kurz so ausdrcken: b liegt zwischen den beiden Zahlen a, c.

II. Sind a, c zwei verschiedene Zahlen, so gibt es immer unendlich vieleverschiedene Zahlen b, welche zwischen a, c liegen.

III. Ist a eine bestimmte Zahl, so zerfallen alle Zahlen des SystemsR inzwei Klassen,A1 undA2, deren jede unendlich viele Individuen enthlt; die ersteKlasseA1 umfat alle Zahlen a1, welche < a sind, die zweite KlasseA2 umfatalle Zahlen a2 welche > a sind; die Zahl a selbst kann nach Belieben der erstenoder der zweiten Klasse zugeteilt werden, und sie ist dann entsprechend diegrte Zahl der ersten oder die kleinste Zahl der zweiten Klasse. In jedem Falle

ist die Zerlegung des SystemsR in die beiden KlassenA1,A2 von der Art, da jedeZahl der ersten KlasseA1 kleiner als jede Zahl der zweiten KlasseA2 ist.

2Vergleichung der rationalen Zahlen mit den Punkten einer geraden

LinieDie soeben hervorgehobenen Eigenschaften der rationalen Zahlen erinnern

an die gegenseitigen Lagenbeziehungen zwischen den Punkten einer geradenLinieL. Werden die beiden in ihr existierenden entgegengesetzten Richtungendurch rechts und links unterschieden, und sindp, q zwei verschiedene

Punkte, so liegt entwederp rechts von q, und gleichzeitig q links vonp, oderumgekehrt, es liegt q rechts vonp, und gleichzeitigp links von q. Ein dritter Fallist unmglich, wennp, q wirklich verschiedene Punkte sind. Hinsichtlich dieserLagenverschiedenheit bestehen folgende Gesetze.

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*)Es ist also im Folgenden immer das sogenannte algebraische grer

und kleiner Sein gemeint, wenn nicht das Wort absolut hinzugefgt wird.


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In the first case, a is said to begreaterthan b, b less than a, which is alsoindicated (angedeutet) by the expressions a > b, b < a *). Since in thesecond case b a has a positive value, thus b > a, a < b. Now, with regardto this dual possibility in the kind of difference the following laws are valid(gelten):

I. Ifa > b and b > c, then a > c. Ifa, c are two distinct numbers, andifb is greater than the one, smaller than the other, we will in every case, withoutapology for the hint of geometric concepts, express this concisely as: b liesbetween the pair of numbers a, c.[The greater than relation is said to be transitive.]

II. Ifa, c are two different numbers, there are infinitely many distinctnumbers b, which lie between a, c.[The system of rational numbers is said to be dense.]

III. Ifa is a certain number, then all the numbers of the systemR fall intotwo classes,A1 undA2, which each contain infinitely many individuals; the firstclassA1 embraces all numbers a1, which are < a, the second classA2 embraces

all numbers a2 which are > a; the numbera itself can be allocated to the first orthe second class as desired (nach Belieben), and it is then correspondingly thegreatest number of the first or the smallest number of the second class. In eachcase the decomposition of the systemR into the two classesA1,A2 is such, thateach number of the first classA1 is smaller than each number of the second classA2.[The rational numbers are said to be separable. In the next section he will showthat these three properties of the rationals: transitive order relation, density andseparability, apply also to the points on a line.]

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Comparison of the rational numbers to the points of a right line.The properties of the rational numbers emphasized just above recall the

reciprocal positional relationship between the points of a straight lineL. If thepair of contrary directions which subsist in it are distinguished by "right" and"left", and ifp, q are two distinct points, then eitherp lies to the right ofq, and atthe same time q to the left ofp, or vice versa, q to the right ofp, andsimultaneouslyp to the left ofq. A third case is impossible, ifp, q really aredistinct points. In regard to these relationships of position the following lawshold(bestehen):_________________

*)In the following the so-called "algebraic" greater and less is alwaysintended, if the word "absolute" has not been added. [What he is saying here isthat -5 is absolutely greater than +4. We would say the absolute value of -5 is

greater than 4.]


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I. Liegtp rechts von q, und q wieder rechts von r, so liegt auchp rechtsvon r; und man sagt, da q zwischen den Punktenp und rliegt.

II. Sindp, rzwei verschiedene Punkte, so gibt es immer unendlich vielePunkte q, welche zwischenp und rliegen.

III. Istp ein bestimmter Punkt inL, so zerfallen alle Punkte inL in zwei

Klassen,P1,P2, deren jede unendlich viele Individuen enthlt; die erste KlasseP1umfat alle die Punktep1, welche links vonp liegen, und die zweite KlasseP2umfat alle die Punktep2, welche rechts vonp liegen; der Punktp selbst kannnach Belieben der ersten oder der zweiten Klasse zugeteilt werden. In jedem Falleist die Zerlegung der GeradenL in die beiden KlassenP1,P2 von der Art, dajeder Punkt der ersten KlasseP1 links von jedem Punkte der zweiten KlasseP2liegt.

Diese Analogie zwischen den rationalen Zahlen und den Punkten einerGeraden wird bekanntlich zu einem wirklichen Zusammenhange, wenn in derGeraden ein bestimmter Anfangspunkt oder Nullpunkt o und eine bestimmteLngeneinheit zur Ausmessung der Strecken gewhlt wird. Mit Hilfe der letzteren

kann fr jede rationale Zahl a eine entsprechende Lnge konstruiert werden, undtrgt man dieselbe von dem Punkte o aus nach rechts oder links auf der Geradenab, je nachdem a positiv oder negativ ist, so gewinnt man einen bestimmtenEndpunktp, welcher als der der Zahl a entsprechende Punkt bezeichnet werdenkann; der rationalen Zahl Null entspricht der Punkt o. Auf diese Weise entsprichtjeder rationalen Zahl a, d.h. jedem Individuum inR, ein und nur ein Punktp, d.h.ein Individuum inL. Entsprechen den beiden Zahlen a, bbzw. die beiden Punktep, q und ist a > b, so liegtp rechts von q. Den Gesetzen I, II, III des vorigenParagraphen entsprechen vollstndig die Gesetze I, II, III des jetzigen.

3Stetigkeit der geraden Linie

Von der grten Wichtigkeit ist nun aber die Tatsache, da es in derGeradenL unendlich viele Punkte gibt, welche keiner rationalen Zahlentsprechen. Entspricht nmlich der Punktp der rationalen Zahl a, so istbekanntlich die Lnge op kommensurabel mit der bei der Konstruktion benutztenunabnderlichen Lngen-


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I. Ifp lies to the right ofq, and (again) q to the right ofr, thenp also liesto the right ofr; and one says, that q lies between the pointsp and r.[The left-right relation is said to be transitive.]

II. Ifp, rare two distinct points, then there are always infinitely manypoints q, which lie betweenp and r.

[The points on a line are said to be dense.]III. Ifp is a definite point inL, the all the points ofL fall into two classes,

P1,P2, which each contain infinitely many individuals; the first classP1 embracesall the pointsp1, which lie left ofp, and the second classP2 includes all the pointsp2, which lie right ofp; the pointp itself can be apportioned to the first or thesecond class at pleasure. In either case the breaking of the (right) lineL into thepair of classes P1,P2 is such that each point of the first classP1 lies to the left ofeach point of the second class P2. [The line is said to be separable. In theprevious section he showed that these three properties of the line: transitive orderrelation, density and separability, apply also to the rational numbers.]

As is well known, this analogy between the rational numbers and the

points of a (right) line become a true correspondence (Zusammenhange), if onechooses a definite begin point or null point o on the line and a definite unit oflength for the measurement of distances. With the help of the latter, acorresponding length can be constructed for each rational numbera, and if oneextends that same length (dieselbe) from the point o to the right or left on the line,accordingly as a is positive or negative, thus one obtains a definite endpointp,which can be designated as the point corresponding to the numbera; the rationalnumber null corresponds to the point o. In this manner each rational numbera,that is each individual inR, corresponds to one, and only one, pointp, that is eachindividual inL. If the pair of numbers a, b correspond respectively to the pair ofpointsp, q and ifa > b, thep lies right ofq. The laws I, II, II of the forgoing

section correspond completely to the laws I, II, III of the current one. [Dedekindhas thus set up a thoroughgoing correspondence between rational numbers and

points on a line. But the correspondence is full of gaps, i.e. irrational numbers,which he will fill in the next sections.]

3Continuity of the straight line

But now the fact that there are in the straight lineL infinitely many points,which correspond to no rational number is of the greatest importance. That is tosay (nmlich), as is well known, if the pointp corresponds to the rational numbera, the length op is commensurable with the fixed (unabnderlichen)


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einheit, d.h. es gibt eine dritte Lnge, eine sogenanntes gemeinschafliches Ma,von welcher diese beiden Lngen ganze Vielfache sind. Aber schon die altenGriechen haben gewut und bewiesen da, es Lngen gibt, welche mit einergegebenen Lngeneinheit inkommensurabel sind, z.B. die Diagonale desQuadrates, dessen Seite die Lngeneinheit ist. Trgt man eine solche Lnge von

dem Punkte o aus auf der Geraden ab, so erhlt man einen Endpunkt, welcherkeiner rationalen Zahl entspricht. Da sich ferner leicht beweisen lt, da esunendlich viele Lngen gibt, welche mit der Lngeneinheit inkommensurabelsind, so knnen wir behaupten: Die GeradeL ist unendlich viel reicher anPunktindividuen, als das GebietR der rationalen Zahlen an Zahlindividuen.

Will man nun, was doch der Wunsch ist, alle Erscheinungen in derGeraden auch arithmetisch verfolgen, so reichen dazu die rationalen Zahlen nichtaus, und es wird daher unumgnglich notwendig, das Instrument R, welches durchdie Schpfung der rationalen Zahlen konstruiert war, wesentlich zu verfeinerndurch eine Schpfung von neuen Zahlen der Art, da das Gebiet der ZahlendieselbeVollstndigkeit oder, wie wir gleich sagen wollen, dieselbe Stet igkeit

gewinnt, wie die gerade Linie.Die bisherigen Betrachtungen sind allen so bekannt und gelufig, da

viele ihre Wiederholung fr sehr berflssig erachten werden. Dennoch hielt ichdiese Rekapitulation fr notwendig, um die Hauptfrage gehrig vorzubereiten.Die bisher bliche Einfhrung der irrationalen Zahlen knpft nmlich geradezu anden Begriff der extensiven Gren an welcher aber selbst nirgends strengdefiniert wird und erklrt die Zahl als das Resultat der Messung einer solchenGre durch eine zweite gleichartige *). Statt dessen fordere ich, da dieArithmetik sich aus sich selbst heraus entwickeln soll. Da solche Anknpfungenan nicht arithmetische Vorstellungen die nchste Veranlassung zur Erweiterungdes Zahlbegriffes gegeben haben, mag im allgemeinen zugegeben werden (doch

ist dies bei der Einfhrung der komplexen Zahlen entschieden nicht der Fallgewesen);_________________

*)Der scheinbare Vorzug der Allgemeinheit dieser Definition der Zahlschwindet sofort dahin, wenn man an die komplexen Zahlen denkt. Nach meinerAuffassung kann umgekehrt der Begriff des Verhltnisses zwischen zweigleichartigen Gren erst dann klar entwickelt werden, wenn die irrationalenZahlen schon eingefhrt sind.


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unit length used in the construction, that is, there is a third length, a so-calledcommon measure, of which these two lengths are whole multiples. [This sentenceis confusing and cries out for clarification. He seems to be saying that, if two

magnitudes are to have the ratio of two numbers, a unit must be specified, but thatis not true. Without specifying a unit we can say that AB is twice CD and

therefore AB is to CD as 2 is to 1.] But already the ancient Greeks had known andproved that there are lengths, which are incommensurable with a given unitlength, for instance the diagonal of a square whose side is the unit length. If oneextends such a length from the point o out on the straight (line), one reaches anendpoint, which corresponds to no rational number. Further, since it is easilyproved that there are infinitely many lengths incommensurable with the unitlength, we can assert (that) the straight (line)L is infinitely more rich in individualpoints, than the domainR of the rational numbers (is) in individual numbers. [Herefers to the rationals as the "InstrumentR". This is of course a Latin word and Ihave noticed that Latin words which remain Latin when used by Germans have

become the ordinary word in English. But "Instrument" here seems to mean

something more like "mechanism" and I am tempted to translate it so. ]If now one wants, which is still the objective (Wunsch), also to pursue

arithmetically all phenomena (Erscheinungen) in the line, then the rationalnumbers do not suffice for that, and hence (daher) it is unavoidably necessary torefine substantially the instrumentR, which was constructed through the creationof the rational numbers, through a creation of new numbers, such that the domainof numbers gains the same completeness or as we will likewise say the samecontinuity as the straight line.

The above mentioned considerations are all so well known and familiar,that many will regard their repetition as (very) superfluous. Nevertheless I regardthis recapitulation as necessary, in order to prepare properly the principal

questions. The heretofore usual introduction to irrational numbers refers directlyto the concept of extensive magnitude which, however, itself is in no waystrictly defined and explains number as the result of the measure of suchmagnitudes by a second (magnitude) of the same sort *). Instead of this, Idemand that arithmetic should develop (itself) out of itself. In general it may beadded that such references to non-arithmetical conceptions have given the nextoccasion for the extension of the number concept (however with the introductionof complex numbers this has decidedly not been the case);_________________

*) The apparent advantage of the generality of this definition of numbervanishes immediately, if one thinks of the complex numbers. According to my

understanding, on the contrary (umgekehrt), the concept of the relationshipsbetween two magnitudes of like kind can first then be clearly developed, if theirrational numbers are previously introduced. [The definition of number referredto was stated by Newton in Universal Arithmetik, although the concept may beolder. He defines a number to be the ratio of a magnitude (distance, time, etc.) toa unit of the same kind. Dedekind is saying that such a definition will not work

for complex numbers, presumably because there are no "complex magnitudes". Itis this concept of number, which apparently was the prevailing one at the time

Dedekind writes, which Dedekind is attempting to replace.]


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aber hierin liegt ganz gewi kein Grund, diese fremdartigen Betrachtungen selbstin die Arithmetik, in die Wissenschaft von den Zahlen aufzunehmen. So wie dienegativen und gebrochenen rationalen Zahlen durch eine freie Schpfunghergestellt, und wie die Gesetze der Rechnungen mit diesen Zahlen auf dieGesetze der Rechnungen mit ganzen positiven Zahlen zurckgefhrt werden

mssen und knnen, ebenso hat man dahin zu streben, da auch die irrationalenZahlen durch die rationalen Zahlen allein vollstndig definiert werden. Nur dasWie? bleibt die Frage.

Die obige Vergleichung des GebietesR der rationalen Zahlen mit einerGeraden hat zu der Erkenntni der Lckenhaftigkeit , Unvollstndigkeit oderUnstetigkeit des ersteren gefhrt, whrend wir der Geraden Vollstndigkeit,Lckenlosigkeit oder Stetigkeit zuschreiben. Worin besteht denn nun eigentlichdiese Stetigkeit? In der Beantwortung dieser Frage mu Alles enthalten sein, undnur durch sie wird man eine wissenschaftliche Grundlage fr die Untersuchungaller stetigen Gebiete gewinnen. Mit vagen Reden ber den ununterbrochenenZusammenhang in den kleinsten Teilen ist natrlich nichts erreicht; es kommt

darauf an, ein przises Merkmal der Stetigkeit anzugeben, welches als Basis frwirkliche Deduktionen gebraucht werden kann. Lange Zeit habe ich vergeblichdarber nachgedacht, aber endlich fand ich, was ich suchte. Dieser Fund wird vonverschiedenen Personen vielleicht verschieden beurteilt werden, doch glaube ich,da die Meisten seinen Inhalt sehr trivial finden werden. Er besteht im folgenden.Im vorigen Paragraphen ist darauf aufmerksam gemacht, da jeder Punktp derGeraden eine Zerlegung derselben in zwei Stcke von der Art hervorbringt, dajeder Punkt des einen Stckes links von jedem Punkte des anderen liegt. Ich findenun das Wesen der Stetigkeit in der Umkehrung, also in dem folgenden Prinzip:

Zerfallen alle Punkte der Geraden in zwei Klassen von der Art, da jederPunkt der ersten Klasse links von jedem Punkte der zweiten Klasse liegt, so

existiert ein und nur ein Punkt, welcher diese Einteilung aller Punkte in zweiKlassen, die Zerschneidung der Geraden in zwei Stcke hervorbringt.

Wie schon gesagt, glaube ich nicht zu irren, wenn ich annehme, dajedermann die Wahrheit dieser Behauptung sofort zugeben wird; die meistenmeiner Leser werden sehr enttuscht sein, zu vernehmen, da


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but certainly in this lies no basis at all (ganz) to admit these alien viewsthemselves (selbst) into arithmetic, into the science of numbers. Just as thenegative and fractional rational numbers are produced through a free creation, andas the rules of calculation with these numbers can and must be referred back tothe rules of calculation with whole positive numbers, even so one must strive that

the irrational numbers be completely defined from the rational numbers alone(allein). Only How? remains the question.

The above comparison (Vergleichung) of the domainR of rationalnumbers with a (straight) line has lead to the knowledge of the gappiness,incompleteness or discontinuity of the former, while we ascribe to the straight linecompleteness, gaplessness or continuity. (Now) wherein then does this continuityproperly consist? All must be contained in the answer to this question, and onlythrough it (i.e. the answer) will one gain a scientific foundation for the analysis ofallcontinuous domains. Naturally nothing is attained with vague talk about theuninterrupted connectedness of the smallest parts; it depends on stating a precisecharacteristic of continuity, which can be used as a basis for real deduction. For a

long time I meditated vainly on this, but at last found what I sought. [It is notknown towards whom if anyone in particular this statement is directed.] Thisdiscovery will perhaps be judged variously by various persons, yet I believe thatmost will find its contents very trivial. It consists in the following: in the previousparagraphs attention was drawn to the fact that every pointp of the straight (line)produces a division of that line into two parts such that each point of the one partlies left of each point of the other. Now I find the essence of continuity in theconverse (statement), thus in the following principle:

"If all the points of a line fall into two classes such that each point of thefirst class lies left of each point of the second class, there exists one and only onepoint which produces this division of all points into two classes, (that is) the

cutting of the line into two pieces."As already said, I believe I do not err if I suppose that everyone will

immediately grant the truth of this assertion; most of my readers will be verydisappointed to learn that through this triviality


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durch diese Trivialitt das Geheimni der Stetigkeit enthllt sein soll. Dazubemerke ich folgendes. Es ist mir sehr lieb, wenn jedermann das obige Prinzip soeinleuchtend findet und so bereinstimmend mit seinen Vorstellungen von einerLinie; denn ich bin auerstande, irgendeinen Beweis fr seine Richtigkeitbeizubringen, und niemand ist dazu imstande. Die Annahme dieser Eigenschaft

der Linie ist nichts als ein Axiom, durch welches wir erst der Linie ihre Stetigkeitzuerkennen, durch welches wir die Stetigkeit in die Linie hineindenken. Hatberhaupt der Raum eine reale Existenz, so braucht er doch nicht notwendig stetigzu sein; unzhlige seiner Eigenschaften wrden dieselben bleiben, wenn er auchunstetig wre. Und wten wir gewi, da der Raum unstetig wre, so knnte unsdoch wieder nichts hindern, falls es uns beliebte, ihn durch Ausfllung seinerLcken in Gedanken zu einem stetigen zu machen; diese Ausfllung wrde aberin einer Schpfung von neuen Punktindividuen bestehen und dem obigen Prinzipgem auszufhren sein.

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Schpfung der irrationalen ZahlenDurch die letzten Worte ist schon hinreichend angedeutet, auf welche Art

das unstetige GebietR der rationalen Zahlen zu einem stetigen vervollstndigtwerden mu. In 1 ist hervorgehoben (III), da jede rationale Zahl a eineZerlegung des SystemsR in zwei KlassenA1,A2 von der Art hervorbringt, dajede Zahl a1 der ersten KlasseA1 kleiner ist als jede Zahl a2 der zweiten KlasseA2; die Zahl a ist entweder die grte Zahl der KlasseA1, oder die kleinste Zahlder KlasseA2. Ist nun irgend eine Einteilung des SystemsR in zwei KlassenA1,A2 gegeben, welche nur die charakteristische Eigenschaft besitzt, da jede Zahl a1inA1 kleiner ist als jede Zahl in a2 inA2, so wollen wir der Krze halber einesolche Einteilung einen Schnitt nennen und mit (A1,A2) bezeichnen. Wir knnen

dann sagen, da jede rationale Zahl a einen Schnitt oder eigentlich zwei Schnittehervorbringt, welche wir aber nicht als wesentlich verschieden ansehen wollen;dieser Schnitt hat au erdem die Eigenschaft, da entweder unter den Zahlen dererste Klasse eine grte, oder unter den Zahlen der zweiten Klasse eine kleinsteexistiert. Und umgekehrt,


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the secret of continuity shall be discovered. To that I remark the following: it isto me very welcome, if everyone finds the above principle thus evident and thusconformable with their image of a line; for I am unable to produce any sort ofproof for its correctness, nor is anyone capable of that. The assumption

(Annahme) of this characteristic of the line is nothing but an axiom, throughwhich we first award (zuerkennen) the line its continuity, through which weattribute/postulate (hineindenken, think into) the continuity to the line. [the ideahere seems to be that we create the continuity by accepting the axiom and this

seems to conform with Dedekind's view that we are creating these things(numbers) with our minds.] If space has a real existence at all (berhaupt), it stillneed not necessarily be continuous; innumerable of its properties would remainthe same, even if it were discontinuous. And knew we for certain that space werediscontinuous, yet again nothing could hinder us, if we so please, to make itcontinuous through filling of its gaps in thought; this filling however wouldconsist in a creation of new individual points and be carried out according to the

above principle.

4Creation of Irrational Numbers

From the previous words it is clearly suggested in what manner thediscontinuous regionR of rational numbers must be completed to (be) acontinuous one. In 1 it was emphasized (III) that each rational numberaproduces a fracturing of the systemR into two classesA1,A2 such that eachnumbera1 of the first classA1 is smaller than each numbera2 of the second classA2; the numbera is either the largest number of the classA1, or the smallestnumber of the classA2. Now if there is given some partition of the systemR into

two classesA1,A2, which possess only (nur) the characteristic property that eachnumbera1 inA1 is less than each numbera2 inA2, we will call such a partition, forshort, a cutand denote it with (A1,A2). We can say then, that each rationalnumbera produces a cut, or properly two cuts, which, however, we will not viewas essentially different; these cuts have,furthermore, the property that eitheramong the numbers of the first class a greatest exists, or among the numbers ofthe second class a least. And conversely,


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besitzt ein Schnitt auch diese Eigenschaft, so wird er durch diese grte oderkleinste rationale Zahl hervorgebracht.

Aber man berzeugt sich leicht, da auch unendlich viele Schnitteexistieren, welche nicht durch rationale Zahlen hervorgebracht werden. Dasnchstliegende Beispiel ist folgendes.

Es seiD eine positive ganze Zahl, aber nicht das Quadrat einer ganzenZahl, so gibt es einen positive ganze Zahl von der Art, da

2 < D < ( + 1) 2

wird.Nimmt man in die zweite KlasseA2 jede positive rationale Zahl a2 auf,

deren Quadrat > D ist, in die erste KlasseA1 aber alle anderen rationalen Zahlena1, so bildet diese Einteilung einen Schnitt (A1,A2), d.h. jede Zahl a1 ist kleiner alsjede Zahl a2. Ist nmlich a1 = 0 oder negativ, so ist a1 schon aus diesem Grundekleiner als jede Zahl a2, weil diese zufolge der Definition positiv ist; ist abera1positiv, so ist ihr Quadrat D, und folglich ist a1 kleiner als jede positive Zahl a2,deren Quadrat > D ist.

Dieser Schnitt wird aber durch keine rationale Zahl hervorgebracht. Umdies zu beweisen, mu vor allem gezeigt werden, da es keine rationale Zahl gibt,deren Quadrat = D ist. Obgleich dies aus den ersten Elementen der Zahlentheoriebekannt ist, so mag doch hier der folgende indirekte Beweis Platz finden. Gibt eseine rationale Zahl, deren Quadrat = D ist, so gibt es auch zwei positive ganzeZahlen, t, u, welche der Gleichung

t2 D u 2 = 0

gengen, und man darf annehmen, da u die kleinste positive ganze Zahl ist,welche die Eigenschaft besitzt, da ihr Quadrat durch Multiplikation mitD in dasQuadrat einer ganzen Zahl tverwandelt wird. Da nun offenbar

u < t < ( + 1)u

ist, so wird die Zahlu' = t u

eine positive ganze Zahl, und zwar kleiner als u. Setzt man ferner

t' = D u t,


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if each cut also possesses this property, it will be produced by this greatest or leastrational number.

But one can easily convince himself that also infinitely many cuts exist,which are not produced by rational numbers. The obvious example is thefollowing.

Let D be a positive whole number, but not the square of a whole number,then there will be a positive whole number such that

2 < D < ( + 1) 2.If in the second classA2 one includes every positive rational numbera2

whose square is > D, in the first classA1, on the other hand, all other rationalnumbers a1, this partition constitutes a cut (A1,A2), that is, each numbera1 is lessthan each numbera2. If, that is to say (nmlich), a1 = 0 or negative, then a1 isjust on that ground smaller than each numbera2, because according to thedefinition this is positive [i.e. because it is the square of a rational number]; ifhowevera1 is positive, then its square is D, and consequently (folglich) a1 isless than each positive numbera2, whose square is > D.

This cut is, however, not produced by any rational number. In order toprove this, it must first be shown that there is no rational number whose square =D. Although this is known from the first elements of number theory, yet thefollowing indirect proof may find a place here. [This proof seems to be originalwith Dedekind.] If there is a rational number whose square = D, there are alsotwo positive whole numbers, t, u, which satisfy the equation,

t2 D u 2 = 0

and one may assume that u is the smallest positive whole number which possessesthe property that its square is transformed into the square of a whole number tbymultiplication withD. Now since apparently

u < t < ( + 1)u

thus the numberu' = t u

will be a positive whole number, and indeed less than u. If further one sets

t' = D u t,

Note to page 12. Dedekind gives no hint how he obtains these formulas. WilliamWaterhouse suggests the following. We suppose that the fraction t/u in lowest

form is a rational square root ofD and then show thatt'/u' in lower terms is also .We suppose < t/u < + 1 for some integer. Cearing fractions we getu

D. From this it follows easily that neither is there in the classA1 a greatest, nor inthe classA2 a smallest number.That is, if one sets

y = x (x 2 + 3 D) ,3 x 2 + D

thusy - x = 2x (D x 2)

3 x 2 + Dand

y 2 D = (x 2 D) 3.(3 x 2 + D) 2

If in this, one takes forx a positive number from the classA1, thenx2 x, andy 2 < D, thusy belongs likewise (to) the classA1. If however one sets forx a number from the classA2, thenx

2 > D, andconsequently (folglich)y < x, y > 0, andy 2 > D, thusy likewise belongs tothe classA2. Hence (daher) this cut is not produced by any rational number.

The incompleteness or discontinuity of the regionR of all rationalnumbers consists in this property, that not all cuts are produced by rationalnumbers.

Each time now, if there is presented to us a cut (A1, A2), which is notproduced by any rational number, then we create a new, an irrationalnumber,

which we view as completely defined by this cut (A1, A2); we will say that thenumber corresponds to this cut, or that it produces this cut. [Note that he doesnot identify the new number with the cut, but only that it corresponds to the cut,

nor say how we actually create the new number. Elsewhere in a letter he quotesthe Bible to show that we have been endowed with a divine power for such

creative acts.] Thus, from now on, there corresponds to each given (bestimmten)cut one, and only one, definite (bestimmten) rational or irrational number and weview two numbers always as differentorunequalif they correspond to essentiallydifferent cuts, and only then.

Now in order to attain a foundation for (the) ordering (of) all real, that is,all rational and irrational numbers,


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zunchst die Beziehungen zwischen irgend zwei Schnitten (A1, A2) und (B1, B2)untersuchen, welche durch irgend zwei Zahlen undhervorgebracht werden.Offenbar ist ein Schnitt (A1, A2) schon vollstndig gegeben, wenn eine der beidenKlassen, z.B. die ersteA1, bekannt ist, weil die zweiteA2 aus allen nicht inA1enthaltenen rationalen Zahlen besteht, und die charakteristische Eigenschaft einer

solchen ersten KlasseA1 liegt darin, da sie, wenn die Zahl a1 in ihr enthalten ist,auch alle kleineren Zahlen als a1 enthlt. Vergleicht man nun zwei solche ersteKlassenA1, B1 mit einander, so kann es 1. sein, da sie vollstndig identisch sind,d.h., da jede inA1 enthaltene Zahl a1 auch inB1 , und da jede inB1 enthalteneZahl b1 auch inA1 enthalten ist. In diesem Falle ist dann notwendig auchA2identisch mitB2, die beiden Schnitte sind vollstndig identisch, was wir inZeichen durch = oder = andeuten.

Sind aber die beiden KlassenA1,B1 nicht identisch, so gibt es in der einen,z.B. inA1, eine Zahl a'1 = b'2, welche nicht in der anderenB1 enthalten ist, undwelche sich folglich inB2 vorfindet; mithin sind gewi alle inB1 enthaltenenZahlen b1 kleiner als diese Zahl a'1 = b'2, und folglich sind alle Zahlen b1 auch in

A1 enthalten.Ist nun 2. diese Zahl a'1 die einzige inA1, welche nicht inB1 enthalten ist,

so ist jede andere inA1 enthaltene Zahl a1 inB1 enthalten, und folglich kleiner alsa'1, d.h. a'1 ist die grte unter allen Zahlen a1, mithin wird der Schnitt (A1,A2)durch die rationale Zahl = a'1 = b'2 hervorgebracht. Von dem anderenSchnitte (B1, B2) wissen wir schon, da alle Zahlen b1 inB1 auch inA1 enthaltenund kleiner als die Zahl a'1 = b'2 sind, welche inB2 enthalten ist; jede andere inB2 enthaltene Zahl b2 mu aber grer als b'2 sein, weil sie sonst auch kleiner alsa'1, also inA1 und folglich auch inB1 enthalten wre; mithin ist b'2 die kleinsteunter allen inB2 enthaltenen Zahlen, und folglich wird auch der Schnitt (B1, B2)durch dieselbe rationale Zahl = b'2 = a'1 = hervorgebracht. Die beiden

Schnitte sind daher nur unwesentlich verschieden.Gibt es aber 3. inA1 wenigstens zwei verschiedene Zahlen a'1 = b'2 und

a"1 = b"2, welche nicht inB1 enthalten sind, so gibt es deren auch unendlichviele, weil alle die unendlich viele zwischen


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we must first (of all) examine the relation between the two (irgend zwei) cuts (A1,A2) and (B1, B2), which are produced by any two (irgend zwei) numbers and.Evidently a cut (A1, A2) is completely given if just (schon) one of the pair ofclasses, for instance the first,A1, is known, because the second,A2, consists of allthe rational numbers not contained inA1, and the characteristic property of such a

first classA1 lies in that if the numbera1 is contained in it, it also contains allnumbers smaller than a1. If now one compares (Vergleicht) two such first classesA1, B1 with one another, thus it may be that,

1. they are completely identical, that is, that each numbera1 contained inA1 is also inB1 , and that each numberb1 inB1 is also contained inA1. In thiscase, thenA2 is necessarily also identical withB2, the pair of cuts are completelyidentical, which we indicate in signs by = or = .

If however the pair of classesA1,B1 are not identical, there is in the one,for example inA1, a numbera'1 = b'2, which is not contained in the other,B1, andwhich consequently (folglich) is found inB2; therefore (mithin) all numbers b1contained inB1 are certainly (gewi) smaller than this numbera'1 = b'2, and

consequently (folglich) all numbers b1 are also contained inA1.2. If now this numbera'1 is the only one inA1 which is not contained in

B1, each numbera1 contained inA1 is contained inB1, and consequently (folglich)smaller than a'1, i.e. a'1 is the largest among all numbers a1, therefore (mithin) thecut (A1,A2) is produced by the rational number = a'1 = b'2. Of the other cut(B1, B2) we already know that all b1 inB1 are also contained inA1 and are lessthan the numbera'1 = b'2, which is contained inB2; every other numberb2contained inB2 must however be larger than b'2, because otherwise it would besmaller than a'1, (and) thus inA1 and consequently (folglich) contained inB1;therefore (mithin) b'2 is the smallest among all numbers contained inB2, andconsequently (folglich) also the cut (B1, B2) is produced by the same rational

number = b'2 = a'1 = . The pair of cuts are hence (daher) only unessentiallydistinct.3. If however there are inA1 at least two different numbers a'1 = b'2 and

a"1 = b"2, which are not contained inB1, there are thus infinitely many of them(deren), because all the infinitely many numbers lying


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a'1 und a"1 liegenden Zahlen ( 1. II.) offenbar inA1, aber nicht inB1 enthaltensind. In diesem Falle nennen wir die diesen beiden wesentlich verschiedenenSchnitten (A1, A2) und (B1, B2) ensprechenden Zahlen undebenfallsverschieden von einander, und zwar sagen wir, da gr er als, daklein er als ist, was wir in Zeichen sowohl durch > , als durch <

ausdrcken. Hierbei ist hervorzuheben, da diese Definition vollstndig mit derfrheren zusammenfllt, wenn beide Zahlen ,rational sind.

Die nun noch brigen mglichen Flle sind diese. Gibt es 4. inB1 eine undnur eine Zahl b'1 = a'2, welche nicht inA1 enthalten ist, so sind die beidenSchnitte (A1, A2) und (B1, B2) nur unwesentlich verschieden und sie werden durcheine und dieselbe rationale Zahl = a'2 = b'1 = hervorgebracht. Gibt es aber5. inB1 mindestens zwei verschiedene Zahlen, welche nicht inA1 enthalten sind,so ist > , < .

Da hiermit alle Flle erschpft sind, so ergibt sich, da von zweiverschiedenen Zahlen notwendig die eine die grere, die andere die kleinere seinmu, was zwei Mglichkeiten enthlt. Ein dritter Fall ist unmglich. Dies lag

zwar schon in der Wahl des Komparativs (grer, kleiner) zur Bezeichnung derBeziehung zwischen ,; aber diese Wahl ist erst jetzt nachtrglich gerechtfertigt.Gerade bei solchen Untersuchungen hat man sich auf das Sorgfltigste zu hten,da man selbst bei dem besten Willen, ehrlich zu sein, durch eine voreilige Wahlvon Ausdrcken, welche anderen schon entwickelten Vorstellungen entlehnt sind,sich nicht verleiten lasse, unerlaubte bertragungen aus dem einen Gebiete in dasandere vorzunehmen.

Betrachtet man nun noch einmal genau den Fall > , so ergibt sich, dadie kleinere Zahl, wenn sie rational ist, gewi der KlasseA1 angehrt; da esnmlich inA1 eine Zahl a'1 = b'2 gibt, welche der KlasseB2 angehrt, so ist dieZahl, mag sie die grte Zahl inB1 oder die kleinste Zahl inB2 sein, gewi

a'1 und folglich inA1 enthalten. Ebenso ergibt sich aus >, da die grereZahl , wenn sie rational ist, gewi der KlasseB2 angehrt, weil a'1 ist.Vereinigt man beide Betrachtungen, so erhlt man folgendes Resultat: Wird einSchnitt (A1, A2) durch die Zahl hervorgebracht, so gehrt irgendeine rationaleZahl zu der


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between a'1 and a"1 ( 1. II.) evidently are contained inA1, but not inB1. In thiscase we take the numbers andwhich produce this pair of essentially distinctcuts (A1, A2) and (B1, B2) likewise to be distinct from one another, and indeed wesay that isgreaterthan, thatissmallerthan , which we express in symbolsas well by > , as by < . Here it is emphasized that this definition

coincides completely with the earlier, if both numbers ,are rational.The possible cases still remaining now are these:

4. If inB1 there is one and only one numberb'1 = a'2, which is not contained inA1, the pair of cuts (A1, A2) and (B1, B2) are only unessentially distinct and theyare produced by one and the same rational number = a'2 = b'1 = .5. If inB1 however, there are at least two distinct numbers which are notcontained inA1, then > , < .

Since with this all cases have been exhausted, it proves that of two distinctnumbers necessarily the one must be greater, the other smaller, which include(the) two possibilities. A third case is impossible. Indeed this lay already in thechoice of the comparative (greater, less) for the designation of the relation

between ,; but this choice is only subsequently justified. Precisely with suchinvestigations one has to guard himself most carefully, that one, even with thebest intention to be honest, not allow himself to be mislead to take impermissibletransfers from one domain into the other, through a hasty choice of expressionswhich are borrowed from other, already developed, conceptions. [Again, at allcosts, we must not allow pure arithmetic to bepolluted by geometric concepts.]

Now if one considers still further (noch einmal) precisely (genau) the case > , there results that the smaller number, if it is rational, certainly belongsto the classA1; that is, since there is inA1 a numbera'1 = b'2, which belongs tothe classB2, the number, be it the greatest inB1 or the smallest number inB2, iscertainly a'1 and consequently (folglich) contained inA1. Likewise there

results from > , that the greater number, if it is rational, certainly belongs tothe classB2, because a'1. Uniting both considerations, one obtains thefollowing result: If a cut (A1, A2) is produced by the number, then some rationalnumber belongs to the


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KlasseA1, oder zu der KlasseA2, je nachdem sie kleiner oder grer ist als ; istdie Zahl selbst rational, so kann sie der einen oder der anderen Klasseangehren.

Hieraus ergibt sich endlich noch folgendes. Ist > , gibt es alsounendlich viele Zahlen inA1, welche nicht inB1 enthalten sind, so gibt es auch

unendlich viele solche Zahlen, welche zugleich von und vonverschieden sind;jede solche rationale Zahl c ist < , weil sie inA1 enthalten ist, und sie ist zugleich>, weil sie inB2 enthalten ist.

5Stetigkeit des Gebietes der reellen Zahlen

Zufolge der eben festgesetzten Unterscheidungen bildet nun das System Raller reellen Zahlen ein wohlgeordnetes Gebiet von einer Dimension; hiermit sollweiter nichts gesagt sein, als da folgende Gesetze herrschen.

I. Ist > , und > , so ist auch > . Wir wollen sagen, da dieZahl zwischen den Zahlen , liegt.

II. Sind , zwei verschiedene Zahlen, so gibt es immer unendlich vieleverschiedene Zahlen, welche zwischen , liegen.

III. Ist eine bestimmte Zahl, so zerfallen alle Zahlen des Systems R inzwei Klassen A1 und A2, deren jede unendlich viele Individuen enthlt; die ersteKlasse A1 umfat alle die Zahlen 1, welche < sind, die zweite Klasse A2umfat alle die Zahlen 2, welche > sind; die Zahl selbst kann nach Beliebender ersten oder der zweiten Klasse zugeteilt werden, und sie ist dann entsprechenddie grte Zahl der ersten oder die kleinste Zahl der zweiten Klasse. In jedemFalle ist die Zerlegung des Systems R in die beiden Klassen A1, A2 von der Art,da jede Zahl der ersten Klasse A1 kleiner als jede Zahl der zweiten Klasse A2 ist,und wir sagen, da diese Zerlegung durch die Zahl hervorgebracht wird.

Der Krze halber, und um den Leser nich zu ermden, unterdrcke ich dieBeweise dieser Stze, welche unmittelbar aus den Definitionen desvorhergehenden Paragraphen folgen.

Auer diesen Eigenschaften besitzt aber das Gebiet R auch Stetigkeit, d.h.es gilt folgender Satz:


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classA1, or to the classA2, according, as the case may be, it is smaller or largerthan ; if the number itself is rational, it can belong to the one or the other class.

At last there results from this the following: If > , there are thusinfinitely many numbers inA1, which are not contained inB1, there are alsoinfinitely many such numbers, which at the same time are distinct from and

from; each such rational numberc is < , because it is contained inA1, and itis, at the same time, > , because it is contained inB2.

5Continuity of the domain of real numbers

According to the distinctions just determined, the system R of all realnumbers now forms a well ordered domain of one dimension; with that nothingfurther is to be said (other) than that the following laws govern:

I. If > , and > , then also > . We will say that the numberlies between the numbers , .

II. If, are two distinct numbers, there are always infinitely many

distinct numbers, which lie between , .III. If is a certain number, then all the numbers of the system R fall in

two classes A1 and A2, each of which contains infinitely many individuals(members); the first class A1 embraces all the numbers 1 which are < , thesecond class A2 embraces all the numbers 2, which are > ; the number itselfcan be allocated to the first or the second class as desired, and it is thencorresponding to the greatest number of the first or the smallest of the secondclass. In each case the splitting of the system R into the two classes A1, A2 issuch that each number of the first class A1 is smaller than each number of thesecond class A2, and we say that this splitting is produced by the number.

To be brief and so not to tire the reader, I have omitted (unterdrcke,suppress) the proof of this proposition, which follows immediately from thedefinition of the previous paragraphs.

In addition to these properties the domain R possesses also continuity, thatis, the following statement are valid:


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IV. Zerfllt das System R aller reellen Zahlen in zwei Klassen A1, A2 vonder Art, da jede Zahl 1 der Klasse A1 kleiner ist als jede Zahl 2 der Klasse A2,so existiert eine und nur eine Zahl , durch welche diese Zerlegunghervorgebracht wird.

Beweis. Durch die Zerlegung oder den Schnitt von R in A1 und A2 ist

zugleich ein Schnitt (A1, A2) des SystemsR aller rationalen Zahlen gegeben,welcher dadurch definiert wird, daA1 alle rationalen Zahlen der Klasse A1 undA2 alle brigen rationalen Zahlen, d.h. alle rationalen Zahlen der Klasse A2enthlt. Es sei die vllig bestimmte Zahl, welche diesen Schnitt (A1, A2)hervorbringt. Ist nunirgendeine von verschiedenen Zahl, so gibt es immerunendlich viele rationale Zahlen c, welche zwischen undliegen. Ist < , soist c < ; mithin gehrt c der KlasseA1 und folglich auch der Klasse A1 an, undda zugleich < c ist, so gehrt auchderselben Klasse A1 an, weil jede Zahl inA2 grer ist als jede Zahl c in A1. Ist aber > , so ist c > ; mithin gehrt cder KlasseA2 und folglich auch der Klasse A2 an, und da zugleich> c ist, so

gehrt auchderselben Klasse A2 an, weil jede Zahl in A1 kleiner ist als jedeZahl c in A2. Mithin gehrt jede von verschiedene Zahlder Klasse A1 oder derKlasse A2 an, je nachdem < oder > ist; folglich ist selbst entweder diegrte Zahl in A1 oder die kleinste Zahl in A2, d.h. ist eine und offenbar dieeinzige Zahl, durch welche die Zerlegung von R in die Klassen A1, A2hervorgebracht wird, was zu beweisen war.

6Rechnungen mit reellen Zahlen

Um irgendeine Rechnung mit zwei reellen Zahlen ,auf dieRechnungen mit rationalen Zahlen zurckzufhren, kommt es nur darauf an, aus

den Schnitten (A1, A2) und (B1, B2), welche durch die Zahlen undim SystemeR hervorgebracht werden, den Schnitt (C1, C2) zu definieren, welcher demRechnungsresultate entsprechen soll. Ich beschrnke mich hier auf dieDurchfhrung des einfachsten Beispieles, der Addition.

Ist c irgend eine rationale Zahl, so nehme man sie in die Klasse C1 auf,wenn es eine Zahl a1 inA1 und eine Zahl b1 inB1 von der Art gibt, da ihreSumme a1 + b1 c wird; alle anderen


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IV. If the system R of all real numbers splits into two classes A1, A2 suchthat each number1 of the class A1 is smaller than each number2 of the class A2,there exists one and only one number, by which this splitting is produced.

Proof. By the splitting or (the) cut ofR into A1 and A2 (there) is given atthe same time a cut (A1, A2) of the systemR of all rational numbers, which isdefined by the following, thatA1 contains all rational numbers of the class A1 andA2 all remaining rational numbers, that is, all rational numbers of the class A2.Let be the fully determined number which produces this cut (A1, A2). [I. e. (A1,A2) determine a number.] If nowis some number distinct from , there arealways infinitely many rational numbers c which lie between and. If < ,then c < ; therefore (mithin) c belongs to the classA1 and consequently(folglich) also to the class A1, and since at the same time < c, then alsobelongs to the same class A1, because each number in A2 is greater than eachnumberc in A1. If however > , then c > ; therefore (mithin) c belongs tothe classA2 and consequently (folglich) also to the class A2, and since at the same

time > c, so alsobelongs to the same class A2, because each number in A1 issmaller than each numberc in A2. Therefore (mithin) each numberdistinctfrom belongs to the class A1 or to the class A2, according as < or > ;consequently (folglich) is itself either the greatest number in A1 or the smallestnumber in A2, that is is one and, obviously, the only number, by which thesplitting ofR into the classes A1, A2 is produced; which was to be proved.

6Reckoning with real numbers

In order to relate any calculation with two real numbers,tocalculations with rational numbers, it is only required to define the cut (C1, C2),

which is to correspond to the result of the calculation, from the cuts (A1, A2) and(B1, B2) which are produced by the numbers andin the SystemR. I limitmyself here to the working out of the simplest example, addition.

Ifc is any rational number, it is included in the class C1 if there is anumbera1 inA1 and a numberb1 inB1 such that their sum a1 + b1 is c; allother


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rationalen Zahlen c nehme man in die Klasse C2 auf. Diese Einteilung allerrationalen Zahlen in die beiden Klassen C1, C2 bildet offenbar einen Schnitt, weiljede Zahl c1 in C1 kleiner ist als jede Zahl c2 in C2. Sind nun beide Zahlen ,rational, so ist jede in C1 enthaltene Zahl c1 + , weil a1 , b1 , alsoauch a1 + b1 + ist; wre ferner eine in C2 enthaltene Zahl c2 < +,

also += c2 +p, wop eine positive rationale Zahl bedeutet, so wrec2 = (p) + (p),

was im Widerspruch mit der Definition der Zahl c2 steht, weil p eine ZahlinA1, und p eine Zahl inB1 ist; folglich ist jede in C2 enthaltene Zahl c2 + . Mithin wird in diesem Falle der Schnitt (C1, C2) durch die Summe + hervorgebracht. Man verstt daher nicht gegen die in der Arithmetik derrationalen Zahlen geltende Definition, wenn man in allen Fllen unter der Summe +von zwei beliebigen reellen Zahlen ,diejenige Zahl versteht, durchwelche der Schnitt (C1, C2) hervorgebracht wird. Ist ferner nur eine der beidenZahlen ,, z.B. , rational, so berzeugt man sich leicht, da es keinen Einflu

auf die Summe = + hat, ob man die Zahl in die KlasseA1 oder in dieKlasseA2 aufnimmt.

Ebsenso wie die Addition lassen sich auch die brigen Operationen dersogenannten Elementar-Arithmetik definieren, nmlich die Bildung derDifferenzen, Produkte, Quotienten, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, und mangelangt auf diese Weise zu wirklichen Beweisen von Stzen (wie z.B. 2 . 3 =6), welche meines Wissens bisher nie bewiesen sind. Die Weitlufigkeiten,welche bei den Definitionen der komplizierteren Operationen zu befrchten sind,liegen teils in der Natur der Sache, zum grten Teil aber lassen sie sichvermeiden. Sehr ntzlich ist in dieser Beziehung der Begriff eines Intervalls, d.h.eines SystemsA von rationalen Zahlen, welches folgende charakteristische

Eigenschaft besitzt: sind a und a'Zahlen des SystemsA, so sind auch allezwischen a und a'liegenden rationalen Zahlen in A enthalten. Das SystemR allerrationalen Zahlen, ebenso die beiden Klassen eines jeden Schnittes sind Intervalle.Gibt es aber eine rationale Zahl a1, welche kleiner, und eine rationale Zahl a2,welche grer ist, als jede Zahl des IntervallsA,


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rational numbers c are included in the class C2. Manifestly this partition of allrational numbers into the pair of classes C1, C2 forms a cut, since each numberc1in C1 is smaller than each numberc2 in C2. If now both numbers ,are rational,each numberc1 contained in C1 is + , because a1 , b1 , thusalso a1 + b1 + ; if further a numberc2 contained in C2 were < + ,

thus + = c2 + p, wherep signifies a rational number, thusc2 = (p) + (p),

which stands in contradiction with the definition of the numberc2, because p is a number inA1, and p a number inB1; consequently (folglich) eachnumberc2 contained in C2 is + . Therefore (mithin) in this case the cut isproduced by the sum + . Hence (daher) one does not offend against (versttgegen) the definition maintained (geltende) in the arithmetic of rational numbers,if in all cases one understands by the sum + of any two real numbers ,thesame number by which the cut (C1, C2) is produced. If further only one of thepair of numbers ,, for example , is rational, then one is easily satisfied that

there is no effect on the sum = + , whether the numberis included in theclassA1 or in the classA2.

Just as with addition, one may define the remaining operations of the so-called elementary arithmetic, namely forming the difference, product, quotient,power, root, logarithm and in this way one attains to real proof of propositions(such as, for example, 2 3 = 6), which, to my knowledge, until now havenever been proved. The tedious details (Weitlufigkeiten), which are to bedreaded in the definitions of complex operations, lie partly in the nature of thething, but for the most part may be avoided. Very useful in this connection is theconcept of an interval, that is of a systemA of rational numbers, which possessesthe following characteristic property: ifa and a'are numbers of the systemA, so

also are contained all rational numbers inA lying between a and a'. The systemRof all rational numbers, likewise both classes of every cut are intervals. Ifhowever there is a rational numbera1, which is smaller, and a rational numbera2,which is greater than each number of the intervalA,

Note to page 18: The difficulty is this: given two magnitudes a andb and usingthe rules passed down from Descartes, one represents the magnitudes as lines and

construct a line to represent a b and also a line to representa b.Specifically, Descartes teaches us to take the square root of a line geometrically,and to multiply two lines, but with such methods one cannot show these two

figures to be equal. Of course, Dedekind's methods could prove the rule for

multiplying roots no more easily than Descartes or Newton's. It matters not whatthe underlying definition of number is, so long as they behave as real numbers arerequired.


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so heieA ein endliches Intervall; es gibt dann offenbar unendlich viele Zahlenvon derselben Beschaffenheit wie a1, und unendlich viele Zahlen von derselbenBeschaffenheit wie a2; da ganze GebietR zerfllt in drei Stcke,A1, A, A2, undes treten zwei vollstndig bestimmte rationale oder irrationale Zahlen 1, 2 auf,welche bzw. die untere und obere (oder die kleinere und grere) Grenz e des

IntervallsA genannt werden knnen; die untere Grenze 1 ist durch den Schnittbestimmt, bei welchem die erste Klasse durch das SystemA1 gebildet wird, unddie obere Grenze 2 durch den Schnitt, bei welchemA2 die zweite Klasse bildet.Von jeder rationalen oder irrationalen Zahl , welche zwischen 1 und 2 liegt,mag gesagt werden, sie liege innerhalb des IntervallsA. Sind alle Zahlen einesIntervallsA auch Zahlen eines IntervallsB, so heieA ein Stck vonB.

Noch viel grere Weitlufigkeiten scheinen in Aussicht zu stehen, wennman dazu bergehen will, die unzhligen Stze der Arithmetik der rationalenZahlen (wie z.B. den Satz (a + b) c = a c + b c) auf beliebige reelle Zahlen zubertragen. Dem ist jedoch nicht so; man berzeugt sich bald, da hier allesdarauf ankommt, nachzuweisen, da die arithmetischen Operationen selbst eine

gewisse Stetigkeit besitzen. Was ich hiermit meine, will ich in die Form einesalgemeinen Satzes einkleiden:

Ist die Zahl das Resultat einer mit den Zahlen ,, ... angestelltenRechnung, und liegt innerhalb des IntervallsL, so lassen sich IntervalleA, B, C... angeben, innerhalb deren die Zahlen ,, ... liegen, und von der Art, da dasResultat derselben Rechnung, in welcher die Zahlen ,, ... durch beliebigeZahlen der IntervalleA, B, C... ersetzt werden, jedesmal eine innerhalb desIntervallsL liegende Zahl wird. Die abschreckende Schwerflligkeit aber,welche dem Ausspruche eines solchen Satzes anklebt, berzeugt uns, da hieretwas geschehen mu, um der Sprache zu Hilfe zu kommen; dies wird in der Tatauf die vollkommenste Weise erreicht, wenn man die Begriffe der

ver nder lichen Gr en, der Funkt ione n, der Grenzw ert e einfhrt, undzwar wird es das Zweckmigste sein, schon die Definitionen der einfachstenarithmetischen Operationen auf diese Begriffe zu grnden, was hier jedoch nichtweiter ausgefhrt werden kann.


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I callA a finite interval; there are then apparently infinitely many numbers of thesame nature (Beschaffenheit, constructed i.e. smaller than each number ofA) asa1, and infinitely many number of the same nature as a2; that whole domainRsplits into three parts,A1, A, A2, and there arise two completely determinaterational or irrational numbers 1, 2, which can be called respectively the lower

and upper (or smaller and greater) boundaries of the intervalA; the lowerboundary 1 is determined through the cut, by which the first class through thesystemA1 was formed, and the upper boundary 2 by the cut, by which the secondclassA2 was formed. Of each rational or irrational number, which lies between1 and 2, it may be said, that they lie within the intervalA. If all numbers of anintervalA also are numbers of an intervalB,A is called a part ofB.

Yet much greater prolixity (Weitlufigkeiten) appears to stand in prospect,if one wants to proceed so far as to transfer the innumerable propositions of thearithmetic of rational numbers (as for instance the proposition (a + b)c = ac +bc) for arbitrary real numbers. That is however not so; one is easily satisfied thathere everything depends on showing (nachzuweisen) that the arithmetical

operations themselves possess a certain continuity. What I mean by this I willcouch in the form of a general proposition:

"If the number is the result of a calculation made with the numbers ,,, ... and if lies within the intervalL, then intervalsA, B, C, ... may be stated,within which the numbers ,, , ... lie, and such that the result of the samecalculation, in which the numbers ,, ... are replaced by arbitrary numbers ofthe intervalsA, B, C, ..., becomes in each case a number lying within the intervalL." The deterring difficulty, however, which adheres to the utterance of such aproposition, convinces us that here something must happen in order to come to theaid of language; this will in fact be attained in the most complete manner if oneintroduces the concepts of variable magnitude, function, boundary value, and

indeed it will be most expedient to found upon these ideas the very (schon)definition of the simplest arithmetical operations (i.e. the elementary operations),of which here however nothing further can be carried out. [I am at a loss to saywhat he is saying here.]


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7Infinitesimal-Analysis

Es soll hier nur noch zum Schlu der Zusammenhang beleuchtet werden,welcher zwischen unseren bisherigen Betrachtungen und gewissen Hauptstzender Infinitesimalanalysis besteht.

Man sagt, da eine vernderliche Grex, welche sukzessive bestimmteZahlwerte durchluft, sich einem festen Grenzwert nhert, wennx im Laufedes Prozesses definitiv zwischen je zwei Zahlen zu liegen kommt, zwischendenen selbst liegt, oder was dasselbe ist, wenn die Differenzx absolutgenommen unter jeden gegebenen, von Null verschiedenen Wert definitivherabsinkt.

Einer de

Documents

Continuity and Irrational Numbers