Curs 13 - Grafuri euleriene si grafuri hamiltoniene. Colorarea …mircea.marin/lectures/TGC/L-13... · 2019. 1. 11. · Curs 13 Grafuri euleriene ˘si grafuri hamiltoniene. Colorarea

Colorarea grafurilor

Curs 13Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene.

Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice

21 decembrie 2018

Curs 13


Grafuri euleriene

Fie G = (V ,E ) un graf neorientat.

O cale euleriană este o cale care conţine fiecare muchie a lui G osingură dată.

Un ciclu eulerian este un ciclu care conţine fiecare muchie a lui G osingură dată.

G este graf eulerian dacă are un ciclu eulerian.

Exemple:

11

2

3

5

4

nu este graf eulerian (de ce?)are calea euleriană (2,5,4,3,1,2,3)

21

2

3

5

4

6este graf eulerian:(2,3,1,2,4,5,3,2,5,6,4,3,2) este ciclu eulerian

3 Orice graf ciclic Cn cu n ≥ 3 este eulerian.4 Nici un graf Pn cu n ≥ 2 nu este eulerian.

Curs 13


Grafuri eulerieneCum recunoaştem grafurile euleriene?

Teorema de caracterizare a grafurilor euleriene

Pentru un graf conex G = (V ,E), afirmaţiile următoare sunt echivalente:

1 G este graf eulerian.

2 Fiecare nod al lui G are grad par.

3 Muchiile lui G pot fi partiţionate ı̂n cicluri care nu au muchii ı̂n comun.

Demonstraţia lui 1⇒ 2: Presupunem căB G este Eulerian ⇔ ∃ un ciclu care conţine toate muchiile lui G

De exemplu, (v1, v3, v4, v1, v2, v6, v1) este un ciclu al grafului

v1

v3

v4v2

v6

deg(v2) = deg(v3) = deg(v4) = deg(v6) = 2

deg(v1) = 4

Ori de câte ori ciclul eulerian intră ı̂n un nod v pe o muchie, trebuie să plece din acel

nod pe altă muchie. Deoarece nici o muchie nu apare de 2 ori ı̂n ciclu, nr. de muchii

incidente la v este par ⇒ deg(v) este par.

Curs 13


Grafuri eulerieneDemonstraţie a Teoremei de Caracterizare (continuare)

Demonstraţia lui 2⇒ 3: Presupunem că fiecare nod al lui G aregrad par. Gândim inductiv după numărul de cicluri disjuncte ale lui G .

G nu are noduri de grad 1 ⇒ G nu este arbore ⇒ G are cel puţin unciclu Cn1 .Fie G ′ graful produs din G prin eliminarea muchiilor lui Cn1 ⇒ toatenodurile lui G ′ au grad par ⇒ se deduce recursiv că G ′ poate fipartiţionat ı̂n cicluri disjuncte Cn2 , . . . ,Cnk .

Rezultă că Cn1 ,Cn2 , . . . ,Cnk este o partiţie a lui G ı̂n cicluri (cu muchii)disjuncte.

Demonstraţia lui 3⇒ 1: evident.

Curs 13


Detecţia ciclurilor eulerieneAlgoritmul lui Hierholzer

Se dă: un graf eulerian G = (V ,E )

Sa caută un ciclu eulerian al lui G .

1 Se identifică un circuit R1 al lui G şi se marchează muchiile lui R1.Fie i = 1.

2 Dacă Ri conţine toate muchiile lui G , stop: Ri este Eulerian.

3 Dacă Ri nu conţine toate muchiile lui G , fie vi un nod al Ri incidentla o muchie nemarcată ei .

4 Se construieşte un ciclu de muchii nemarcate Qi , pornind de lanodul vi de-a lungul muchiei ei . Se marchează muchiile lui Qi .

5 Se crează un ciclu nou Ri+1 ı̂nlănţuind Qi ı̂n Ri la nodul vi .

6 Se incrementează i cu 1 şi se revine la pasul (2).

Curs 13


Detecţia ciclurilor eulerieneAlgoritmul lui Hierholzer: exemplu ilustrat

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Cicluri:

Q1 = (3, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3)Q2 = (3, 8, 5, 1, 3)Q3 = (6, 2, 7, 9, 5, 6)Q4 = (4, 5, 7, 4)

Primele 2 cicluri au nodul comun 3 ⇒ ciclulR2 = (3, 8, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3)

R2 are nodul 6 ı̂n comun cu al 3-lea ciclu ⇒ ciclulR3 = (3, 8, 5, 1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 9, 3)

R3 are nodul 4 ı̂n comun cu a 4-lea ciclu ⇒ ciclul eulerianR4 = (3, 8, 5, 1, 3, 6, 2, 7, 9, 5, 6, 7, 8, 2, 4, 5, 7, 4, 9, 3)

Curs 13


Detecţia căilor euleriene

Întrebare: Cum detectăm dacă un graf conţine o cale euleriană?

Răspuns: Se observă că:

Un graf eulerian conţine un o cale eulerianădeoarece orice ciclu eulerian este şi caleeuleriană.Există grafuri ne-euleriene care conţin căieuleriene.

Observaţie

Un graf conex G conţine o cale euleriană dacă şi numai dacă arecel mult 2 noduri cu grad impar.

Curs 13


Grafuri hamiltoniene

Fie G = (V ,E ) un graf neorientat.

O cale hamiltoniană este o cale care conţine fiecare nod a lui G osingură dată.

Un ciclu hamiltonian este un ciclu care trece prin fiecare nod a lui Go singură dată.

G este traversabil dacă conţine o cale hamiltoniană.

G este graf hamiltonian dacă are un ciclu hamiltonian.

Observaţii:

1 Toate grafurile hamiltoniene sunt traversabile.

2 Există grafuri traversable care nu sunt hamiltoniene; De exemplu,P3.

Curs 13


Detecţia grafurilor hamiltoniene

Nu se cunosc condiţii necesare şi suficiente de caracterizare agrafurilor hamiltoniene.

Se cunosc condiţii suficiente pentru ca un graf să fie sau să nu fiehamiltonian:

1 Teorema lui Dirac2 Teorema lui Dirac generalizată3 Teorema lui Chvátal şi Erdös4 Teorema Goodman şi Hedetniemi5 Teorema lui Duffus, Gould şi Jacobson

. . .

Curs 13


Detecţia grafurilor hamiltonieneTeorema lui Dirac

Teorema lui Dirac

Fie G un graf simplu cu ordinul n ≥ 3. Dacă δ(G) ≥ n/2 atunci G este hamiltonian.

Demonstraţie. Presupunem că G satisface condiţiile date, ı̂nsă G nu estehamiltonian. Fie P = (v1, . . . , vp) o cale simplă ı̂n G de lungime maximală ⇒ toţivecinii lui v1 şi ai lui vp sunt ı̂n P. Deasemenea, v1 şi vp au cel puţin n/2 vecini ı̂n Pfiindcă δ(G) ≥ n/2.Demonstrăm că ∃j ∈ {1, . . . , p − 1} astfel ı̂ncât vj ∈ N(vp) şi vj+1 ∈ N(v1). Dacă n-arfi aşa, atunci pentru fiecare vecin vi de pe P al lui vp (reţinem că sunt ≥ n/2 astfel devi ), vi+1 nu este vecin al lui v1. Ar rezulta că deg(v1) ≤ p − 1−

n

2< n −

n

2=

n

2,

contradicţie cu faptul că δ(G) ≥ n/2. Deci, există un astfel de j , pentru care avemsituaţia ilustrată ı̂n figura de mai jos:

Curs 13


Detecţia grafurilor hamiltonieneTeorema lui Dirac (continuare)

Teorema lui Dirac

Fie G un graf simplu cu ordinul n ≥ 3. Dacă δ(G ) ≥ n/2 atunci G estehamiltonian.

Demonstraţie. (continuare)

Fie C ciclul v1, v2, . . . , vj , vp, vp−1, . . . , vj+1, v1. Presupunând că G nueste hamiltonian, există un nod al lui G care nu este ı̂n P.

Se observă că, dacă δ(G ) ≥ n/2 atunci G este conex.

⇒ G are un nod w care nu-i ı̂n P şi este adiacent la un nod vi din P.Dar atunci calea care porneşte cu w , vi şi continuă ı̂n jurul ciclului C estemai lungă decât P, contradicţie.

În concluzie G trebuie să fie graf hamiltonian. �

Curs 13


Detecţia grafurilor hamiltonieneAlte criterii şi noţiuni auxiliare

Teorema lui Dirac generalizată

Fie G un graf simplu cu ordinul n ≥ 3. Dacă deg(x) + deg(y) ≥ n pentru toateperechile de noduri neadiacente x , y , atunci G este hamiltonian.

O mulţime de noduri a unui graf G este independentă dacă nu conţine noduriadiacente. Numărul de independenţă α(G) al unui graf G este mărimea cea mai mareposibilă a unei mulţimi independente a lui G .

Exemplu

Se consideră grafurile

Cea mai mare mulţime independentă a lui G1 este {c, d}, deci α(G1) = 2. Există 2mulţimi independente cu mărimea 3 ı̂n G2 : {a, c, e} şi {b, d , f }, şi nici una cumărimea 4, deci α(G2) = 3.

Curs 13


Detecţia grafurilor hamiltonieneAlte criterii şi noţiuni auxiliare. Teorema lui Chvátal şi Erdös

Conectivitatea κ(G ) unui graf G este este mărimea minimă a uneimulţimi de tăiere a lui G . Spunem că G este k-conectat dacă k ≤ κ(G ).

Teoremă (Chvátal şi Erdös, 1972)

Fie G un graf conectat cu ordinal n ≥ 3, conectivitatea κ(G ), şi numărulde independenţă α(G ). Dacă κ(G ) ≥ α(G ), atunci G este hamiltonian.

Exerciţiu (Jocul icosian al lui Hamilton)

Să se arate că graful ilustrat ı̂n cercul de mai jos este hamiltonian.

Curs 13


Detecţia grafurilor hamiltonieneDouă definiţii şi trei grafuri speciale

Date fiind două grafuri G şi H, spunem că G este liber de Hdacă G nu conţine subgraful H.

Dacă S este o colecţie de grafuri, spunem că G este liber de Sdacă G nu conţine nici unul din grafurile lui S ca subgraf.

Trei grafuri speciale

K1,3 Z1 N

Curs 13


Detecţia grafurilor hamiltonieneAlte rezultate

Teoremă (Goodman şi Hedetniemi, 1974)

Dacă G este un graf 2-conectat şi liber de {K1,3,Z1} atunci G estehamiltonian.

Demonstraţie. Fie G un astfel de graf, şi fie C un ciclu de lungimemaximă ı̂n G . Deoarece G este 2-conectat, un astfel de ciclu C există.Demonstrăm că C este ciclu hamiltonian.Dacă G nu ar fi hamiltonian, ar exista un nod v care nu este ı̂n C şi careeste adiacent la un nod w din C . Fie a şi b succesorul şi predecesorulimediat al lui w ı̂n ciclul C .

Dacă {a, b} ∩ N(v) 6= ∅ ⇒ ∃ un ciclu mai lung decât C ⇒ {a, b} ∩ N(v) = ∅.

Dacă a, b nu sunt adiacente atunci subgraful indus de {w , v , a, b} este K1,3,contradicţie cu ipoteza că G este liber de K1,3 ⇒ ab trebuie să fie muchie ı̂n G .Însă ı̂n acest caz subgraful indus de {w , v , a, b} este Z1, contradicţie cu ipotezacă G este liber de Z1.

⇒ C este ciclu hamiltonian. �Curs 13


Detecţia grafurilor hamiltonieneAlte rezultate

Teoremă (Duffus, Gould şi Jacobson, 1981)

Fie G un graf liber de {K1,3,N}.1 Dacă G este conectat atunci G este traversabil.

2 Dacă G este 2-conectat atunci G este hamiltonian.

Observaţii.

Ultimele 2 teoreme interzic ca graful K1,3 să apară ca subgraf. Deobicei, graful K1,3 se numeşte gheară, şi este un graf interzis săapară ı̂n numeroase teoreme din teoria grafurilor.

Curs 13


Problemă motivantă

Adi, Barbu, Călin, Dan, Eugen, Florin, Gelu şi Ion sunt senatori aiunui stat, şi fac parte din 7 comitete:

C1 = {Adi, Barbu, Călin}, C2 = {Călin, Dan, Eugen},C3 = {Dan,Florin}, C4 = {Adi, Gelu}, C5 = {Eugen, Ion},C6 = {Eugen,Barbu,Gelu}, C7 = {Ion, Călin, Florin}.

Fiecare comitet trebuie să fixeze o oră la care să se ı̂ntâlnească toţimembrii săi.

Întrebare: Care este numărul minim de ore ce trebuiesc fixatepentru ı̂ntâlniri, dacă se ştie că nici un membru nupoate participa simultan la două ı̂ntâlniri fixate laaceeaşi oră?

Curs 13


Răspuns la problema motivantă

Observaţii:

Două comitete Ci şi Cj nu se pot ı̂ntâlni la aceeaşi oră dacă şinumai dacă au un membru comun (adică Ci ∩ Cj = ∅).

⇒ Putem considera graful neorientat G cunoduri = comitetele C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7muchii {Ci ,Cj} dacă Ci şi Cj au un membru comun (adicăCi ∩ Cj 6= ∅)⇒ muchiile{C1,C2}, {C1,C4}, {C1,C6}, {C1,C7}, {C2,C3}, {C2,C5}, {C2,C7},{C3,C7}, {C4,C6}, {C5,C6}, {C5,C7}

Colorăm fiecare nod Ci cu o culoare care reprezintă ora la careare loc ı̂ntâlnirea comitetului Ci⇒ problema se poate reformula astfel: care este numărul minim

de culori pentru nodurile lui G , astfel ı̂ncât nici o muchie să nuaibă capetele colorate la fel?

Curs 13


Răspuns la problema motivantă

G : C1

C2C3

C4

C5

C6C7

C1

C2C3

C4

C5

C6C7

K(C1) = K(C3) = K(C5) = 1

K(C2) = K(C4) = 2

K(C6) = K(C7) = 3

⇒ nr. minim de date este 3.(sunt necesare 3 culori)

Definiţie (colorare de noduri, număr cromatic)

O k-colorare a nodurilor unui graf G = (V ,E ) este o funcţieK : V → {1, . . . , k} astfel ı̂ncât K (u) 6= K (v) dacă (u, v) ∈ E .Numărul cromatic χ(G ) al unui graf G este valoarea minimă a luik ∈ N pt. care există o k-colorare a lui G .

Curs 13


Colorări de noduriPolinoame cromatice

Calculul lui χ(G ) este o problemă dificilă (NP-completă).

Birkhoff (≈ 1900) a descoperit o metodă de calcul al unuipolinom cG (z) pentru orice graf G , numit polinomul cromatical lui G , astfel ı̂ncât

cG (k) = numărul de k-colorări ale nodurilor lui G

⇒ χ(G ) = valoarea minimă a lui k pentru care cG (k) > 0.

Vom prezenta

1 formule simple de calcul al lui cG (z) pentru grafuri speciale G .

2 doi algoritmi recursivi de calcul al lui cG (z) pentru orice grafG .

Curs 13


Colorări de noduriPolinoame cromatice

Calculul lui χ(G ) este o problemă dificilă (NP-completă).

Birkhoff (≈ 1900) a descoperit o metodă de calcul al unuipolinom cG (z) pentru orice graf G , numit polinomul cromatical lui G , astfel ı̂ncât

cG (k) = numărul de k-colorări ale nodurilor lui G

⇒ χ(G ) = valoarea minimă a lui k pentru care cG (k) > 0.Vom prezenta

1 formule simple de calcul al lui cG (z) pentru grafuri speciale G .

2 doi algoritmi recursivi de calcul al lui cG (z) pentru orice grafG .

Curs 13


Polinoame cromatice pentru grafuri speciale

1 Graful vid En:v1 v2 . . . vn

pentru fiecare nod, putem alege oricare din z culori:⇒ cEn(z) = zn şi χ(En) = 1

2 Arbore Tn cu n noduri:

z opţiuni pentru culoarea rădăciniiorice alt nod poate fi colorat cu orice culoare diferită ce cea anodului părinte ⇒ z − 1 opţiuni pentru colorarea lui

⇒ cTn(z) = z · (z − 1)n−1 şi χ(Tn) ={

1 dacă n = 1,2 dacă n > 1.

3 Caz special: graful Pn (cale cu n noduri) este un arbore

special cu n noduri: v1 v2. . . vn

⇒ cPn(z) = z · (z − 1)n−1 şi χ(Pn) ={

1 dacă n = 1,2 dacă n > 1.

4 Graful complet Kn:cKn(z) = z · (z − 1) · . . . · (z − n + 1) şi χ(Kn) = n.

Curs 13


Calculul polinoamelor cromaticeOperaţii speciale asupra unui graf

Fie G = (V ,E ) un graf neorientat şi e = (x , y) o muchie din E

I G − e este graful obţinut din G prin eliminarea muchiei eI G/e este graful obţinut din G astfel:

Se ı̂nlocuiesc nodurile x şi y cu un singur nod, care seı̂nvecinează cu vecinii lui x şi ai lui y .

Exemplu

G :

• •

•••• •

w za

b c

x y

G − (b, c):

G/(b, c):

• •

•••• •w za

b c

x y

• •

••• •w za

b&c

x y

Curs 13


Calculul polinoamelor cromaticeFormule de calcul recursiv

Se observă că, pentru orice e ∈ E : cG (z) = cG−e(z)− cG/e(z)⇒ doi algoritmi de calcul recursiv al polinomului cromatic:

1 Se reduce G eliminând pe rând câte o muchie e ∈ E :

cG (z) = cG−e(z)− cG/e(z)

până când se obţin grafuri speciale En sau Tn:

Cazuri de bază: cEn(z) = zn şi cTn(z) = z · (z − 1)n−1

2 Se extinde G adăugând pe rând muchii e care lipsesc din G :

cG (z) = cḠ (z) + cḠ/e(z)

unde e este o muchie lipsă din G , şi Ḡ = G + e

Caz de bază: cKn(z) = z · (z − 1) · . . . · (z − n + 1)

Curs 13


Calculul polinomului cromatic prin reducereExemplu ilustrat

G : cG (z) = cG1 (z)− cG2 (z), unde

a b

cd

e

G1:

a b

cd

e cG1 (z) = cG11 (z)− cG12 (z)unde G11 = G1 − (b, c)şi G12 = G1/(b, c)

G2:

a&b

cd

e cG2 (z) = cG21 (z)− cG22 (z)unde G21 = G2 − (a&b, c)şi G22 = G2/(a&b, c)

G11:

a b

cd

eG12:

a b&c

de

G21:

a&b

cd

eG22:

a&b&c

de

Grafurile următoare sunt izomorfe: G12 ≡ G21 şi G22 = K3, deci:

cG (z) = cG11(z)− 2 · cG12(z) + z(z − 1)(z − 2)︸︷︷︸cK3 (z)

Curs 13


Calculul polinomului cromatic prin reducereExemplu ilustrat (continuare)

cG (z) = cG11(z)− 2 · cG12(z) + z(z − 1)(z − 2)

G11:

a b

cd

eG12:

a b&c

de

Se observă că

cG11(z) = cT5(z)− cT4(z) = z(z − 1)4 − z(z − 1)3

cG12(z) = cT4(z)− cT3(z) = z(z − 1)3 − z(z − 12)

⇒ cG (z) =z(z − 1)4 − z(z − 1)3 − 2(z(z − 1)3 − z(z − 1)2)+ z(z − 1)(z − 2)= z5 − 7 z4 + 18 z3 − 20 z2 + 8 z

Curs 13


Calculul polinomului cromatic prin extindereExemplu ilustrat

G : cG (z) = cG1 (z) + cG2 (z), unde

a b

cd

e

G1 = G + (c, e) :

a b

cd

eG2 = G1/(c, e) :

a b

c&ed

cG2 (z) = z(z − 1)(z − 2)(z − 3) deoarece G2 ≡ K4, şi

cG1 (z) = cG11 (z) + cG12 (z) undeG11 :

a b

cd

eG12 :

a b&e

cd

cG11 (z) = cG111 (z) + cG112 (z)= cK5 (z) + cK4 (z) unde

G111 :

a b

cd

e

G111 ≡ K5

G112 :

b

a&cd

e

G112 ≡ K4

Curs 13


Calculul polinomului cromatic prin extindereExemplu ilustrat (continuare)

cG (z) = cG1 (z) + cG2 (z) = (cG11 (z) + cG12 (z)) + cK4 (z)

= cK5 (z) + cK4 (z) + cG12 (z) + cK4 (z)

unde G12 :

a b&e

cd

cG12 (z) = cG121 (z) + cG122 (z) = cK4 (z) + cK3 (z) unde

unde G121 :

a b&e

cd

G121 ≡ K4

unde G122 :

a&c b&e

d

G122 ≡ K3

⇒ cG (z) = cK5 (z) + 3cK4 (z) + cK3 (z) = z5 − 7 z4 + 18 z3 − 20 z2 + 8 z

Curs 13


Proprietăţi ale polinomului cromatic

Dacă G = (V ,E ) este un graf neorientat cu n noduri şi q muchiiatunci polinomul cromatic cG (z) satisface condiţiile următoare:

I Are gradul n.

I Coeficientul lui zn este 1.

I Coeficienţii săi au semne alternante.

I Termenul constant este 0.

I Coeficientul lui zn−1 este −q.

Exemplu

G :n = 5, q = 7

cG (z) = z5 − 7 z4 + 18 z3 − 20 z2 + 8 z

a b

cd

e

Curs 13


Rezultate remarcabileHărţi şi grafuri planare

Fiecare ţară a unei hărţi se reprezintă ca nod al unui graf

Două noduri se conectează dacă şi numai dacă ţărilerespective au o graniţă nebanală (mai mult decât un punct)

⇒ graf neorientat GH corespunzător unei hărţi H. De exemplu:

Curs 13


Rezultate remarcabileColorarea hărţii cu 4 culori

Observaţii:

1 Un graf G este planar dacă poate fi redesenat astfel ı̂ncâtmuchiile să nu i se intersecteze.

2 H este hartă dacă şi numai dacă GH este graf planar.

Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel ı̂ncât sănu existe ţări ı̂nvecinate colorate la fel.

1 Una dintre cele mai faimoase teoreme din Teoria GrafurilorDemonstraţie extrem de lungă şi complexăProblemă propusă in 1858, rezolvată de-abia ı̂n 1976 (Appel &Haken)Echivalentă cu faptul că graful planar GH este 4-colorabil.

2 Teorema este echivalentă cu afirmaţia:

χ(G ) ≤ 4 pentru orice graf planar G .

Curs 13


Rezultate remarcabileColorarea hărţii cu 4 culori

Observaţii:

1 Un graf G este planar dacă poate fi redesenat astfel ı̂ncâtmuchiile să nu i se intersecteze.

2 H este hartă dacă şi numai dacă GH este graf planar.

Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 4 culori, astfel ı̂ncât sănu existe ţări ı̂nvecinate colorate la fel.

1 Una dintre cele mai faimoase teoreme din Teoria GrafurilorDemonstraţie extrem de lungă şi complexăProblemă propusă in 1858, rezolvată de-abia ı̂n 1976 (Appel &Haken)Echivalentă cu faptul că graful planar GH este 4-colorabil.

2 Teorema este echivalentă cu afirmaţia:

χ(G ) ≤ 4 pentru orice graf planar G .Curs 13


Colorarea hărţii cu 5 culori

Ţările unei hărţi H pot fi colorate cu 5 culori, astfel ı̂ncât sănu existe ţări ı̂nvecinate colorate la fel. sau, echivalent:χ(G ) ≤ 5 pentru orice graf planar G .Demonstraţie: Inducţie după n = numărul de noduri din G .Teorema este evidentă pt. n ≤ 5, deci considerăm doar n ≥ 6.δ(G ) ≤ 5 datorită consecintȩi 4, deci G are un nod v cudeg(v) ≤ 5. Fie G ′ graful obţinut prin eliminarea lui v din G ⇒ G ′are n − 1 noduri, deci χ(G ′) ≤ 5 conform ipotezei inductive. Deciputem presupune că G ′ are o 5-colorare cu culorile 1,2,3,4,5.Cazul 1: deg(v) = d ≤ 4. Fie v1, . . . , vd vecinii lui v , cu culorilec1, . . . , cd .

v

v1

v2

vdc1

c2

cdpentru nodul v putem alege orice culoarec ∈ {1, 2, 3, 4, 5} − {c1, . . . , cd}⇒ G este 5-colorabil.

Curs 13


Colorarea hărţii cu 5 culoriContinuarea demonstraţiei

Cazul 2: deg(v) = 5, deci v are 5 vecini v1, v2, v3, v4, v5 pe care-ipresupunem coloraţi cu culorile c1, c2, c3, c4, c5.

1 Dacă {c1, c2, c3, c4, c5} 6= {1, 2, 3, 4, 5}, putem să-l colorămpe v cu orice culoare c ∈ {1, 2, 3, 4, 5} − {c1, c2, c3, c4, c5}⇒ G este 5-colorabil.

2 Dacă {c1, c2, c3, c4, c5} = {1, 2, 3, 4, 5}, putem presupune căc1 = 1, c2 = 2, c3, c4 = 4, c5 = 5.

v

v1v2

v3

v4 v5

1

2

3

4 5

Idee de bază: Vom rearanja culorile lui G ′ pentru a facedisponibilă o culoare pentru v .

Curs 13



v

v1v2

v3

v4 v5

1

2

3

4 5

Considerăm toate nodurile lui G ′ care sunt colorate cu 1 (roşu) şi 3 (verde).Cazul 2.1. G ′ nu are nici o cale de la v1 la v3 colorată doar cu 1 şi 3.Fie H subgraful lui G ′ care conţine toate căile ce pornesc din v1 şi sunt colorate doarcu 1 (roşu) şi 3 (verde).

v

..

. .

. ..

. ..

.

interschimbare

de culori ı̂n Hv

..

. .

. ..

. ..

.

V [v3] ∩ V (H) = ∅, adică nici v3 şi nici vecinii lui v3 nu sunt noduri din H.Putem interschimba culorile 1 şi 3 ı̂n H, iar apoi să atribuim culoarea 1 (roşu)lui v ⇒ G este 5-colorabil.

Curs 13



v

v1v2

v3

v4 v5

1

2

3

4 5


v

..

. .

. ..

. ..

.

interschimbare

de culori ı̂n Hv

..

. .

. ..

. ..

.

V [v3] ∩ V (H) = ∅, adică nici v3 şi nici vecinii lui v3 nu sunt noduri din H.

Putem interschimba culorile 1 şi 3 ı̂n H, iar apoi să atribuim culoarea 1 (roşu)lui v ⇒ G este 5-colorabil.

Curs 13



v

v1v2

v3

v4 v5

1

2

3

4 5


v

..

. .

. ..

. ..

.

interschimbare

de culori ı̂n Hv

..

. .

. ..

. ..

.


Curs 13



v

v1v2

v3

v4 v5

1

2

3

4 5


v

..

. .

. ..

. ..

.interschimbare

de culori ı̂n Hv

..

. .

. ..

. ..

.


Curs 13



v

v1v2

v3

v4 v5

12

3

4 5

Cazul 2.2. G ′ are o cale de la v1 la v3 colorată doar cu culorile 1 şi cu 3 ⇒ una dinurmătoarele situaţii are loc:

v

v2v3

v4 v5

v1

sauv

v2v3

v4 v5

v1

În ambele cazuri, nu poate exista o cale de la v2 la v4 colorată doar cu culorile 2 şi 4 ⇒cazul 2.1 este aplicabil pentru nodurile v2 şi v4 ⇒ G este 5-colorabil şi ı̂n cazul acesta.

Curs 13


Documents

Curs 13 - Grafuri euleriene si grafuri hamiltoniene. Colorarea …mircea.marin/lectures/TGC/L-13... · 2019. 1. 11. · Curs 13 Grafuri euleriene ˘si grafuri hamiltoniene. Colorarea