10. CALCULUL LA OBOSEALĂ

10.1 COMPORTAREA ŞI RUPEREA ELEMENTELOR DIN BETON ARMAT SUPUSE LA OBOSEALĂ

Fenomenul de oboseală este produs de încărcările mobile date de podurile rulante industriale, de convoaiele rutiere şi de cale ferată, sau de utilaje ori maşini cu amplasament fix. Comportarea elementelor din beton armat sub efectul acţiunilor variabile repetate, cu caracter dinamic, este condiţionată de evoluţia rezistenţei materialelor componente şi a legăturii dintre beton şi armătură. Ruperea se produce casant, la solicitări mai mici decât în cazul încărcărilor statice, ca urmare a fenomenului de oboseală, care cauzează o diminuare a rezistenţelor şi a aderenţei.

Rezistenţa la oboseală a armăturii, respectiv a betonului, se pot ilustra prin curba lui Wöhler (punctul 2.2.1, fig. 2.13b), construită iniţial pentru elementele din oţel.

Fig. 2.13 Ruperea betonului la oboseală

S-a constatat experimental că armătura oboseşte în betonul armat în aceeaşi măsură ca şi în cazul încercărilor efectuate pe bare izolate. Oţelul cu conţinut ridicat de carbon, barele cu profil periodic şi în special cele ecruisate au cele mai mari reduceri de rezistenţă la oboseală. Oţelul cu palier de curgere (OB37) se comportă cel mai bine la încărcări repetate, dar chiar şi în acest caz ruperea se produce casant. Oţelul de tip STNB nu se utilizează în cazul încărcărilor repetate.

Oboseala betonului, manifestată prin procesul de accelerare a microfisurării şi apoi a fisurării, conduce la scăderea rezistenţei betonului cât şi al modulului său de elasticitate. Acest aspect determină scăderea rigidităţii elementului şi creşterea deformaţiilor sale. Accentuarea numărului şi a deschiderii fisurilor, respectiv creşterea deformaţiilor, are loc mai ales în preajma ruperii elementelor supuse la oboseală.

Pentru armătură, creşterea deformaţiilor datorită oboselii înseamnă sporirea efortului unitar. Fenomenul de oboseală se manifestă deci printr-o oarecare redistribuire a eforturilor între beton şi armătură.

Aderenţa este influenţată de asemenea negativ de încărcările repetate dinamice. Oboseala betonului, prin degradarea structurii acestuia, poate conduce la scăderea efortului unitar de aderenţă şi la apariţia unor fisuri înclinate în zona armăturilor.

Comportarea elementelor din beton armat la oboseală este influenţată, pe lângă efortul unitar maxim, de

numărul n de cicluri repetate şi de coeficientul de asimetrie al ciclului, , unde min, max reprezintă

eforturile unitare minime, respectiv maxime, produse de acţiuni în beton şi în armături. În consecinţă, se disting: coeficientul de asimetrie pentru beton, b, respectiv pentru armătură, a.

Valoarea coeficientului de asimetrie [-1,1] caracterizează ciclurile de încărcare-descărcare prezentate schematic în figura 2.13a:

ciclu oscilant: 0 < < 1; ciclu pulsator: = 0;

ciclu alternant,nesimetric: -1 < < 0simetric: = -l

Acţiunile repetate produc în elementele structurale solicitări variabile în lungul lor, cuprinse între anumite valori maxime şi minime.

De exemplu, în cazul.unei grinzi continue, forţele mobile transmise de roţile unui convoi mobil produc momente încovoietoare cu înfăşurătoarea având alura din figura 10.1.

Se observă că în funcţie de raportul momentelor încovoietoare , în lungul grinzii se

întâlnesc mai multe tipuri de cicluri.Eforturile unitare min sunt produse de momentul încovoietor cel mai mic din secţiunea de verificare, iar

max de momentul încovoietor cel mai mare, în valoare absolută. De exemplu, pentru determinarea eforturilor

min se utilizează momentele , pozitive sau negative, conform zonelor haşurate ale diagramei de momente

din figura 10.1.

Fig. 10.1 Cicluri de solicitare la oboseală la o grindă continuă cu convoi mobil

Secţiunile de verificare în lungul grinzii, din punctul de vedere al oboselii, pot să coincidă cu cele în care se face în mod obişnuit verificarea la starea limită de rezistenţă (momente maxime în valoare absolută, în câmpuri şi pe reazeme), dar apar în plus secţiuni critice, în care solicitarea este mai defavorabilă, şi anume alternant-simetrică.

Ciclul alternant simetric este cel mai defavorabil din punctul de vedere al rezistenţei elementului din

beton armat, deoarece produce amplitudinea cea mai mare de solicitare; betonul fisurează

concomitent în fibrele opuse ale grinzii, iar în armături eforturile unitare variază între şi . În

consecinţă, rezistenţa la compresiune a betonului este minimă (pct. 10.2.1); de asemenea, pentru a = -1 se produce cea mai mare reducere a rezistenţei oţelului (anexa 9).

Ruperea elementelor din beton armat sub efectul acţiunilor repetate se produce casant, fie în urma oboselii betonului, fie a armăturii, prin:

- zdrobirea betonului comprimat, la elementele cu procente mari de armare, solicitate la încovoiere sau în cazul I de compresiune excentrică, la cele din betoane de clasă inferioară şi la elementele solicitate în cazul II de compresiune excentrică, indiferent de calitatea betonului şi de cantitatea de armătură;

- ruperea armăturii, la elementele cu procente mici sau mijlocii de armare, solicitate la încovoiere sau în cazul I de compresiune excentrică, la elementele întinse şi în cazul utilizării armăturilor cu rezistenţă scăzută la oboseală;

- distrugerea aderenţei dintre beton şi armătură, dacă nu se asigură prin proiectare şi execuţie alcătuirea corespunzătoare.

10.2 CALCULUL ELEMENTELOR DIN BETON ARMAT LA STAREA LIMITĂ DE OBOSEALĂ

Verificarea elementelor din beton armat la starea limită de oboseală se face în stadiul II, de exploatare (cu excepţia elementelor comprimate centric, funcţionând în stadiul I).

Ipotezele de calcul la starea limită de rezistenţă, enunţate la punctul 6.4, nu sunt valabile în cazul oboselii.

Explicaţia constă în faptul că acţiunile variabile care produc fenomenul de oboseală se întâlnesc cu o frecvenţă mare în timpul exploatării elementelor. Depăşirea valorii normate a acestor încărcări este puţin probabilă (vezi punct.5.4.4) şi nu poate produce fenomenul de oboseală. Sub efectul acestor încărcări, eforturile unitare în beton şi în armătură nu depăşesc limitele de comportare elastică.

Determinarea solicitărilor de exploatare ME, NE, QE se face sub efectul acţiunilor grupate corespunzător verificării la starea limită de oboseală, conform relaţiei (5.32) din tabelul 5.2, punctul 5.4.4:

În gruparea pentru starea limită de oboseală, acţiunile permanente, cvasipermanente şi variabilele care produc oboseala (Vob) se iau egale cu intensitatea lor normată, iar pentru alte variabile, care nu produc oboseală,

se consideră fracţiunea de lungă durată .

Dacă oboseala este produsă de acţiunea unor maşini şi utilaje cu amplasament fix, se lucrează cu încărcările de calcul, corespunzătoare verificării la starea limită de rezistenţă.

Eforturile unitare normale şi tangenţiale în stadiul II, produse de solicitările de exploatare, se determină acceptând comportarea elastică a betonului comprimat şi valabilitatea ipotezei secţiunilor plane, aşa cum s-a arătat în capitolul 4.2.

Verificarea elementelor din beton armat la starea limită de oboseală se face punând condiţiile de mai jos:

eforturile unitare normale în stadiul II de lucru, în beton şi în armătura longitudinală, să nu depăşească rezistenţele de calcul la oboseală, stabilite conform capitolului 5.4;

eforturile unitare principale de întindere să fie preluate de beton, în limita rezistenţei la întindere a acestuia şi de armăturile transversale, cu condiţia ca valoarea acestor eforturi să nu depăşească rezistenţa la oboseală a oţelului din care sunt confecţionate. Determinarea dimensiunilor secţiunii de beton, a ariilor de armătură şi dispunerea acestora, rezultă din calculul la starea limită de rezistenţă în secţiuni normale şi înclinate; verificarea la oboseală poate conduce la sporirea secţiunii de armătură şi la dispunerea acesteia astfel, încât să fie îndeplinite condiţiile enunţate mai sus.

10.2.1 Verificarea eforturilor unitare normale în beton şi în armăturile longitudinale

Condiţiile de verificare în secţiuni normale sunt exprimate de relaţiile (5.39) şi (5.40):

Eforturile unitare normale maxime în beton şi în armătură în stadiul II de lucru pentru secţiuni monosimetrice se determină cu relaţiile date la punctul 4.2.2.3.

Pentru grinzile încovoiate cu secţiunea monosimetrică dublu armată, de exemplu, sunt valabile relaţiile (4.9), (4.6) şi (4.7):

Rezistenţele de calcul la oboseală ale betonului şi ale armăturilor se determină cu relaţiile de la punctul 5.4.3 (5.16, 5.17, pentru beton şi 5.29, pentru armătură):

Determinarea coeficienţilor de asimetrie , în cazul ciclului oscilant, respectiv şi ,

în cazul ciclului alternant, se face conform relaţiilor (5.18), (5.30) şi figurii 10.2:- pentru beton:

- cazul I şi II de compresiune, ciclu oscilant sau pulsator;

- elemente încovoiate, ciclu oscilant sau pulsator;

- elemente solicitate la cicluri alternante;

- pentru armăturile longitudinale:

Fig. 10.2 Determinarea coeficienţilor de asimetrie a şi b

Se observă că pentru ciclul oscilant, valoarea coeficientului de asimetrie al eforturilor unitare în beton se

poate înlocui cu raportul dintre momentele încovoietoare şi din secţiunea de verificare. Din cauza

proporţionalităţii dintre eforturile unitare din armături cu cele din beton, se poate admite şi pentru coeficientul de asimetrie al armăturilor aceeaşi valoare ca pentru beton.

10.2.2 Verificarea armăturilor transversale

Eforturile unitare principale de întindere se calculează la nivelul axei neutre, unde eforturile

unitare tangenţiale au valoarea maxima 0 (cap.4.2). În cazul în care secţiunile au forma T, de exemplu, calculul se face şi la nivelul în care forma secţiunii se modifică.

Calculul eforturilor unitare principale de întindere se face cu relaţia (4.16):

în care z, braţul de pârghie al eforturilor interioare în stadiul II, se poate calcula în mod simplificat cu relaţia: z =

0,85h0 (în cazul secţiunilor dreptunghiulare şi T); este valoarea corectată a forţei tăietoare, dată de relaţia

(4.13).Nivelul de solicitare la eforturi principale de întindere (valoarea relativă a eforturilor 1) este dat de

raportul:

(10.1)

Dacă este îndeplinită condiţia:

(10.2)

se consideră că eforturile unitare principale de întindere pot fi preluate în întregime de beton; armătura transversală se dispune conform verificării la starea limită de rezistenţă.

Efortul unitar principal de compresiune nu trebuie să depăşească, sub efectul încărcărilor de

exploatare, valoarea:

Având în vedere că şi Rc = (10...20) Rt, relaţia de mai sus conduce la o formă convenţională de

verificare a secţiunii de beton, prin condiţia:

(10.3)

Eforturile principale de întindere se repartizează betonului şi armăturilor transversale, după cum

rezultă din figura 10.3 şi anume:

- în zona în care eforturile principale de întindere sunt preluate de beton;

- în zonele în care eforturile principale de întindere sunt preluate:

a) de beton şi de armăturile transversale (etrieri şi bare înclinate sau numai etrieri), în cazul

ciclurilor oscilante sau pulsatorii (0, respectiv partea preluată de beton este:

(10.4)

b) numai de către armăturile transversale, sub formă de etrieri şi, eventual, armături înclinate, în cazul ciclurilor alternante ( < 0, respectiv b = 0).

Diagrama se construieşte pe baza diagramei înfăşurătoare a forţelor tăietoare maxime

ordonatele, în cazul elementelor cu înălţimea constantă, având valorile :

Efortul unitar de întindere preluat de etrieri se determină pe baza relaţiei (4.18), cu Aae = neAe:

în care neAe reprezintă aria ramurilor verticale de etrieri din secţiunea respectivă, etrieri stabiliţi anterior conform calculului la starea limită de rezistenţă în secţiuni înclinate, iar b lăţimea grinzii sau a inimii, la nivelul la care s-a calculat 1.

Fig. 10.3 Preluarea eforturilor unitarea principale de întindere

Când efortul din etrieri, ae ajunge la valoarea rezistenţei la oboseală a oţelului din care sunt

confecţionaţi, , rezultă partea din diagrama care poate fi preluată de către etrieri:

(10.5)

având valoarea relativă:

(10.6)

Determinarea rezistenţei la oboseală a etrierilor se face pentru valoarea coeficientului de asimetrie

Dacă diagrama nu este acoperită în întregime de capacitatea betonului şi a etrierilor, este necesară

din calcul şi armătura înclinată; obişnuit se verifică armătura transversală sub forma barelor înclinate (în mod curent la 450), determinate din calculul la starea limită de rezistenţă în secţiuni înclinate.

Efortul unitar de întindere preluat de o armătură înclinată Aai este dat de relaţia (4.17):

(10.7)

în care este aria părţii din diagrama , preluată de armăturile înclinate (fig.10.3).

Considerând că efortul de întindere din armătura înclinată la 450 ia valoarea rezistenţei la oboseală a

armăturii înclinate , rezultă aria necesară totală a acestora, Aai:

(10.8)

unde determinarea rezistenţei la oboseală a armăturilor înclinate se face pentru coeficientul de asimetrie a = ae.Armăturile înclinate se repartizează în lungul grinzii astfel ca să fie solicitate în mod egal în raport cu

diagrama înfaşurătoare a valorilor maxime , (fig. 10.3), adică

În cazul în care variaţia forţei tăietoare este liniară, suprafaţa (Ai) din diagrama care revine

barelor înclinate poate fi de formă triunghiulară sau trapezoidală.

Pentru diagrama triunghiulară, se procedează după cum urmează:

se stabileşte numărul de secţiuni de ridicare şi barele înclinate corespunzătoare (obişnuit se verifică

Aai rezultate din calculul la starea limită de rezistenţă în secţiuni înclinate); conform figurii 10.4, diagrama

trebuie împărţită în trei părţi egale, considerând, de exemplu, că se ridică trei bare având acelaşi diametru, în trei secţiuni;

se descrie semicercul de diametru BC, se împarte segmentul BC în trei părţi egale, se ridică perpendiculare pe segment din punctele de diviziune până se intersectează semicercul; se rabat aceste intersecţii înapoi pe BC, obţinându-se punctele D şi E. Din punctele D şi E se coboară linii verticale până la latura AB, triunghiul ABC fiind astfel împărţit în trei părţi egale. Pentru a obţine poziţia barelor înclinate, se determină centrul de greutate al suprafeţelor obţinute, se duc verticale până la axa mediană a grinzii, barele înclinate trecând prin punctele de intersecţie obţinute.

Dacă barele ridicate au arii diferite, segmentul BC se împarte proporţional cu ariile din diferite secţiuni de ridicare.

Dacă din acest calcul rezultă alte poziţii ale barelor ridicate decât cele rezultate din verificarea la starea limită de rezistenţă, este necesar ca această verificare să fie refăcută.

Fig. 10.4 Repartiţia armăturilor înclinate

Aplicaţia numerică 10 Verificarea la starea limită de oboseală a elementelor încovoiate

Se cere verificarea grinzii de rulare din beton armat, prefabricată, simplu rezemată, cunoscând: b/h/hp/bp/h0= 300/750/130/550/690 mm (fig. Apl.10a); calitatea materialelor: beton Bc25, oţel PC52 şi OB37.

Solicitările de exploatare produse de încărcările normate, conform figurii Apl.10b:

Din calculul la starea limită de rezistenţă s-au determinat: armătura longitudinală, din oţel PC52: 622 armătura înclinată, la 50 mm de la faţa reazemelor: 222 etrierii dubli, din oţel OB37: 8/150 mm.Calculul în secţiuni normaleValoarea corectată a modulului de elasticitate se obţine cu relaţia (4.3):

în care:

(anexele 5 şi 7)

Coeficientul de echivalenţă este dat de relaţia:

Se calculează:- poziţia axei neutre, rezultând din condiţia (4.4b), particularizată pentru secţiunea T:

sbc - sa = 0

x = 236 mm.- momentul de inerţie al zonei comprimate de beton în raport cu axa neutră:

- momentul de inerţie al secţiunii ideale de beton în raport cu axa neutră, conform relaţiei (4.8), pentru

A'a = 0:

Fig. Apl.10

Se calculează eforturile unitare normale maxime în beton şi în armătură, cu relaţiile (4.9) şi (4.6):

Rezistenţele de calcul la oboseală ale materialelor se determină cu relaţiile (5.16, 5.17, 5.18) pentru beton şi (5.29, 5.30) pentru armătură, având în vedere punctul 10.2.1 şi figura 10.2b:

Deoarece armătura nu este sudată, din anexa 9 rezultă, prin interpolare:

Se verifică relaţiile (5.60) şi (5.61):

În armătură este depăşită rezistenţa la oboseală; se măreşte cantitatea de armătură longitudinală cu 122, deci Aa = 2661 mm2; refăcând calculele, se obţine:

x = 253mm; Ibc = 28,14108 mm4; Ibi = 96,7108 mm4

Rezultă că după sporirea armăturii longitudinale, în secţiunile normale ale grinzii nu apare fenomenul de oboseală.

Verificarea în secţiuni înclinatePoziţia în raport cu axa neutră a rezultantei Nb se determină cu relaţia:

unde y1 şi y2 reprezintă distanţele măsurate de la axa neutră până la punctele de aplicaţie ale rezultantelor eforturilor de compresiune din beton, Nb1 şi Nb2 (fig. Apl.10c):

Conform relaţiei (4.16), cu rezultă:

Se calculează valorile relative ale eforturilor unitare principale cu relaţia (10.1):

Deoarece rezultă că secţiunea de beton este corect alcătuită (condiţia 10.3) şi este

necesar calculul armăturilor transversale (condiţia 10.2).

Se construieşte diagrama , ţinând seama de condiţiile de la punctul 10.2.2 (fig.Apl.10d).

Rezistenţa la oboseală a oţelului etrierilor (OB37) se determină pe baza coeficientului de asimetrie

pentru etrieri:

Rezultă şi

Partea de eforturi unitare principale preluată de etrierii 8/150 mm, cu patru ramuri de forfecare, se determină conform relaţiei (10.6),:

Din diagrama din figura Apl.10d, se determină partea care trebuie preluată de armăturile înclinate, adică

aria , cu ordonata 1,18 - 0,3 - 0,705 = 0,175:

unde distanţa de 672 mm rezultă din asemănarea triunghiurilor ABC şi CDE (fig. Apl.10d). Rezistenţa la

oboseală a armăturilor înclinate se determină pentru coeficientul de asimetrie pentru care

.

Rezultă

Aria necesară de armătură înclinată se calculează cu relaţia (10.8):

Armătura necesară fiind mai mică decât cea înclinată în prima secţiune de la reazem, alcătuirea este corectă.

11. VERIFICAREA LA STAREA LIMITA DE FISURARE

Fisurarea elementelor din beton armat sub încărcările de exploatare este un fenomen inevitabil, fiind consecinţa incapacităţii betonului de a prelua eforturile unitare de întindere produse de solicitări ca: încovoierea, tăierea, torsiunea (fig.11.1a...d), forţele concentrate de compresiune (fig.11.1e), sau de eforturi unitare de aderenţă mari (fig.11.1f). De asemenea, o fisurare cu caracter întâmplător poate fi produsă de efectele contracţiei împiedecate a betonului, variaţiei de temperatură şi a tasărilor diferenţiate ale reazemelor, tasării plastice a betonului proaspăt (fig.11.1g), acţiunii îngheţului şi a dezgheţului repetat, unor nereguli în tehnologiile de execuţie (fig.11.1i, j). Rezultatele fenomenului de coroziune al armăturii pot de asemenea produce fisuri în masa betonului (fig.11.1h).

În funcţie de cauzele care produc fisuri, acestea pot fi: intrinseci, atunci când sunt generate în interiorul betonului (contracţia la uscare, variaţii de temperatură, tasarea betonului proaspăt, produşi de coroziune expansivi etc.) sau extrinseci, atunci când sunt produse de cauze externe (încărcări sau deformaţii impuse). Centralizarea cauzelor care produc fisuri sunt prezentate în tabelul 11.1.

Tabelul 11.1Cauzele care generează fisuri

Fisuri apărute înainte de întărirea betonului TipFenomene datorate comportării betonului proaspăt

Contracţia plastică Tasarea plastică (fig.11.1g)

Intr. Intr.

Fenomene datorate procesului de execuţie

Deplasarea susţinerilor (fig.11.1i) Deplasarea cofrajului (fig.11.1j)

Extr. Extr.

Îngheţ timpuriuFisuri apărute după întărirea betonuluiFenomene fizice Agregate contractile

Contracţia la uscare Microfisurare datorită uzurii

Intr. Intr. Extr.

Fenomene chimice Coroziunea armăturii (fig.11.1h) Reacţii alcali - agregate

Intr. Intr.

Efecte termice Îngheţ - dezgheţ repetat Variaţia termică a mediului Variaţia termică interioară

Extr. Extr. Intr.

Cauze structurale Acţiuni cu intensitate de proiectare (fig.11.1a.. .e) Suprasarcini accidentale Curgerea lentă

Extr. Extr. I&E

Fig. 11.1 Tipuri de fisuri

Raţiunile care fac necesar controlul fisurării elementelor şi structurilor din beton armat se referă la aspectul lor, etanşeitatea la apă şi gaze, protecţia împotriva coroziunii şi alte exigenţe funcţionale. Aceste exigenţe definesc limitele care pot fi acceptate pentru deschiderea fisurilor.

Normele actuale prevăd verificări prin calcul pentru controlul fisurării numai în cazul fisurilor produse de acţiunile exterioare. Această modalitate de abordare a controlului fisurării se bazează pe faptul că regulile de alcătuire constructivă şi tehnologiile de execuţie corespunzătoare permit evitarea dezvoltării deschiderii fisurilor peste limitele admise. În vederea evitării unor fisuri cu deschideri exagerate se impune respectarea condiţiilor de exploatare şi controlul periodic al stării de fisurare.

În procesul fisurării elementelor din beton armat sub efectul încărcărilor se disting trei etape: formarea fisurilor, etapă ce corespunde depăşirii limitei stadiului I; apariţia fisurilor, etapă în care ele devin vizibile; deschiderea fisurilor la anumite valori care depind de intensitatea acţiunilor şi care eventual pot afecta durabilitatea construcţiei. În cazul elementelor din beton armat, primele două etape se suprapun, adică la formarea lor fisurile devin vizibile, aşa încât se consideră ca distincte două stări limită:

apariţia fisurilor; deschiderea limită a fisurilor.

Calculul elementelor din beton armat la fisurare se face de regulă numai la starea limită de deschidere a fisurilor, deoarece, sub încărcările de exploatare, majoritatea structurilor din beton armat folosite în construcţii civile, industriale şi poduri lucrează în stadiul II fisurat. Calculul la apariţia fisurilor are un caracter convenţional, deoarece formarea şi apariţia fisurilor se poate produce chiar şi înainte de aplicarea sarcinilor exterioare ca urmare a contracţiei, variaţiilor de temperatură etc. Din motive de impermeabilitate, construcţiile hidrotehnice se verifică la starea limită de apariţie a fisurilor.

Starea de fisurare a unui element din beton armat este caracterizată prin mărimea deschiderii fisurilor şi distanţa dintre acestea. În condiţiile unei anumite stări de eforturi unitare într-un element, mărimea deschiderii fisurilor este funcţie de numărul de fisuri pe unitatea de lungime a elementului, deci funcţie de distanţa dintre fisuri.

La elementele din beton armat distanţa dintre fisuri şi implicit mărimea deschiderii acestora depinde de un număr de parametri ca: procentul de armare, diametrul şi natura suprafeţei armăturii, mărimea efortului unitar din armătură, modul de acţionare al sarcinii (static sau dinamic), distanţa dintre bare şi grosimea stratului de acoperire cu beton precum şi calitatea betonului.

Verificarea la starea limită de deschidere a fisurilor se face în stadiul II de exploatare, luând în considerare intensităţile de exploatare (intensităţi de calcul reduse) ale acţiunilor permanente, cvasipermanente şi variabile, în conformitate cu relaţia (5.33) din tabelul 5.2.

11.1 CALCULUL DISTANŢEI DINTRE FISURI

Deducerea distanţei dintre fisuri se face având la bază limita stadiului I, când solicitarea exterioară (forţa axială N în cazul elementului întins centric din figura 11.2a) este egală cu capacitatea portantă la fisurare Ncap f.

Solicitarea exterioară este preluată de beton Nbf = AbtRt şi de armătură Naf = Aa a.În secţiunea cea mai slabă se produce fisura F1. După apariţia fisurii F1, această secţiune trece în stadiul

II când Nb = 0 şi Na = Ncap f (fig. 11.2c). Din dreptul acestei secţiuni, betonul începe să se încarce, iar armătura să se descarce, la o anumită distanţă f ajungându-se ca Nb = Nbf = AbtRt, iar Na = Naf.

Această poziţie reprezintă locul probabil de apariţie a celei de a doua fisuri F2.

Fig. 11.2 Distanţa dintre fisuri la elemente întinse centric

Transmiterea efortului de la armătură la beton, între cele două fisuri, se face prin intermediul eforturilor unitare de aderenţă a (fig.11.2d), mărimea ce se transmite pe lungimea f fiind Nbf = AbtRt. Relaţia matematică ce exprimă această transmitere este:

în care u este perimetrul barelor.Din ecuaţia de mai sus, rezultă relaţia de calcul a distanţei dintre fisuri:

(11.1)

În cazul particular când toate barele au acelaşi diametru şi având în vedere că u = d şi Abt = 100 Aa/p = 100d2/4p , relaţia (11.1) devine:

(11.1a)

Studiile experimentale au dovedit că distanţa dintre fisuri depinde şi de alţi factori, cum ar fi: natura solicitării; proprietăţile de aderenţă ale armăturii; distanţa dintre bare; grosimea stratului de acoperire cu beton.

Influenţa naturii solicitării se introduce în calcule prin mărimea unui coeficient k1 în funcţie de următoarele situaţii:

axa neutră în secţiune - caz corespunzător încovoierii, cazului I de compresiune, respectiv întinderii excentrice cu excentricitate mare;

secţiune complet fisurată - caz corespunzător întinderii centrice sau excentrice cu excentricitate mică.Proprietăţile de aderenţă ale armăturii cu betonul, adică natura suprafeţei armăturii (netedă - OB37 sau

profilată - PC52 şi PC60), sunt reflectate prin coeficientul k2 = Rt/am. Introducând notaţia A = 25k1k2, relaţia (11.1a) devine:

(11.1b)

Pentru a prinde în calcul şi influenţa distanţei dintre bare şi de grosimea stratului de acoperire cu beton, STAS-ul 10109/0-90 prevede următoarea relaţie pentru calculul valorii medii a distanţei dintre fisuri:

(11.2)

unde:c este grosimea stratului de acoperire cu beton (mm);s - distanţa dintre axele armăturilor (mm), dar nu mai mult de 15d; în cazul elementelor întinse centric

sau excentric cu mică excentricitate (secţiune complet fisurată) se va avea în vedere şi figura 11.3;A - coeficient ce ţine cont de natura solicitării şi de proprietăţile de aderenţă ale armăturii, având valori

cuprinse în intervalul 6,5...20 (Anexa 20);d - diametrul armăturii (mm);pt = 100Aa/Abt - procentul de armare al armăturii longitudinale întinse;Abt - aria de înglobare a armăturilor, care se determină considerând pentru fiecare bară o suprafaţă de

înglobare de maximum 7,5d în fiecare sens; dacă barele sunt apropiate (distanţa interax 27,5d) nu se face o suprapunere a suprafeţelor individuale de înglobare (fig. 11.4); în cazul elementelor încovoiate, A bt nu va depăşi 1/2 din aria secţiunii de beton.

Fig. 11.3 Distanţa dintre armăturile elementelor întinse centric sau excentric cu mică

Fig. 11.4 Aria de înglobare a armăturilor

excentricitate

În relaţia (11.2), în cazul când barele de armătură sunt de diametre diferite, se înlocuieşte:

(113)

În elementele liniare din beton armat, prezenţa etrierilor influenţează în mod substanţial valoarea reală a distanţei dintre fisuri, deoarece reduc secţiunea transversală de beton. Dacă diferenţa dintre f şi distanţa dintre etrieri ae nu depăşeşte circa 50 mm, este rezonabil ca valoarea rezultată din relaţia (11.2) să fie rotunjită în plus sau minus, până la valoarea ae.

În cazul plăcilor de planşeu s-a constatat experimental că distanţa medie dintre fisuri este aproximativ egală cu grosimea plăcii, dacă distanţa dintre armături este aproximativ (15...20)d.

Dacă plăcile sunt armate cu plase sudate din STNB, distanţa medie dintre fisuri se apreciază ca fiind un multiplu al distanţei dintre barele transversale ale plasei:

(11.4)

unde:nt este un număr întreg, care se determină cu relaţiile:

pentru (11.4a)

pentru (11.4b)

hp - grosimea plăcii;lt, ll - distanţa dintre axele armăturilor transversale; respectiv longitudinaledt - diametrul armăturilor transversale.

11.2 CALCULUL DESCHIDERII FISURILOR NORMALE

După formarea fisurilor, datorită creşterii în continuare a încărcărilor până la treapta de exploatare, acestea se deschid până la valoarea medie f. Betonul întins dintre fisuri participă la preluarea eforturilor, de aceea deformaţiile specifice în armătură şi beton au o distribuţie neliniară între două fisuri consecutive.

În figura 11.5 se consideră un element întins centric, respectiv unul încovoiat cu fisurile F 1 şi F2 la distanţa f. Valoarea maximă a deformaţiei specifice de întindere în beton este tu şi apare la jumătatea distanţei dintre fisuri (fig.11.5c), în timp ce alungirea maximă a armăturii este a şi apare în dreptul fisurii (fig.11.5d). Deformaţiile specifice variabile pot fi înlocuite cu deformaţiile specifice medii tm şi am (fig. 11.5 c,d).

Pe baza figurii 11.5 se poate scrie că, pe distanţa f dintre fisuri, alungirea armăturii este egală cu deschiderea fisurii plus alungirea betonului întins:

(11.5)rezultând:

(11.5a)

Având în vedere că, în stadiul II, a 0,75... 1,25 0/00 şi tu = 0,1...0,15 0/00 rezultă că termenul tm se poate neglija faţă de unitate şi faţă de am. În aceste condiţii, relaţia (11.5a) devine:

(11.5b)Pentru a ţine cont de conlucrarea betonului întins dintre fisuri cu armătura, se defineşte indicele de

conlucrare a betonului cu armătura longitudinală Deoarece a =a/Ea , relaţia (11.5b) pentru

calculul valorii medii a deschiderii fisurii devine:

(11.6)

În cazul elementelor supuse la încărcări repetate importante (grinzile de rulare, pereţii celulelor de silozuri etc), valorile f determinate cu relaţia (11.6) se majorează cu 50%.

Determinarea coeficientului se face admiţând că fiind deformaţia specifică a

armăturii la mijlocul distanţei dintre fisuri. Expresia lui devine:

(11.7)

Scăderea efortului unitar de la valoarea a, în dreptul fisurii, la valoarea la mijlocul distanţei

dintre fisuri, se produce datorită creşterii efortului unitar în beton până la valoarea R t căreia îi corespunde deformaţia specifică tu; are loc un transfer de efort, de la armătură la beton, prin intermediul aderenţei.

Efortul ce se transmite prin aderenţă, de la armătură la beton, pe distanţa f/2 este:

şi el produce variaţia a a efortului unitar în armătură:

Fig.11.5. Modelul de calcul pentru deschiderea fisurilor

Având în vedere că din relaţia (11.1) efortul unitar la mijlocul distanţei dintre fisuri

este:

Relaţia (11.7) devine:

(11.7a)

Ţinând seama de relaţia (11.7a) şi luând în considerare efectul încărcărilor de lungă durată sau repetate, STAS 10107/0-90 prevede următoarea expresie pentru indicele de conlucrare a betonului cu armătura întinsă:

(11.8)

unde: este raportul dintre solicitarea produsă de fracţiunea de lungă durată a încărcării totale de exploatare şi

solicitarea totală de exploatare; = 0,5 pentru armăturile din oţel PC şi 0,3 pentru armăturile din oţel OB37;a - efortul unitar în secţiunea fisurată în stadiul II de exploatare (conform pct.4.2.2.3); în situaţii

curente se poate lua aproximativ:

(11.9)

Aa nec - aria secţiunii de armătură necesară din calculul la starea limită de rezistenţă;Aa ef - aria secţiunii de armătură prevăzută efectiv.Din figura 11.5f se constată că efortul ce se poate transmite între beton şi armătură, prin fenomenul de

aderenţă, nu poate depăşi valoarea Aaa, motiv pentru care raportul are cel mult valoarea 1,0, iar

indicele de conlucrare nu poate fi mai mic decât În relaţia (11.8) s-a introdus rezistenţa caracteristică la întindere a betonului R tk, deoarece se analizează

o porţiune de o anumită lungime la starea limită de exploatare, când încărcările sunt mai mici decât la starea limită de rezistenţă. De aceea, din punct de vedere probabilistic, rezistenţa la întindere a betonului este mai apropiată de valoarea caracteristică decât de cea de calcul.

Pentru cazurile uzuale se admite ca pentru indicele de conlucrare să se utilizeze valorile aproximative ce se obţin din anexa 21.

Pentru plăci armate cu plase sudate din STNB se ia = 0,8 dacă nt 2 şi 0,5, respectiv = 1 în celelalte cazuri.

Pentru elementele solicitate la oboseală = 1, ceea ce înseamnă că se acceptă ipoteza distrugerii aderenţei, rezultând deshideri mai mari ale fisurilor.

Modelul de calcul adoptat pentru obţinerea relaţiei (11.6) este bazat pe ipoteza unei distribuţii uniforme a fisurilor, la distanţe relativ reduse (f = 15...25; 30 cm), ceea ce este valabil în cazul elementelor cu procente de armare obişnuite.

Pentru elementele cu procente mici de armare (sub 0,3% la elementele solicitate la încovoiere, respectiv sub 0,4% la cele solicitate la întindere) fisurarea are un caracter nesistematic. încercările experimentale au arătat că în aceste cazuri este posibil să apară una sau numai câteva fisuri, cu poziţii întâmplătoare şi cu deschideri mult mai mari decât valorile obţinute cu relaţia (11.6).

Pentru deducerea relaţiei de calcul se porneşte de la premiza că armătura trebuie să fie ancorată în stânga şi dreapta fisurii cu lungimea de ancoraj la. Pe lungimea 2la efortul unitar a are distribuţia reală din figura 11.6b, ancorarea armăturii în beton făcându-se în conformitate cu diagrama din figura 11.6c.

Fig. 11.6 Modelul de calcul pentru fisurile nesistematice

Deformaţia specifică medie a armăturii, în condiţiile elementelor de mai sus, este:

, respectiv

rezultând:

(11.10)

Forţa de întindere din armătură Aaa se transmite la beton prin fenomenul de aderenţă, în conformitate cu relaţia:

de unde rezultă lungimea de ancorare:

(11.11)

Înlocuind (11.11) în relaţia (11.10), rezultă relaţia pentru calcul deschiderii fisurii elementelor cu procente mici de armare:

(11.12)

în care valoarea medie a efortul unitar de aderenţă se ia după cum urmează: am = 2,4Rt pentru bare cu profil periodic; 1,5Rt pentru bare netede; Rt pentru bare netede, în pereţii executaţi în cofraje glisante ai rezervoarelor şi silozurilor.

Relaţia (11.12) nu se foloseşte în cazul armării cu plase sudate STNB, deoarece în acest caz ancorarea armăturii nu se face prin aderenţă, ci datorită armăturii transversale.

11.3 CALCULUL DESCHIDERII FISURILOR ÎNCLINATE

Verificarea deschiderii fisurilor înclinate este o prevedere relativ recentă în cadrul normelor de calcul a elementelor din beton armat şi este consecinţa faptului că modelele de calcul adoptate în prezent pentru verificarea la starea limită de rezistenţă la tăiere sunt mai apropiate de comportarea reală. În aceste condiţii este posibil ca armarea transversală rezultată din calculul la starea limită de rezistenţă să nu mai satisfacă, în mod implicit, condiţiile necesare stării limită de fisurare.

Deschiderea medie a fisurilor înclinate se calculează cu relaţia :

(11.13)

unde:f este distanţa medie dintre fisuri determinată cu relaţia (11.2); se acceptă aceeaşi distanţă între fisurile

înclinate ca şi între fisurilor normale, considerându-se că fisurile înclinate sunt produse de acţiunea momentului încovoietor şi apoi „înclinate” („rotite”) de acţiunea forţei tăietoare.

i - indicele de conlucrare al betonului întins cu armătura transversală, care se ia după cum urmează: 0,8(1+0,2) pentru etrieri din OB37; 0,7(1+0,3) pentru etrieri din PC52 sau PC60; 0,9(1+0,1) pentru barele transversale din STNB ale carcaselor sudate;

at - efortul unitar mediu în armăturile transversale intersectate de fisura înclinată; eforturile unitare în armăturile transversale (barele înclinate şi etrierii) se determină în stadiul II de exploatare cu relaţiile (4.17), respectiv (4.18); se admite să se ia în considerare o valoare medie pentru toate armăturile intersectate de fisura înclinată, egală cu valoarea at 0,9Rat = 0,9matRa.

11.4 CONTROLUL FISURĂRII ELEMENTELOR DIN BETON ARMAT

Verificarea la starea limită de fisurare se face punând condiţia ca sub acţiunea încărcărilor de exploatare, în gruparea fundamentală, deschiderile medii ale fisurilor normale şi înclinate faţă de axa elementului să nu depăşească valorile limită de mai jos:

pentru elemente supuse presiunii unui lichid sau a unui material necoeziv, la care sepun condiţii de etanşeitate:

f adm = 0,1 mm, în cazul elementelor întinse centric sau excentric cu mică excentricitate (de exemplu: verificarea în secţiunile verticale prin pereţii rezervoarelor cilindrice pentru depozitarea apei; aceste secţiuni sunt supuse numai unei forţe axiale de întindere n - fig. 11.7a); f adm = 0,2 mm, în restul cazurilor (de exemplu: verificarea în secţiunile orizontale prin pereţii rezervoarelor cilindrice pentru depozitarea apei; aceste secţiuni sunt supuse la acţiunea unei forţe axiale de compresiune nx şi a unui moment încovoietor mx - fig. 11.7b);

a) secţiune complet fisurată b) secţiune cu zonă comprimată

Fig. 11.7 Condiţii de verificare a deschiderii fisurilor la pereţii rezervoarelorcilindrice din beton armat

pentru alte elemente: f adm = 0,1 mm, dacă sunt supuse unui mediu agresiv; f adm = 0,2 mm dacă sunt expuse direct (neprotejate) acţiunii intemperiilor; f adm = 0,3 mm, în restul cazurilor.

11.4.1 Controlul fisurării prin calcul

Condiţia de verificare sub efectul încărcărilor de exploatare este dată de relaţia (5.64). În cazul fisurilor normale, starea limită de fisurare este satisfăcută atunci când:

(11.14)

unde f este deschiderea medie a fisurilor determinată cu relaţia (11.6); în cazul elementelor cu procente de armare mici (sub 0,3% în cazul încovoierii, respectiv sub 0,4% în cazul întinderii) se ia în considerare cea mai mare valoare dintre cele calculate cu relaţiile (11.6) şi (11.12).

În cazul fisurilor înclinate, starea limită de fisurare este satisfăcută atunci când:

(11.15)

în care fi este deschiderea medie a fisurilor înclinate determinată cu relaţia (11.13).

11.4.2 Controlul simplificat al fisurării

Conform experienţei acumulate, în cazul elementelor curente, la care dimensionarea (calculul şi alcătuirea) la starea limită de rezistenţă este corect efectuată, verificarea deschiderii fisurilor este întotdeauna satisfăcută. Având în vedere această constatare, desprinsă din practica curentă, STAS 10107/0-90 acceptă să nu se efectueze calculul de verificare a deschiderii fisurilor dacă sunt îndeplinite anumite condiţii.

Nu este necesară verificarea deschiderii fisurilor normale, pentru elementele realizate cu OB37, PC52 şi PC60, dacă este satisfăcută condiţia:

(11.16)

în care valorile minime ale raportului pt/d sunt date în anexa 22 în funcţie de tipul armăturii, natura solicitării şi f adm.

Relaţia (11.14) pusă sub forma:

permite determinarea valorilor minime ale raportului pt/d.Valorile (pt/d)min din anexa 22 au fost calculate având în vedere mărimi acoperitoare uzuale pentru

parametrii ce intervin în relaţia de mai sus.Pentru plăcile armate cu plase sudate din STNB, la care f adm = 0,3 mm, nu este necesară verificarea

prin calcul a deschiderii fisurilor normale dacă sunt satisfăcute condiţiile din anexa 23.În cazul fisurilor înclinate nu este necesară verificarea prin calcul a stării limită de fisurare atunci când

f adm = 0,3 mm sau când f adm = 0,2 mm şi

Aplicaţia numerică 11.1 Verificarea deschiderii fisurilor pentru un element întins centric Se cere verificarea la starea limită de deschidere a fisurilor a unui tirant expus direct intemperiilor

mediului (f adm = 0,2mm), pentru care caracteristicile secţiunii sunt prezentate în figura Apl.11.1a. Efortul axial

de întindere este caracterizat de valorile NE = 600 kN, respectiv Calitatea materialelor folosite:

Bc20 (Rtk = 1,43 N/mm2) şi PC 60 (Ra = 350 N/mm2; Ea = 210000 N/mm2).

Fig. Apl.11.1Din tabelul 13.3 se obţine grosimea stratului de acoperire cu beton c = 30 mm.Distanţa de la centrul de greutate al armăturii până la marginea secţiunii de beton este: a = c + d/2 = 30

+ 22/2 = 41 mm.Aria de înglobare Abt poate fi obţinută având în vedere prevederilor din figura 11.4, prevederi care

necesită cunoaşterea valorii 7,5d = 7,522 = 165 mm. Deoarece 7,5d = 165 mm > s1/2 = 79,5 mm, respectiv 7,5d = 165 mm > s2/2 = 59 mm rezultă că ariile individuale s-ar suprapune pe ambele direcţii ale secţiunii. Având în vedere acest lucru rezultă că, pentru acest caz, Abt = bh = 200400 = 80000 mm2. În figura Apl.11.1 s-au delimitat ariile de înglobare individuale, determinate de jumătatea distanţei dintre armături.

Controlul simplificat al fisurării pt/d = 2,85/22 = 0,130

Având în vedere tipul de oţel folosit - PC60, deschiderea admisă a fisurilor - f adm=0,2 mm şi tipul de solicitare al elementului - întindere centrică, din anexa 22 rezultă (p t/d)min = 0,208. Deoarece pt/d = 0,130 < (pt/d)min = 0,208, rezultă că este necesar un calcul detaliat.

Controlul fisurării prin calcul

Efortul unitar în armătură în cazul întinderii centrice este:

Calculul distanţei dintre fisuri necesită stabilirea distanţei dintre armături, pentru evaluarea căreia se are în vedere prevederea din figura 11.3:

s = max (s1, s2) = max (159, 118) = 159 mmÎn funcţie de tipul armăturii şi natura solicitării, din anexa 20 rezultă coeficientul A = 10.

- conf.rel.(11.2)

Deschiderea fisurilorIndicele de conlucrare se determină din anexa 21. În funcţie de tipul armăturii -PC60, coeficientul =

0,7 şi procentul de armare pt = 2,83%, rezultă = 1,0. Conform relaţiei (11.6), se calculează deschiderea medie a fisurilor:

Deoarece starea limită de fisurare nu este satisfăcută, sunt posibile două variante. Varianta 1 - modificarea diametrului armăturilorSe modifică armarea iniţială prin reducerea diametrelor barelor:

418 + 420 (10,16 + 12,56 = 22,72 cm2) 622 (22,80 cm2).Noua dispunere a armăturii este prezentată în figura Apl.11.1b, pentru care rezultă

s1 = 159 mm, s2 = 118/2 = 59 mm, respectiv s = max (s1, s2) = max (159, 59) = 159 mm.

Deoarece, în acest caz, aria totală de armătură rămâne practic neschimbată, efortul unitar în armătură nu trebuie recalculat.

Pentru că barele au diametre diferite se apelează la relaţia (11.3):

- conform relaţiei (11.2)

Se menţine aceeaşi valoare pentru indicele de conlucrare = 1,0, iar din relaţia (11.6) se calculează:

Varianta 2 - calcul detaliat al indicelui de conlucrare Pentru varianta iniţială de armare, se efectuează un calcul detaliat al indicelui de conlucrare cu relaţia

(11.8).

Pentru armăturile din oţeluri PC, coeficientul = 0,5.

Deoarece , valoarea lui este corectă.

Conform calculelor anterioare f = 169 mm.Din relaţia (11.8) rezultă deschiderea medie a fisurilor:

Deoarece, în ambele variante de calcul, procentul de armare (2,83%) este mai mare decât 0,3% nu este necesar calculul deschiderii fisurii şi cu relaţia (11.12).

Starea limită de fisurare este satisfăcută deoarece, în ambele variante tratate anterior:

Aplicaţia numerică 11.2 Verificarea deschiderii fisurilor pentru un element încovoiatSe cere verificarea la starea limită de deschidere a fisurilor a unei grinzi aflată în condiţii normale de

exploatare (f adm = 0,3 mm), pentru care caracteristicile secţiunii sunt prezentate în figura Apl.11.2.1. Efortul de

încovoiere este caracterizat de valorile ME = 145 kNm, respectiv Calitatea materialelor

folosite: Bc30 (Rtk = 1,86 N/mm2; Eb = 32500 N/mm2; şi PC 52 (Ra= 300 N/mm2; Ea = 210000

N/mm2).Grosimea stratului de acoperire cu beton rezultă din tabelul 13.3: c = (ab =) 25 mm. Aria de înglobare se obţine pe baza prevederilor figurii 11.4 şi a valorii 7,5d, care pentru 20 înseamnă

150mm, respectiv 165 mm pentru 22.Deoarece s/2 < 7,5d, ariile de înglobare individuale se pot extinde pe orizontală numai până la mijlocul

distanţei dintre bare (fig. Apl.11.2.2). Pe verticală extinderea se poate face cu 7,5d.

Fig. Apl. 11.2.1 Secţiunea transversală Fig. Apl. 11.2.2 Aria de înglobare

Ariile de înglobare individuale ale armăturilor sunt: pentru armăturile din colţuri (36 + 59,3/2)(36 + 7,522)=65,65 201=13196 mm2

pentru armăturile intermediare (59,3/2 + 59,4/2)(36 + 7,520)=59,35186=11039 mm2

Suma acestor arii individuale este:2(13196 + 11039) = 48470 mm2 < 250550/2 = 68750 mm2, deci Abt = 48470 mm2

Controlul simplificat al fisurăriiVerificarea condiţiei pt/d (pt/d)min nu poate fi făcută în mod direct deoarece barele au diametre diferite.

De aceea, în baza relaţiei (11.3), raportul pt/d se calculează în mod indirect după cum urmează:

Având în vedere tipul de oţel folosit - PC52, deschiderea admisă a fisurilor - f adm =0,3 mm şi tipul de solicitare al elementului - încovoiere, din anexa 22 rezultă (p t/d)min = 0,043. Se constată că pt/d = 0,136 > (pt/d)min = 0,043, ceea ce înseamnă că nu este necesară verificarea prin calcul la starea limită de fisurare, totuşi aceasta se face în mod exemplificativ.

Controlul fisurării prin calcul

Calculul efortului unitar în armătură - conform punctului 4.2.2.3

Poziţia axei neutre rezultă din relaţia (4.10), având în vedere că :

0,5bx2 - neAa(h0 - x) = 0,5250 x 2 -15,861388(514 - x) = 0Din rezolvarea ecuaţiei de mai sus rezultă x = 225 mm Momentul de inerţie al secţiunii omogene este:

Distanţa dintre fisuri - conform relaţiei (11.2), modificată cu relaţia (11.3)În funcţie de tipul armăturii şi natura solicitării, din anexa 20 se obţine A = 6,5.

Deschiderea fisurilor - conform relaţiei (11.8)Pentru armăturile din oţeluri PC, coeficientul = 0,5.

Deoarece , valoarea lui este corectă.

Deoarece p = 100Aa/bh0 = 1001388/250514 = 1,08% > 0,3 % nu este necesar calculul deschiderii fisurii şi cu relaţia (11.12).

Starea limită de fisurare este satisfăcută deoarece f = 0,113 mm < f adm = 0,30 mm.

Aplicaţia numerică 11.3 Verificarea deschiderii fisurilor pentru o placă încovoiatăSe cere verificarea la starea limită de deschidere a fisurilor pentru o placă aflată în condiţii normale de

exploatare (f adm = 0,3 mm), de grosime hp = 80 mm şi pentru care există două variante de armare (fig.

Apl.11.3). Calitatea materialelor: Bc20 (Rtk= 1,43 N/mm2; Eb = 27000 N/mm2; ; PC52 (Ra = 300 N/mm2;

Ea = 210000 N/mm2); STNB (Ra = 370 N/mm2; Ea = 200000 N/mm2). Raportul este egal cu 0,7.

Varianta 1 - PC52 Varianta 2 - STNB plasă 123 GR 159

Fig. Apl.11.3

Conform tabelului 13.3, grosimea stratul de acoperire cu beton c = 10 mm.Varianta 1 de armareAria de înglobare se obţine pe baza prevederilor figurii 11.4 şi a valorii 7,5d, care pentru 6 înseamnă

45 mm, respectiv 60 mm pentru 8. Deoarece s/2 = 82,5 mm>7,5d, ariile de înglobare individuale nu sunt în contact unele cu altele. Pe verticală extinderea se face cu 1,5d. În aceste condiţii dimensiunile ariei individuale se calculează cu relaţia:

(pe orizontală) (pe verticală) = (27,5d) (c + d/2 + 7,5d)Ariile de înglobare individuale ale armăturilor sunt:

pentru bara 6: 90(10 + 6/2 + 7,56) = 5220 mm2

pentru bara 8: 120(10 + 8/2 + 7,58) = 8880 mm2

Suma acestor arii individuale, pentru o lăţime de 1 metru (3,036 şi 3,038), este: 3,035220 + 3,038880 = 42723 mm2 > bh/2 = 100080/2 = 40000 mm2,

deci Abt = 40000 mm2

Controlul simplificat al fisurăriiVerificarea condiţiei pt/d > (pt/d)min nu poate fi făcută în mod direct deoarece barele au diametre diferite.

De aceea, în baza relaţiei (11.3), raportul pt/d se calculează în mod indirect după cum urmează:

Având în vedere tipul de oţel folosit - PC52, deschiderea admisă a fisurilor - f min = 0,3 mm şi tipul de solicitare al elementului - încovoiere, din anexa 22 rezultă (p t/d)min = 0,043. Se constată pt/d = 0,083 (pt/d)min = 0,043, ceea ce înseamnă că nu este necesară verificarea prin calcul la starea limită de fisurare, care, totuşi, se face în mod explicativ.

Controlul fisurării prin calculEfortul unitar în armăturăÎn cazul plăcilor, pentru calculul efortului unitar în armătură rezultatul oferit de relaţia (11.9) prezintă

suficientă exactitate:

Distanţa dintre fisuri - conform relaţiei (11.2), corectată cu relaţia (11.3)În funcţie de tipul armăturii şi natura solicitării, din anexa 20 se obţine A = 6,5.

Deschiderea fisurilor - conform relaţiei (11.8)Indicele de conlucrare al armăturii cu betonul întins dintre fisuri se determină în mod simplificat din

anexa 21. În funcţie de calitatea armăturii - PC52, > 0,7 şi pt = 100Aa/Abt = 100238/40000 = 0,595% rezultă = 0,88.

Deoarece p = 100Aa/bh0 = 100238/100066,5 = 0,358% > 0,3% nu este necesar calculul deschiderii fisurii şi cu relaţia (11.12).

Starea limită de fisurare este satisfăcută deoarece f = 0,118 mm < f adm = 0,30 mm.

Varianta 2 de armareControlul simplificat al fisurăriiPlasa sudată 123GR159 este caracterizată prin distanţa între axele armăturilor longitudinale l l = 100

mm, diametrul armăturilor longitudinale dl = 4,5 mm < 7,1 mm, distanţa între axele armăturilor transversale l t = 200 mm şi diametrul armăturilor transversale dt = 4 mm > 3,5 mm. Având în vedere cele de mai sus, condiţia de limitare a fisurilor la valoarea f adm = 0,3 mm şi grosimea plăcii hp = 80 mm < 100 mm, din anexa 23 rezultă că nu este necesar un control al fisurării prin calcul. În mod exemplificativ se face şi verificarea prin calcul a stării limită de fisurare.

Controlul fisurării prin calculEfortul unitar în armătură - conform relaţiei (11.9)

Distanţa dintre fisuri - conform relaţiei (11.4)Deoarece ll = 100 mm < 30dt = 304 = 120 mm se calculează raportul:

Numărul întreg care satisface relaţia (11.4a) este nt = 1, deci:

Deschiderea fisurilor - conform relaţiei (11.8)Deoarece dubla condiţie nt 2 şi 0,5 nu este respectată, rezultă = 1.

Starea limită de fisurare este satisfăcută deoarece f = 0,272 mm < f adm = 0,30 mm.

12. CALCULUL ELEMENTELOR DE BETON ARMAT LA STAREA LIMITĂ DE DEFORMAŢII

Calculul la starea limită de deformaţii constă în verificarea, sub încărcările de exploatare, a valorii săgeţii f < fadm sau a unei părţi a acesteia f fadm , astfel ca să nu depăşească valorile admise în raport cu destinaţia elementelor, conform condiţiilor din tabelul 12.1.

Tabelul 12.1Condiţiile de verificare la starea limită de deformaţii

Tipul de element Relaţia de verificare Denumirea elementelor structurale Limite admise1

Elemente componente ale

planşeelor

Planşee care susţin sau sunt ataşate unor elemente nestructurale care pot fi deteriorate de deformaţiile mari ale planşeelor

Planşee care nu susţin sau nu sunt ataşate unor elemente nestructurale care pot fi deteriorate de deformaţiile mari ale planşeelor

Planşeele sălilor de spectacole, inclusiv cele ale balcoanelor acestora; gradenele tribunelor

Grinzi de rularePoduri rulante manuale

Poduri rulante electrice

Notă: Încărcările permanente se iau în considerare cu intensităţi normate, iar cele variabile cu intensităţile normate afectate cu coeficientul nd.

Semnificaţia termenilor din tabelul 12.12 este următoarea:

este săgeata de lungă durată din încărcarea totală de exploatare (cu luarea în considerare a

deformaţiilor în timp);

săgeata de scurtă durată din încărcarea de exploatare care acţionează înainte de executarea

elementelor nestructurale (fără luarea în considerare a deformaţiilor în timp);

săgeata de scurtă durată din încărcarea totală de exploatare (fără luarea în considerare a

deformaţiilor în timp);

săgeata de scurtă durată (fără luarea în considerare a deformaţiilor în timp) din

încărcarea utilă produsă de aglomeraţie de oameni;

- săgeata totală din încărcările considerate în calculul la oboseală;

qE - încărcarea totală de exploatare;

- fracţiune a încărcării totale de exploatare qE care se aplică înainte de executarea elementelor

nestructurale;q0 - încărcările considerate în calculul la oboseală.

12.1 MODULII DE RIGIDITATE

Mărimea săgeţilor fiind dependentă de modulii de rigiditate ai elementelor de beton armat, se impune determinarea acestor rigidităţi, corespunzător comportării reale, în stadiul de exploatare.

Se defineşte ca modul de rigiditate, produsul dintre modulul de deformaţie, corespunzător materialului din care este alcătuit elementul, şi caracteristica geometrică a secţiunii.

1 Prin prescripţii speciale, bine justificate, se pot admite şi alte valori maxime ale săgeţilor, precum şi limitări de săgeţi pentru alte tipuri de elemente, necuprinse în tabelul 12.1.

În cazul general al elementelor solicitate la încovoiere cu forţă axială, modulul de rigiditate se determină pornind de la legea de variaţie a curburii elementului:

(12.1)

de unde rezultă:

(12.2)

în care = 1/ este curbura fibrei medii deformate (rotirea specifică), ME fiind momentul încovoietor din încărcările de exploatare.

Pe baza deformatei fibrei medii, se poate scrie (fig. 12.1):

(12.3)

Având în vedere că , relaţia (12.3) se scrie sub forma:

(12.4)

Înlocuind curbura medie dată de relaţia (12.4), în relaţia (12.2), se obţine următoarea expresie de calcul a modulului de rigiditate:

(12.5)

în care înălţimea zonei comprimate x, modulul de deformaţie al betonului şi efortul unitar de compresiune în

beton se determină, în stadiul II de serviciu, conform punctului 4.2.2.3.

În cazul elementelor din beton armat solicitate la încovoiere, STAS 10107/0-90 permite utilizarea relaţiei:

(12.6)

în care Ibi este momentul de inerţie al secţiunii ideale de beton, calculat cu relaţia (4.8).

Fig.12.1 Deformare din încovoiere

În cazul elementelor solicitate preponderent la compresiune, în calculul deformaţiilor axiale modulul de rigiditate axial EA are valoarea:

(12.6)

În cazul elementelor solicitate preponderent la întindere, modulul de rigiditate axial EA are valoarea:

(12.7)

în care indicele de conlucrare cu armătura longitudinală se determină cu relaţia (11.8) sau cu ajutorul anexei 22.

12.2 CALCULUL SĂGEŢILOR ELEMENTELOR ÎNCOVOIATE

Se admite ca săgeţile să fie determinate după regulile structurilor omogene, elastice, introducând pentru modulul de rigiditate EI valorile calculate la punctul 13.1.

În cazul grinzilor static determinate, săgeata maximă se determină cu relaţia:

(12.8)

unde S este un coeficient ce depinde de tipul încărcării şi modul de rezemare (fig. 12.2).Pentru grinzile continue, determinarea săgeţilor produse de un sistem de sarcini, în cazul problemei

plane, se poate face operativ cu metoda Maxwel-Mohr (fig. 12.3). Astfel, pentru determinarea săgeţii între două reazeme consecutive, într-un punct i, se utilizează diagrama reală de momente dintre cele două reazeme şi diagrama de momente virtuală, rezultată din acţiunea sarcinii unitare în punctul i, pe structura static determinată.

Pentru fiecare porţiune de moment încovoietor de acelaşi semn, valoarea modulului de rigiditate se consideră constantă şi egală cu valoarea modulului de rigiditate minim, care corespunde secţiunii cu cel mai mare moment încovoietor. În cazurile în care valorile EI calculate pentru zonele de moment pozitiv şi negativ nu diferă între ele cu mai mult de 50%, se admite să se considere pentru EI o valoare unică, egală cu semisuma valorilor respective.

Fig.12.2 Valorile coeficientului S

Pentru sistemele de bare drepte cu solicitarea dominantă de încovoiere, dacă l > 8h, se poate neglija influenţa forţelor tăietoare şi axiale; săgeata se poate determina în acest caz cu relaţia Maxwel-Mohr:

(12.9)

unde:M este diagrama momentelor încovoietoare din sarcinile reale pe sistemul static nedeterminat;mi - diagrama de momente virtuală, din sarcina virtuală aplicată în punctul i, după direcţia deplasării, pe

sistemul de bază (static determinat sau cu grad de nedeterminare mai redus);l - lungimea barei pentru care se determină săgeata;EI - este modulul de rigiditate, considerat constant pe intervalul dat.Efectuarea integralei (12.9) se poate face şi după regula Vereşceaghin, adică:

(12.10)

unde: este suprafaţa diagramei reale de momente de pe bara pentru care se calculează săgeata între două

reazeme consecutive;JG - ordonata diagramei de momente virtuale mi, măsurată în dreptul centrului de greutate al suprafeţei

.

Fig.12.3 Determinarea săgeţilor la grinzi continue

Aplicaţia numerică 12 Verificarea la starea limită de deformaţie a unui element din beton armat supus la încovoiere.

Se cere verificarea săgeţii unei grinzi încovoiate cu secţiunea dreptunghiulară (fig. Apl.12). Grinda este simplu rezemată şi face parte dintr-un planşeu prefabricat, urmând să susţină elemente nestructurale care se pot deteriora în cazul unor deformaţii prea mari. Se cunosc: b/h/h0 = 250/550/510 mm; calităţile materialelor: Bc25 (Eb = 30000 N/mm2) şi PC52 (Ea = 210000 N/mm2); din calculul la încovoiere în secţiuni normale, la starea limită de rezistenţă, a rezultat armătura longitudinală Aa = 1570 mm2 (520).

Încărcările de exploatare acţionează uniform distribuit, având următoarele valori de calcul, egale cu intensităţile normate:

greutatea proprie a elementelor structurale = 14,70 kN/m greutatea finisajelor (tencuială şi pardoseală) = 4,14 kN/mgreutatea pereţilor despărţitori = 3,00 kN/mîncărcarea utilă = 15,00 kN/m

Fig. Apl.12

- încărcarea totală de exploatare:qE = 14,7 + 4,14 + 3,0 + 15,0 = 37,0 kN/m;

- fracţiunea de lungă durată a încărcării de exploatare:

- partea din încărcarea de exploatare care se aplică înainte de executarea elementelor nestructurale:

Calculul săgeţii fld (qE)Această săgeată se determină din acţiunea încărcării totale de exploatare, deoarece se consideră că

aceasta poate acţiona cu toată valoarea ei timp îndelungat.Valoarea corectată a modulului de elasticitate al betonului se determină cu relaţia (4.3):

Deoarece toate încărcările acţionează în acelaşi mod (uniform distribuit), influenţa acţiunii de lungă durată rezultă:

Din relaţia (5.44) se determină , unde 0 rezultă din anexa 5, iar k1 = k2 = k3 = 1,0 (anexa 7),

în cazul unor unor condiţii normale de solicitare a elementului şi de umiditate a mediului.Coeficientul de echivalenţă se determină cu relaţia:

Momentul de inerţie al secţiunii ideale de beton necesită determinarea poziţiei axei neutre, utilizând relaţiile (4.4b şi 4.8):

rezultă x = 249 mm

Modulul de rigiditate se determină din relaţia (12.6):

Săgeata se calculează conform figurii 12.2, (grindă simplu rezemată, cu încărcări uniform distribuite) cu

relaţia (12.8), în care

Calculul săgeţii fsd

Această săgeată se determină din încărcarea de exploatare aplicată până la executarea elementelor structurale care se pot deteriora, respectiv a încărcării utile; se admite că săgeata produsă de aceste încărcări nu este afectată de fenomenele de durată, deoarece restul de încărcări pot să acţioneze într-un timp scurt de la execuţie. Se procedează ca mai sus.

; rezultă

rezultă x = 188 mm

Verificarea la starea limită de deformaţie se referă la suplimentul de săgeată care se produce după executarea elementelor nestructurale şi influenţează deformarea acestora:

Valoarea admisă a suplimentului de săgeată este, conform tabelului 12.1:

Deoarece f = 11,8 mm < fadm =15 mm, condiţia de verificare este satisfăcută.