Controllo ottimo delle superfici di commutazione nei sistemi ibridi

autonomi

Mauro Boccadoro*, Magnus Egerstedty e Yorai Wardiy

*DIEI - Università di Perugia

y ECE - Georgia Institute of Technology, Atlanta (GA) USA

Sommario

1. Controllo ottimo di sistemi ibridi2. Controllo tramite superfici di

commutazione parametrizzate3. Aspetti implementativi4. Applicazioni5. Conclusioni

Sistemi ibridi

Dinamica:

Siano ti , xi gli istanti e gli stati di commutazione

Controllo ottimo di sistemi ibridi

Caso fi=fi(x) s=s(i,t) controllo in ciclo aperto s=s(i,x) controllo in feedback

Dinamica:

Funzione costo:

Problema: trovare ingressi continui u(.), sequenza e istanti di commutazione che

minimizzino J

tramite la “progettazione”di superfici di commutazione parametrizzate, i.e.,

Superfici di commutazione ottime

Controllo ottimo di un sistema ibrido autonomo

Trovare i valori dei parametri ai che minimizzano J

• L(x) differenziabile

• modi fi Lipschitz in Rn

• gi differenziabili, con #h parametri

• Raggiungimento delle superfici di commutazione in maniera trasversale (implica “continuità” delle esecuzioni del sistema), i.e.,

detti ti e xi gli i-esimi istanti di commutazione e corrispettivi stati

dove

Ipotesi

Dinamica variazionaledei sistemi ibridi

La dinamica variazionale di sistemi “ordinari”è data da

dove sta per la matrice di transizione di stato del sistema linearizzato

Dinamica variazionaledei sistemi ibridi (2)

Per sistemi ibridi con commutazioni dipendenti dallo stato

con superfici parametrizzate,dove

Dinamica autonomaTermini forzanti

Approccio alla soluzione1) Calcolare il gradiente dJ/da, a={a1,a2,…}

Approccio alla soluzione (2)

2) Applicare algoritmi numerici a discesa del gradiente (soluzioni ottime locali)

Complessità del calcolo del gradiente:

Sono necessarie due integrazioni: una in avanti per i termini Rk e Lk

T, una all'indietro per p(tk+)

Si noti che le traiettorie devono continuare ad essere trasversali durante l’ottimizzazione: ciò implica

• continuità delle esecuzioni (quindi, continuità di J in a)

• applicabilità dei metodi a discesa del gradiente

1. Controllo ottimo di sistemi ibridi2. Controllo tramite superfici di

commutazione parametrizzate3. Aspetti implementativi4. Applicazioni5. Conclusioni

Continuità delle soluzioni

Discontinuità delle soluzioni

Discontinuità delle soluzioni

Algoritmo di ArmijoConsente di trovare il passo ottimale nella discesa del gradiente tramite un controllo della funzione obiettivo J

J continua J discontinua

Possibilità di estendere l’algoritmo per l’ottimizzazione di funzioni discontinue

Sommario

1. Controllo ottimo di sistemi ibridi2. Controllo tramite superfici di

commutazione parametrizzate3. Aspetti implementativi4. Applicazioni5. Conclusioni

Applicazione (1): Stabilizzazione

Applicazione (1): Stabilizzazione

Stabilizzazione tramite ottimizzazione delle superfici di

commutazione

• Intro: paradigma “reattivo” e “deliberativo” nella robotica mobile– Paradigma reattivo: il robot commuta tra

differenti comportamenti quando vengono percepiti variazioni ambientali

• progettazione modulare (modi di comportamento concepiti per compiti specifici)

– Paradigma deliberativo: possono essere elaborati cammini ottimali

• alta complessità computazionale

Applicazione (2): distanze di sicurezza per robot mobili

Dato un set di comportamenti, progettare le leggi di commutazione ottime

e.g., missione di raggiungere una destinazione evitando un ostacolo

Dati i comportamenti: vai-a-destinazione e fuggi-dall’ostacolo, identificare le superfici di commutazione ottime attorno all’ostacolo

Ottimalità per sistemi di navigazione reattivi

Nei lavori correlati: viene stabilita una distanza di sicurezza dall’ostacolo• Qual’è il suo ottimo?• La forma circolare di tale superficie di commutazione è

ottima?

dinamica

modi

costo

Due superfici di commutazione circolari centrate nell’ostacolo

xg

xo

x0

Ottimalità per sistemi di navigazione reattivi

Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente

Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente

Soluzione: algoritmo a discesa del gradiente

Risultati (1)

Le due superfici tendono a collassare, per diverse scelte dei parametri del sistema

Utilizzare una singola superficie di commutazione

• Ottimizzazione per una singola superficie di commutazione distanza di sicurezza

• Scelta di superfici non circolari, e.g. ellittiche risultano degli ottimi locali migliori degli ottimi globali per superfici circolari

Risultati (2)

Conclusioni

Controllo ottimo dei sistemi ibridi autonomi tramite superfici di commutazione parametrizzate– Stabilizzazione– Applicazione alla robotica mobile– Per lo studio delle politiche ottime di sistemi

manifatturieri ? (dinamiche ibride, superfici di commutazione correlate ai livelli delle scorte...)

Problemi aperti– Discontinuità delle traiettorie– Algoritmi di ottimizzazione per funzioni discontinue– Dipendenza dalle condizioni iniziali