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Cap´ ıtulo 18 Cuaternas arm´ onicas Vamos a considerar algunas propiedades de las bisectrices de un ´ angulo y su relaci´ on con las cuaternas de puntos arm´ onicas. 18.1. Propiedades de las bisectrices Teorema 18.1 Sean a y b dos rectas secantes en M y sean c y d las bisec- trices de los ´ angulos determinados por dichas rectas. Sea m una recta secante en A, B, C y D a las rectas b, a, d y c, respectivamente. Los puntos ABCD forman una cuaterna arm´ onica. Sea e la paralela a la recta c por el punto C . Sean N y N 0 las intersec- ciones de las rectas be y ab, respec- tivamente. El tri´angulo 4MNN 0 es isc´ osceles y los segmentos CN y CN 0 congruentes. Entonces, AC AD = NC MD = CN 0 MD = BC BD ; fig. 18.1 de donde AC BC = AD BD . Los cuatro puntos ABCD forman una cuaterna arm´ onica . Como el tri´ angulo CMD es rect´angulo en M , este punto se halla sobre la 147

cuaterna armonica

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  • Captulo 18

    Cuaternas armonicas

    Vamos a considerar algunas propiedades de las bisectrices de un anguloy su relacion con las cuaternas de puntos armonicas.

    18.1. Propiedades de las bisectrices

    Teorema 18.1 Sean a y b dos rectas secantes en M y sean c y d las bisec-trices de los angulos determinados por dichas rectas. Sea m una recta secanteen A, B, C y D a las rectas b, a, d y c, respectivamente. Los puntos ABCDforman una cuaterna armonica.

    Sea e la paralela a la recta c porel punto C. Sean N y N las intersec-ciones de las rectas b e y a b, respec-tivamente. El triangulo 4MNN esiscosceles y los segmentos CN y CN

    congruentes. Entonces,

    AC

    AD=NC

    MD=CN

    MD=BC

    BD;

    fig. 18.1de donde

    AC

    BC=AD

    BD.

    Los cuatro puntos ABCD forman una cuaterna armonica .Como el triangulo CMD es rectangulo en M , este punto se halla sobre la

    147

  • 148 CAPITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

    circunferencia de diametro CD

    Teorema 18.2 Recprocamente, sean ABCD una cuaterna armonica y Mun punto tal que el angulo ^CMD sea recto. Entonces, las rectas MC y MDson bisectrices interior y exterior del angulo ^AMB, respectivamente.Demostracion: Sea N el punto de interseccion de la recta MA con laparalela por el punto C a la recta MD y N la interseccion de dicha paralelacon la recta MB

    NC

    MD=AC

    AD=BC

    BD=CN

    MDy por tanto, CN = CN , los segmentos CN y CN son congruentes. Larecta MC es perpendicular a la recta NN , los puntos N y N son simetricosrespecto a la recta MC, por lo que dicha recta es bisectriz del angulo ^AMB.La recta MD es bisectriz exterior a dicho angulo.

    De estos dos teoremas se desprende que cuatro puntos ABCD formanuna cuaterna armonica si y solo si al elegir un punto arbitrario M sobre lacircunferencia CD, las rectas MC y MD son las bisctrices de las rectas MAy MB.

    Corolario 18.1 En todo triangulo, las bisectrices de uno de sus angulos cor-tan al lado opuesto a dicho angulo en puntos separados armonicamente porel par de vertices sobre dicho lado.

    Sea P la interseccion de la paralela por el punto A al lado MB. Puesto quelos puntos ABCD forman una cuaterna armonica, la recta PC corta a larecta MB en un punto M simetrico de M respecto de B y se tiene

    PA

    MB=

    PA

    BM =AC

    CB.

    fig. 18.2

    Pero el triangulo4PAM es isosceles,con PA = MA, por lo cual

    MA

    MB=AC

    CB.

    En todo triangulo 4MAB la bisec-triz interna del angulo en M divideal lado opuesto AB en dos segmentoscuya razon es igual a la razon entrelos lados que forman dicho angulo.

  • 18.2. CONSTRUCCION DE CUATERNAS ARMONICAS 149

    Como AC/CB = AD/BD entonces

    MA/MB = AD/BD,

    por lo que tambien conluimos que

    En todo triangulo 4MAB la bisectriz externa del angulo en M divideexternamente al lado opuesto AB en dos segmentos cuya razon es igual a larazon entre los lados que forman dicho angulo.

    Corolario 18.2 El lugar geometricode los puntos cuya razon de distan-cias a dos puntos dados es constante,es una circunferencia.

    En efecto, sean C y D dos puntos fi-jos y B un punto interior al segmentoCD tal que la razon CB/BD sea larazon dada. Sea A el cuarto armonicode los puntos C, B y D. Hemos visto fig. 18.3que la circunferencia de diametro AB es el lugar geometrico de los puntosM tales que las rectas AM y BM son las bisectrices del angulo ^CMD. Larazon de las distancias MC y MD es igual a la razon CD/CB.

    18.2. Construccion de cuaternas armonicas

    Estas consideraciones permitenhacer la siguiente construccion. Da-dos los puntos A, B y C sobre unamisma recta, tomemos un punto Men el plano, tal que el triangulo4AMB es recto en M . Tracemos larecta CM y construyamos el punto Dcomo interseccion de la recta simetri-ca a MC respecto a la recta MB. Lospuntos A, B, C y D forman una cua-

    A O C B D

    M

    fig. 18.4terna armonica. De manera similar, si nos dan los puntos A, B y D podemosconstruir el cuarto armonico C.

  • 150 CAPITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

    En esta construccion, sea O el punto medio del segmento AB. De lostriangulos 4OMB y 4OMD (vease la figura 18.3) se deduce que ^ =^+^ por ser ^ exterior al triangulo4BMD. Tambien ^+^ = ^ porser el triangulo 4OMB isosceles. Concluimos que ^ = ^ y los triangulos4ODM y 4OMC son semejantes. As

    OC

    OM=OM

    OD, OC OD = (OM)2 = (OA)2.

    El recproco tambien es cierto: Supongamos que los puntos A, O, C, By D estan alineados en este orden, que O es punto medio del segmento ABy supongamos que (OA)2 = OC OD, entonces los puntos A, B, C y Dforman una cuaterna armonica. En efecto, sea M exterior a la recta ADtal que el angulo ^AMB es recto. Se sigue que OA/OC = OM/OC =OD/OA = OD/OM y los triangulos 4OCM y 4ODM son semejantes, porcompartir el angulo BOD. En particular, los angulos ^ y ^ son iguales y^ = ^+^ = ^+^ , por lo que ^ = ^ de modo que las rectas MBy MA son la bisectriz interior y exterior del angulo ^CMD respectivamente.Por todo esto, podemos enunciar:

    Teorema 18.3 Dos puntos A y B estan armonicamente separados por C yD si y solo si la mitad del segmento determinado por uno de estos pares esmedia geometrica entre las distancias de este punto al otro par.

    M

    A O C B D

    fig. 18.5

    Este teorema nos permite cons-truir cuaternas armonicas, constru-yendo terceras proporcionales. En lafigura 18.4, el punto D, conjugadoarmonico, puede determinarse comose indica en dicha figura. Levantamosla perpendicular por C hasta cortarcon la circunferencia de diametro ABen M . El punto D queda determina-do por la interseccion de la tangente

    en M y la recta AB. Por lo visto en el captulo sobre el teorema de Pitagoras( 16.1), se tiene

    OC OD = (OM)2 = (OA)2.Observamos que la potencia de O respecto de la circunferencia de diametroCD es OM2.

  • 18.3. CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES 151

    18.3. Circunferencias ortogonales

    O O'r r'

    d

    fig. 18.6

    Definicion 18.1 Dos circunferen-cias se llaman ortogonales cuando secortan de tal modo que las tangentesen cada uno de los puntos de in-terseccion son perpendiculares entres.

    La simetra de ambas circunferenciasrespecto de la recta que une los cen-tros indica que esta condicion se veri-fica simultaneamente para ambos

    puntos de interseccion. Dos circunferencias ortogonales cumplen las siguientescondiciones, y recprocamente, si las cumplen, son ortogonales:

    1. Los radios de una y otra circunferencia correspondientes a cada puntode interseccion son perpendiculares entre s. Equivalentemente, la tan-gente a cada circunferencia en cada punto de interseccion pasa por elel centro de la otra. El centro de cada una debe ser exterior a la otra.

    2. Si d es la distancia entre los centros y r y r son los radios, se verifi-ca d2 = r2 + r2. Esta relacion solo se cumple cuando es rectangulo eltriangulo formado por los dos centros y uno de los puntos de intersec-cion.

    3. La potencia del centro de cada circunferencia respecto de la otra es elcuadrado de su propio radio. Si d2 = r2 + r2 entonces d2 r2 = r2y tambien, d2 r2 = r2. Recprocamente, si se verifica cualquiera deestas dos ultimas relaciones entonces tambien se cumple 2.

    18.3.1. Cuaternas armonicas determinadas por dos cir-cunferencias ortogonales

    De la discusion previa se deduce que

    Teorema 18.4 Si una recta corta a dos circunferencias ortogonales y pasapor el centro O de una de el las, las intersecciones forman una cuaternaarmonica.

  • 152 CAPITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

    AO

    BC DO'

    M

    PN

    Q

    fig. 18.7

    Demostracion: En efecto, comolas circunferencias son ortogonales, lapotencia de dicho centro O respectode la circunferencia O es (OM)2 =OP OQ. Como O es punto medio deMN se deduce que M , N , P y Qforman una cuaterna armonica (teo-rema 18.3).

    .

    Teorema 18.5 El recproco tambien es cierto. Toda circunferencia que pasapor dos puntos P y Q, armonicamente separados por otros dos M y N esortogonal a la circunferencia de diametro MN .

    Corolario 18.3 Los diametros alineados AB y CD de dos circunferenciasortogonales se dividen armonicamente.

    18.4. Haz de circunferencias

    Hemos aprendido a determinar el eje radical de dos circunferencias da-das. Nos proponemos a continuacion encontrar todas las circunferencias quecomparten con una dada una recta como eje radical. A este conjunto decircunferencias (incluyendo a la circunferencia dada) lo llamaremos haz decircunferencias.

    Sea c una circunferencia y r una recta. Sea d la recta perpendicular a rpor el centro de la circunferencia c.

    d

    QA

    B

    c

    r

    fig 18.8

    c

    P

    r

    d

    Q

    fig 18.9Si r corta a c, todas las circunferencias que pasan por los puntos A y B de

  • 18.4. HAZ DE CIRCUNFERENCIAS 153

    interseccion cumpliran la condicion deseada. Todo punto de d es centro deuna de tales circunferencias. Por cada punto Q exterior a r pasa una y solouna circunferencia del haz, aquella que pasa por los puntos A, B y Q.

    Si r es tangente a c en P , toda otra circunferencia tangente a r en dichopunto es circunferencia del haz. Por tanto, todos los puntos de la recta dperpendicular a r por el centro de c, salvo P , son centros de circunferenciasdel haz. Por un punto Q exterior a r pasa una unica circunferencia del haz,aquella cuyo centro esta en la interseccion de la mediatriz del segmento PQy la recta d.

    Supongamos que r es exterior a c.Igual que antes sea d la recta perpen-dicular a r por el centro de c y P lainterseccion de esta recta con r. Todacircunferencia del haz tendra su cen-tro sobre la recta d y la potencia deP con respecto dichas circunferenciasdebe ser la misma que tiene P respec-to de c. Para conseguir una de estascircunferencias, tracemos la circunfe-

    d

    r Q

    c

    s

    Q'M N

    fig. 18.10rencia con centro en P y ortogonal a c. Toda otra circunferencia que tengacentro en d y sea ortogonal a satisface la propiedad requerida. Recproca-mente toda circunferencia del haz es ortogonal a s (vease 18.3.3). Los centrosde la circunferencias del haz son los puntos de la recta d exteriores al diame-tro MN de . Los puntos M y N se llaman polos del haz. Igualmente, porcada punto Q exterior a r pasa una unica circunferencia del haz. Para ob-tenerla, se halla el punto Q armonicamente separado de Q respecto de losextremos del diametro alineado con P Q en s. El centro de la circunferenciase halla en la interseccion de la mediatriz del segmento QQ y la recta d.

    18.4.1. Haces ortogonales

    Observemos que todos los puntos del eje radical de un haz de circunferen-cias tienen igual potencia respecto de todas las circunferencias. Si desde unpunto O de dicho eje exterior a todas ellas trazamos tangentes a las mismas,todos los segmentos de dichas tangentes comprendidas entre O y los puntosde contacto son iguales, esto es, son radios de una circunferencia con centro enO ortogonal a todas las circunferencias del haz. Esto demuestra el siguiente

  • 154 CAPITULO 18. CUATERNAS ARMONICAS

    r

    d

    O

    fig 18.11

    O

    r

    d

    fig 18.12

    Teorema 18.6 Sea H un haz de cir-cunferencias. Todo punto del eje ra-dical de H, exterior a todas las cir-cunferencias del haz, es centro de unacircunferencia ortogonal a todas ellas.

    A su vez, cada circunferencia de H esortogonal a todas las circunferenciasas construidas y, por consiguiente, lapotencia de su centro respecto de to-

    d

    r

    O

    fig. 18.13das ellas es la misma. La recta d de los centros de H es eje radical comun atodas las circunferencias ortogonales.

    Ejercicios.

    1. Sean c una circunferencia, P y Q dos puntos donde P no esta sobre c.Hallar la circunferencia ortogonal a c que pasa por P y Q.

    2. Dados dos puntos distintos, A y B cual es el lugar geometrico de lospunots cuya razon de distancias a los puntos A y B es igual a uno?