Curs 9 S1 2013-2014 Program de Calcul Tabelar - Integrale,Derivate,Ecuatii,Optime-2

8/13/2019 Curs 9 S1 2013-2014 Program de Calcul Tabelar - Integrale,Derivate,Ecuatii,Optime-2

http://slidepdf.com/reader/full/curs-9-s1-2013-2014-program-de-calcul-tabelar-integralederivateecuatiioptime-2 1/28

1

CURS 9: Integrale, derivate, ecuatii, inecuatii

CURS 9

Program de calcul tabelar

EXCEL

Tabelarea functiilor Calcule cu integrale

Calcule cu derivateEcuatii/probleme de minim



2


Tabelarea functiilor



3


Tabelarea funcţ iilor (Table)

Tabelarea unei funcţ ii de una sau mai multe variabile reprezintă generarea

valorilor funcţ iei ( f(x) sau f(x,y) ) pentru valori ale argumentelor care parcurg un

domeniu de valori

Programul Excel ofer ă utilizatorului comanda Table pentru generarea valorilor

unei funcţ ii

Comanda: Data/Table

a) Tabelarea functiilor definite de o singur ă variabilă y=f(x)

- daca se genereaza un tabel orizontal, formula (sau referinţ a la o formulă)

este situată în linia care conţ ine valorile calculate, de exemplu în celula din

stânga primei valori calculate

x1

x2

… xn

=f(x) y1

y2

… yn



4


- daca se genereaza un tabel vertical, formula (sau referinţ a la o formulă)

este situată în coloana care va conţ ine valorile calculate, de exemplu, în

celula care este deasupra primei valori calculate

=f(x)

x1

y1

x2 y2

… …

xn yn



5


Algoritm tabelare functie cu un singur argument:

1) se scrie prima valoare a lui x din domeniu2) se multiplica dupa o serie liniara pana la valoarea finala a domeniului

3) se calculeaza prima valoare a functiei

4) se selecteaza valorile lui x si ale valorilor functiei

5) din meniul Data se alege comanda Table, care va afişa fereastra de dialog

Table.6) Pentru un tabel vertical, trebuie completată caseta Column input cell, iar

pentru un tabel orizontal trebuie completată caseta Row input cell. Se

execută click pe prima valoare a argumentului.

Exemplu tabelarea funcţ iei f(x)=sin(x) unde x {1, …,19).



6


x f(x)

1 0.84

2 0.91

3 0.14

4 -0.76

5 -0.96

6 -0.28

7 0.668 0.99

9 0.41

10 -0.54

11 -1.00

12 -0.54

13 0.42

14 0.99

15 0.65

16 -0.29

17 -0.96

18 -0.75

19 0.15

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

f(x) 0.84 0.91 0.14 -0.76 -0.96 -0.28 0.66 0.99 0.41 -0.54 -1.00 -0.54 0.42 0.99 0.65 -0.29 -0.96 -0.75 0.15

Tabelarea functiei f(x)=sin(x) pe orizontala

Tabelarea functiei f(x)=sin(x) pe verticala



7


b) Tabelarea functiilor definite de doua variabile f(x,y)

Fiind definita o funcţ ie de două variabile z=f(x,y), se poate genera un

tabel bidimensional de forma următoare :

-se va defini o formula in coltul din stanga sus al tabelului-se va genera un sir de valori x1,x2,…,xn

-se va genera un sir de valori y1,y2,…,ym

=f(x,y)

y1

y2

… ym

x1 z1,1 z1,2 … Z 1,m

x2 z2,1 z2,2 … z2,m

… … … … …

xn

zn,1

zn,2

… zn,m



8


Algoritm pentru tabelare functie cu doua argumente:

1. se scrie valoarea minima a argumentului x

2. se scrie valoarea minima a argumentului y3. se calculeaza valoarea functiei pentru x, y anterior

4. se genereaza domeniul valorilor x

5. se genereaza domeniul valorilor y

6. in celula de la intersectia argumentelor x si y se copiaza formula, se

selecteaza tot tabelul si formula7. din meniul Data se alege comanda Table care afişează caseta de dialog

unde în linia Row input cell se va tasta sau se va indica cu mouse-ul

referinţ a la celula care conţ ine un argument al funcţ iei ; în linia Column

input cell se va tasta sau se va indica cu mouse-ul referinţ a care conţ ine

celălalt argument al funcţ iei ;8. prin acţ ionarea butonului OK operaţ ia de tabelare este realizată.

Exemplu tabelarea funcţ iei f(x,y)=2*x*y



9


x0= 70

y0=70 75

f(x,y) 10500

10500 75 80 85 90 95

70 10500 11200 11900 12600 13300

71 10650 11360 12070 12780 13490

72 10800 11520 12240 12960 13680

73 10950 11680 12410 13140 13870

74 11100 11840 12580 13320 14060

75 11250 12000 12750 13500 14250

76 11400 12160 12920 13680 14440

77 11550 12320 13090 13860 14630

78 11700 12480 13260 14040 14820

79 11850 12640 13430 14220 15010

80 12000 12800 13600 14400 15200

81 12150 12960 13770 14580 15390

82 12300 13120 13940 14760 15580

83 12450 13280 14110 14940 15770

84 12600 13440 14280 15120 15960

85 12750 13600 14450 15300 16150

86 12900 13760 14620 15480 16340

87 13050 13920 14790 15660 16530

88 13200 14080 14960 15840 16720





11


100

10

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

200 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

300 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300

400 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400

500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

600 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600

700 70 140 210 280 350 420 490 560 630 700

800 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800

900 90 180 270 360 450 540 630 720 810 900

1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

masa solutie

concentratie procentuala

grame de substanta ce trebuie adaugate



12


Calcule cu integrale



13


• Rezolvarea unei integrale in EXCEL:

– Metode grafice – Metode analitice

dx

22,1x5,2x

0,4x-1 I0,5

02

2

Sa se calculeze valoarea integralei pe domeniul [0,0.5]



14


A. Metoda grafica

1. Se genereaza un numar de puncte cat mai mare in interval

2. Se calculeaza valoarea functiei de sub integrala pentru aceste pucte

3. Se traseaza graficul f(x)

4. Se traseaza verticalele intre axa x si curba

5. Se calculeaza ariile trapezelor de sub curba

6. Suma ariilor tuturor trapezelor reprezinta valoarea integralei



15


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

dx

22,1x5,2x

0,4x-1 I0,5

02

2

Trapez 1 Trapez 2 Trapez 3 Trapez 4 Trapez 5



16


*inf sup

1

1

inf

supinf

x

x

;x

x:unde

)(

2

)()()(

sup

inf

N nn

x

xk x f x f x f

xdx x f I n

k

B. Metoda analitica

Analitic, o integrala se poate aproxima astfel:



17


B. Metoda analitica

1. Se alege nr. de intervale

n = 10

2. Se calculeaza valoarea functiei pentru limita inferioara

xinf = 0 f(xinf) = 0,8197

3. Se calculeaza valoarea functiei pentru limita superioara

xsup = 0,5 f(xsup) = 2,9091

4. Se calculeaza pasul (limita superioara-limita inferioara)/nr de

intervale

Dx = 0,05

5. Se genereaza nr de intervale din domeniu : x+Dx



18


Interval k xk f(xk)

x I

1 0,05 0,8751

2 0,1 0,9404

3 0,15 1,0186

4 0,2 1,1137

5 0,25 1,2319

6 0,3 1,3829

7 0,35 1,582

8 0,4 1,8568

9 0,45 2,2602

6

.

S

e

c

a

l

c

u

le

a

z

a

s

u

ma

6

.

S

e

c

a

l

c

u

le

a

z

a

s

u

ma

6. Se calculeaza suma :

1

1

inf )(

n

k

xk x f

Suma

12.3

7. Se calculeaza valoarea integralei cu formula :

*inf sup

1

1

inf

supinf x

x

;x

x:unde

)(2

)()()(

sup

inf

N nn

x

xk x f x f x f

xdx x f I n

k

I= 0.706



19


Calcule cu derivate



20


DERIVATE

1. Se genereaza o serie a valorilor lui x

2. Se calculeaza f(x)

3. Se calculeaza ∆x=x2-x1 (n-1 valori)

4. Se calculeaza ∆y=y2-y1 (n-1 valori)5. Se calculeaza ∆x/ ∆y

6. Se reprezinta grafic

x f(x) ∆x ∆y

∆x/ ∆

y f'(x)

-5 -36 0.1 7.562 75.62 78

-4.9 -28.4 0.1 7.094 70.94 73.26

-4.8 -21.3 0.1 6.638 66.38 68.64

-4.7 -14.7 0.1 6.194 61.94 64.14

-4.6 -8.51 0.1 5.762 57.62 59.76

-4.5 -2.75 0.1 5.342 53.42 55.5

-4.4 2.592 0.1 4.934 49.34 51.36

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(x)

f'(x)calculat

f'(x) derivat



21


Rezolvare ecuatii



22


Rezolvarea ecuatiilor si optimizarea unor functii se poate realiza cu functii

speciale din EXCEL:

GOAL SEAK

SOLVER

Aceste aplicatii se pot instala din meniul AddInn



23


Solutia unei ecuatii: GOAL SEEK

Pas 1: se da valoare lui x

Pas 2: se calculeaza f(x)

Pas 3: se deschide GOAL SEEK

Pas 4: SET cell – se alege celula cu formula

Pas 5: TO Value: termenul liber Pas 6: Changing cell – celula cu valoarea lui x

Pas 7: OK

Initializare variabilei x este foarte importanta pentruobtinerea solutiei reale



24


Solutia unei ecuatii: GOAL SEEK



25


Rezolvare ecuatii



26


Operaţ iile rezolvate cu comanda Solver sunt

-de tip optimizare (Max, Min ; maxime, minime)

-de tip calcul direct (Value of).

-Linia de introducere Set Target Cell trebuie să conţ ină referinţ a la o celulă care memorează o formulă care va returna o valoare optimizată sau calculată

direct conform opţ iunilor privind natura operaţ iei (Equal To :) oferite de

următoarele butoane :

•Max – determină valoarea maximă a valorii returnate de formula specificată ;

•Min – determină valoarea minimă a valorii returnate de formula specificată ;•Value of – determină valoarea exactă a acţ iunii formulei specificate faţă de

valoarea introdusă.



27


Exemplu. Să se determine maximul funcţ iei f(x,y) = 7x + 5y, astfel incat :

x [0, 3000], y [0, 5000], x+y/9 [0, 3000].



28


2f x x 2

0

5

10

15

20

25

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Sa se calculeze minimul functiei pe intervalul [-1;5]

Documents

Curs 9 S1 2013-2014 Program de Calcul Tabelar - Integrale,Derivate,Ecuatii,Optime-2