Controle e Automacao Industrial

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i UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA DISCIPLINA DE CONTROLE E AUTOMAO INDUSTRIAL AVALIAO PARCIAL 1 FRANCISCO EVANDO CORREIA FILHO 0320764 FRANCISCO FERNANDES PRAXEDES NETO - 0345368 JEHOVAH TAVARES COELHO NETO 032768 GUSTAFFSON PARENTES QUEIROZ VIEIRA 0320763 PROFESSOR: DR. BISMARK CLAURE TORRICO FORTALEZA 03 DE ABRIL DE 2014 ii Sumrio Introduo ..................................................................................................................................... 1 I.1) Modelo de 3 parmetros: ................................................................................................... 1 I.2) Mtodo das reas: .............................................................................................................. 3 I.3) Mtodo dos momentos. ..................................................................................................... 3 Problema 1 .................................................................................................................................... 4 Concluso Problema 1 ................................................................................................................. 13 Problema 2 .................................................................................................................................. 14 Concluso Problema 2 ................................................................................................................. 19 Referncias Bibliogrficas ........................................................................................................... 20 Anexos ......................................................................................................................................... 21 Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 1 Introduo I.1) Modelo de 3 parmetros: O modelo de trs parmetros consiste em um dos modelos que apresenta uma boa aproximao e, por isso, o modelo de processo mais usado em artigos sobre controladores PID. O modelo dado por: () =

1 +

Onde: K = Ganho esttico; T = Constante de tempo (ou constante de tempo aparente); L = Tempo morto (ou tempo morto aparente) Tal modelo tem como resposta ao degrau: () = (1 () ) Realizando-se as devidas manipulaes matemticas, obtm que o tempo de residncia mdia e o atraso de transporte normalizado so dados, respectivamente, por:

= (() ())0

= + =

+ =

Os parmetros para esse modelo podem ser obtidos graficamente: Figura 1 - Determinao dos parmetros para sistemas com uma resposta ao degrau montona Parmetro K: oObtido a partir do nvel no qual a resposta torna-se estacionria Parmetro L: oObtidoapartirdainterseodatangentedemaiorinclinaocomoeixo horizontal Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 2 Parmetro T: Duas formas de obteno: 1.Obtido a partir da distncia AC, onde C o ponto no qual a tangente de maior inclinao intersecta a linha do nvel no qual a resposta ao degrau torna-se estacionria. Essa forma tende a gerar um valor muito grande de T. Assim, realizando-se as devidas substituies, obtm-se o seguinte modelo:

3() = 11 +6.7

4.3 2.Obtido a partir da distncia AB, onde B o ponto no qual a resposta ao degrau atingiu 63% do valor final, ou seja, 0.63K. Essa forma normalmente gera melhores aproximaes. Assim, realizando-se as devidas substituies, obtm-se o seguinte modelo:

3() = 11 +4.3

4.3 Alm desse modelo, pode-se calcular a derivada da resposta ao degrau e aplicar um modelo para sistemas integradores. Tais sistemas no atingem um nvel estacionrio quando a entrada um sinal de degrau. Entretanto, o sistema atinge um nvel estacionrio quando a entrada um sinal de impulso. Assim, utilizando-se essa metodologia, obtm-se um modelo mais sofisticado que fornece uma melhor aproximao em frequncias mais altas. Tal modelo tem como funo de transferncia: () =

(1 +)

O que acarreta na seguinte resposta ao degrau: () = ( (1 () )) Os parmetros tambm podem ser obtidos graficamente: Figura 2 - Determinao dos parmetros para um processo de integrao Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 3 importanteressaltarqueesses modelosforamencontradosavaliando-searespostadegrau em pontos especficos. Assim, tais mtodos de obteno so relativamente sensveis a rudos. A seguir,seroexplicitadosoutrosmtodosdeobtenodosparmetrosdomodelo.Tais mtodos so baseados no clculo de uma rea. I.2) Mtodo das reas: Nesse mtodo, o ganho esttico K e o tempo de residncia mdia Tar so determinados a partir do grfico para o modelo de dois parmetros: Figura 3 Grfico para o modelo de dois parmetros Considerando-se a funo de transferncia G(s)=K/(1+sT) e^(-sL), calcula-se a rea A1:

1 = ()

0= (1 ) = 1

0 Logo, tem-se que: = 1

=

= 0

1

I.3) Mtodo dos momentos. Esse mtodo tem como vantagem mostrar que os valores da funo de transferncia e da sua derivadaems=0podemserdeterminadosapartirdeintegraisdarespostaaoimpulso. Considerando-sequeh(t) sejaa respostaao impulso eG(s)a funo detransferncia, tem-se que: () = ()0 Aplicando-se a derivada em relao s, tem-se:

()

= ()() = (1)

()0 ()(0) = (1)

()0 Para a soluo das questes, a equipe utilizou-se do mtodo dos momentos para a determinao dos parmetros do modelo. Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 4 Problema 1 O Problema foi solucionado com o processo mostrado abaixo na figura 4: Figura 4 - Planta do Processo Onde a planta G(s) dada por: () = 2( +1)3(0.5 +1)2(0.2 +1) a)Aplicando os modelos estudados durante o curso, previamente explanados, obtemos as seguintes aproximaes para o modelo de trs parmetros, mtodo das reas e mtodo dos momentos, respectivamente: 3() =2 1.6262.8510 +1 3() =2 1.6264.5844 +1 () =2 1.024.178 +1 () =2 2.321.881 +1 Portantovalemo-nosdarespostaaodegrau,bemcomoocritriodeNyquistde estabilidade para escolhermos a melhor aproximao. Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 5 A figura 5 abaixo mostra a resposta ao degrau das plantas aproximadas acima: Figura 5- Resposta ao degrau das plantas aproximadas. Percebemos a resposta do mtodo dos momentos bastante prxima da planta original entretanto,apresentaomaioratrasodetransporteoqueacarretaemumagrandevariao entre 3 e 4 segundos. Desta forma existe duas aproximaes coerentes com a planta, so elas: G3a(s) e Gmomento, sendo aquela aproximada pelo o modelo de trs parmetros. Observando o diagrama de Nyquist podemos concluir a nossa observao conforme a figura abaixo: 0 5 10 15 20 25 3000.20.40.60.811.21.41.61.82 Step ResponseTime (seconds)AmplitudeG(s)G3a(s)G3b(s)Garea(s)GmomentoAvaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 6 Figura 6 - Diagrama de Nyquist para as aproximaes nominais. Conclumos ento que o modelos G3a o que apresenta maior margem de fase e ganho e fase, conforme a tabela a seguir: Tabela 1 - Margem de Fase e Margem de Ganho segundo o diagrama de Nyquist. Margem de Ganho (dB)Margem de Fase (dB) Goriginal(s)2.9631.6 G3a(s)4.6763.4 G3b(s)8.1184.8 Garea(s)1195.8 Gmomento(s)-0.102-2.28 A incerteza multiplicativa pode-se ento ser plotada: Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2-1.5-1-0.500.51 G(s)G3a(s)G3b(s)Garea(s)Gmomento(s)Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 7 Figura 7 - Incerteza Multiplicativa das modelagens. b)Apsanalisaremosgrficosmostradosacima,omodeloG3amostrou-seomais adequadoparaonossoestudo,apresentandoumaMargemdeGanhode4.67dBe Margem de Fase igual a 63.4 dB, alm de expressar uma resposta ao degrau bem estvel e definida. Portanto, () = 3() =2 1.6262.8510 +1 c)Neste item ajustamos um controlador PI para obter um tempo de assentamento menor que 5% e uma ultrapassagem percentual menor que 5%. Seja U.P a ultrapassagem percentual, sabemos que: . (%) = 100.

12 Do critrio, obtemos 0.7. O tempo de assentamento para um erro de 5% dado por: 10-1100101102103104100 G3a(s)G3b(s)Garea(s)Gmomento(s)Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 8

=3

Onde

a frequncia natural e fator de amortecimento do modelo. Assim ao analisarmos o diagrama de bode para 3()

obtemos: Figura 8 - Diagrama de Bode para o G3a/s. Obtemos uma Margem de fase de -51.1 dB e a Margem de ganho de -9.55. Portanto teremos que projetar um controlador() =

( +) Afim de obter uma margem de ganho de no mnimo 70 graus, que corresponde ao nosso , sendo Kc o ganho do PI e Z o zero. -50050Magnitude (dB)10-210-1100101-1440-1080-720-3600Phase (deg)Bode DiagramFrequency(rad/s)Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 9 Deste modo, solucionamos a equao da fase do diagrama de bode: 0 +1(. 0) = Sendo 0 a nova frequncia decortedo diagrama de Bode, o ngulo dedecalagem do sistema e L o atraso de transporte. Valeressaltarque0estemrad/s,sendonecessriaaconversodosngulosemquesto para radianos. Para = 31.5

, encontramos 0=0.33 rad/s. No nosso caso 0 corresponde tambm ao nosso zero, podendo portanto calcular o ganho Kc:

= 02 1 +( 0)2

02 +2 Encontrando

= 0.4874. Portanto: = 0.4874( +0.33)

A resposta ao degrau da malha fechada mostrada na figura abaixo: Figura 9 - Resposta ao degrau da Planta com o Controlador PI Step ResponseTime (seconds)Amplitude0 2 4 6 8 10 1200.20.40.60.811.21.4System: HSettling time (seconds): 5System: HPeak amplitude: 1.05Overshoot (%): 5At time (seconds): 6.85Avaliao Parcial 1 - Controle e Automao Industrial 10 Destacamos na figura o overshootde exatamente 5% eo tempo deassentamento de 5%, sendo este uma boa resposta conforme desenvolvimento terico. d)DemodoanlogoprocedemosparaoPID,pormacrescentamosmaisumzerono controlador C(s), encontrando: = 0.181 (1 +0.21)(1 +3.5)

O que nos retorna uma resposta ao degrau em malha fechada conforme a figura abaixo: Figura 10 - Resp