Moviment Ondulatori

Moviment ondulatori:Es produeix un moviment ondulatori quan es propaga una pertorbació en un medi material o en el buit. No existeix transport de matèria, nomésd’energia i de quantitat de moviment.

En un medi ones elàstiques

En el buit ones electromagnètiques

Ones transversals: les partícules oscil·len en direccióperpendicular a la de la propagació

Ones longitudinals:les partícules oscil·len en la mateixa direcció a la de la propagació

Segons la direcció de vibració:

Tipus d’ones:

Segons el medi en que es propaguen

Ones superficials: pròpies de la superfície dels líquids, les partícules descriuen trajectòries circulars

1- Característiques

Segons la variació temporal

-Ones periòdiques

-Ones no periòdiques

Ones harmòniquesOnes no harmòniques (Fourier)

Quina magnitud caracteritza una ona???

-Una corda la coordenada vertical

-El so la pressió

-Ones elctromagnètiques (camp elèctric o camp magnètic)

xy

Ones electromagnètiques

Aigua

1500 m/s

Més petita

líquid

Vidre

5260 m/s

340 m/sso

Ones mecàniques

Més petita300.000 km/s

(c)

Ones electromagnètiques

SòlidAire/buitVelocitat de propagació

v

cn

v

cn

La velocitat de propagació d’una ona depèn del medi i de les seves propietats físiques!!!

Exemples:

Ones mecàniques

Ones en una corda

Ones sonores

En un sòlid

En un líquid

En un gas

Ones electromagnètiques En el buit

En un medi

c=300.000 km/s

vcn

Velocitat de propagació

n :índex de refracció

Energia de les ones

Considerem una font que emet ones en totes direccions. S’anomena Front d’ona als punts de l’espai que estan en el mateix estat de vibració. A l’espai superfícies esfèriques concèntriques amb la font. Anomenem raigs a qualsevol direcció de propagació direcció radial

Focus molt llunyà

Fronts d’ona seran plans

raigs paral·lelsF

Ona bidimensional

Si la font emet a una potència P, s’anomena intensitat, I,a la potència rebuda per unitat de superfície a una distància r de la font.

2rπ4

P

S

PI

Recordem que l’energia, i per tant, la intensitat, és proporcional al quadrat de l’amplitud del moviment ondulatori!!

Potència transmesa per una ona mecànica harmònica

22AωvSρ2

1P

Intensitat transmesa per una ona mecànica

harmònica

22Aωvρ2

1I

On és la densitat del medi on es propaga l’ona, S: secció considerada, : pulsació, A amplitud de les oscil·lacions

Anem a analitzar la intensitat per al cas d’una ona acústica

En el cas del so és usual definir la intensitat normalitzada respecta a l’umbral d’audició humana I0= 10-12 W/m2

0IIlog10β

Forma matemàtica: Funció d’ona

Ex: corda lligada per una banda a la paret

xy

v

v: velocitat de la pertorbació

x: direcció per la qual es desplaça la pertorbació.

y: estat de la corda (elongació)

t)f(x,y

x=vt

y y’

O O’

v

x x’

Les coordenades en els dos sistemes de referència estan relacionades :

tvx'xy'y

2 sistemes de referència:

(y,x) estacionari

(y’,x’) es desplaça amb el pols (el pols ésestacionari en aquest sistema)

Així, la forma de la corda en el sistema de referència original O es pot escriure com:

t)vy(xy)f(x'y'y Funció d’ona

En el cas de tenir un tren de polsos sinusoidals ones harmòniques

y

t

Ty

xA

Ones Harmòniques

x

yF

Doble periodicitat: en l’espai i en el temps

x fixatTemps fixat

λπ2

kxKsinAy(x)

Per descriure una ona que viatja cap a la dreta amb velocitat v,substituïm x per x-vt, la funció d’ona quedarà:

t)ωx(KsinAvt)k(xsinAt)y(x,

La llum és una ona electromagnètica tωxKsinEEy 0

Kω

ω2π

K2π

Tλ

v

Quan en un punt de l’espai arriben 2 o més fronts d’ona, es superposen donant lloc a una interferència

F

F’

P tωxKsinEE 101

tωxKsinEE 202

x1

x2

tω)2

xx(ksin

2

)xk(xcosE2EEE 2121

021T

Ona resultant Ona resultant

Ones en fase Ones en oposició de fase

Superposició de 2 ones amb la mateixa amplitud i freqüència

2- Superposició d’ones

tω)2

xx(ksin

2

)xk(xcosE2EEE 2121

021T

Aresultant màxima cos( ) = ± 1 x1 –x2 = m

Aresultant mínima cos( ) = 0 x1 –x2 = (2m+1) /2

On m = 0,1,2,3 ....

Condicions necessàries per observar les interferències:

Les dues fonts han de ser coherents.

Ones monocromàtiques.

Amplitud

Estudi d’aquest fenomen per al cas de la llum

Experiment de Young de la doble escletxa

P

yx2

x1

L

d

sinθdxΔ

y = 0

Sobre la pantalla: una successió de màxims i mínims

Posició dels màxims i mínims

Màxim

Mínim

On m = 0,1,2,3,4,5

λmsinθdxΔλmxΔ

2λ

1)(2msinθdxΔ2λ

1)(2mxΔ

Sobre la pantalla:L

yθtgθsin

dLλm

yλmLy

dMàxim max

d2Lλ

1)(2my2λ

1)(2mLy

dMínim min

Hem parlat d’interferències del camp elèctric associat a la llum, però hem de fer notar que sobre la pantalla es veu intensitat, I, de la llum, no camp elèctric.

superfícietemps

energiaIIntensitat

Ara bé, l’energia és proporcional a l’amplitud al quadrat del camp elèctric.

tωsinEE 01

)t(ωsinEE 02 Δxkon

2tωsin

2cosE2E 0T

Per a 1 focus2

0T200 )

2cos(E2I totalintensitat la EI

)2

(cosI4I 20T

Tenint en compte que d

Lλmymax

2Δxk

2 max

4I0

sin -2 L/d - L/d 0 L/d 2 L/d

dλm

sinθ

y

-2/d - /d 0 /d 2/d

t=01

2 T

E10

E20

ET0

111101 xkontωsinEE

222202 xkontωsinEE

)ti(ω101

1eEE

)ti(ω202

2eEE

2Ty

2TxT0 EEE

220110Tx cosEcosEE

220110Ty sinEsinEE

Tx

TyT E

Etg

Superposició d’ones pel mètode de representació vectorial

Les ones han de tenir mateixa freqüència però poden tenir diferent amplitud

Si les freqüències son lleugerament diferents pulsacions

3- Ones estacionàries

Reflexió d’ones en barreres

Simulació Reflexió en un extrem lliure sense canvi de fase

Reflexió en un extrem fixat canvi de fase de 180°

Quan les ones estan confinades en un espai, es produeixen reflexions en els extrems i per tant existeixen ones que es mouen en els dos sentits, superposant-se i donant lloc a ones estacionàries. Ex: ones en cordes d’instruments musicals,

Ones estacionàries

Suposem dues ones que es propaguen en direccions contràries i tenen mateixa amplitud, freqüència, velocitat de propagació i fase

t)x(ksinAy1

t)x(ksinAy2 x)sin(k t)(ωcosA2yy 21

Això correspon a una ona que no es desplaça. Hi ha punts que no oscil·len (nodes) i punts amb màxima amplitud d'oscil·lació(ventres o antinodes)

Posició dels nodes x=0, /2, , (3/2), 2 etc..

Posició dels antinodes x= /4,( ¾), (5/4), etc..

Ones estacionàries en cordes

Els dos extrems tancats

Ones estacionàries en en tubs d’aire

...)3,2,1,(nn

L2λn

3...)2,1,(nL2

vnfn

3...)2,1,(nL2

vnfn

...)3,2,1,(nn

L2λn

...),5,31,(nn

L4λn

5...)3,1,(nL4

vnfn

5- Efecte Doppler

Quan un focus productor d’ones i un receptor s’estan movent un respecte de l’altre, la freqüència emesa pel emisor no és la mateixa que la rebuda pel receptor.

Exemples: - Xiulet de tren

- Radar (Velocimetria per radar o Sonar Doppler,

- Ones de xoc

- Astrofísica (moviments d’estels i galàxies)

Si l’observador i la font no es mouen la freqüència de l’ona que veu l’observador és la freqüència real

λ

vfr

A) Font mòbil i l’observador fix

Quan la font es desplaça a la velocitat vf en el mateix sentit que l’ona , disminueix la longitud d’ona.

Tvλλ Frealdavant Tvλλ Frealdarrera

Freal

davantapdavant vv

vf

λ

vff

Freal

darreraapdarrera vv

vf

λ

vff

B) Font fixa i l’observador mòbil:

Si l’observador es mou cap a la font amb una velocitat v0, aquest veu que l’ona viatja amb una velocitat relativa v’= v + v0 , i , per tant , té associada una freqüència fap

)v

v(1f

λ

vvf o

r0

ap

En el cas que l’observador s’allunya de la font, la velocitat relativa serà: v’=v-v0

)v

v(1f

λ

vvf o

r0

pa

Font i observador mòbils

+s’acosta la font

-s’allunya

Font fixa

Observador mòbil

-s’acosta l’observador

+s’allunya l’observador

Font mòbil

Observador fixF

realap vv

vff

)v

v(1ff o

rap

F

0realap vv

vvff

v0

Una fórmula més senzilla

Ex: Cas en que la font es mou cap l’observador amb velocitat vF i l’observador s’allunya amb una velocitat v0.

vF v0 velocitat relativa u=vF-v0

En aquest cas , el canvi en la freqüència:

F

0realap vv

vvff

Si les velocitats del focus i de l’observador son petites comparades amb la de l’ona, es pot trobar una fórmula mes senzilla.

Definim el canvi relatiu en la freqüència:

r

rap

r f

ff

f

fΔ

Desenvolupant aquesta expressió:

v)(uv

u

f

fΔ

r

El signe l’elegirem tenint en

compte que la freqüència augmenta quan el focus i el

receptor s’aproximen entre sí

Cas pràctic : vF= 20m/s, v0=30 m/s v=340 m/s

Ones de xoc

En aquest cas la velocitat de la font (vF) >> que la velocitat de l’ona (v)

1 subsònic 2 Mach 1 3 supersònic 4 ones de xoc

Número de Mach :

v

vM F

V t vF t

FF v

v

tv

tvαsin

Ex: Un avió supersònic vola a una altura de 15 km. L’esclat sònic associat a l’ona de xoc que genera arriba a terra (punt P) quan l’avió està a 22 km d’aquest punt (punt A). Quina velocitat, va porta l’avió?. Calculeu també el número de mach de l’avió. Quins canvis hauríem de considerar si hi hagués vent?

22 km

15 km

A

P

OVa t

V t

Font i observador mòbils

+s’acosta la font

-s’allunya

Font fixa

Observador mòbil

-s’acosta l’observador

+s’allunya l’observador

Font mòbil

Observador fixF

realap vv

vff

)v

v(1ff o

rap

F

0realap vv

vvff

v)(uv

u

f

fΔ

r

El signe l’elegirem tenint en

compte que la freqüència augmenta quan el focus i el

receptor s’aproximen entre sí

r

rap

r f

ff

f

fΔ

Aproximat: