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i UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL AVALIAÇÃO PARCIAL 1 FRANCISCO EVANDO CORREIA FILHO 0320764 FRANCISCO FERNANDES PRAXEDES NETO - 0345368 JEHOVAH TAVARES COELHO NETO 032768 GUSTAFFSON PARENTES QUEIROZ VIEIRA 0320763 PROFESSOR: DR. BISMARK CLAURE TORRICO FORTALEZA 03 DE ABRIL DE 2014

Controle e Automacao Industrial

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Page 1: Controle e Automacao Industrial

i

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

DISCIPLINA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL

AVALIAÇÃO PARCIAL 1

FRANCISCO EVANDO CORREIA FILHO – 0320764

FRANCISCO FERNANDES PRAXEDES NETO - 0345368

JEHOVAH TAVARES COELHO NETO – 032768

GUSTAFFSON PARENTES QUEIROZ VIEIRA – 0320763

PROFESSOR: DR. BISMARK CLAURE TORRICO

FORTALEZA

03 DE ABRIL DE 2014

Page 2: Controle e Automacao Industrial

ii

Sumário

Introdução ..................................................................................................................................... 1

I.1) Modelo de 3 parâmetros: ................................................................................................... 1

I.2) Método das áreas: .............................................................................................................. 3

I.3) Método dos momentos. ..................................................................................................... 3

Problema 1 .................................................................................................................................... 4

Conclusão Problema 1 ................................................................................................................. 13

Problema 2 .................................................................................................................................. 14

Conclusão Problema 2 ................................................................................................................. 19

Referências Bibliográficas ........................................................................................................... 20

Anexos ......................................................................................................................................... 21

Page 3: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

1

Introdução

I.1) Modelo de 3 parâmetros:

O modelo de três parâmetros consiste em um dos modelos que apresenta uma boa aproximação

e, por isso, é o modelo de processo mais usado em artigos sobre controladores PID. O modelo é

dado por:

𝐺(𝑠) = 𝐾

1 + 𝑠𝑇𝑒−𝑠𝐿

Onde:

K = Ganho estático;

T = Constante de tempo (ou constante de tempo aparente);

L = Tempo morto (ou tempo morto aparente)

Tal modelo tem como resposta ao degrau:

𝑠(𝑡) = 𝐾(1 − 𝑒−(𝑡−𝐿) 𝑇⁄ )

Realizando-se as devidas manipulações matemáticas, obtém que o tempo de residência média

e o atraso de transporte normalizado são dados, respectivamente, por:

𝑇𝑎𝑟 =∫ (𝑠(∞) − 𝑠(𝑡))𝑑𝑡

0

𝐾= 𝐿 + 𝑇

𝜏 =𝐿

𝐿 + 𝑇=

𝐿

𝑇𝑎𝑟

Os parâmetros para esse modelo podem ser obtidos graficamente:

Figura 1 - Determinação dos parâmetros para sistemas com uma resposta ao degrau monótona

Parâmetro K:

o Obtido a partir do nível no qual a resposta torna-se estacionária

Parâmetro L:

o Obtido a partir da interseção da tangente de maior inclinação com o eixo

horizontal

Page 4: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

2

Parâmetro T:

Duas formas de obtenção:

1. Obtido a partir da distância AC, onde C é o ponto no qual a tangente de maior inclinação

intersecta a linha do nível no qual a resposta ao degrau torna-se estacionária. Essa forma

tende a gerar um valor muito grande de T. Assim, realizando-se as devidas substituições,

obtém-se o seguinte modelo:

𝐺3𝑎(𝑠) = 1

1 + 6.7𝑠𝑒−4.3𝑠

2. Obtido a partir da distância AB, onde B é o ponto no qual a resposta ao degrau atingiu

63% do valor final, ou seja, 0.63K. Essa forma normalmente gera melhores

aproximações. Assim, realizando-se as devidas substituições, obtém-se o seguinte

modelo:

𝐺3𝑏(𝑠) = 1

1 + 4.3𝑠𝑒−4.3𝑠

Além desse modelo, pode-se calcular a derivada da resposta ao degrau e aplicar um modelo

para sistemas integradores. Tais sistemas não atingem um nível estacionário quando a entrada

é um sinal de degrau. Entretanto, o sistema atinge um nível estacionário quando a entrada é

um sinal de impulso. Assim, utilizando-se essa metodologia, obtém-se um modelo mais

sofisticado que fornece uma melhor aproximação em frequências mais altas. Tal modelo tem

como função de transferência:

𝐺(𝑠) = 𝐾

𝑠(1 + 𝑠𝑇)𝑒−𝑠𝐿

O que acarreta na seguinte resposta ao degrau:

𝑠(𝑡) = 𝐾(𝑡 − 𝐿 − 𝑇(1 − 𝑒−(𝑡−𝐿) 𝑇⁄ ))

Os parâmetros também podem ser obtidos graficamente:

Figura 2 - Determinação dos parâmetros para um processo de integração

Page 5: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

3

É importante ressaltar que esses modelos foram encontrados avaliando-se a resposta degrau

em pontos específicos. Assim, tais métodos de obtenção são relativamente sensíveis a ruídos. A

seguir, serão explicitados outros métodos de obtenção dos parâmetros do modelo. Tais

métodos são baseados no cálculo de uma área.

I.2) Método das áreas:

Nesse método, o ganho estático K e o tempo de residência média Tar são determinados a partir

do gráfico para o modelo de dois parâmetros:

Figura 3 – Gráfico para o modelo de dois parâmetros

Considerando-se a função de transferência G(s)= K/(1+sT) e^(-sL), calcula-se a área A1:

𝐴1 = ∫ 𝑠(𝑡)𝑑𝑡

𝑇𝑎𝑟

0

= ∫ 𝐾(1 − 𝑒−𝑡 𝑇⁄ )𝑑𝑡 = 𝐾𝑇𝑒−1

𝑇

0

Logo, tem-se que:

𝑇 =𝑒𝐴1

𝐾

𝐿 = 𝑇𝑎𝑟 − 𝑇 =𝐴0

𝐾−

𝑒𝐴1

𝐾

I.3) Método dos momentos.

Esse método tem como vantagem mostrar que os valores da função de transferência e da sua

derivada em s=0 podem ser determinados a partir de integrais da resposta ao impulso.

Considerando-se que h(t) seja a resposta ao impulso e G(s) a função de transferência, tem-se

que:

𝐺(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡ℎ(𝑡)𝑑𝑡

0

Aplicando-se a derivada em relação à “s”, tem-se:

𝑑𝑛𝐺(𝑠)

𝑑𝑠𝑛= 𝐺(𝑛)(𝑠) = (−1)𝑛 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑛ℎ(𝑡)𝑑𝑡

0

→ 𝐺(𝑛)(0) = (−1)𝑛 ∫ 𝑡𝑛ℎ(𝑡)𝑑𝑡

0

Para a solução das questões, a equipe utilizou-se do método dos momentos para a

determinação dos parâmetros do modelo.

Page 6: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

4

Problema 1

O Problema foi solucionado com o processo mostrado abaixo na figura 4:

Figura 4 - Planta do Processo

Onde a planta G(s) é dada por:

𝐺(𝑠) = 2

(𝑠 + 1)3(0.5𝑠 + 1)2(0.2𝑠 + 1)

a) Aplicando os modelos estudados durante o curso, previamente explanados, obtemos as

seguintes aproximações para o modelo de três parâmetros, método das áreas e método

dos momentos, respectivamente:

𝐺3𝑎(𝑠) =2 ∗ 𝑒−1.626𝑠

2.8510𝑠 + 1

𝐺3𝑏(𝑠) =2 ∗ 𝑒−1.626𝑠

4.5844𝑠 + 1

𝐺𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑠) =2 ∗ 𝑒−1.02𝑠

4.178𝑠 + 1

𝐺𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝑠) =2 ∗ 𝑒−2.32𝑠

1.881𝑠 + 1

Portanto valemo-nos da resposta ao degrau, bem como o critério de Nyquist de

estabilidade para escolhermos a melhor aproximação.

Page 7: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

5

A figura 5 abaixo mostra a resposta ao degrau das plantas aproximadas acima:

Figura 5- Resposta ao degrau das plantas aproximadas.

Percebemos a resposta do método dos momentos é bastante próxima da planta original

entretanto, apresenta o maior atraso de transporte o que acarreta em uma grande variação

entre 3 e 4 segundos. Desta forma existe duas aproximações coerentes com a planta, são elas:

G3a(s) e Gmomento, sendo aquela aproximada pelo o modelo de três parâmetros.

Observando o diagrama de Nyquist podemos concluir a nossa observação conforme a

figura abaixo:

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

G(s)

G3a(s)

G3b(s)

Garea(s)

Gmomento

Page 8: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

6

Figura 6 - Diagrama de Nyquist para as aproximações nominais.

Concluímos então que o modelos G3a é o que apresenta maior margem de fase e

ganho e fase, conforme a tabela a seguir:

Tabela 1 - Margem de Fase e Margem de Ganho segundo o diagrama de Nyquist.

Margem de Ganho (dB) Margem de Fase (dB)

Goriginal(s) 2.96 31.6

G3a(s) 4.67 63.4

G3b(s) 8.11 84.8

Garea(s) 11 95.8

Gmomento(s) -0.102 -2.28

A incerteza multiplicativa pode-se então ser plotada:

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

G(s)

G3a(s)

G3b(s)

Garea(s)

Gmomento(s)

Page 9: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

7

Figura 7 - Incerteza Multiplicativa das modelagens.

b) Após analisarem os gráficos mostrados acima, o modelo G3a mostrou-se o mais

adequado para o nosso estudo, apresentando uma Margem de Ganho de 4.67 dB e

Margem de Fase igual a 63.4 dB, além de expressar uma resposta ao degrau bem estável

e definida.

Portanto,

𝐺𝑛(𝑠) = 𝐺3𝑎(𝑠) =2 ∗ 𝑒−1.626𝑠

2.8510𝑠 + 1

c) Neste item ajustamos um controlador PI para obter um tempo de assentamento menor

que 5% e uma ultrapassagem percentual menor que 5%.

Seja U.P a ultrapassagem percentual, sabemos que:

𝑈. 𝑃(%) = 100. 𝑒−

𝜉𝜋

√1−𝜉2

Do critério, obtemos 𝜉 ≅ 0.7.

O tempo de assentamento para um erro de 5% é dado por:

10-1

100

101

102

103

104

100

G3a(s)

G3b(s)

Garea(s)

Gmomento(s)

Page 10: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

8

𝑡𝑠 =3

𝜉𝜔𝑛

Onde 𝜔𝑛 é a frequência natural e 𝜉 é fator de amortecimento do modelo.

Assim ao analisarmos o diagrama de bode para 𝐺3𝑎(𝑠)

𝑠 obtemos:

Figura 8 - Diagrama de Bode para o G3a/s.

Obtemos uma Margem de fase de -51.1 dB e a Margem de ganho de -9.55.

Portanto teremos que projetar um controlador

𝐶(𝑠) = 𝐾𝑐(𝑠 + 𝑍)

Afim de obter uma margem de ganho de no mínimo 70 graus, que corresponde ao nosso

𝜉, sendo Kc é o ganho do PI e Z é o zero.

-50

0

50

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

-1440

-1080

-720

-360

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Page 11: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

9

Deste modo, solucionamos a equação da fase do diagrama de bode:

𝐿 ∗ 𝜔0 + 𝑡𝑔−1(𝑇. 𝜔0) = 𝛼

Sendo 𝜔0 é a nova frequência de corte do diagrama de Bode, 𝛼 é o ângulo de decalagem do

sistema e L é o atraso de transporte.

Vale ressaltar que 𝜔0 está em rad/s , sendo necessária a conversão dos ângulos em questão

para radianos.

Para 𝛼 = 31.5𝑜, encontramos 𝜔0=0.33 rad/s.

No nosso caso 𝜔0 corresponde também ao nosso zero, podendo portanto calcular o ganho Kc:

𝐾𝑐 =𝜔0

2∗ √

1 + (𝑇 ∗ 𝜔0)2

𝜔02 + 𝑧2

Encontrando 𝐾𝑐 = 0.4874.

Portanto:

𝑃𝐼 =0.4874(𝑠 + 0.33)

𝑠

A resposta ao degrau da malha fechada é mostrada na figura abaixo:

Figura 9 - Resposta ao degrau da Planta com o Controlador PI

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: H

Settling time (seconds): 5

System: H

Peak amplitude: 1.05

Overshoot (%): 5

At time (seconds): 6.85

Page 12: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

10

Destacamos na figura o overshoot de exatamente 5% e o tempo de assentamento de

5%, sendo este uma boa resposta conforme desenvolvimento teórico.

d) De modo análogo procedemos para o PID, porém acrescentamos mais um zero no

controlador C(s), encontrando:

𝑃𝐼𝐷 = 0.181 ∗(1 + 0.21𝑠)(1 + 3.5𝑠)

𝑠

O que nos retorna uma resposta ao degrau em malha fechada conforme a figura abaixo:

Figura 10 - Resposta ao degrau em malha fechada da Planta com o controlador PID

e) Percebemos que o acréscimo do zero no PID aumenta o tempo de resposta do sistema,

como esperado, pois a ação derivativa irá atuar no transitório da resposta, desse modo,

tornamos o sistema mais rápido e diminuímos a ultrapassagem percentual deixando o

nosso sistema mais confiável.

f) O índice de robustez em relação à incerteza multiplicativa do controlador PI é mostrada

na figura abaixo:

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: Closed Loop r to y

I/O: r to y

Settling time (seconds): 4.03

System: Closed Loop r to y

I/O: r to y

Peak amplitude: 1.04

Overshoot (%): 4.39

At time (seconds): 5.28

Page 13: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

11

Figura 11 - Indice de robustez do Processo com o Controlador PI

Verificamos que a distância mínima foi de -1.8501 dB, e portanto ajustamos o ganho Kc de

0.4874 para 0.25 estando dentro do critério desejado conforme a figura abaixo:

Figura 12- Indice de Robustez do Processo com o controlador PI ajustado.

Distancia Mínima=2.6593 dB;

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

10-2

10-1

100

101

102

103

Incerteza Multiplicativa

Indice de Robustez

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

10-2

10-1

100

101

102

103

104

Incerteza Multiplicativa

Indice de Robustez

Page 14: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

12

Verificamos também a influência de uma perturbação no sistema:

Figura 13 - Diagrama de blocos do sistema com pertubação.

Figura 14 - Resposta do sistema a uma entrada degrau e a uma perturbação.

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

step

pertubação

sistema

Page 15: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

13

Conclusão Problema 1

Com relação aos modelos estudados, concluímos que o modelo de 3 parâmetros 3a foi

melhor em relação aos outros modelos, satisfazendo as condições de projeto, as quais são:

tempo de assentamento (pelo critério de 5%) mais rápido possível, ultrapassagem percentual

de menor ou igual a 5% . A constatação do mesmo foi verificada atráves do diagrama de Nyquist

e da resposta a uma entrada degrau obtida nas figura 6 e 5 respectivamente.

Com relação ao projeto dos controladores PI e PID, utilizamos o método de resposta em

frequência para o cálculo dos parâmetros. Procuramos satisfazer as condições de margem de

fase de 70o e o maior valor para a frequência de corte com o intuito de obtermos o menor tempo

de resposta possível e um overshoot menor ou igual a 5%. Sendo encontrada os valores descritos

em suas respectivas equações. Através das simulações desses controladores verificamos que ele

seguidor de referência, estável e satisfez as condições do projeto conforme as figuras 9 e 10.

Referindo-se à incerteza multiplicativa e ao índice de robustez, o primeiro controlador

não satisfez uma distância mínima requerida de 2 dB conforme a figura 11, sendo alterado o seu

ganho a fim de satisfazer tal condição, obtendo com êxito uma distância mínima de 2.66 dB de

acordo com a figura 12. Sobre a perturbação na entrada da planta verificou-se a robustez do

controlador projetado condizente com a figura 14.

Page 16: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

14

Problema 2

a) Para o novo modelo de planta:

𝐺(𝑠) =0,5

𝑠(𝜏𝑠 + 1)8

Obtemos o seguinte modelo de segunda ordem através do método de três

parâmetros:

𝐺(𝑠) =0.4943 ∗ 𝑒−2.88𝑠

4.929𝑠2 + 𝑠

Figura 15 - Resposta ao degrau da planta e do modelo.

0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

50

60

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

G(s)

Gmodelo(s)

Page 17: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

15

A incerteza multiplicativa é mostrada na figura abaixo:

Figura 16 - Incerteza Multiplicativa da planta.

De mesmo modo analisamos o diagrama de Nyquist:

10-1

100

101

102

103

104

10-5

100

105

1010

1015

1020

1025

1030

Incerteza Multiplicativa

Page 18: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

16

b) Pelo método de resposta e frequência, ajustamos o controlador PID, afim de

atendermos aos mesmos requisitos.Observando o diagrama de Bode para (Gn)

pois observamos que a mesma possui um caráter integrador, temos:

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

G(s)

Gmodelo(s)

Figura 17 - Diagrama de Nyquist da planta e do modelo.

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

10-2

10-1

100

101

-1800

-1440

-1080

-720

-360

0

System: Gn

Phase Margin (deg): -11.8

Delay Margin (sec): -0.723

At frequency (rad/s): 0.286

Closed loop stable? No

Phase (

deg)

-60

-40

-20

0

20

40 System: Gn

Gain Margin (dB): -2.36

At frequency (rad/s): 0.242

Closed loop stable? No

Magnitu

de (

dB

)

Figura 18 - Diagrama de bode para Gn.

Page 19: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

17

A fim de encontrar um controlador de menor tempo de resposta, foi considerada uma

frequencia menor para tal.

Como queríamos uma margem de fase de 70o, ajustamos a margem de fase atual para

aproximadamente 64o.

Consideramos um Controlador PID de zeros com multiplicidade dois.

Ajustamos o ganho do controlador para que ele não mudasse a frequencia de corte e contribuir

com a diferença que restava para obter a margem de fase pretendida.

Portanto,

𝐶(𝑠) = 1.36(𝑠 + 0.6)2

A resposta do sistema a uma entrada degrau do processo é representado na figura

abaixo:

Para 𝜏 = 1;

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: H

Peak amplitude: 1.05

Overshoot (%): 4.94

At time (seconds): 25.7

System: H

Settling time (seconds): 16.8

Figura 19 - Resposta do sistema ao degrau para tau=1.

Page 20: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

18

Para 𝜏 = 1.2;

Figura 20 - Resposta do sistema ao degrau com tau=1.02.

Para 𝜏 = 0.8;

Figura 21 - Resposta do sistema ao degrau com tau=0.8.

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: H

Settling time (seconds): 34

System: H

Peak amplitude: 1.08

Overshoot (%): 8.03

At time (seconds): 26.4

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: H

Settling time (seconds): 17

System: H

Peak amplitude: 1.02

Overshoot (%): 1.88

At time (seconds): 26.4

Page 21: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

19

Conclusão Problema 2

O modelo para processos integratórios mostrou-se bastante eficaz quando observados

a resposta ao degrau e o diagrama de Nyquist. Vale ressaltar que a planta nos deixa livre a

modelar matematicamente uma função de transferência utilizando seu integrador próprio no

PID, ou retirarmos o mesmo e trabalhar como uma função estável.

O PID obtido mostrou-se bastante eficaz para tau=1 e 0,8, conforme as figuras 19 e 21,

poder-se-ia reformular o PID pela análise das frequências de Bode para uma resposta menos

veloz e consequentemente atendendo o critério de U.P menor ou igual a 5%. Entretanto, a

planta mostrou-se estável e seguidor de referência, uma vez em que era completamente

instável originalmente.

Infelizmente não foi possível prosseguir ao longo dos itens da questão 2 devido a

dificuldades encontradas durante a simulação e incoerência nos resultados, sendo estes então

omitidos aqui.

Page 22: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

20

Referências Bibliográficas

[1] ÅSTRÖM, K. J., HÄGGLUND, T. PID Controller: Theory Design and Tuning, Editora Instruments Society of America, 2003.

[2] OGATA,KUTSUHIKO, Engenharia de Contrôle Moderno 5a Ed. 2011, Editora Pearson.

[3] GENE FRANKLIN, J. DAVID POWELL, ABBAS EAMAMI-NAEINI, Feedback Control of Dynamic Systems 6ed, Editora Pearson.

Page 23: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

21

Anexos

- Planta da Primeira Questão

clear all; close all; clc % DADOS % y = vetor de saida % u = vetor de entrada (step) % t = vetor de tempo

load('matlab.mat')

% PLANTA 1 QUESTAO

s=tf('s'); num=2; den=((s+1)^3)*((0.5*s+1)^2)*(0.2*s+1); G=num/den; %deno=[0.05 0.6 2.7 6 7.05 4.2 1]; step(G) hold on

% Modelo 3 Parametros

l=length(t); K=y(l); % Ganho estatico

L=1.626; Tab=2.8510;

G3a=exp(-L*s)*K/(Tab*s+1); % Modelo 3 parametros

step(G3a) hold on

Tac=4.5844 G3b=exp(-L*s)*K/(Tac*s+1); step(G3b)

- Método das Áreas

% DADOS

% y = vetor de saida % u = vetor de entrada (step) % t = vetor de tempo % l = tamanho do vetor tempo % K= ganho estatico

% METODO DAS AREAS

cont=1; while y(cont)<=0 cont=cont+1; end

Page 24: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

22

La=t(cont);

area=0; for i=cont:(l-1) area = area + (y(i)+y(i+1))*t(2)/2; end

A0=K*t(l)-area; Tarea=A0/K-La; % Tarea=Tarea; % GATO ?? G3area=exp(-La*s)*K/(Tarea*s+1); step(G3area) legend('G(s)','G3a(s)','G3b(s)','Garea(s)')

- Método dos Momentos

% METODO DOS MOMENTOS = DERIVADAS

syms x f1=(2/(((x+1)^3)*((0.5*x+1)^2)*(0.2*x+1))); f2=diff(2/(((x+1)^3)*((0.5*x+1)^2)*(0.2*x+1))); f3=diff(f2);

Tar=-subs(f2,x,0)/subs(f1,x,0);

Tm=sqrt(subs(f3,x,0)/subs(f1,x,0)-Tar^2) Lm=Tar-Tm

Gmomento=K*exp(-Lm*s)/(Tm*s+1)

step(Gmomento)

- Cálculo PI – Primeira Questão

clc; Wo=10; Mag=21.1 % dB Phi=-105; T=2.851;

C=10^(Mag/20); a=1/C; b=Wo*(Wo*T+1)/tan(Phi);

p=[(a^2-b^2) 2*Wo*a^2 +Wo*(a^2-b^2)];

Z=roots(p)

K1=a/(sqrt(Wo^2+Z(1)^2))

K2=a/(sqrt(Wo^2+Z(2)^2)) %%

w0=1.0599; Z=w0/10;

Page 25: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

23

K=(w0/2)*sqrt((1+(2.851*w0)^2)/(w0^2+Z^2))

%% Ferdinando hold on s=tf('s'); % G3a=2*exp(-1.626*s)/(s*(2.8510*s+1));

% K=0.13; % Z= 0.6859;

K=0.55; % Z= 1.5;

PIf=K*(s+Z); Gf1=PIf*G3a; Gf2=feedback(Gf1,1); step(Gf2)

- Incerteza Multiplicativa

clear all close all clc % Incerteza 3a

kp = 2;

tau = 2.8510;

N = 100; w = logspace(-4,2,N); jw = w*sqrt(-1);

Pmax = zeros(1,N); for k = 1:100 L = 1.626; dkp = 0.1*kp*(rand-0.5)*2; dtau = 0.1*tau*(rand-0.5)*2; P = (kp+dkp)*exp(-L*jw)./((tau+dtau)*jw+1); Pn = kp./(tau*jw+1); dP = abs((P-Pn)./Pn); Pmax = max(Pmax,dP);

end

loglog(w,Pmax);

hold on

C = 0.25.*(1+0.33*jw)./jw;

Page 26: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

24

Ir = abs((1+C.*Pn)./(C.*Pn));

loglog(w,Ir,'r')

dist = 20*log10(Ir) -20*log10(Pmax);

minimo = min(dist)

figure dist = 20*log10(Ir) -20*log10(Pmax); semilogx(w,dist)

%%

% Ajustando PI close all

xi = 0.7 ta = 5; wn = 3/(xi*ta); ti = kp/(wn^2*tau) kc = (2*xi*wn*tau-1)/kp;

C = kc+1./(ti*jw);

Ir = abs((1+C.*Pn)./(C.*Pn));

loglog(w,Ir,'r')

dist = 20*log10(Ir) -20*log10(Pmax);

minimo = min(dist)

figure dist = 20*log10(Ir) -20*log10(Pmax); semilogx(w,dist)

- Problema 2

% Segunda Questao % % DADOS: % % y= vetor de saida da planta % t= tempo da planta

clear all; clc; close all;

load('2da_questao') % Carrega dados da planta

% Planta

s=tf('s'); tau=0.8;

G=0.5/(s*(tau*s+1)^8);

Page 27: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

25

step(G) hold on

% step(G) grid % den=[1 8 28 56 70 56 28 8 1]

L=2.88; T=7.809-L; K=3.86/7.809;

Gn=K*exp(-L*s)/(s*(T*tau*s+1)) step(Gn)

- PID segunda questão clc clear all close all

s=tf('s'); Gm=0.4943*exp(-2.88*s)/(s*(4.929*s+1)); mphid=70; wd=0.1; wd2=0.3; Gmfreq=2*exp(-2.88*j*wd)/(j*wd*(4.929*j*wd+1));

angulo = -90 -atan(4.929*wd)*180/pi - wd*2.88*180/pi mod=abs(Gmfreq); k=1/mod;

mphi=180+angulo phi=mphid-mphi

z=wd/tan((phi*pi/180)/2)

z2=wd2/tan((phi*pi/180)/2) kc=k/sqrt(wd^2+z^2);

Gc = kc*(s+z)*(s+z2)/s

w=logspace(-2,2,1000); figure(1) nyquist(Gc*Gm*s,w)

figure(2) bode(Gm*Gc*s,{0.001 3})

numGc=kc*[1 z]; denGc=[1 0];

numG1=2; denG1=[0.05 0.6 2.7 6 7.05 4.2 1];

Page 28: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

26

- Incerteza Multiplicativa – Problema 2

% Incerteza

clear all close all clc

%INCERTEZA

% MODELO 3a

kp = 0.4943;

tau = 1.2;

N = 1000; w = logspace(-1,4,N); jw = w*sqrt(-1);

Pmax = zeros(1,N); for k = 1:100 L = 1.626; dkp = 0.1*kp*(rand-0.5)*2; dtau = 0.1*tau*(rand-0.5)*2; P = (kp+dkp)*exp(-L*jw)./((tau+dtau).*jw.^2+jw); Pn = 0.5./(jw.*(tau.*jw+1).^8); dP = abs((P-Pn)./Pn); Pmax = max(Pmax,dP); loglog(w,Pmax) hold on end

loglog(w,Pmax,'g','linewidth',2) hold on

title('Incerteza Multiplicativa')

%%

% Incerteza

clear all close all clc

%INCERTEZA

% MODELO 3a

kp = 0.4943;

tau = 1;

Page 29: Controle e Automacao Industrial

Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial

27

N = 1000; w = logspace(-1,4,N); jw = w*sqrt(-1);

Pmax = zeros(1,N); for k = 1:100 L = 1.626; dkp = 0.1*kp*(rand-0.5)*2; dtau = 0.1*tau*(rand-0.5)*2; P = (kp+dkp)*exp(-L*jw)./((tau+dtau).*jw.^2+jw); Pn = 0.5./(jw.*(tau.*jw+1).^8); dP = abs((P-Pn)./Pn); Pmax = max(Pmax,dP); loglog(w,Pmax) hold on end

loglog(w,Pmax,'g','linewidth',2) hold on

title('Incerteza Multiplicativa')