4. MODELE MATEMATICE PENTRU PROCESE DIN INSTALA ŢII Modelul matematic permite studierea răspunsului instalaţiei. Faţă de

abordările ingineriei sanitare, termice sau electrice, noutatea care apare în acest capitol este regimul variabil. Nu mai este suficientă dimensionarea în condiţii nominale sau „de calcul”, deoarece instalaţiile funcţionează permanent în regim variabil în timp, la diverse regimuri de încărcare, astfel încât regimul nominal este atins doar din întâmplare.

4.1. Modele matematice (MM) pentru procese cu reglarea nivelului Elementele instalaţiilor în care se reglează un nivel se desfăşoară în

rezervoare deschise sau închise, conducte de legătură şi robineţi. Ipotezele de lucru: - conductele sunt pline; - acceleraţiile sunt mici (nu se analizează lovitura de berbec); - curgerea este turbulentă (Raynolds > 4000)

Debitul de fluid care trece printr-o conductă sau armătură se calculează cu formula [ ]:

hgkShhgkSq ∆=−= 2)(2 21 , (4.1)

în care: q este debitul lichidului; k - un coeficient de curgere; g - acceleraţia gravitaţională; S - secţiunea conductei; h1, h2 - presiunile lichidului la intrarea şi ieşirea din conductă sau

strangulare; ∆h = h1 — h2. Rezistenţa hidraulică R a unei conducte sau a unei strangulări se

calculează conform [ ] astfel:

q

hh

dq

dhR

)(2 21 −== (4.2)

Această rezistenţă nu este constantă în cazu1 curgerii turbulente, depinzând de căderea de presiune ∆h = h1 — h2, şi de obicei se determină experimental, trasând curba căderii de presiune în funcţie de debit pentru o

anumită valoare a secţiunii S şi măsurând apoi panta acestei curbe adică dq

dh în

punctu1 de funcţionare ales. Această valoare a lui R nu se poate considera

constantă decât pentru abateri mici ale funcţionării procesului faţă de punctul normal de funcţionare stabilit, situaţie care se întâlneşte de obicei în practică. Această liniarizare, deşi frecvent întâlnită, nu mai este obligatorie atunci când se poate utiliza un mediu de calcul puternic, cum este cazul SIMULINK / Matlab. Vom utiliza valoarea rezistenţei hidraulice care intră în expresia pierderii de presiune:

2QRp ⋅=∆ (4.3)

In această relaţie, rezistenţa hidraulică R variază puţin în funcţie de Re (şi pe măsură de apropierea de regimul laminar).

Curgerea laminară se întâlneşte rar în practică şi are specific că debitu1 Q este proporţional cu căderea de presiune h1 — h2 şi deci rezistenţa hidraulică R este constantă.

4.1.a. MM pentru procese cu un rezervor deschis (fig. 4.1). Procesul cuprinde un rezervor deschis, în care intră un lichid cu un debit m. Din acest rezervor lichidul curge cu un debit q. Dacă se notează cu h înălţimea lichidului în rezervor, funcţionarea acestui proces este descrisă de relaţia:

qmthSdq

d −=⋅ )( (4.4)

în care S reprezintă secţiunea rezervorului la înălţimea h şi care arată că evoluţia volumului de lichid în rezervor este egală cu diferenţa între cantitatea de lichid intrată şi aceea ieşită din rezervor în intervalul de timp dt considerat.

Dacă secţiunea rezervo-rului este constantă pe toată înălţimea, atunci în ecuaţia (4.4) termenul S este constant, ceea ce se va presupune în cele ce urmează. Sunt însă rezervoare în care secţiunea S variază în funcţie de h şi în acest caz trebuie introdusă în ecuaţia (2.53) relaţia S=f(h). Debitul de ieşire q se obţine printr-un robinet a cărui secţiune poate fi variată sau printr-un tub. In rezervoarele deschise şi cu ieşire finală la presiunea atmosferică, curgerea se face sub acţiunea gravitaţiei fără ca să mai existe o altă presiune care să influenţeze curgerea lichidului la ieşire. In acest caz, pentru curgere turbulentă relaţia (2.51) se poate scrie:

hRq = (4.5)

în care R este rezistenţa hidraulică totală, şi depinde de dimensiunea conductei de curgere sau a strangulării, de forma strangulării, de densitatea lichidului etc. Introducându-se această valoare în ecuaţia (4.4) se obţine:

Figura 4.1 - Proces cu reglarea nivelului în rezervor deschis

mhRdt

dhS =+

(4.6)

Din cauza termenului h , ecuaţia nu este liniară, ceea ce complică utilizarea ei în studierea unei reglări automate. In practică, atâta timp cât debitul de intrare m şi nivelul h nu variază mult în juru1 unor valori medii m0 şi h0 şi

anume dacă 2.00

≤∆m

m şi 1/ 0 <<∆ hh se poate liniariza ecuaţia (4.6). In acest

caz, se va nota h=h0- h , q=q0+ q , m=m0+ m , şi se va ţine seama că pentru

h=h0, m0=q0. Pentru variaţiile h∆ şi q∆ se va presupune o variaţie liniară şi

anume după tangenta la curba h în punctul (q0, h0) adică hh

Rq ∆=∆

02. Făcând

aceste înlocuiri în ecuaţia (4.6) se obţine:

mR

hh

dt

hd

C

hS∆=∆+∆ 00 22

(4.7)

sau

mkhdt

hdT ∆=∆+∆

0 (4.8)

în care:

R

hST 02

= şi R

hk 0

0

2= ,

(4.9)

adică o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. Constanta de timp T a procesu1ui depinde de suprafaţa S a rezervorului de înălţimea h0 în jurul căreia are loc variaţia nivelului reglat, precum şi de coeficientul R care caracterizează curgerea pe conducta de ieşire din rezervor. Această constantă de timp variind cu h, rezultă că sistemu1 de reglare va trebui să ţină seama de aceasta, pentru a păstra constant, în diferite împrejurări, nivelul în rezervor. Se demonstrează [ ] că variaţia lui T nu este semnificativă pentru variaţii ale lui h0 cu 20—40% şi deci o valoare medie, iniţial stabilită, pentru T poate fi păstrată chiar dacă se va cere ca h0 să varieze în aceste proporţii faţă de o valoare medie. Pe de altă parte, T variază cu secţiunea S şi cu coeficientul R. In cadrul studierii unui sistem de reglare pentru nivel, se vor examina şi implicaţiile acestor influenţe. Se observă

că 0

0

0

0 22

q

V

q

ShT == ‚ ceea ce permite ca măsurând pe q0, pe h0 şi S, să se

determine uşor T. Pentru un rezervor care se goleşte în aer, constanta de timp este egală deci cu de două ori timpul de golire al volumului V0 cu debitul q0.

Funcţia de transfer a acestui proces, notând cu H(s) şi M(s) transformatele Laplace ale lui h∆ şi m∆ este:

1)(

)()( 0

+==

Ts

k

sM

sHsY

(4.10)

Dacă debitul de ieşire este constant, de exemplu obţinut printr-o pompă cu debit constant (!), atunci ecuaţia (4.10) devine, cu notaţiile întrebuinţate pentru variaţii în jurul unei valori m0 = q0:

0mdt

hdS ∆=∆

(4.11)

din care se deduce relaţia:

tS

mh 0∆=∆

(4.12)

adică nivelul va creşte proporţional cu timpul începând de la valoarea h0. Funcţia de transfer dedusă din relaţia (4.12) este:

sSsY

11)( ⋅=

(4.13)

şi în ipotezele specificate, comportarea rezervorului este de integrator pur . 4.1.b. Modelarea instalaţiei cu un rezervor deschis Metoda prezentată anterior [ ] are dezavantaje importante. Utilizarea

SIMULINK ne permite depăşirea acestora, pentru a putea studia instalaţia fără particularizările respective. Pentru aceasta, se rescrie ecuaţia 4.5:

2QRh ⋅=∆ (4.14)

Şi din ecuaţia 4.6 obţinem imediat:

dtR

thtm

hSth

t

∫

−=

0

)()(

)(1

)( (4.15)

Se observă că nu s-a mai impus nici o ipoteză simplificatoare. Secţiunea rezervorului este variabilă pe înălţime, debitul de umplere este o variabilă independentă, iar debitul de evacuare depinde de nivel. Soluţia în Simulink este disponibilă în fig.4.2, reprezentând implementarea relaţiei 4.15:

Figura 4.2 – Modelul SIMULINK pentru rezervor deschis

Se observă că relaţia 4.15 este implementată în blocul Debit variabil, în care valorile u(2) au fost calculate în blocul Debit 1 şi reprezintă debitul evacuat (şi care depinde de nivel). Secţiunea rezervorului este şi ea variabilă, astfel încât poate fi studiată evoluţia instalaţiei, în diverse ipoteze pentru debitul de alimentare. In fig.4.3 se prezintă creşterea nivelului în rezervor, în situaţia în care debitul este

egal cu 5 l/min în primele 4 minute, apoi creşte (în minutul 5) până la 8 l/min, şi apoi rămâne constant până în minutul 15.

Se observă că instalaţia se stabilizează la diverse valori ale nivelului, debitul evacuat egalând debitul de alimentare. Răspunsul este similar sistemelor de ordinul I, iar constantele de timp se modifică, aşa cum s-a afirmat mai sus. De remarcat că nu s-au mai impus ipoteze simplificatoare.

4.1.c. MM pentru procese cu un rezervor închis (fig. 4.4). Este situaţia frecvent întâlnită în instalaţii, la

recipientele hidropneu-matice. Dacă se notează cu ha presiunea gazului pa din rezervor (exprimată în metri coloană de fluid), relaţia dintre q şi h este dată de:

R

hhq a+=

(4.16)

Problema se complică deoarece pe măsură ce nivelul de lichid creşte, se modifică şi presiunea gazului (transformare izotermă):

2211 VpVp ⋅=⋅ (4.17)

Evident, volumul de gaz va fi: )()( tVVtV lichidtotalg −= (4.18)

4.1.d. Modelarea unui proces cu rezervor închis. Ipoteza debitului de

alimentare menţinut constant este discutabilă, deoarece este mai greu de realizat (cu pompe volumetrice sau dozatoare). Modelul din SIMULINK lasă libertate pentru completarea dependenţei debitului de presiunea din recipient (fig. 4.5).

Figura 4.3 – Creşterea nivelului în rezervorul deschis

Figura 4.4 - Proces cu reglarea nivelului în rezervor hidropneumatic

Pentru simplificare, s-a optat pentru un recipient cu secţiune constantă, dar condiţia nu este obligatorie. Se observă că relaţiile 4.17 şi 4.18 sunt implementate în blocul Presiune gaz iar 4.16 în blocul Debit evacuat.

Răspunsul instalaţiei reflectă influenţa suprapresiunii, debitul evacuat fiind mărit. De asemenea, se poate urmări modul în care secţiunea rezervorului, presiunea iniţială de încărcare, nivelul iniţial al apei (este setat în blocul integrator) modifică regimul staţionar dar mai ales constantele de timp:

Figura 4.5 – Modelul SIMULINK pentru rezervorul hidropneumatic

Figura 4.6 – Regimul dinamic al recipientului hidropneumatic

4.2. Modelul matematic pentru procese în care mărimea reglată este presiunea unui gaz într-un rezervor

In instalaţii, transportul şi distribuţia gazelor naturale, dar şi a oxigenului sau aerului comprimat generează aceste situaţii. Spre deosebire de cazul lichidelor, în procesele în care parametrul care se reglează este presiunea unui gaz trebuie să se ţină seama de compresibilitatea gazului, dacă variaţiile de presiune sunt mai mari decât aproximativ 5% [ ].

Curgerea gazului poate fi turbulentă sau laminară. In primul caz, debitul adiabatic al unui gaz perfect este dat de relaţia:

γ)(2 21 PPgKScQ −= (4.19)

unde: Q este debitul de gaz; K - coeficientul de curgere; S - secţiunea strangulării; C - coeficientul de dilatare; γ - masa specifică a gazului; P1 - presiunea absolută a gazului la intrarea conductei; P2 - presiunea absolută a gazului la ieşire (necunoscută).

Rezistenţa la curgere poate fi exprimată relaţia simplificatoare:

dQ

dPR =

(4.20)

Această rezistenţă (este constantă doar pentru curgere laminară, caz rar întâlnit în tehnică) se determină din curbe stabilite experimental pentru fiecare tip de strangulare în parte şi care exprimă debitul în funcţie de diferenţa de presiune.

Dacă căderea de presiune P1-P2 este mai mare decât o valoare denumită critică, atunci curgerea devine suprasonică. In acest caz, debitul Q este:

,ag TSPKQ = (4.21)

în care : Kg - coeficient caracteristic gazului şi dispozitivului de strangulare ; S - suprafaţa orificiului de strangulare; Ta - temperatura absolută în amonte de orificiu; P - presiunea gazului în amonte de orificiu. Capacitanţa gazoasă C a unui rezervor este definită prin relaţia :

dP

dMC =

(4.22)

în care M este masa de gaz din rezervor şi P presiunea. Pentru rezervoare metalice, neizolate termic, şi pentru procese având loc

la presiuni şi temperaturi uzuale, capacitanţa C se poate considera constantă. In fig.4.7 este reprezentat un proces în care se cere menţinerea unei

anumite presiuni într-un rezervor.

Ecuaţia care descrie funcţionarea acestui proces este: dtQQCdP ei )( −= (4.23)

în care: P - presiunea gazului din rezervor; C - capacitanţa pentru gaze a rezervorului; Qi - debitul de gaz la intrare; Qe - debitul de gaz la ieşire.

In practică, căderile de presiune sunt mai mici decât acelea care determină curgerea suprasonică (care apare pentru aer la 53,0/ <ePP ). In aceste cazuri,

debitul de ieşire Qe este funcţie de presiunea P din rezervor şi de presiunea Pe de la extremitatea conductei de ieşire, adică:

),( eee PPfQ = (4.24)

De obicei, funcţionarea normală a unui asemenea proces are loc în jurul unor valori P = P0 pentru presiunea din vas şi Pe=Pe0 pentru presiunea de la ieşire. Dacă se notează cu litere minuscule variaţiile mici ale parametrilor in jurul punctului de funcţionare normală, adică

eee

eee

iii

pPP

qQQ

qQQ

pPP

+=+=+=

+=

0

0

0

0

(4.25)

atunci ecuaţia (4.23) devine, ţinând seama că 00 ie QQ = :

ei qqdt

dpC −=

(4.26)

Din relaţia (4.24) se deduce:

ee

eee p

P

fp

P

fq

00

∂∂+

∂∂=

(4.27)

Curbele care dau pe Qe în funcţie de P pentru Pe constant (curba a, fig. 4.8) şi pe Qe în funcţie de Pe pentru P constant (curba b, fig.4.9) se ridică experimental pentru cazul specific dat şi au aspectul general arătat în figurile respective. Indicele “0” din expresia (4.27) se referă la punctul de funcţionare normal, adică A şi B (fig.4.7, fig.4.8). Se introduc notaţiile:

ee

ee

RP

f

RP

f 1;

1

00

−=

∂∂=

∂∂

β

(4.28)

Figura 4.7 – Proces cu reglarea presiunii gazului într-un rezervor

Prin semnul minus din ultima relaţie s-a ţinut seama că în acest proces tangenta la curba b din fig.4.9 este negativă şi s-a introdus rezistenţa eR la

curgere, care are o valoare pozitivă. Relaţia (4.28) devine cu aceste notaţii:

ee

e pR

pR

q11 −=

β

(4.29)

Dacă reglarea se face prin modificarea deschiderii ventilului Vi de la intrare, cum este prevăzut în fig.4.7, atunci debitul de intrare Qi este funcţie de presiunea Pi în amonte de ventil, de deschiderea Mv a ventilului şi de presiunea P din rezervor, adică:

),,( PPMfQ ivii = (4.30)

Pentru variaţii mici in jurul punctului normal P = P0 de funcţionare, notând ca şi în cazul precedent,

pPP

pPP

mMM

iii

vv

+=+=

+=

0

0

0

(4.31)

Rezultă

pP

fp

P

fm

M

fq i

ii

v

ii

∂∂+

∂∂+

∂∂=

000

(4.32)

sau introducând coeficientul vC caracteristic ventilului de intrare precum şi

rezistenţele la curgere de pe conducta de intrare, se obţine relaţia:

pR

pR

mCq ii

viα

11 −+= (4.33)

în care αR este rezistenţa totală la curgere de pe conducta de intrare

corespunzătoare punctului P = P0. Introducând valorile lui qe şi qi din (4.29) şi (4.34) în relaţia (4.26) se

obţine:

(a) (b)

Figura 4.8 – Variaţia debitului în funcţie de presiunea din rezervor

Figura 4.9 – Variaţia debitului în funcţie de presiunea aval

pR

pR

pR

pR

mCdt

dpC e

ei

iv

βα

1111 −+−+= (4.34)

sau

iieem pKpKmKpdt

dpT ++=+

(4.35)

în care constanta de timp a procesului este

)(

)(

iar

,

βα

βα

βα

βα

βα

βα

βα

βα

RRR

RRK

RRR

RRK

RR

CRRK

RR

CRRT

ii

ee

vm

+=

+=

+=

+=

(4.36)

Acest proces este deci descris de o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. Constanta de timp T a procesului depinde, în afară de capacitatea C a rezervorului, şi de rezistenţele αR şi βR care au valori diferite după punctul P0

în care are loc funcţionarea procesului. În ecuaţia (4.35), coeficienţii T, Km, Ke, Ki nu pot fi consideraţi constanţi decât pentru variaţii mici în jurul valorilor de funcţionare normală. Dacă schema tehnologică presupune efectuarea reglajului cu un robinet pe conducta aval, efectul presiunii de evacuare se reduce, dar modelul matematic este asemănător.

Funcţia de transfer a procesu1ui, considerând ca mărime de intrare mărimea m, adică variaţia debitului produsă de deschiderea ventilului Ve, este

deci de forma 1+Ts

K.

Funcţia de transfer obţinută (proces de ordinul I) determină ca problemele reglării presiunii să aibă unele similitudini cu reglarea nivelului. Multiplele aproximări impuse (neglijarea compresibilităţii, a modificării de temperatură etc) pot complica sistemele de reglare pentru presiune în comparaţie cu acelea care sunt satisfăcătoare pentru reglarea nivelu1ui.

4.4. Modelul matematic pentru procese în care se reglează un debit Caracteristic acestor procese [ ] este că răspunsul este rapid. Variaţia

debitului se obţine de obicei prin modificarea deschiderii unui ventil, deschidere care constituie mărimea de intrare în proces. După ce s-a efectuat această deschidere a ventilului, noua va1oare finală a debitului se obţine cel mult în

câteva secunde, întârziere provocată de inerţia masei fluidului care trebuie să treacă de la o viteză la alta. În aceste condiţii, devin dominante constantele de timp din celelalte părţi componente ale unui sistem de reglare a debitului şi anume constantele de timp ale elementelor de reglare. Cele de mai sus se referă la procese de dimensiuni reduse. Dacă sistemul de reglare se aplică pentru conducte lungi de gaze sau petrol, atunci din cauza compresiunii fluidului sau dilatării conductelor şi a maselor mari în mişcare, constantele de timp pot fi mari.

Ţinând seama de cele arătate, se va considera că asemenea procese sunt descrise de ecuaţii diferenţia1e de ordinul întâi, adică funcţia lor de transfer este de forma:

1)(

+=

Ts

KsY

(4.37)

în care constanta de timp T are valori cuprinse aproximativ intre 0,1 şi 5 s. O caracteristică a acestor procese este prezenţa unui nivel ridicat de

zgomot provenind din variaţii mici de debit de frecvenţă mare. Aceste variaţii pot fi provocate de pompe sau compresoare precum şi de variaţii întâmplătoare ale debitului în ventile, diafragme sau din alte neregularităţi din proces. În 4.37 constanta de proporţionalitate depinde de punctul de funcţionare, respectiv de caracteristica pompelor.

4.3.a. Modelul matematic pentru procese cu pompe centrifuge Reglarea debitului este frecvent întâlnită în instalaţii, unde cea mai

răspândită pompă este pompa centrifugă. Regimul tranzitoriu este rapid, şi este generat în primul rând de electromotor. Pentru instalaţiile funcţionând în regim stabilizat sau lent variabil (instalaţii termice), acest regim tranzitoriu poate fi neglijat. Modelul matematic pentru pompa centrifugă este de forma:

232

21 QkQnknkH ⋅+⋅⋅+⋅= (4.38)

în care - H este presiunea de refulare; - k1, k2, k3 sunt coeficienţi constructivi, care pot fi determinaţi din

curba caracteristică a pompei, disponibilă în general în cataloage; - n este turaţia pompei, utilă în varianta alimentării prin convertizor de

frecvenţă; - Q este debitul pompei, corespunzător punctului de funcţionare. Punctul de funcţionare se determină prin egalarea relaţiei 4.38 cu relaţia

care dă pierderea de presiune pe instalaţie, de tipul 4.3. Rezultă că dacă se cunoaşte rezistenţa hidraulică totală a instalaţiei instR , se poate calcula

),,,,(),( 321 instRnkkkfQH = (4.39)

Alegerea robinetelor de reglare se bucură de o susţinere bibliografică

extinsă, fără însă să epuizeze problematica. Posibilităţile oferite de tehnica de calcul, prin tehnica simulării, permit studiul acestora într-un mod superior faţă de metodele grafoanalitice tradiţionale. In scopul implementării modelelor asistate de calculator, sunt necesare reconsiderarea modelelor intrare – ieşire pentru robinet şi pompă, precum şi modul în care autoritatea şi parametrii constructivi ai robinetului ( prin kv ) sunt utilizaţi.

4.3.b. MM pentru robinetul de reglare – rezistor hidraulic variabil In [1] este prezentată noţiunea de rezistor hidraulic variabil, fără însă a fi utilizată. Această mărime caracterizează complet robinetul de reglare, pentru un anumit grad n de deschidere:

)(R nf= (4.40) Determinarea valorilor rezistorului trebuie să se bazeze însă pe mărimea

kv, care este universal acceptată în domeniu. Se pleacă de la expresia pierderii de presiune locală, pentru regim turbulent:

2ρ

ζ∆2w

Pr = (4.41)

Se poate exprima debitul de lichid prin robinet:

ρ

∆2

ζ

1 PAQ r=

(4.42)

unde Ar este aria scaunului sau a secţiunii minime de trecere dintre obturator şi scaun, în funcţie de care este indicat şi coeficientul de pierdere ζ. Pentru coeficientul de pierdere se preferă coeficientul de debit α , definit ca:

ζ

1α =

(4.43)

Relaţia (4.42) devine:

=

s

mPAQ r

3

ρ

∆2α

(4.44)

Se grupează mărimile care variază în funcţie de gradul de deschidere al robinetului, utilizându-se notaţia:

[ ]2α2 mAk rv = (4.45)

În ingineria uzuală, nu această formă este utilizată, ci rezultanta includerii debitului şi pierderii de presiune:

=

s

mPkQ v

3

ρ

∆ (4.46)

din care rezultă

=

s

m

P

Qkv

3

ρ

∆

(4.47)

Aceasta este relaţia de definiţie a coeficientului kv, care este numeric egal cu debitul unui fluid de densitate 1 [kg/dm3], care trece prin robinetul de reglare, atunci când pe acesta se măsoară o cădere de presiune ∆∆∆∆P = 1 bar. Dacă in relaţia (4.44) includem şi densitatea – ca parametru fizic independent de robinet – atunci rezultă o formă apropiată:

[ ]2* α2m

Ak r

v ρ=

(4.48)

Această relaţie permite găsirea unei valori – rezistenţă hidraulică – utilizabilă într-o relaţie de forma 4.3:

2∆ QRP ×= (4.49)

din care se poate extrage:

2

ρ

VKR =

(4.50)

Relaţia 4.49 este direct implementabilă în scheme de simulare, în timp ce valorile rezistenţelor hidraulice sunt disponibile din (4.50), curbele kv fiind furnizate de producătorul robinetului.

4.3.c. Modelul matematic al conductei Conducta este un element al instalaţiilor care este destul de uşor de

înţeles. Pentru a vehicula un fluid (lichid) este nevoie de energie. Această energie se pierde. Această pierdere este “vizibilă” datorită pierderii de sarcină (presiune) liniare. Pierderea de presiune depinde de parametrii fluidului de lucru (de natura sa şi de parametrii de transport: presiune, temperatură şi evident debit), materialul conductei şi starea suprafeţei interioare (rugozitatea), diametrul interior.

Chestiunea se rezolvă tradiţional, când pentru un debit anumit (impus, presupus) se determină pierderea de presiune din nomograme. Dacă însă debitul nu se cunoaşte (el fiind variabil), această metodă nu mai este suficientă. Modelul matematic va neglija regimul tranzitoriu (foarte scurt) şi va fi de tipul: ( ) ),,(, ldfQhrl λ= (4.51)

Necunoscuta principală va fi debitul prin conductă. Pierderea de presiune rlh va

depinde de debit, precum şi de λ - coeficientul de rezistenţă hidraulică liniară (Darcy-Weissbach), diametrul d şi lungimea l a conductei. Evident, conducta nu va lucra independent, debitul depinzând şi de celelalte elemente ale instalaţiei (pompe, armături, etc).

Pierderile de sarcină liliare, hri, se calculează cu relaţia:

][2

2

Pad

lil V

hri×== λ

(4.52)

în care:

]/[2

V 2mPa

dl

hrii ×== λ (4.53)

este panta hidraulică sau panta energetică şi reprezintă pierderea de sarcină liniar ă unitară (pe unitatea de lungime a curentului), în care: λ - este coeficientul de rezistenţă hidraulică liniară (Darcy-Weissbach); l – lungimea tronsonului de conductă [m]; d – diametrul interior al conductei [m]; V – viteza medie a apei în conductă [m/s]. Introducând în relaţia (4.52) viteza dedusă din relaţia (4.54):

.4

2

constVVAQd =×==

π, adică ]/[4

2 smd

QVπ

= (4.54)

se obţine:

][0826,0..16 2

5

2

52 PallQ

dQ

dhrl

λλ

π==

(4.55)

Se numeşte modul de rezistenţă hidraulică liniară al conductei, expresia:

dM

ll 50826,0

λ= [s2/m5] (4.56)

Pierderea de sarcină liniară poate fi exprimată şi sub forma:

][2

PaQMh lrl=

(4.57)

care reprezintă modelul matematic simplificat pentru curgerea într-o conductă, în regim turbulent. Extinderea modelului se complică deoarece coeficientul de rezistenţă hidraulică - λ - este în funcţie de regimul de mişcare, precizat prin criteriul (numarul) Reynolds:

νVd

Re=

(4.58)

unde V este viteza fluidului, ν este coeficientul cinematic de viscozitate, rugozitatea relativă D=k/d a suprafeţei interioare a peretelui conductei, k fiind rugozitatea absolută (înălţimea medie a asperităţilor, vezi comentariile din programul de mai jos).

Relaţiile de calcul pentru coeficientul λ (Darcy) au fost stabilite prin numeroase cercetări experimentale. Aceste cercetări au pus în evidenţă 4 zone de mişcare în conductele sub presiune, cărora le corespund diferite tipuri de

relaţii pentru calculul coeficientului de rezistenţă hidraulică şi anume:

a) mişcare laminară prin conducte circulare, pentru 2300vd

Re<

ν= se

aplică relaţia (Hagen-Poiseuille)

Re

64=λ (4.59)

În regim de mişcare laminară, pierderea de sarcină liniară este direct peoporţională cu viteza medie v a curentului de fluid:

][.2 264

2

2..

642

2..

642

2. PaV

d

vlvd

l

v

VdV

d

l

Re

Vd

lhrl ==== λ

(4.60)

b) trecerea de la mişcarea laminară la mişcarea turbulentă se face printr-o zonă de tranziţie, în care 2300 < Re < 3500; c) mişcarea turbulentă în conducte hidraulic netede are loc când 3500 < Re <

23k

d

Dintre numeroasele formule stabilite pentru calculul coeficientului λ, pentru conducte cu ţevi din mase plastice (polietilenă de înaltă densitate, polipropilenă, policlorura de vinil, PVC) se recomandă relaţia (P. A. Konakov);

21,5)Relg(1,8

1λ

−=

(4.61)

Pentru mişcarea turbulentă în conducte hidraulic rugoase, numită şi zona

prepătratică, cu 23k

d< Re < 560

k

d, în conducte din oţel, zincate sau negre, se

recomandă relaţia (Colebrook-White):

+−=

d

k

Re71,3

51,2lg2

1

λλ

(4.62)

Pentru mişcarea turbulentă în conducte hidraulic rugoase, cu Re > 560 k

d,

numită şi zona pătratică ( deoarece în această zonă de mişcare pierderea de sarcină liniară creşte direct proporţional cu pătratul vitezei medii v a curentului de fluid) Pentru această zonă, în mod normal se aplică relaţia (Prandtl-Nikuradse):

d

klg214,1

1 −=λ

(4.63)

Aceste relaţii sunt relativ complexe, rezolvarea lor necesitând abordarea iterativă. Aparent, determinarea analitică a pierderii de sarcină în funcţie de debit NU are

soluţie, deoarece trebuie să reconsiderăm relaţia 4.57, care devine: ][)( 2 PaQQMh lrl ×= (4.64)

unde Mi este modul de rezistenţă hidraulică liniară (relaţia 4.56). Această mărime este utilizată în unele lucrări recente [3], dar dificultatea de a calcula coeficientul Darcy limitează răspândirea metodei. Dacă însă ne propunem să rezolvăm ecuaţia 4.62 (Colebrook-White) din care rezultă coeficientul lui Darcy, atunci se va putea determina pierderea de presiune în funcţie de debit. Rezolvarea ecuaţiei Colebrook-White este complicată. Dar câteva linii de program propuse (QBasic) dau rapid soluţia: Rezultatele furnizate de acest calcul au fost comparate cu valorile extrase din nomograme, iar rezultatele confirmă valabilitatea calculului [Ghid..].

' =====Subrutina pentru calculul pierderilor specif ice de presiune ' 16.01.2010 – CONDUCTA.BAS FOR jj = 0.7 TO 1.5 STEP 0.1 (pentru tabelul d e mai sus) pi = 4.14159 V = jj 'l/s FiREAL = 34.7 - 6.5 'mm (se modifica la fiecare tipodimensiune) Lung = 1 'm Q = V * (1000 * 4 / pi / (FiREAL / 1000) ^ 2) FiREAL = FiREAL / 1000 K2K = .007 / 1000 'Rugozitatea (M) PENTRU MATERIAL VEZI MAI JOS LL1 = .00001# 'intervalul de cautare pent ru Lamda LL2 = 3 FOR kir = 0 TO 10000 ’Ciclul corespunz ător metodei coardei REY = V * FiREAL / (1.24 * 10 ^ -6) ’Criteriul Reyn olds FUNC1 = 1 / LL1 ^ .5 + 2 * LOG(2.51 / REY / LL1 ^ . 5 + K2K / 4.71 / FiREAL) / LOG(10) FUNC2 = 1 / LL2 ^ .5 + 2 * LOG(2.51 / REY / LL2 ^ . 5 + K2K / 4.71 / FiREAL) / LOG(10) LL3 = (LL2 * FUNC1 - LL1 * FUNC2) / (FUNC1 - FUNC2) FUNC3 = 1 / LL3 ^ .5 + 2 * LOG(2.51 / REY / LL3 ^ . 5 + K2K / 4.71 / FiREAL) / LOG(10) IF FUNC1 * FUNC3 < 0 THEN LL2 = LL3 IF FUNC2 * FUNC3 < 0 THEN LL1 = LL3 IF ABS(LL3V - LL3) / LL3 < .000001 THEN GOTO A11 LL3V = LL3 NEXT kir A11: Lamda = LL3 PRINT kir; PRINT "SOLUTIA= ";: PRINT USING "#.#####"; LL3; ' Otel fara sudura, vechi k=0,04 ' Otel cu sudura k=0,04 ... 0,01 ' Otel zincat k=0,10 ... 0,15 ' Polietilena, PVC k=0,007

4.4. Procese termice Transmisia căldurii se face diferit într-o instalaţie sau construcţie, fiind

influenţată de masele înglobate, de geometrie etc. O simplificare importantă acceptată în general este ca temperatura procesului considerat să fie uniformă. Dacă dimensiunile procesu1ui sunt mici, această aproximaţie poate să fie justificată. Dacă există un dispozitiv de amestec, presupunerea că temperatura este uniformă se poate admite şi pentru volume mai mari.

Transferul de căldură se poate realiza prin conducţie, convecţie sau radiaţie. Debitul de căldură q şi rezistenţa R la transferul de căldură au următoarele expresii:

— Transfer de căldură prin conducţie:

SK

h

dq

dR

h

SKq

c

c ==−= θθθ 021 );( (3.65)

— Transfer de căldură prin convecţie:

SHdq

dRSKq

ccvc

1);( 21 ==−= θθθ

(4.66)

— Transfer de căldură prin radiaţie:

342

41 4

1);(

mrrr SEKdq

dRSEKq

θθθθ ==−=

(4.67)

în care: q — debitul de căldură; Kc — conductivitatea termică a materialului; h — grosimea suprafeţei de schimb de căldură; S — secţiunea suprafeţei perpendiculară direcţiei debitului de căldură; θ — temperatura, în °C sau în K (obligatoriu în K pentru transfer

radiativ); Hc — coeficient de convecţie; Kr — constantă de radiaţie; E — emisivitatea suprafeţei receptoare; θm — temperatura medie între corpul care radiază şi corpul receptor;

DP = Lamda * Lung * V ^ 2 * 1000 / (FiREAL) / 2 / 9 .81 * 10 'FiReal in m 'Lung in metri 'DP in N/m^2 'V in m/s FiREAL = FiREAL * 1000 PRINT V; DP; FiREAL al: NEXT jj ddeea: ' ================================================= ==========

Rc, Rcv, Rr — rezistenţele la transferul de căldură prin conducţie, convecţie şi radiaţie.

In general, se poate considera că Rc şi Rcv nu depind de temperatură şi sunt constante pentru aceleaşi corpuri. In ce priveşte Rr, rezistenţa la radiaţie, aceasta este puternic influenţată de temperatura medie la care are loc schimbul de căldură şi nu poate fi considerată constantă decât pentru variaţii mici de temperatură.

Temperatura θ în interioru1 unui corp variază în conformitate cu următoarea lege:

qdtCd =θ (4.68) în care:

q — debitul de căldură; C = cM — capacitatea calorifică a corpului; M — masa corpului; c — căldura specifică a corpului la presiune constantă.

Legile de mai sus se vor aplica la procesele termice care se descriu în

cele ce urmează.

4.4.a. Modelul matema-tic al încălzitorului de apă. Un aparat instant pentru producerea apei calde pentru necesităţi domestice este un exemplu frecvent (figura 4. 10).

Încălzitorul este izolat termic pentru a reduce pierderile de căldură, pierderi care se vor neglija la stabilirea ecuaţiei funcţionării acestui proces. Se vor face următoarele simplifi-

cări: - Se neglijează căldura înmagazinată în izolaţie. Această

simplificare este justificată, deoarece căldura specifică a izolaţiei este mică şi temperatura apei încălzite variază între limite apropiate.

- Apa din încălzitor se menţine la o temperatură uniformă, ceea ce necesită un amestec foarte bun al apei din rezervor.

Descrierea procesu1ui se va obţine dacă se exprimă analitic relaţia: căldura introdusă în proces = căldura înmagazinată în proces + căldura care iese din proces, ceea ce conduce la relaţiile următoare:

Figura 4.10 – Incălzitorul instant de apă

ii

ap

ee

pei

QcqR

q

Qcq

dtqdtqCddtqqdt

θ

θθθ

θ

=

−=

=

++=+

(4.69)

în care: q - debitul de căldură introdus de elementul încălzitor, în acest caz un

încălzitor electric; qi, θi - debitul de căldură adus de debitul de apă rece care intră în

încălzitor, şi temperatura acestei ape; qe, θe - debitul de căldură care este cuprins în debitul de apă caldă la

ieşire, şi temperatura apei la ieşire; C =cM - capacitatea termică a apei din rezervor; θ - temperatura apei din schimbător; c - căldura specifică a apei; qp - debitul de căldură pierdut prin izolaţia termică; θext - temperatura în jurul schimbătorului de căldură; Q -debitul de apă; R - rezistenţa termică a izolaţiei; M - masa lichidului din rezervor. Din combinarea ecuaţiilor (4.69) şi ţinând seama că θθ =e , se obţine:

( ) qR

Qcdt

dC ext

i =−+−+ θθθθθ

(4.70)

Dacă se neglijează pierderile de căldură prin izolaţie spre exteriorul rezervorului, adică se presupune că rezistenţa termică R a izolaţiei este infinită, atunci ecuaţia de mai sus devine:

)()()(

tQc

qt

dt

td

Q

Miθθθ +=+

(4.71)

Procesul este descris de o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi şi constanta sa de timp este

Q

MT =

(4.72)

În asemenea procese, care se întâlnesc des în practică, constanta de timp este mai mare la debite mai mici de lichid şi invers, pentru aceeaşi masă a lichidului din rezervor.

Pentru cazul în care sursa de căldură este oprită, se obţine funcţia de transfer:

11

)()(

)(+

==Tss

ssY

iθθ

(4.73)

Mai interesant este însă să avem răspunsul instalaţiei în funcţie de puterea sursei de încălzire, pentru condiţii ini ţiale nule: ;0)( =tiθ

1)()(

)(+

==Ts

Qc

sq

ssY

θ sau

1)(

+=

Ts

KsY

(4.74)

Unde K are semnificaţia unei constante de amplificare. Din 4.71, după stingerea regimului tranzitoriu, se observă că

)()( tQc

qt iθθ +=

(4.75)

Sau

)()( tt

qQcK

iθθ −==

(4.76)

Respectiv constanta de amplificare depinde de puterea sursei de căldură, de care va depinde ecartul de temperatură în regim stabilizat. 4.4.b. Modelarea încălzitorului de apă. Pentru exemplificare, se prezintă (în fig. 4.11) răspunsul unui sistem de ordinul I cu o constantă de timp considerată constantă şi egală cu 2 min, reprezentând modelul unui încălzitor de apă cu puterea de 24 kW, lucrând cu un debit de 8 l/min, şi cu temperatura apei reci de 5oC care va suferi un salt (treaptă) în minutul 15.

Răspunsul este disponibil în fig. 4.12, şi se observă cele două regimuri stabilizate, la care se ajunge asimptotic:

Figura 4.11 – Modelul dinamic pentru încălzitorul instant

Figura 4.13 – Schema tehnologică pentru acumulatorul ACM

4.4.c. Modelul matematic pentru acumulatorul ACM. Soluţia este utilizată pentru producerea apei calde cu surse de putere minimă, şi consum cu variaţii orare mari. Situaţia poate fi întâlnită la consumul casnic, dar şi la obiective specifice: săli de sport, spălătorii, restaurante etc. Utilizarea surselor regenerabile (solar sau eolian, de exemplu) impune utilizarea unui acumulator pentru a aplatiza şi producerea ACM, nu numai consumul. Schema termo-hidraulică de principiu este prezentată în fig. 4.13. Acumulatorul ACM va fi în permanenţă plin cu apă, însă numai o porţiune va avea apă încălzită. Separarea este destul de netă, stratificarea termică fiind evidentă (diferenţă de temperatură de cca. 40oC). Interesează volumul VACM , în funcţie de debitul consumat de apă caldă menajeră şi de debitul schimbătorului de căldură. Acumulatorul funcţionează după o funcţie integrativă:

Figura 4.12 – Răspunsul unui sistem de ordinul I la semnal treaptă

dttqtqtVt

ACMscACM ∫ −=0

))()(()( (4.77)

Integrala continuă este limitată superior la valoarea totală a acumulatorului (moment în care pompa se opreşte), iar inferior la valoarea zero (stocul ACM este epuizat). )(tqACM poate varia şi înregistra vârfuri de consum care trebuie

asigurate din acumulator. 4.4.d. Modelarea acumulatorului de ACM. Detaliile tehnice care trebuie să fie reflectate de model sunt saturarea superioară şi inferioară, dar şi faptul că sursa de căldură trebuie oprită în momentul în care acumulatorul este plin. Pentru sistemul neautomatizat, evoluţia liberă va indica volumul minim necesar al acumulatorului, pentru a asigura debitul maxim cerut, dacă schimbătorul produce apă caldă la debitul mediu zilnic.

Sistemul dinamic pentru acumulatorul ACM este disponibil în figura 4.14:

Cu ajutorul blocului Rampă (Bază de timp 24 ore) se generează vectorul de intrare pentru blocul cu vectorul de interpolare (Ciclu de consum zilnic). Pentru uşurinţa analizei, acest vector este construit în valori relative oarecare, care redau alura curbei de consum, dar fără a impune debitul total consumat. Pentru a efectua această corecţie (care nu ţine de analiza propriu-zisă a acumulatorului), se totalizează consumul zilnic (în Integrator pentru normalizare consum) şi se obţine Consumul nenormat (în exemplul nostru 225.6 litri) care este introdusă în blocul multiplicator Consum unitar. Produsul va fi unitar, astfel încât în blocul următor putem seta valoarea consumului zilnic analizat (Consum zilnic =200 litri). Debitul instantaneu obţinut se scade (el fiind consumat) din debitul mediu al schimbătorului de căldură (produs). Rezultă o evoluţie conform fig. 4.15:

Figura 4.14 – Modelul dinamic al acumulatorului de ACM

Graficul superior ilustrează variaţia consumului zilnic (o ipoteză statistică), iar în graficul inferior se observă că în ipoteza condiţiilor ini ţiale nule (rezervor gol), în jurul orelor 20 nu se poate asigura debitul cerut, deoarece acumulatorul este golit (s-a impus în blocul integrativ Acumulator ACM o limitare inferioară egală cu zero). Rezolvarea este simplă, deoarece putem citi volumul final al ACM, care trebuie să devină condiţie iniţială pentru un ciclu diurn complet. Cu această setare, se obţine:

Pentru ipotezele analizate, rezultă volumul necesar al acumulatorului (în figura

Figura 4.15 – Evoluţia volumului ACM în acumulator

Figura 4.16 – Evoluţia volumului ACM în acumulator cu asigurarea completă a debitului cerut

4.16 el este de cca 80 litri). Pentru alte ipoteze analizate, volumul necesar al acumulatorului rezultă imediat. Astfel, dacă vom amplifica vârful de seară dar fără a majora consumul zilnic total, vom obţine următoarele rezultate:

Rezultă imediat că dacă nu se amplifică puterea sursei de căldură pentru ACM, volumul acumulatorului trebuie majorat la 120 litri.

Modelul matematic al acumulatorului poate fi utilizat atât pentru dimensionare, dar mai ales pentru automatizarea instalaţiei, mai ales că sursa de căldură este utilizată de regulă şi pentru încălzirea clădirii. Sunt necesari unii coeficienţi de siguranţă la dimensionarea acumulatorului, schimbătorului de căldură ACM [ ]. Pentru situaţiile practice, golirea completă a acumulatorului trebuie evitată, deoarece în aceste situaţii apa rece (care ar tranzita acumulatorul) ar ajunge să se amestece cu ACM produsă de schimbător în regim instantaneu, înrăutăţind situaţia confortului utilizatorilor. Tehnic, un robinet de secţionare (On/Off) trebuie introdus pe racordul acumulatorului.

Figura 4.17 – Evoluţia volumului ACM în acumulator cu asigurarea completă a debitului cerut, pentru un vârf de seara accentuat

Figura 4.18 – Elementele dinamice ale procesului de încălzire a unei incinte: 1 – pereţi; 2 – corp de

încălzire; 3 – termoizolaţie; 4 – mase interioare.

4.4.e. Modelul matematic al clădirii (înc ăperii) încălzite (fig. 4.18). Intr-o incintă transferul energiei termice se face conform cu ecuaţiile de mai jos, dacă se presupune că temperaturile sunt uniforme şi se neglijează o serie de perturbaţii :

qdtdtadC cicicici =−+ )( θθθ (4.78)

respectiv căldura înmagazinată în corpul de încălzire + căldura cedată de corpul de încălzire către mediul interior = energia consumată de corpul de încălzire.

dtadtaCd ciciextext )()( θθθθθ −=−+ (4.79)

Adică energia înmagazinată în mediul interior încălzit + căldura cedată prin anvelopă către mediul exterior = căldura cedată de corpul de încălzire

unde: θci - temperatura medie a corpului de încălzire; Cci - capacitatea termică a corpului de încălzire; θ - temperatura interioară a încăperii; C - capacitatea termică echivalentă a aerului interior şi a mobilierului

care trebuie încălzit; θext - temperatura exterioară; aci, aext - coeficienţi globali de transfer de căldură de la corpul de

încălzire către mediul interior şi respectiv prin pereţii exteriori. Aceşti coeficienţi se presupun constanţi, dar în realitate variază destul de mult şi determinarea lor exactă este destul de dificilă;

q - debitul de căldură introdus prin corpul de încălzire. Se urmăreşte eliminarea temperaturii corpului de încălzire, care nu

interesează ca mărime de stare. Din 4.78:

θθθθθciciciextext aaa

dt

dC −=−+ )(

(4.80)

şi

θθθθθ +−+= )( extci

ext

cici a

a

dt

d

a

C

(4.81)

Cu care înlocuim în 4.80 scrisă sub forma:

qadt

dC cici

cici =−+ )( θθθ

(4.82)

Şi se obţine:

qa

a

a

a

dt

dC

dt

d

a

a

dt

d

a

a

dt

d

a

CC ext

ci

ext

ci

extext

ci

ext

ci

ext

cici =−+−++

+−+ θθθθθθθθθ

2

2

(4.83)

După care putem restrânge termenii:

qa

a

dt

dCCC

a

a

a

CC

dt

dext

ci

extcici

ci

ext

ci

ci =−+

+++ )(2

2

θθθθ

(4.84)

Şi separând variabilele:

extci

ext

ci

extcici

ci

ext

ci

ci

a

aq

a

a

dt

dCCC

a

a

dt

d

a

CC θθθθ +=+

+++2

2

(4.85)

S-a obţinut o ecuaţie diferenţială de ordinul II cu coeficienţi constanţi, din care se poate determina evoluţia temperaturii interioare într-o clădire în funcţie de temperatura exterioară şi de puterea sursei de încălzire. Acest model include regimul variabil al corpului de încălzire (mai mare sau mai mic) peste care se suprapune întârzierea generată de masele implicate în schimbul de căldură. Proprietăţile termofizice ale anvelopei construcţiilor sunt bine studiate şi pot fi determinate cu precizie. O determinare prin calcul este însă foarte laborioasă şi nu foarte exactă, şi de aceea se preferă identificarea experimentală a parametrilor globali de schimb de căldură. Cei mai bine documentaţi parametri sunt defazarea şi amortizarea transmiterii fluxului de căldură prin pereţi multistrat (STAS 6648/1-1982). Se restrâng constantele implicate şi se face ipoteza absenţei sursei interioare de căldură:

extci

ext

ci

ext

ci

cicici

ci

ext

CC

a

CC

a

dt

d

CC

aCCC

a

a

dt

d θθθθ =+

+++2

2

(4.86)

Se introduc notaţiile:

CC

a

ci

extn =ω

(4.87)

numită pulsaţie naturală, şi

extci

cicici

ci

ext

CaC

aCCC

a

a

++=

21ζ

(4.88)

numit factor de amortizare. Se obţine forma normalizată a ecuaţiei:

extnnn dt

d

dt

d θωθωθξωθ 222

2

2 =++ (4.89)

Pentru condiţii ini ţiale nule, prin aplicarea transformării Laplace directe, ecuaţia devine:

)()()(2)( 222 ssssss extnnn θωθωθξωθ =++ (4.90)

Şi imediat rezultă funcţia de transfer:

22

2

2)()(

)(nn

n

ext sss

ssY

ωξωω

θθ

++==

(4.91)

Această funcţie de transfer aparţine unei întregi familii de procese sau dispozitive (termice, electrice, mecanice, electromecanice), astfel încât concluziile obţinute în urma studierii ei sunt valorificabile în numeroase situaţii. Una dintre cele mai răspândite metode de studiu este în frecvenţă. Comportarea în frecvenţă [Dumitrache, pag.61] se poate determina dacă la intrarea în sistem se aplică un semnal armonic:

tjext et ωθ =)( (4.92)

Cu transformata Laplace:

ωθ

jssext −

= 1)(

(4.93)

Una dintre cele mai utilizate caracteristici de frecvenţă este hodograful funcţiei )(sY pentru ( )+∞∞−∈ ,ω . Pentru cazul particular studiat, va interesa un punct

special, respectiv amplitudinea şi faza răspunsului pentru pulsaţia corespunzătoare unei oscilaţii cu perioada de 24 ore pentru mărimea de intrare (temperatura exterioară). Cu schimbarea de variabilă ωjs = din 4.91 se obţine:

χζχωωξωωωω

jjjY

nn

n

211

2)( 222

2

+−=

++−=

(4.94)

unde notaţia

nωωχ =

(4.95)

este denumită pulsaţie normată. Se calculează partea reală şi partea imaginară:

( ) 2222

2

41

1)(

χζχχχ+−

−=U ; şi ( ) 2222 41

2)(

χζχχζχ+−

=V (4.96)

Modulul şi argumentul rezultă sub forma:

( ) 2222 41

1)(

χζχω

+−=A ; şi

212

)(χ

ζχωϕ−

−= arctg (4.97)

In cazul practic al determinării (din calcul sau experiment) a amplitudinii

)(ωA şi fazei )(ωϕ a răspunsului sistemului de ordinul II, interesează calculul

invers, respectiv determinarea constantelor constructive ζ şi nω . Aceşti

parametri permit cunoaşterea modelului matematic al clădirii (relaţia 4.90), care include necunoscute deosebit de complexe (coeficienţi globali de schimb de căldură, capacităţi termice). Din 4.97:

χχζ

χζχϕ

21

12 2

2

−=⇒

−= tgtg

(4.98)

şi se poate înlocui:

22

22222

2 4)1(

4)1()(

1 χχχϕχ

ω−⋅+−= tg

A

(4.99)

şi cu transformările succesive:

( )ϕχω

2222

1)1()(

1tg

A+−=

( )ϕωχ

2222

1)(1

)1(tgA +

=− ; şi ( )ϕωχ

22

2

1)(

11

tgA +=−

( )ϕωχ

2

2

1)(

11

tgA +−=

(4.100)

Rezultă:

( )ϕωχ

21)(

11

tgA +−=

(4.101)

Din 4.94, cunoscând că 2422 ππω ==

Trezultă valoarea căutată:

χπω

24

2=n (4.102)

Pentru operativitate, aceste calcule sunt implementate în MATLAB:

Pentru verificare sau pentru situaţiile de testare a unor funcţii de transfer,

function r = amor2wn(amor,defaz) % calculeaza pulsatia naturala wn si zita din amort izare si defazaj % unde amortizarea oscilatiilor sinusoidale (<1) % defazajul intirzierea (<0, in ORE, se transf in r ad coresp 2pi=24 h) fi=pi/12*defaz; hi=sqrt(1-1/(amor*sqrt(1+(tan(fi))^2))); zita=tan(fi)*(1-hi^2)/(2*hi); wn=2*pi/24/hi; r(1)=wn; r(2)=zita; end

este disponibilă şi subrutina corespunzătoare relaţiilor 4.96:

4.4.f. Modelarea încăperii încălzite. Pentru exemplificare, se va utiliza un model simplu pentru o funcţie de transfer supusă unei variaţii sinusoidale cu perioada de 24 ore:

De la cursorul MATLAB se apelează funcţia q=amor2wn(.7,5);

şi se obţine rezultatul q =[0.3298 0.8691];

Cu aceste valori q(1) şi q(2) se rulează modelul SIMULINK pentru incinta încălzită:

function r = wn2amor(wn,zita) % q = wn2amor((wn,zita) % calculeaza amortizarea si defazajul din pulsatia naturala wn si zita % calculeaza amortizarea oscilatiilor sinusoidale ( <1) % calculeaza defazajul (<0, radiani, se transf in O RE coresp 2pi=24 h) % [relatii conform Dumitrache, pag.64] hi=2*pi/24/wn; amor=1/sqrt((1-hi^2)^2+4*zita^2*hi^2); fi=-atan(2*zita*hi/(1-hi^2)); defaz=-fi*12/pi; r(1)=amor; r(2)=defaz; end

Figura 4.19 – Pentru vizualizarea răspunsului unui sistem de ordinul II

Se obţine răspunsul de forma:

4.4.g. Modelul matematic al Schimbătorului de căldur ă între două lichide. Cel mai răspândit exemplu este schimbătorul cu plăci. Acest aparat are mase mici implicate în schimbul de căldură, atât pentru plăcile propriu-zise, cât şi pentru volumul de apă.

Schimbul de căldură este caracterizat de temperatura medie logaritmică:

min

max

minmax

lnθθ

θθθ

∆∆

∆−∆=∆ ml (4.103)

Puterea termică transferată este

mlKSP θ∆= (4.104)

În care KS este coeficientul global de schimb de căldură (riguros, el variază în funcţie de regimul de curgere). Există numeroase metode de calcul pentru schimbătoare de căldură, însă pentru o analiză operativă se poate utiliza temperatura medie [ , pag. 247]:

Figura 4.20 – Răspunsul unui sistem de ordinul II cu amortizarea oscilaţiei temperaturii exterioare cu 70% şi defazarea ei cu 5 ore

5 ore

70%

extθ

)(tθ

2minmax θθθ ∆−∆=∆ ml

(4.105)

În condiţii normale, pentru producerea ACM, debitul secundar variază liber, iar temperatura de ieşire pe secundar 22θ trebuie menţinută constantă, prin variaţia debitului de agent primar. Temperatura apei reci poate fi considerată constantă, dar cazul general este că se caută mărimile de ieşire 2

1θ , 22θ în funcţie de

mărimile de intrare 11θ , 1

2θ şi q1, q2 (temperaturi pe intrare şi debite de agent primar şi secundar). Se mai cunoaşte că fluxul termic al schimbătorului este cedat de un fluid şi preluat de celălalt (randament ideal). Rezultă că:

)()( 12

2222

21

1111 θθθθ −=−= cqcqP (4.106)

Relaţiile 4.103 (care va fi introdusă în 4.104) şi 4.106 formează un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute2

1θ , 22θ , care se rezolvă numeric.

Un exemplu de astfel de rezolvare este disponibilă mai jos. Pentru procesele pretenţioase, când este importantă evitarea unor suprareglaje, de ex., se poate considera că transferul de căldură se realizează cu o întârziere de ordinul II, cu două faze de cedare-acumulare, ducând la o funcţie de transfer de tipul [ , pag.66]:

)1)(1()(

)()(

1

2

++==

sTsT

K

sQ

ssY

ba

θ

(4.107)

în care Ta şi Tb se deduc din ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale care dă pe θ2 în funcţie de Q1. şi θ1 considerat constant. 4.4.h. Răspunsul schimbătorului de căldur ă

function tt = schimba(ks,t11,t21,q1,q2) % calculul schimbatoarelor tm=3;cp1=4185;cp2=4185; for i=1:10000; Q=ks*tm; t12=t11-Q/q1/cp1; t22=t21+Q/q2/cp2; dtmed= abs((t11-t22)-(t12-t21)); rap=(t11-t22)/(t12-t21); if rap <= 1 rap=1/rap; end dtmed=dtmed/log(rap); if abs(tm - dtmed)/tm >.007 tm=tm + .01; end [i,t12, t22, dtmed, tm] ; end tt(1)=t12; tt(2)=t22;

Pentru a ilustra comportarea puternic neliniară a unui schimbător de căldură, chiar atunci când se consideră constant coeficientul global de schimb de căldură, s-a rulat subrutina de mai sus, în ipoteza creşterii liniare (rampă) a debitului secundar.

Rezultatele sunt prezentate calitativ în fig. 4.16:

Se remarcă faptul că şi în acest model simplu, variază atât puterea

termică transferată, cât şi temperaturile de ieşire din schimbător, în plaje destul de largi. Pentru situaţii speciale, studiul schimbătoarelor de căldură trebuie abordat în detaliu.

4.4.i. Modelul matematic al corpul de încălzire. Acest aparat este un

caz particular al schimbătorului de căldură, care funcţionează având ca agent secundar aerul din încăpere, considerat la temperatură constantă. Relaţiile de calcul sunt asemănătoare cu cele ale schimbătorului de căldură (4.74) în care determinantă rămâne temperatura medie logaritmică (4.73), care însă va trebui particularizată. Faţă de abordările inginereşti uzuale (care consideră corpul de încălzire funcţionând la temperaturi nominale 90oC – 70oC), funcţionarea în regim variabil presupune că se cunosc parametrii nominali ai aparatului, debitul şi temperatura tur pentru agentul termic, temperatura cvasiconstantă a încăperii, şi nu se cunoaşte temperatura pe retur, respectiv fluxul termic cedat:

),,,,( 211

21 θθθ qSkf n= (4.108)

Peste acest regim stabilizat se poate aplica o întârziere de ordinul I, pentru a obţine funcţia de transfer, care va avea astfel o constantă de amplificare

Figura 4.21 – Caracteristica unui schimbător de căldură funcţionând la debit variabil de agent secundar

Co6422 =θ

Co2922 =θ

kWP 320=

kWP 440=

slq /12 =

slq /5,32 =

Co7421 =θ

Co7821 =θ

variabilă şi o constantă de timp care va depinde de volumul de agent termic din aparat şi masa aparatului (dar şi de debitul de agent termic).

Relaţia 4.103 se poate particulariza dacă se cunoaşte că agentul secundar are aceeaşi temperatură pe tur şi retur:

int

int

min

max

minmax

lnlnθθ

θθθθ

θθ

θθθ

−−

−=

∆∆

∆−∆=∆

retur

tur

returturml

(4.109)

Relaţia 4.104 poate fi rescrisă pentru condiţii nominale: NmlNN SKP θ∆= (4.110)

Deoarece se consideră un regim oarecare, este necesar calculul coeficientului de transmisie a căldurii [ ]:

m

Nml

mlNKK

∆∆=

θθ

(4.111)

Unde m reprezintă exponentul de variaţie a coeficientului global de transmisie a căldurii, având valori în funcţie de tipul corpului de încălzire:

• m=0,33 pentru radiatoare din fontă; • m=0,345 pentru convectoare; • m=0,25 pentru corpuri încălzitoare din ţeavă netedă; • m=0,36 pentru ventiloconvectoare.

Se ştie însă că şi debitul de agent termic influenţează procesul de schimb de căldură [Lăzărescu, pag. 294]:

p

NNN

q

qKK

='

(4.112)

Exponentul p depinde de schemele de racordare. Pentru radiatoare, s-au determinat experimental următoarele valori:

• sus-jos, p=0,03 • jos-sus, p=0,076 • jos-jos, p=0,1

Pentru variaţii ale debitului între 10% şi 300 % se obţin variaţii între –30% şi +20% pentru coeficientul de schimb de căldură. În calcule, NK ' va fi utilizat pentru a intra în relaţia 4.111, pentru care se va consideră:

NN KK '= (4.113)

obţinând coeficientul de schimb de căldură pentru debitul q (diferit de qN) şi Nmlθ∆ .

Este nevoie şi de relaţia 4.116, pentru energia cedată de agentul primar: )( 111

returturqcP θθ −= (4.114)

Relaţia 4.110 a devenit:

mlSKP θ∆⋅⋅= (4.115)

Necunoscutele sunt P, K, retur1θ , mlθ∆ , iar ecuaţiile de care dispunem sunt 4.115,

4.114, 4.111, 4.119. Rezolvarea este disponibilă mai jos:

4.4.j. Modelarea corpului de încălzire în regim stabilizat. Cu funcţia definită în MATLAB, se poate realiza o simulare a comportării radiatorului pentru diverse regimuri, impunând diverse variaţii pentru mărimile de intrare. Sistemul este prezentat în fig. 4.22:

function mm = radiator9(Qnom,S,q1,ti,td) % Qnom = Puterea nominala a corpului [W]; S= supr afa ţa [mp] % q1 = debitul de agent termic [kg/s]; ti = tempe ratura înc ăperii % td = temperatura agentului la intrare in corp [ C] % Calculeaz ă temperatura pe retur si puterea termica mm=[tr Q ef] cp=4201; q_N=Qnom/cp/20; k_N=Qnom/S/(20/log(70/50)); k_N=k_N*(q1/q_N)^.03; tm_N=20/log(70/50); tr=ti+.00001; for i=1:100000; tm=(td-tr)/log((td-ti)/(tr-ti)); QQ1=q1*cp*(td-tr); k=k_N*(tm/tm_N)^.33; QQ2=k*S*tm; a=abs(QQ1 - QQ2)/QQ1 ; if a <.001 mm(1)=tr; mm(2)=q1*cp*(td-tr); return elseif a>=.001 tr=tr+.01 ; end end

Figura 4.22 – Sistem pentru studiul funcţionării corpului de încălzire

Mărimile de intrare (debit agent termic şi temperatura incintei) sunt generate cu blocurile de interpolare, şi pot fi vizualizate pe graficele de mai jos:

Se Se Se observă că debitul de agent termic creşte în intervalul de timp 0-40 min, determinând o creştere limitată a fluxului de căldură cedat, şi o creştere în consecinţă a temperaturii pe retur. În intervalul 50-60 min se funcţionează cu debitul nominal, astfel încât se obţine puterea cedată nominală (1500 W) şi o temperatură pe retur de 70oC. Din momentul 70 se impune o scădere a temperaturii incintei, rezultând o creştere a fluxului cedat cu scăderea temperaturii pe retur. 4.4.k. Modelarea corpului de încălzire în regim tranzitoriu. Problema regimului tranzitoriu se rezolvă similar cu relaţia 4.117, impunând o fază de acumulare-cedare, respectiv o întârziere de ordinul I:

1

1

)(

)()(

1

2

+==

TssQ

ssY

θ

(4.116)

Constanta de proporţionalitate este unitară deoarece valoarea de regim permanent se calculează conform relaţiilor de mai sus.

Figura 4.23 – Răspunsul corpului de încălzire funcţionând cu debit de agent termic şi temperatura incintei variabile

Sistemul devine de forma:

Răspunsul corpului de încălzire pentru o variaţie treaptă a temperaturii pe tur (de la 90oC la 55oC, în minutul 50) poate fi examinat în figura 4.20. Se remarcă regimul tranzitoriu de la începutul simulării, generat de condiţiile ini ţiale nule:

Figura 4.24 – Modelul dinamic pentru corpul de încălzire cu întârziere de ordinul I

Figura 4.25 – Răspunsul dinamic al corpului de încălzire pentru o variaţie treaptă a temperaturii pe tur, şi debit nominal de agent termic

4.5. Procese cu mărimi electrice Motor de curent continuu comandat pe indus, cu excitaţie constantă, cu o sarcină având inerţie şi frecare vâscoasă (fig.4.26). Ecuaţiile care descriu funcţionarea acestui proces sunt următoarele [ ]:

iKMdt

dKKe

Mdt

dB

dt

dJ

dt

diLiReu

CCMM

m

r

rr

rarm

2

11

2

2

=

==

=+

++=

+==

θω

θθ

(4.117)

în care:

Mm - cuplul motor; Mr - cuplul rezistent, egal cu momentul de acceleraţie Ca plus momentul

de frecări vâscoase Cr u - tensiunea de alimentare a rotorului;

θ - poziţia unghiulară (şi derivata de ordinul I va fi viteza unghiulară, iar derivata de ordinul II va fi acceleraţia unghiulară);

i - curentul în circuitul rotoric; e — tensiunea contraelectromotoare a motorului; Rr, Lr — rezistenţa şi inductanţa rotorului (inductanţa se va neglija);

J, B — momentul de inerţie, respectiv coeficientul de frecare vâscoasă a sarcinii.

dt

dKRiu

θ1+=

(4.118)

Figura 4.26 – Schema servomotorului de cc

ω

i

ctexi =

M

DJ

U

R

θ

1+sT

K

m

m

s

1u ω θ

Figura 4.27 – Schema bloc echivalentă a motorului electric

şi se aplică transformata Laplace pentru condiţii ini ţiale nule: )()()( 1 ssKsRIsU θ+= (4.119)

Precum şi: )()()( 2

2 sDssJssIK θθ += (4.120)

din care se scoate:

)()(1

)(2

DJsssK

sI +⋅= θ (4.121)

pentru a introduce în 4.119

)()()()( 12

2

2

ssKsDsK

RsJs

K

RsU θθθ ++=

(4.122)

Şi se poate scrie funcţia de transfer a electromotorului:

+

+

+=

=

++=

++

==

1

11)()(

)(

21

21

2

2

21

21

22

sKKRD

RJs

KKRD

K

K

KKRDs

K

RJsKD

K

Rs

K

RJs

sU

ssYm

θ

(4.123)

Şi se fac notaţiile:

mTKKRD

RJ =+ 21

care va fi constanta de timp a motorului, (4.124)

respectiv

mKKKRD

K =+ 21

2 care va fi factorul de amplificare a motorului. (4.125)

Cu aceste notaţii, funcţia de transfer rezultă de forma:

( )1)()(

)(+

==sTs

K

sU

ssY

m

mm

θ

(4.126)

In ipotezele considerate motorul se comportă ca două elemente legate în serie, un element proporţional cu întârziere de ordinul I, şi un element integrator cu

funcţia de transfer s

1:

In figură se remarcă faptul că dacă viteza unghiulară se poate considera mărime

de ieşire, atunci modelul rămâne cu întârziere de ordinul I. Mai important este însă că în procesele lente (în instalaţii) se poate neglija regimul tranzitoriu al servomotorului, deoarece durata în care atinge turaţia constantă (corespunzător tensiunii de alimentare) este incomparabil mai scurtă decât timpii în care procesul (în special de natură termică) îşi modifică parametrii. Alte elemente cu comportare integrativă pură sunt contoarele de energie electrică, apă etc. 4.6. Modelul matematic pentru procese având timp mort Tm

Un proces în care timpul mort Tm este uşor de pus în evidenţă îl constituie o instalaţie de bandă transportoare (fig.4.28). Modificarea cantităţii transportate se face la o extremitate şi măsurarea acestei cantităţi la cealaltă extremitate. Dacă lungimea benzii este L şi viteza de transport V, atunci o modificare în alimentarea benzii ajunge la elementul de măsurare după un timp mort Tm = L / V.

Funcţionarea unui proces având timp mort se descrie cu ajutorul ecuaţiilor cu derivate parţiale. Mărimea de ieşire e(t) într-un asemenea proces este decalată cu timpul Tm faţă de o mărime de ieşire ef(t) fictivă a procesului, în cazul în

care acest timp mort nu ar apărea.

Figura 4.28 – Proces cu timp mort

v

1(t)

Tm

T=3s

5 10 15 0

Figura 4.29 – Răspunsul unui sistem de ordinul I, cu constantă de timp T=3s şi timp mort Tm=2s.

e(t)

In fig.4.29 s-au reprezentat curbele pentru cazul în care e(t) este mărimea

de ieşire a unui proces de ordinul întâi având un timp mort Tm la intrarea căruia s-a aplicat la t = 1s o mărime de intrare treaptă unitară 1(t) .

Modelul SIMULINK pentru exemplul respectiv este disponibil în figura

4.30:

Răspunsul unui proces cu timp mort poate fi scris: )()( mf Ttete −= (4.128)

sau făcând dezvoltarea în serie:

...)('''!3

)(''!2

)('1

)()(32

+−+−= teT

teT

teT

tete fm

fm

fm

fM (4.129)

Această dezvoltare va fi întrebuinţată pentru a se obţine o caracterizare simplă a proceselor având timp mort Tm.

Aplicând transformarea Laplace acestei ecuaţii se obţine, cu condiţii iniţiale zero,

sTf

mmf

mesEsT

sT

sEsE −=

−+−= )(...

!211)()( 2

2

(4.130)

adică transformata mărimii de ieşire Ef(s) dacă acest timp mort ar fi zero, înmulţit cu factorul sTme− .

Ţinând seama că funcţia de transfer )(

)()(

sI

sEsY = , iar pentru procesul

fictiv )(

)()(

sI

sEsY f

f = , rezultă sTf

mesYsY −= )()( .

Funcţia de transfer Y(s) a unui proces sau element având un timp mort Tm este egală cu funcţia de transfer Yf(s) a aceluiaşi proces considerat fără timp mort, înmulţit cu factorul sTme− .

Figura 4.30 – Modelul dinamic pentru procesul cu timp mort