Cours Écrit Algèbre

8/12/2019 Cours Écrit Algèbre

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Chapitre 3 : Les matrices

Sandrine CHARLES : [email protected]

Introduction ............................................................................................................................21 Définitions ......................................................................................................................22 Opérations sur les matrices.............................................................................................3

2.1 Addition de deux matrices......................................................................................32.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire..........................................................4

2.3 Multiplication de matrices......................................................................................52.4 Transposition de matrice ........................................................................................7

3 Matrices carrées, matrices élémentaires .........................................................................83.1 Matrices carrées......................................................................................................83.2 Matrices diagonales ................................................................................................83.3 Matrice Identité.......................................................................................................93.4 Matrices Inversibles..............................................................................................10

3.5 Matrices symétriques............................................................................................103.6 Matrices triangulaires ...........................................................................................113.7 Matrices orthogonales...........................................................................................113.8 Matrices normales.................................................................................................12

4 Déterminant d’une matrice carrée ................................................................................124.1 Formes multilinéaires alternées............................................................................124.2 Déterminant d’un système de vecteurs.................................................................13

4.3 Déterminant d’une matrice carrée ........................................................................134.4 Déterminant et volume .........................................................................................18

5 Inversion de matrices....................................................................................................185.1 Matrice adjointe....................................................................................................185.2 Théorèmes ............................................................................................................195.3 Cas d’une matrice d’ordre 2 .................................................................................195.4 Cas d’une matrice d’ordre 3 .................................................................................205.5 Cas particulier : inverse d’une matrice diagonale ................................................20

6 Exemples d’utilisation en Biologie...............................................................................20



Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (10/02/03)..................... ...................... ...................... ..................... ...................... ..................... ..................... ...................... ...................... ....

Introduction

Historiquement c’estCayley , parallèlement aux travaux deGrassmann , qui dégage la notiond'espace vectoriel de dimensionn, et introduit, avecSylvester , la notion de matrice (le termesera introduit par ce dernier en 1850) et en expose l'usage en faisant emploi des déterminants(dont l'initiateur futCauchy ) dans une théorie plus large dite des invariants (1858) : onentend là des propriétés matricielles invariantes par transformation linéaire comme, parexemple, le déterminant et la trace (somme des éléments diagonaux).

1 Définitions

Définition 1

Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelématrice . p colonnes

11 12 1

21 22 2

1 2

p

p

n n np

a a a

a a a

a a a

=

A

n lignes

L’élémenta de la matrice se trouve à l’intersection de laiij ème

ligne et de la jème

colonne.La matriceA s’écrit également sous la forme ija = A avec i n et1,= 1, j p= .

Une matrice ayantn lignes et p colonnes est appelée matrice( ou n p .),n p ×

Définition 2

Le couple est appelé( ,n p ) dimension de la matrice.

Définitions 3

Une matrice de dimension( est une),1n matrice colonne .

Une matrice de dimension( )1, p est unematrice ligne .

Notation : L’ensemble des matrices de dimension est noté( ,n p ) ( ),n p M .

Chapitre 3 : Les matrices - page 2/22 -




Exemple

2 34 21 0

=

A

A a pour dimension( ) 3,2 12 3a = 31 1a =

Définition 4

Soient { }1 2, , , ne e e′ ′ ′ ′= …B la base canonique de etn { }1 2, , , pe e e= …B la base canonique de

p . Soit une matrice de dimension . Alors :ija = A ( ,n p )

• est le j-ième1

n

j k k

c a=

′= ∑ j k e vecteur colonne extrait deA ; c’est un vecteur de dont lesn

coordonnées sont( ).1 2, , , j j nja a a…

• est le i-ième1

p

i ih

a e=

= ∑ h h vecteur ligne extrait deA ; c’est un vecteur de dont les p

coordonnées sont( ).1 2, , ,i i ipa a a…

Exemple

2 34 21 0

=

A { }1 2 3, ,e e e′ ′ ′ ′= B base de 3 { }1 2,e e= B base de .2

1 1 22 4c e e′ ′= + + 3e′ 2

2 2

2 13 2c e e′ ′= +

1 12 3e e= + 2 14 2e e= + 3 1e=

2 Opérations sur les matrices

2.1 Addition de deux matrices

Définition

Soient deux matrices etija = A ijb = B toutes deux de dimension ;( ),n p

On additionne terme à terme pour obtenir : ij ija b + = + A B de dimension .( ),n p





Exemple 1

Soient etB . Calculer .2 34 21 0

=

A

1 20 11 4

=

A + B Réponse.

Propriétés

SoientA, B et C trois matrices de dimension et0 la matrice dont les éléments( ,n p ) )( ,n p

sont tous égaux à 0.

(i) (associativité)( ) (+ + = + +A B C A B C )

(ii) (élément neutre)+ =A 0 A

(iii) (opposé)( )+ − =A A 0

(iv) (commutativité)+ = +A B B A

Remarque : ija − = − A

Par exemple, si , alors .a b

c d

=

A

a b

c d

− − − = − −

A

2.2 Multiplication d’une matrice par un scalaire

Définition

Soient une matrice de dimension etija = A ( ,n p ) λ . On définit la matriceλ A

comme matrice dont tous les coefficients sont multipliés parλ : .ijaλ λ = A

λ A est aussi de dimension .( ),n p

Exemple 2

Soient et2 34 21 0

=

A 3λ = . Calculerλ A . Réponse.

Remarque : ( )1− = −A A





Propriétés

SoientA et B deux matrices de dimension( ) et,n p ,λ µ deux réels.

(i) ( )λ λ λ + = +A B A B

(ii) ( )λ µ λ µ + = +A A A

(iii) ( ) ( )λµ λ µ =A A

(iv) et (ne pas confondre 0 scalaire et0 matrice)1× =A A 0× =A 0

Conséquence

Compte tenu des propriétés ci-dessus, l’ensemble des matrices de dimension( , muni des

deux lois précédemment définies, est un espace vectoriel.

),n p

2.3 Multiplication de matrices

Définition

Soient [ ]ik a=A une matrice ( ),n p et une matricekjb = B ( , ) p q le produit des deux

matrices a pour dimension et s’écrit :=C AB ( ,n q )

ijc = C avec c , pour i n et1

p

ij ik kjk

a=

= ∑ b 1,= 1, j q=

RemarqueLe produitAB n’est donc possible que si le nombre de colonnes deA est égal au nombre delignes deB ( p).

Application au cas de deux matr ices (2,2)

A= et B=11 12

21 22

a a

a a 11 12

21 22

b b

b b

C= soitC=

11 12

21 22

a a

a a 11 12

21 22

b b

b b

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

a b a b a b a b

a b a b a b a b

+ +

+ +





M oyen mnémotechnique

Exemple 3

SoientA= et B= . CalculerAB .2 11 4 4 20 2

−

Réponse.

RemarquesEn général, la multiplication de deux matrices n’est pas commutative :• Si AB existe,BA n’existe pas forcément.• Si BA existe, alors généralement .≠AB BA

Exemple 3 (suite)Vérifier avec les matricesA et B précédentes que .≠AB BA Réponse.

Propriétés

Soient ,( ),n pA ( ), p qB , ,( ),C q s ( ), p qD et E : ( ),q n

(i) → associativité [matrice de dimension ]( ) (=AB C A BC ) ( ),n s

(ii) → distributivité à gauche [matrice de dimension( )]( )+ = +A B D AB AD ,n q

(iii) → distributivité à droite [matrice de dimension( )( )+ = +B D E BE DE , p n ]





2.4 Transposition de matrice

Définition

Soit , la11 12 121 22 2

1 2

p

p

n n np

a a a

a a a

a a a

=

A

matrice transposée de A notée ou t est la matrice′A A

obtenue en écrivant les lignes deA en colonnes :t

11 21 1

12 22 2

1 2

n

n

p p

a a a

a a a

a a a

=

A

pn

Si A a pour dimension alorst a pour dimension( ,n p ) A ( ), p n .

Exemple 4

Soit . Calculer t .

2 34 21 0

=

A

A Réponse.

Propriétés

Soient , , trois matrices et soit( ),n pA ( ),n pB ( ,C p q ) λ :

(i) ( )t t t + = +A B A B

(ii) ( )t t =A A

(iii) ( )t t λ λ =A A

(iv) ( )t t t =AC C A

Exemple 5 (propriété (i))

Soient etB . Vérifier quet .2 34 21 0

=

A

3 11 21 1

= −

− ( ) t t + = +A B A B Réponse.





Exemple 6 (propriété (iv))

Soient etC . Vérifier quet .2 34 21 0

=

A1 1 02 0 3

− =

( ) t t =AC C A Réponse.

3 Matrices carrées, matrices élémentaires

3.1 Matrices carrées

Définition

Une matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes est appeléematrice

carrée . Si elle a pour dimension( , on dit alors qu’elle estd’ordre n .),n n

Rappelons que l’addition et la multiplication de matrices ne sont pas définies pour desmatrices quelconques. Cependant, si on considère uniquement des matrices carrées d’ordren donné, alors les opérations d’addition, de multiplication, de multiplication par un scalaire, etde transposition sont définies et leurs résultats sont encore des matrices carrées d’ordren.

Exemple

Soient etB . A et B sont des matrices carrées d’ordre 3.1 2 34 4 4

5 6 7

= − − −

A

2 5 10 3 21 2 4

− =

−

−

Vérifier que , ,t et sont également des matrices carrées d’ordre 3.+A B 2A A AB Réponse.

3.2 Matrices diagonales

Définition 1

On appellediagonale (ou diagonale principale) d’une matrice carrée d’ordren, les éléments

11 22, , , nna a a… de la matrice.

Exemple

12 13

21 2331 32

a a

a a

a a

=

11

22

33

a

A a

a

sont les éléments de la diagonale deA11 22 33

, ,a a a







Propriété2

La matrice nλ I , pour tout λ , est appeléematri ce scalair e . C’est la matrice diagonale

dont les éléments diagonaux sont tous égaux àλ .

Exemple

3

0 00 00 0

λ λ = λ λ

I

Remarque

On parle de « matrice scalaire » car elle joue le même rôle que celui d’un scalaire dans lamultiplication d’une matrice par un scalaire :( ) ( ) p nλ λ λ = =A I I A A .

3.4 Matrices Inversibles

Définition

Une matrice carréeA, d’ordren, est diteinversible ou non singulière , s’il existe une matrice

carrée B d’ordren telle que , Une telle matriceB est unique , d’ordre n ; onn= =AB BA I

l’appellematrice inverse de A et on la note .1−A

RemarqueLa relation précédente est symétrique, c’est-à-dire que siB est l’inverse deA, alors A estl’inverse deB.

3.5 Matrices symétriques

Définition

Une matrice carrée est ditesymétrique si et seulement sit . Autrement dit si ≠ ,=A A i j

ij jia a= .





Exemple

99

14

0

22

3

3

=

−

−

A

3.6 Matrices triangulaires

Définition

Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont les éléments au-dessous (ou au-dessus)de la diagonale principale sont tous nuls.

Exemples

1 2 340 9

20 0

−

: Matrice triangulairesupérieure

12 3

0 00

4 8 2

: Matrice triangulaireinférieure

3.7 Matrices orthogonales

Définition

Une matrice carrée d’ordren est diteorthogonale si .t t n

= =A A AA I

Exemple

1 8 49 9 94 4 79 9 98 1 49 9 9

−

− − =

A

Pr opriété

Si A est une matrice orthogonale, alors elle est inversible et .1 t − =A A





3.8 Matrices normales

Définition

Une matrice carrée d’ordren est dite normale si , autrement dit siA et sat t =A A AA

transposéet commutent.A

RemarqueIl est clair que siA est symétrique ou orthogonale, alors elle est normale. Mais il existed’autres matrices normales.

Exemple

6 33 6

− =

A

4 Déterminant d’une matrice carrée

E

4.1 Formes multilinéaires alternées

On rappelle que .n

n fois

E E E −

= × × ×…

Définition 1

• Soit E un espace vectoriel. Une application de est uneapplication : n D E F →

multilinéaire oun -linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables :

(i) Soit( )1 2, , , nn x x x E

… tel que i i i x u v= + . Alors :

( ) ( ) (1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i in nu v D x x D x x D x xu+ = + … … … … … … )nv

(ii) Soit( )1 2, , , nn x x x E

… tel que i i x uλ = avec λ . Alors :

( ) (1 1, , , , , , , ,n i ni D x x Du )u xλ λ = … … … …

• Si , on dit que D est uneforme n -linéaire .= F

Définition 2

Soit E un espace vectoriel et une formen-linéaire. On dit que D est alternée si: n D E →

( 1, , , , , ,i j n D x x x x = … … … ) 0 chaque fois que deux desi x sont identiques :

dès que( 1, , , , , , 0i j n D x x x x = … … … ) ji x x= pour i j ≠





4.2 Déterminant d’un système de vecteurs

ThéorèmeIl existe uneunique application telle que :( ):

nn D →

(i) D est une formen-linéaire ;(ii) D est alternée ;

(iii) où lese( 1, , , ,i n D e e e = … … ) 1 i sont les vecteurs de la base canonique de .n

Définition

Cette application n-linéaire alternée et telle que( ): nn D → ( )1, , , , 1i n D e e e = … … est

appeléedéterminant . On la note généralementdet .

Remarque

Soit une famille de vecteurs ,V jv 1, j n= . Alors V v( ) ( )1 2, , , nn

nv v= … et

( )det , , nv 1 2,v v … .

4.3 Déterminant d’une matrice carrée

Soit A une matrice carrée d’ordren. Soit ija = A . Chaque colonne deA peut alors être

considérée comme un vecteur de :n

1 2 pv v v = A

… avec ( )1 2, , , j j j nv a a a= j… pour 1, j n=

Ainsi, la définition de la notion de déterminant d’une matrice carrée est étroitement liée à ladéfinition du déterminant d’un système de vecteurs :

( ) ( )1 2det det , , , nv v v=A …

On note alors ( )11 1

1

detn

n n

a a

a a

=A

…

n

, et on par le de déterminant d’ordren.

La suite du chapitre traite du calcul pratique des déterminants.





4.3.1 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2

Définition

Soit . Alorsa c

b d

=

A ( )det a c

a d b cb d = = × −A × .

M oyen mnémotechnique

Exemple 8

Soit . Calculer .2 53 7

=

A ( )det A Réponse.

4.3.2 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3

Règle de Sar rus

Cette règle n’ est valable que pour des matrices carrées d’ ordre 3, et n’ est absolument

pas généralisable. M ieux vaut donc l ui préférer la r ègle générale énoncée dans le

paragraphe suivant.

Soit M .

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

a b ca b c

=

( ) 2 3 1 3 1 2 3det = + + −a b ca b c aM 31 1 21 2 3 2 32 1− −ca b c a ab c bb c





Exemple 9

Soit M . Calculer par la règle de Sarrus.2 1 01 4 23 1 1

=

)(det M Réponse.

4.3.3 Généralisation : Déterminant d’ordre n

Méthode des cofacteurs

L’astuce consiste à se ramener à des déterminants d’ordre inférieur jusqu’à obtenir desdéterminants d’ordre 2. Pour cela, on développe le déterminant par rapport à une ligne ou unecolonne.

Soit

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n n

a a a

a a a

a a a

∆ =

n

un déterminant d’ordren.

1

n

ij ij j

a X =

∆ = ∑ , développement par rapport à la lignei

1

n

ij iji

a X =

∆ = ∑ , développement par rapport à la colonne j

où ij X est lecofacteur de l’élément :ija ( )1 i j

ij ij X +

= − ∆

ij∆ est lemineur de c’est-à-dire le déterminant d’ordre( extrait de en enlevant la

i

ija )1n − ∆

ème ligne et la jème colonne.

Application :

11 11 12 12 1 1 pa X a X a X ∆ = + + +… p (ligne 1)

11 11 21 21 1 1 p pa X a X a X ∆ = + + +… (colonne 1)

22 2

11 11

2

p

p p

a a

X

a a

= +∆ =

…

… p

21 2

12 12

1

p

p p

a a

X

a a

= −∆ =

…

… p





Remarque

La répartition des signes à prendre devant les mineurs( ) , est alternée à partir du signe +

pour l’élément .

1 i j+−

11a

Par exemple, pour un déterminant d’ordre 5 :

+ - + - +- + - + -+ - + - +- + - + -+ - + - +

Application au déterminant d’ordre 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

a b c

a b c

∆ =

1 11 2 21 3 31a X a X a X ∆ = + + (colonne 1)

1 11 2 21 3 31a a a∆ = ∆ − ∆ + ∆

2 2 1 1 1 11 2 3

3 3 3 3 2 2

b c b c b ca a a

b c b c b c∆ = − +

( ) ( ) (1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1a b c b c a b c b c a b c b c∆ = − − − + − )

Exemple 10

Calculer le déterminant suivant1 1 42 12 4 3

∆ = −

−

3 , avec la méthode des cofacteurs.Réponse.

Propositions

a) → Si A a une ligne (ou une colonne) de zéros alors ( )det 0=A

→ Si A a deux lignes (ou deux colonnes) identiques alors( )det 0=A

b) Si on échange deux lignes (deux colonnes) d’un déterminant alors on obtient( )det− A







4.4 Déterminant et volume

Les déterminants sont liés aux aires et aux volumes. Soientu u1 2, , , nu … des vecteurs de .n

SoitS le parallélépipède (solide) déterminé par ces vecteurs :

[ ]{ }1 1 2 2 0;1 pour 1,n n iS u u u iα α α α = + + + = n …

Lorsque ,S est un parallélogramme.2n =

Soit V S le volume deS (ou la surface deS dans le casn ). Alors :( ) 2=

( ) ( )1 2det , , , nV S u u u= …

Si on appelleA la matrice dont les colonnes correspondent aux vecteurs , alors :1 2, , , nu u u …

( ) ( )detV S = A

Proposition

( ) ( )1 2det , , , 0= … nV S u u u = si et seulement si les vecteursu u sont linéairement1 2, , , nu …

dépendants.

Vérification dans le cas : voir2n = chapitre 5, paragraphe 7.

5 Inversion de matrices

5.1 Matrice adjointe

Définition

Considérons une matrice carréeA d’ordren, la matrice des cofacteurs ij X des éléments deija

A notée est appeléeadj A matrice adjointe de A ou co-matrice de A.

( )1 i j

ij ijadj com X + = = = − ∆ A A

Exemple 12

11 12

21 22

a a

a a

=

A

. Calculer .adj A Réponse.





5.2 Théorèmes

Théorème 1Soit A une matrice carrée d’ordren. Alors A est une matrice inversible si et seulement si

( )det 0≠A .

Théorème 2SoitA une matrice carrée quelconque d’ordren. Alors :

où I est la matrice identité d’ordren.( ) ( ) ( )det× = × =t t

nadj adjA A A A A × I n

Théorème 3

SoitA une matrice carrée quelconque d’ordren. Si , alors A est inversible et :( )det 0≠A

( ) ( )1 1

dett

adj− =A AA

5.3 Cas d’une matrice d’ordre 2

SoitA= . On sait que|A| = det(A) = (ac-bd ).a b

d c

La matrice adjointe deA est adj A = :c d

b a

− −

1 1( )

c b

d aac bd − −

= −− A .

Exemple 13

Soit . Calculer .2 53 7

=

A 1−A Réponse.





5.4 Cas d’une matrice d’ordre 3

5.5 Cas particulier : inverse d’une matrice diagonale

DéfinitionSi [ ]iidiag a=A est une matrice diagonale inversible d’ordren :

(i) ( )1

det 0 1, 0n

ii iii

a i n a=

= ≠ = ≠∏A

(ii) 1 1ii

diag a

− =

A

11

22 0

0 pp

a

a

a

=

A

11

221

1

1 0

01 pp

a

a

a

−

=

A

6 Exemples d’utilisation en Biologie

D’un point de vue général, on peut dire que l’on utilise les matrices pour stocker des données

expérimentales. Mais nous allons voir que l’on utilise aussi les matrices pour décrire ladynamique de certaines populations animales.

6.1 Surface foliaire

Si chaque jour de l’année, on mesure la surface foliaire den plantes, on peutmettre ces données sous la forme :

1 365 (jours)1

ij

j p

i a

n

=

… …

… …

où représente la surface folière de la plantei au jour j, aveci variant de 1 à

n et j variant de 1 à 365 jours.

ija





6.2 L’ombre commun

L'ombre commun est un poisson de rivière froide, pure et à cours

relativement lent que l’on trouve généralement plus en aval queles truites. La période de reproduction se situe au printemps.

Les jeunes d'un an mesurent en moyenne 15 cm et sont tous immatures. Les poissons de 2 ansmesurent 27 cm et la moitié d'entre eux sont adultes (i.e. sexuellement matures). À 3 ans tousles poissons sont adultes et mesurent en moyenne 35 cm.On admettra dans la suite que la sex-ratio est 1.Une femelle fournit chaque année 200 alevins, 90 % d'entre eux meurent avant 1 an. 50 % des jeunes d'un an meurent avant l'âge de 2 ans. A partir de l'âge de 2 ans, 40% des poissonsmeurent par an.

On représente la population, au printemps de l'annéen, par le vecteur :

1 1

2 2

3 3

: nombre d'alevins: nombre de poissons d'un an: nombre de poissons de 2ans: nombre de poissons de 3ans et plus

a a

n

n

N N

N N P

N N

N N

=

Compte tenu des informations sur l’espèce, on peut alors écrire :

( )

, 1 2, 3,ˆ% matures

1, 1 ,

2, 1 1,

3, 1 3, 2,

200 0.5 0.5 0.6

0.10.50.6

a n n n sex ratio survie

n a n

n n

n n n

N N

N N

N N

N N N

+−

+

+

++

= × + ×

=

=

=

N

Ce qui peut bien sûr se réécrire en notation matricielle :





1 1

0 0 30 600.1 0 0 00 0.5 0 00 0 0.6 0.6

n n P P + +

=

An n P P =

0 P

1 P

0 P

La matriceA permet de décrire l’évolution d’année en année de l’effectif des quatre classesd’âge de la population.Ainsi, si on suppose que l’on lâche dans une rivière dépeuplée 100 ombres adultes (de 3 ans)après leur période de reproduction, on peut alors étudier l’évolution du repeuplement de larivière au cours du temps :

• A (le moment de la réintroduction des ombres), on a0n = ( )0 0,0,0,100 P =

• L’année suivante, à , on a , soit :1n = 1 P = A 1

0 0 30 60 0 60000.1 0 0 0 0 00 0.5 0 0 0 00 0 0.6 0.6 100 60

P

= =

• A , on a , c’est-à-dire .2n = 2 P = A 2

0 0 30 60 6000 36000.1 0 0 0 0 600 0.5 0 0 0 00 0 0.6 0.6 60 36

P

= =

• Et ainsi de suite…On peut remarquer que ; dans le cas général, on peut connaître les

effectifs des quatre classes d’âge pour n’importe quelle annéen par la relation :

22 1 0 P P P = = =A AA A

0n

n P P = A .

On comprend alors tout l’intérêt de savoir calculer simplement .nA

Voir chapitre 4

Heureusement des logiciels existent pour palier « ce problème », et en particulier la boîte àoutilsPopTools qui fonctionne sous Excel.Voici la simulation que l’on obtient avec PopTools :






Evolution des classes d'âge au cours du temps

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 5 10 15 20Temps (années)

E f f e

c t i f

Na 1 an 2 ans 3 ans et plus



MAT RI C E S ( I NT R O

D U C T I O N )

Mi c h el R i

g o

P r emi er s

b a c h el i er s en s c i en

c e s m a t h é m a t i q u e s

O c t o b er 7 ,

2 0 0 9





S oi t A

Kmn

,m e s t l ah a u t e ur d eA e t n s al ar g e ur .

L am a t r i c eA e s t

h or i z on t al e s i m

<n ,

v er t i c al e s i m >

n ,

c ar r é e s i m=n ,

r e

c t an

g ul ai r e s i

m =n.

A =

( ai j ) e t B =

( b i j )

d ef or m em×n s on t é g al e s

s i ai j = b i j

p o ur t o u s i { 1 ,... ,

m } e t j { 1 ,... ,n

} .





E XE MP L E

( MAT RI C E DE HI L BE RT

)

H=

( h i j ) d eR

nn d é n

i e p ar h i j

=

1

i + j −1

.

S i n=

4 , al or s

H=

1

1 / 2

1 / 3

1 / 4

1 / 2

1 / 3

1 / 4

1 / 5

1 / 3

1 / 4

1 / 5

1 / 6

1 / 4

1 / 5

1 / 6

1 / 7

.



S i A =

( ai j ) e s t un em a t r i c e c ar r é e

D i a

g on al e pr i n c i p al e

ai ,i – d i a

g on al e s e c on d ai r e

ai ,n−i +1



On d i t

q u eA e s t d i a

g on al e s i ai j =

0 d è s q u ei

=

j .

A =

d i a g ( λ 1 ,... , λ n ) .

L am a t r i c eA e s t t r i an

g ul ai r e s u p é r i e ur e s i ai j = 0 d è s q u ei >

j

0 0

0

0

0

0

( r e s p.

t r i an

g ul ai r ei nf é r i e ur e

)



E XE MP L E

C on s i d é r on s l am a t r i c e c ar r é eA Rnn d é ni e

p ar

ai j =i δ i j .

C ’ e s t un em a t r i c e d i a

g on al e d el af or m e

1

0

· · · 0

0

2

...

...

...

...

...

0

0

· · ·

0

n

=

d i a g ( 1 ,2 ,... ,n ) .



L am a t r i c en ul l em×n e s t l am a t r i c e d on t t o u s l e s é l é m en t s

s on t n ul s . Onl an o t e 0 m

,n o um ê m e 0 s i m e t n s on t

s o u s - en t en d u s .

L am a t r i c ei d en t i t é d e d i m en s i onn e s t l am a t r i c e

d i a g on al e

I n=

d i a g ( 1 ,... ,1 ) =

( δ i j ) 1 ≤i ,

j ≤n.

U n em

a t r i c em×1 e

s t a p p el é ev e c t e ur c ol onn e.L ’ en s em b l e d e

c e s v e

c t e ur s s en o t e

Km.

D em ê m e , un em a t r i c e1 ×n e s t a p p el é ev e c t e ur l i gn e.

L ’ en s em b l e d e c e s v e c t e ur s s en o t eKn.



OP E R A T I ON S S U R L E S MA T R I C E S



M UL T I P L I C A

T I O N S C AL AI RE

S oi en t λ K e t A K

mn.

K×K

mn

→Kmn

λ A =

( λ ai j ) 1

≤i ≤m

,

1 ≤ j ≤n

.

S i λ

, µ

K e t s i A K

mn , al or s 1

A =A

,

λ ( µA

) =

( λ

µ ) A .

E XE MP L E

3 1

0

3

2

π

0

0

0

−1

=

3 0

9

6 3 π

0

0 0

− 3

.



ADDI T I O N

S oi en t A ,B K

mn. +: K

mn

×K

mn

→K

mn

A +B =

( ai j + b i j ) 1

≤i ≤m

,

1 ≤ j ≤n

.

E XE MP L E

1

2

3

4 +

−1

3

0

2

=

0

5

3

6 .



S i A

,B , C K

mn , al or s

( A +B ) + C =A + ( B + C )

A +B =B +A

A + 0 = 0 +

A =A .

( Kmn

, +

) e s t un

gr o u p e c omm u t a t i f .

S i λ

, µ

K e t s i A ,B , C K

mn , al or s

( λ + µ ) A = λ A + µA

,

λ ( A +B

) = λ

A + λ B

Kmn

e s t un e s p a c ev e c t or i el s ur K.



S oi en t A 1

,... ,A r K

mn e t λ 1 ,... , λ r K. U n e ex pr e s s i on d el a

f or m e

r j =1

λ i A

i = λ 1 A

1 +

· · · + λ r A r

e s t a p p el é e un e c om

b i n ai s onl i n é ai r e d e s m a t r i c e s A 1 ,... ,A r .

L e s s c

al ai r e s λ 1 ,... , λ r s on t l e s c o

ef c i en t s d e c e t t e

c om b i n ai s on.



M UL T I P L I C A

T I O N

L e pr o d ui t d e d e ux m

a t r i c e s A e t B n’ e s t d é ni q u e s i

l en om

b r e d e c ol onn e s d eA e s t é g

al a un om b r e d el i gn e s d eB .

S oi en t A K

mn e t B K

n ℓ

.

A B =

n k

=1

ai k b k

j 1 ≤i ≤m

,

1 ≤ j ≤

ℓ

.

E XE MP L E 1

0

−1

2 2

0

1

0

0

1

−1

3

0

0

0

2

1

−1

=

1

−2

−1

2

0

6

0

2



I ) S i λ e s t un s c al ai r e e t s i A K

mn ,B K

n ℓ

, al or s

( λ A

) B =A

( λ B

) = λ ( A B

) .

I I ) L e pr o d ui t m a t r i c i el e s t b i l i n é ai r e ,i . e. , s i A ,B e t C s on t d e s

m a t r i c e s e t λ , µ

d e s s c al ai r e s , al or s

( λ A + µB

) . C =

λ A C + µB C

A . ( λ B + µ C ) =

λ A B + µA C

o ù l ’ on s u p p o s e

q u el e s pr o d u

i t s m a t r i c i el s on t un s en s .

I I I ) L e pr o d ui t m a t r i c i el e s t a s s o c i a t i f : A K

m q ,B K q p

,

C

K pn

A ( B C ) =

( A B ) C .

I V ) S i A K

mn , al or s

0 ℓ ,mA = 0 ,

A 0 n , ℓ

= 0

e t I mA =A

,

A I n=A .



[ ( A B ) C

] i j

=

p k =

1 ( A B

) i k C k j

=

p k =

1 q ℓ

=1

A i ℓ

B ℓ

k

C k j =

p k =1

q ℓ

=1

A i ℓ

B ℓ

k C k j .

D e pl u

s , [

A ( B C ) ] i j

=

q ℓ

=1 A

i ℓ

( B C ) ℓ

j

=

q ℓ

=1 A

i ℓ

p k =1

B ℓ

k C k j =

q ℓ

=1

p k =1

A i ℓ B ℓ

k C k j .

On c on c l u t en

p er m u t an t l e s s omm

e s .





RE MA

R Q UE

V é r i er

q u el e

pr o d ui t d e d e ux m a t r i c e s c ar r é e s d em ê m e

d i m en s i on e t d i a

g on al e s

( r e s p. t r i an

g ul ai r e s s u p é r i e ur e s ,

t r i an

g ul ai r e s i nf é r i e ur e s ) e s t en c or e un em a t r i c e d i a g on al e

( r e s p.

t r i an

g ul ai r e s u

p é r i e ur e , t r i an

g ul ai r ei nf é r i e ur e ) .

RE MA

R Q UE

L e pr o d ui t d em a t r i c e s c ar r é e s n’ e s t en

g é n é r al p a s c omm u t a t i f

0

1

1

0 0

1

0

0

= 0

0

0

1

e t

0

1

0

0 0

1

1

0

= 1

0

0

0

D e ux m a t r i c e s c ar r é e s A e t B c omm u t en t s i A B =

B A



P ui s q u el e pr o d ui t m

a t r i c i el e s t a s s o c i a t i f , on

p e u t d é ni r l a

p ui s s a

n c en-i è m e d ’ un em a t r i c e c ar r é eA d e d i m en s i onk ,

n > 0 , p ar

A n

=A ...A

nf oi s

.

S i n=

0 , on

p o s eA 0

=I k .



S i l e s m a t r i c e s A e t B s on t c ar r é e s d em ê m e d i m

en s i on e t

c omm u t en t al or s ,

( A +B ) n=

n k = 0

C k nA k

B n−k

.

P ar c on t r e , s i A e t B

n e c omm u t en t p a s

( A +B

) n

=

A n

+

A n−1

B +A

n−2

B A +

· · · +A B A n−

2 +B A

n−1

+A

n−2

B 2 +

· · · +B

n.

P ar ex em

pl e , s i A e t

B n e c omm u t en t

p a s , al or s

( A +B

) 3 =A

3 +A

2 B +A B A +B A

2 +B

2 A +B A

B +A B

2 +B

3

e t ( A

+B

) 4

=

A 4

+

A 3 B +A

2 B A +A B A

2 +B A

3

+A

2 B

2

+A B A B +B A

2 B +

A B 2 A +B A B A +B

2 A

2 +

· · ·



T o u t em a t r i c e c ar r é eA c omm u t e av e c 0 e t I .E n ef f e t ,

A 0 = 0 A = 0 e t

A I =I A =A .

L e s p ui s s an c e s

d ’ un em ê m em a t r i c e c ar r é e

A c omm u t en t .

S oi en t p , q N.I l v i en t A

pA q=

A qA p.

P ar c on s é q u en t , s i λ

0 , λ 1 ,... , λ r e t µ 0 , µ1 ,... , µ s s on t d e s

s c al ai r e s e t s i A

e t un em a t r i c e c ar r é e , al or

λ 0 I + λ 1 A +

· · · + λ r A

r

e t µ 0 I + µ1 A +

· · · + µ s A s

c omm u t en t .

D e ux m a t r i c e s d i a g on al e s ( d e

m ê m e d i m en s i on

)

c omm u t en t e t

d i a g ( λ 1 ,... , λ r ) d i a g ( µ1 ,... , µr ) =

d i a g ( λ 1 µ1 ,... , λ r µr ) .



I l ex i s t e d e s m a t r i c e s A

,B t el l e s q u eB A =

−A B

( d an s c e

c a s , on d i t

q u el e s m a t r i c e s s on t an t i c omm u t a t i v e s ) .P ar

ex em pl e , 1

0

0

−1

0

−1

1

0

=

− 0

−1

1

0

1

0

0

−1

.

L e pr o d ui t d e d e ux m a t r i c e s p e u t ê t r en ul s an s q u’ a u c un

d e s f a c t e ur s n e s oi t n ul .P ar ex em pl e ,

1

i

i −1

2 =

0 ,

0

1

−1

−1

0

1

1

−1 0

1

1 1

1

1 1

1

1 1

= 0 .



T RA N S P O S I T I O N

L a t r an s p o s é e d el am a t r i c eA =

( ai j ) K

mn e s t l am a t r i c e

A K

nm

d on t l e s l i gn e s s on t l e s c ol onn e s d eA ,

( A

) i j = a

j i .

˜ ˜ A =A

,

( λ A + µB

) = λ

A + µ

B ,

( A B

) =

B

A .



E XE MP L E

A =

1

2

3

4 ,

A =

1

3

2

4 .

S i A e s t un em a t r i c e

c ar r é e t el l e

q u e A =A , al or s on d i t

q u eA

e s t s y m é t r i q u e.E n d

’ a u t r e s t er m e s ,A e s t s y m é t r i q u e s i ai j = a j i

p o ur t o u s i , j .

S i A

=

−A , al or s A e

s t d i t e an t i s y m

é t r i q u e.D an s

c e c a s ,

ai j =

− a j i p o ur t o u s i ,

j .



OP É RAT I O N S S P É C I F I Q UE S A UXMAT RI C E S C OMP L E XE S

On

p e u t a s s o c i er à l am a t r i c e c om

pl ex eA =

( ai j )

,l e s m a t r i c e s

s ui v an

t e s

l a

p ar t i er é el l e d

eA :

( R e A ) i j = R e ai j ,

l a

p ar t i ei m a gi n ai r e d eA :

( I m

A ) i j = I m ai j ,

l a

m a t r i c e c on

j u g u é e d eA :

( A ) i j = ai j ,

l a

m a t r i c e a d j oi n t e d eA : A

=˜ ¯ A

=¯ ˜ A

,

a u t r em en t d i t ,

( A ) i j = a j i .





A = R e A +i I mA

A = R e A −i I mA

R e A =

1 2 ( A +

A )

I mA =

1 2 i (

A −A

)

A =A

( A ) =

A

λ A + µB = λ A +

µB

( λ A + µB

) = λ

A + µB

U n em

a t r i c e c ar r é eA e s t h er mi t i enn e s i A =A .

E l l e e s t an t i h er mi t i enn e s i A =

−A .

S i A e s t h er mi t i enn e

( r e s p. an t i h er mi t i enn e ) , al or s s e s

é l é m en t s d i a

g on a ux

s on t r é el s

( r e s p.i m a gi n ai r e s p ur s ) .



S O U S -MAT RI C E S

C on s i d é r on s l e s en t i er s i 1

,... ,i r e t j 1 ,... , j s t el s

q u e

1 ≤i 1 <

· · · <

i r ≤m

,

1 ≤ j 1 <

· · · <

j s ≤n.

A ( i 1 ,

..

. ,i r ; j 1 ,

.

.

. , j s )

= (

ai k j ℓ

) 1 ≤k

≤r

1 ≤

ℓ

≤ s

.

On d i t

q u e c e t t em a t r i c e e s t un e s o u s -m a t r i c e d e

A .



E XE MP L E

A =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1 1 2

.

On a p ar ex em

pl e ,

A ( 1 ,2 ; 1 , 3 )

=

1

3

5

7 ,

A ( 1 ; 1 ,

2 , 3 ,4

) =

1

2

3

4

A ( 1 ,2 , 3 ; 3 )

=

3 7 1 1

.



on a p p el l e s o u s -m a t r i c e d i a

g on al e

d eA , un e s o u

s -m a t r i c e d eA

p o ur l a

q u el l e on a s é l e c t i onn é d e s

l i gn e s e t d e s c ol onn e s d e

m ê m e

i n d i c e d an s A .

A ( i 1 ,

.

.

. ,i k ; i 1 ,

.

.

. ,

i k )

.

l e s é l é

m en t s d el a d i a g on al e

pr i n c i p al e d eA

( i 1 ,

.

.

. ,i k ; i 1 ,

.

.

. ,i k

) s on t

d e s é l é m en t s d el a d i a g on al e

pr i n c i p al e d eA .

1

3

9

1 1



MAT RI C E S C

OMP O S É E S

S i L 1

,... ,L m

Kn ( r e s p. C 1 ,... , C n K

m ) s on t l e s l i gn e s

( r e s p.

c ol onn e s ) d eA K

mn al or s

A =

L 1 ...L m

=

C 1

· · · C n

.

C on s i d é r on s l e s m a t r i c e s A

i j ,1 ≤i ≤r ,1 ≤ j ≤ s , o ù A

i j e s t

un em a t r i c em

i ×n j .

A 1 1

· · · A

1 s

...

...

A r 1

· · · A r s

= ( A

i j ) 1 ≤i ≤r ,

1 ≤ j ≤ s

L e s m a t r i c e s A

i j s on t l e s m a t r i c e s p ar t i el l e s d el a

m a t r i c e

c om

p o s é e.



E XE MP L E

C 1 =

1 2 3

,

C 2 =

4 5 6

,

C 3 =

7 8 9

.

L am a t r i c e c om

p o s é e ( C 1

C 2

C 3 ) e s t

1

4

7

2

5

8

3

6

9

.



E XE MP L E

A 1 1 =

1

2

3

4 ,

A 1 2 =

5 6 ,

A 2 1 =

7

8 ,

A 2 2 =

9 .


p o s é e ( A i j ) 1

≤i ,

j ≤2 e s t l am a t r i c e

1

2

5

3

4

6

7

8

9



S oi en t A 1

,... ,A r d e s m a t r i c e s c ar r é e s d e d i m en s i on s

r e s p e c t i v e s n1

,... ,nr . On

p e u t c on s t r ui r el am a t r i c e c om

p o s é e

d i a

g on al e d i a g ( A

1 ,... ,A r ) =

A 1

...

A r

=

( A i δ i j ) 1 ≤i ,

j ≤r .

C e t t em a t r i c e e s t un em a t r i c e c ar r é e d e d i m en s i on r j =

1 n j .



E XE MP L E

A 1 =

1

2

3

4 ,

A 2

=

5

6

7

8 .


p o s é e d i a

g on al e d i a g ( A 1 ,A 2 ) e s t l am a t r i c e

1

2

0

0

3

4

0

0

0

0

5

6

0

0

7

8

.



L e s o p é r a t i on s s ur l e s m a t r i c e s c om

p o s é e s p e uv en t s ’ ex pr i m er

en t er m e s d el e ur s m

a t r i c e s p ar t i el l e s

S i A e t B s on t d e s m

a t r i c e s c om

p o

s é e s

A =

( A i j ) 1

≤i ≤r ,

1 ≤ j ≤ s

,

B =

( B i j ) 1

≤i ≤ t ,

1 ≤ j ≤ u

t el l e s q u er = t , s =

u e t p o ur t o u s

i , j ,A

i j e t B

i j o

n t m ê m e

f or m e , al or s

λ A + µB =

( λ A

i j +

µB i j ) 1

≤i ≤r ,

1 ≤ j ≤ s

.





E XE MP L E

a1 1

a1 2

a1 3

a2 1

a2 2

a2 3

a 3 1

a 3 2

a 3 3

b 1

1

b 1 2

b 2 1

b 2 2

b 3 1

b 3 2

=

a1 1

a1 2

a2 1

a2 2

b 1 1

b 1 2

b 2 1

b 2 2

+

a1 3

a2 3

b 3 1

b 3 2

a 3 1

a 3 2

b 1 1

b 1 2

b 2 1

b 2 2

+

a 3 3

b 3 1

b 3 2

=

a1 1 b 1 1 + a1 2 b 2 1 + a1 3 b 3 1

a1 1 b 1 2 + a1 2 b 2 2

+ a1 3 b 3 2

a2 1 b 1 1 + a2 2 b 2 1 + a2 3 b 3 1

a2 1 b 1 2 + a2 2 b 2 2

+ a2 3 b 3 2

a 3 1 b 1 1 + a 3 2 b 2 1 + a 3 3 b 3 1

a 3 1 b 1 2 + a 3 2 b 2 2

+ a 3 3 b 3 2

.



D an s l e c a s p ar t i c ul i er o ù L 1

,... ,L m s on t l e s l i gn

e s d eA K

mn

e t C 1 ,... , C r l e s c ol onn e s d eB K

nr , al or s

A B =

( L i C j ) 1

≤i ≤m

,

1 ≤ j ≤r

.

E n n , s i

A =

( A i

j ) 1 ≤i ≤r ,

1 ≤ j ≤ s

, al or s

A = ( A j i ) 1 ≤i ≤ s ,

1 ≤ j ≤r

.







A propos de matrices Page 3 sur 16

Ce document a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fin avril 2004 pour la taverne de l'Irlandais (www.tanopah.com)

La seconde est la matrice identité d'ordre 3 aussi notée 3Id . Tous ses coefficients sont

nuls sauf ceux de sa diagonale qui sont égaux à 1. Bref 3

1 0 0Id 0 1 0

0 0 1

=

.

Ces deux matrices particulières existent pour tous les ordres possibles. Mêmes les plus

absurdes !Maintenant que nous avons une idée de ce que sont les matrices, nous allons pouvoir lesopérer. Sortez les bistouris, nous arrivons !

Somme de deux matrices et produit par un réelIl en va des matrices comme des vecteurs : on peut les additionner entre elles ou les multiplierpar un réel. D'ailleurs n'écrit-on pas les coordonnées de ceux-ci sous la forme de vecteurslignes ou colonnes.

L'addition matricielleOn additionne deux matrices en additionnant leurs coefficients respectifs. Pour quel'opération soit possible, les deux termes matriciels doivent avoir les mêmes dimensions.

Définition : ( )i, j A a= et ( )i, jB b= sont deux matrices de dimension n p × .

La somme des matrices A et B est la matrice de même dimension notée A B + et définie par :

1,1 1,2 1,p 1,1 1,2 1,p 1,1 1,1 1,2 1,2 1,p 1,p

2,1 2,2 2,p 2,1 2,2 2,p

n,1 n,2 n,p n,1 n,2 n,p

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b a

a a a b b b

+ + + + =

Matrice A Matrice B

2,1 2,1 2,2 2,2 2,p 2,p

n,1 n,1 n,2 n,2 n,p n,p

b a b a b

a b a b a b

+ + + + + +

Matrice A+B

Une fort belle et bien lourde définition dont on ne retiendra que le principe général : onadditionne leurs coefficients respectifs. A ce propos, mettons-là en application sur quelquesexemples.

• Commençons par additionner deux vecteurs lignes !( ) ( ) ( ) ( )4 1 2 1 3 7 4 ( 1) 1 ( 3) 2 7 3 4 9− + − − = + − − + − + = −

Tout cela n'est pas sans rappeler les calculs sur les coordonnées de vecteurs !• A présent, procédons à la somme de deux matrices 3 2× !

4 3 3 1 4 3 3 1 7 25 8 2 7 5 2 8 7 3 15

7 9 1 9 7 ( 1) 9 ( 9) 6 0

− + − + − − + = − + + = − − − + − + −

• 5 1 7 6 8 5 6 1 8 7 ???Mais il manque une colonne !

2 3 4 9 1 2 9 3 1 4 ???

+ + + + = = + + +

Tout cela car ces deux matrices n'ont pas les mêmes dimensions ! L'opération s'avère

donc impossible !





• Enfin, achevons ce tour d'horizon en additionnant deux matrices 2 3× !5 7 1 0 0 0 5 0 7 0 1 0 5 7 13 3 3 0 0 0 3 0 3 0 3 0 3 3 3

− + − + + − + = = + + +

Cet exemple illustre le fait que l'addition matricielle admet un "zéro" en la personne dela matrice nulle (celle qui a des 0 partout). On dit qu'elle est l'élément neutre del'addition. N'importe quelle matrice ajoutée à la matrice nulle reste elle-même !

Les propriétés de la somme A l'instar de ses aînées réelle ou vectorielle, l'addition matricielle est commutative. Comprenezpar là que la somme A B+ est égale à la somme B A + . Les deux termes peuvent êtrecommutés. En effet, nous avons :

1,1 1,1 1,p 1,p 1,1 1,1 1,p 1,p

n,1 n,1 n,p n,p n,1 n,1 n,p n,p

a b a b b a b a

A Ba b a b b a b a

+ + + +

+ = + + + + +

Matrice A+B A la ligne i et à la colonne j,on commute les deux termes r

B A = +

i, j i, j éels a et b

Car l'addition réelle est commutative !

En fait, l'addition matricielle hérite sa commutativité de sa consoeur réelle.Cette propriété peut s'avérer fort utile dés lors qu'il s'agit d'enchaîner une série de sommesmatricielles. C'est par exemple le cas avec ce qui suit !

4 3 7 11 4 3 4 3 4 3 7 111 2 8 15 1 2 1 2 1 2 8 152 5 12 8 2 5 2 5 2 5 1

− − − − + − + − − = + − − + − − − − −

Commutons ces deux matrices Additionnons ces deux matrices

2 8

0 0 7 11 7 11

0 0 8 15 8 150 0 12 8 12 8

= + − = −

Matrice nulle

Dans l'exemple précédent, les première et troisième matrices sont les opposées l'une del'autre. Comprenez que leurs somme est la matrice nulle qui est l'élément neutre de l'additionmatricielle. La notion d'opposé d'une matrice se définit comme celles des nombres ou des vecteurs.

Définition : dire que A est l'opposé de B signifie que A B 0+ =

Pratiquement, l'opposé de la matrice A est une matrice de même dimension et dont lescoefficients sont les opposés de ceux de A.

Produit d'une matrice par un réelCette opération est l'extension de celle existant pour les vecteurs de l'espace ou du plan.

En effet, si on appellex y z

les coordonnées d'un vecteur u de l'espace dans un quelconque

repère

( )O;i, j,k

alors le vecteur .uk y a pour coordonnées

.x

.y .z

kkk

.

C'est là le produit d'un vecteur colonne par un réel ! On étend cette opération a toutes lesautres matrices en multipliant chacun de ses coefficients par le nombre réel k .





Définition : ( )i, j A a= est une matrice de dimension n p × et k est un réel.

Le produit du réel k par la matrice A est la matrice de même dimension notée .A k et définiepar :

1,1 1,2 1,p 1,1 1,2 1,p

2,1 2,2 2,p 2,1 2,2 2,p

n,1 n,2 n,p n,1 n,2 n,p

a a a .a .a .a

a a a .a .a .a.

a a a .a .a .a

=

k

k k k

k k kk

k k k

Matrice A Matrice .A

A l'instar de ce qui se passe pour les vecteurs, cette multiplication matricielle/réelle estprioritaire par rapport à l'addition vectorielle. C'est un choix comme la priorité de lamultiplication réelle par rapport à l'addition réelle. Ainsi, par exemple :

2 1 1 7 8 4 3 21 8 3 4 ( 21)4. 3.

7 3 0 3 28 12 0 9 28

− − − − − + − − − = − = + Prioritaire... Prioritaire... Il ne reste plus qu'à faire la somme...différence = somme avec l'opposé

5 250 12 9 28 3

− = −

Les aficionados de calcul vectoriel ne seront pas trop dépaysés !

Une des conséquences de cette priorité de la multiplication sur l'addition est que cettepremière devient distributive par rapport à cette seconde. En effet, si ( )i, j A a= et ( )i, jB b=

sont deux matrices de dimension n p × et k est un réel alors :

[ ]1,1 1,1 1,p 1,p 1,1 1,1 1,p 1,p

n,1 n,1 n,p n,p n,1 n,1 n,p n,p

a b a b .a .b .a .b

. A B .

a b a b .a .b .a .b

+ + + +

+ = =

+ + + + k

k k k k

k k

k k k k

Matrice A+B La matrice A+B a été multipliée par

1,1 1,p 1,1 1,p

n,1 n,p n,1 n,p

.a .a .b .b

.A .B.a .a .b .b

= + = +

k k

k k k k

k kk k k k

Matrice .A Matrice .A

Dans le même esprit, nous pourrions dire que la multiplication réel/matrice est distributivepar rapport à l'addition des nombres. En effet, si k et l sont deux réels et ( )i, j A a= une

matrice de dimension n p× alors :1,1 1,p 1,1 1,p 1,1 1,p

n,1 n,p n,1 n,p n,1 n,p

( ).A

( ).a ( ).a .a .a .a .a

( ).A ( ).a ( ).a .a .a .a .a

+

+ +

+ = = + + +

k l

k l k l k k l l

k l k l k l k k l l

Matrice ... ...qui est auss

.A .A = +k l i la somme de deux autres matrices

Cette dernière propriété s'emploie généralement de la droite vers la gauche, à savoir dans lesens de la réduction des sommes : 2.A 6.A 8.A + = . C'est comme avec les x et les vecteurs !

Les esprits chagrins et les vieilles filles me feront remarquer que les deux propriétésprécédentes étaient assez évidentes et donc qu'il était inutile de rentrer dans les détails et ainside les établir. L'interrogation qui me vient est alors de savoir ce qu'ils diront de l'exercicesuivant.





L'impossible résolution d'une équation matricielle linéairePour conclure ce paragraphe, nous allons nous lancer dans la résolution de l'équation suivanted'inconnue matricielle X :

1 4 2 0 1 0 4 6 33. X 5.X

7 3 5 7 0 2 1 2 0

− − − + = + −

Ce genre d'équation n'est pas sans rappeler les traditionnelles équations du premier degré àcoefficients réels. Nous inspirant de ces dernières, nous allons pour la résoudre mettre les Xd'un côté et les "sans X" de l'autre. Petite différence tout de même : nous allons travailler avecdes matrices 2 3×

1 4 2 0 1 0 4 6 33. X 5.X

7 3 5 7 0 2 1 2 0

3 12 6 0 1 0 4 6 33.X 5.X

21 9 15 7 0 2 1 2 0

4 6 3 3 13.X 5.X 1 2 0

− − − + = + −

− − − + = + − −

− = + −

On commence par distribuer 3

Les X d'un côté...

2 6 0 1 021 9 15 7 0 2

1 19 92.X

13 11 13

1 19 9 0,5 9,5 4,51X .2 13 11 13 6,5 5,5 6,5

− −

− =

− − − = − = − − −

Les "sans X" de l'autre !

Conclusion : l'unique solution de l'équation est la matrice 2 3× 0,5 9,5 4,5

X6,5 5,5 6,5

− − − = − − − .

Les préceptes introduits en quatrième restent valables même avec les matrices. Ainsi :• On ne change pas une égalité si on ajoute ou retranche la même chose aux deux

membres.• On ne change pas une égalité si on multiplie ou divise ses deux membres par le même

nombre réel non nul !Ils sont valables pour les réels, les vecteurs et les matrices ! En fait, ils sont valables partout oùune addition et une multiplication par un réel existe !

Le produit matricielSi on peut considérer que la somme matricielle et le produit d'une matrice par un réel sont lesextensions de leurs confrères vectoriels, il ne peut en aller de même pour le produit de deuxmatrices. Car le produit de deux vecteurs n'existe pas !Ou plutôt si, il existe ! Mais son résultat est un nombre réel ! C'est à partir de ce produit quel'on dit scalaire que nous allons définir le produit de deux matrices.Pour bien comprendre la chose, plaçons dans l'espace que nous supposons muni d'un repèreorthonormé ( )O;i , j,k

. Le produit scalaire des vecteurs ( )u 1; 2;3− et ( ) v 7;4; 1− est donné par

( )7

u.v 1 2 3 . 4 1 7 ( 2) 4 3 ( 1) 4

1

= − = × + − × + × − = − −

Somme des produits dans chaque coordonnée Déjà le produit matriciel point...

On divise par -2







Par exemple, multiplions les matrices1 2 12 0 4

− −

et0 2 31 3 46 1 0

− − −

.

On écrit ces deux matrices dans un tableau : le premier facteur sur la gauche et le second surle haut. Puis, on calcule chaque coefficient de la matrice produit en "emboîtant" la ligne

correspondante du premier facteur et la colonne correspondante de la seconde matricefacteur.

Seconde matrice facteur

0 -2 3

1 -3 4

Premier facteur 6 -1 0

1 -2 1 1 0 ( 2) 1 1 64

× + − × + ×= 1 ( 2) ( 2) ( 3) 1 ( 1)3

× − + − × − + × −= 1 3 ( 2) 4 1 05

× + − × + ×= −

2 0 -42 0 0 1 ( 4) 6

24

× + × + − ×= −

2 ( 2) 0 ( 3) ( 4) ( 1)

0

× − + × − + − × −=

2 3 0 4 ( 4) 06

× + × + − ×=

Matrice produit

Cette présentation a le gros avantage de structurer les calculs : elle limite le risque de prendrela mauvaise ligne ou la mauvaise colonne. Reste alors à éviter l'écueil des erreurs de calculs. Ayant posé et effectué la multiplication, nous pouvons conclure que :

0 2 31 2 1 4 3 5

1 3 43 0 4 24 0 6

6 1 0

− − − × − = − − −

Tous les produits ne sont pas possibles !

Tous les produits de matrices ne sont pas possibles. Elles doivent avoir des dimensionscompatibles. Plus exactement, le premier facteur doit avoir autant de colonnes que le second ade lignes. Cela afin que les lignes de la première matrice s'emboîtent bien avec les colonnes de

la seconde. Il est par exemple impossible de faire le produit suivant1 2 3 5 31 0 7 6 4

× − Trois colonnes Deux lignes

Seconde matrice facteur

5 3

Première matrice 6 4

1 2 3 1 5 2 6 3 ???× + × + × 1 3 2 4 3 ???× + × + ×

-1 0 7 ( 1) 5 0 6 7 ???− × + × + × ( 1) 3 0 4 7 ???− × + × + ×

M a t ri c e

pr

o d ui t

Il manque une ligne à la seconde matrice. Par contre, le produit dans l'autre sens est possible !





La multiplication matricielle n'est pas commutative !La multiplication réelle est commutative. En effet, les calculs 2 3× et 3 2× aboutissent aumême résultat. Les facteurs 2 et 3 peuvent être commutés.Pour la multiplication matricielle, les choses sont différentes : elle n'est pas commutative.C'est-à-dire que prenant deux matrices A et B, il n'est pas sûr que le produit A B × soit égal auproduit B A × .

S'il en est ainsi, c'est déjà parce que ces deux multiplications peuvent aboutir à deux matricesn'ayant pas les mêmes dimensions.

Par exemple, si l'on effectue les deux produits avec les matrices ( ) A 1 2= et1

B5

− =

alors :

( )

( ) ( )

1 A B 1 2

5

1 ( 1) 2 5 9×

− × = ×

= × − + × = Matrice 1 1

( )

1B A 1 2

5

1 1 1 2 1 25 1 5 2 5 10

×

− × = × − × − × − − = = × ×

Matrice 2 2

Et puis, même lorsque l'on travaille avec des matrices sympas comme des matrices carréesd'ordre 2, la plupart du temps, les choses se passent mal : ça ne commute pas !

Par exemple, voyons ce qu'il en est avec les matrices carrées1 2

A 6 1

− =

et2 3

B7 1

− =

.

1 2 2 3 16 1 A B

6 1 7 1 5 19

− − − × = × = −

2 3 1 2 16 7B A

7 1 6 1 13 13

− − × = × = −

Les deux multiplications aboutissent à des résultats différents. Donc A et B ne commutentpas.

Alors bien sûr, il peut arriver que deux matrices commutent. Mais c'est l'exception ! C'est loind'être une généralité. Nous devons le dire :

La multiplication matricielle n'est pas commutative !

Une précision : même s'il n'y avait qu'un seul couple de matrices A et B pour lequel le produit A B× serait différent du produit B A × , cela ferait quand même de la multiplicationmatricielle une opération non commutative.

Par contre, elle est associativeL'associativité est la propriété qui permet de faire les produits de trois facteurs ou plus dansl'ordre où l'on veut. La multiplication réelle étant associative, le produit 2 3 5× × de plusieursfaçons suivant l'association retenue c'est-à-dire la première multiplication choisie.

2 3 5 6 5 30× × = × =On peut commencer

par ce produit

2 3 5 2 15 30× × = × =On peut commencer

par ce produit

Dans l'exemple précédent, à aucun moment la commutativité de la multiplication réelle n'estintervenue. Sinon il y aurait une troisième voie en commençant par la multiplication de 2 et 5.La multiplication n'est pas commutative. Cependant elle est associative. Démontrons celapour les matrices carrées.

Nous considérons trois matrices carrées d'ordre n notées ( )i, j A a= , ( )i, jB b= et ( )i, jC c= .





Pour prouver que le produit matriciel est associatif, Nous devons prouver que les calculs( ) A B C× × Preum's

et ( ) A B C× × Preum's

conduisent au même résultat. Quelque soit la multiplication par

laquelle on commence, on arrive à la même matrice.Pour y parvenir, nous allons nous concentrer sur le coefficient d'indices i,j de la matrice A B C× × .

La démonstration qui suit, est assez difficile à suivre et exige de l'attention et quelquesprécisions. Le symbole Σ (prononcer "sigma") dont nous allons faire usage, est là pourindiquer une somme. Ainsi par exemple

n

k 1 2 k nk 1

a a a a a=

= + + + + +∑k Somme des a

avec k allant de 1 à n

… …

Le coefficient de la matrice ( ) A B C× × se trouvant à la ligne i et à la colonne j est donné par :

( ) [ ]

n

k,j i,l l,k i,k i, jk 1 l 1

A B C A B .c a .b= =

×× ××

× × = × = ∑Coefficient d'indice i,kCoefficient d'indice i, j

de la matrice A Bde la matrice (A B) C

La ligne i de A Bavec la colonne j de C

n n n n

k,j i,l l,k k,jk 1 k 1 l 1

.c a .b .c= = =

= ∑ ∑ ∑∑

Globalement, une somme La ligne de i de Ade sommeavec

la colonne j de B

Le coefficient de la matrice ( ) A B C× × se trouvant à la ligne i et à la colonne j est donné par :

( ) [ ]n

i,l i,l l,k k,l, ji, jl 1

(

A B C a B C a . b .c=

×× ×

×

× × = × = ∑Coefficient d'indice l, j Coefficient d'indice i, j

de la matrice B C de la matrice A B C)

La ligne i de Aavec la colonne j de B C

n n n n

j i,l l,k k, jl 1 k 1 l 1 k 1

a .b .c= = = =

=

∑ ∑ ∑∑Globalement, une somme La ligne de l de B

de sommeavecla colonne j de C

Les deux signes sommes (l'un en variable k et l'autre en l) ne dépendant pas l'un de l'autre, ilssont donc permutables. Par suite, pour tous entiers i et j compris entre 1 et n, avons-nous :

( ) ( )n n

i,l l,k k,ji,j i,jk 1 l 1

A B C a .b .c A B X= =

× × = = × × ∑∑

Leurs coefficients respectifs étant égaux, il en va donc de même pour les matrices carréed'ordre n que sont ( ) A B C× × et ( ) A B C× × .La propriété que nous venons d'établir pour les matrices carrées, s'étend à toutes les autres

matrices pour peu qu'elles aient des dimensions compatibles. Ainsi avons-nous :Définition : la multiplication matricielle est associative. Pour toutes matrices A, B et C auxdimensions compatibles :

( ) ( ) A B C A B C A B C× × = × × = × ×On commence par la multiplication que l'on veut !

Cette propriété de la multiplication matricielle permet de simplifier certains calculs. Parexemple :

− − − − + − − × × = × = = + +

2 1 2 7 6 7 2 1 26 0 52 0 0 13 52 13

4 1 1 3 2 2 4 1 0 13 104 0 0 13 1Commençons par Ce dernier produit se faitcette multiplication assez facilement !

04 13





Classiquement, nous aurions pu commencer nos calculs en multipliant les deux premièresmatrices. Mais il est probable que les calculs auraient été un petit peu plus compliqués...

Priorité opératoire et distributivité A l'instar de leurs consoeurs réelles, la multiplication matricielle est prioritaire par rapport àl'addition. S'il en est ainsi, c'est parce que l'on a décrété. Les priorités opératoires restent doncles mêmes que pour les nombres réels.Par exemple, effectuons le calcul suivant :

( )3 1 3 3 1 12 15 9 16

4 50 7 2 0 7 8 10 8 17

− − + × = + =

Multiplication prioritaire Il ne reste plus qu'à additionner

Même en additionnant ou multipliant des matrices de dimensions différentes, un calcul peutavoir un sens. Cela dit, au cours de celui-ci, il faut toujours s'assurer que l'opération que l'on va faire est possible. Cela évite de faire des bêtises !

La conséquence de cette priorité de la multiplication sur l'addition est que cette premièredevient distributive par rapport à cette seconde. Mais attention car la multiplication n'est pascommutative. Cela signifie donc que le sens dans lequel se fait la distribution a sonimportance. Elle peut se faire par :

Distribution à gauche

( ) A B C A B A C× + = × + ×On multiplie à gauche par AOn distribue de la gauche

Distribution à droite

( )B C A B A C A + × = × + ×On multiplie à droite par AOn distribue de la droite

Une telle propriété se démontre assez facilement : tout repose sur le fait que la colonne j (ouligne i) de la matrice B C+ est la somme des lignes colonnes j (ou des lignes i) des matrices Bet C.

Un produit nul de facteur non nulsDepuis toujours, on vous a demandé de considérer comme un acquis qu'un produit était nul siet seulement si au moins l'un de ses facteurs l'était. Cette réalité permet en outre de résoudredes équations du second degré, voire mieux.Mais il s'agit là d'une vérité réelle voire complexe. Car la réalité matricielle est tout autre : unproduit peut être nul sans pour autant que l'un de ses facteurs le soit. C'est par exemple le casdes produits suivants :

• ( ) ( ) ( )4

6 3 2 . 6 6 4 ( 3) 6 2 ( 3) 03

− = × + − × + × − = −

Matrice nulle 1 1× !

• 1 2 10 8 1 10 ( 2) 5 1 8 ( 2) 4 0 03 6 5 4 ( 3) 10 6 5 ( 3) 8 6 4 0 0

− × + − × × + − × × = = − − × + × − × + × Matrice nulle 2 2×

• 21 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0 0

− − − × + × − × − + − × − = × = = − − − × + × − × − + − × − Le carré est un

produit par soi-même

On dit que les matrices précédentes sont des éléments irréguliers : un produit dont elles sontfacteurs peut donner une matrice nulle. A leur sujet, on parle également de diviseurs de 0.C'est à cause d'elle que le monde des matrices n'est pas intègre.





Le monde merveilleux des matrices carrées d'ordre nUne matrice carrée d'ordre n est un matrice de dimension n n × , c'est-à-dire qu'elle a autantde lignes que de colonnes. C'est d'ailleurs pour cela qu'elle est carrée.L'ensemble des matrices carrées d'ordre n se note ( )n M . Le symbole est là pour indiquerque ces matrices sont à coefficients réels.L'ensemble

( )n M est un monde merveilleux pour les raisons que voici :

• D'abord la somme de deux matrices carrées d'ordre n est une autre matrice carréed'ordre n. A cela, rien d'extraordinaire car il en va ainsi de toutes les sommes de matrices : lesdimensions sont conservées.

La matrice nulle0 0

0 0

n lignes et n colonnes

est l'élément neutre de cette addition dans ( )n M .

Cette matrice nulle est à ( )n M ce qu'est 0 à l'ensemble des réels. La somme de toutematrice carrée A et de cette matrice nulle donne la matrice A.Enfin, toute matrice carrée A d'ordre n admet dans ( )n M un opposé, c'est-à-dire unematrice B telle que A B Matrice nulle+ = .Les coefficients de cette matrice B sont les opposés de ceux de A.Tout cela fait de l'ensemble ( )n M muni de l'addition matricielle un groupe .

Avec le produit par un réel, l'ensemble ( )n M devient un espace vectoriel.

• Et puis, il y a le produit de deux matrices carrées d'ordre n dont le résultat est uneautre matrice carrée d'ordre n. Et là, c'est une spécificité des matrices carrées !

La matrice identité n

1 0Id

0 1

=

Des 1 sur la diagonale,des 0 partout ailleurs

est l'élément neutre de cette

multiplication matricielle : pour toute matrice ( )n A M , n n A Id Id A A × = × = .

Rappelez- vous de ce qui se passe dans : il y a la multiplication, son élément neutre 1,puis vient la question inverse.Dire qu'un nombre b est l'inverse d'un nombre a signifie que 1× =a b .Depuis la quatrième, nous savons que tout nombre réel a un inverse. Pour les matrices,les choses sont différentes. Toute matrice carrée A n'a pas nécessairement d'inverse. Iln'existe pas forcément de matrice B telle que n A B Id× = .

Ainsi, ( )n M muni de la multiplication matricielle n'est pas un groupe . Par contre,

( )n M avec ses addition et multiplication matricielles est un anneau qui n'est pasintègre .

La question de l'inverse (à gauche ou à droite)Le produit réel a ceci d'avantageux sur son petit frère matriciel qu'il est commutatif. La

définition de l'inverse d'un nombre réel s'en trouve donc simplifiée.

Dire qu'un nombre b est l'inverse d'un nombre a signifie que 1× =a b .





Pour les matrices, les choses sont différentes car les produits A B × et B A × ne sont pastoujours égaux. Si l'on veut définir cette notion d'inverse pour les matrices, où doit-onmultiplier : à gauche ou à droite ? Pour solutionner le problème, il est possible de définir deuxtypes d'inverse : l'un à gauche, l'autre à droite.

Définition : A, B et C sont trois matrices carrées d'ordre n.La matrice B est l'inverse à gauche de la matrice A

nB A Id× =

Produit à gauche

La matrice C est l'inverse à droite de la matrice A n A C Id× = Produit à droite

Et là, les choses se compliquent car une matrice A pourrait très bien avoir un inverse à gaucheB sans pour autant avoir un inverse à droite C. L'existence de l'un n'implique pasnécessairement l'existence de l'autre.Par contre, si on sait qu'une matrice A admet un inverse à gauche B et un inverse à droite Calors ces deux inverses sont égaux. Pour le prouver, on utilise l'associativité du produitmatriciel sur le produit B A C× × .

nB A C Id C C× × = × =On commence par ce produit B est l'inverse à gauche de A

nB A C B Id B× × = × =On commence par ce produit

C est l'inverse à droite de A

d'où C B A C B= × × = Mais encore faut-il que les existences d'un inverse à gauche B et d'un autre à droite C aient étéétablies !On pourrait croire que cette situation des inverses de matrices est inextricable, balancéequ'elle est entre la gauche et la droite. La réalité est en fait moins indécise car, en recourant àl'algèbre linéaire, on montre que si que si une matrice est inversible à gauche (ou à droite)alors elle est de l'autre côté et donc quelle l'est tout court. L'inverse d'une matrice lorsqu'il

existe, est une chose unique qui ne dépend pas du sens dans lequel le produit est fait. Ainsipouvons-nous le définir en disant :

Définition : A et B sont deux matrices carrées d'ordre n.Dire que la matrice B est l'inverse de la matrice A signifie que n A B B A Id× = × =

Un seul produit suffit à définir...

Autrement dit, le produit des deux est égal à l'élément neutre de la multiplication matricielle.

La question qui se pose à présent est de savoir à quelle condition une matrice est inversible etalors de déterminer son inverse. C'est l'objet de ce qui arrive...

L'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2 Ayant une matrice carrée A d'ordre n, existe-t-il une matrice B de même dimension telle quele produit de deux donne la matrice identité nId ? Et si oui, comment la trouver ?Loin de nous lancer dans de grandes chevauchées aux résultats incertains, regardons ce qui sepasse pour les matrices carrées d'ordre 2. Cela nous donnera peut-être une idée de ce qui estpour les autres.

Soit A =

a bc d

une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients a ; b; c et d sont des

nombres réels fixés.

Existe-t-il une matricex y

Bz t

=

qui serait son inverse, c'est-à-dire telle que n A B Id× = ?





Bien sûr, x, y, z et t sont quatre réels qu'il faut déterminer. De leurs existences dépend celle del'inverse de A.

nx y .x .z .y .t 1 0

B est l'inverse de A Idz t .x .z .y .t 0 1

+ + × = = + + Matrice A Matrice B

a b a b a bc d c d c d

Or deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients respectifs le sont. Cela nous

conduit à un système linéaire 4 4× qui est en fait un double système 2 2× :.x .z 1

(S).x .z 0

+ =+ =

Egalité des premières colonnes Les inconnues sont x et z

a bc d

.y .t 0

(S').y .t 1

+ =+ =

Egalité des secondes colonnes Les inconnues sont y et t

a bc d

Ces deux systèmes ont les mêmes coefficients du point de vue de leurs inconnues. Et ces deuxsystèmes admettront deux solutions uniques si leur déterminant . . −a d b c (au singulier carc'est le même) est non nul.Cela nous permet de dire à quelle condition une matrice carrée d'ordre 2 admet un inverse.

Une matrice A est inversible Son déterminant . - . est non nul = a b a d b cc d

L'objectif suivant est l'obtention de la matrice inverse B. Nous supposons donc que ledéterminant de la matrice A est non nul.

Résolvons le premier système.x .z 1

(S).x .z 0

+ =+ =

a bc d

(1)(2)

par combinaisons linéaires.

Pour déterminer x, nous éliminons z

( )

. .x . .z

. .x . .z 0

. . .x d

x. . det(A)

×

×

→ + =

→ + =− =

= =−

d

b

a d b d d

c b b d

a d b c

d d a d b c

(1)

(2)

Pour déterminer z, nous éliminons x.

( )

. .x . .z

. .x . .z 0

. . .z

z. . det(A)

×

×

→ + =

→ + =− = −

− −= =−

c

a

a c b c c

a c a d

b c a d c

c ca d b c

(1)

(2)

Pour obtenir la seconde colonne de B, on résout le second système.y .t 0

(S').y .t 1

+ =+ =

a bc d

(1)(2)

.

Pour déterminer y, nous éliminons t

( )

. .y . .t 0

. .y . .t b

. . .y b

y . . det(A)

×

×

→ + =

→ + =

− = −− −= =−

d

b

a d b d

c b b d

a d b c

b ba d b c

(1)

(2)

Pour déterminer t, nous éliminons y.

( )

. .y . .t 0

. .y . .t

. . .t

t. . det(A)

×

×

→ + =

→ + =

− = −

= =−

c

a

a c b c

a c a d a

b c a d a

a aa d b c

(1)

(2)





Conclusion : la matrice carrée A =

a bc d

d'ordre 2 est inversible si et seulement si son

déterminant det(A) . .= −a d b c est non nul.

Dans un tel cas, son inverse est la matrice carréedet( A) det( A)

det( A) det( A)

−

−

d b

c a.

Mettons ces formules en application sur la matrice carrée d'ordre 2 qu'est3 7

A 2 5

=

.

Commençons par calculer son déterminant : ( )3 7

det A 3 5 2 7 12 5

= = × − × = .

Comme il est non nul la matrice A est inversible et son inverse est la matrice5 7

B2 3

− = − .

Pour vérifier le résultat, calculons le produit de la matrice A et de son inverse supposé :

23 7 5 7 3 5 7 ( 2) 3 ( 7) 7 3 1 0

A B Id2 5 2 3 2 5 5 ( 2) 2 ( 7) 5 3 0 1

− × + × − × − + × × = × = = = − × + × − × − + ×

Donc la matrice B est bien l'inverse de la matrice A et réciproquement.

L'inverse pour les ordres supérieurs A l'instar de ce que nous venons de voir avec des matrices carrées d'ordre, seules les matricescarrées dont le déterminant est non nul, sont inversibles. La formule du déterminant d'unematrice carrée d'ordre quelconque faisant appel à des notions assez complexes comme cellesdes permutations et de leurs signatures, nous ne nous aventurerons pas sur ce terrain.Pour déterminer l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2, nous avons été amené à résoudre unfaux système ×4 4 qui était en fait un double système ×2 2 . Si nous cherchions l'inverse d'unematrice carrée d'ordre 3, nous nous lancerions dans la résolution d'un triple système ×3 3 .Pour l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 4, ce serait un quadruple système ×4 4 .Bref, que des choses sympathiquement de plus en plus compliquées. Alors bien sûr, il existedes formules permettant de calculer l'inverse d'une matrice. Elles s'appuient sur lescomatrices et sont utilisées par vos calculatrices. Mais elles se situent bien au-delà de notremodeste horizon.

L'inverse dans la résolution d'un systèmeLa question que certains n'auront déjà pas manqué de se poser est de savoir à quoi l'inverse

d'une matrice peut-il bien servir ?Une des utilisations possibles de l'inverse est la résolution d'un système linéaire. Prenons

l'exemple du système 3 3× qu'estx 4.y z 49

(S) x 3.y 3.z 60x 4.y 2.z 58

+ + =+ + =+ + =

.

Sous forme matricielle, ce système peut s'écrire :x 4.y z 49 x 4.y z 49 1 4 1

x 3.y 3.z 60 x 3.y 3.z 60 1 3 3x 4.y 2.z 58 x 4.y 2.z 58 1 4 2

× ×

+ + = + + + + = + + = + + = + +

Cette matrice peut être vue comme étant le produit

d'une matrice 3 3 et d'une 3 1

x 49. y 60

z 58

=

Appelons cettematrice A





Calcul matriciel

Denitions

Une matrice n x m est un tableau de nombres a n lignes et m colonnes.

Exemple de matrice avec n = 2 et m = 3 :

M = 1 2 0

4 3 −1n et m sont les dimensions de la matrice M .

Un matrice est symbolisee par une lettre en caractere gras. On note M ij l’element situe ` al’intersection de la ligne i et de la colonne j :

M =

M 11 M 12 ... M 1 m

M 21 M 22 ... M 2 m

... ... ... ...M n 1 M n 2 ... M nm

Si m = 1, la matrice est appelee vecteur (ou, plus precisement vecteur-colonne ) :

x =

x1

x2

...xn

Si n = m la matrice est dite matrice carree .

Quelques matrices carrees particulieres

Matrice unite (ou matrice identite) :

I =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Matrice diagonale :

D =

D11 0 0 00 D22 0 00 0 D33 00 0 0 D44

1



Matrice triangulaire :

T =

T 11 T 12 T 13 T 14

0 T 22 T 23 T 240 0 T 33 T 34

0 0 0 T 44

Une matrice carree S est dite symetrique si S ij = S ji :

S =

S 11 S 12 S 13 S 14

S 12 S 22 S 23 S 24

S 13 S 23 S 33 S 34

S 14 S 24 S 34 S 44

Operations sur les matrices

Egalite de deux matrices

Deux matrices A et B sont egales si elles ont les memes dimensions et si A ij = Bij i, j .

Addition et soustractionL’addition et la soustraction des matrices se font terme par terme. Les matrices doiventavoir les memes dimensions.

Exemples : 1 2 04 3 −1 + 5 2 3

1 3 4 = 6 4 35 6 3

1 2 04 3 −1 −

5 2 31 3 4 = −4 0 −3

3 0 −5

Multiplication par un nombre

Lorsqu’une matrice est multipliee par un nombre, chaque terme de la matrice est mutlipliepar ce nombre :

Exemple :

2 1 2 04 3 −1 = 2 4 0

8 6 −2

2



Transposition

La transposee A T d’une matrice A (aussi notee A ) est la matrice obtenue en echangeantlignes et colonnes de A .

A = 1 2 04 3 −1 A T =

1 42 30 −1

La transposee d’un vecteur-colonne est un vecteur-ligne.

x =

x1

x2

...

xn

x T = x1 x2 ... xn

Multiplication matricielle

Produit scalaire

Le produit scalaire d’un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y est deni par :

x T y = x1 x2 ... xn

y1

y2

...

yn

= x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn =n

i=1

xi yi

Ce produit, appele produit scalaire , est note x ·y . Les vecteurs doivent avoir la memedimension. Le resultat de cette operation est un scalaire. On peut noter que le produitscalaire est commutatif : x ·y = y ·x .

Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, les vecteurs sont dits orthogonaux . Adeux dimensions, cela correspond a deux vecteurs perpendiculaires. Par exemple, les vec-teurs x = ( 1 3 ) et y = ( 6 −2 ) ont un produit scalaire nul et on veriera facilementqu’ils sont perpendiculaires.

Produit matriciel

Le produit matriciel se deduit du produit scalaire : le produit de la matrice A (n x m) parla matrice B ( p x m) est la matrice C (n x p) telle que l’element C ij est egal au produitscalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B :

C ij =m

k=1

Aik Bkj avec i = 1,...n et j = 1,...p

Ce produit matriciel est note AB = C

Exemple 1 2 04 3 −1 .

5 12 33 4

= 9 723 9

3



Proprietes

Le produit matriciel est

• associatif : ABC = ( AB )C = A (BC )

• distributif par rapport ` a l’addition : A (B + C ) = AB + AC

• non-commutatif : (en general) AB = BA

La matrice unite I est l’element neutre pour la multiplication : AI = IA = A

Transposee d’une somme : ( A + B )T = A T + B T

Transposee d’un produit : ( AB )T = B T A T

Quelques produits particuliers

Carre scalaire :

x T x =

n

i=1x

2i

Sa racine carree ( x T x )1 / 2 est appelee norme du vecteur x et est notee ||x ||. Lorsque lanorme d’un vecteur est egale a 1, le vecteur est dit norme . Tout vecteur peut etre normeen le divisant par la racine carree de sa norme.

Deux vecteurs qui sont simultanement normes et orthogonaux sont dit orthonormes :

a a = b b = 1 et a b = b a = 0 a et b sont orthonormes

Une matrice dont toutes les colonnes prises deux a deux sont des vecteurs orthogonaux

est dite matrice matrice orthogonale . Si, de plus ces vecteurs sont normes, la matrice estdite matrice orthonormee .

Forme quadratique :

x T Ax =n

i=1

n

j =1

Aij xi x j

Forme bilineaire :

x T Ay =n

i=1

n

j =1

Aij xi y j

Inversion

Une matrice carree A est dite inversible s’il existe une matrice carree A − 1 (appelee matriceinverse) telle que

AA − 1 = A − 1 A = I

Proprietes

(A − 1 )− 1 = A

(A− 1

)T

= ( AT

)− 1

(AB )− 1 = B − 1 A − 1

Si la matrice A est orthogonale , alors A − 1 = A T .

4



Determinant d’une matrice carree

Pour une matrice 2 x 2, on peut montrer que la matrice inverse est donnee par

A = a bc d A − 1 = 1

ab −bc d −b−c a

Le nombre ad −bc est appele determinant de la matice A . On le note

|A | = det( A ) = a bc d

La matrice inverse A − 1 n’existe donc que si det(A ) est different de 0.

Le determinant peut se calculer de maniere recursive. Par exemple pour n = 3, on a, en

developpant la premiere ligne :

A =a b cd e f g h i

= a e f h i −b d f

g i + c d eg h

= a(ei −fh ) −b(di −fg ) + c(dh −eg)= aei −afh −bdi + bfg + cdh −ceg

Dans ce developpement, chaque determinant d’ordre 2 est appele mineur du terme qui leprecede. Le mineur de l’element xij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i

et la colonne j . Par exemple, le mineur de a est :

mineur( a) = e f h i = ei −fh

Le cofacteur de l’element xij est donne par l’expression :

cofacteur( xij ) = ( −1)i+ j mineur( xij )

Le cofacteur est donc le mineur precede d’un signe donne par le tableau suivant :

+ − + ...− + − ...+ − + ...... ... ...

On peut developper le determiant par rapport ` a n’importe quelle ligne ou colonne. Enpratique, quand faciliter les calculs, on choisira la ligne (ou colonne) qui contient le plusde 0. Pour chaque element aij de la ligne ou colonne choisie,

Cette methode est valable pour un determinant de taille quelconque. En pratique pourn > 3, il vaut mieux recourir a un algorithme specique.

Proprietesdet( A T ) = det( A )

det( AB ) = det( A )det( B )

5



Le determinant d’une matrice triangulaire ou diagonale est egal au produit des elementsdiagonaux. En particulier, det( I ) = 1.

Si A est inversible, alors det( A − 1 ) = 1

det( A )Si A est orthogonale, alors det( A ) = ±1

Quelques operations elementaires sur les matrices

Multiplication d’une ligne d’une matrice pas un scalaire α

Pour multiplier tous les elements d’une ligne i de A par une valeur α sans modier lesautres lignes, on peut multiplier A par une matrice Iα identique a la matrice identite

excepte l’element ii qui est remplace par α .Exemple :

1 0 00 α 00 0 1

a b cd e f g h i

=a b c

αd αe αf g h i

Lorsque α = 0, il existe toujours une matrice I − 1α qui effectue l’operation inverse. La

matrice I − 1α est simplement la matrice Iα dans laquelle α est remplace par 1 /α .

Echange de deux lignes d’une matrice

Une autre operation elementaire est celle qui consiste ` a permuter deux lignes d’une ma-trice. Cela est effectue par la multiplication par une matrice I P qui est la matrice identiteI dans laquelle les lignes correspondantes ont ete permutees. De fa¸ con generale, on peutpermuter les lignes k et l d’une matrice A (n × p) en la multipliant par une matrice Ip

dont les elements sont I pij = 0 pour tout i = j sauf I pkl = I plk = 1 et I pii = 1 pour tout isauf I pkk = I pll = 0.

Exemple :0 1 01 0 00 0 1

a b cd e f g h i

=d e f a b cg h i

On s’apercoit rapidement que multiplier deux fois A par Ip nous ramene a la situationde depart.

Addition de deux lignes d’une matrice

Une troisieme operation elementaire sur les lignes d’une matrices A consiste a additionnera une ligne de A une autre ligne, eventuellement multipliee par une scalaire α. Par exempleajouter α fois la ligne k a la ligne l peut se faire en multipliant A par une matrice I a , qui

est un matrice identite I dans laquelle l’element lk est remplace par α .

6



Exemple :

1 0 α0 1 00 0 1

a b cd e f g h i

=a + αg b + αh c + αi

d e f g h i

L’operation inverse est assuree par la soustraction de ces elements, c’est-` a-dire par lamultiplication de la matrice A par la matrice I − a , cette derniere etant I a dans laquelle ona remplace l’element lk par −α.

Application aux systemes d’equations lineaires

Formulation matricielle

Un systeme de n equations lineaires `a n inconnues est de la forme

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1 n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2

...an 1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn

ou les xi sont les inconnues du systeme, les aij sont les coefficients et les bi sont les termesconstants

Un tel systeme peut s’ecrire sous la forme matricielle :

Ax = b

avec

A =

a11 a12 ... a1 n

a21 a22 ... a2 n

... ... ... ...

an 1 an 1 ... ann

x =

x1

x2

...

xn

b =

b1

b2

...

bn

Resolution d’equations lineaires

Si la matrice est inversible (c’est- a-dire si son determinant est non-nul), on a, en multi-pliant a gauche par A − 1

A − 1 Ax = A − 1 b

soitx = A − 1 b

Un simple produit matriciel et le systeme est resolu !

7



Exemple :

Considerons le systeme de deux equations ` a deux inconnues suivant :

2x1 + 3 x2 = 9x1 −x2 = 2

On aA = 2 3

1 −1 b = 92

det( A ) = 2 .(−1) −3.1 = −5

A− 1

= −15 −

1

−3

−1 2

Et doncx = −

15

−1 −3

−1 2 92 = −

15

−15

−5 = 31

On verira que x1 = 3 et x2 = 1 est bien solution du systeme d’equations.

Lorsque la matrice n’est pas inversible, c’est- a-dire quand son determinant est nul, deuxcas sont a envisager :

• soit le systeme est indetermine : c’est le cas lorsqu’une des equations est une combinaisonlineaire des autres equations du systeme.Exemple :

x1 + x2 = 32x1 + 2 x2 = 6

• soit le systeme est impossible : c’est le cas lorsqu’aucune equation est une combinaisonlineaire des autres equations du systeme.Exemple :

x1 + x2 = 32x1 + 2 x2 = 8

Enn, on remarquera que le systeme d’equations homogenes

Ax = 0

ne possede des solutions non triviales (c’est- a-dire autres que x = 0) que si det( A ) = 0.

8



Valeurs propres et vecteurs propres

Denitions

On dit qu’une matrice carree A possede une valeur propre λ et un vecteur propre v si

Av = λv

En general une matrice de dimension n x n possede n valeurs propres reelles. A chaquevaleur propre est associe un vecteur propre (ou, plus precisement, une famille de vecteurspropres).

Calcul des valeurs propres et vecteurs propres

L’equation ci-dessus peut se reecrire

Av −λv = ( A −λI )v = 0

C’est-a-dire

a11 −λ a 12 ... a1 n

a21 a22 −λ ... a 2 n

... ... ... ...an 1 an 2 ... ann −λ

x1

x2

...xn

= 0

Ce systeme aura des solutions autres que la solution triviale si et seulement si

det( A −λI ) =

a11 −λ a 12 ... a1 n

a21 a22 −λ ... a 2 n

... ... ... ...an 1 an 2 ... ann −λ

= 0

L’expression de ce determinant est un polynˆ ome de degre n en λ qui est appele po-lynome caracteristique de la matrice A et l’equation correspondante est dite equation caracteristique .

En particulier, pour la matrice 2 x 2

a11 a12

a21 a22

l’equation caracteristique s’ecrit

a11 −λ a 12

a21 a22 −λ = λ2

−(a11 + a22 )λ + ( a11 a22 −a12 a21 ) = 0

Les valeurs propres sont donc

λ1 ,2 = (a11 + a22 ) ± (a11 + a22 )2 −4(a11 a22 −a12 a21 )2

9





L’equation caracteristique est

7 −λ −2 1

−2 10−λ −2

1 −2 7−λ

= λ3

−24λ2 + 180λ

−432 = 0

Les solutions de cette equation sont 6, 6, et 12 :

Pour λ = 6, nous avons

−1 2 −12 −4 2

−1 2 −1

x1

x2

x3

= 0

c’est-a-direx1 −2x2 + x3 = 0

Comme vecteurs propres, nous choisirons deux vecteurs orthogonaux, par exemple :

10

−1 et

111

De meme, pour λ = 12, on choisira par exemple le vecteur

1

−21

En normant ces trois vecteurs, nous obtenons la matrice

A =1/ √ 2 1/ √ 3 1/ √ 60 1/ √ 3 −2/ √ 6−1/ √ 2 1/ √ 3 1/ √ 6

Et on veriera que A diagonalise S, c’est-a-dire D = A − 1 SA est diagonale, et que seselements sont bien les valeurs propres de S . Notons que la matrice A ne doit pas forcementetre normee.

Une matrice carree X (n x n) est diagonalisable si elle possede n valeurs propres distinctes(condition suffisante mais pas necessaire).

Exemple :

Considerons la matrice

X =1 2 00 3 02 −4 2

Les valeurs propres de cette matrice sont 3, 2 et 1. Ces trois valeurs etant distinctes, lamatrice X est diagonalisable et la matrice A qui diagonalise X est composee des vecteurspropres de X :

A = −1 0 −1

−1 0 0

2 1 2On veriera que D = A − 1 XA est une matrice diagonale dont les elements sont les valeurspropres de X .

11



References

• Ayres F (1978) Matrices : Cours et problemes, Serie Schaum.

• Depiereux E (2000) Note de cours, DEA en Bioinformatique.

12





Agben

re

C

cM

rce



E x er c i c e

3

P ar t i e1



E x e r c i c e 3

L ’ e s p a c ev e c t or i el c on s i d é r é d an s c e t

ex e

r c i c e e s t : E

=

I R



E x e r c i c e 3

1 ) S

oi t u unv e c t e ur d e

,u

e s t d el a

f or m e:

av e c :

1 F ) z , y ,x ( u

0 z

yx2

yx2 z



E x e r c i c e 3

1 ) U

nv e c t e ur u d e

p e u t d on c s ’ é c r i r e:

On

p e u t d é c om p o s er u d el am ani è r e

s u

i v an t e:

1 F

) yx2 ,

y ,x ( u



) y , y , 0 ( ) x2 , 0 ,x (

u

D on c :

2

1

y V

x V

) 1 ,1 , 0 ( y ) 2 , 0 ,1 ( x u

) 2 , 0 ,1 ( V1

A v e c :

) 1 ,1 , 0 (

V2

e t







E x e r c i c e 3

2 ) S


,u

e s t d el a

f or m e:

av e c :

e t

2 F ) z , y ,x ( u

0 x2

y 3

z

0

x

0 z

y 3



E x e r c i c e 3

2 ) U

nv e c t e ur u d e


av e c

2 F

) 3 ,1 , 0 ( y )

y 3 , y , 0 (

u

y V

u

) 3 ,1 , 0 (

V

)

V (

V e c t

F 2

A i n s i



C on c l u s i on:

e s t d on c un s o u s - e s p a c ev e c t or i el

d e

2 F

3 I R



E x e r c i c e 3

3 ) S


,u

e s t d el a

f or m e:

av e c :

e t

3 F ) z , y ,x ( u

0 z x

y 3 z x

y 3 z

z x

0 z

y 3



E x e r c i c e 3

3 ) U

nv e c t e ur u d e


av e c

3 F

) 3 ,1 , 3 ( y ) y 3 , y , y 3 (

u

y W

u

) 3 ,1 , 3 (

W

)

W (

V e c t

F 3

A i n s i



C on c l u s i on:


d e

3 F

3 I R



E x e r c i c e 3

4 ) S


,u

e s t d el a

f or m e:

av e c :

e t 4 F ) z ,

y ,x ( u

0 z y

x

0 y4 x 3

yxz

0 ) yx ( 5 yx2

yxz

0

z 5 y

x2



x4 3

y

x4 1

z

x4 3

y

yx

z



4 ) U

nv e c t e ur u d e


av e c

4 F

) 4 1 ,4 3 ,1 ( x ) x4 1 ,x

4 3 ,x ( u

x U

u

) 4 1 ,4 3

,1 (

U ) U (

V e c t

F 4

A i n s i



4 ) O

u en c or e

( a u t r em ani è r e

) :

av e c

) 1 , 3 ,4 ( x4 1 ) 4 1 ,4 3 ,1 ( x u

'

x U u

U4

) 1 , 3 ,4 ( ' U

) ' U (

V e c t

F 4

A i n s i



C on c l u s i on:


d e

4 F

3 I R



E x e r c i c e 3

5 ) S


,u

e s t d el a

f or m e:

av e c :

5 F ) z , y ,x ( u

x 5 y4 z 3 x2

yx

z

3 4

3 7



5 ) U

nv e c t e ur u d e


On

p e u t d é c om p o s er u d el am ani è r e

s u

i v an t e:

5 F

) yx

, y ,x ( u

3 4

3 7



) y

, y , 0 ( ) x , 0 ,x ( u

3 4

3 7

D on c :

2

1

yT

xT

) ,1 , 0 ( y ) , 0 ,1 ( x u

3 4

3 7

) , 0 ,1 (

T

3 7

1

A v e c :

) ,1 , 0 (

T

3 4

2

e t



5 ) A

i n s i , unv e c t e ur

q u el c on

q

u e d e

e s t c om b i n ai s onl i n é ai r e d e s v e c t e ur s

e t

e s t en

g en d r é

p a

r c e s d e ux v e c t e ur s .

On a al or s

:

5 F

1 T

2 T

5 F

) 2 T ,1 T (

V e c t

5 F



5 ) O

u en c or e

( a u t r em ani è r e

) :

A v e c :

) 4 , 3 , 0 ( ) 7 , 0 , 3 (

u

3 y

3 x

' T

' T

u

2 3 y

1 3 x

1

1

T 3

) 7 , 0 , 3 ( ' T

) ' T ,' T (

V e c t

F

2 1

5

A i n s i

e t

2

2

T 3

) 4 , 3 , 0 ( ' T



C on c l u s i on:


d e

5 F

3 I R



E x e r c i c e 3

6 ) S


,u

e s t d el a

f or m e:

av e c :

e t 6 F ) z ,

y ,x ( u

z 6 y y2 x

x2

z 3 z 6

y



) z 6

y ( 2 z 3

z 6 y

z 6 yx

z 3 y

z 6 yx

z 3 y

z 3 x



6 ) U

nv e c t e u

r u d e

p e u t d o

n c s ’ é c r i r e:

On

p e u t d é

c om p o s er u d el am ani è r e

s ui v an t e:

A v e c

.A i n s i

6 F

) z ,z 3 ,z 3

( u

z V

) 1 , 3 , 3 ( z u

) 1 , 3 , 3

( V

) V (

V e c t

F 6



C on c l u s i on:


d e

6 F

3 I R



T h é or è m e:

S oi t E un e s p a c ev e c t or i el r é el

F e t G s on t d e ux s o u s - e s

p a c e s v e c t or i el s

d eE

al or s :

e s t un s o u s - e s p a c ev e c t or i el d

eE

G

F

Eecce3

Q

o2

Ine

se

o

do

ep

e

veoes



e t

s on t d e ux s o u s - e s


d e

al or s

e s t un s o u s - e s p a c e

v e c t or i el d e

2

1

F F

Eecce3

Q

o2

Ine

se

o

do

ep

e

veoes

1 F

2 F 3 I R

3 I R







e t

s on t d e ux s o u s - e s


d e

al or s

e s t un s o u s - e s p a c e

v e c t or i el d e

4

3

F F D

m

m

3 F

4 F 3 I R

3 I R





0

z

0

y

0

x

/

F

F

0

z 5 z

z2

0 zz

zz

y

z

x ) z , y ,x (

3 1 3 1 3 1

4

3 A i n s i :

) 0 , 0 , 0 ( F

F

4

3

( V e c t e ur n ul )



Dm

m

) 0 , 0 , 0 (

F F

6

5

, ,

) 0 , 0 , 0 ( ) 0 , 0 , 0 (

F 1

6

5

1

6

5

1

F

F

F F

F F





T h é or è m e1 :

S oi t E un e s p a c ev e c t or i el r é el

F e t G s on t d e ux s o u s - e s


d eE

al or s :

e s t un s o u s - e s p a c ev e c t or i el d eE

G v ; F u / v u GF

Ee

cce3 Q

o3

S

m

d

o

epeveoes



T h é or è m e2 :

) G

F d i m (

) G d i m (

) F

d i m (

) GF

d i m ( S

m

d

o

epeveoes



av e c

C omm

e

e t

f or m en t un ef ami l l e

g é n é r a t r i c e d e

, p o ur s av oi r s ’ i l s f or m e

n t un eb

e d e

o u

n on ,i l s uf f i t d ev oi r s ’ i l s s on t l i n é ai r em

en t

i n d é p en d an t s o u

n on.

2

1

F F ) 2

V ,1 V (

V e c t

1 F

) 1 ,1 , 0 (

V

) 2 , 0 ,1 (

V2 1

1 V

2 V

1 F

1 F





e t

s on t l i n é ai r em en t i n d é p en d an t s

e t c om

m ei l s en

g en d r en t

( c ’ e s t - à - d i r e

f or m en t un ef am

i l l e g é n é r a t r i c e d e

) al or s i l s

f or m en t un eb

e d e

1 V

2 V

1 F

1 F

1 F

2 ) F d i m ( 1



1 ) F d i m ( 2

Un eB

e d e

e s t f or m é e p ar l ev e c t e ur

( v oi r c i - d e s s u s )

2 F ) 3 ,1 , 0 (

V



C omm e:

A l or s

:

e t c omm e

On o b t i en t :

A i n s i :

) F

F d i m (

) F d i m (

) F

d i m (

) F F

d i m (

2

1

2

1

2

1

) F F

d i m (

1 2

) F F

d i m (

2

1

2

1

0 ) 0 , 0 , 0 (

d i m )

F

F

d i m (

2

1

3 0

1 2

) F F

d i m (

2

1



E t c omm e

e s t un s o u s - e s p a c e d e

A l or s

:

R em ar q u e: S i F e s t un s o u s - e s p a c ev e c t or i el d eE

t el q u e

al or s

f i n al em

en t :

3

2

1

I R

d i m 3

) F F

d i m (

2

1

F

F

3 I R

3

2

1

I R

F F

) E

d i m (

) F

d i m (

E F



M ê m em é

t h o d e p

o ur

3

6

5

I R

F F

6

5

F

F

2

) F

d i m (

5

Un eB

e d e

e s t f or m é e p ar l e s d e ux v e c t e ur s

e

t


5 F

1 T

2 T

Un eB

e d e

e s t f or m é e p ar l ev e c t e ur


6 F ) 1 , 3 , 3 (

V

1 ) F

d i m (

6

F i n al em en t on

t r o uv e:



4 .

O

ui

e t

s on t s u p pl é m en t ai r e s c ar

:

E x er c i c e 3 - Q u e s t i on s 4 & 5

5 F

6 F

3

6

5

I R

F F



5 .

O

ui

e s t un e s omm e d i r e c t e c ar

:

e t

D a

n s c e c a s on é c r i t :

E x er c i c e 3 - Q u e s t i on s 4 & 5

3

2

1

I R

F F

) 0 , 0 , 0 (

F F

2

1

2

1

F F

3

2

1

I R

F F



21/10/2010

1

Algèbre linéaireAlgèbre linéaire

Contenu du cours :Contenu du cours :A. Espaces vectoriels de dimension finie,

sous-espaces vectoriels, bases, dimension

B. Applications linéaires, noyau, rang, image

C. Matrice d’une application linéaire,Opérations sur les matrices, changementde base, matrices particulières,Diagonalisation

Partie 1Partie 1



21/10/2010

2

Introduction : RappelsIntroduction : Rappels

Systèmes d’équations linéairesSystèmes d’équations linéaires

Un système d’équations linéaires (ou systèmelinéaire ) de n équations et à p inconnus (noustraitons ici le cas général ) est de la forme :

=++++

=++++

=++++

pbpxnpa3xn3a2xn2a1xn1a

2bpx2pa3x23a2x22a1x21a1bpx1pa3x13a2x12a1x11a

...

...

...

..

.: S



21/10/2010

3

, , …, sont les inconnus ( à chercherdans IR )

: coefficient dans la i èmeèmeèmeème équation del’inconnu ( ; )

1x 2x px

ija

jx ni1 ≤≤ p j1 ≤≤

...xa... jij ++

coefficient inconnu

ièmeèmeèmeème équation

Exemple 1 : :: : ( (( ( 2 22 2 équations & 4 inconnus) ) ) )

=+++=++

530044x36x27x13x280049x-35x23x12x:S


=−=+−

=−=+

1y3x74yx

0y2x52yx

:S Notés x et y



21/10/2010

4

Exemple 3 : :: : ( (( ( 3 équations & 3 inconnus) ) ) )

=++−

=+−

=++

05z4yx

4zy2x

23z2yx

:S Notés x, y et z

=+−+−=++

=+++

103t5zyx82tzy-2x

22t6z12y5x:S


Cas particulier de systèmes linéaires systèmes linéaires de n équations et à n inconnus

=++++

=++++=++++

nbnxnna3xn3a2xn2a1xn1a

2bnx2na3x23a2x22a1x21a1bnx1na3x13a2x12a1x11a

...

...

...

...

.:

On parle dans ce cas de système linéairecarré



21/10/2010

5


=++−=−+

=++

3zyx4z2y2x

2z5yx:S

==+3y-2x

133y5x:S


Algorithme de Gauss

« C’est la Méthode d’élimination »

L’algorithme de Gauss (ou la Méthode de Gauss ),plus connu sous le nom de : La méthode de Pivot de Gauss, est la méthode la plus rapide pour résoudre un système linéaire

Résolution des systèmes linéaires(Partie 1)



21/10/2010

6

Pour résoudre un système linéaire, nous utilisons :

La méthode du Pivot Partiel

Ou

La méthode du Pivot Total

La méthode du pivot partiel

Se compose de 2 étapes :

1. La descente : consiste à créer des « 0 »

sous la diagonale principale, en effectuantdes opérations élémentaires sur les lignes(c’est-à-dire les équations)du système

2. La remontée : pour extraire les solutions(une à une) du système





21/10/2010

8

Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente

3L

2L

1L

83

14

143112321

S−

−↔

13L

3L

3L

12L

2L

2L

1L

1L

34-25-14

102-05-50321

−←−←

←

−−

22L

35L

3L

2L

2L

1L

1L

120-25-14

40-005-5-0321

−←←←

Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée

=−=−−=−−=++

3z12040z255z5y143z2yx

==−=×−−

=++

3z2y25355y

143z2yx

==

==×+×+

3z2y

1x143322x

Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant :

Le systèmeLe systèmeLe systèmeLe système S SS S admet donc uneadmet donc uneadmet donc uneadmet donc une solution uniquesolution uniquesolution uniquesolution unique« «« « dans l’ordre dans l’ordre dans l’ordre dans l’ordre » »» » ::::(1 , 2 , 3)(1 , 2 , 3)(1 , 2 , 3)(1 , 2 , 3)

L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : = 1,2,3)(S



21/10/2010

9

Exemples

2. Résoudre le système linéaire suivant, en utilisant un pivot partiel :

S :=++−

=+−=++

0z5y4x4zyx22z3y2x

Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente Étape 1 : La descente

3L

2L

1L

042

541-112321

S −↔

1L

3L

3L

12L2L2L1

L1

L

20

2

8605-50

321

+←−←

←

−

26L

35L

3L

2L

2L

1L

1L

1002

10005-5-0321

+←←←



21/10/2010

10

Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée

===−−

=++

1z1010z05z5y

23z2yx

===×−−

=++

1z-1y0155y

23z2yx

=−=

==×+×+

1z1y

1x213-12x

Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant : Le dernier tableau correspond au système suivant :

Le systèmeLe systèmeLe systèmeLe système S SS S admet donc uneadmet donc uneadmet donc uneadmet donc une solution uniquesolution uniquesolution uniquesolution unique« «« « dans l’ordre dans l’ordre dans l’ordre dans l’ordre » »» » ::::(1 ,(1 ,(1 ,(1 , - -- -1 , 1)1 , 1)1 , 1)1 , 1)

L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : L’ensemble solution est donc : = 1,-1,1)(S

Exercice 1

Résoudre les deux systèmes linéaires suivants,en utilisant un pivot partiel :

S 1 : S 2 :=+−=+−

=++

3zy2x9z2yx2

6zyx

=++−=+−−=++

7z5yx10zy2x24zy4x





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12

Un espace vectoriels sur IR est un ensemble E

; non vide ; muni d’une structure algébriqueparticulière . Les éléments de E sont appelésvecteurs .

Cette structure algébrique est dueessentiellement aux deux propriétés suivantes :

; on a :

; on a :

IRα Eu Euα

Eu Ev Evu +Loi de composition externe

Loi de composition interne

scalaire vecteur

Exemple fondamental

Considérons l’ensemble suivant :

E = IRnnnn

= IRx,...,x,x / )x,...,x,x( nn 2121

nIR



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13

n = 2 :

Ensemble des couples

n=3 :

Ensemble des triplets

= IRx,x,x / )x,x,x( 321321

3

IR

= IRx,x / )x,x(2121

2IR

−−= );...7,6,8();9,3,0();5,1,4();0,0,0(...;IR3

Ensemble des triplets : ensemble infiniinfiniinfiniinfinireprésente l’espace de dimension 3





21/10/2010

15

La loi de composition externe est définie de la manière suivante :

=α )x,...,x,x( n21 )x,...,x,x( n21 ααα

u uα

La loi de composition interne est définie de la manière suivante :

+)x,...,x,x( n21 )y,...,y,y( n21

u v

)yx,...,yx,yx( nn2211 +++=

vu+



21/10/2010

16

Exemple 1

L’espace vectoriel considéré est :

E = IR2222

)0,0()1,5()1,5( =+−−)4,8()1,2(4 −=−

Exemple 2

L’espace vectoriel considéré est :

E=

IR3333

)10,1,6()12,1,5()2,0,1( −=−+)30,10,20()3,1,2(10 −=−



21/10/2010

17

1. Notion de combinaison linéaire

Soit E EE E un espace vectoriel sur IR .

, , … , sont nnnn vecteurs de Eest un vecteur de E

est combinaison linéaire de , , … ,

, , … , tels que :

u

uv

u

v

u

u

u

α

α

α Inn2211 uuu ...v ααα +++=

Définition



21/10/2010

18

On considère dans les 3 vecteurssuivants :

, et

Soit un vecteur quelconque deTrouver une condition nécessaire

et suffisante sur a, b et c pour que le vecteursoit combinaison linéaire de , et

)3,1,2(u =

)c,b,a(U

u

u

u

Exemple (voir Exercice 1, TD)

)2,5,3(u −=

)12,13,5(u −−=

3IR

3

IR

U

est combinaison linéaire de , et

, ,

tels que :

)c,b,a(U

u

u

u

α β I

321 uuuU βα ++=





21/10/2010

20

Si le système SSSS admet des solutions dansIR (c’est-à-dire , et existent )

alors le vecteur est combinaisonlinéaire des vecteurs , et

Sinon, c’est-à-dire si le système SSSS n’admetpas de solutions dans IR, alors le vecteurn’est pas combinaison linéaire des vecteurs

, et

)c,b,a(U

u

u

α β

u

U

u

u

u

=γ +β−α =γ −β+α

=−β+α

c1223 b135

a532 Ligne 1

Ligne 2

Ligne 3

Système linéaire à 3333 équations et 3333 inconnues

S :

Résolution du système S





21/10/2010

22

Deux cas se présentent :

1111 erererer cascascascas ::::

Dans ce cas :

0a34b26c14 =−+

0a17b13c7 =−+

Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Étape 2 : La remontée Le dernier tableau correspond au systèmesuivant :

γ =γ

γ +−=β−=γ +β−

γ −−=α

=γ −γ +−+α=γ −β+α

quelconqueIR00

3)ab2(7

1b2a217

2)b3a5(71

a5)21ab2(7

32a532



21/10/2010

23

Le système SSSS admet donc une infinité de solutions :

L’ensemble solution est :

γ γ γ +γ = IR)/ ,3a)-(2b71,2-3b)-(5a

71(S

γ

γ +−=β

γ −−=α

quelconqueIR

3)ab2(7

1

2)b3a5(71

Le système SSSS admet des solutions dans IR(une infinité de solutions) .

Le vecteur est combinaison linéairedes vecteurs , et .

)c,b,a(U

u

u

u

0a17b13c7 =−+1èr cas1èr cas1èr cas1èr cas :



21/10/2010

24

Nous avons en particulier :

Ceci

0a17b13c7 =−+1èr cas1èr cas1èr cas1èr cas :

321 uuu]2)b3a5(7

1 ]3)ab2(7

1[[U γ γ −− +γ +−+=

IR

2ème cas :2ème cas :2ème cas :2ème cas : 0a17b13c7 ≠−+Dans ce cas le système SSSS présente une

contradiction. Le système SSSS n’admet doncpas de solution dans IR.

Le vecteur n’est pas combinaisonlinéaire des vecteurs , et

)c,b,a(U

u

u

u



21/10/2010

25

Application 1

, ,6a)17,17,6(v −=−−= 17b −= 17c=

0)6(17)17(13177 =−×−−×+×Le vecteur est combinaison linéaire desvecteurs , et .

v

u

u

u


C’est-à-dire :

CeciCeciCeciCeci

321 uuu]2)b3a5(71 ]3)ab2(

71[[v γ γ −− +γ +−+=

321 uuu )43()23(v +−+−=

IR





21/10/2010

27


C’est-à-dire :

CeciCeciCeciCeci

321 uuu]2)b3a5(71 ]3)ab2(

71[[0 γ γ −− +γ +−+=

321 uu3u20 − ++=

IR



T r av a ux Di r i g

é s

M a t h ém a t i q u e s – S 3

www. S em e s t r e1 2 3 4 5 6 .m ei l l e ur f or um. c om



A l g è b r el i n é ai r e

&

C al c ul M a t r i c i el



E x

e

r c i c e s

4 & 5

& 6

P ar t i e1



E x

er c i

c e4

R a p p el :

S oi t E un e s p a c ev e c t or i el s ur I R d e

d i m en s i onn

e s t l af ami l l e c on s t i t u é e d e s pv e c t e

ur s

,

,… ,

d eE

e s t un ef am

i l l e g é n é r a t r i c e d eE

s i t o u t v e c t e ur

d eE

e s t c om b i n ai s onl i n é ai r e d e

, ,… ,

n

) E

d i m (

1 u2 u

p u

1 u

2 u

p u





E x

er c i

c e4

T h é or è m e:


d i m en s i onn

Un ef ami l l e

g é n é r a t r i c e d eE c on t i en t a um oi n s n

v e c t e ur s

Un ef ami l l el i b r e d eE c on t i en t a u

pl u s nv e c t e ur s

Un e b a s e d eE

c on t i en t n

v e c t e ur s



E x

er c i

c e4

T h é or è m e:


d i m en s i onn

T o u t ef ami l l e

g é n é r a t r i c e d eE c on t en an t n

v e c t e ur s e s t un e b a s e d eE

T o u t ef ami l l el i b r e c on t en an t nv e c t e ur s e s t un e

b a s e d eE



E x

er c i

c e4

T h é or è m e:


d i m en s i onn

e s t un ef ami l l e c on t en an t nv e c t e ur s . On a:

e s t l i b r e

e s t g é n é r a t r i c e

e s t un e b a s e

d é t er mi n an t (

)

0



E x

er c i

c e4

1 ) L ’ e s p a c e c on s i d é r é e s t

.

e s t

l af ami l l e c o

n s t i t u é e p ar :

;

.

c on t i en t 2v e c t e ur s ,

d e t (

)

d on

c

e s t un e

f ami l l el i b r e

e t g é n é r a t r i c e d e

.

e s t un e b a s e d e

2 I R

) 2 ,1 ( u1

) 1 ,1 (

u2

2 ) 2

I R

d i m (

0 3

2 1

1

2

1

1

2 I R

2 I R



E x

er c i

c e4

L af ami l l e

e s t c on s t i t u é e d e:

.

c on t i en t 1v e c t e ur ,

n e p e u t p a s ê t r e

g é

n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l el i b r e.

S oi t

d on c

e s t un ef ami l l el i b r em ai s n on

g é

n é r a t r i c e.

n’ e s t p a s un e

b a s e d e

) 4 ,1 (

u1

0

) 0 , 0 ( ) 4 ,

(

) 0 , 0 ( ) 4 ,1 (

0

u1

2

I R

I R



E x

er c i

c e4

L af a

mi l l e

e s t c on s t i t u é e d u

v e c t e ur n ul :

. c on t i en t 1v e c t e ur ,

n e p e u t p a s

ê t r e

g é n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l el i b r e.

S oi t

p ar ex em

pl e:

:

p o ur t an t

n’ e

s t p a s un ef ami l l el i b r e.E l l en’ e s t p a

s g é n é r a t r i c e.

n

’ e s t p a s un e b a s e d e

) 0 , 0 ( 0

u1

0

) 0 , 0 (

) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 (

0 u1

2 I R

I R

5

) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( 5

u1

0



E x

er c i

c e4

L af ami l l e

e s t c on s t i t u é e d e s v e c t e ur s :

,

,

n e

p e u t p a s ê t r el i b r e ,v é r i f i on s s i el l e e s t g é n é r a t r i c e.

Onr em ar q u e q u’ on p e u t ex t r ai r e d e

un e b a s e d e

P r en on s

p ar ex em

pl e

e t

:


… d on c

e s t un ef ami l l e

g é n é

r a t r i c e d e

.

n’ e s t

p a s un e b a s e d e

) 2 ,1 ( u1

2 I R

) 3 ,2 (

u2

) 0 ,1 (

u 3

1 u

3 u

0

2

2 0

0

2

1

1

) u , u

d e t (

3

1

) u , u (

3

1

2 I R

2 I R

2 I R



E x

er c i

c e4

2 ) L ’ e s p a c e c on s i d é r é e s t

.

e s t

l af ami l l e c o

n s t i t u é e p ar :

;

.


d on c

n e p e u t p a s ê t r e g é n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l e

e s t l i b r e.

e s t un ef ami l l e

l i b r e. n’ e s t p a s un e b a s e d e

3 I R

) 1 ,2 ,1 (

u1

) 1 , 0 ,1 (

u2

3 )

3 I R

d i m (

3 I R

) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 ,1 (

) 1 ,2 ,1 (

0

u

u

2

1

0 0

) 0 , 0 , 0 ( ) , 0 , ( ) ,2 ,

(



E x

er c i

c e4

L af ami l l e

e s t c on s t i t u é e p ar :

;

e t

c on t i en t 3v e c t e ur s , on c al c ul e s on d é t er mi n an t :

e s t un ef ami l l el i b r e e t g é n é r a t r i c e d e

.

e s t un e b a s e d

e

) 9 , 6 , 7 (

u1

) 6 ,4 ,1 (

u2

3 I R

) 2 , 6 , 3 (

u 3

6

9

4

6 3

2

9

6

6

2

6

6

4 7

2 6

9

6 4

6

3 1

7 ) F d e t (

0

1 5 4

0 3

4 2

2 8

7 ) F

d e t (

3 I R



E x

er c i

c e4

L af ami l l e


;

.


d on c n e p e u t p a s ê t r e g é n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l e

e s t l i b r e.

e s t un ef ami l l el i b

r e. n’ e s t p a s un e b a s e

d e

) 2 , 6 , 3 (

u1

) 4 ,1 2

, 6 (

u2

3 I R

) 0 , 0 , 0 ( ) 4 ,

1 2

, 6 (

) 2 , 6 , 3 (

0

u

u

2

1

) 0 , 0 , 0 ( ) 4

,

1 2 , 6 ( ) 2 , 6 , 3 (

0 0

0

2

0

2



E x

er c i

c e4

L af ami l l e


;

.


d on c n e p e u t p a s ê t r e g é n é r a t r i c e.V é r i f i on s s i el l e

e s t l i b r e.

n’ e s t p a s un ef am

i l l el i b r e. n’ e s t p a s un e b a s e d e

) 6 ,4 ,2 (

u1

) 9 , 6 , 3 (

u2

3

I R

) 0 , 0 , 0 ( ) 9 , 6 , 3 (

) 6 ,4 ,2 (

0

u

u

2

1

) 0 , 0 , 0 ( ) 9 , 6 , 3

( ) 6 ,

4 ,2 (

2

1

u

u

0 3

2

3 2

3 2



E x

er c i

c e4

L af ami l l e


;

e t

c on t i en t 3v e

c t e ur s , on c al c ul e s on d é t er mi n an t :

S i


S i

n’ e s t ni l i b r e ,ni

g é n é r a t r i c e.

) 2 , 6 , 3 (

u1

) 3 , 0 ,1 (

u2

3 I R

) c , b , a (

u 3

3

2

0

6 a

c

2

b

6

c

3

b

0 3

c 3

2

b 0

6

a 1

3 ) F d e t (

c 6 b 7 a

1 8

) F d e t (

0 c 6 b 7 a 1 8

0 c 6 b 7 a 1 8



E x

er c i

c e 5

S oi t

,

e t

t r oi s n om

b r e s r é el s

( s c al ai r e s ) :

c ar

(

,

,

)

e s t un ef ami l l el i b r e.

N o u s al l on s u t i l i s er unP i v o t p ar t i el p o ur r é s o u d r e c e

s y s t è m el i n é ai r e

:

0 ) u

u (

) u u (

) u

u

1

3

3

2

2

1 (

0 0 0

0

) (

)

(

)

3

2

1

u

u

u

(

1 u

2 u

3 u



E x

er c i

c e 5

0 0 0

3 2 1 L L L

0 0 0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

2 L

L

L L

L L L

3

2 1

3 2 1

0 0 0

2

0

0

1 -

1

0

1

0

1

0 0 0

0

2

0 0

3

1

2

1

3 2 1

L L

L L

L L L

0 0 0

1

1

0

1 -

1

0

1

0

1

L af ami l l e

e s t d on c un e

f ami l l e

l i b r e

) u u ,

u

u , u

u (

1

3

3

2

2

1



E x

er c i

c e 5

S oi t

,

,

e t

q u a t r e

n om b r e s r é

el s ( s c al ai r e

s ) :

c ar

(

,

,

,

) e s t un ef ami l l el i b

r e.

0 ) u

u (

) u u (

) u

u (

) u

u

1

4

4

3

3

2

2

1 (

0 0 0 0

0

u )

(

)

(

)

(

)

4

3

2

1

u

u

u

(

1 u

2 u

3 u

4 u



E x

er c i

c e 5

0 0 0 0

4 3 2 1 L L L L

0 0 0 0

1 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

4

4

3

3

1

2

2

1

1

L

L

L

L

L

L

L

L

L

0 0 0 0

1 0 1 - 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1

4

4

2

3

3

2

2

1

1

L

L

L

L

L

L

L

L

L

0 0 0 0

1 1 1 - 1

1 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

3

4

4

3

3

2

2

1

1

L

L

L

L

L

L

L

L

L

0 0 0 0

0 1 1 - 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



L e d er ni er t a b l e a u c or r e s p on d a u s y s t è m e s ui v an t :

L e s y s t è m e a d m e t d on c un ei nf i ni t é d e

s ol u t i on:

l af ami l l e

n

’ e s t p a s l i b r e ,

el l e e s t l i é e.

E x

er c i

c e 5

q u e l c on q u e

;

0 0 0

) u

u , u

u , u

u , u

u (

1

4 4

3

3

2

2

1





E x

er c i

c e 6

S oi t

l a b a s e c an oni q u e d e

.

L ev e c t e ur t s

’ é c r i t d an s

l a b a s e c a

n oni q u e:

L ev e c t e ur t s ’ é c r i t d an s

l a b a s eB:

N o u s v o ul on s ex

pr i m er x ’ ;

y ’ ; z ’ enf on c t i on d ex ; y e t z

, , onr em

pl a c e d an s ( 2 ) :

) e , e , e (

3

2

1

3 I R

( 1 )

3

2

1

z e

y e

x e

t

( 2 )

w' z v' y u'

x t

2

1

e

e u

) 0 ,1 ,1 ( u

3

2

e

e v

) 1 ,1 , 0 ( v

3

1

e

e

w

) 1 , 0 ,1 (

w



On

o b t i en t :

E t eni d en t i f i an t av e c ( 1 ) , on o b t i en t :

) e

e ( ' z ) e

e ( ' y ) e

e ( ' x w' z v' y u' x t

3

1

3

2

2

1

3

2

1

e ) ' z ' y (

e ) ' y' x (

e ) ' z ' x ( t

) z y

x (

' z

) z

y

x (

' y

) z

y

x (

' x

z ' z ' y

y' y' x

x' z ' x

2 1 2 1 2 1



A i n s i ,l e s c o or d onn é e s d uv e c t e ur

d an s l a b a s e

B s on t d onn é e s p ar :

P ar ex em

pl e , s i l e s c o or d onn é e s d uv e c t e ur

d an

s l a b a s e c an oni q u e s on t ( 1 ,2 , 3 ) , al or s s e s

c o o

r d onn é e s d an s l a b a s eB s on t ( 0 ,2 ,1

)

) z

y

x (

' z ) ,z

yx

(

' y ) ,z

y

x ( ' x

2 1

2 1

2 1



E x

er c i

c e 6

3 ) L af ami l l eB e s t c on s t i t u é e p ar :

;

e t

B c on t i en t 3v e c

t e ur s , on c al c ul e s on d é t er mi n an t :

P o ur

q u el l e s v al e ur s d em a

- t - on:

?

) 3 ,1 ,m ( u

) 1 ,m , 0 ( v

) m , 0 ,1 (

w

1

m 3

m

1

3

m

1

m

1

0

m

mm

1

3

0

m

1

1

0

m ) B

d e t (

3

0 1

m 3

m 3





A i n s i :

,

e t

t el s q u e:

P o ur c e s t r oi s

v al e ur s d e

m on a:

e t d

on c Bn’ e s t p a s un e b a s e d e

[ 1

,

]

m1

0 )

m ( f ) m ( f

) m ( f

3

2

1 E x

er c i

c e 6

[ 1 ,1 ]

m2

[

,1 ]

m 3

0 ) B

d e t ( 3

I R



Université Mohammed V – AgdalFaculté des Sciences Juridiques,

Economiques et socialesRABA

http://www.fsjesr.ac.ma

–

!

Filière de Sciences Économiques et de Gestion

Semestre ! S " Module ! M #$ %Méthodes &uantitatives 'V(Mati)re : Algèbre IIRes*onsa+le de la mati)re ! Salma ASSER

Professeure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été1111

C C C H H H AAA P P P I I I T T T R R R E E E 2 2 2 : : : PPP RRR OOO DDDUUUIII TTT SSSCCC AAALLL AAAIII RRR EEE ---OOO RRRTTT HHH OOO GGG OOO NNNAAALLL III TTT ÉÉÉ

11.. P P r r ood d uui i t t ssc c aa l l aa i i r r ee E E x x ee r r c c ii c c ee 11 . . 11

1) Parmi les applications suivantes définies de vers , lesquelles sont des formes bilinéaires ? des produitsscalaires ?, , , , , 4 9 2 2 2, , , , , 3 4 2, , , , , 3 4 5, , , , , 13 6 2 2, , , , , 2 5 2 3

, , , , , 2

2) Pour les formes bilinéaires, écrire la matrice dans la base canonique de et retrouver les produits scalaires.

E E x x ee r r c c ii c c ee 11 . . 2 2

1) Ecrire l’expression analytique de la forme bilinéaire associée à chacune des matrices suivantes :1 0 20 5 01 0 4,1 0 20 5 02 0 3,

1 0 20 5 02 0 4,1 0 20 5 02 0 5,1 1 11 1 11 1 1,

2 1 11 2 11 1 2,2 1 11 2 11 1 2,

1 1 11 1 01 0 0

2) Parmi ces matrices, lesquelles définissent un produit scalaire ?

E E x x ee r r c c ii c c ee 11 . . 3 3 1) Pour chacune des formes bilinéaires ci-dessous, écrire la matrice dans la base canonique de : , 2 2 2,, 2 2 2, 2 2 2

2) Parmi ces formes bilinéaires, lesquelles sont-elles des produits scalaires sur ? E E x x ee r r c c ii c c ee 11 . . 4 4

Pour quelles valeurs du réel , la matrice définit-elle un produit scalaire ?

1 2 21 3 00 2 1, 1 11 11 1 , 1 11 01 0



-S4, Module M 1 : M! I", Matière : Algèbre II . #$ercices du c%a&itre ' : Produit scalaire(ort%ogonalit)

Professeure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été2 22 2

'' .. ** r r t t %%ooggoonnaa l l i i t t ))

E E x x ee r r c c ii c c ee 2 2 . . 11

1) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2, 1,1 et 0,3,1, 1.a. Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel

!"#$, %.

b. Déterminer le sous espace vectoriel &.

2) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 3,1, 1,3, 5,1,5, ' et1,1, 2,(.a. Déterminer une base orthonormée du sous espace vectoriel !"#$, %.b. Déterminer le sous espace vectoriel &.

E E x x ee r r c c ii c c ee 2 2 . . 2 2

1) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2, 1, 2, 2,3,0,,5, 2, 5, 2 et (,10, 10,4.a. Vérifier que

) $, , , % est une base de .

b. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base ) pour construire une base orthonormée de .

2) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère les vecteurs : 1,2,2, 1,3,1, et 0,12,6.a. Vérifier que ) $, , % est une base de .b. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base ) pour construire une base orthonormée de .


1) Soit le sous espace vectoriel de engendré par les vecteurs : 1,0,2 et 4, 1,0.a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de &.b. En déduire une base orthonormée de .

2) Soit le sous espace vectoriel de engendré par les vecteurs :

1,0,1 et

1, 1,2.

a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de &.b. En déduire une base orthonormée de .


1) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :$, ,*,#+ * # 0 !# 2 3* 4# 0% a. Déterminer une base orthonormée de et une base orthonormée de &.b. En déduire une base orthonormée de .

2) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :

$, ,*,#+ * # 0 !# * 0%

a. Déterminer une base orthonormée de et de &.b. En déduire une base orthonormée de .

3) Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le sous espace vectoriel :$, ,*,#+ * # 0 !# 2* 3# 0% a. Déterminer une base orthonormée de et de &.b. En déduire une base orthonormée de .




Professeure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été3333

++.. r r ooi i t t eess - - & &l l aa nnss


Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation

-. 3 2* 0 et les droites

d’équations / . * 02 * 0 et . 6 2 3*.

1) Les droites / et sont-elles contenues dans le plan -?2) Déterminer

a. l’intersection de chacune des deux droites avec le plan -.b. l’intersection des deux droites.c. -&, /& et &.


Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation -. * 0 et les droites

d’équations

/ .2 3 4* 02 3* 0 et

. *.

Reprendre les questions de l’exercice précédent.


Dans muni du produit scalaire usuel, on considère le plan d’équation -. 2* 0 1) Déterminer -&.2) Déterminer une base orthonormée de - et de -&.


On considère les deux plans de : -. 2 3* 0 !#- . * 0. Déterminer :1) l’intersection des deux plans et .2) une base orthonormée de et de .3) & et &.4) une base orthonormée de et une base orthonormée de &.


On considère les deux plans de : -. 2 3* 0 !#- . 2 3 4* 0 Reprendre les questions de l’exercice précédent.




Professeure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSERProfesseure Salma DASSER Session printemps Session printemps Session printemps Session printemps- -- -été été été été4 44 4

44.. I I mmaa ggee eet t nnoo aa uu d d / / uunnee mmaa t t r r i i c c ee


Pour chacune des matrices :

1 0 20 5 02 0 4,1 1 11 1 11 1 1,

3 1 01 2 10 1 3,1 1 11 1 01 0 0,

1 2 12 1 11 1 2,3 1 11 3 11 1 3

1) Déterminer une base de 78 et une base de :;8 . 2) Vérifier que <= >?@!A >B& .


Parmi les systèmes linéaires >CD E et >CD E, lesquels sont compatibles ?

(1) >1 0 20 1 02 0 4 ,EF112G !# EF101G

(2) >1 1 11 1 11 1 1 ,EF111G !# EF222G

(3) >1 1 11 1 01 0 0 ,EF111G !# EF101G

(4) > 3 1 11 3 11 1 3 ,EF112G !# EF111G

(5) > 2 1 11 2 11 1 2 ,EF112G !# EF111G

(6) >1 1 11 0 11 1 3 ,EF210G !# EF101G

(7)

>1 1 11 1 11 1 1 ,EF

111G !# EF

222G



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