Capıtulo 18

Cuaternas armonicas

Vamos a considerar algunas propiedades de las bisectrices de un anguloy su relacion con las cuaternas de puntos armonicas.

18.1. Propiedades de las bisectrices

Teorema 18.1 Sean a y b dos rectas secantes en M y sean c y d las bisec-trices de los angulos determinados por dichas rectas. Sea m una recta secanteen A, B, C y D a las rectas b, a, d y c, respectivamente. Los puntos ABCDforman una cuaterna armonica.

Sea e la paralela a la recta c porel punto C. Sean N y N ′ las intersec-ciones de las rectas b e y a b, respec-tivamente. El triangulo 4MNN ′ esiscosceles y los segmentos CN y CN ′

congruentes. Entonces,

AC

AD=NC

MD=CN ′

MD=BC

BD;

fig. 18.1de donde

AC

BC=AD

BD.

Los cuatro puntos ABCD forman una cuaterna armonica �.Como el triangulo CMD es rectangulo en M , este punto se halla sobre la

147

148 CAPITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

circunferencia de diametro CD

Teorema 18.2 Recıprocamente, sean ABCD una cuaterna armonica y Mun punto tal que el angulo ^CMD sea recto. Entonces, las rectas MC y MDson bisectrices interior y exterior del angulo ^AMB, respectivamente.

Demostracion: Sea N el punto de interseccion de la recta MA con laparalela por el punto C a la recta MD y N ′ la interseccion de dicha paralelacon la recta MB

NC

MD=AC

AD=BC

BD=CN ′

MDy por tanto, CN = CN ′, los segmentos CN y CN ′ son congruentes. Larecta MC es perpendicular a la recta NN ′, los puntos N y N ′ son simetricosrespecto a la recta MC, por lo que dicha recta es bisectriz del angulo ^AMB.La recta MD es bisectriz exterior a dicho angulo. �

De estos dos teoremas se desprende que cuatro puntos ABCD formanuna cuaterna armonica si y solo si al elegir un punto arbitrario M sobre lacircunferencia CD, las rectas MC y MD son las bisctrices de las rectas MAy MB.

Corolario 18.1 En todo triangulo, las bisectrices de uno de sus angulos cor-tan al lado opuesto a dicho angulo en puntos separados armonicamente porel par de vertices sobre dicho lado.

Sea P la interseccion de la paralela por el punto A al lado MB. Puesto quelos puntos ABCD forman una cuaterna armonica, la recta PC corta a larecta MB en un punto M ′ simetrico de M respecto de B y se tiene

PA

MB=

PA

BM ′ =AC

CB.

fig. 18.2

Pero el triangulo4PAM es isosceles,con PA = MA, por lo cual

MA

MB=AC

CB.

En todo triangulo 4MAB la bisec-triz interna del angulo en M divideal lado opuesto AB en dos segmentoscuya razon es igual a la razon entrelos lados que forman dicho angulo.

18.2. CONSTRUCCION DE CUATERNAS ARMONICAS 149

Como AC/CB = AD/BD entonces

MA/MB = AD/BD,

por lo que tambien conluimos que

En todo triangulo 4MAB la bisectriz externa del angulo en M divideexternamente al lado opuesto AB en dos segmentos cuya razon es igual a larazon entre los lados que forman dicho angulo.

Corolario 18.2 El lugar geometricode los puntos cuya razon de distan-cias a dos puntos dados es constante,es una circunferencia.

En efecto, sean C y D dos puntos fi-jos y B un punto interior al segmentoCD tal que la razon CB/BD sea larazon dada. Sea A el cuarto armonicode los puntos C, B y D. Hemos visto fig. 18.3que la circunferencia de diametro AB es el lugar geometrico de los puntosM tales que las rectas AM y BM son las bisectrices del angulo ^CMD. Larazon de las distancias MC y MD es igual a la razon CD/CB.

18.2. Construccion de cuaternas armonicas

Estas consideraciones permitenhacer la siguiente construccion. Da-dos los puntos A, B y C sobre unamisma recta, tomemos un punto Men el plano, tal que el triangulo4AMB es recto en M . Tracemos larecta CM y construyamos el punto Dcomo interseccion de la recta simetri-ca a MC respecto a la recta MB. Lospuntos A, B, C y D forman una cua-

γ ’ α

β

γ

δ A O C B D

M

fig. 18.4terna armonica. De manera similar, si nos dan los puntos A, B y D podemosconstruir el cuarto armonico C.

150 CAPITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

En esta construccion, sea O el punto medio del segmento AB. De lostriangulos 4OMB y 4OMD (vease la figura 18.3) se deduce que ^δ =^β+^γ por ser ^δ exterior al triangulo4BMD. Tambien ^α+^γ = ^δ porser el triangulo 4OMB isosceles. Concluimos que ^α = ^β y los triangulos4ODM y 4OMC son semejantes. Ası

OC

OM=OM

OD, OC ·OD = (OM)2 = (OA)2.

El recıproco tambien es cierto: Supongamos que los puntos A, O, C, By D estan alineados en este orden, que O es punto medio del segmento ABy supongamos que (OA)2 = OC · OD, entonces los puntos A, B, C y Dforman una cuaterna armonica. En efecto, sea M exterior a la recta ADtal que el angulo ^AMB es recto. Se sigue que OA/OC = OM/OC =OD/OA = OD/OM y los triangulos 4OCM y 4ODM son semejantes, porcompartir el angulo BOD. En particular, los angulos ^α y ^β son iguales y^δ = ^α+^γ = ^β+^γ′ , por lo que ^γ = ^γ′ de modo que las rectas MBy MA son la bisectriz interior y exterior del angulo ^CMD respectivamente.Por todo esto, podemos enunciar:

Teorema 18.3 Dos puntos A y B estan armonicamente separados por C yD si y solo si la mitad del segmento determinado por uno de estos pares esmedia geometrica entre las distancias de este punto al otro par.

M

A O C B D

fig. 18.5

Este teorema nos permite cons-truir cuaternas armonicas, constru-yendo terceras proporcionales. En lafigura 18.4, el punto D, conjugadoarmonico, puede determinarse comose indica en dicha figura. Levantamosla perpendicular por C hasta cortarcon la circunferencia de diametro ABen M . El punto D queda determina-do por la interseccion de la tangente

en M y la recta AB. Por lo visto en el capıtulo sobre el teorema de Pitagoras(§ 16.1), se tiene

OC ·OD = (OM)2 = (OA)2.

Observamos que la potencia de O respecto de la circunferencia de diametroCD es OM2.

18.3. CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES 151

18.3. Circunferencias ortogonales

O O'r r'

d

fig. 18.6

Definicion 18.1 Dos circunferen-cias se llaman ortogonales cuando secortan de tal modo que las tangentesen cada uno de los puntos de in-terseccion son perpendiculares entresı.

La simetrıa de ambas circunferenciasrespecto de la recta que une los cen-tros indica que esta condicion se veri-fica simultaneamente para ambos

puntos de interseccion. Dos circunferencias ortogonales cumplen las siguientescondiciones, y recıprocamente, si las cumplen, son ortogonales:

1. Los radios de una y otra circunferencia correspondientes a cada puntode interseccion son perpendiculares entre sı. Equivalentemente, la tan-gente a cada circunferencia en cada punto de interseccion pasa por elel centro de la otra. El centro de cada una debe ser exterior a la otra.

2. Si d es la distancia entre los centros y r y r′ son los radios, se verifi-ca d2 = r2 + r′2. Esta relacion solo se cumple cuando es rectangulo eltriangulo formado por los dos centros y uno de los puntos de intersec-cion.

3. La potencia del centro de cada circunferencia respecto de la otra es elcuadrado de su propio radio. Si d2 = r2 + r′2 entonces d2 − r′2 = r2

y tambien, d2 − r2 = r′2. Recıprocamente, si se verifica cualquiera deestas dos ultimas relaciones entonces tambien se cumple 2.

18.3.1. Cuaternas armonicas determinadas por dos cir-cunferencias ortogonales

De la discusion previa se deduce que

Teorema 18.4 Si una recta corta a dos circunferencias ortogonales y pasapor el centro O de una de el las, las intersecciones forman una cuaternaarmonica.

152 CAPITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

AO

BC DO'

M

PN

Q

fig. 18.7

Demostracion: En efecto, comolas circunferencias son ortogonales, lapotencia de dicho centro O respectode la circunferencia O′ es (OM)2 =OP ·OQ. Como O es punto medio deMN se deduce que M , N , P y Qforman una cuaterna armonica (teo-rema 18.3). �

.

Teorema 18.5 El recıproco tambien es cierto. Toda circunferencia que pasapor dos puntos P y Q, armonicamente separados por otros dos M y N esortogonal a la circunferencia de diametro MN .

Corolario 18.3 Los diametros alineados AB y CD de dos circunferenciasortogonales se dividen armonicamente.

18.4. Haz de circunferencias

Hemos aprendido a determinar el eje radical de dos circunferencias da-das. Nos proponemos a continuacion encontrar todas las circunferencias quecomparten con una dada una recta como eje radical. A este conjunto decircunferencias (incluyendo a la circunferencia dada) lo llamaremos haz decircunferencias.

Sea c una circunferencia y r una recta. Sea d la recta perpendicular a rpor el centro de la circunferencia c.

d

QA

B

c

r

fig 18.8

c

P

r

d

Q

fig 18.9Si r corta a c, todas las circunferencias que pasan por los puntos A y B de

18.4. HAZ DE CIRCUNFERENCIAS 153

interseccion cumpliran la condicion deseada. Todo punto de d es centro deuna de tales circunferencias. Por cada punto Q exterior a r pasa una y solouna circunferencia del haz, aquella que pasa por los puntos A, B y Q.

Si r es tangente a c en P , toda otra circunferencia tangente a r en dichopunto es circunferencia del haz. Por tanto, todos los puntos de la recta dperpendicular a r por el centro de c, salvo P , son centros de circunferenciasdel haz. Por un punto Q exterior a r pasa una unica circunferencia del haz,aquella cuyo centro esta en la interseccion de la mediatriz del segmento PQy la recta d.

Supongamos que r es exterior a c.Igual que antes sea d la recta perpen-dicular a r por el centro de c y P lainterseccion de esta recta con r. Todacircunferencia del haz tendra su cen-tro sobre la recta d y la potencia deP con respecto dichas circunferenciasdebe ser la misma que tiene P respec-to de c. Para conseguir una de estascircunferencias, tracemos la circunfe-

d

r Q

c

s

Q'M N

fig. 18.10rencia γ con centro en P y ortogonal a c. Toda otra circunferencia que tengacentro en d y sea ortogonal a γ satisface la propiedad requerida. Recıproca-mente toda circunferencia del haz es ortogonal a s (vease 18.3.3). Los centrosde la circunferencias del haz son los puntos de la recta d exteriores al diame-tro MN de γ. Los puntos M y N se llaman polos del haz. Igualmente, porcada punto Q exterior a r pasa una unica circunferencia del haz. Para ob-tenerla, se halla el punto Q′ armonicamente separado de Q respecto de losextremos del diametro alineado con P Q en s. El centro de la circunferenciase halla en la interseccion de la mediatriz del segmento QQ′ y la recta d.

18.4.1. Haces ortogonales

Observemos que todos los puntos del eje radical de un haz de circunferen-cias tienen igual potencia respecto de todas las circunferencias. Si desde unpunto O de dicho eje exterior a todas ellas trazamos tangentes a las mismas,todos los segmentos de dichas tangentes comprendidas entre O y los puntosde contacto son iguales, esto es, son radios de una circunferencia con centro enO ortogonal a todas las circunferencias del haz. Esto demuestra el siguiente

154 CAPITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

r

d

O

fig 18.11

O

r

d

fig 18.12

Teorema 18.6 Sea H un haz de cir-cunferencias. Todo punto del eje ra-dical de H, exterior a todas las cir-cunferencias del haz, es centro de unacircunferencia ortogonal a todas ellas.

A su vez, cada circunferencia de H esortogonal a todas las circunferenciasası construidas y, por consiguiente, lapotencia de su centro respecto de to-

d

r

O

fig. 18.13das ellas es la misma. La recta d de los centros de H es eje radical comun atodas las circunferencias ortogonales.

Ejercicios.

1. Sean c una circunferencia, P y Q dos puntos donde P no esta sobre c.Hallar la circunferencia ortogonal a c que pasa por P y Q.

2. Dados dos puntos distintos, A y B ¿cual es el lugar geometrico de lospunots cuya razon de distancias a los puntos A y B es igual a uno?