Cours complet de calcul différentiel

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  • 8/7/2019 Cours complet de calcul diffrentiel

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    CALCUL DIFFERENTIEL

    ET

    EQUATIONS DIFFERENTIELLES

    LICENCE DE MATHEMATIQUES ANNEES 2000-2004

    Georges COMTE

    Laboratoire J. A. Dieudonne,UMR CNRS 6621,Universite de Nice-Sophia Antip olis,28, avenue de Valrose,06108 Nice Cedex 2,e-mail : comte@unice.fr

    bureau : 821

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    I - CALCUL DIFFERENTIEL

    Introduction 1

    Chapitre 0- Rappels dalgebre multilineaire 4

    0.1- Continuite et algebre multilineaire 4

    0.2- Graphe dune application 6

    Chapitre 1- Applications differentiables 8

    1.1- Insuffisance de la derivee suivant un vecteur 8

    1.2- Differentielle en un point et sur un ouvert 101.3- Derivees partielles 11

    1.4- Differentielles dordres superieurs 12

    1.5- Exemples dapplications differentiables 13

    Exercices du Chapitre 1 14

    Corrige des exercices du Chapitre 1 15

    Chapitre 2- Calculs sur les differentielles 21

    2.1- Theoreme des applications composees 21

    2.2- Structure despace vectoriel 22

    2.3- Applications a valeurs dans un produit, matrice jacobienne 23

    2.4- Theoreme de la moyenne 24

    2.5- Theoremes Ck 28Exercices du Chapitre 2 33

    Corrige des exercices du Chapitre 2 35

    Chapitre 3- Isomorphismes topologiques et diffeomorphismes 45

    3.1- Isomorphismes topologiques despaces vectoriels normes 45

    3.2- Etude de Isom(E; E) au voisinage de IdE 463.3- Etude de Isom(E; F) 473.4- Diffeomorphismes 48

    3.5- Classe de differentiabilite dun diffeomorphisme 48

    Exercices du Chapitre 3 49

    Corrige des exercices du Chapitre 3 49

    Chapitre 4- Theoremes limites. Points critiques et extrema 52

    4.1- Rappels sur la convergence uniforme 52

    4.2- Suites de fonctions differentiables 53

    4.3- Formules de Taylor 57

    4.3.1- Formule de Taylor-Young 57

    4.3.2- Formule de Taylor avec reste integral 58

    4.4- Points critiques et extrema 60

    Exercices du Chapitre 4 64

    Corrige des exercices du Chapitre 4 65

    Chapitre 5- Fonctions implicites. Inversion locale 73

    5.1- Differentielles partielles 73

    5.2- Famille de contractions dependant uniformement dun parametre 74

    5.3- Le theoreme de la fonction implicite 76

    5.4- La geometrie du theoreme de la fonction implicite 79

    5.5- Theoreme dinversion locale et dinversion globale 85

    5.6- La dimension finie: des preuves sans theoreme du point fixe 88

    Exercices du Chapitre 5 89

    Corriges des exercices du Chapitre 5 90

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    II - EQUATIONS DIFFERENTIELLES

    Chapitre 6- Equations differentielles ordinaires 96

    6.1- Definitions generales. Reduction au cas resolu du premier ordre 96

    6.2- Solutions maximales 98

    6.3- Interpretation geometrique. Champs de vecteurs 99

    6.4- Le probleme de Cauchy 100

    6.5- Theoreme de Cauchy-Lipschitz : existence et unicite locale pour le probleme de Cauchy

    1006.6- Theoreme de Cauchy-Arzela : existence locale pour le probleme de Cauchy 103

    6.7- Solutions maximales et feuilletage de U 1036.8- Retour sur lequation () 104

    Exercices du Chapitre 6 105

    Corrige des exercices du Chapitre 6 105

    References 108

    III - SUJETS ET CORRIGES DEXAMENS

    Tests corriges 109

    Probleme : Geometrie du graphe dune application differentiable 110Enonces annee 2000-2001 111

    Enonces annee 2001-2002 115

    Enonces annee 2002-2003 119

    Enonces annee 2003-2004 127

    Corriges annee 2000-2001 134

    Corriges annee 2001-2002 140

    Corriges annee 2002-2003 145Corriges annee 2003-2004 153

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    I- Calcul Differentiel

    Introduction

    Nous commencons par des rappels sur la notion de derivee, et tout dabord dans le cas le plus simple desfonctions a variables et valeurs reelles (le cas des fonctions a variables et valeurs complexes est plus specifiquement

    traite dans le cours de variable complexe.)

    Definition (fonction reelle derivable). Soit I un intervalle ouvert de R et f : I R une fonction reelle.On dit que f est derivable en a I ssi le rapport f(x) f(a)

    x a , admet une limite lorsque x tend vers a dansI\ {a}. Cette limite, comme toute limite de fonction si elle existe est alors unique; on la note f(a). Il sagitdun nombre reel. On dit que f(a) est la derivee de f en a. Si f est derivable en tout point a de I, on en

    deduit une fonction I a f(a) R, appelee la fonction derivee de f.

    Remarquons que dire que f est derivable en a equivaut a dire quil existe un reel f(a) (qui savere etre

    unique en tant que limite), tel que la fonction I

    \ {a

    } x

    1

    (x a)[f(x)

    f(a)

    f(a)(x

    a)]

    R tende vers

    0 lorsque x tend vers a. Ceci revient encore a dire quil existe un reel f(a) (qui savere etre unique) et une

    fonction a : I R qui tend vers 0 lorsque x tend vers a tels que :

    pour tout x I : f(x) f(a) f(a)(x a) = (x a)a(x) ().Dans cette introduction, on se concentre sur laspect geometrique de la definition de la derivabilite: le

    graphe de lapplication I x f(a) + f(a)(x a) est la partie de la droite de R2 (au-dessus des abscissesx I) de pente f(a) et passant par (a, f(a)). Ce que nous apprend legalite () sur la geometrie du graphe de f au voisinage de (a, f(a)) est que la distance x representee sur la figure ci-dessous est de lordre de|(x a)a(x)|, et donc tend vers 0 plus vite que |x a| (). Autrement dit le graphe vient secraser sur ladroite au point (a, f(a)).

    f(x)

    f(a)+f(a)(xa)

    f(a)

    x =|(xa) a(x)|

    a x

    |xa|

    () Soient u1 et u2 deux fonctions definies sur un intervalle I, a I et supposons que u2 ne sannule passur I\ {a} et que lim

    x0u1(x) = lim

    x0u2(x) = 0. On dit alors que u1 tend vers 0 plus vite que u2 lorsque x

    tennd vers a ssi le rapport u1/u2 tend vers 0 en a.

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    2 Introduction

    Considerons maintenant le cas un peu plus general des fonctions a variables dans le corps K = R (ou C) eta valeurs dans un espace vectoriel norme quelconque (F, ) (et de dimension quelconque) sur le corps K(= Rou C). Soit un ouvert de K (ie par exemple un intervalle ouvert si K = R, ou un disque ouvert si K = C) eta . La definition ci-dessus de la derivee dune application reelle est transposable a la lettre dans ce nouveaucontexte, puisque lon dispose bien de la notion de limite dans lespace norme F.

    Definition. On dit que lapplication f : F est derivable en a ssi la fonction \ {a} a 1x a (f(x) f(a)) F admet une limite en a dans F (necessairement unique et notee

    f(a)), ou de facon

    equivalente ssi il existe un vecteur f(a) F et une application pa : F de limite nulle en a, tels que :x ; f(x) f(a) = (x a). f(a) + |x a|.pa(x). ()

    Notons que la phrase () generalise la phrase (), et que si () est verifiee, le membre de droite de legalitetend vers 0F lorsque x tend vers a dans K. On en deduit que f(x) tend vers f(a) dans F lorsque x tend vers a

    dans K. Autrement dit, si f est derivable en a, f est continue en a.Linterpretation geometrique de () ressemble a celle de (). Dans lespace vectoriel K F, norme (par

    exemple) par KF = max{| |K, F}, la courbe qui represente le graphe de f vient secraser sur la droitepassant par (a, f(a)) et dirigee par (1K, f(a)) (cf la figure ci-dessous ou F = R

    2).

    {0}xF{x}xF

    (a,f(a))

    x

    (a,0 )F (x,0 )F

    Kx{0 }F

    |xa|

    Remarque. Dans cette definition, la norme de F intervient (la notion de limite depend a priori de lanorme choisie sur F), la notion de derivabilite et de derivee en un point depend donc a priori de la norme que

    lon se donne sur F. Mais on verra (Theoreme 0.5) que lorsque F est de dimension finie, la derivabilite et la

    derivee de f en un point sont independantes de la norme choisie.

    La definition de la derivabilite (

    ) na plus de sens des que f est definie sur E, un espace

    vectoriel qui nest pas le corps des scalaires, puisque dans ce cas le produit (x a). f(a) na plus de sens !Le but de ce cours est de donner une notion pertinente de derivee, pour les applications a variables dans un

    espace vectoriel norme Ede dimension > 1. Pour cela, on remarquera que lapplication L : K x x. f(a) Fest lineaire, sur ce modele on remplacera donc dans le cas general la definition () par : il existe une applicationlineaire La : E F, une application pa : F qui tend vers 0F lorsque sa variable tend vers 0E , telles que :

    x , f(x) f(a) = La(x a) + x aE .pa(x a).Cependant, lorsque la dimension de E est infinie, il se peut quune telle application lineaire La ne soit pas

    continue en 0E , et donc que cette notion de derivabilite nimplique pas meme la continuite de f en a. On

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    Introduction 3

    reclamera alors, dans la definition ci-dessus, afin quelle soit plus forte que la continuite de f en a, quelapplication lineaire La soit continue.

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    4 Chapitre 0- Rappels dalgebre multilineaire et notion de graphe.

    Chapitre 0- Rappels dalgebre multilineaire et notion de graphe.

    0.1- Continuite et algebre multilineaire.

    On sinteresse ici aux applications multilineaires et a leur continuite eventuelle.

    Definition (continuite dans les evn). Soient (E, E) et (F, F) deux evn, un ouvert de E, a et f : F une application. On dit que f est continue en a ssi :

    > 0, , tel que x verifiant x aE , on ait : f(a) f(x)F . ()

    Clairement, la definition ci-dessus montre que la notion de continuite en un point depend des normes que

    lon se donne sur E et F.

    Definition (applications multilineaires). Soient E1, . . . , E n et F des espaces vectoriels normes surK(= Rou C). On dit quune application L : E1 . . . En F est n-lineaire ssi L est lineaire sur chaque facteur,cest-a-dire ssi pour tout j

    {1, . . . , n

    }, pour tout (a1, . . . , an)

    E1

    . . .

    En, lapplication :

    Laj : Ej Fh Laj (h) = L(a1, . . . , aj1, h , aj+1 . . . , an)

    est lineaire.

    Remarque. Lorsque n = 1, on retrouve la definition dune application lineaire (1-linearite).

    Exemples. Lapplication L : RR R definie par L(x, y) = xy (ie le produit de R) est une application2-lineaire (on dit bilineaire) sur R.

    Lapplication L : R2 R2 R definie par L(h, k) = 3h1k1 5h2k2 + h1k2, ou h = (h1, h2) etk = (k1, k2) est une application bilineaire sur R

    2. En effet fixons k = (a, b) R2. Lapplication Lk : R2 Rdefinie par h = (h1, h2)

    L

    k(h) = L(h, k) = 3h1a

    5h2k + h1b est lineaire en h et pour h = (a, b) fixe dans R2

    lapplication Lh : R2 R definie par k = (k1, k2) Lh(k) = L(h, k) = 3ak1 5bk2 + ak2 est lineaire en k.

    Soit E = C00 lespace vectoriel des suites reelles nulles a partir dun certain rang, etL : E E R definie par L(u, v) = j=0 uj.vj (cette somme est finie, car les suites u = (u0, u1, . . . , ) etv = (v0, v1, . . . , ) sont nulles a partir dun certain rang). L est bilineaire.

    On suppose maintenant que chaque espace vectoriel E1, . . . , E n, F de la definition ci-dessus est un espace

    vectoriel norme, par la norme (respectivement) : || ||E1 , . . . , || ||En , || ||F. On munit alors E1 . . . En dela norme (x1, . . . , xn) = max{x1E1 , . . . , xnEn}.

    Exercice 1. Montrer que || || est bien une norme sur E1 . . . En. Montrer ensuite que cettenorme est equivalente (au sens de la definition de la page suivante) aux normes 1 et 2 definies par :

    (x1, , xn)1 = ni xiEi et (x1, , xn)2 = n

    i=1 xi2

    Ei . Dans le cas ou n = 2 et E1 = E2 = R,

    representer la boule unite deRR associee a la norme || ||.Les espaces vectoriels E1 . . . En et F etant normes, on peut se poser la question de la continuite

    dune application multilineaire L : E1 . . . En F. On va voir (Theoreme 0.1) que la continuite pour lesapplications multilineaires est beaucoup plus simplement caracterisee que par la phrase (). Par exemple, dansle cas le plus simple ou n = 1 et E1 = R, et || ||R = | | (la valeur absolue), il est tres facile de demontrerque L : R R est lineaire ssi il existe un reel tel que : x R, L(x) = x. Dans ce cas on a alors :x, y R : |L(x) L(y)| = ||.|x y| ||.|x y|. Cest-a-dire que L est non seulement continue, mais deplus lipschitzienne.

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    Chapitre 0- Rappels dalgebre multilineaire et notion de graphe. 5

    Exercice 2. Montrer que lapplication bilineaireL : R2R2 R de lexemple ci-dessus est une applicationqui verifie : il existe un reel 0 tel que quel que soit (h, k) R2 R2 |L(h, k)| ||h||R2 .||k||R2 ||(h, k)||2, R2 etant la norme euclidienne deR2. En deduire que L est continue.

    Remarque. Il nest pas vrai en general quune application multilineaire est automatiquementcontinue. Cependant on verra (Theoreme 0.3) que de tels cas nexistent que lorsque la dimension

    de lespace de depart est infinie. Par exemple lapplication L(u, v) = j=0 uj.vj de lexemple ci-dessusnest pas continue pour le choix suivant de norme sur C00 : uC00 = supj=0,..., |uj |. En effet, consideronsla suite (de suites !) (un = (

    1n

    , . . . ,1n

    , 0, . . .))nN (n apparitions de la quantite 1/

    n dans un). Lelement

    Un = (un, un) de la suite ((un, un))nN de C00 C00 est de norme ||Un|| = max(||un||C00, ||un||C00) = ||un||C00 =maxj=0,...,|(un)j | = 1

    n, donc la suite (Un)nN tend vers 0C00C00 . Cependant L(Un) =

    nj=0

    1n

    1n

    =

    (n + 1)/n, et la suite (L( Un))nN ne tend pas vers 0 dans R.

    Les theoremes 0.3 et 0.1 qui suivent assurent que : les seuls exemples dapplications multilineaires non continues se rencontrent en dimension infinie (cest-

    a-dire lorsquau moins un des espaces E1, . . . , E n est de dimension infinie, la dimension de F en revanche ne joue pas).

    les applications n-lineaires continues verifient le meme type de propriete que lapplication bilineairecontinue de lexercice 2.

    Nous donnons ces deux theoremes sans preuve (on pourra trouver les preuves par exemple dans [Ra-De-Od],

    t. 3. ())Theoreme 0.1. Soient E1, . . . , E n, F des espaces vectoriels normes et soit L : E1 . . . E n F une

    application n-lineaire. On munit E1 . . . En de la norme||(h1, . . . , hn)|| = maxj=1,...,n(||h1||E1 , . . . , ||hn||En).Les proprietes qui suivent sont equivalentes :

    i- L est continue sur E1 . . . En.ii- L est continue seulement en (0

    E1, . . . , 0

    En).

    iii- L est bornee sur B1 . . . Bn, ou Bj designe la boule unite de Ej .iv- L est bornee sur S1 . . . Sn, ou Sj designe la sphere unite de Ej .v- Il existe un reel > 0, tel que pour tout (x1, . . . , xn) E1 . . . En,

    L(x1, . . . , xn) .x1 . . . xn.

    Exercice 3. Verifier que lensemble des applications n-lineaires de E1 . . . En dans F est un espacevectoriel, ainsi que lensemble des applications n-lineaires continues de E1 . . . En dans F.

    Definition. On note L(E1, . . . , E n; F) lespace vectoriel des applications n-lineaires continues (noter lesroles des virgules et du point virgule ! Les virgules separent les espaces qui forment le produit de lespace

    de depart, alors que le point virgule separe les espaces definissantlespace de depart E1

    . . .

    En de lespace

    darrivee F). Pour tout L L(E1, . . . , E n; F), on pose :

    L = sup(x1,...,xn)E1\{0}...En\{0}

    L(x1, . . . , xn)x1 . . . xn

    Noter que par multilineairite :

    L = sup(x1,...,xn)B1\{0}...Bn\{0}

    L(x1, . . . , xn)x1 . . . xn

    () [Ra-De-Od] : Ramis, Deschamps, Odoux. Cou...

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