Curs 7_DINAMICA RIGIDULUI_ Anul I Nespecialisti

8/18/2019 Curs 7_DINAMICA RIGIDULUI_ Anul I Nespecialisti

1/16

Dinamica Sistemelor de puncte materiale şi Dinamica RigiduluiCurs 7

1/16

CUPRINS

PRIVIRE RETROSPECTIVĂ 10 min

Sisteme de forţe echivalente. Sistemul redus de forţe

Dinamica sistemelor de puncte materiale şi Dinamica rigidului

1. DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE 20 min

Exprimare în raport cu centrul maselor (prezentare în paralel cu dinamica rigidului)

1.1. Studiul ecuaţiilor de mişcare

1.1.1. Teorema impulsului

1.1.2. Teorema impulsului cinetic1.1.3. Teorema variaţiei energiei cinetice şi a lucrului mecanic

1.2. Aplicaţii

2. DINAMICA RIGIDULUI 20 min

Exprimare în raport cu centrul maselor

2.1. Studiul ecuaţiilor de mişcare

2.1.1. Teorema impulsului

2.1.2. Teorema momentului cinetic2.1.3. Teorema variaţiei energiei cinetice si a lucrului mecanic

3.. MOMENTUL CINETIC şi MOMENTE DE INERŢIE 15 min

3.1. Explicitarea momentului cinetic; tensorul de inerţie in exprimarematriceală

3.2. Moment de inerţie polar, planar

3.3. Variaţia tensorului de inerţie la schimbarea axelor de coordonate;

teorema Steiner

4. APLICAŢII GENERALE 35 MIN

4.1. Cilindru pe plan înclinat prins de plan cu un fir elastic

4.2. Bila sferică în calotă sferică

Total timp necesar 90 min


2/16

Dinamica Sistemelor de puncte materiale şi Dinamica RigiduluiCurs 7

2/16

1. DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE 20 min (+20 min)

1.1. Studiul ecuatiilor de miscare

Ca şi în cazul reperării generale a mişcării sistemelor de puncte materiale (şi rigidului)stabilim ca obiective ale studiului:

(a) Caracterizarea mişcarii fiecarui punct material în contextul intregului ansamblu,considerînd proprietăţile constrîngerilor care asigură entitatea ansamblului de puncte materiale.

nota: aspectele sunt esential cinematice, precum si legate de proprietăţile interacţiunilor de legatură.

(b) Obţinerea ecuaţiilor care guvernează mişcarea mecanică de ansamblu a sistemului de puncte materiale.

nota: ecuaţii similare cu cele din (T.I), (TMC) si (TVEL) pentru un punct material.

De această dată reperarea mişcării se face în raport cu Centrul Maselor, C, în acelaşi referenţial caîn cazul reperării generale. Proprietăţile punctului C vor conduce la simplificări ale teoremelormişcării sistemelor de puncte materiale (şi rigidului).


3/16

Dinamica Sistemelor de puncte materiale şi Dinamica RigiduCurs 7

3/16

Studiul ecuaţiilor de mişcare faţă de Centrul Maselor,C

(prezentare paralelă cu mişcarea rigidului) 40 min

Sistem de puncte materiale

Consideraţiile generale privind organizarea studiului se reiauidentic cu cele de la reperarea generală a mişcării punctelor materiale;

reperarea mişcării mecanice a punctelor materiale se face la fel ca şi pentrurigid, mai puţin polul de referinţă Q, ca în figura alăturată. Dacă alegemcentrul de masă, C, ca pol de referinţă, atunci relaţia care exprimă proprietatea de definiţie a poziţiei centrului de masă este:

C

n

k

k k Rm Rmrr

1

(1)

Cu notaţiakC

not

k r CP

, obţinem relaţia intrinsecă pentru distribuţia

substanţei în jurul centrului de masă, C:

n

k

kC k

n

k

C k k r m R Rm11

)(0 rrrr

Viteza punctului Pk în raport cu centrul de masă este:

kC C k vvv

şi se deduce astfel relaţia pentru distribuţia de viteze în jurul lui C:

kC k

n

k

C k k

n

k

vmvvm rrrr

11

)(0 (2)

Rigid

În cazul rigidului, situaţia esteidentică cu cea a aistemelor de puncte

materiale. Polul de referonţă Q aparţinîndcorpului este ales arbitrar, iar poziţiacentrului de masă este determinată derelaţia:

C k k

k

r mr m rr

(1*)

în careC

not

r QC

k

not

k r QP r

şikC

not

k r CP

. La

fel ca şi pentru sistemele de punctemateriale, relaţia intrinsecă pentrudistribuţia substanţei în jurul centrului de masă se deduce din (1) sau din (1*):

kC k

k

C k k

k

r mr r m rrrr

)(0 şi la limită, pentru 0lim

k

k

m :

D

dmr rr

0

Analog ca în cazul sistemelor de puncte materiale şi pentru vitezele punctelrigidului există aceleaşi relaţii cu explicitarea vitezei relative faţă de C, cexpresia acestei viteze relative:

kC kC r v

r v r C rrr

(2*


4/16


4/16

În (TI) se explicitează impulsul în raport cu viteza lui C şi sededuce imediat:

C

n

k

kC k C

n

k

kC k C k

n

k

k k vmvmvmvmvmvm H

111

)(

şi (TI) capătă expresia:

C C amvm H dt d R

ceea ce se cunoaşte şi sub denumirea « Teorema Mişcării Centrului deMasă ».

Procedind identic ca în cazul sistemelor de puncte materiale şi trecînla limită obţinem succesiv:

C C C C vmdmr vmdmr vmdmr vdmv H

)(

ceea ce conduce la aceeaşi expresie a (TI) ca la sistemele de puncte materiale

C am R

avînd aceeaşi denumire.

Pentru (TMC) explicităm vectorii de poziţie şi vitezele fiecărui punct material în funcţie de poziţia şi, respectiv, viteza centrului de masă,C. Momentul cinetic căapătă expresia:

k

kC k kC C C

k

kC k kC

k

C k kC kC k C C C

k

kC C k kC C

k

k k k O

vmr vm R

vmr vmr vm Rvm R

vvmr Rvm R K

rrrr

rrrrrrrr

rrrsrrr

)(

)()(

în care ultimul termen este momentul cinetic în mişcarea faţă de centrul demasă şi se notează

k

kC k kC C vmr K

Ţinînd seama şi de expresia momentului rezultant în funcţie de momentulrezultant faţă de centrul de masă, C se deduce succesuv:

C C

C C C C C C OC C O

K R R

K am R K vm Rdt

d K R R M M

)(

Procedînd identic ca în cazul sistemelor de puncte materiale obţinesuccesiv:

dmr r vm R

dmr r dmvr r Rvm R

dmr vr Rdmv R K

C C

C C C C

C C O

)(

)(])([

)()(

în care ultimul termen este momentul cinetic faţă de C şi se notează

dmr r K C )(

În continuare se rescrie (TMC) în aceeaşi manieră ca pentru sistemele d puncte materiale:

C C

C C C C C C OC C O

K R R

K am R K vm Rdt

d K R R M M

)(


5/16


5/16

C C K M

în care

C

k

F

C M M k

este momentul rezultant faţă de C

C C K M

Pentru (TVEL) se exprimă energia cinetică şi vectorii de poziţie în

funcţie de viteza şi, respectiv, vectorul de poziţie al centrului de masă.Expresiile analitice ale energiei cinetice şi lucrului mecanic devin astfel:

k

kC C kC C k kC

k

C k

k

k k vvvvmvvmvm E )2(2

1)(

2

1

2

1 2222

k

kC k C

k

kC C k

k

kC k C

vmvm

vvmvmvm

22

22

2

1

2

1

22

1

2

1

2

1

rr

rrrr

Ultimul termen este energia cinetică în mişcarea faţă de centrul de masă şise va nota:

k

kC k C vm E 2

2

1

Se va proceda şi pentru (TVEL) la fel ca în cazul celorlalte dou

teoreme, evaluînd energia cinetică şi lucrul mecanic corespunzător mişcării jurul centrului de masă. Se deduce succesiv:

dmvvvv

dmvv

E r

C C

r

C C

r

C C

2

)2(

2

)(222

dmv

mvdmvvdmv

mv

dmvv

dmv

mv

r

C C

r

C C

r

C C

r

C C

r

C C

22

1

22

1

2

2

22

1

2

2

2

2

2

2

Ultimul termen este energia cinemtică în mişcarea faţă de C şi se va nota:

dmv

E r

C C 2

2

Lucrul mecanic al forţelor externe se prelucrează identic ca la sistemele d puncte materiale şi avem deci:

ext*2

1

2

)(

122

1

12

C k

k

k vm Rd F

k

rr

În acest fel ţinînd cont că lucrul mecanic al forşelor interne este nul, (TVEL pentru rigid în mişcarea faţă de centrul de masă are expresia:

12*ext12 C C E E


6/16


6/16

ext*2

1

2

ext*

)(

ext*

)(

ext*

)(

ext*

)(

)()()()(

12

1212

1212

2

1

)(

1212

1212

12121212

C

C C C C

C C C

kC

k

k C

k

k kC C

k

k k

k

k

vm

vd vmdt vvm

Rd vm Rd R

r d F Rd F r Rd F Rd F

C C

C C

kC C k k

rrr&r

r&r

rv

rrrrrrr

În expresia precedentă ultimul termen este lucrul mecanic al forţelorexterne în mişcarea faţă de centrul de masă, C. Facem şi remarca potrivitcăreia lucrul mecanic al forţelor interne nu este dependent de polul dereferinţă şi deci rămîne invariabil. Folosind aceste rezultate expresia(TVEL) se modifică după cum urmează:

12

2

1

2intext*2

1

2

2

1

2

11212 C C C C E E vmvm

12int*ext1212 C C E E

Din această relaţie se deduce imediat că lucrul mecanic elementar este:

C dE d d int*ext

şi viteza de variaţie a lucrului mecanic; adică “ Puterea” dezvoltată deforţele externe şi (disipată) de cele interne, este egală cu viteza de variaţie aenergiei cinetice imprimate întregului sistem de puncte materiale.

dt

dE

dt

d

dt

d C ext ext

int*ext*

P

Ceea ce este particular rigidului în această exprimare se datorează expresivitezei relative faţă de centrul de masă:

kC kC r v

şi r v r C

, ca

particularizează astfel expresiile energiei cinetice şi lucrului mecanic al forţelexterne în mişcarea faţă de C

C

r

C C

K

dmr r dmr r dmr

dmv

E

21

)(2

1)()(

2

1

2

)(

2

22

121212

121212

)()()(

)()()(

ext*

)(

)(12

C kC

k

kC

kC kC kC

dt M dt M dt F r

dt r F dt v F r d F

C

k

F

C

k

k kC

kC

k

k kC

k

k kC

k

k

rrrrrrr

rrrrrr

Prin urmare (TVEL) capătă expresia:

12

)(

)(2

1)(

2

1

12

C C C K K dt M

C

rrrrrr

Lucrul mecanic elementar este:

dE d *ext

Dacă ţinem seama de expresia lucrului mecanic al forţelor externe în mişcarefaţă de C, atunci se obţine şi relaţia pentru puterea dezvoltată de forţele externîn mişcarea faţă de C:

dt

dE M C C

notă: această relaţie se dpoate deduce direct din (TMC) prin înmulţirea scalacu


7/16

Dinamica Sistemelor de puncte materiale si Dinamica Rigidului

CURS 7

7/16

3. MOMENTUL CINETIC şi MOMENTE DE INERŢIE 15 min

3.1 Explicitarea momentului cinetic; Tensorul momentelor de inerţie în exprimarematricială

Expresia generală a momentului cinetic faţă de un pol Q, fix în referenţialul mişcării, este:

AQ K H QAdmvr dmvQAdmvr QAdmvQP K

)( (1)

punînd în evidenţă un moment cinetic propriu, faţă de un pol fix A din cuprinsul corpului (rigid, înspeţă). Acesta se explicitează ţinînd seama de distribuţia de viteze la un rigid:

r

A AC AC A A K vmr dmr r vmr dmr vr K

)()( (2)

în care apare termenulr

A K

ce reprezintă un moment cinetic al mişcării proprii de rotaţie faţă de polulA şi se pune în evidenţă şi importanţă cunoşterii poziţiei centrului de masă, C, pentru calculul

momentului cinetic în mişcarea generală faţă de un referenţial dat. Momentu cinetic propriu, r A K

seexplicitează într-un sistem de coordonate legat de corp, astfel:

k dm z r r jdm yr r idm xr r

dmk ji xr r dmr r r dmr r K

z y x

x

r

A

}])([{}])([{}])([{

}[...][...]])({[])([)(

222

22

Se remarcă faptul că are componente care se pot obţine într-o exprimare matricială astfel:

A

z

y

x

z yz zx

yz y xy

zx xy x

r

Az

r

Ay

r

Ax

J J J

J J J J J J

K

K K

JK rA

(3)

în care matricea JA are componentele unui tensor de ordinul doi A J

şi se numeşte matriceamomentelor de inerţie în raport cu polul A (ales fix faţă de corp), iar tensorul se numeşte tensorul deinerţie faţă de polul A. Elementele matricii de inerţie se numesc

dm z y J x )(22 momente de inerţie axial, în raport cu axa (Ax)

dm xy J xy )( monet de inerţie centrifugal, în raport cu axele (Ax) şi (Ay)

şi prin analogie se deduc şi celelelte denumiri.

Ca exemple se determină:

a. matricea de inerţie a unei bare

Sistemul propriu de axe, centrat în centrul de masă are axa (Ox) în lungul barei şi celelalte două perpendiculare pe bară.


8/16


CURS 7

8/16

2

2

2

100

02

10

000

00

00

000

ml

ml

J

J

J J J

J J J

J J J

z

y

z yz zx

yz y xy

zx xy x

C J

2332/

2/

22/

2/

2

12

1)(

12

1ml l l dx xdm x J l

l

l

l

l

l

y

b. matricea de inerţie a unui disc

Sistemul de axe, centrat în centrul de masă, adică în centrul desimetrie al discului are axa (Oz) perpendiculară pe suprafaţa disculuişi celelalte două în planul acestuia.

2

2

2

2

100

04

10

0041

mR

mR

mR

J J J

J J J

J J J

z yz zx

yz y xy

zx xy x

C J

24

2)(

2

1

2

1 24

0

32

0

2

0 0

2 mR Rdr r d RdRd r J J J S

R

S

R

S y x z

3.2.. Moment de inerţie polar, planar

În diverse situaţii mecanice sau de calcul a elmentelor matricii de inerţie intervin şi alte mărimifizice de natura momentelor de inerţie, precum:

a. momentul de inerţie polar faţă de un pol notat O, definit într-un triedru triortogonal cu originea în polul O de calcul:

dm z y x J O )(222

b. momentul de inerţie planar faţă de un plan, coincident cu planul (Oxz) al unui triedru triortogonal:

dm z J Oxy 2


9/16


CURS 7

9/16

3.3. Variaţia tensorului de inerţie la schimbarea axelor de coordonate; teorema Steiner

Din motive de simplificare a calculelor sau de exprimare ateoremei momentului cinetic este util să se determine relaţia întreelementele matricii de inerţie calculate într-un sistem de axe (de

coordonate) şi cele determinate în alt sistem de axe. Se consideră celedouă sisteme de axe cu centrele în polii A şi B aparţinînd corpului, ca înfigura alăturată ; coordonatele sunt notate în paranteze deoarece suntgenerice

Efectuînd calculele pentru A K

şi B K

se obţine succesiv :

dm BP AB BP ABdm AP AP K r

A )()()(

dm BP BP dm BP AB ABdm BP

AB AB

)()()()(

)(

dm BP BP K r B )(

dm BP BP BC m BC AC m AC

dm BP BP BC m AB BC AC m AC

dm BP BP BC m AB ABm BC ABm AB K r A

)()()(

)()()]([

)()()()(

r B

r A K BC m BC AC m AC K

)()( (4)

ceea ce înseamnă că expresia :

r

C

r

B

r

A K BC m BC K AC m AC K

)()( (4*)

este un invariant în raport cu polul de calcul şi, evident este egal cu momentul cinetic faţă de centrul demasă, după cum se constată imediat, alegînd pe A identic cu C. Prin urmare este esenţial să sedetermine matricile de inerţie faţă de centrul de masă, după care se pot calcula aceste matrici faţă deorice alt pol.

Schema generală de calcul raţional, dacă se cunoaşte tensorul momentelor de inerţie faţă de

un pol B, este una din următoarele două:

A. Se utilizează direct formula de calcul (4) scrisă în formă matricială ca în (3) şi se determinămatricea de inerţie JA cunoscînd poziţia centrului de masă C, şi vectoruii de poziţie ai punctelor A, Bîntr-un sistem de coordonate comun.

z

y

x

B z yz zx

yz y xy

zx xy x

A

J J J

J J J

J J J

J


10/16


CURS 7

10/16

z

y

x

CB z yz zx

yz y xy

zx xy x

z

y

x

CA z yz zx

yz y xy

zx xy x

J J J

J J J

J J J

J J J

J J J

J J J

(3*)

CBCA B A JJJJ (5)

Matricile de inerţie JCA şi JCB sunt determinate după modelul matricii de inerţie propriu zisă, astfel :

))((

])()[( 22

AC AC CAyz

AC AC CAx

z z y ym J

z z y ym J

(5*)

şi analoagele.

B. Se determină matricea de inerţie, JC, utilizînd formula (4*) şi apoi matricea de inerţie JA utilizînd aceeaşi formulă

CB BC JJJ

CAC A JJJ (6)notă: relaţia care leagă momentele de inerţie, conform cu (6) este teorema Steiner-Huygens

Calculul matricilor de inerţie ca mai sus presupune că axele faţă de care sunt determinatemomentele de inerţie axiale şi centrifugale (elementele acestor matrici) sunt axe paralele deoarececoordonatele sunt calculate în această ipoteză.

În cazul cînd axele sunt numai rotite unele faţă de celelalte, relaţia între matricile de inerţie seobţine direct din relaţia de transformare a componentelor vectorilor dintr-un sistem de axe în celălalt.Sistemul de axe iniţial are indicelel 1, iar cel care s-a rotit faţă de le are indicele 2 la variabilele x, y, z.

Dacă matricea de rotaţie (a sistemului de axe 2 faţă de sistemul 1) este notată cu R O, atunci avemsuccesiv:

12 )()( ωJR ωJ o

adică:

1122 ωJR ωJ o

12 ωR ω o

1112 ωJR ωR J oo

şi astfel, relaţia fiind valabilă pentru orice vector , iar (R O)-1(R O)

T se deduce şi relaţia între cele

două matrici de inerţie:T

ooR JR J 12 (5)


11/16


CURS 7

11/16

4. APLICAŢII GENERALE 35 min

4.1. Cilindru pe plan înclinat prins de plan cu un fir elastic

Se cunosc datele:mC=1kg; R=0,2m g=10m/s2

lnedeformat:=l0=0,2m k=200N

=300 =0,8 s=0,002m

notă: cilindrul este simetric, omogen şi plasat perpendicular pelinia de pantă maximă.

Se cer:

1. Calculul momentului de inerţie al cilindrului faţă de axasa de simterie

2. Tipurile de mişcare mecanică pe care lepoate executa cilindrul

Ecuaţiile de mişcare mecanică ale cilindrului pentru fiecare din mişcările posibile

3. Forţa elastică din resortul ideal

4. Condiţiile explicite pentru alunecarea pe planul înclinat

Rezolvare

1. Cilindrul fiind omogen, calculul momentului de inerţie decurge ca la un disc circularomogen, dar densitatea este cea de volum şi nu de suprafaţă; axa (Oz) este axa cilindrului:

24

2)(

24

0

32

0

2

0 0

2 mR RdRr d rdrd r J V

R

V

R

V z

2. Dacă coeficientul de frecare de alunecare este suficient de mare, ca să nu se poată producealunecarea faţă de suprafaţa planului înclinat, atunci mişcarea este oscilatorie (în jurul poziţiei deechilibru static, deoarece echilibrul static este stabil şi astfel mişcările cilindrului se vor face în jurulacestei poziţii).

Dacă coeficientul de frecare de alunecare este mai mic decît valoarea minimă care asigurăexistenţa numai a rostogolirii pure faţă de planul înclinat, atunci cilindrul va aluneca spre baza planuluiînclinat.

Ecuaţiile de mişcare se obţin din cele două teoreme ale mecanicii, teorema impulsului şiteorema momentului cinetic, scrise pentru cilindrul eliberat de legăturile cu planul înclinat şi cu firul ,care este inseriat cu resortul ideal. Conform cu figura alăturată, reprezentînd cilindrul eliberat delegături avem relaţiile vectoriale:

O f am F N T G

1

Or

F

O

N

O

T

O

G

O K M M M M M f

1

iar pentru resort:

001

T T


12/16


CURS 7

12/16

Relaţiile fenomenologice sunt cele privitor la contactul rigidelor cu frecare (uscată) şi la tensiuneaelastică dintr-un resort:

N F f sN M r

0

0

l

l l k F el

Relaţiile cinematice: cilindrul execută o mişcare plan-paralelă încazul oscilaţiilor în jurul poziţiei de echilibru:

RvO RaO

l vO

iar în cazul cînd apare alunecarea:

l RvO

Sistemul ecuaţiilor de mişcare se constituie din ecuaţiile de proiecţii ale ecuaţiilor vectoriale ale celor două teoreme ale mecanici, lacare se adaugă ecuaţiile de cinematică şi relaţiile fenomenologice (pentrufenomenele mecanice implicate). În cazul oscilaţiilor acest sistem deecuaţii este:

N F

sN M

l

l l k F T T

Ra

al

J M RF RT

maT F mg

N mg

f

r

el

O

O

Or f

O f

0

001

1

1sin

0cos

(6)

În cazul alunecării spre baza planului înclinat sistemul ecuaţiilor de mişcare este:

sN M

N F

l

l l k F T T

l Ra

J M RF RT

maT F mg

N mg

r

f

el

O

Or f

O f

0

001

1

1sin

0cos

(7)


13/16


CURS 7

13/16

3. Pentru determinarea forţei elestice din resort trebuie rezolvate cele două sisteme de ecuaţiide mişcare precedente. Se face rezolvarea numai pentru cazul oscilaţiilor, care are 9 ecuaţii şi douăinecuaţii; necunoscutele sunt: N, Ff , T1, T0, Fel, Mr , l, aO, , tot în număr de 9 şi deci sistemul estedeterminat. Se ajunge la următorul sistem de ecuaţii:

N F

l

l l k F T

al

mg R

s

R

a J F T

mg maT F

mg N

f

el

O

OO f

O f

0

01

1

1

cossin

cos

şi apoi la ecuaţia pentru alungirea resortului:

0

01

1 cossin2

l

l l k F T

al

mg R

smg

R

a J maT

el

O

OOO

)cos(sin2

32

0

0 R

smg l m

l

l l k

(8)

sau în forma normală:

)cos(sin3

2)(

3

4)( 0

0

02

2

R

s g l l

ml

k l l

dt

d

Această ecuaţie are soluţia:

)cos(sin23

4sin 0

00

R

s g

k

ml t

ml

k C l l

cu o constană C care se determină din condiţiile iniţiale şi are dimensiunea unei lungimi. Forţa elasticăeste:

)cos(sin23

4sin

000

0 R

s g

mt

ml

k

l

k C

l

l l k F el

4. Alunecarea se produce, la limită, în cazul schemei de forţe pentru cazul al doilea de ecuaţiide mişcare, în care nu exită încă mişcarea relativă; condiţiile sunt:

N F f sN M r

smvO / 0 sml / 0

(continuarea este temă de casă)


14/16


CURS 7

14/16

4.2. Bila sferică în calotă sferică

Mişcarea unei bile sferice, cu masa m şi raza r într-o calotă sferică (o jumătate de sferă) de razăR>r depinde de orientarea vitezei iniţiale. În cazul cînd viteza iniţială este nulă sau este situată în

planul de simetrie al calotei sferice, este o mişcare mecanică de tip plan-paralelă. În caz contrar,

mişcarea bilei devine mai complicată. Se va studia numai mişcarea mecanică plan-paralelă a bilei.Între bilă şi calota sferică există numai frecare uscată de alunecare,de coeficient . Folosind schema din figura alăturată se cere să sededucă ecuaţiile de mişcare. (temă de casă)


15/16


CURS 7

15/16

PRIVIRE RETROSPECTIVĂ 10 min

Sisteme de forţe echivalente. Sistemul redus de forţe

Acţiuhnile ce se exercită asupra unui rigid (sau asupra unui sistem de rigide, conform cuteorema solidificării) se pot echivala din punct de vedere al efectelor mecanice cu un sistem de forţesimplu, compus din 3 forţe dintre care două alcătuiesc un cuplu. Acest sistem simplu poartă numele“Sistem Redus” şi se poate transforma la rîndul său într-un alt sistem cu aceeaşi compunere, dar cu

planul în care se află forţele cuplului situat perpendicular pe cea de a treia forţă din sistem; acest sistemredus poartă numele “Sistem Minimal”.

Importanţa sistemului redus constă în următoarele:

1. Efectele acţiunilor exercitate asupra rigidului sunt separate intuitiv astfel:

a. un efecte de translaţie instantanee, produs de foţa ce nu face parte din cuplu

b. un efect de rotaţie instantanee, produs de cuplu2. Sistemul redus este ireductibil; nu se poate obţine un sistem mai simplu care să separe

efectele mecanice ca la (1.) folosind cele două operaţii elementare de echivalenţă

3. Pentru sistemul redus există cele 2 teoreme fundamentale ale dinamicii (TI) şi (TMC), careguvernează dinamica mişcării pentru cele două efecteinstantanee: translaţia şi, respectiv, rotaţia.

Cele două teoreme menţionate sunt, în fond, expresia proprietăţilor intrinseci ale mişcării, prinexprimarea lor în funcţie de mişcarea centrului de masă şi mişcarea în jurul centrului de masă., dupăcum se va demonstra în cele ce urmează.

Studiului dinamicii sistemelor de puncte materiale în relaţie cu rigidul

Punctul material este un model pentru corpul la care efectele mecanice şi modul în care seexercită acţiunile asupra sa nu sunt dependente de distribuţia proprietăţilor inerţiale în cuprinsul său.Două sunt exemplele pentru această situaţie:

e1) corp cu dimensiuni (exprimate într-un referenţial cu un sistem de coordonate)neglijabile în raport cu referenţialul

e2) corp care execută o mişcare de translaţie în raport cu referenţialul, sub acţiunile care seexercită asupra sa.

Discretizarea unui corp (rigid în speţă) într-un număr foarte mare de componente, fiecare cu un volum

mai mic decît o valoare arbitrar de mică, notată cu , conduce spre un model discret alcătuit din punctemateriale. Entitatea corpului se exprimă prin interacţiuni între aceste componente exprimate prin forţeavînd sistemul redus reprezentat prin torsorul lor în zonele punctuale de contact. În cazul rigiduluiideal, menţinerea geometriei sale impune ca acţiunile exercitate asupra sa nu aibă ca efecte mecanicemodificări ale poziţiilor relative între aceste componente şi nici asupra formei lor, oricare ar fi acesteacţiuni. Condiţia necesară pentru un astfel de comportament mecanic este ca:

-interacţiunile interne (între componentele discretizării) să aibă ca sistem redus numairezultantă (fără cuplu local care are tendinţa de modificare a formei, locale cel puţin), iar aceasta să fiedupă direcţia normalei locale la zona de contact (în punctul de reducere)


16/16


CURS 7

16/16

-rezultanta interacţiunilor interne să fie după direcţia dreptei ce uneşte punctele reprezentativeale componentelor, pentru ca modelul să fie coerent şi să nu existe cuplu de reducere faţă de aceste

puncte

notă: la statica sistemelor de solide s-a menţionat că rezultantele interacţiunilor între corpurilesistemului nu produc un cuplu rezultant pentru întregul sistem şi prin urmare un sistem de punctemateriale este echivalent cu un sistem de rigide din acest punct de vedere.

Modelarea rigidului ca un sistem de puncte materiale are consistenţă astfel şi conduce larezultate valide pentrru dinamica rigidului atunci cînd tinde să devină oricît de mic, adică tinde cătrevaloarea zero. În acest context trebuie să ţinem seama de faptul că trecerea la limită, în sensul precizat,nu influenţează acţiunile exercitate asupra solidului şi prin urmare nici reprezentările prin forţelecorespunzătoare şi nici sistemele reduse ce se obţin prin operaţiile de echivalenţă.

Devine astfel justificată prezentarea dinamicii sistemelor de puncte materiale în paralel cudinamica corpului rigid.

Documents

Curs 7_DINAMICA RIGIDULUI_ Anul I Nespecialisti