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cours 1
RÈGLE DE L’HOSPITAL
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Révision du calcul
différentiel
✓ Dérivée logarithmique
✓ Règle de l’Hospital
La dérivée en un point est le taux de variation instantanée.
Formules de dérivation
Dérivée de fonction simple
Exemple:
Certaine formule sont sous-entendu comme:
constantes
Dérivée logarithmique.
En principe on sait dérivée n’importe quoi.
Ou presque!
Ce n’est pas une fonction de la forme
ni de la forme
La dérivation logarithmique est un astuce permettant de dérivée des fonctions de la forme
De plus, ce type de fonction n’apparait presque jamais dans la modélisation de problème concret.
Les exemples et exercices qui suivent servent en grande partie à développer une aisance avec les
manipulations algébriques.
À l’instar des fonctions exponentielles, on peut difficilement déterminer le domaine d’une tel fonction si
Exemple:
Exemple:
Faites les exercices suivants
Calculer la dérivée des fonctions suivantes
1)
2)
3)
Limites et règle de l’Hospital
Forme Limite Forme Limite
Donc f(x) tire l’expression vers 0 tandis que g(x) tire vers
Exemple:
Malheureusement les outils à notre disposition pour lever les indéterminations sont essentiellement:
- Mise en évidence- Division polynomiale- Le conjugué- Mettre sur le même dénominateur
Les formes indéterminées
D’une certaine façon, lever une indétermination revient à déterminer laquelle des deux expression va le plus
vite vers sa limite
On peut donc s’attendre, dans une indétermination, à ce qu’il y ait un lien entre la limite d’un rapport de fonction et la limite du rapport de leurs dérivée.
Théorème:
Preuve:
Soient , deux fonctions continue sur telle que
1)
3)
pour
2) sont continue en et
Alors
Théorème:
Preuve:
Soient , deux fonctions continue sur telle que
1)
3)
pour
2) sont continue en et
Alors
Exemple:
Exemple:
Exemple:
NON!
La règle de l’Hospital est valide si on est dans une indétermination
Exemple:
Remarque:
Exemple:
Faites les exercices suivants
Évaluer les limites suivantes
1)
2)
3)
La règle de l’Hospital reste valide pour les indéterminations de la forme
La démonstration est similaire mais légèrement plus technique.
Exemple:
Exemple:
Il arrive très souvent qu’on puisse, à l’aide de manipulation algébrique, mettre une indétermination
sous la forme
ou
afin de pouvoir utiliser la règle de l’Hospital.
Exemple:
Un autre astuce pour ramener une forme indéterminée à une forme
ou
est de d’évaluer le log de la limite.
Exemple:
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Révision des règles de
dérivation
✓ Dérivée logarithmique
✓ Règle de l’Hospital
Devoir: Section 1.1
