MICHELE MOLISSO

RECIPIENTI MULTISTRATO

Tali recipienti hanno pareti multiple calettate le une sulle altre, sono cioè cilindri calettati

uno sull’altro con una determinata interferenza. In teoria il numero di pareti potrebbe

essere molto elevato, ma non si superano mai 4 strati, sapendo in base all’esperienza che

non è conveniente per le difficoltà tecnologiche.

Tali serbatoi, posti in esercizio, lavorano solo in campo elastico.

L’operazione di calettamento può essere realizzata a freddo, se il cilindro interno dopo

essere stato preparato con uno smusso di avvio viene forzato sulla pressa ad entrare nel

cilindro esterno, oppure a caldo, se il cilindro esterno viene riscaldato prima di eseguire

l’accoppiamento.

Lo scopo del dimensionamento è quello di minimizzare e rendere più uniforme la tensione

nello spessore di ciascuno strato.

Si definisce interferenza la differenza fra il raggio esterno del cilindro interno e il raggio

interno del cilindro esterno:

i = ( ) ( 1)n e n iR R +−

R(n

)i R(n

)e

R(n

+1)e

R(n

+1)i

La verifica consiste nel valutare se quel valore dell’interferenza che si ricava dai calcoli è

adeguato a generare quello stato tensionale residuo che, una volta messo il recipiente in

esercizio, determina uno stato tensionale ottimale in ciascuno strato del recipiente.

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Dopo aver effettuato il calettamento, i 2 cilindri calettati l’uno sull’altro avranno un unico

raggio in corrispondenza del quale avviene il contatto, detto raggio di calettamento Rk.

Pertanto sia il cilindro interno che quello esterno subiscono una deformazione

circonferenziale durante l’operazione di calettamento. Tale deformazione, tangente alla

circonferenza, fa nascere una σt che è più grande delle tensioni σr che agiscono

radialmente, dovute all’azione della pressione di contatto fra i 2 cilindri.

Il cilindro esterno preme quello interno, determinando uno stato di compressione nel

cilindro interno, mentre quest’ultimo esercita su quello esterno un’azione di trazione, dato

che tende ad allargarlo.

Tali cilindri sono senza fondi, perciò la tensione assiale è nulla.

Per l’equazione di Navier esprimiamo così le deformazioni tangenziali per lo strato

(n)-esimo ed (n+1)-esimo:

εt,(n+1)i = 1E

( σt,(n+1)i – νσr,(n+1)i ) , εt,(n)e = 1E

( σt,(n)e – νσr,(n)e ) .

Le tensioni tangenziali che si hanno quando il recipiente è posto in esercizio, calcolate

all’intradosso dello strato (n+1)-esimo e all’estradosso dello strato (n)-esimo, hanno la

seguente espressione:

2 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)t,(n+1)i 2 2 2 2 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( ) 1n i n i n e n e n i n e n i n eeserc

n e n i n e n i n i

P R P R P P R RR R R R R

σ + + + + + + + +

+ + + +

− −= +

− − + =

2/ 2/( ) ( 1)

2/

(1 ) 21

m mn e n e

m

P k P kk

++ −

−,

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t,(n)e 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1n i n i n e n e n i n e n i n eeserc

n e n i n e n i n e

P R P R P P R RR R R R R

σ− −

= +− −

= 2 /

( ) ( )2 /

2 (11

mn i n e

m

P P kk− + )

−,

( 1) ( )n i n eP P+ = , k = e

i

RR

= raggio esterno dell'intero recipienteraggio interno dell'intero recipiente

( 1)n iP + rappresenta il valore della pressione di contatto che si ha, all’intradosso dello strato

(n+1)-esimo, quando il recipiente viene posto in esercizio,

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( 1)n eP + rappresenta il valore della pressione di contatto che si ha, all’estradosso dello strato

(n+1)-esimo, quando il recipiente viene posto in esercizio,

( )n eP rappresenta il valore della pressione di contatto che si ha, all’estradosso dello strato

(n)-esimo, quando il recipiente viene posto in esercizio.

La tensione radiale sulla superficie di contatto fra il generico strato (n)-esimo ed il

successivo (n+1)-esimo è uguale in modulo ed opposta in segno alla pressione che si

esercita fra le pareti dei due strati a contatto. Si ha cioè rispettivamente, in presenza ed in

assenza della pressione interna di esercizio Pi ,

r,(n)e esercσ = – P(n)e , . (cal)

r,(n)e (n)ePcalσ =−

Le tensioni, tangenziali e radiali, residue da calettamento le indichiamo con la seguente

simbologia: tcalσ , r

ca lσ . Il termine tensione residua da calettamento sta ad indicare la

presenza di uno stato tensionale che permane nel recipiente dopo aver effettuato

l’operazione di calettamento, senza che al recipiente venga applicata una pressione interna

di esercizio.

Le tensioni, tangenziali e radiali, che si destano nel recipiente, considerato

monoparete e supponendo che il materiale si comporti in modo perfettamente elastico,

applicando la pressione di esercizio assegnata, hanno la seguente espressione:

2 2

2 2 2( ) 1mono i i et

e i

PR RrR R r

σ⎛ ⎞

= +⎜− ⎝ ⎠⎟ ,

2 2

2 2 2( ) 1mono i i er

e i

PR RrR R r

σ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠.

In un punto generico, avendo indicato con: e le tensioni tangenziali e radiali

indotte da P

monotσ mono

rσ

i nel recipiente a parete unica, caltσ e

calrσ le tensioni indotte dai calettamenti,

e le tensioni di optimum nel recipiente multistrato in esercizio, deve aversi eserctσ eserc

rσ

eserc mono calt teserc mono calr r

t

r

σ σ σσ σ σ⎧ = +⎨

= +⎩ .

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Poiché i calettamenti non inducono tensioni assiali, non è utile, ovviamente, l’analoga

relazione scritta per queste tensioni.

Inoltre sappiamo che:

εt,(n)e =( ) ( ) ( )

( )

2 ( ) 2n e n e n e

n e

R R RR

π π+ Δ −= ( )

( )

n e

n e

RRΔ

, con ( )n eRΔ = ( )k n eR R− ;

εt,(n+1)i =( 1) ( 1) ( 1)

( 1)

2 ( ) 2n i n i n i

n i

R R RR

π π+ + +

+

+ Δ −= ( 1)

( 1)

n i

n i

RR

+

+

Δ , con ( 1)n iR +Δ = . ( 1)k nR R +− i

Dalla relazione:

i = ( ) ( 1)n e n iR R +Δ + Δ ,

dividendo ambo i membri per Rk , otteniamo:

t,(n)e t,(n+1)ik

i = ε + εR .

Tale relazione lega l’interferenza alle tensioni residue derivanti dall’operazione di

calettamento, pertanto dopo aver fatto il dimensionamento, bisogna determinare le tensioni

residue da calettamento.

Per avere una migliore distribuzione di tensioni si ricerca la condizione di minimo per la

tensione di confronto σc , che è una tensione equivalente dovuta alla teoria di Von Mises.

Il problema può essere affrontato anche applicando la teoria della massima tensione

normale. Quest’ultimo procedimento non presenta maggiori difficoltà del precedente se

non per la sua maggiore laboriosità e impone condizioni meno restrittive di quelle della

teoria di Von Mises. La tensione di confronto secondo quest’ultima teoria è in ciascun

punto la tensione tangenziale.

La condizione di optimun dovuta a Von Mises, relativa ad un dato valore della pressione

interna Pi e ad un dato rapporto k si determina imponendo che, in presenza della Pi , la σc al

raggio interno assuma lo stesso valore per tutti gli strati e che tale valore sia il minimo

possibile.

Tale condizione si realizza quando i rapporti ki fra i raggi delle superficie che delimitano

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gli strati successivi soddisfano la condizione

K1 = K2 = K3 = … = Km = K1/m ,

con m = numero di strati, e quando le pressioni di accoppiamento all’interno ed

all’esterno di ciascuno strato, in presenza della pressione d’esercizio Pi e con pressione

esterna nulla, differiscono fra loro della quantità

iPPm

Δ = .

In queste condizioni il valore assunto dalla tensione di confronto al raggio interno in

ciascuno strato è 2/

,max 2/3 1

mi

c m

PKK m

σ =− .

Le interferenze da assumere negli accoppiamenti fra i vari strati si determinano con la

condizione che lo stato di coazione indotto nel recipiente dalle pressioni di accoppiamento

sia tale che, sommato allo stato tensionale che la pressione produrrebbe in un recipiente

dello stesso spessore a parete unica, dia luogo alla distribuzione di tensioni corrispondente

all’optimum. Quanto appena scritto viene illustrato nel grafico sottostante:

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Adesso affrontiamo nei dettagli il problema del dimensionamento.

Facciamo riferimento alle seguenti curve di progetto, nelle quali si riporta lo spessore

relativo s/Ri = (Re – Ri) / Ri = K – 1 in funzione del rapporto Pi / σc,max :

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Da tale diagramma si nota che aumentando il numero degli strati si può elevare

indefinitamente il massimo valore della pressione sopportabile dal recipiente.

Per un assegnato valore della pressione di esercizio Pi, fissato il materiale e quindi la

tensione ammissibile σam , uguagliando σc,max alla σam , intersechiamo la verticale passante

per Pi / σam con la curva corrispondente al valore di m stabilito per quel tipo di problema in

base all’esperienza acquisita nel settore.

L’ordinata corrispondente al punto di intersezione rappresenta il valore del rapporto s/Ri ,

dal quale risaliamo a K = 1+ s/Ri .

Noto K è nota la geometria dell’intero recipiente, dato che sappiamo calcolare tutti i raggi

di ciascuno strato.

La soluzione progettuale che si ottiene dipende dalla scelta del numero di strati m, che va

fissato in base all’esperienza, tenendo conto dei problemi di natura tecnologica. Di solito si

opta per m pari a 3, al max 4. Se si superasse il valore m = 4 si andrebbe incontro a

difficoltà tecnologiche nell’effettuare il calettamento simultaneo di tutti gli strati, per

realizzare le condizioni previste dalla teoria; infatti, le interferenze che si richiedono per

realizzare le condizioni di optimum vengono calcolate tenendo conto dell’azione

simultanea di tutte le pressioni di accoppiamento. Il calettamento simultaneo è pensabile

solo quando il numero degli strati è piccolo e le interferenze sono esigue. Inoltre, se è

necessario calettare alla pressa, insorgono inevitabilmente sforzi assiali originati dall’attrito

fra le superfici di accoppiamento, che alterano il regime tensionale dell’insieme.

Come si può vedere dal diagramma, il vantaggio che si consegue aumentando il numero

degli strati è sempre più esiguo al crescere di tale numero, pertanto realizzare i recipienti

multistrato risulta vantaggioso, ottenendo condizioni non molto discoste da quelle teoriche,

con un numero di strati non superiore a 4.

Il risultato, in termini di interferenze e di tensioni residue da calettamento, dipende dalla

scelta del numero di strati.

Applicando il criterio della massima tensione normale, la tensione equivalente di confronto

è la σt , pertanto poniamo σam = σt,max e ripetiamo, per determinare K, un procedimento

analogo a quello descritto in precedenza per la teoria di Von Mises, facendo riferimento a

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uno dei seguenti diagrammi:

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Fatto il dimensionamento si passa al calcolo dei valori dell’interferenza relativi allo stato

tensionale residuo prodotto dall’operazione di calettamento.

Per determinare le tensioni residue da calettamento occorre conoscere il valore delle

pressioni alle interfacce quando è applicata la pressione di esercizio. Tali valori si

calcolano immediatamente, dato che il salto di pressione alle interfacce di ciascuno strato

si è assunto costante e pari a Pi/m. Dalla conoscenza di tali pressioni possiamo determinare

le tensioni, radiali e tangenziali, relative al caso di comportamento perfettamente elastico

da monoblocco e al caso di funzionamento in esercizio, poi facciamo la differenza tra

quelle di esercizio e quelle da monoblocco, ottenendo così le tensioni residue, tangenziali e

radiali, da calettamento, cioè cal eserc monot t tcal eserc monor r r

σ σ σσ σ σ⎧ = −⎨

= −⎩ .

Calcolate le tensioni residue da calettamento, si possono determinare le deformazioni

tangenziali che si hanno in corrispondenza delle interfacce delle superficie di separazione

di ciascun cilindro accoppiato, e da queste si determina poi l’interferenza applicando le

seguenti formule, già scritte in precedenza:

εt,(n+1)i = 1E

( σt,(n+1)i – νσr,(n+1)i ) , εt,(n)e = 1E

( σt,(n)e – νσr,(n)e ) ;

t,(n)e t,(n+1)ik

i = ε + εR .

A questo punto bisogna verificare che i valori dell’interferenza ottenuti siano sopportabili

dal recipiente, perché potrebbero essere troppo grandi da rompere il recipiente, oppure si

potrebbero generare delle deformazioni plastiche degli strati che annullano le interferenze,

per cui il campo di tensioni residue risulterebbe diverso da quello che, quando il recipiente

è posto in esercizio, realizza la condizione di optimum. Inoltre un’interferenza grande porta

a lavorazioni costose. Valori piccoli dell’interferenza possono indurre uno stato tensionale

residuo che può dar luogo, quando il recipiente è posto in esercizio, ad uno stato tensionale

non ottimale.

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Per diminuire l’interferenza bisogna aumentare il numero di strati e viceversa.

Occorre tener presente che un valore grande di m fornisce valori piccoli di ∆P = Pi/m ,

quindi piccoli valori di interferenza su cilindri di notevoli dimensioni. In tal caso,

sbagliando di poco sul valore dell’interferenza, si otterrebbe uno stato tensionale residuo da

calettamento che, una volta applicata la pressione di esercizio, non garantisce il

funzionamento ottimale, cioè non realizza la condizione di optimum.

Scegliendo m piccolo si hanno elevati ∆P quindi elevati valori dell’interferenza che si

traducono in enormi difficoltà nel realizzare fisicamente l’accoppiamento fra i cilindri;

infatti per realizzare interferenze elevate e precise abbiamo bisogno di lavorazioni spinte e

costose.

Il giusto valore di m è quello che da un lato ci garantisce un valore dell’interferenza

compatibile con il buon funzionamento del recipiente e dall’altro non ci crea problemi per

le operazioni di calettamento.

Bisogna tener presente che le formule sopra riportate non ci forniscono la soluzione

definitiva: essa dipende da come organizziamo il recipiente e dalla precisione della

lavorazione desiderata; è importante avere esperienza nel settore per operare senza

commettere errori.

La soluzione progettuale ottenuta fa riferimento ad un determinato valore della pressione di

esercizio; se cambia tale valore, tutto il dimensionamento non va bene ed occorre rifarlo.

Dunque, i recipienti multistrato sono costruiti per un unico valore della pressione di

esercizio.

I vantaggi di tali recipienti sono:

• possibilità di impiegare diversi materiali per i vari strati; ad esempio, dovendo

costruire un serbatoio che deve contenere un fluido in pressione corrosivo, possiamo

fare il cilindro interno di acciaio inox e gli altri con un acciaio normale, meno

costoso. In tal caso, per il dimensionamento è richiesto l’utilizzo di una σam pari alla

media pesata delle σam dei materiali costituenti i vari strati.

• Possono sopportare pressioni molto elevate.

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Gli svantaggi sono:

• elevato costo delle lavorazioni richieste per realizzare interferenze elevate precise.

• Siccome durante l’operazione di calettamento, la superficie del cilindro esterno si

allarga, essa va ripresa per tornitura e ciò potrebbe non garantire il giusto valore di

interferenza, soprattutto quando il numero degli strati supera 4.

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