Curs de Pregatire Algebra XI 1-Forma Finala

8/20/2019 Curs de Pregatire Algebra XI 1-Forma Finala

1/78

CURS DE PREGĂTIRE ALGEBRĂ

TIBERIU BARTA

1


2/78

2 TIBERIU BARTA

Cuprins

1. Polinoame cu coeficienţi complecşi 31.1. Noţiuni introductive 3

1.2. Împărţirea polinoamelor 41.3. Teorema fundamentală a algebrei. Rădăcinile polinoamelor 61.4. Relaţiile lui Viéte 71.5. Polinoame simetrice 82. Permutări 103. Ridicarea la putere a unei matrice pătratice 163.1. Aplicaţii 224. Determinanţi 284.1. Determinantul Vandermonde 294.2. Determinant Vandermonde lacunar 304.3. Determinanţi circulari 32

4.4. Aplicaţii 335. Ecuaţii binome ı̂n Mn(C) 405.1. Aplicaţii 426. Funcţii polinomiale de tip determinant 456.1. Aplicaţii 507. Vectori ̧si valori proprii 557.1. Aplicaţii 598. Rangul unei matrice 648.1. Aplicaţii 669. Matrice inversabile 71References 78


3/78

CURS DE PREGĂTIRE ALGEBRĂ 3

1. Polinoame cu coeficienţi complecşi

1.1. Noţiuni introductive. Fie C [X ] mulţimea şirurilor infinite de numerecomplexe f = (a0, a1, a2,....) şi există n ∈ N astfel ı̂ncât ai = 0, pentru orice i > n.Elementele lui C[X ] se numesc polinoameDefiniţia 1.1. Fie f = (a0, a1, a2,....) ∈ C[X ]. Spunem c˘ a f are gradul n şi not̆ am grad(f ) = n dac˘ a an = 0 şi ai = 0, pentru orice i > n.Dac˘ a f = (0, 0, 0,...), atunci grad(f ) = −∞.Definiţia 1.2. Fie f = (a0, a1, a2,....), g = (b0, b1, b2,....) ∈C[X ]. Spunem c˘ a f = gdac˘ a şi numai dac˘ a ai = bi, ∀i ∈ N.

Pe mulţimea C[X ] introducem două operaţii:Fie f = (a0, a1, a2,....), g = (b0, b1, b2,...) ∈ C[X ], atunci:

1. f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2,...) ∈ C[X ];2. f · g = (c0, c1, c2,...), unde ck =

ki=0

aibk−i.

Proprietăţile adunării pe C[X ]:

1. Asociativitate: f + (g + h) = (f + g) + h, ∀f , g , h ∈ C[X ].2. Comutativitate: f + g = g + f, ∀f, g ∈ C[X ];3. Element neutru: f + 0 = 0 + f = f, ∀f ∈ C[X ], unde 0 = (0, 0, 0,...).4. Orice polinom este inversabil la adunare inversul lui fiind −f

f + (−f ) = (−f ) + f = 0, ∀f ∈ C[X ].Proprietăţile ı̂nmulţirii pe C[X ]:

1. Asociativitate: f · (g · h) = (f · g) + h, ∀f , g , h ∈ C[X ];2. Comutativitate: f · g = g · f, ∀f, g ∈ C[X ];3. Element neutru: f · 1 = 1 · f = f, ∀f ∈ C[X ], unde 1 = (1, 0, 0,...);4. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare; f (g + h) = f g + f h, ∀f , g , h ∈ C[X ].Notăm cu X = (0, 1, 0, 0,....).Observăm că X 2 = (0, 0, 1, 0, 0,...) şi ı̂n general X i = (0, 0,...0

de i ori

, 1, 0, 0...). Cu aceste

notaţii putem scrie

f = (a0, a1, a2, a3,...) = (a0, 0, 0,...) + (a1, 0, 0,...)X + (a2, 0, 0,...)X 2 + ...

şi cum funcţia F : C

→ A, F (a) = (a, 0, 0,...), unde A = (a, 0, 0,...), este o funcţie

bijectivă, putem identifica elementul (a, 0, 0,...) cu numărul complex a.În aceste condiţii polinomul f = (a0, a1, a2,...,an, 0, 0,...) admite scrierea

f = a0 + a1X + a2X 2 + ... + anX

n


4/78

4 TIBERIU BARTA

numită şi forma algebrică a polinomului f .

Propoziţia 1.1. Fie f, g ∈ C[X ]. Atunci (1) grad(f + g)

≤ max(grad(f ),grad(g));

(2) grad(f · g) = grad(f ) + grad(g).Definiţia 1.3. Fie f = anX

n + an−1X n−1 + ... + a1X + a0 ∈ C[X ] şi α ∈ C. Atunci

num˘ arul f (α) = anαn + an−1α

n−1 + ... + a1α + a0 se numeşte valoarea polinomului f ı̂n α.

Aplicaţii:

1. Să se calculeze f + g dacă:a) f = X 4 + x2 + 1, g = 2x4 − 3x5 − 4x + 17;b) f = −iX 3+iX 2+(1−i)X +1+i, g = (1+2i)X 3+(1−i)X 2−(2+5i)X +3−4i.

2. Să se calculeze f · g, dacă:a) f = X 2 + 2X + 1, g = X

−2;

b) f = iX + 2, g = −X 2 − 2iX + 4.3. Să se determine ı̂n raport cu parametrul complex m, gradul polinomului f :

a) f = (m2+3m+2)X 4+(m3+2m2−m−2)X 3+(m2+4m+3)X 2+(m2−1)X +1;b) f = (m2 + 1)X 4 + (m4 − 1)X 2 + 2iX + 1.

4. a) Fie polinomul f = X 3 − 6x + 6. Să se determine valoarea acestui polinompentru

3

7 +√

41 + 3

7 − √ 41.b) Fie polinomul f = X 4 − 4x2 + 1. Să se determine valoarea acestui polinom

pentru 4

3 − 2√ 2 + 4

3 + 2√

2.

1.2. Împărţirea polinoamelor.

Teorema 1.1. Oricare ar fi f, g ∈ C[X ], g = 0, exist˘ a şi sunt unice q, r ∈ C[X ]astfel ı̂nc ̂at f = gq + r şi grad(r) < grad(q )

Teorema 1.2. Restul ı̂mp ̆art ̧irii unui polinomului f la X − a este f (a).

Teorema 1.3. Fie f, g ∈ C[X ]. Spunem c˘ a polinomul f divide polinomul g dac˘ a exist˘ a h ∈ C[X ] astfel ı̂nc ̂at g = f · h.Definiţia 1.4. Fie f ∈ C[X ] cu grad(f ) ∈ N∗ şi a ∈ C. Spunem c˘ a a este r˘ ad˘ acin˘ a a lui f dac˘ a f (a) = 0.

Teorema 1.4. (Teorema lui Bezout) Fie f ∈ C[X ]. Num˘ arul a este r˘ ad˘ acin˘ a a lui f dac˘ a şi numai dac˘ a (X − a)|f .


5/78


Definiţia 1.5. Fie f ∈ C[X ],grad(f ) ∈ N∗ şi a ∈ C[X ]. Spunem c˘ a a este r˘ ad˘ acin˘ a cu ordin de multiplicitate k pentru f dac˘ a (X − a)k|f şi (X − a)k+1 f

Aplicaţii:

1. Să se determine câtul şi restul ı̂mpărţirii polinomului f la g:a) f = X 4 − 2X 2 + 3X + 5, g = X 2 − X + 1;b) f = X 4 + 3X 3 − 5X 2 + 7X − 1, g = X 2 + 2x + 3.

2. Folosind schema lui Horner să se determine câtul şi restul ı̂mpărţirii polinomuluif la g dacă:a) f = X 3 − 5X 2 + 4x + 9, g = X − 1;b) f = 2X 4 + 3X 2 − 5X + 12, g = X + 1;c) f = X 3 − 8, g = X − 2.

3. Să se arate că polinomul f = X 4

−3X 3 + 2X 2 + 4X

−4 se divide cu X

−1.

4. Să se determine parametrul real m astfel ı̂ncât polinomul f = X 4+mX 3+2X 2−8ı̂mpărţit la X − 2 să dea restul 4.

5. Să se determine parametrul real m astfel ı̂ncât polinomul f = X 3 + (2m + 1)X 2 +3X 2 − 12 ı̂mpărţit la X + 1 să dea restul 7.

6. Să se determine parametrii a, b astfel ı̂ncât polinomul f = X 3 + aX 2 + bX + 3ı̂mpărţit la X − 1 să dea restul 5 şi ı̂mpărţit la X + 1 să dea restul 7.

7. Să se arate că polinomul (X 2 + X −

1)4n+1

−X se divide cu X 2

−1.

8. Să se arate că polinomul (X 2 + X + 1)8n+1 − X se divide cu X 2 + 1.

9. Să se determine a, b ∈ C[X ] astfel ı̂ncât restul ı̂mpărţirii polinomuluif = X 4 + X 3 + 2X 2 + aX + b la X 2 + 1 să fie 2X + 3.

10. Să se determine polinomul de grad 3 care ı̂mpărţit la X 2 − 3X dă restul 6X − 15şi ı̂mpărţit la X 2 − 5X + 8 dă restul 2X − 7.

11. Determinaţi restul ı̂mpărţirii polinomului f = X 30 − 4X 3 + x + 5 la polinomulX 2

−1.

12. Determinaţi restul ı̂mpărţirii polinomului f = X 120 + X 4 + 3X 2 + X + 5 lapolinomul:


6/78

6 TIBERIU BARTA

a) g = X 2 − 1;b) g = X 2 + X ;c) g = X 3 − X ;d) g = X 2 + X + 1;e) g = X 3 − 1.

1.3. Teorema fundamentală a algebrei. Rădăcinile polinoamelor.

Teorema 1.5. (Teorema fundamental˘ a a algebrei) Orice polinom f ∈ C[X ] cu grad(f ) ≥ 1 admite cel put ̧in o r˘ ad˘ acin˘ a complex˘ a.

Observaţia 1.1. Dac˘ a f ∈ C[X ] cu grad(f ) = n, n ≥ 1 atunci f admite exact nr˘ ad˘ acini complexe.

Observaţia 1.2. i) Dac˘ a f ∈ C[X ] cu grad(f ) = n,f = anX n + an−1X n−1 + ... + a1X + a0 şi x1, x2,...,xn sunt r˘ ad˘ acinile lui f ,

atunci f = an(x − x1)(x − x2) · ... · (x − xn).

ii) Dac˘ a f, g ∈ C[X ], max(grad(f ),grad(g)) ≤ n şi f (x) = g(x), ∀x ∈ A, unde A ⊂ C cu card{A} ≥ n + 1 atunci f = g (f (x) = g(x), ∀x ∈ C).

Propoziţia 1.2. a) Dac˘ a f ∈ R[X ] şi admite r˘ ad˘ acina z = a + bi, a, b ∈ R, b = 0,atunci f admite şi r ̆ad˘ acina z = a − bi.

b) Dac˘ a f ∈ Q[X ] şi admite r˘ ad˘ acina z = a + √ b,a,b ∈ Q, √ b ∈ R \ Q, atunci f

admite şi r ̆ad˘ acina z 1 = a −√

b.c) Dac˘ a f = anX n + an−1X

n−1 + ... + a1X + a0 ∈ Z[X ], p , q ∈ Z, ( p, q ) = 1. Dac˘ a pq

este r˘ ad˘ acin˘ a a lui f atunci p|a0 şi q |an.

Observaţia 1.3. 1. Orice polinom cu coeficient ̧i reali are un num˘ ar par de r˘ ad˘ acini complexe.

2. Un polinom cu coeficient ̧i reali de grad impar are cel put ̧in o r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a.

Aplicaţii

1. Se consideră numărul a =√

3 − i şi polinomul f = X 4 − 4X 2 + 16.a) Să se arate că f (a) = 0.b) Să se determine rădăcinile polinomului f .c) Să se arate că polinomul f este ireductibil ı̂n Q[X ].


7/78


2. Să se arate că dacă f ∈ Z[X ] şi f (0), f (1) sunt numere impare, atunci f nu arerădăcini ı̂ntregi.

3. Se consideră polinoamele f, g ∈ Q[X ], f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, cu rădăcinile

x1, x2, x3, x4 ∈ C şi g = X 2 − 1.a) Să se determine restul ı̂mpărţirii lui f la g .b) Să se calculeze (1 − x1)(1 − x2)(1 − x3)(1 − x4).c) Să se calculeze g(x1)g(x2)g(x3)g(x4).

4. Se consideră polinomul f = X 4 − 7X 3 + 21X 2 + aX + b ∈ R[X ]. Să se determinea, b şi să se rezolve ecuaţia f (x) = 0, dacă 1 + 2i este rădăcină a lui f.

5. Să se determine P ∈ C[X ] astfel ı̂ncât (x − 3)P (x) = xP (x − 1), ∀x ∈ R[X ] şiP (3) = 6.

6. Să se arate că polinomul f = (X − 1)(X − 2)(X − 3) − 1 ∈ Z[X ] este ireductibilpeste Z.

7. În mulţimea R[X ] se consideră polinoamele f = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 şig = X 2 − X − 1.a) Să se determine câtul şi restul ı̂mpărţirii lui f la g .b) Să se arate că dacă y este rădăcină a polinomului g , atunci y3 = 2y + 1.c) Să se demonstreze că dacă y este rădăcină a polinomului g, atunci f (y) ∈ R\Q.1.4. Relaţiile lui Viéte. Dacă f = anX

n + an−1X n−1 + ... + a1X + a0 ∈ C[X ] şi

x1, x2,...,xn sunt rădăcinile polinomului f atunci avem relaţiile:

x1 + x2 + ... + xn = −an−1an

x1x2 + x1x3 + ... + xn−1xn = an−2

an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x1 · x2 · x3 · ... · xn = (−1)n a0an

.

Aplicaţii

1. Fie x, y,z ∈ C, astfel ı̂ncât x + y + z = 0. Să se demonstreze că:x2 + y2 + z 2

2 · x5 + y5 + z 5

5 =

x7 + y7 + z 7

7 .

2. Să se determine rădăcinile polinomului f = X 4 − 6X 3 + 18X 2 − 30X + 25 ştiindcă suma a două dintre ele este egală cu 4.


8/78

8 TIBERIU BARTA

3. Să se rezolve sistemul

x + y + z = 1

xyz = 1 , ştiind că x, y,z sunt numere complexe

de modul egal cu 1.

4. Să se determine toate numerele reale r, pentru care există cel puţin un triplet(x,y,z ) de numere reale nenule, astfel ı̂ncât

x2y + y2z + z 2x = xy2 + yz 2 + zx2 = rxyz.

1.5. Polinoame simetrice.

Definiţia 1.6. Polinomul f (X 1, X 2,...,X n) ∈ C[X 1, X 2,...,X n] se numeşte polinom simetric dac˘ a pentru orice permutare σ ∈ S n avem:

f (X 1, X 2,...,X n) = f (X σ(1), X σ(2),...,X σ(n)).

Polinoamele s1, s2,...,sn din C[X 1, X 2,...,X n] definite prin:

s1 = X 1 + X 2 + ... + X n

s2 = X 1X 2 + X 1X 3 + ... + X n−1X n

.............................................................

sn = X 1X 2...X n

se numesc polinoame simetrice fundamentale ı̂n nedeterminatele X 1, X 2,...,X n.

Definiţia 1.7. • Un polinom de forma aX i11 X i22 ...X inn se numeşte monom, iar prin gradul monomului se ı̂nt ̧elege suma i1 + i2 + ... + in.

• Dac˘ a f =

k1,k2,...,kn

i1,i2,...,in=0

ai1,i2,...,in

ai1,i2,...,in

X

i1

1 X

i2

2 ...X

in

n , atunci gradul polinomului

f se defineşte prin: grad(f ) =

−∞ , dac˘ a f = 0maximul gradelor termenilor s˘ ai dac˘ a f = 0 .

• Dac˘ a tot ̧i termenii unui polinom f ∈ C[X 1, X 2,...,X n] au acelaşi grad, atunci f se numeşte polinom omogen.

Teorema 1.6. (Teorema fundamental˘ a a polinoamelor simetrice) Pentru orice poli-nom simetric f (X 1, X 2,...,X n) ∈ C[X 1, X 2,...,X n] exist˘ a un unic polinom g(X 1, X 2,...,X n) ∈ C[X 1, X 2,...,X n] astfel ı̂nc ̂at P (X 1, X 2,...,X n) = g(s1, s2,...,sn).

Exemple:

1. Să se exprime polinomul f = X 41 +X 42 + X

43 −2X 21X 22 −2X 21X 23 −2X 22X 23 ı̂n funcţie

de polinoamele simetrice fundamentale.


9/78


Solut ̧ie: Exponenţii termenilor principali ai polinoamelor care vor rămâne dupăeliminarea succesivă a termenilor principali vor fi: (4, 0, 0), (3, 1, 0), (2, 2, 0), (2, 1, 1).Polinomul f va fi de forma:

f = s4

1 + as2

1s2 + bs2

2 + cs1s3, a , b , c ∈ R.X 1 X 2 X 3 s1 s2 s3 f 1 0 1 2 1 0 0 = 16 + 4a + b1 −1 1 1 −1 −1 −3 = 1 − a + b − c0 1 −1 0 −1 0 0 = b

Obţinem a = −4, b = 0, c = 8, de unde f = s41 + 8s1s3. 2. Să se exprime polinomul f = X 3 + Y 3 + Z 3 ı̂n funcţie de polinoamele simetrice

fundamentale.

Solut ̧ie: Exponenţii termenilor principali ai polinoamelor care vor rămâne după

eliminarea succesivă a termenilor principali vor fi: (3, 0, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 1). Poli-nomul f va fi de forma:

f = s31 + as1s2 + bs3, a , b ∈ R.X Y Z s1 s2 s3 f 1 0 1 2 1 0 2 = 8 + 2a1 −1 1 1 −1 −1 1 = 1 − a − b

Obţinem a = −3, b = 3, de unde f = s31 − 3s1s2 + 3s3. Notăm cu S k = X

k1 + X

k2 + ... + X

kn.

Teorema 1.7. (”Formulele lui Newton”) Pentru orice k ≥ 1 au loc formulele (−1)k−1S k + (−1)k−2S k−1s1 + ... + S 1sk−1 = ksk,

unde sk = 0, pentru k > n.

Aplicaţii:

1. Să se arate că (X + Y )5 − X 5 − Y 5 = 5XY (X + Y )(X 2 + XY + Y 2).Demonstrat ̧ie: Considerăm polinomul f (X, Y ) = (X + Y )5−X 5−Y 5 şi observămcă

f (0, Y ) = 0 ⇒ X |f (X, Y ).Analog f (X, 0) = 0

⇒ Y

|f (X, Y ) şi f (

−Y, Y ) = 0

⇒ (X + Y )

|f (X, Y ). De unde

obţinem că f (X, Y ) = XY (X + Y )g(X, Y ). Cum f este un polinom simetricomogen de grad 5, obţinem că g este un polinom simetric şi omogen de grad 2, deunde obţinem că f (X, Y ) = XY (X + Y )(aX 2 + bXY + aY 2).


10/78

10 TIBERIU BARTA

Pentru determinarea lui a, b este suficient să atribuim valori reale nedetermi-natelor. De exemplu:

f (1, 1) = 2(2a + b) ⇒ 2a + b = 15f (2, 1) = 6(5a + 2b) ⇒ 5a + 2b = 35.

Din cele două relaţii obţinem că a = 5, b = 5 şi identitatea este demonstrată.

2. Se dau numerele reale x, y, z, t astfel ı̂ncât x + y + z + t = x7 + y7 + z 7 + t7 = 0.Să se arate că x(x + y)(x + z )(x + t) = 0.

Tabăra Naţională de matematică

Demonstrat ̧ie: Considerăm polinomul f = (x+y+z +t)7−x7−y7−z 7−t7 şi scriemacest polinom ı̂n funcţie de polinoamele simetrice fundamentale. Exponenţiitermenilor principali ai polinoame care vor rămâne după eliminarea succesivă atermenilor principali vor fi: (6, 1, 0, 0), (5, 2, 0, 0), (5, 1, 1, 0), (4, 3, 0, 0), (4, 2, 1, 0),(4, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 0), (3, 2, 1, 1). polinomul f se scrie de forma:

f = 7s51s2 + as31s

22 + bs

41s3 + cs1s

32 + +ds

21s2s3 + es

31s4 + ms

22s3 + gs1s2s4 + ps3s4.

Cum s1 = 0, este nevoie să determinăm doar m, p.Fie x = y = z = 1, t = −3, obţinem −288m + 24 p = 2184, iar pentru x = 0,y = z = 1, t = −2, rezultă −18m = 125.Soluţia sistemului este m = −7, p = 7.Din ipoteză avem că x7 + y7 + z 7 = x + y + z + t = 0 ⇒ −7s22s3 + 7s3s4 = 0 ⇔s3(s

22 − s4) = 0 ⇒ s3 = 0 sau s4 = s22.

x, y, z, t sunt rădăcinile ecuaţiei u4 − s1u3 + s2u2 − s3u + s4 = 0.Dacă s3 = 0, rezultă că x, y, z, t sunt soluţiile ecuaţiei u

4 + s2u2 + s4 = 0, care

sunt de forma

±u1,

±u2 şi relaţia x(x + y)(x + z )(x + t) = 0 este verificată.

Dacă s4 = s22, din formulele lui Newton obţinem S 4 = −2s22 ≤ 0, deci s2 = 0 şiS 4 = 0 ⇒ x = y = z = t = 0 şi relaţia x(x+y)(x+z )(x+t) = 0 este verificată.

2. Permutări

Definiţia 2.1. O funct ̧ie bijectiv˘ a σ : {1, 2, 3,...,n} → {1, 2,...,n} se numeşte permutare de n elemente sau permutare de ordin n. Mult ̧imea permut˘ arilor de ordin n se noteaz˘ a cu S n.

Dacă σ ∈ S n notăm σ =

1 2 ... nσ(1) σ(2) ... σ(n)

. Permutarea e =

1 2 ... n1 2 ... n

se numeşte permutarea identică de ordin n.

Observaţia 2.1. |S n| = n!.Definiţia 2.2. Fie D = {i1, i2,...,i p} ⊂ {1, 2,...,n}. Vom numi ciclu permutarea ϕcu propriet˘ at ̧ile:


11/78


i) ϕ(i1) = i2, ϕ(i2) = i3,...,ϕ(i p−1) = i p, ϕ(i p) = i1;ii) dac˘ a i /∈ D atunci ϕ(i) = i.

Mult ̧imea D se numeşte orbita ciclului ϕ. Not˘ am ciclul ϕ = (i1, i2,...,i p). Se numeşte lungime a ciclului num˘ arul de elemente ale mult ̧imii D. Un ciclul de lungime 2 se numeşte transpozit ̧ie.

Definiţia 2.3. Fie σ, τ dou˘ a cicluri din S n, iar Oσ, Oτ orbitele lor. Dac˘ a orbitele Oσ, Oτ sunt disjuncte, adic˘ a Oσ ∩ Oτ = ∅, ciclurile σ şi τ se numesc disjuncte.Propoziţia 2.1. Dac˘ a σ, τ ∈ S n sunt cicluri disjuncte, atunci στ = τ σ.Demonstrat ̧ie: Fie i ∈ {1, 2,...,n}. Dacă n /∈ Oσ ∪ Oτ , atunci σ(i) = τ (i) = i, deunde σ(τ (i)) = τ (σ(i)) = i.

Dacă i ∈ Oσ \ Oτ , atunci σ(τ (i)) = σ(i), iar τ (σ(i)) = σ(i)(σ(i) /∈ Oτ ). Analog setratează şi cazul i ∈ Oτ \ Oσ. Propoziţia 2.2. Orice permutare σ

∈ S n, σ

= e, se descompune ca un produs finit

de cicluri disjuncte. Mai mult aceast˘ a descompunere este unic˘ a, abstract ̧ie f˘ acˆ and de ordinea factorilor.

Pentru a descompune o permutare σ ∈ S n, diferită de permutarea identică, procedămastfel:

• Considerăm i, astfel ı̂ncât σ(i) = i.• Considerăm elementele distincte i = σ0(i), σ(i), σ2(i),...,σm−1(i), unde m este

cel mai mic număr natural nenul astfel ı̂ncât σm(i) = i. notămτ = (i, σ(i), σ2(i),...,σm−1(i)).

• Dacă nu există j, astfel ı̂ncât σ( j) = j şi j /∈ Oτ , atunci σ = τ .

• Dacă există j

∈ {1, 2,..,n

} ce nu apare ı̂n Oτ , dar pentru care σ( j)

= j,

considerăm elementele distincte j = σ0( j), σ( j), σ2( j),...,σk−1( j), unde k estecel mai mic număr natural nenul astfel ı̂ncât σk( j) = j.

• După un număr finit de paşi ajungem să epuizăm toate elementele distincteale permutării σ.

Exemplu: Să se scrie permutarea σ =

1 2 3 4 5 6 7 83 2 6 5 7 1 8 4

ca produs de

cicluri disjuncte.

Solut ̧ie: σ = (1, 3, 6)(4, 5, 7, 8).

Propoziţia 2.3. Orice ciclu σ ∈ S n este un produs de transpozit ̧ii.

Demonstrat ̧ie: Dacă σ = (i0, i1,...,im−1), atunci σ = (i0, im−1)...(i0, i2)(i0, i1).

Observaţia 2.2. (i, j)(i, j) = e.

Corolar 2.1. Orice permutare din S n este un produs finit de transpozit ̧ii.


12/78

12 TIBERIU BARTA

Definiţia 2.4. Fie σ ∈ S n. O pereche (i, j) se numeşte inversiune a permut˘ arii σdac˘ a i < j şi σ(i) > σ( j). Num˘ arul de inversiuni a permut˘ arii σ se noteaz˘ a cu m(σ).

Definiţia 2.5. Dac˘ a σ ∈ S n este o permutare, definim (σ) =

1≤i


13/78


RMT 1/1991-Aurel Doboşan

Solut ̧ie: Ecuaţia xσx = e este echivalentă cu (x−1)2 = σ.Rezolvăm ecuaţia y2 = σ.

Dacă y(1) = 1 ⇒ y(1) = y2

(1) = 5, contradicţie.Dacă y(1) = 2 ⇒ y(2) = y2(1) = 5 ⇒ y(5) = y2(2) = 3 ⇒y(3) = y2(5) = 4 ⇒ y(4) = y2(3) = 1, am obţinut y =

1 2 3 4 52 5 4 1 3

şi cum

x = y−1, avem x =

1 2 3 4 54 1 5 3 2

.

y(1) = 3 ⇒ y(3) = y2(1) = 5 ⇒ y(5) = y2(3) = 1 ⇒ y(1) = y2(5) = 2,contradicţie. În mod asemănător se arată că nu este posibil ca y(1) = 4 sauy(1) = 5.

2. Fie σ ∈ S n. Să se arate că există k ∈ N∗ astfel ı̂ncât σk = e.Demonstrat ̧ie: Fie M = {σn|n ∈ N∗} ⊂ S n. Deoarece S n este finită, rezultă căM este finită. Obţinem că exită p > q, p, q ∈ N∗, astfel ı̂ncât σ p = σq. Prinsimplificare avem σ p−q = e. Notăm p − q = k şi obţinem σk = e.

3. Se dă permutarea σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 96 4 7 9 8 3 5 1 2

.

a) Să se determine cel mai mic număr natural n ∈ N∗ astfel ı̂ncât σn = e.b) Să se arate că ecuaţia x2 = σ nu are soluţii reale.

Solut ̧ie: a) σ = (1, 6, 3, 7, 5, 8)(2, 4, 9) şi σn = (1, 6, 3, 7, 5, 8)n(2, 4, 9)n. Cum pen-tru unn ciclu τ de lungime m, cel mai mic număr k pentru care τ k = e este m,obţinem că n = 6.

b) Permutarea σ este impară, iar x2 este o permutare pară, deci ecuaţia x2 = σnu are soluţii.

4. În mulţimea permutărilor de ordin n există transpoziţia (i, j), 1 ≤ i < j ≤ n,pentru care avem m((i, j)) =

n(n − 1)2

− 1. Să se determine n.GM 11/1985-Irina Stănescu

Demonstrat ̧ie: m((i, j)) = 2( j − i) − 1 şi de aici obţinem 4( j − i) = n(n − 1). Din j − i ≤ n − 1 rezultă că n ≤ 4. Din j − i ≥ 1 avem că n(n − 1) ≥ 4 ⇒ n ≥ 3.Dacă n = 3, obţinem 2( j − i) = 3, contradicţie.Dacă n = 4, rezultă că 2( j

−i) = 6

⇒ j

−i = 3, deci permutarea este (1, 4).

5. Se dă permutarea σ =

1 2 3 42 1 4 3

. Să se determine permutările din S 4 astfel

ı̂ncât σϕ = ϕσ.


14/78

14 TIBERIU BARTA

GM 5/1987-Marcel Chiriţă

Demonstrat ̧ie: Fie ϕ ∈ S 4 care are proprietatea că σϕ = ϕσ ⇔ σ = ϕ(1, 2)(3, 4)ϕ−1.

1 2 3 42 1 4 3 = ϕ(1) ϕ(2) ϕ(3) ϕ(4)ϕ(2) ϕ(1) ϕ(4) ϕ(3)de unde deducem {1, 2} = {ϕ(1), ϕ(2)}, {3, 4} = {ϕ(3), ϕ(4)} sau {1, 2} = {ϕ(3), ϕ(4)},{3, 4} = {ϕ(1), ϕ(2)}. Se obţin permutările

1 2 3 41 2 3 4

,

1 2 3 42 1 3 4

,

1 2 3 42 1 4 3

,

1 2 3 41 2 4 3

,

1 2 3 43 4 1 2

,

1 2 3 43 4 2 1

,

1 2 3 44 3 1 2

,

1 2 3 44 3 2 1

.

6. Pentru o permutare ϕ a mulţimii {

1, 2, 3,...,n}

se notează S n(ϕ) =n

k=1

√ k

ϕ(k). Să

se arate că S n(ϕ) este minimă dacă ϕ este permutarea identică, apoi să se calculezelimn→∞

S n(ϕ).

GM 7-8/1987

Solut ̧ie: Fie ϕ ∈ S n permutarea pentru care suma este minimă. Dacă ϕ(i) <ϕ( j), ∀1 ≤ i < j ≤ n, atunci ϕ = e. Presupunem că ϕ = e, atunci exitaă1 ≤ i < j ≤ nm astfel ı̂ncât ϕ(i) > ϕ( j). Fie τ = ϕ(i, j), atunci

S n(ϕ) − S n(τ ) =n

k=1√

k

ϕ(k) −

n

k=1√

k

τ (k) =

√ i

ϕ(i) +

√ j

ϕ( j) −

√ i

τ (i) −

√ j

τ ( j) =

(√ j − √ i)(ϕ(i) − ϕ( j))ϕ(i) · ϕ( j) > 0 ⇒ S n(ϕ) > S n(τ ),

absurd, contrazice alegerea lui σ, ceea ce implică σ = e.

Folosim inegalitatea 2√

k + 1 − 2√ k < 1√ k

, ∀k ≥ 1 şi obţinem:

2√

n + 1 − 2 ≤n

k=1

1√ k

şi cum limn→∞

(2√

n + 1 − 2) = ∞, rezultăn

k=11√ k

= ∞.

S n(ϕ) ≥ S n(e) =n

k=1

1√ k

, ∀ϕ ∈ S n ⇒ limn→∞

S n(ϕ) = ∞, ∀ϕ ∈ S n.


15/78


7. Dacă S n, n ≥ 3 este mulţimea permutărilor de grad n, să se arate că nu existăfuncţii surjective f : S n → S n, f (x) = xk, k ∈ {2, 3,...,n}.

GM 9/1989-Marcel Chiriţă, Jenică Crânganu

Demonstrat ̧ie: Presupunem că există k ∈ 1, n, astfel ı̂ncât f : S n → S n să fiesurjectivă. Deoarece S n este multime finită rezultă că f este bijectivă.Considerăm ciclul σ = (1, 2, 3,...,k), atunci f (σ) = e = f (e), absurd, deci nuexistă astfel de funcţii.

8. Fie σ ∈ S 15,

σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1515 5 14 11 12 8 4 3 9 7 13 2 10 6 1

.

a) Să se arate că există σ1, σ2, σ3, σ4

∈ S 15

\ {e

} astfel ı̂ncât σn = σn1 σ

n2 σ

n3 σ

n4 .

b) Să se calculeze σ60.c) Să se descompună σ ı̂n produs de transpoziţii.

Concursul anual al rezolvitorilor Gazetei Matematice-1994-Şt. Alexe

Solut ̧ie: a) Descompunem σ ı̂n produs de ciclii disjuncţi

σ = (1, 15)(2, 5, 12)(3, 14, 6, 8)(4, 11, 13, 10, 7) = σ1σ2σ3σ4

şi cum σiσ j = σ jσi, ∀i, j ∈ 1, 4 ⇒ σn = σn1 σn2 σn3 σn4 .b) Avem σ21 = σ

32 = σ

43 = σ

54 = e, atunci σ

60 = (σ21)30(σ32)

20(σ43)15(σ54)

12 = e.c)

σ = (1, 15)(2, 12)(2, 5)(3, 8)(3, 6)(3, 14)(4, 7)(4, 10)(4, 13)(4, 11).

9. Fie H ⊂ S n, H = ∅ cu proprietatea că ∀σ, τ ∈ H ⇒ στ ∈ H .a) e ∈ H ;b) dacă σ ∈ H ⇒ σ−1 ∈ H.Solut ̧ie: Dacă σ ∈ H se arată imediat (inducţie matematică) că σn ∈ H, ∀n ∈ N∗.a) Fie σ ∈ H , atunci există k ∈ N∗ astfel ı̂ncât σk = e (vezi problema 2) , de underezultă e ∈ H .b) Dacă σ ∈ H , fie k ∈ N∗ astfel ı̂ncât σk = e ⇒ σ−1 = σk−1 ∈ H .

10. Fie σ ∈ S n, n ≥ 3. Dacă σx = xσ, ∀x ∈ S n, atunci σ = e.

Demonstrat ̧ie: Fie i ∈ {1, 2, 3,...,n} şi α = 1 2 ... i − 1 i i + 1 ... n2 3 ... i + 1 i i + 2 ... 1

.

σ(α(i)) = α(σ(i)) ⇔ σ(i) = α(σ(i))


16/78

16 TIBERIU BARTA

şi cum se observă că α(k) = k ⇒ k = i, obţinem că σ(i) = i. Aşadarσ(i) = i, ∀i ∈ {1, 2, 3,...,n}, deci σ = e.

11. Fie n

∈N, n

≥ 3 şi σ

∈ S n o permutare ce comută cu permutările

1 2 3 ... n − 1 n2 1 3 ... n − 1 n

şi

1 2 3 ... n − 1 n2 3 4 ... n 1

.

Arătaţi că σ este permutarea identică din S n.

Concursul interjudeţean ”Academician Radu Miron”-Vaslui 2001

3. Ridicarea la putere a unei matrice pătratice

Vom prezenta mai multe metode pentru calculul lui An, unde A ∈ M p(C) şin ∈ N∗.

I. Inducţia matematică:Dându-se o matrice A ∈ M p(C), se calculează A2, A3, A4,se observă o formul̆a pentru An şi se demonstrează cu ajutorul inducţieimatematice formula găsită.

Exemple: Să se calculeze An, ı̂n cazurile:

a) A = 1 10 1.

b) A =

1 0 10 1 01 0 1

.

Solut ̧ie: a) A2 =

1 20 1

, A3 =

1 30 1

.

Presupunem că An =

1 n0 1

şi demonstrăm că An+1 =

1 n + 10 1

An+1 = AnA = 1 n0 1

1 n + 10 1 =

1 n + 10 1 ,

rezultă că An =

1 n0 1

, ∀n ≥ 1.


17/78


b) A2 =

2 0 20 1 0

2 0 2

, A3 =

4 0 40 1 0

4 0 4

.

Presupunem că An =2n−1 0 2n−10 1 0

2n−1 0 2n−1

şi demonstrăm că An+1 = 2n 0 2n0 1 02n 0 2n

An+1 = AnA =

2n−1 0 2n−10 1 0

2n−1 0 2n−1

1 0 10 1 0

1 0

=

2n 0 2n0 1 0

2n 0 2n

,

rezultă că An =

2n−1 0 2n−1

0 1 02n−1 0 2n−1

, ∀n ∈ N.

II. Binomul lui Newton.Fie matricea A ∈ M p(C). Se scrie matricea A = B +C ,cu BC=CB şi se aplica binomul lui Newton pentru a calcula (B + C )n.

Exemple: Să se calculeze An, ı̂n cazurile:

a) A =

2 11 2

.

b) A =

1 1 10 1 10 0 1

.

Solut ̧ie: a) A =

1 00 1

+

1 11 1

= I 2 + B, unde B =

1 11 1

. Se arată că

B2 = 2B de unde rezultă Bn = 2n−1B, ∀n ∈ N∗.

An = (B + C )n =n

k=0

C knI n−k2 B

k = I 2 +n

k=1

C kn2k−1B =

= I 2 +

nk=1

C kn2k

2 B = I 2 +

3n − 12

B = 1

2

3n + 1 3n − 13n − 1 3n + 1


18/78

18 TIBERIU BARTA

b) Scriem A = I 3+B, unde B =

0 1 10 0 1

0 0 0

. Calculăm B2 =

0 0 10 0 0

0 0 0

, B3 =

O3 rezultă că Bn = O3,

∀n ≥

3.

An = (I 3 + B)n = C 0nI

n3 + C

1nI

n−13 B + C

2nI

n−23 B

2 = I 3 + nB + n(n − 1)

2 B2 =

=

1 n n(n+1)20 1 n

0 0 1

III. Metoda şirurilor recurente

Exemplu Să se calculeze An dacă A = 0 1 01 0 1

0 1 0Solut ̧ie:

A2 =

1 0 10 2 0

1 0 1

, A3 =

0 2 02 0 2

0 2 0

Presupunem că An =

an bn anbn 2an bn

an bn an

şi demonstrăm că An+1 =

an+1 bn+1 an+1bn+1 2an+1 bn+1

an+1 bn+1 an+1

An+1 = A

·An =

0 1 01 0 1

0 1 0an bn anbn 2an bnan bn an =

bn 2an bn2an 2bn 2anbn 2an bn . Obţinem

că an+1 = bn, bn+1 = 2an, ceea ce implică an+1 = 2an−1.Ecuaţia caracteristică asociată şirului (an)n≥1 este r

2 = 2 cu soluţiiler1,2 = ±

√ 2. Şirul an = c1(

√ 2)n + c2(−

√ 2)n şi cum a1 = 0, a2 = 1 rezultă

an = (√

2)n + (−√ 2)n4

, bn = (√

2)n+1 + (−√ 2)n+14

.

IV. Utilizarea teoremei lui Cayley-Hamilton

Propoziţia 3.1. (Teorema lui Cayley-Hamilton pentru matrice ı̂n

M2(C) )

Fie A =a b

c d

∈ M2(C), atunci A2 − tr(A)A + det(A)I 2 = O2, unde tr(A) = a + d(urma matricei A) şi det(A) = ad − bc (determinantul lui A).


19/78


Solut ̧ie: Se verifică prin calcul.

Propoziţia 3.2. Dac˘ a A ∈ M2(R), exist˘ a şirurile (xn)n∈N, (yn)n∈N astfel ı̂nc ̂at An

= xnA + ynI 2, ∀n ∈ N. ( A0

= I 2)Demonstrat ̧ie:

A0 = I 2 = 0 · A + 1 · I 2, A = 1 · A + 0 · I 2 ⇒ x0 = 0, y0 = 1, x1 = 1, y1 = 0.Din Propoziţia 3.1 obţinem

A2 = x2A + y2I 2, unde x2 = a + d, y2 = bc − ad.Presupunem că An = xnA + ynI 2 şi demonstrăm că A

n+1 = xn+1A + yn+1I 2.

An+1 = A · An = A(xnA + ynI 2) = xnA2 + ynA = xn(x2A + y2I 2) + ynA =

= (x2xn

+ yn

)A + xn

y2I 2 ⇒

xn+1 = x2xn + yn

yn+1 = y2xn.

Exemplu: Dacă A =

1 −11 3

să se calculeze An.

Solut ̧ie: tr(A) = 4, det(A) = 4 şi deci A2 = 4A−4I 2. Matricea An = xnA+ynI 2cu x0 = 0, x1 = 1. Obţinem recurenţele:

xn+1 = 4xn + ynyn+1 = −4xn

⇒ xn+1 =4xn − 4xn−1.Ecuaţia caracteristică asociată şirului (xn)n∈N este r

2 = 4r − 4 cu soluţiiler1 = r2 = 2

⇒ xn = c12

n + nc22n şi din x0 = 0, x1 = 1 obţinem

xn = n2n−1, yn = (1 − n)2n.An = n2n−1A + (1 − n)2nI 2 =

2n−1 · (2 − n) −n2n−1

n · 2n−1 2n(n + 2)

Propoziţia 3.3. (Teorema lui Cayley-Hamilton pentru matrice ı̂n M3(C) )

Fie A =

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

∈ M3(R), atunci A3−tr(A)A2+S (A)A−det(A)I 3 =

O3, unde tr(A) = a11 + a22 + a33

S (A) = a11 a12a21 a22 + a11 a13a31 a33 + a22 a23a32 a33şi det(A) este determinantul matricei A.


20/78

20 TIBERIU BARTA

Solut ̧ie: Se verifică prin calcul.

Exemplu: Dacă A = 1 0 01 0 1

0 1 0 să se calculeze An.

Solut ̧ie:

tr(A) = 1, S (A) = −1, det(A) = −1 ⇒ A3 = A2 + A − I 3.Demonstrăm că există (xn)n, (yn)n, (z n)n astfel ı̂ncât A

n = xnA2 + ynA + z nI 3.

Avem An+1 = xnA3+ynA+z nA şi dacă ţ inem cont de A

3 = A2+A−I 3 obţinemrecurenţele:

xn+1 = xn + ynyn+1 = xn + z nz n+1 =

−xn

⇒

z n = −xn−1yn = xn−1 + z n−1 = xn−1 − xn−2xn+1 = xn + xn−1

−xn−2

Ecuaţia caracteristică asociată şirului (xn)n este t3 − t2 − t + 1 = 0 cu rădăcinile

t1 = t2 = 1, t3 = −1. Şirul este de forma xn = c1+nc2+(−1)nc3 şi din condiţiileiniţiale x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1 rezultă că

xn = (−1)n + 2n − 1

4 , yn =

2(−1)n−1 + 24

, z n = (−1)n − 2n + 3

4 .

An =

1 0 0(−1)n−1 + 2n + 1

4

(−1)n + 12

(−1)n−1 + 12

(−

1)n + 2n−

1

4

(−

1)n−1 + 1

2

(−

1)n + 1

2

Prezentăm o altă metodă pentru calculul lui An ce utilizează teorema ı̂mpărţiriicu rest pentru polinoame.

V. Utilizarea polinomul caracteristic al unei matrice

Exemplu Dacă A =

1 0 01 0 1

0 1 0

să se calculeze An.

Solut ̧ie: Polinomul caracteristic asociat matricei A este x3

− x2

− x + 1, cu

rădăcinile x1 = x2 = 1, x3 = −1.Din teorema ı̂mpărţirii cu rest avem că există a, b, c ∈ R astfel ı̂ncât

xn = (x3 − x2 − x + 1)g(x) + ax2 + bx + c.


21/78


Obţinem sistemul

a + b + c = 1

2a + b = n

a − b + c = (−1)ncu soluţia

a = (−1)n + 2n − 1

4 , b =

1 − (−1)n2

, c = (−1)n − 2n + 3

4

şi cum A3 − A2 − A + I 3 = 0 obţinem că

An = aA2 + bA + cI 3 =

1 0 0(−1)n−1 + 2n + 1

4

(−1)n + 12

(−1)n−1 + 12

(−1)n + 2n − 14

(−1)n−1 + 12

(−1)n + 12

VI. Calculul puterilor unei matrice de forma

a b−b a

.

Propoziţia 3.4. Fie funct ̧ia : C → M2(R) definit˘ a prin f (a + bi) =

a b−b a

, a , b ∈ R. Sunt adev˘ arate urm˘ atoarele relat ̧ii:

(a) f (z 1 · z 2) = f (z 1)f (z 2), ∀z 1, z 2 ∈ C.(b) f (z n) = (f (z ))n, ∀z ∈ C.

Solut ̧ie: Verificare prin calcul.

Rezultatul de mai sus ne arată că a ridica la putere o matrice de

forma

a b−b a

este echivalent cu a ridica la putere numărul complex

z = a + bi.

Exemplul 1 Să se calculeze An, dacă A =

cos α sin α− sin α cos α

.

Solut ̧ie: Fie z = cos α + i sin α şi funcţia f definită ı̂n Propoziţia3.4, atunci A =

f (z ), rezultă că An = f (z n) = f (cos nα + i sin nα) =

cos nα sin nα− sin nα cos nα


22/78

22 TIBERIU BARTA

3.1. Aplicaţii.

1. Se dă matricea A =

1 −11 1

. Să se calculeze An.

O.L. Buzău, 2013Solut ̧ie: Fie z = 1 − i rezultă că A = f (z ), unde f este definită ı̂n Propoziţ ia 3.4.

An = f ((1 − i)n) = f

2n

2

cos

7nπ

4 + i sin

7nπ

4

= 2

n

2

cos 7nπ

4 sin

7nπ

4

− sin 7nπ4

cos 7nπ

4

2. Se consideră matricea A =

2 33 2

a) Arătaţi că pentru orice n natural nenul există xn, yn

∈ Zn astfel ı̂ncât

An = xnA + ynI 2.

b) Calculaţi limn→∞

xnyn

.

O.L Gorj, 2013

Solut ̧ie: a) Din relaţia lui Cayley-Hamilton avem că A2 = 4A + 5I 2.Presupunem că există xn, yn ∈ Z astfel ı̂ncâ An = xnA + ynI 2 şi arătăm căexistă xn+1, yn+1 ∈ Z astfel ı̂ncât An+1 = xn+1A + yn+1I 2.

An+1 = AnA = xnA2 + ynA = (4xn + yn)A + 5xnI 2

de unde obţinem că xn+1 = 4xn + yn ∈ Zyn+1 = 5xn ∈ ZObţinem că xn =

5n − (−1)n6

, yn = 5n + 5 · (−1)n

6 .

b)

limn→∞

xnyn

= 1.

3. Fie z , v ∈ C, z = 0 două numere complexe şi matricea X =

z v0 z

∈ M2(C).

a) Determinaţi X n pentru n

∈N∗.

b) Determinaţi z , v ∈ C pentru care X n = 1 n0 1

, n ∈ N∗, n ≥ 2.

O.L Harghita, 2013


23/78


Solut ̧ie: a) X = zI 2 + vA, unde A =

0 10 0

. Observăm că A2 = O2.

X

n

= z

n

I 2 + nz

n−1

vA = z n nvz n−1

0 z n b) Obţinem ecuaţiile

z n = 1

vz n−1 = 1 ⇒ z k = cos 2kπ

n + i sin

2kπ

n , k = 0, (n − 1) şi

yk = z k.

4. Fie matricea A =

1 11 0

. Calculaţi An, n ∈ N∗.

Solut ̧ie: Din teorema lui Cayley-Hamilton avem că: A2 = A + I 2. Presupunem căAn = xnA + ynI 2 şi arătăm că A

n+1 = xn+1A + yn+1I 2.

An+1 = AnA = xnA2 + ynA = (xn + yn)A + ynI 2.

Rezultă că avem

xn+1 = xn + ynyn+1 = xn

. Obţinem că şirul (xn)n este definit prin

x1 = x2 = 1 şi xn+1 = xn + xn−1, rezultă

xn =

√ 5

5 ·

1 +√

5

2

n−

√ 5

5 ·

1 − √ 52

n, yn =

√ 5

5 ·

1 +√

5

2

n−1−

√ 5

5 ·

1 − √ 52

n−1.

An

= xn+1 xnxn yn

5. Se consideră z ∈ C cu proprietatea z 2 + z = −1 şi matricea A = 1 0 0z 2 1 0

z z 2 1

∈

M3(C). Calculaţi An, unde n este un număr natural nenul.O.L Sibiu, 2013

Solut ̧ie:

A = I 3 + B, unde B =

0 0 0z 2 0 0z z 2 0

⇒ B2 = 0 0 00 0 0z 0 0

, B3 = O3.


24/78

24 TIBERIU BARTA

An = I 3 + nB + n(n − 1)

2 B2 =

1 0 0nz 2 1 0

n(n + 1)

2 z nz 2 1

.


1 0 1

−1 1 12

0 0 1

. Calculaţi A2013.

O.L Vrancea, 2013

Solut ̧ie: Polinomul caracteristic asociat matricei A este (x−1)3. Aplicăm teoremaı̂mpărţirii cu rest şi obţinem că există g ∈ R[X ], a , b , c ∈ R astfel ı̂ncât

xn = (x

−1)3g + ax2 + bx + c.

Obţinem sistemul

a + b + c = 1

2a + b = n

2a = n(n − 1)⇒ a = n(n − 1)

2 , b = 2n−n2, c = n

2 − 3n + 22

.

A = aA2 + bA + cI 3 =

1 0 n

−n 1 2n − n2

20 0 1

7. Fie A =cos α + sin α 2sin α− sin α cos α − sin α. Să se calculeze An, n ∈ N.

O.L Vrancea, 2013

Solut ̧ie: Metoda I. Pentru sin α = 0, obţinem A = I 2 şi deci An = I 2 sau

An = (−1)nI 2.Dacă sin α = 0, atunci polinomul caracteristic asociat matricei A estex2 − 2x cos α + 1, cu rădăcinile cos α ± i sin α. Din teorema ı̂mpărţirii cu restpentru polinoamele xn şi x2 − 2x cos α + 1 obţinem că există a, b ∈ R şi f ∈ R[X ]astfel ı̂ncât

xn = (x2

−2x cos α + 1)f (x) + ax + b.

Dacă ı̂n relaţia precedentă se ı̂nlocuieşte x = cos α + i sin α, obţinem:

a = sin nα

sin α , b = −sin(n − 1)α

sin α


25/78


şi cum An = aA + BI 2, rezultă

An =

cos nα + sin nα 2sin nα

− sin nα cos nα − sin nα

.

Metoda II. Definim funcţia f : C → M2(R) prin

f (a + bi) =

a + b 2b−b a − b

= aI 2 + bB, a, b ∈ R, B =

1 2−1 −1

.

Vom demonstra că f (z 1z 2) = f (z 1) · f (z 2), de unde se obţine căf (z n) = (f (z ))n, ∀n ∈ N∗.Fie z 1 = a + bi, z 2 = c + di, a, b, c, d ∈ R, atunci:

f (z 1)f (z 2) = (aI 2 + bB)(cI 2 + dB) = acI 2 + (ad + bc)B + bdB2

şi cum B2 = I 2 avem

f (z 1)f (z 2) = (ac − bd)I 2 + (ad + bc)Bf (z 1z 2) = f (ac − bd + i(ad + bc)) = (ac − bd)I 2 + (ad + bc)B

ceea ce arată că f (z 1z 2) = f (z 1)f (z 2) şi deci f (z n) = (f (z ))n.Matricea A = f (cos α + i sin α), rezultă că

An = f ((cos α + i sin α)n) = f (cos nα + i sin nα) ⇒

An =

cos nα + sin nα 2sin nα

− sin nα cos nα − sin nα

.

8. Fie matricea A =

2m 0 m0 m 00 m m

. Calculaţi An.RMT 1/2013, Neculai Stancu

Solut ̧ie: Fie A1 =

2 0 10 1 0

0 1 1

= I 3 + B, unde B =

1 0 10 0 0

0 1 0

. Se arată uşor că

B2 =

1 1 10 0 00 0 0

şi Bk = B2, ∀k ≥ 2.

An1 = (I 3 + B)n = C 0nI 3 + C

1nB +

nk=2

C knB2.


26/78

26 TIBERIU BARTA

Obţinem

A

n

1 =

n

k=0C kn

n

k=2C kn

n

k=1C kn

0 n 00 n 1

=

2n 2n − n − 1 2n − 10 n 00 n 1

şi An = mnAn1 .


1 0 1

−1 1 −12

0 0 1

. Calculaţi An.

O.L. Focşani-Adjud, 2013

Solut ̧ie: Polinomul caracteristic al matricei A este f A = (1 − X )3. Din teoremaı̂mpărţirii cu rest obţinem că există a, b, c ∈ R astfel ı̂ncât

X n = (1 − X )3 + aX 2 + bX + c.

Obţinem sistemul:

a + b + c = 1

2a + b = n

2a = n(n − 1)

2

, cu soluţia:

a = n(n − 1)

2

, b = 2n

−n2, c =

n2 − 3n + 2

2

.

Obţinem că An = aA2 + bA + cI 3 =

1 0 n

−n 1 −n2

20 0 1

.

10. Fie matricea A =

2011 2012 20132013 2011 0

−2012 0 2011

. Să se calculeze An, unde n ∈ N.

OL Dolj, 2013

Solut ̧ie: Considerăm matricea B = a a + 1 a + 2a + 2 a 0

−a − 1 0 a. Calcul̆am Bn şi

observă că dacă a = 2011 rezultă B = A.


27/78


Polinomul caracteristic al lui B este (X − a)3 şi există m, p, r ∈ R şi g ∈ R[X ],astfel ı̂ncât

X n = (X − a)3g + mX 2 + pX + r.

Obţinem sistemulma

2

+ pa + r = an

2ma + p = nan−1

2m = n(n − 1)an−2, cu soluţia:

m = n(n − 1)

2 , p = (2n − n2)an−1, r = (n

2 − 3n + 2)an2

.

Rezultă că Bn = mB2 + pB + rI 3 =

11. Se dă mulţimea de matrice

M = A(x) = 1

−x 0 x

0 1 0x 0 1 − x

|x ∈ Ra) Să se arate că A(a) · A(b) = A(a + b − 2ab), ∀a, b ∈ R;b) Să se calculeze An(x), n ∈ N∗

OL Arad, 2002

Demonstrat ̧ie: a) A(x) = I 3 + xB, unde B =

−1 0 10 0 0

1 0 −1

, iar B2 = −2B.

A(a)A(b) = (I 3 + aB)(I 3 + bB) = I 3 + (a + b)B + abB2 = I 3 + (a + b − 2ab)B.

b) Observăm că a + b − 2ab = −2a − 12

b − 1

2

+ 1

2 şi se arată, utilizând

inducţia matematică, că An(x) = A

(−2)n−1

x − 1

2

n+

1

2

.

12. Se consideră şirul lui Fibonacci (F (n))n∈N, F (0) = 0, F (1) = 1, F (n + 1) = F (n) +

F (n − 1), ∀n ≥ 1 şi matricea A =

0 11 −1

∈ M2(R).

a) Să se arate că

An = (−1)nF (n − 1) −F (n)

−F (n) F (n + 1) , ∀n ∈ N.

b) Să se demonstreze relaţia:

F (F (n + 1)) = F (F (n) + 1)F (F (n + 1)) + F (F (n))F (F (n + 1) − 1), ∀n ∈ N.


28/78

28 TIBERIU BARTA

Concursul ”Alexandru Papiu-Ilarian”, Vasile Pop, 2012

Demonstrat ̧ie: a) Inducţie matematică.b)

AF (n+2)

= AF (n+1)

AF (n)

⇔F (F (n + 2) − 1) −F (F (n + 2))−F (F (n + 2)) F (F (n + 2) + 1)

=

F (F (n + 1) − 1) −F (F (n + 1))−F (F (n + 1)) F (F (n + 1) + 1)

F (F (n) − 1) −F (F (n))−F (F (n)) F (F (n) + 1)

.

Identificând termenii de pe poziţia (1, 2) din cele două matrice se obţine relaţiadorită.

13. Fie A ∈ C şi matricea A =

1 0 a0 1 −aa a 1

. Calculaţi An, n ∈ N∗.

GM 1/2012

Solut ̧ie:

A = I 3 + aB, B =

0 0 10 0 −1

1 1 0

.

B2 =

1 1 0−1 −1 0

0 0 0

, B3 = O3,

atunci An = C 0nI 3+C 1naB+C

2na

2B2 =

1 + n(n − 1)a2

2

n(n − 1)a22

na

−n(n − 1)a2

2 1 − n(n − 1)a

2

2 −na

na na 1

4. Determinanţi

Definiţia 4.1. Dac˘ a A ∈ Mn(C), A = (aij) şi S n este mult ̧imea permut˘ arilor de ordin n, atunci num˘ arul

det(A) = σ∈S n (σ)a1σ(1)a2σ(2)...anσ(n)se numeşte determinantul matricei A.


29/78


Propoziţia 4.1. Dac˘ a A ∈ Mn(C), atunci:i) det(A) = det(At);

ii) det(AB) = det(A) · det(B);iii) det(A

k

) = [det(A)]

k

, ∀k ∈ N∗

;iv) det(λA) = λn det(A), ∀λ ∈ C.4.1. Determinantul Vandermonde. Determinantul Vandermonde se noteazăcu V (a1, a2,...,an) şi este definit prin

V (a1, a2,...,an) =

1 1 · · · 1a1 a2 · · · ana21 a

22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·an−11 a

n−12 · · · an−1n

.

Exemplu 1. V (a1, a2) = 1 1a1 a2 = a2 − a1.Exemplu 2. V (a1, a2, a3) =

1 1 1

a1 a2 a3a21 a

22 a

23

Pentru a calcula acest determinant efectuăm L3−a3L2 şi apoi L2−a3L1 şi obţinem

V (a1, a2, a3) =

1 1 1a1 a2 a3

a1(a1 − a3) a2(a2 − a3) 0

=

1 1 1a1 − a3 a2 − a3 0

a1(a1 − a3) a2(a2 − a3) 0

=

= (a3 − a2)(a3 − a1)(a2 − a1).

Propoziţia 4.2.

V (a1, a2,...,an) =

1≤i


30/78

30 TIBERIU BARTA

Folosind relaţia de recurenţă se obţine rezultatul dorit.

Aplicaţii:

1. Să se calculeze:a2 b2 c2c2 a2 b2

ac ab bc

Solut ̧ie.

a2 b2 c2

c2 a2 b2

ac ab bc

= a2b2c2

1 1 1 ca

2 ab

2 bc

2c

a

a

b

b

c

= −a2b2c2V

c

a, a

b, b

c

= −a2b2c2

b

c − c

a

b

c − a

b

a

b − c

a= (a2 − bc)(b2 − ac)(c2 − ab).

4.2. Determinant Vandermonde lacunar.

Definiţia 4.2. Fie a1, a2, · · · , an ∈ C, k ∈ {1, 2, 3, · · · , n}.Se numeşte determinant Vandermonde lacunar şi se noteaz ̆a cu V k(a1, a2,...,an),determinantul

V k(a1, a2,...,an) =

1 1 · · · 1a1 a2 · · · an· · · · · · · · · · · ·

ak−11 ak−12 · · · ak−1n

ak+11 ak+12

· · · ak+1n

· · · · · · · · · · · ·an1 a

n2 · · · ann

Pentru calculul lui, considerăm determinantul V (a1, a2,...,an, x). Din Propoziţia 4.2obţinem egalitatea

V (a1, a2,...,an, x) = V (a1, a2,...,an)n

k=1

(x − ak) =

= V (a1, a2,...,an)(xn − S 1xn−1 + S 2xn−2 − ... + (−1)nS n),

S k este suma Viete de ordin k .

Dezvoltând determinantul V (a1, a2,...,an, x) după ultima coloană, obţinemV (a1, a2,...,an, x) = (−1)n+2

V 0 − xV 1 + x2V 2 + · · · + (−1)nxnV n

Identificând cele două forme ale polinomului V (a1, a2,...,an, x) obţinem:


31/78


Propoziţia 4.3.

V k(a1, a2, · · · , an) = V (a1, a2,...,an) · S n−k.

Aplicaţii:

1. Calculaţi

1 1 1a b ca3 b3 c3

Solut ̧ie: Considerăm

V (a,b,c,x) =

1 1 1 1a b c xa2 b2 c2 x2

a3 b3 c3 x3

= V (a,b,c)(x − a)(x − b)(x − c)

= V (a,b,c)(x3

−S 1x

2 + S 2x−

S 3), undeS 1 = a + b + c, S 2 = ab + ac + bc, S 3 = abc.Dezvoltând determinantul după ultima coloană, obţinem:

V (a,b,c,x) = x3V (a,b,c) − x2V 2(a,b,c) + xV 1(a,b,c) − V 0(a,b,c).Identificăm cele două polinoame obţinute şi avem

V 2(a,b,c) = V (a,b,c)S 1 = (c − a)(c − b)(b − a)(a + b + c)

2. Să se calculeze determinantul

1 1 1 1a b c da3 b3 c3 d3

a4 b4 c4 x4

Solut ̧ie: Determinantul este V 2(a,b,c,d) şi utilizând Propoziţia 4.3 obţinem:

V 2(a,b,c,d) = V (a,b,c,d)S 2,

unde S 2 = ab + ac + ad + bc + bd + cd.

Avem deci că 1 1 1 1a b c d

a3 b3 c3 d3a4 b4 c4 x4

== (d − a)(d − b)(d − c)(c − a)(c − b)(b − a)(ab + ac + ad + bc + bd + cd)


32/78

32 TIBERIU BARTA

4.3. Determinanţi circulari.

Definiţia 4.3. Fie a1, a2, · · · , an ∈ C. Se numeşte determinant circular al numerelor a1, a2, · · · , an şi se noteaz ̆a cu C (a1, a2, · · · , an) determinantul

C (a1, a2, · · · , an) =

a1 a2 · · · ana2 a3 · · · a1a3 a4 · · · a2· · · · · · · · · · · ·an a1 · · · an−1

Exemplu 3. C (a,b,c) =

a b cb c ac a b

.

Considerăm polinomul f (x) = a1 + a2x + a3x2 + · · · + anxn−1 şi 1, 2, · · · , n

rădăcinile ecuaţiei binome z n = 1.

Propoziţia 4.4. C (a1, a2, · · · , an) = (−1)n(n−1)2 f (1)f (2)f (3) · · · · · f (n)Demonstrat ̧ie:

1 1 21 · · · n−11

1 2 22 · · · n−12

1 3 23 · · · n−13

· · · · · · · · · · · · · · ·1 n

2

n · · · n−1

n

·

a1 a2 · · · ana2 a3 · · · a1a3 a4 · · · a2· · · · · · · · · · · ·an a1

· · · an−1

=

=

a1 + a21 + · · · + ann−11 a2 + a31 + · · · + a1n−11 · · · an + a11 + · · · + an−1n−11a1 + a22 + · · · + ann−12 a2 + a32 + · · · + a1n−12 · · · an + a12 + · · · + an−1n−12

· · · · · · · · · · · ·a1 + a2n + · · · + ann−1n a2 + a3n + · · · + a1n−1n · · · an + a1n + · · · + an−1n−1n

=

=

f (1) n−11 f (1)

n−21 f (1) · · · 1f (1)

f (2) n−12 f (2)

n−22 f (2) · · · 2f (2)

· · · · · · · · · · · · · · ·f (n)

n−1n f (n)

n−2n f (n) · · · nf (n).

Trecând la determinanţi obţinem:

V (1, 2, · · · , n)C (a1, a2, · · · , an) = (−1)n(n−1)

2 f (1)f (2) · · · · · f (n)V (1, 2, · · · , n),de unde obţinem concluzia dorită.


33/78


Aplicaţii:

1. Să se calculeze determinantul a b cb c ac a b.

Solut ̧ie: Considerăm polinomul f = a+bx+cx2 şi 1, −1 + i√ 3

2 ,

−1 − i√ 32

soluţiile

ecuaţiei z 3 = 1, atunci conform propoziţiei precedente avem:

C (a,b,c) = (−1)3f (1)f

−1 + i√ 32

f

−1 − i√ 3

2

= −(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc).

2. Să se calculeze determinantul C (a,b,c,d).

Solut ̧ie: Considerăm funcţia polinomială f (x) = a + bx + cx2 + dx3 şi −1, 1, i, −1rădăcinile ecuaţiei z 4 = 1.

a b c db c d ac d a bd a b c

= f (1)f (−1)f (i)f (−i) == (a + b + c + d)(a − b + c − d)[a − c + i(b − d)][a − c − i(b − d)] =

= (a + b + c + d)(a − b + c − d)(a2 + b2 + c2 + d2 − 2ac − 2bd).

4.4. Aplicaţii.

1. Să se calculeze determinanţii, punând rezultatele sub formă de produs:

a)

a2 b2 c2

b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2

bc ac ab

b)

a + b b + c c + aa2 + b2 b2 + c2 c2 + a2

a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3

Solut ̧ie: a) Adunăm prima linia la linia a doua şi obţinem

a2 b2 c2

b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2

bc ac ab

= (a2+b2+c2)a2 b2 c2

1 1 1bc ac ab

= a2 + b2 + c2

abc

a3 b3 c3

a b cabc abc abc

=


34/78

34 TIBERIU BARTA

(a2 + b2 + c2)

a3 b3 c3

a b c1 1 1

= (a2 + b2 + c2)V (a,b,c) =

(a2 + b2 + c2)(b−

a)(c−

a)(c−

b).

b) Considerăm matricele A =

a b ca2 b2 c2a3 b3 c3

, B =1 0 11 1 0

0 1 1

şiC =

a + b b + c c + aa2 + b2 b2 + c2 c2 + a2

a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3

.

Cum C = AB, rezultă det(C ) = det(A) det(B) = 2abc(b − a)(c − a)(c − b).

2. Să se arate că(x2 + 1)2 (xy + 1)2 (xz + 1)2(xy + 1)2 (y2 + 1)2 (yz + 1)2

(xz + 1)2 (yz + 1)2 (z 2 + 1)2

= 2(y − z )2(z − x)2(x − y)2.

Demonstrat ̧ie: Observăm că

(x2 + 1)2 (xy + 1)2 (xz + 1)2(xy + 1)2 (y2 + 1)2 (yz + 1)2

(xz + 1)2 (yz + 1)2 (z 2 + 1)2

=

1 x x21 y y2

1 z z 2

1 12x 2y

x2 y2

Trecând la determinanţi , obţinem produsul a doi determinanţi Vandermonde, deunde rezultă formula cerută.

3. Să se arate că pentru orice x

∈R∗+ are loc inegalitatea

1 1 1logx+1(x

2 + x) logx+2(x2 + 3x + 2) logx+3(x

2 + 5x + 6)log2x+1 x log

2x+2(x + 1) log

2x+3(x + 2)

> 0.OL. Braşov, 2003

Demonstrat ̧ie: Deorece logx+1(x2 + x) = 1 + logx+1 x, logx+2(x

2 + 3x + 2) = 1 +log2(x + 1), logx+3(x

2 + 5x + 6) = 1 + logx+3(x + 2), obţinem un determinant detip Vandermonde ce este egal cu

(logx+3(x + 2)

−logx+1 x)(logx+3(x + 2)

−logx+2(x +1))(logx+2(x + 1)

−logx+1 x) > 0.

logx+3(x + 2) − logx+2(x + 1) = ln2(x + 2) − ln(x + 1)ln(x + 3)

ln(x + 2)ln(x + 3) > 0,


35/78


deoarece ln(x+1)ln(x+ 3) <

ln(x + 1) + ln(x + 3)

2

2=

ln(x2 + 4x + 3)

2

2<

ln2(x + 2), analog se arată că logx+2(x + 1) > logx+1 x şi de aici rezultă că

determinantul este pozitiv.

4. Fie A o matrice cu proprietatea că suma elementelor de pe fiecare linie şi coloană

este 1, iar elementele de pe diagonala principală sunt 1

2. Să se arate că det(A) > 0.

O.L Vrancea-Focşani, 2013

Demonstrat ̧ie: A =

1

2 a

1

2 − a

1

2 − a 1

2 a

a 1

2 − a 1

2

, det(A) = 3a2 − 3a2

+ 1

4

det(A) = 3

a − 14

2+

1

16 > 0, ∀a ∈ R.

5. Fie A,B,C măsurile unghiurilor unui triunghi ABC şi ∆ =

sin A sin B sin C

sin2A sin2B sin2C sin3A sin3B sin3C

.Să se arate că ∆ = 0 ⇔ ABC este isoscel.

O.L Galaţi, 2012Vasile Pop

Solut ̧ie:

∆ L3+L1=

sin A sin B sin C

sin2A sin2B sin2C 2sin2A cos A 2sin2B cos B 2sin2C cos C

L3−2cosAL1==

sin A sin B sin C

sin2A sin2B sin2C 0 2 sin 2B(cos B − cos A) 2 sin 2C (cos C − cos A)

L2−2cosA·L1==

sin A sin B sin C

0 2 sin B(cos B − cos A) 2 sin C (cos C − cos A)0 2 sin 2B(cos B

−cos A) 2 sin 2C (cos C

−cos A)

şi obţinem că ∆ = 8 sin A sin B sin C (cos B − cos A)(cos C − cos A)(cos C − cos B)şi atunci ∆ = 0 dacă şi numai dacă cos A = cos B sau cos A = cos C saucos C = cos B.


36/78

36 TIBERIU BARTA

6. Fie M ⊂ M3(R∗+) mulţimea matricelor care au pe diagonala principală toateelementele egale, iar produsul elementelor de pe fiecare linie este egal cu 1.a) Daţi exemplu de o matrice din M ce nu are toate elementele numere raţionale.b) Demonstraţi că det(A)

≥ 0,

∀A

∈ M.

OL Cluj, 2013

Demonstrat ̧ie: a) A =

1√

2

√ 2

2√ 2

2 1

√ 2

√ 2

√ 2

2 1

.

b) Se arată că dacă A

∈ M , atunci există a, b

∈R∗+ astfel ı̂ncât A =

a

1

ab b

b a 1

ab1ab

b a

.

det(A) = a3 + b3 + 1

(ab)3 − 3 =

a + b +

1

ab

a2 + b2 +

1

(ab)2 − ab − 1

a − 1

b

≥ 0,

ceea ce este evident conform inegalitătii x2 + y2 + z 2 ≥ xy + xz + yz, ∀x,y,z ∈ R.

7. Fie A =

a b cc a bb c a

, unde a,b,c ∈ R şi a2 + b2 + c2 = 1. Demonstraţi că

| det(A)| ≤ 1.Demonstrat ̧ie: Notăm x = ab + bc + ac, atunci AAt =

1 x xx 1 x

x x 1

(det A)2 = 1 + 2x3 − 3x2 = 1 − x2(3 − 2x).x = ab + bc + ac ≤ a2 + b2 + c2 = 1 şi deci (det A)2 ≤ 1 ⇒ | det A| ≤ 1.

8. a) Să se arate că A(A − B)B = B(A − B)A, pentru orice matrice pătratice deordinul doi cu urme egale.

b) Calculaţi determinantul, scriindu-l sub formă de produs:

d =

sin2 a cos2 a sin a cos asin2 b cos2 b sin b cos bsin2 c cos2 c sin c cos c


37/78


Concursul interjudeţean ”Memorialul Ştefan Dârţu-2012”Mihai Ţarcă

Solut ̧ie: a) Notăm tr(A) = tr(B) = t, det(A) = a, det(B) = b şi obţinem relaţiile

A2 = tA − aI 2, B2 = tB − bI 2.(1) A(A − B)B = A2B − AB2 = (tA − aI 2)B − A(tB − bI 2) = bA − aB

(2) B(A − B)A = BA2 − B2A = B(tA − aI 2) − (tB − bI 2)A = bA − aBDin (1), (2) rezultă că A(A − B)B = B(A − B)A.b) Dacă sin a = 0, sin b = 0 şi sin c = 0 atunci

d = sin2 a sin2 b sin2 c

1 ctg2a ctga1 ctg2b ctgb1 ctg2c ctgc

=

= − sin2 a sin2 b sin2 c(ctgb−ctga)(ctgc−ctga)(ctgc−ctgb) = − sin(a−b)sin(c−a)sin(c−b).Dacă sin a = 0 atunci cos2 a = 1 şi obţinem d = sin c sin b sin(b − c). Analog setratează cazurile sin b = 0, sin c = 0.

9. Demonstraţi că dacă A, B,C ∈ Mn(R) cu A + B + C = I n, atuncidet(AB + C ) · det(BC + A) · det(CA + B) ≥ 0.

RMT 1/2013, Aurel Doboşan

Demonstrat ̧ie: Înmulţind relaţia A + B + C = I n la dreapta cu B obţinem:

AB = B − B2 − CB ⇔ AB + C = (B + C )(I n − B) ⇔ AB + C = (B + C )(A + C ).Analog se arată că: BC + A = (C + A)(B + A) şi CA + B = (A + B)(C + B).Avem

det(AB +C ) ·det(BC +A) ·det(CA+B) = (det(A+B) det(A+C )det(B +C ))2 ≥ 0.

10. Notăm cu H mulţimea matricelor pătratice de ordin n ≥ 2, ale căror elementesunt numere naturale şi cu P mulţimea matricelor din H cu proprietatea că sumaelementelor de pe fiecare linie şi de pe fiecare coloană este egală cu 1.

a) Arătaţi că dacă A ∈ P , atunci det(A) ∈ {−1, 1}.b) Arătaţi că dacă A1, A2,...,A p ∈ H şi A1A2...A p ∈ P , atunci A1, A2,...,A p ∈ H .

OJM 2005


38/78

38 TIBERIU BARTA

Demonstrat ̧ie: a) Dacă o matrice este din P , atunci are pe fiecare linie (coloană) unsingur 1, restul elementelor fiind egale cu 0. Pemutând linile matricei A obţinemI n de unde rezultă că det(A) ∈ {−1, 1}.b) Demonstrăm că dacă A = (aij), B = (bij)

∈ H şi AB = (cij)

∈ P , atunci

A, B ∈ P . Într-adevăr din AB ∈ P rezultă că det(A) · det(B) = 0 şi deci pefiecare linie (coloană) din A, B avem cel puţin un element nenul.Presupunem că pe linia i din matricea A avem elementele nenule ail, aip, l , p ∈{1, 2,...,n} atunci

cij =n

k=1

aikbkj ⇒n

j=1

nk=1

aikbkj = 1 ⇒ 1 ≥ ailn

j=1

blj + aip

n j=1

b pj

şi deci cel puţin una dintre coloanele l, respectiv p din B este nulă ceea ce esteabsurd şi deci A are pe fiecare linie un element nenul (1), deci A este din P , analogse arată că şi B este din P . Prin inducţie matematică se demonstrează afirmaţia

de la b).

11. a) Fie x1, x2, x3, y1, y2, y3 ∈ R, aij = sin(xi − y j), i , j ∈ {1, 2, 3}. Să se arate cădet(A) = 0.

b) Se consideră numerele complexe nenule z 1, z 2,...,z 2n, n ≥ 3, astfel ı̂ncât |z 1| =|z 2| = ... = |z n+3| şi argz 1 ≥ argz 2 ≥ .. ≥ argz n+3. Considerăm numerelebij = |z i − z j+n|, pentru i, j ∈ {1, 2,...,n} şi B = (bij) ∈ Mn. Să se arate cădet B = 0.

OJM 2004

Demonstrat ̧ie: a) Fie C = sin x1 − cos x1 0sin x2

−cos x2 0

sin x3 − cos x3 0 şi D = cos y1 cos y2 cos y3sin y1 sin y2 sin y3

0 0 0 ,atunci CD =

sin(x1 − y1) sin(x1 − y2) sin(x1 − y3)sin(x2 − y1) sin(x2 − y2) sin(x3 − y2)

sin(x3 − y1) sin(x3 − y2) sin(x3 − y3)

şi cum det(C ) = 0 ,

rezultă că

sin(x1 − y1) sin(x1 − y2) sin(x1 − y3)sin(x2 − y1) sin(x2 − y2) sin(x3 − y2)sin(x3 − y1) sin(x3 − y2) sin(x3 − y3)

= 0.b) Notăm |z i| = r, i = 1, (n + 3) şi arg z i = αi, i = 1, 2n, atunci pentrui, j ∈ {1, 2, 3} avem:

|z i− z n+ j| = r|(cos αi−cos αn+ j) + i(sin αi− sin αn+ j)| = r 2(1 + cos(αi − αn+ j)) == 2r

sin αi − αn+ j2 = 2r sin αi − αn+ j2


39/78


şi cum toţi minorii de ordinul trei formati cu elemente din primele trei coloanesunt egali cu 0, rezultă că det(B) = 0.

12. Pentru fiecare n ≥ 2, se consideră matricea An ∈ Mn−1(Z),

An =

3 1 1 ... 11 4 1 ... 11 1 5 ... 1

... ... ... ... ...

1 1 1 . .. n + 1

,

şi se notează cu Dn determinantul acesteia. Studiaţi mărginirea şirului

Dnn!

n≥2

şi convergenţa şirului

Dn

(n + 1)!

n≥2

.

Traian Lalescu-2008Solut ̧ie:

Dn =

3 1 1 ... 1 11 4 1 ... 1 11 1 5 ... 1 1

... ... ... ... ... ...

1 1 1 ... n 11 1 1 ... 1 n + 1

=

3 1 1 ... 1 11 4 1 ... 1 11 1 5 ... 1 1

... ... ... ... ... ...

1 1 1 ... n 11 1 1 ... 1 1

+

3 1 1 ... 1 11 4 1 ... 1 11 1 5 ... 1 1

... ... ... ... ... ...

1 1 1 ... n 10 0 0 ... 0 n

=

=

2 0 0 ... 0 00 3 0 ... 0 0

0 0 4 ... 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... n − 1 01 1 1 ... 1 1

+ nDn−1 ⇒ Dn = nDn−1 + (n − 1)!, D2 = 3.

Dnn!

= Dn−1(n − 1)! +

1

n ⇒ Dn

n! = 1 +

1

2 +

1

3 + ... +

1

n ⇒

Dnn!

n≥2

este nemărginit superior.

limn→∞

Dn(n + 1)! = limn→∞

1 + 1

2

+ 1

3

+ ... + 1

nn + 1S C

= limn→∞

1

n + 1 = 0.


40/78

40 TIBERIU BARTA

5. Ecuaţii binome ı̂n Mn(C)Definiţia 5.1. Ecuat ̧ia X n = A (1), unde A ∈ Mn(C) se numeşte ecuat ̧ie matriceal˘ a binom˘ a.

Propoziţia 5.1. Dac˘ a X este solut ̧ie a ecuat ̧iei (1) atunci:

i) AX = X A;ii) dac˘ a det(A) = 0 rezult˘ a c˘ a det(X ) = 0.

Demonstrat ̧ie: i) Cum X n = A, ı̂nmulţ ind la dreapta (stânga ) cu X , obţinemAX = X n+1, respectiv X n+1 = X A, de unde obţinem AX = XA.

ii) Din X n = A obţ inem det(X )n = det(A) şi cum det(A) = 0 rezultă det(X ) = 0.

O idee ı̂n rezolvarea unor astfel de ecuaţii este de a determina forma matricei X ,plecând de la faptul că X comută cu A.

Probleme rezolvate

1. Să se determine matricea A ∈ M2(R) astfel ı̂ncât A2 =

1 12−4 1

.

Solut ̧ie: Notăm B =

1 12−4 1

. Din AB = BA obţ inem că

A = a −3bb a

, a , b ∈ R şi din A2 = B ⇒ a2 − 3b2 = 1ab = −2 , cu soluţiile

a = −2, b = 1 şi a = 32

, b = −43

. Ecuaţia are soluţiile: A1 =

−2 −31 −2

,

A2 =

3

2 4

−43

3

2

2. Să se determine X ∈ M3(R) astfel ı̂ncât X 2 =0 1 00 0 1

1 0 0

.


41/78


Solut ̧ie: Din AX = XA, unde A =

0 1 00 0 1

1 0 0

, rezultă X =

a b cc a b

b c a

.

X 2 = A ⇒

a(a + b + c) = 02ab + c2 = 1

2ac + b2 = 0

2bc + a2 = 0

⇒ X 1,2 = 0 0 ±1±1 0 0

0 ±1 0

O altă modalitatea de abordare a acestor ecuaţ ii este utilizare teoremei lui Cayley-Hamilton.Exemplu

3. Să se determine X ∈ M2(R) astfel ı̂ncât X 2

= 7 −5−15 12.Solut ̧ie: Din (det X )2 =

7 −5−15 12 = 9 ⇒ det X = ±3.

Din relaţia lui Cayley − Hamilton avem X 2 = tX − dI 2, unde t = tr(X ),d = det X .

Dacă d = 3 obţinem tX −3I 2 =

7 −5−15 12

şi egalând urmele celor două matrice

obţinem t2 − 6 = 19 ⇒ t = ±5 ⇒ X 1,2 = ±

2 −1−3 3

.

Dacă d = −3 obţinem tX + 3I 2 = 7 −5−15 12 şi egalând urmele celor douămatrice obţinem t2 + 6 = 19 ⇒ t = ±√ 13 ⇒ X 3,4 = ± 1√

13

4 −5−15 9

.

3. Fie A ∈ M2(C), A = O2. Să se demonstreze că A2 = O2 dacă şi numai dacăecuaţia matriceală X 2 = A, X ∈ M2(C) nu are soluţii.

Concursul ”Laurenţiu Panaitopol”Laurenţiu Panaitopol

Demonstrat ̧ie: Dacă A2 = O2 atunci din det(A) = 0, tr(A) = 0 şi din X 2 = O2

obţinem det2(X ) = det(A) = 0, utilizând teorema lui Cayley-Hamilton rezultătr(X )X = A, de unde avem prin egalarea urmelor celor două matrice cătr2X = tr(A) = 0 ⇒ tr(X ) = 0 ⇒ A = O2 contradicţie, deci ecuaţia X 2 = A nuare soluţii.


42/78

42 TIBERIU BARTA

3. Să se rezolve ı̂n M3(C) ecuaţia X n =i 0 00 0 −1

0 −1 0

, n ≥ 2.

Solut ̧ie: Din X A = AX , obţinem X =a 0 00 b c

0 c b

, unde A = i 0 00 0 −10 −1 0

.Presupunem Ak =

ak 0 00 xk yk

0 yk xk

şi demontrăm că Ak+1 =

ak+1 0 00 xk+1 yk+1

0 yk+1 xk+1

obţinem recurenţele:

bxk + cyk = xk+1cxk + byk = yk+1

. Adunând cele două relaţii avem

xk+1 + yk+1 = (b + c)(xk + yk) = (b + c)k+1

şi scăzând cele două relaţii obţinem

xk+1 − yk+1 = (b − c)k+1 ⇒ xk = (b + c)k + (b − c)k

2 , yk =

(b + c)k − (b − c)k2

.

Obţinem sistemul

an = i

(b + c)n = −1(b − c)n = −1

şi se determină matricele X cerute.

5.1. Aplicaţii.

1. Să se determine X ∈ M2(R) astfel ı̂ncât X 2013 =−6 −2

21 7

.

O.L Mehedinţi, 2013Solut ̧ie: det(X ) = 0, de unde rezultă X 2013 = t2012X, t = tr(X ) şi obţinem ecuaţia

t2012X =

−6 −221 7

. Egalând urmele celor două matrice obţinem

t2013 = 1 şi deci X =

−6 −221 7

.

2. Fie ecuaţia X 2 =

2013 12012 1

, X ∈ M2(C).

a) Să se rezolve ecuaţia.b) Dacă X

1,2,3,4 sunt soluţiile aceste ecuaţii, să se calculeze

X 20131 + X 20132 + X

20133 + X

20134 .

O.L Vrancea-Focşani, 2013


43/78


Solut ̧ie: a) (det X )2 = 1 ⇒ detX = ±1.Dacă d = 1, rezultă X 2 = tX − I 2, t = tr(X ) şi obţinem ecuaţia t2 = 2016 ⇒t = ±√ 2016, de unde avem X 1,2 = ± 1√

2016 2014 12012 2.

Dacă d = −1, obţinem că X 3,4 = ± 1√ 2012

2012 12012 0

.

b) Observăm că X 2 = −X 1 şi X 4 = −X 3.X 20131 + X

20132 + X

20133 + X

20134 = X

20131 + (−X 1)2013 + X 20133 + (−X 3)2013 = O2.

3. (O.L. Olt 2013, Gabriela Ionică, Eduard Buzdugan) Se consideră matricea

A ∈ M2(R) astfel ı̂ncâtA3 + 4A + 2013I 2 =

2018 7

0 2018

.

Arătaţi că (A − I 2) p = O2, pentru orice p ∈ N∗.O.L Olt, 2013

Gabriela Ionică, Eduard Buzdugan

Solut ̧ie: Punând condiţia ca A să comute cu matricea

2018 7

0 2018 obţinem că

A =a b

0 a

şi avem sistemul

a3 + 4a = 53a2b + 4b = 7

, cu soluţiile a = 1, b = 1 şi deci

A =

1 10 1

.

A − I 2 =

0 10 0

, (A − I 2)2 = O2.

4. Să se rezolve ı̂n Mn(Z) ecuaţia: X n

− X = 0 1 k

0 0 20 0 0

, k ∈ Z.OL Argeş, 2013


44/78

44 TIBERIU BARTA

Solut ̧ie: Punând condiţia ca X să comute cu matricea

0 1 k0 0 2

0 0 0

obţinem că

X =a b c0 a 2b

0 0 a

, rezultă X n = an nan−1b nan−1c + n(n − 1)an−2b20 an 2nan−1b0 0 an

.Avem sistemul

an − a = 0b(nan−1 − 1) = 1nan−1c + n(n − 1)an−2b2 − c = k

.

Dacă n = 2 obţinem soluţia X =0 −1 −k0 0 −2

0 0 0

.

Dacă n = 2 avem soluţiile X 1 = 0 −1 −k0 0 −20 0 0 şi X 2 =

1 1 k − 20 1 20 0 1

.

5. Rezolvaţi ecuaţia X 3 =

19 30−45 −71

, X ∈ M2(R).

OL Braşov, 2013

Solut ̧ie: Trecând la determinanţi ı̂n ecuaţia dată obţinem că det(X ) = 1 şi deciX 2 = tX − I 2, unde t = tr(X ).X 3 = (t2−1)X −tI 2 =

19 30

−45

−71 egalăm urmele celor două matrice şi obţinemecuaţia t3−3t +52 = 0, ecuaţie ce are ca singură soluţie reală pe t = −4 şi rezultă

X =

1 2−3 −5

.

6. Determinaţi matricele X ∈ M2(C) cu proprietatea că X 2 + X = O2.

Solut ̧ie: Conform teoremei lui Cayley-Hamilton avem X 2 − tX + dI 2 = O2, undet = tr(X ), d = det(X ) şi cum X 2 + X = O2 obţinem că (t + 1)X = dI 2.Cazul I. Dacă t = −1, atunci d = 0 şi obţinem matricele

X = a b

−a2

−a

b −1 − a , a , b ∈ C, b = 0 sau X = 0 0

c −1 , c ∈ C, respectivX =

−1 0c 0

, c ∈ C.


45/78


Cazul II. t = −1 şi obţinem că X = λI 2

λ = d

t + 1

şi rezultă că λ2 + λ = 0 ⇒

X = O2 sau X = −I 2.

7. Determinaţi X, Y ∈ M2(R∗

) astfel ı̂ncât X 2003 + Y 2003 = X Y = O2.OL Braşov, 2003

Solut ̧ie: Din X 2003+Y 2003 = O2, prin ı̂nmulţire cu X , rezultă X 2004+(XY )Y 2002 =

O2 şi cum XY = O2, rezultă X 2004 = O2 şi deci X

2 = O2. Analog se obţineY 2 = O2. De aici, utilizând eventual teorema lui Cayley-Hamilton, obţinem:

X =

a b

−a2

b −a

, Y =

c bca

−acb

−c

, a , b , c ∈ R∗.

8. Considerăm matricele A ∈ M3,2(C), B ∈ M2,3(C) astfel ı̂ncât BA nu estematricea nulă şi există k ≥ 2 astfel ı̂ncât (AB)k = O3. Care sunt numerelenaturale nenule n pentru care ecuaţia X n = BA are soluţii X ∈ M2(C)?

SGM-februarie/2013-Petru Todor

Solut ̧ie: Cum (BA)k+1 = B(AB)kA = O2 ⇒ det(BA) = 0 şi(BA)n = [tr(BA)]n−1BA, ∀n ∈ N∗, obţinem (tr(BA))kBA = O2 ceea ce implicătr(BA) = O2 ⇒ (BA)2 = O2.Considerăm ecuaţia X n = BA ⇒ (det(X ))n = det(BA) = 0 ⇒ det(X ) = 0 şideci X n = (tr(X ))n−1X . Ecuaţia devine (tr(X ))n−1X = BA şi egalând urmelecelor două matrice obţinem (tr(X ))n = 0

⇒ tr(X ) = 0 şi pentru n

≥ 2 avem

BA = O2, contradicţie, rezultă n = 1.

6. Funcţii polinomiale de tip determinant

Expunem o metodă de stabilire a unor proprietăţi ale determinanţilor cu ajutorulunor funcţii polinomiale de tipul det(A + xB), unde A, B ∈ Mn(C) şi x ∈ C.

Teorema 6.1. Fie A, B ∈ Mn(C). Atunci f (x) = det(A + xB) este un polinom cu grad(f ) ≤ n avˆ and termenul liber det A şi coeficientul lui xn este egal cu det B.Demonstrat ̧ie: Fie A = (aij)i,j=1,n, B = (bij)i,j=1,n, atunci

f (x) =σ∈S n

(σ)ni=1

(aiσ(i) + xbiσ(i)),


46/78

46 TIBERIU BARTA

de unde rezultă că f este un polinom şi grad(f ) ≤ n, iar coeficientul lui xn esteσ∈S n

(σ)ni=1

biσ(i) = det(B), iar termenul liber esteσ∈S n

(σ)ni=1

aiσ(i) = det(A).

Observaţia 6.1. Dac˘ a A, B ∈ M2(C), atunci exist˘ a t ∈ C, astfel ı̂nc ̂at f (x) = det(A + xB) = x2det(B) + tx + det(A), ∀x ∈ C.

Observaţia 6.2. Dac˘ a A, B ∈ M2(C), atunci exist˘ a t ∈ C, astfel ı̂nc ̂at g(x, y) = det(xA + yB) = x2 det(A) + txy + y2 det(B), ∀x, y ∈ C.

Demonstrat ̧ie: Avem că există t ∈ C astfel ı̂ncâtf (x) = det(A + xB) = x2 det(B) + xt + det(A), ∀x ∈ C.

Considerăm g(x, y) = det(xA+yB) = x2 detA + y

xB = x

2f y

x = x2

y2

x2 det(B) +

y

x +

= x2 det(A) + txy + y2 det(B).

Observaţia 6.3. Fie A, B ∈ M2(C) atunci avem relat ̧iile:i) det(A) =

tr2(A) − tr(A2)2

(unde tr(A) reprezint˘ a urma matricei A);

ii) det(A + B) = det(A) + det(B) + tr(A)tr(B) − tr(AB).Demonstrat ̧ie: i) Utilizând relaţia lui Hamilton − Cayley avem că

det(A)I 2 = tr(A)A − A2,

de unde rezultă că: 2det(A) = tr2(A) − tr(A2).ii) Din i) avem că

det(A+B) = tr2(A + B) − tr(A + B)2

2 =

(tr(A) + tr(B))2 − tr(A2 + AB + BA + B2)2

=

= tr2(A) − tr(A2) + tr2(B) − tr(B2) + 2(tr(A)tr(B) − tr(AB))

2 ⇒

det(A + B) = det(A) + det(B) + tr(A)tr(B) − tr(AB).

Aplicaţii:1. Dacă A, B ∈ M2(C), atunci

det(A + B) + det(A − B) = 2(det(A) + det(B)).


47/78


Demonstrat ̧ie: Din Propoziţia 1 obţinem căf (x) = det(A + xB) = x2 det(B) + tx + det(A), pentru x = 1, x = −1 se obţine:

f (1) = det(A + B) = det(B) + t + det(A),

f (−1) = det(A − B) = det(B) − t + det(A),prin ı̂nsumare obţinem relaţia cerută.

2. Fie X, Y ∈ Mn(R). Demonstraţi următoarele implicaţii:a) Dacă X · Y = Y · X, atunci det(X 2 + Y 2) ≥ 0.b) Dacă X + Y = I n, atunci det(X

3 + Y 3) ≥ 0.O.N.M., 2012, etapa locală Sibiu

Demonstrat ̧ie: a) Din X Y = Y X ⇒ X 2 + Y 2 = (X + iY )(X − iY ).Considerăm polinomul f = det(A + xB) ∈ R[X ].det(A2 + B2) = det(A + iB)det(A

−iB) = f (i)f (

−i) = f (i)f (i) =

|f (i)

|2

≥ 0.

b) Inmulţind relaţia X + Y = I n la stânga, respectiv la dreapta, cu matricea X ,obţinem: XY = X − X 2 = Y X .X 3 + Y 3 = (X + Y )(X 2 − XY + Y 2) =

X − 1

2Y

2+

3

4Y 2.

Avem că det(X 3 + Y 3) = det

X − 1

2Y

2+

3

4Y 2

şi deoarece matricele

X − 12

Y,

√ 3

2 Y comută la ı̂nmulţire avem, conform punctului a), det(X 3 +Y 3) ≥ 0.

3. Fie A, B ∈ M2(Q) astfel ı̂ncât AB = B A, det(A) = 3 şi det(A + √ 3B) = 0. Săse calculeze det(A2 + B2 − AB).O.N.M., 2012, etapa locală Vâlcea

Demonstrat ̧ie: Considerăm funcţia polinomială

f (x) = det(A + xB) = x2 det(B) + tx + 3 ∈ Q[X ].f (

√ 3) = 0 ⇒ 3 det(B) + t

√ 3 + 3 = 0 ⇒ t = 0, det(B) = −1.

Am obţinut f (x) = −x2 + 3.Fie x1, x2 rădăcinile ecuaţiei x

2

Documents

Curs de Pregatire Algebra XI 1-Forma Finala