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i
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
DISCIPLINA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
AVALIAÇÃO PARCIAL 1
FRANCISCO EVANDO CORREIA FILHO – 0320764
FRANCISCO FERNANDES PRAXEDES NETO - 0345368
JEHOVAH TAVARES COELHO NETO – 032768
GUSTAFFSON PARENTES QUEIROZ VIEIRA – 0320763
PROFESSOR: DR. BISMARK CLAURE TORRICO
FORTALEZA
03 DE ABRIL DE 2014
ii
Sumário
Introdução ..................................................................................................................................... 1
I.1) Modelo de 3 parâmetros: ................................................................................................... 1
I.2) Método das áreas: .............................................................................................................. 3
I.3) Método dos momentos. ..................................................................................................... 3
Problema 1 .................................................................................................................................... 4
Conclusão Problema 1 ................................................................................................................. 13
Problema 2 .................................................................................................................................. 14
Conclusão Problema 2 ................................................................................................................. 19
Referências Bibliográficas ........................................................................................................... 20
Anexos ......................................................................................................................................... 21
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
1
Introdução
I.1) Modelo de 3 parâmetros:
O modelo de três parâmetros consiste em um dos modelos que apresenta uma boa aproximação
e, por isso, é o modelo de processo mais usado em artigos sobre controladores PID. O modelo é
dado por:
𝐺(𝑠) = 𝐾
1 + 𝑠𝑇𝑒−𝑠𝐿
Onde:
K = Ganho estático;
T = Constante de tempo (ou constante de tempo aparente);
L = Tempo morto (ou tempo morto aparente)
Tal modelo tem como resposta ao degrau:
𝑠(𝑡) = 𝐾(1 − 𝑒−(𝑡−𝐿) 𝑇⁄ )
Realizando-se as devidas manipulações matemáticas, obtém que o tempo de residência média
e o atraso de transporte normalizado são dados, respectivamente, por:
𝑇𝑎𝑟 =∫ (𝑠(∞) − 𝑠(𝑡))𝑑𝑡
∞
0
𝐾= 𝐿 + 𝑇
𝜏 =𝐿
𝐿 + 𝑇=
𝐿
𝑇𝑎𝑟
Os parâmetros para esse modelo podem ser obtidos graficamente:
Figura 1 - Determinação dos parâmetros para sistemas com uma resposta ao degrau monótona
Parâmetro K:
o Obtido a partir do nível no qual a resposta torna-se estacionária
Parâmetro L:
o Obtido a partir da interseção da tangente de maior inclinação com o eixo
horizontal
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
2
Parâmetro T:
Duas formas de obtenção:
1. Obtido a partir da distância AC, onde C é o ponto no qual a tangente de maior inclinação
intersecta a linha do nível no qual a resposta ao degrau torna-se estacionária. Essa forma
tende a gerar um valor muito grande de T. Assim, realizando-se as devidas substituições,
obtém-se o seguinte modelo:
𝐺3𝑎(𝑠) = 1
1 + 6.7𝑠𝑒−4.3𝑠
2. Obtido a partir da distância AB, onde B é o ponto no qual a resposta ao degrau atingiu
63% do valor final, ou seja, 0.63K. Essa forma normalmente gera melhores
aproximações. Assim, realizando-se as devidas substituições, obtém-se o seguinte
modelo:
𝐺3𝑏(𝑠) = 1
1 + 4.3𝑠𝑒−4.3𝑠
Além desse modelo, pode-se calcular a derivada da resposta ao degrau e aplicar um modelo
para sistemas integradores. Tais sistemas não atingem um nível estacionário quando a entrada
é um sinal de degrau. Entretanto, o sistema atinge um nível estacionário quando a entrada é
um sinal de impulso. Assim, utilizando-se essa metodologia, obtém-se um modelo mais
sofisticado que fornece uma melhor aproximação em frequências mais altas. Tal modelo tem
como função de transferência:
𝐺(𝑠) = 𝐾
𝑠(1 + 𝑠𝑇)𝑒−𝑠𝐿
O que acarreta na seguinte resposta ao degrau:
𝑠(𝑡) = 𝐾(𝑡 − 𝐿 − 𝑇(1 − 𝑒−(𝑡−𝐿) 𝑇⁄ ))
Os parâmetros também podem ser obtidos graficamente:
Figura 2 - Determinação dos parâmetros para um processo de integração
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
3
É importante ressaltar que esses modelos foram encontrados avaliando-se a resposta degrau
em pontos específicos. Assim, tais métodos de obtenção são relativamente sensíveis a ruídos. A
seguir, serão explicitados outros métodos de obtenção dos parâmetros do modelo. Tais
métodos são baseados no cálculo de uma área.
I.2) Método das áreas:
Nesse método, o ganho estático K e o tempo de residência média Tar são determinados a partir
do gráfico para o modelo de dois parâmetros:
Figura 3 – Gráfico para o modelo de dois parâmetros
Considerando-se a função de transferência G(s)= K/(1+sT) e^(-sL), calcula-se a área A1:
𝐴1 = ∫ 𝑠(𝑡)𝑑𝑡
𝑇𝑎𝑟
0
= ∫ 𝐾(1 − 𝑒−𝑡 𝑇⁄ )𝑑𝑡 = 𝐾𝑇𝑒−1
𝑇
0
Logo, tem-se que:
𝑇 =𝑒𝐴1
𝐾
𝐿 = 𝑇𝑎𝑟 − 𝑇 =𝐴0
𝐾−
𝑒𝐴1
𝐾
I.3) Método dos momentos.
Esse método tem como vantagem mostrar que os valores da função de transferência e da sua
derivada em s=0 podem ser determinados a partir de integrais da resposta ao impulso.
Considerando-se que h(t) seja a resposta ao impulso e G(s) a função de transferência, tem-se
que:
𝐺(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡ℎ(𝑡)𝑑𝑡
∞
0
Aplicando-se a derivada em relação à “s”, tem-se:
𝑑𝑛𝐺(𝑠)
𝑑𝑠𝑛= 𝐺(𝑛)(𝑠) = (−1)𝑛 ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑛ℎ(𝑡)𝑑𝑡
∞
0
→ 𝐺(𝑛)(0) = (−1)𝑛 ∫ 𝑡𝑛ℎ(𝑡)𝑑𝑡
∞
0
Para a solução das questões, a equipe utilizou-se do método dos momentos para a
determinação dos parâmetros do modelo.
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
4
Problema 1
O Problema foi solucionado com o processo mostrado abaixo na figura 4:
Figura 4 - Planta do Processo
Onde a planta G(s) é dada por:
𝐺(𝑠) = 2
(𝑠 + 1)3(0.5𝑠 + 1)2(0.2𝑠 + 1)
a) Aplicando os modelos estudados durante o curso, previamente explanados, obtemos as
seguintes aproximações para o modelo de três parâmetros, método das áreas e método
dos momentos, respectivamente:
𝐺3𝑎(𝑠) =2 ∗ 𝑒−1.626𝑠
2.8510𝑠 + 1
𝐺3𝑏(𝑠) =2 ∗ 𝑒−1.626𝑠
4.5844𝑠 + 1
𝐺𝑎𝑟𝑒𝑎(𝑠) =2 ∗ 𝑒−1.02𝑠
4.178𝑠 + 1
𝐺𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜(𝑠) =2 ∗ 𝑒−2.32𝑠
1.881𝑠 + 1
Portanto valemo-nos da resposta ao degrau, bem como o critério de Nyquist de
estabilidade para escolhermos a melhor aproximação.
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
5
A figura 5 abaixo mostra a resposta ao degrau das plantas aproximadas acima:
Figura 5- Resposta ao degrau das plantas aproximadas.
Percebemos a resposta do método dos momentos é bastante próxima da planta original
entretanto, apresenta o maior atraso de transporte o que acarreta em uma grande variação
entre 3 e 4 segundos. Desta forma existe duas aproximações coerentes com a planta, são elas:
G3a(s) e Gmomento, sendo aquela aproximada pelo o modelo de três parâmetros.
Observando o diagrama de Nyquist podemos concluir a nossa observação conforme a
figura abaixo:
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
G(s)
G3a(s)
G3b(s)
Garea(s)
Gmomento
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
6
Figura 6 - Diagrama de Nyquist para as aproximações nominais.
Concluímos então que o modelos G3a é o que apresenta maior margem de fase e
ganho e fase, conforme a tabela a seguir:
Tabela 1 - Margem de Fase e Margem de Ganho segundo o diagrama de Nyquist.
Margem de Ganho (dB) Margem de Fase (dB)
Goriginal(s) 2.96 31.6
G3a(s) 4.67 63.4
G3b(s) 8.11 84.8
Garea(s) 11 95.8
Gmomento(s) -0.102 -2.28
A incerteza multiplicativa pode-se então ser plotada:
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
G(s)
G3a(s)
G3b(s)
Garea(s)
Gmomento(s)
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
7
Figura 7 - Incerteza Multiplicativa das modelagens.
b) Após analisarem os gráficos mostrados acima, o modelo G3a mostrou-se o mais
adequado para o nosso estudo, apresentando uma Margem de Ganho de 4.67 dB e
Margem de Fase igual a 63.4 dB, além de expressar uma resposta ao degrau bem estável
e definida.
Portanto,
𝐺𝑛(𝑠) = 𝐺3𝑎(𝑠) =2 ∗ 𝑒−1.626𝑠
2.8510𝑠 + 1
c) Neste item ajustamos um controlador PI para obter um tempo de assentamento menor
que 5% e uma ultrapassagem percentual menor que 5%.
Seja U.P a ultrapassagem percentual, sabemos que:
𝑈. 𝑃(%) = 100. 𝑒−
𝜉𝜋
√1−𝜉2
Do critério, obtemos 𝜉 ≅ 0.7.
O tempo de assentamento para um erro de 5% é dado por:
10-1
100
101
102
103
104
100
G3a(s)
G3b(s)
Garea(s)
Gmomento(s)
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
8
𝑡𝑠 =3
𝜉𝜔𝑛
Onde 𝜔𝑛 é a frequência natural e 𝜉 é fator de amortecimento do modelo.
Assim ao analisarmos o diagrama de bode para 𝐺3𝑎(𝑠)
𝑠 obtemos:
Figura 8 - Diagrama de Bode para o G3a/s.
Obtemos uma Margem de fase de -51.1 dB e a Margem de ganho de -9.55.
Portanto teremos que projetar um controlador
𝐶(𝑠) = 𝐾𝑐(𝑠 + 𝑍)
Afim de obter uma margem de ganho de no mínimo 70 graus, que corresponde ao nosso
𝜉, sendo Kc é o ganho do PI e Z é o zero.
-50
0
50
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
-1440
-1080
-720
-360
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
9
Deste modo, solucionamos a equação da fase do diagrama de bode:
𝐿 ∗ 𝜔0 + 𝑡𝑔−1(𝑇. 𝜔0) = 𝛼
Sendo 𝜔0 é a nova frequência de corte do diagrama de Bode, 𝛼 é o ângulo de decalagem do
sistema e L é o atraso de transporte.
Vale ressaltar que 𝜔0 está em rad/s , sendo necessária a conversão dos ângulos em questão
para radianos.
Para 𝛼 = 31.5𝑜, encontramos 𝜔0=0.33 rad/s.
No nosso caso 𝜔0 corresponde também ao nosso zero, podendo portanto calcular o ganho Kc:
𝐾𝑐 =𝜔0
2∗ √
1 + (𝑇 ∗ 𝜔0)2
𝜔02 + 𝑧2
Encontrando 𝐾𝑐 = 0.4874.
Portanto:
𝑃𝐼 =0.4874(𝑠 + 0.33)
𝑠
A resposta ao degrau da malha fechada é mostrada na figura abaixo:
Figura 9 - Resposta ao degrau da Planta com o Controlador PI
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: H
Settling time (seconds): 5
System: H
Peak amplitude: 1.05
Overshoot (%): 5
At time (seconds): 6.85
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
10
Destacamos na figura o overshoot de exatamente 5% e o tempo de assentamento de
5%, sendo este uma boa resposta conforme desenvolvimento teórico.
d) De modo análogo procedemos para o PID, porém acrescentamos mais um zero no
controlador C(s), encontrando:
𝑃𝐼𝐷 = 0.181 ∗(1 + 0.21𝑠)(1 + 3.5𝑠)
𝑠
O que nos retorna uma resposta ao degrau em malha fechada conforme a figura abaixo:
Figura 10 - Resposta ao degrau em malha fechada da Planta com o controlador PID
e) Percebemos que o acréscimo do zero no PID aumenta o tempo de resposta do sistema,
como esperado, pois a ação derivativa irá atuar no transitório da resposta, desse modo,
tornamos o sistema mais rápido e diminuímos a ultrapassagem percentual deixando o
nosso sistema mais confiável.
f) O índice de robustez em relação à incerteza multiplicativa do controlador PI é mostrada
na figura abaixo:
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: Closed Loop r to y
I/O: r to y
Settling time (seconds): 4.03
System: Closed Loop r to y
I/O: r to y
Peak amplitude: 1.04
Overshoot (%): 4.39
At time (seconds): 5.28
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
11
Figura 11 - Indice de robustez do Processo com o Controlador PI
Verificamos que a distância mínima foi de -1.8501 dB, e portanto ajustamos o ganho Kc de
0.4874 para 0.25 estando dentro do critério desejado conforme a figura abaixo:
Figura 12- Indice de Robustez do Processo com o controlador PI ajustado.
Distancia Mínima=2.6593 dB;
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
10-2
10-1
100
101
102
103
Incerteza Multiplicativa
Indice de Robustez
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
10-2
10-1
100
101
102
103
104
Incerteza Multiplicativa
Indice de Robustez
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
12
Verificamos também a influência de uma perturbação no sistema:
Figura 13 - Diagrama de blocos do sistema com pertubação.
Figura 14 - Resposta do sistema a uma entrada degrau e a uma perturbação.
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
step
pertubação
sistema
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
13
Conclusão Problema 1
Com relação aos modelos estudados, concluímos que o modelo de 3 parâmetros 3a foi
melhor em relação aos outros modelos, satisfazendo as condições de projeto, as quais são:
tempo de assentamento (pelo critério de 5%) mais rápido possível, ultrapassagem percentual
de menor ou igual a 5% . A constatação do mesmo foi verificada atráves do diagrama de Nyquist
e da resposta a uma entrada degrau obtida nas figura 6 e 5 respectivamente.
Com relação ao projeto dos controladores PI e PID, utilizamos o método de resposta em
frequência para o cálculo dos parâmetros. Procuramos satisfazer as condições de margem de
fase de 70o e o maior valor para a frequência de corte com o intuito de obtermos o menor tempo
de resposta possível e um overshoot menor ou igual a 5%. Sendo encontrada os valores descritos
em suas respectivas equações. Através das simulações desses controladores verificamos que ele
seguidor de referência, estável e satisfez as condições do projeto conforme as figuras 9 e 10.
Referindo-se à incerteza multiplicativa e ao índice de robustez, o primeiro controlador
não satisfez uma distância mínima requerida de 2 dB conforme a figura 11, sendo alterado o seu
ganho a fim de satisfazer tal condição, obtendo com êxito uma distância mínima de 2.66 dB de
acordo com a figura 12. Sobre a perturbação na entrada da planta verificou-se a robustez do
controlador projetado condizente com a figura 14.
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
14
Problema 2
a) Para o novo modelo de planta:
𝐺(𝑠) =0,5
𝑠(𝜏𝑠 + 1)8
Obtemos o seguinte modelo de segunda ordem através do método de três
parâmetros:
𝐺(𝑠) =0.4943 ∗ 𝑒−2.88𝑠
4.929𝑠2 + 𝑠
Figura 15 - Resposta ao degrau da planta e do modelo.
0 20 40 60 80 100 1200
10
20
30
40
50
60
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
G(s)
Gmodelo(s)
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
15
A incerteza multiplicativa é mostrada na figura abaixo:
Figura 16 - Incerteza Multiplicativa da planta.
De mesmo modo analisamos o diagrama de Nyquist:
10-1
100
101
102
103
104
10-5
100
105
1010
1015
1020
1025
1030
Incerteza Multiplicativa
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
16
b) Pelo método de resposta e frequência, ajustamos o controlador PID, afim de
atendermos aos mesmos requisitos.Observando o diagrama de Bode para (Gn)
pois observamos que a mesma possui um caráter integrador, temos:
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Nyquist Diagram
Real Axis
Imagin
ary
Axis
G(s)
Gmodelo(s)
Figura 17 - Diagrama de Nyquist da planta e do modelo.
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
10-2
10-1
100
101
-1800
-1440
-1080
-720
-360
0
System: Gn
Phase Margin (deg): -11.8
Delay Margin (sec): -0.723
At frequency (rad/s): 0.286
Closed loop stable? No
Phase (
deg)
-60
-40
-20
0
20
40 System: Gn
Gain Margin (dB): -2.36
At frequency (rad/s): 0.242
Closed loop stable? No
Magnitu
de (
dB
)
Figura 18 - Diagrama de bode para Gn.
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
17
A fim de encontrar um controlador de menor tempo de resposta, foi considerada uma
frequencia menor para tal.
Como queríamos uma margem de fase de 70o, ajustamos a margem de fase atual para
aproximadamente 64o.
Consideramos um Controlador PID de zeros com multiplicidade dois.
Ajustamos o ganho do controlador para que ele não mudasse a frequencia de corte e contribuir
com a diferença que restava para obter a margem de fase pretendida.
Portanto,
𝐶(𝑠) = 1.36(𝑠 + 0.6)2
A resposta do sistema a uma entrada degrau do processo é representado na figura
abaixo:
Para 𝜏 = 1;
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: H
Peak amplitude: 1.05
Overshoot (%): 4.94
At time (seconds): 25.7
System: H
Settling time (seconds): 16.8
Figura 19 - Resposta do sistema ao degrau para tau=1.
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
18
Para 𝜏 = 1.2;
Figura 20 - Resposta do sistema ao degrau com tau=1.02.
Para 𝜏 = 0.8;
Figura 21 - Resposta do sistema ao degrau com tau=0.8.
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: H
Settling time (seconds): 34
System: H
Peak amplitude: 1.08
Overshoot (%): 8.03
At time (seconds): 26.4
Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
System: H
Settling time (seconds): 17
System: H
Peak amplitude: 1.02
Overshoot (%): 1.88
At time (seconds): 26.4
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
19
Conclusão Problema 2
O modelo para processos integratórios mostrou-se bastante eficaz quando observados
a resposta ao degrau e o diagrama de Nyquist. Vale ressaltar que a planta nos deixa livre a
modelar matematicamente uma função de transferência utilizando seu integrador próprio no
PID, ou retirarmos o mesmo e trabalhar como uma função estável.
O PID obtido mostrou-se bastante eficaz para tau=1 e 0,8, conforme as figuras 19 e 21,
poder-se-ia reformular o PID pela análise das frequências de Bode para uma resposta menos
veloz e consequentemente atendendo o critério de U.P menor ou igual a 5%. Entretanto, a
planta mostrou-se estável e seguidor de referência, uma vez em que era completamente
instável originalmente.
Infelizmente não foi possível prosseguir ao longo dos itens da questão 2 devido a
dificuldades encontradas durante a simulação e incoerência nos resultados, sendo estes então
omitidos aqui.
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
20
Referências Bibliográficas
[1] ÅSTRÖM, K. J., HÄGGLUND, T. PID Controller: Theory Design and Tuning, Editora Instruments Society of America, 2003.
[2] OGATA,KUTSUHIKO, Engenharia de Contrôle Moderno 5a Ed. 2011, Editora Pearson.
[3] GENE FRANKLIN, J. DAVID POWELL, ABBAS EAMAMI-NAEINI, Feedback Control of Dynamic Systems 6ed, Editora Pearson.
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
21
Anexos
- Planta da Primeira Questão
clear all; close all; clc % DADOS % y = vetor de saida % u = vetor de entrada (step) % t = vetor de tempo
load('matlab.mat')
% PLANTA 1 QUESTAO
s=tf('s'); num=2; den=((s+1)^3)*((0.5*s+1)^2)*(0.2*s+1); G=num/den; %deno=[0.05 0.6 2.7 6 7.05 4.2 1]; step(G) hold on
% Modelo 3 Parametros
l=length(t); K=y(l); % Ganho estatico
L=1.626; Tab=2.8510;
G3a=exp(-L*s)*K/(Tab*s+1); % Modelo 3 parametros
step(G3a) hold on
Tac=4.5844 G3b=exp(-L*s)*K/(Tac*s+1); step(G3b)
- Método das Áreas
% DADOS
% y = vetor de saida % u = vetor de entrada (step) % t = vetor de tempo % l = tamanho do vetor tempo % K= ganho estatico
% METODO DAS AREAS
cont=1; while y(cont)<=0 cont=cont+1; end
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
22
La=t(cont);
area=0; for i=cont:(l-1) area = area + (y(i)+y(i+1))*t(2)/2; end
A0=K*t(l)-area; Tarea=A0/K-La; % Tarea=Tarea; % GATO ?? G3area=exp(-La*s)*K/(Tarea*s+1); step(G3area) legend('G(s)','G3a(s)','G3b(s)','Garea(s)')
- Método dos Momentos
% METODO DOS MOMENTOS = DERIVADAS
syms x f1=(2/(((x+1)^3)*((0.5*x+1)^2)*(0.2*x+1))); f2=diff(2/(((x+1)^3)*((0.5*x+1)^2)*(0.2*x+1))); f3=diff(f2);
Tar=-subs(f2,x,0)/subs(f1,x,0);
Tm=sqrt(subs(f3,x,0)/subs(f1,x,0)-Tar^2) Lm=Tar-Tm
Gmomento=K*exp(-Lm*s)/(Tm*s+1)
step(Gmomento)
- Cálculo PI – Primeira Questão
clc; Wo=10; Mag=21.1 % dB Phi=-105; T=2.851;
C=10^(Mag/20); a=1/C; b=Wo*(Wo*T+1)/tan(Phi);
p=[(a^2-b^2) 2*Wo*a^2 +Wo*(a^2-b^2)];
Z=roots(p)
K1=a/(sqrt(Wo^2+Z(1)^2))
K2=a/(sqrt(Wo^2+Z(2)^2)) %%
w0=1.0599; Z=w0/10;
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
23
K=(w0/2)*sqrt((1+(2.851*w0)^2)/(w0^2+Z^2))
%% Ferdinando hold on s=tf('s'); % G3a=2*exp(-1.626*s)/(s*(2.8510*s+1));
% K=0.13; % Z= 0.6859;
K=0.55; % Z= 1.5;
PIf=K*(s+Z); Gf1=PIf*G3a; Gf2=feedback(Gf1,1); step(Gf2)
- Incerteza Multiplicativa
clear all close all clc % Incerteza 3a
kp = 2;
tau = 2.8510;
N = 100; w = logspace(-4,2,N); jw = w*sqrt(-1);
Pmax = zeros(1,N); for k = 1:100 L = 1.626; dkp = 0.1*kp*(rand-0.5)*2; dtau = 0.1*tau*(rand-0.5)*2; P = (kp+dkp)*exp(-L*jw)./((tau+dtau)*jw+1); Pn = kp./(tau*jw+1); dP = abs((P-Pn)./Pn); Pmax = max(Pmax,dP);
end
loglog(w,Pmax);
hold on
C = 0.25.*(1+0.33*jw)./jw;
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
24
Ir = abs((1+C.*Pn)./(C.*Pn));
loglog(w,Ir,'r')
dist = 20*log10(Ir) -20*log10(Pmax);
minimo = min(dist)
figure dist = 20*log10(Ir) -20*log10(Pmax); semilogx(w,dist)
%%
% Ajustando PI close all
xi = 0.7 ta = 5; wn = 3/(xi*ta); ti = kp/(wn^2*tau) kc = (2*xi*wn*tau-1)/kp;
C = kc+1./(ti*jw);
Ir = abs((1+C.*Pn)./(C.*Pn));
loglog(w,Ir,'r')
dist = 20*log10(Ir) -20*log10(Pmax);
minimo = min(dist)
figure dist = 20*log10(Ir) -20*log10(Pmax); semilogx(w,dist)
- Problema 2
% Segunda Questao % % DADOS: % % y= vetor de saida da planta % t= tempo da planta
clear all; clc; close all;
load('2da_questao') % Carrega dados da planta
% Planta
s=tf('s'); tau=0.8;
G=0.5/(s*(tau*s+1)^8);
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
25
step(G) hold on
% step(G) grid % den=[1 8 28 56 70 56 28 8 1]
L=2.88; T=7.809-L; K=3.86/7.809;
Gn=K*exp(-L*s)/(s*(T*tau*s+1)) step(Gn)
- PID segunda questão clc clear all close all
s=tf('s'); Gm=0.4943*exp(-2.88*s)/(s*(4.929*s+1)); mphid=70; wd=0.1; wd2=0.3; Gmfreq=2*exp(-2.88*j*wd)/(j*wd*(4.929*j*wd+1));
angulo = -90 -atan(4.929*wd)*180/pi - wd*2.88*180/pi mod=abs(Gmfreq); k=1/mod;
mphi=180+angulo phi=mphid-mphi
z=wd/tan((phi*pi/180)/2)
z2=wd2/tan((phi*pi/180)/2) kc=k/sqrt(wd^2+z^2);
Gc = kc*(s+z)*(s+z2)/s
w=logspace(-2,2,1000); figure(1) nyquist(Gc*Gm*s,w)
figure(2) bode(Gm*Gc*s,{0.001 3})
numGc=kc*[1 z]; denGc=[1 0];
numG1=2; denG1=[0.05 0.6 2.7 6 7.05 4.2 1];
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
26
- Incerteza Multiplicativa – Problema 2
% Incerteza
clear all close all clc
%INCERTEZA
% MODELO 3a
kp = 0.4943;
tau = 1.2;
N = 1000; w = logspace(-1,4,N); jw = w*sqrt(-1);
Pmax = zeros(1,N); for k = 1:100 L = 1.626; dkp = 0.1*kp*(rand-0.5)*2; dtau = 0.1*tau*(rand-0.5)*2; P = (kp+dkp)*exp(-L*jw)./((tau+dtau).*jw.^2+jw); Pn = 0.5./(jw.*(tau.*jw+1).^8); dP = abs((P-Pn)./Pn); Pmax = max(Pmax,dP); loglog(w,Pmax) hold on end
loglog(w,Pmax,'g','linewidth',2) hold on
title('Incerteza Multiplicativa')
%%
% Incerteza
clear all close all clc
%INCERTEZA
% MODELO 3a
kp = 0.4943;
tau = 1;
Avaliação Parcial 1 - Controle e Automação Industrial
27
N = 1000; w = logspace(-1,4,N); jw = w*sqrt(-1);
Pmax = zeros(1,N); for k = 1:100 L = 1.626; dkp = 0.1*kp*(rand-0.5)*2; dtau = 0.1*tau*(rand-0.5)*2; P = (kp+dkp)*exp(-L*jw)./((tau+dtau).*jw.^2+jw); Pn = 0.5./(jw.*(tau.*jw+1).^8); dP = abs((P-Pn)./Pn); Pmax = max(Pmax,dP); loglog(w,Pmax) hold on end
loglog(w,Pmax,'g','linewidth',2) hold on
title('Incerteza Multiplicativa')