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    CHAPITRE?

    COMPENSATION

      DE S

     SYSTEMES ASSERVIS DISCRETS

    7.1. NECESSITE

      D UNE

     CORRECTION

     D ES

      SYSTEMES

    7.1.1. Avantages  du  numérique

    L'analyse  d'un système asservi,  qu'il  soit continu  ou  discret, conduit

    immanquablement   à se  poser  le  problème  de  l 'adjonction  au  système d'un circuit

    correcteur,   afin de confé rer à l'ensemble les meilleures performances possibles.

    Ainsi, étant donnée une installation de fonction de transfert connue, réaliser sa

    synthèse consiste  à  rechercher  un  réseau correcteur d'expression C(z), conçu  de  telle

    façon q ue l'ensemble corrigé satisfasse un certain nombre de spécifications qui peuvent

    se traduire soit dans le domaine temporel, soit dans le domaine  fréquentiel  :

    Automatique  - S.A.E. chapitre 7 : Compensation

    © [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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    exigences temporelles  - réponse temporelle imposée,

    - temps de réponse minimal,

    - dépassement maximal contrôlé,

    - précision statique imposée,

    ou  fréquentielles  - marge d e phase imposée,

    - bande passante à respecter,

    - résonance spécifiée,

    Ces

      approches complémentaires  et   interactives

      permettent

      de  façonner  la

    réponse

      du

     système

     à une

     entrée donnée

     et

     donc de  modeler

     le système à ses

     desiderata.

    L'utilisation de machines numériques (microprocesseur et autres, plus ou moins

    importantes) pour commander les systèmes automatiques facilite grandement cette

    façon

      de

     procéder

      ; en effet,  il est

     alors relativement aisé

      de

     programmer également

      de s

    éléments

     correcteurs q ui permettent d'obtenir  de s

      effets

     très intéressants sur les signaux

    de  commande du processus, difficilement  réalisables p ar éléments câblés.

    7.1.2. Différents types

     de

     correcteurs

    Le

     circuit correcteur

     es t

     alors programmé

      au

     cœur

     de la

     machine numérique

     e t

    tout

     se passe comme si le système répondait au diagramme fonctionnel suivant :

    Automatique -

     S.A.E. chapitre

     7 :

     Compensation

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    Il

     peut

      se

     trouver cependant

     qu e

      l'on soit obligé  d'utiliser

      de s

     correcteurs

      de

     type

    câblé

      ;

     dans

     ce

     cas,

     o n

     dispose

     de la

     structure-série classique

      :

    ou ,

     quelques

      fois,  de la

      structure-parallèle,  beaucoup moins usuelle, mais

      qu i

      permet

    d'obtenir

      à

     partir d'éléments simples

     de s

     effets  spéciaux

     d es

     plus intéressants

     :

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    a

    Exemple  :  J(p) =

    p + a

    Z[^(P)J(P)] =

     — avec  g =

     e-

    aT

    z a

    C z )   =   z - g

      =

      1 -

     g

     z"

    1

    z +

     (l-2a)

      1+(1-2^7-

    Ce  correcteur peut être

     effectivement

     réalisé par éléments câblés, ou simplement

    programmé ; dans ce cas on obtient  y

    n

      par l'équation récurrente suivante :

    y

    n

     = ( 2 g - l ) y

    n

    _ i + e

    n

    - g £

    n

    - i

    7.2. FAISABILITE

     DES

     CORRECTEURS

    Afin de déterminer le réseau correcteur (câblé ou programmé) qui convient le

    mieux à un système asservi commandé numériquement, on ramènera, dans la suite de ce

    chapitre, tout système

     à un

     diagramme fonctionnel

     à

     retour unitaire

     :

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    Dans ce cas, la fo nction de transfert en boucle fermée s'exprime par :

    C(z)F(z)

    Hbf(z)

    -l

    +

    C(z).F(

    Z

    )

    Le

     cahier

     des

     charges im posant certaines contraintes

     (de

     rapidité,

     de

     précision,...)

    au

      système bouclé, on connaît

      a  priori

      la forme à donner à

      H

    bf

    (z).

      Le processus de

    fonction de transfert

      F(z)

      étant lui-même connu, on en  déduit  que le  correcteur doit

    répondre à :

    C

    (

    Z

    )

     =  MM(^

    MZJ

      F(z)[l-H

    bi

    (

    Z

    )]

    Généralement, le correcteur se présentera sous la forme  d'un  rapport de

    polynômes

     en z :

    _ b

    0

    +b

    l Z

     + b

    2

    z

    2

     +

      + b

    n

    z

    n

    ^ ~~  2 d

    a

    0

    +a

    1

    z

     + a

    2

    z  + + a

    d

    z

    La

      réalisation pratique

      du

      correcteur, déterminé

      par le

      calcul, implique

      que le

    développement en série de sa fonction de transfert

      C(z)

     ne comporte pas de puissances

    positives  de z

      (principe

      de

      causalité

      à

      respecter impérativement). Cette condition

      se

    traduit par :

    l imf z '

    1

      C(z)]

     = 0

    Z-»oo

    L

      J

    c'est-à-dire que l'on doit avoir : n 

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    Cette condition

     e st

     nécessaire, mais

     il y a des cas où

     elle n'e st

     pa s  suffisante  ;

    Par   exemple  ,

     supposons

     que :  y

    n

     = a  £

    n

     + (3  £

    n

    _

    {

      -jy

    n

    .

    {

      +

    On

     voit qu'à l'instant  nT le signal d e sortie

      y

    n

     du correcteur doit être synchron e

    de sa commande

      8

    n

    .

      Or les conversions AN et NA, d'une part , et le calcul de

    l'expression  de y

    n

    ,

     d'autre

     part, n e sont pas instantanés ; il  faut  un certain temps entre la

    prise d'échantillon

      £

      et la commande y du proce ssus. Si ce temps est faible vis-à-vis de

    la

     période d'échantillonnage,

      il n'y a pas de

     problème. M ais

     si

     l'échantillonnage

      est

     très

    rapide,

      ou si les

      calculs sont complexes

      et

      nombreux,

      on ne

      pourra

      pas réaliser la

    simultanéité

      de

      l'acquisition

      et de la

      commande. Dans

      ce

      cas,

      on

      aura tout intérêt

      à

    prévoir

     une

      condition plus restrictive pour

     la

     faisabilité

     du

     correcteur

     :

    lim  C(z) = o

    Z—>oo

    c'est-à-dire

     : n < d

    7.3.  CRITERE DE CHOIX DES CORRECTEURS

    7.3.1. Conditions générales et critères temporels

    La

      déterminat ion

      des

      organes

      de

      compensat ion d 'un asservissement

    échantillonné

      s'appuie sur un

     certain nombre

     de

     démarches, plus

     o u

     moins

      efficaces,  qu i

    font

     appel à des

     critères

      spécifiques.

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    Une  m éthode classique, dite d es pôles dominants  de  ZDAN consiste à

     imposer

    à un   système asservi   de  présenter   une  fonction   de

      transfert

      en   boucle fermé e dont   le

    comportement soit voisin de celui

      d un

      système du deuxième   ordre,

      c'est-à-dire

    caractérisé essentiellement

      par une

     paire

      de

     pôles dom inants. Cette méthode, basée

      su r

    la transformation en z, peut amener des résultats intéressants.

    On   peut aussi s'appuyer sur des considérations de précision statique et/ou de

    rapidité. Il s 'agit pour l'essentiel de  critères temporels,  qui imposent au système de

    répondre  à une  entrée

     donnée,

      selon certaines  spécifications  sur ses ré gimes transitoire

    et  permanent.

      En fait, on définit un signal de sortie qui doit répondre à certaines

    spécifications

      :

      progression d'un échantillon

      à

      l'autre, dépassement contrôlé,

      loi

    d'évolution

     en

     régime permanent, erreur permanente

     admise,...  Le s

     méthodes

     d e

     calcul

    des réseaux correcteurs qui résultent de cette approche sont donc caractérisées par

    l'utilisation directe des spécifications sur la réponse du système à des entrées

    déterminées.

    Il est bien entendu que, quelque soit le critère utilisé, il  faudra  en dernier lieu

    vérifier  la faisabilité de la solution préconisée.

    7.3.2. Méthode de calcul

    Soit l a structure fonctionnelle retenue pou r représenter  le système à corriger  :

    Automatique

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    On

     peut exprimer

     le

     signal

     d'erreur :

    8(z) =

     e(z)

     -

     s(z)

    soit:

      8(z)

     = e(z)[l-H

    bf

    (z)]

    On  a vu que la  transformée  en z  d'une entrée canonique d'ordre  m  peut  se

    mettre sous

     la

     forme

     :

     (l-z- )

    m+1

      A(z)

     est un polynôme en  z"

    1

    ,  de degré au plus égal à m et dépourvu de racines

    égales à

     l'unité

     :

    ^d-^L.'

    1

    - ^]

    On

     peut définir u n système  en évaluant sa fonction de transfert en boucle fermée

    de

     telle

     façon que, sollicité par une entrée

     donnée,

     il présente certaines conditions de

    précision en régime permanent :

    lim

      8(nT)=lim(l-z-

    1

    )8(z)

    n — > ° o

      z — > 1

    soit

     : lim £(nT) = lim

     [A(z)

     (1 - z'

    1

    )'

    1

     [l -  H

    bf

     (z)]]

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    Ainsi, pour une entrée (d'ordre m  fixé), on peut vouloir que :

    lim 8(nT) = 0  précision parfaite

    n — > o o

    ou

      lim £(nT) = este précision relative

    n-^oo

    Partant de ces  considérations,  la  relation précédente permet  de calculer

      H

    bt

    (z),

    puis d'en déduire

      la

     fonction

     de

      transfert  C(z)

      du

     correcteur qui,

     à

     partir

     d u

     système

    initial F(z), conduit  à  obtenir  les  performances souhaitées  ;  bien évidemment,  il

    conviendra d e vérifier la faisabilité de la solution préconisée.

    Pa r

      exemple

      :

     S i

      l'on désire parvenir

      à un

      système présentant

      un e

      précision parfaite

    pour une entrée d'ordre m (la précision ne peut être définie que par rapport à

     l'ordre

     de

    la

     commande),

     il

      faudra

     que :

    l- H

    bf

    {

    Z

    ) = (l-z-i)

    m+1

    B(z)

    Alors : lim

     e(nT)

     = lim

     (l

     -  z~ ' ) A(z) B(z) = 0

    n->oo

      Z

    _>1

      V

      /

    et

     ceci

     quelque soit le polynôme B(z), pourvu que celui-ci ne présente pas de racines

    égales à

     l'unité.

    On

     déduit alors

     :

    H

    b f

    ( z ) = l - ( l - z -

    1

    )

    m + 1

    B ( z )

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    et

      8(z)

     = A(z) B(z)

    Le  correcteur  qui  permet d'atteindre  ce résultat,  s il   remplit  les  conditions   de

    faisabilité,  aura pour expression

      :

    i - f a - z 'T ^ . BCz)

    C(

    Z

    ) =  t-  -  —i

    (l-z-T

    +I

    .F(z).B(z)

    En

     fait,

      le

     calcul montre

     que le

     signal d'erreur

      8*(t)

      s 'annule

     en un

      nombre  fini

    d'échantillons [E(z) est un polynôme en

     z"

    1

    ].

     Les systèmes répondant à ces spécifications

    sont donc à   temps

     d établissement

      fini,  pour l'entrée considérée.  On constate ainsi  qu e

    le s

      considérations

      sur la

      précision entraînent

      des

      conséquences

      sur la

      rapidité

      du

    système,

     e t

      réciproquement.

    7.3.3.

     Système

      rendu

     minimal absolu

    Le  calcul précédent no us a conduit à :

    8(z) = A(z) B(z)

    et

      l - H

    M

    ( z )

     = (l-z-

    1

    r

    1

    B(z)

    A(z) étant imposé

      par

     l'entrée

     choisie,

      le

      système considéré sera

     dit

     minimal

    absolu,

     si :

    B(z)  = 1

    Automatique - S.A.E. chapitre 7 : Com pensation

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    Alors

     :

      £(z)

     =

     A(z)

    et :  H

    bf

    (z)=l-(l-z

    l

    r

    +l

    son régime transitoire sera alors minimal.

    Comme  A(z) est un polynôme  en

      z"

    1

      de degré  au plus égal  à m, on voit  qu e

    l erreur

     d e

     l asservissement s annulera

     a u plus  en (m  + 1 )

     périodes.

    7.4.

      EXEMPLES

      DE

     SYNTHESE DISCRETE

    7.4.1.

     Calcul

     de systèmes

     minima

     absolus pour quelques entrées d ordre m

    On

      se

     propose

      ici de

      calculer

      à

      chaque fois

      la

     fonction

      de

      transfert

      en

      boucle

    fermée

      d un

      système qui serait astreint à être minimal absolu  pour  différentes  entrées

    canoniques : échelon de  position,

      rampe,

      échelon d accélération.

     

    pour une

     entrée

      en

     échelon-unité

      (m = 0)

    e*(t)  = T*(t)

      =Sr ( t )

    p \

     

    ~̂^

    alors

     :

      £(z)

     =

     A(z)

     = 1

    Automatique

     -

     S.A.E. chapitre

     7 :

     Compensation

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    e*(t)  =   ô t)

    il faut

      donc  :  H

    bf

    (z ) =

     z

    soit  :  h*( t) = ô( t - T)

      pour

     un e

     entrée

     en

     échelon

     de

     vitesse

      (m = 1)

    e * ( t ) =

     T£n .

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    ^pour une entrée en échelon d accélération  (m = 2)

    T

    2

    e

    *(t) =

     — 2V

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    7.4.2. Com portement  d un  système rendu minima absolu pour

     une

     entrée indicielle

    On se propose   ici de   rendre compte  d u   comportement

     d un

     asservissement, dont

    le   correcteur a été calculé  pour qu il  soit minimal absolu  pour une entrée en échelon-

    unité,

     lorsqu il

      es t sollicité  par

     d autres

      types  de  commande canonique.

    On

     a vu au

     paragraphe précédent

      qu e

     dans

     ce

     c as

     :

    H

    bf

    (z) =

     z"

    1

      le système corrigé est deven u un simple élément de retard pur

    d'une période d'échantillonnage.

    Le

      correcteur

      qu i

     conduira

      à c e

     résultat doit avoir pour fo nction

     d e

     transfert

     :

    C(z)=

      z

      -  *

    FCzXl-z-

    1

    )  F(z)(z-l)

    Automatique -

     S.A.E. chapitre

     7 :

     Compensation

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    Les   f igures  ci-dessous représentent  le s  di fférents  signaux  qu i  af fectent  ce

    système,

      lorsqu'il est sollicité  par une entrée-impulsion et une entrée en échelon de

    vitesse.

    7.5. SYNTHESE P AR  ANTICIPATION  - PREDICTEUR D E SMITH

    Le  prédicteur  de  Smith  est un  régulateur qui  permet

     d obtenir d intéressantes

    performances  dans

     le cas où le

     système

     à

     régler

     comprend un retard

     pur.

      On

     supposera

    ici que le temps de retard  T

    d

      dû à l'installation correspond à u n multiple entier  k de la

    période d'échantillonnage T.

    Avant

     de

     présenter

     ce

     type

     d e

     correction,

      il est

     utile

     de

     rendre compte

     d e  l 'e ffe t

    d'un retard sur les performances d'un système de commande.

    Automatique -

     S.A.E. chapitre

     7 :

     Compensation

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    7.5.1. Influence

     de la

     présence d un retard

     pur

     dans

     une

     chaîne de régulation

    Soit le système asservi suivant, qui présente un retard pur de k périodes :

    Pa r

      exemple,  on peut s'intéresser  à l 'e ffe t  de ce retard  pur sur un système  du premier

    ordre

     :

    F(p)

     =

     £

    1

     +

     Tp

     

    zk(p).-̂_]=K-̂ a = e~7

    |_   1

     +

     tpJ  z - c x

    TJ ~

    H

      (z) = —

    bo

      z

    k

    z-a

    La

     sensibilité du système bouclé est :  E(z) = z

    k+1

     - a  z

    k

     + K(l - a)

    Pour

      que le

      système soit

      stable,  il

     faut

      que les

      racines

      de

      Z(z)

      = 0

      soient toutes

    comprises dans

     le

     cercle

     de

     rayon-unité.

    Automatique -

     S.A.E.

      chapitre 7 :

     Compensation

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    En

      fonction

      du temps  de  retard, o n peut calculer  les  limites  à respecter pour  le

    gain statique

      en

     boucle ouverte

     K

      pour assurer

     la

     stabilité d'un

      te l

     ensemble

     :

    1 +

      X

    k = 0

      (pas

     de

     retard)

      K  <

    1 a

    k = 1  (retard d'un e période)  K  <

    1-a

    ^

      x

      i  t

       ̂ x   .

      t

      ^ ,  a +

     w

    2

     + 4

    k = 2

      (retard

     de 2

     périodes)

      K  <

    v

      ^

      2(1-a)

    7.5.2.

     L e prédicteur de SMITH

    On

     considère

      un

      système asservi

      à

      temps discret présentant

      un

     retard

      pur de k

    périodes, dont la fonction de  transfert en boucle ouverte peut s'écrire :

    Automatique - S.A.E. chapitre 7 :  Compensation

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    H

    bo

    (z)

     = z-k (1 -

     z

    -l). z[M=

     z-k

     H '

     (z)

     

    où   H'z) regroupe le bloqueur d'ordre zéro B

    0

    (p ) et le processus F(p).

    < >

      Considérons,  dans

      un

     premier

      temps,

      le

      système ci-dessous

      où

      C(z)

      est un

    correcteur monté en cascade avec les éléments

      H'(z)

     précédents :

    La  variable de sortie peut

     s'exprimer

     par :

    .-M-

      C(Z)H

    '

    (Z)

      e(z)

    l +

     C(z )H

    f

    (z )

    < >

      Dans  un   deuxième  temps,  on

      conçoit

      un

      système correctif, associé

      à

    l'asservissement

      à

     retard, dont

     le

     schéma fonctionnel

     est

      représenté ci-dessous

      ; ce

    correcteur est appelé Prédicteur de Smith.

    Automatique -

     S.A.E. chapitre

     7 : Compensation

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    La fonction de tran sfert du prédicteur de Smith est :

    u(z)

     =

    C(z)

    £(z)

      l +

     (l-z-

    k

    )C(z)H'(z)

    d'où  la fonction de transfert en boucle fermée de

     l'ensemble

     qui lui est

     associé

     :

    s(z)

    = z

    _

    k

      C(z)H'(z)

    e(z)

      l +

     C(z )H

    f

    (z )

    < >

     E n  comparant  ces deux montages,  il vient :

    s(z)

     = z ~

    k

     s' (z)

    On

     en

     conclut

     que la

     réponse

      réelle

      s(z)

     est

      égale

     à la

     sortie

     s'(z),

     retardée

     de k

    périodes d'échantillonnage.  Les pôles du système com pensé par un prédicteur de

     Smith,

    sont simplement  les zéros  de l expression  : 1 +  C(z)  H (z),   complétés d un

     pôle

     nul de

    multiplicité   k.

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    //  en  découle  que la  stabilité  de la  structure  n est pas

      affectée

      par

    l implantation  d un prédicteur de Sm ith sur le processus physique avec retard pur.

    L'effet  de

     prévision associé

     au prédicteur de

     Smith

     e st

     particulièremen t bien

     m is

    en

      évidence lorsque

      le

      diagramme fonct ionnel

      du

      système

      est mis

      sous

      la

      forme

    équivalente suivante

     :

    On

     peut remarquer

     que le

     signal

      r de

     rétroaction, égal

      à : z

    k

      s(z), correspond

      au

    signal

     s'(z),

      puisque

     l'on

      a vu précédemment que : s(z)

      =

      z ~

    k

     s'(z).

      Il s'agit donc de la

    grandeur

      de

      sortie s(z), avancée

      de k

      périodes

      d'échantillonnage,

      provoquant ainsi

    l 'effet  anticipateur recherché.

    Remarque  :

      Un

      inconvénient

      du

     prédicteur

     de

     Smith

     est que sa

     conception repose

      sur le

    modèle

      z"

    k

     H'(z)

      du processus  à  régler  ; e n particulier,  la  valeur du retard

    pu r doit être parfaitement connue.

    7.6. CORRECTEURS EN DERIVATION

    Dans tout calcul

      de

      systèmes

      de

      commande,

      l'une

      des

      préoccupations

    essentielles

      du

      concepteur

      est

     d'assurer

      la

     fiabilité

     de

      l'ensemble, c'est-à-dire

      de

      veiller

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    à ce que la

     défaillance d'une partie

     de la

     chaîne n'entraîne

     pas la

     détérioration

      de

     tout

    l'ensemble.

    On  se souvient  que les régulateurs

     P.I.D.

     universels continus sont prévus pour

    autoriser

      une

      conduite manuelle

      du

      processus

      en cas de

     panne

      de

      tout

      ou

     partie

      du

    régulateur. Dans le cas de la commande de systèmes échantillonnés, on suppose que

    l'on peut être confronté à des incidents similaires dus au calculateur numérique qui

    pilote le

     processus

     et qui

     assure

     en

     particulier

      la

     fonction-régulateur.

    U ne

      structure intermédiaire consiste

      à  faire

      assurer

      la

      sûreté

      de

     fonctionnement

    pa r un équipement continu (analogique) et à provoquer des performances plus élaborées

    par une

     commande numérique

     du

     système.

    Le diagramme fonctionnel ci-dessous illustre ce type de conception hybride.

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    NOTES PERSONNELLES

    Le correcteur numérique est en dérivation, ou en parallèle, avec une connexion

    continue entre  le  signal

      d'erreur

      et  l'installation. Ainsi  le  signal  de  commande  de

    l'installation

     résulte

     de la

     somme

     d e

     signaux continu

     et

     numérique

     :

    U(p)

     = 8(p) + C*(p).8*(p)

    Si le  correcteur numérique  es t  temporairement défaillant,  le  système asservi

    analogique continue à

     opérer

      ;

     l installation  fonctionne alors sous mode dégradé.

    Automatique

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