Correlação e Regressão

Prof. Dr. Ricardo Primi

Adaptado de Gregory J. Meyer, University of Toledo, USA; Apresentação na

Universidade e São Francisco, São Paulo, Brasil31 Julho, 2007

Correlação e Regressão

•Mensura a relação entre variáveisCorrelação = co-relação = co-variância = r

•Geralmente examina variáveis bidimensionais •Mas diferenças de média entre grupos também podem ser

expressas por meio da co-relação• e.g., VI = Diagnóstico: Transtorno Psicótico (codificado como 1) vs. outros

transtornos (codificados como 0)VD = X-% como um índice de Acurácia Perceptual• t-test comparando MPsychotic vs. MOther de X-% pode ser expressa como a

r do Diagnóstico com X-% • i.e., rDiagnostico -X-%

• r e t terão o mesmo valor de p ou de significância estatística

Correlação e Regressão

• Em geral as medidas estão associadas por relações lineares• Mas existem técnicas para correlações e regressões não lineares

•Correlação ≠ Causalidade• r’s assumem valores entre -1.0 e +1.0• O sinal mostra a direção das relações• Os valores absolutos mostram a magnitude da relação• 0.0 = ausência de relação• -1.0 or +1.0 = relação perfeita

•Visualizando as magnitudes das correlações• "ForcedDegreeofCorrelation.sps"

var 1

2 3 4 5

0.38 0.12

1 2 3 4 5

0.30

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0.272

34

5

●

var 2

0.05 0.26 0.26

● ●

var 3

0.04

12

34

5

0.26

12

34

5

● ● ●

var 4

0.02

2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

● ●

1 2 3 4 5

● ●

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

var 5

Correlation plot

T2_44O1T2_40O1T2_30O1T2_25O1T2_20O1T2_15O1T2_10O1T2_05O1T2_41O0T2_35O0T2_34N1T2_24N1T2_09N1T2_39N0T2_29N0T2_19N0T2_14N0T2_04N0T2_36E1T2_26E1T2_16E1T2_11E1T2_01E1T2_31E0T2_21E0T2_06E0T2_38C1T2_33C1T2_28C1T2_13C1T2_03C1T2_43C0T2_23C0T2_18C0T2_08C0T2_42A1T2_32A1T2_22A1T2_17A1T2_07A1T2_37A0T2_27A0T2_12A0T2_02A0

T2_02A0

T2_07A1

T2_12A0

T2_17A1

T2_22A1

T2_27A0

T2_32A1

T2_37A0

T2_42A1

T2_03C

1T2_08C

0T2_13C

1T2_18C

0T2_23C

0T2_28C

1T2_33C

1T2_38C

1T2_43C

0T2_01E1

T2_06E0

T2_11E1

T2_16E1

T2_21E0

T2_26E1

T2_31E0

T2_36E1

T2_04N

0T2_09N

1T2_14N

0T2_19N

0T2_24N

1T2_29N

0T2_34N

1T2_39N

0T2_05O

1T2_10O

1T2_15O

1T2_20O

1T2_25O

1T2_30O

1T2_35O

0T2_40O

1T2_41O

0T2_44O

1 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

var 1

1 2 3 4 5

0.30

23

45

0.321

23

45

●

var 2

0.43

2 3 4 5

● ●

1 2 3 4 5

12

34

5

var 3

Correlation plot

T5_24Em1

T5_23Em1

T5_22Em1

T5_21Em1

T5_20Em1

T5_19Em1

T5_18Em1

T5_17Em1

T5_16Sc1

T5_15Sc1

T5_14Sc1

T5_13Sc1

T5_12Sc1

T5_11Sc1

T5_10Sc1

T5_09Sc1

T5_08Ac1

T5_07Ac1

T5_06Ac1

T5_05Ac1

T5_04Ac1

T5_03Ac1

T5_02Ac1

T5_01Ac1

T5_01Ac1

T5_02Ac1

T5_03Ac1

T5_04Ac1

T5_05Ac1

T5_06Ac1

T5_07Ac1

T5_08Ac1

T5_09Sc1

T5_10Sc1

T5_11Sc1

T5_12Sc1

T5_13Sc1

T5_14Sc1

T5_15Sc1

T5_16Sc1

T5_17Em1

T5_18Em1

T5_19Em1

T5_20Em1

T5_21Em1

T5_22Em1

T5_23Em1

T5_24Em1 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Correlation plot

SE

Grit

SlfSoc

SlfEmo

SlfAcd

Locus

ProSoc

PeerProb

HypAc

EmoSym

CndProb

Open2

Neuro2

Extra2

Consc2

Agree2

Open1

Neuro1

Extra1

Consc1

Agree1

Agree1

Consc1

Extra1

Neuro1

Open1

Agree2

Consc2

Extra2

Neuro2

Open2

CndProb

EmoSym

HypAc

PeerProb

ProSoc

Locus

SlfAcd

SlfEmo

SlfSoc Grit SE

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

GF_GC

800700600500400300200

RMG

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

EPN_EG

16014513011510085705540

RG

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Correlação e regressão

• Uma distinção simples: • Empregamos a análise correlacional quando queremos investigar a existência

de relações entre variáveis e a análise de regressão quando queremos prever uma variável a partir de outra ou de uma soma de outras

Correlations

1 ,575** ,581** ,474** ,367** ,410**,000 ,000 ,000 ,000 ,000

289 289 288 287 289 289,575** 1 ,473** ,475** ,269** ,323**,000 ,000 ,000 ,000 ,000289 289 288 287 289 289,581** ,473** 1 ,507** ,376** ,427**,000 ,000 ,000 ,000 ,000288 288 288 286 288 288,474** ,475** ,507** 1 ,094 ,120*,000 ,000 ,000 ,113 ,042287 287 286 287 287 287,367** ,269** ,376** ,094 1 ,936**,000 ,000 ,000 ,113 ,000289 289 288 287 289 289,410** ,323** ,427** ,120* ,936** 1,000 ,000 ,000 ,042 ,000289 289 288 287 289 289

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

RA_measure

RV_measure

RN_measure

RP_measure

Idade

Escolaridade

RA_measure RV_measure RN_measure RP_measure Idade Escolaridade

Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).**.

Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).*.

Correlations

1 ,145 ,214** ,045,076 ,008 ,621

157 151 152 124,145 1 ,799** ,315**,076 ,000 ,000151 151 151 122,214** ,799** 1 ,325**,008 ,000 ,000152 151 152 123,045 ,315** ,325** 1,621 ,000 ,000124 122 123 124

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

N

c_br

epn_eg

epn_re

av_des

c_br epn_eg epn_re av_des

Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).**.

1. ComunicaçãoPossui competências efetivas de se comunicar oralmente e na escrita. Sabe escutar os clientes e colegas de trabalho. Apresenta uma imagem confiável, de boa reputação, profissional ao comunicar-se. Raramente esta pessoa teve alguma dificuldade em razão de problemas de comunicação.2. Conhecimento do TrabalhoComparado a outros com experiência similar, têm um conhecimento perfeito do trabalho. Procura ativamente por informações em manuais, cursos, treinamentos, vídeos, etc... para permanecer atualizado. É aberto às perguntas de outros colegas de trabalho e superiores a respeito de procedimentos do seu trabalho3. Organização e PlanejamentoMantém seu espaço de trabalho e seus produtos organizados. Raramente perde trabalhos ou os inutiliza por causa de falta de organização e planejamento. Geralmente cumpre os prazos estipulados. É capaz de aceitar e usar ferramentas organizacionais para melhorar a performance (por exemplo, agenda de planejamento diário, etc...)4. Segurança no trabalhoMantém a área de trabalho segura. Segue procedimentos de segurança. Contribui para manter a segurança de outras pessoas. Não faz erros descuidados e/ou perigosos.5. Controle EmocionalMantém respostas emocionais sob o controle. Não mostra irritação com os supervisores, clientes, ou colegas de trabalho. Evita queixar-se desnecessariamente. É otimista para cima, alto astral.6. Trabalho em EquipeTrabalha bem com seus colegas mas pode também trabalhar independentemente. Compreende os outros e dá respostas apropriadas. Em situações de conflito tem uma influência tranqüilizadora ao invés de alimentadora do conflito. Tem o mesmo respeito para pessoas de tipos diversos.7. Atendimento ao Cliente(Os clientes podem ser os existentes na organização ou externos). Trata os clientes com respeito. Faz os clientes se sentirem especiais. Toma medidas extras para atender a pequenos pedidos dos clientes que não precisariam ser feitos mas que adicionam valor ao atendimento. Age a favor da satisfação do cliente e da lealdade ao cliente. Coloca a satisfação do cliente acima de suas necessidades (às vezes sai mais tarde para terminar o trabalho).8. FidelidadeAssume e da conta dos compromissos. É quase sempre pontual ou adiantado. Dispõe-se a trabalhar longas horas sem reclamar quando necessário. Nunca “enrola”, rouba materiais,, tempo e recursos do empregador.9. Avaliação GeralDe modo amplo quão bom funcionário é esta pessoa?10. RecontrataçãoSe esta pessoa deixasse sua organização, qual a probabilidade de você contratá-la novamente caso fosse possível?

6 = excelente (melhor do que 90% de pessoas com experiência semelhante) 5 = muito bom (melhor do que 70% de pessoas com experiência semelhante) 4 = bom (superior metade das pessoas com experiência semelhante)3 = satisfatório (não superior à metade, mas aceitável se comparado às pessoas com experiência semelhante) 2 = requer melhoria (um trabalhador que você não contrataria)1 = inaceitável (entre os piores trabalhadores)Não posso avaliar: use isto somente se você não tem bastante informação para fornecer uma avaliação exata.

Exercício 1

• Instalar o JASP: https://jasp-stats.org• Explore o arquivo ex1_ie_bpr_16pf_avdes.sav• Use visualização• Entenda as estatísticas descritivas

personality measurement. Instead of beingdeveloped to measure preconceived dimen-sions of interest to a particular author, theinstrument was developed from the uniqueperspective of a scientific quest to try to discover the basic structural elements of personality.

Raymond Cattell’s personality researchwas based on his strong background in thephysical sciences; born in 1905, he witnessedthe first-hand awe-inspiring results of sci-ence, from electricity and telephones to auto-mobiles, airplanes, and medicine. He wantedto apply these scientific methods to theuncharted domain of human personality withthe goal of discovering the basic elements ofpersonality (much as the basic elements of thephysical world were discovered and organ-ized into the periodic table). He believed thathuman characteristics such as creativity,authoritarianism, altruism, or leadership skillscould be predicted from these fundamentalpersonality traits (much as water was aweighted combination of the elements of

hydrogen and oxygen). For psychology toadvance as a science, he felt it also neededbasic measurement techniques for personality.Thus, through factor analysis – the powerfulnew tool for identifying underlying dimen-sions behind complex phenomena – Cattellbelieved the basic dimensions of personalitycould be discovered and then measured.

Over several decades, Cattell and his col-leagues carried out a program of comprehen-sive, international research seeking athorough, research-based map of normal per-sonality. They systematically measured thewidest possible range of personality dimen-sions, believing that ‘all aspects of human personality which are or have been of impor-tance, interest, or utility have already becomerecorded in the substance of language’(Cattell, R.B., 1943: 483). They studied thesetraits in diverse populations, using three differ-ent methodologies (Cattell, R.B., 1973):observation of natural, in-situ life behavior orL-data (e.g. academic grades, number of trafficaccidents, or social contacts); questionnaire

136 THE SAGE HANDBOOK OF PERSONALITY THEORY AND ASSESSMENT

Table 7.1 16PF Scale Names and DescriptorsDescriptors of Low Range Primary Scales Descriptors of High RangeReserved, Impersonal, Distant Warmth (A) Warm-hearted, Caring, Attentive To OthersConcrete, Lower Mental Capacity Reasoning (B) Abstract, Bright, Fast-LearnerReactive, Affected By Feelings Emotional Stability (C) Emotionally Stable, Adaptive, MatureDeferential, Cooperative, Avoids Conflict Dominance (E) Dominant, Forceful, AssertiveSerious, Restrained, Careful Liveliness (F) Enthusiastic, Animated, SpontaneousExpedient, Nonconforming Rule-Consciousness (G) Rule-Conscious, DutifulShy, Timid, Threat-Sensitive Social Boldness (H) Socially Bold, Venturesome, Thick-SkinnedTough, Objective, Unsentimental Sensitivity (I) Sensitive, Aesthetic, Tender-MindedTrusting, Unsuspecting, Accepting Vigilance (L) Vigilant, Suspicious, Skeptical, WaryPractical, Grounded, Down-To-Earth Abstractedness (M) Abstracted, Imaginative, Idea-OrientedForthright, Genuine, Artless Privateness (N) Private, Discreet, Non-DisclosingSelf-Assured, Unworried, Complacent Apprehension (O) Apprehensive, Self-Doubting, WorriedTraditional, Attached To Familiar Openness to Change (Q1) Open To Change, ExperimentingGroup-Orientated, Affiliative Self-Reliance (Q2) Self-Reliant, Solitary, IndividualisticTolerates Disorder, Unexacting, Flexible Perfectionism (Q3) Perfectionistic, Organized, Self-DisciplinedRelaxed, Placid, Patient Tension (Q4) Tense, High Energy, Driven

Global ScalesIntroverted, Socially Inhibited Extraversion Extraverted, Socially ParticipatingLow Anxiety, Unperturbable Anxiety Neuroticism High Anxiety, PerturbableReceptive, Open-Minded, Intuitive Tough-Mindedness Tough-Minded, Resolute, UnempathicAccommodating, Agreeable, Selfless Independence Independent, Persuasive, WillfulUnrestrained, Follows Urges Self-Control Self-Controlled, Inhibits UrgesAdapted with permission from S.R. Conn and M.L. Rieke (1994). 16PF Fifth Edition Technical Manual. Champaign, IL: Institutefor Personality and Ability Testing, Inc.

9781412946520-Ch07 5/7/08 7:03 PM Page 136

Table 7.2 16PF global factors and the primary trait` make-up

Global Factors

Primary Factors

Extraversion/Introversion High Anxiety/Low Anxiety

(A) Warm-Reserved(F) Lively-Serious(H) Bold-Shy(N) Private-Forthright(Q2) Self-Reliant–Group-oriented

(C) Emotionally Stable–Reactive

(L) Vigilant–Trusting(O) Apprehensive–Self-assured(Q4) Tense–Relaxed

(A) Warm–Reserved(I) Sensitive–Unsentimental(M) Abstracted–Practical(Q1) Open-to-Change/

Traditional

(E) Dominant–Deferential(H) Bold–Shy(L) Vigilant–Trusting(Q1) Open-to Change/

Traditional

(F) Lively–Serious(G) Rule-conscious/Expedient(M) Abstracted–Practical(Q3) Perfectionistic–Tolerates

disorder

Tough-Mindedness/Receptivity Independence/Accommodation Self-Control/Lack of Restraint

9781412946520-Ch07 5/7/08 7:03 PM Page 138

Comparison of the 16PF globalscales with other five-factor models

For over 50 years, the 16PF has included thebroad, second-order dimensions currentlycalled ‘the Big Five’ (Cattell, R.B., 1946; Krug and Johns, 1986). In fact, Cattell locatedthree of these five factors in his earliest stud-ies of temperament (1933) – which Digman(1996) called ‘the first glimpse of the BigFive’. Four of the five current traits werealready described in Cattell’s 1957 book. Allfive traits have been clearly identified andscorable from the questionnaire since therelease of the fourth edition around 1970.Although Cattell continued to believe thatthere were more than five factors, so havemany other prominent psychologists (Block,1995; Fiske, 1994; Hogan et al., 1996;Jackson et al., 2000; Lee et al., 2005;Ostendorf, 1990; Saucier 2001).

The 16PF scales and items also played animportant role in the development of the otherBig Five factor models (e.g. Costa andMcCrae, 1976, 1985; Norman, 1963;McKenzie et al., 1997; Tupes and Christal,1961). For example, the first NEO manual(Costa and McCrae, 1985: 26) describes thedevelopment of the questionnaire as beginningwith cluster analyses of 16PF scales, whichthese researchers had been using for over 20 years in their own research. However, thisorigin, or even acknowledgement of the exis-tence of the five 16PF global factors, does notappear in any current accounts of the develop-ment of the Big Five (Costa and McCrae,1992a; Digman, 1990; Goldberg, 1990).

Furthermore, when the 16PF correlationmatrix, which was used in the original devel-opment of the Big Five, is re-analyzed using more modern, rigorous factor-analytic

methods, Costa and McCrae’s results do notreplicate (McKenzie, 1998). Instead, appro-priate factoring (see R.B. Cattell, 1978;Gorsuch, 1983) of the original matrix pro-duces the five 16PF global factors, ratherthan the three orthogonal NEO factors thatCosta and McCrae chose to use.

A range of studies comparing the five 16PFglobal factors and the set of NEO Big Five fac-tors show a striking resemblance between thetwo (Carnivez and Allen, 2005; H.E.P. Cattell,1996; Conn and Rieke, 1994; Gerbing andTuley, 1991; Schneewind and Graf, 1998).These studies show strong correlational andfactor-analytic alignment between the twomodels: Between the two extraversion factors,between anxiety and neuroticism, betweenself-control and conscientiousness, betweentough-mindedness/receptivity and openness-to-experience, and between independence anddis-agreeableness. In fact, the average correla-tion between the 16PF global factors and theirrespective NEO five factors are just as high asthose between the NEO five factors and theBig Five markers which the NEO was devel-oped to measure (H.E.P. Cattell, 1996;Goldberg, 1992). The alignments among theBig Five models are summarized in Table 7.4.

However, there are important differencesbetween the two models. Although propo-nents of the other five-factor models have donemuch in the last decade to try to bring abouta consensus in psychology about the exis-tence of five global factors, their particularset of traits have been found to be problem-atic. In the development process, the NEO Big Five factors were forced to be statisti-cally uncorrelated or orthogonal for reasonsof theoretical and statistical simplicity.However, few have found this as a satisfactoryapproach for defining the basic dimensions

THE SIXTEEN PERSONALITY FACTOR QUESTIONNAIRE (16PF) 141

Table 7.4 Alignments among the three main five-factor models16PF (Cattell) NEO-PI-R (Costa and McCrae) Big Five (Goldberg)Extraversion/Introversion Extraversion SurgencyLow Anxiety/High Anxiety Neuroticism Emotional stabilityTough-Mindedness/Receptivity Openness Intellect or cultureIndependence/Accommodation Agreeableness AgreeablenessSelf-Control/Lack of Restraint Conscientiousness Conscientiousness or dependability

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Modeloshttp://r4ds.had.co.nz/program-intro.html

Visualização de padrões -> modelos

Modelagem • http://r4ds.had.co.nz/model-basics.html#introduction-15• “Patterns provide one of the most useful tools for data scientists

because they reveal covariation. If you think of variation as a phenomenon that creates uncertainty, covariation is a phenomenonthat reduces it. If two variables covary, you can use the values of onevariable to make better predictions about the values of the second. Ifthe covariation is due to a causal relationship (a special case), thenyou can use the value of one variable to control the value of thesecond... Models are a tool for extracting patterns out of data. ” (p. 106)

http://rpsychologist.com/d3/NHST/

http://rpsychologist.com/d3/CI/

http://rpsychologist.com/d3/cohend/

Correlação e Regressãohttp://rpsychologist.com/d3/correlation/

Fórmula da correlação

�

r =

xi − x ( )sx

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

yi − y ( )sy

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ i=1

N

∑N −1( )

�

r =zxi zyi

i=1

N

∑N −1

Produto-momento!

• A média do produto de dois momentos indicando co-relação

• Produto : multiplicação de duas variáveis (X, Y)

• Momento: função aplicada a média de desvios

• Momentos centrais: : 1o = Média, 2º = Variancia, 3º = Assimetria, 4o = Kurtose

• Os escores z são momentos

• Desvios da média em unidades de desvio padrão

• Co-relação: ocorrência simultânea together• z para X pareado copm z para Y

• Então a correlação Produto-Momento de Pearson (r) é a magnitude média em que pares de escores (X, Y) se correlacionam por desviarem simultaneamente de suas respectivas médias

( )X Xzs-

=

X Yz zr

N=å

Coeficiente de Correlação de Pearson - Produto Momento

n Nota A

Nota B

1 2 3

2 2 2

3 4 5

: : :

9 9 7

10 10 7

11 9 6

12 9 8

Reta de regressão

Equação preditora:Ŷ= b0 + b1XX = valor do preditorY = valor do critérioŶ= valor preditob1= inclinação da linhab0= constante

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Equação da reta

Reta de regressão

•Melhor previsão de Y em relação aos valores de X• Equação de previsão:

Ŷ= b0+ b1XNa qual:X = valor do preditor (variável preditora ou VI)Ŷ= valor previsto de Y (variável resposta ou VD ou critério)

i.e., valor de Y na linha, dado Xb1 = inclinação (slope) da linha, Mudança em Ŷ para uma mudança de 1-unidade de mudança em Xb1 = rXY(SY/SX) b0 = constante (intercept)

Ŷ quando X = 0.0 b0= MY – b1MX

Reta de regressão: Exemplo

•SSResid = ∑(Y – Ŷ)2

• Sum of squared distances of each person's Y score from the line of prediction

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Reta de regressão exemplo

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Ŷ= b0+ b1X = 1.6 + (.60)(X)

b1 = .60; mudança no escore bruto de Ŷ para 1a unidade de mudança em X

b0 = 1.6; constante; valor de Ŷquando X = 0

Soma de Quadrados da Regressão

• SSResidual = ∑(Y – Ŷ)2

• Soma das distâncias ao quadrado de cada escore Y das pessoas em relação a reta de previsão

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Soma de Quadrados da Regressão

• SSTotal = ∑(Y–MY)2

• Soma das distâncias ao quadrado de cada escore Y das pessoas em relação à média geral de Y• i.e., numerador da variância

de Y; total de variância na VD

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Soma de Quadrados da Regressão

• SSModelo= ∑(Ŷ–MY)2

• Soma das distâncias ao quadrado de cada escore predito Y (i.e., a linha) da média de Y• Indica a variação na VD

que pode ser explicada pelo modelo• Os pontos observados de

dados não são considerados; somente a comparação do modelo de Y tem relação à média de Y X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Soma de Quadrados da Regressão

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

SSTotal = ∑(Y –MY)2

SSModel = ∑(Ŷ –MY)2 SSResidual = ∑(Y – Ŷ)2

http://setosa.io/ev/ordinary-least-squares-regression/

r Produto Momento: Exemplo

ID X Y 1 5 7 2 1 3 3 4 4 4 3 1 5 7 5 M 4.00 4.00 s 2.00 2.00

Sum

X

876543210

Y

8

7

6

5

4

3

2

1

0

• Insira X andY no SPSS e calcule o r• rXY = .60

Reta de regressão

•Gere a equação de regressão do exemplo no SPSS•A equação de previsão minimiza os erros, definidos como

SSResidual = ∑(Y – Ŷ)2

• Em que :• Y = valores observados (i.e., os valores do gráfico de

dispersão)• Ŷ= valores preditos na reta de regressão

• Portanto, SSResidual indica a extensão em que a linha não consegue prever os dados observados• SSResid na regressão é análogo ao SSWG na ANOVA• i.e., variabilidade nas células que não pode ser explicada pelo modelo.

Reta de regressão : Exemplo

Equação de previsão: Ŷ= b0 + b1Xb1 = rXY(SY/SX)

= .60(2.236/2.236) = .60(Porque SY = SX, r = b1; isso é raro

acontecer)

b0= MY – b1MX

= 4 – .60(4) = 4 – 2.4 = 1.6

Ŷ= 1.6 + (.60)(X)

Calcule Ŷ para cada Xe.g., for X = 5

Ŷ = 1.6 + (.60)(5) = 4.6

ID X Y Ŷ 1 5 7 2 1 3 3 4 4 4 3 1 5 7 5 M 4.0 4.0 S 2.236 2.236

•Como na ANOVA, a análise de regressão particiona a variância da variável dependente em componentes mutuamente exclusivos e exaustivos:• 1. Aquilo que é explicado pelo modelo• i.e., pela VI ou VIs

• 2. Aquilo que não pode ser explicado pelo modelo• i.e., variância residual

•SSTotal = SSModelo + SSResidual• Como definido, SSResidual = ∑(Y – Ŷ)2

• Soma das distâncias ao quadrado de cada escore Y das pessoas em relação a reta de regressão (linha de predição)

Saídas do SPSS (Output) Dados do Modelo: 2as Tabelas

• Tabelas da ANOVA• SSModelo é chamado SSRegression

• Variação (i.e., SS) é dividida pelo gl (df) correspondente para calcular-se a a variância (i.e., MS)

• MS = SS / df• F é calculado por MSModelo/MSResidual

• i.e., A variância explicada pelo modelo é maior do que a variância não explicada?• Avaliar a significância usando dfNumerador e dfDenominador

Saídas do SPSS (Output) Dados do Modelo: 2as Tabelas

• ModeloTabela Sumária(Summary table)• R2 =proporção da variânciatotal explicada pelo modelo de regressão

• R2 = SSModel / SSTotal

• No exemplo: R2 = 7.2 / 20.0 = .36• R = √R2 = rYŶ

• No exemplo:R = √.36 = .60• R = rYŶ = .60

Saídas do SPSS (Output) Dados do Modelo: 2as Tabelas•Tabela sumária (cont.)• R2 ajustado = Estimativa do parâmetro populacional , ρ (rho)

• Em que p = # de preditores• No exemplo a: Adj. R2 = 1-[(1-.36)(5-1)/(5-1-1)] • = 1-[(.64*4)/3] = .14667

• Erro padrão da Estimativa (SEE)• Indica o grau de incerteza na previsão• SEE = √MSResidual

• No exemplo: SEE = √4.26667 = 2.06559

Coeficientes de regressão: b, B, &β• Indicam a mudança em Ŷ para cada 1a-unidade de mudança em X• b = coeficiente de regressão não padronizado

• Mudança expressa em unidades do escore bruto• Mudança no escore bruto Ŷ para uma unidade de mudança no escore bruto de X

• B = SPSS notação para b• β (Beta) = coeficiente de regressão padronizado.

• Mudança expressa em unidades de desvio padrão (SD)• Número de mudanças em SD em Ŷ para uma mudança de 1 SD em X

Coeficientes de regressão: b, B, &β

• b pode ser muito maior que β (& vice versa)• Isso dependerá da unidade de medida

• b = β quando:• SX = SY• e.g., quando X e Y são escores z

• Interpretação• b é empregado quando as unidades tenham um sentido inerente• e.g., renda, altura, peso• β é empregado quando as métricas são arbitrárias• e.g., maioria das escalas psicológicas

•Note: b para (constante) é o termo constante (intercept, b0)

Pressupostos

• Correlação: como uma estatística descritiva não há assunções prévias• Regressão: requer 2 assunções• Ambas relacionadas às distribuições condicionais

Distribuições Marginais e Condicionais

•Distribuições marginais: • Distribuição de Y desconsiderando X• i.e., Variância de Y transpassando todos os níveis de X: S2

Y

•Distribuição condicional: • Distribuição de Y condicionada em X• i.e, Variância de Y em um dado valor de X: S2

Y·X

• Considere as diferenças usando a sintaxe do SPSS• "Marginal andConditionalDistributions.sps"

Duas assunções na regressão

•Normalidade:• Y é normalmente distribuído para cada valor de X• Procure por assimetria < 2.0 e curtose < 7.0

•Homocedasticidade: • S2 de Y é constante quando calculado separadamente para cada valor

específico de X; i.e., cada distribuição condicional• Análogo à assunção de variâncias iguais dentro dos grupos no t-test ou

ANOVA • Justifica o uso de um único MSResidualpara:• Calcular a significância estatística• Determinar o erro padrão da estimativa (SEE)

• SEE é simplesmente o SD das distribuições condicionais• SEE = SY·X

22

ˆ( )(1 )

2use 2 because estimated and from data

Y X Y

Y YS S R

NN a b

×

-= = -

--

å

Distribuição marginal de Y_50

Marginal Distribution of Y_50

4.003.50

3.002.50

2.001.50

1.00.500.00

-.50-1.00

-1.50-2.00

-2.50-3.00

-3.50-4.00

1100

1000

900

800

700

600

500

400

300

200

100

0

Std. Dev = .99

Mean = .01

N = 10000.00

Distribuiçãocondicional de Y_50

Exercício 2

• Abra o arquivo ex1_ie_bpr_16pf_avdes.sav • Escolha duas variáveis e faça a regressão simples