Curs Elementar de Geometrie in Spatiu

Curs de Geometrie in SpatiuLUCIAN IORDACHE

Cursul acesta, asa cum ii spune si numele, se adreseaza, in special, elevilor de clasa a VIII-a, care au probleme cu geometria in spatiu, dar si celor care au nevoie de o recapitulare rapida a notiunilor studiate. In cadrul cursului vom invata impreuna formulele de calcul ale ariilor si volumelor, dar si cum sa desenam corect figurile geometrice.Desenarea figurilor geometriceAtunci cand desenam o figura geometrica, trebuie sa folosim intotdeauna rigla si creionul. De asemenea, trebuie sa ne obisnuim sa facem figurile geometrice cat mai mari pentru a ne fi mai usor atunci cand va trebui sa urmarim in cadrul lor diverse puncte, unghiuri sau segmente. Desenarea corecta a figurilor geometrice este foarte importanta in rezolvarea unei probleme, tocmai de aceea in fiecare lectie se pune accentul pe acest lucru. Pas cu pas vom invata impreuna cum se deseneaza corect figura geometrica din lectia respectiva.Structura lectiilorFiecare lectie a cursului este impartita in trei parti. In prima parte invatam formulele de calcul pentru arii si volume, apoi este prezentat modul in care se deseneaza corect figura geometrica din lectia respectiva. La final, recapitulam notiunile teoretice de la fiecare lectie prin exercitii rezolvate, pentru o intelegere cat mai buna.Exercitii rezolvatePentru invatarea mai usoara a formulelor din cadrul lectiilor, la final, asa cum spuneam, rezolvam impreuna cateva exercitii. Exercitiile sunt simple si in general rezolvarea lor presupune doar aplicarea formulelor invatate. Pe langa exercitiile rezolvate din cadrul lectiilor, putem rezolva impreuna si altele pe forum sau prin intermediul comentariilor de la fiecare lectie. Asadar, fiecare lectie ramane deschisa.

Lectia 1:Cubul

Lectia 2:Paralelipipedul dreptunghic

Lectia 3:Prisma triunghiulara

Lectia 4:Prisma patrulatera

Lectia 5:Prisma hexagonala

Lectia 6:Piramida triunghiulara

Lectia 7:Piramida patrulatera

Lectia 8:Piramida hexagonala

Lectia 9:Trunchiul de piramida triunghiulara

Lectia 10:Trunchiul de piramida patrulatera

Lectia 11:Trunchiul de piramida hexagonala

Lectia 12:Cilindrul

Lectia 13:Conul

Lectia 14:Trunchiul de con

Lectia 15:Sfera

diagonala bazei = l 2
diagonala cubului = l 3
1Deseneaza un patrat cu o latura, de exemplu, de 8 cm:

2Dupa ce ai desenat patratul, din centrul acestuia mai deseneaza catre partea dreapta, inca un patrat cu latura egala cu latura primului patrat:

3Uneste cu cate o linie varfurile celor doua patrate:

4In cele din urma, sterge putin cate putin, cu guma, liniile care nu ar trebui sa se vada in spatiu. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:

Exercitii rezolvateCalculeaza aria laterala, aria totala si volumul unui cub cu latura de 3 cm.
Rezolvare:
Aria laterala a cubului = 4 l = 4 3 = 36 cm
Aria totala a cubului = 6 l = 6 3 = 54 cm
Volumul cubului = l = 3 = 27 cm

2. Afla volumul si aria totala a unui cub care are suma muchiilor de 48 cm.
Rezolvare:
Suma muchiilor unui cub = 12 l = 48 cm. Deci latura va fi de 4 cm.

3. Un cub are diagonala de 23 cm. Calculeaza cat este aria laterala, aria totala a cubului.
Rezolvare:
Diagonala cubului = l 3 = 2 3 cm. Deci latura cubului va fi 2 cm.

4. Volumul unui cub este de 125 cm. Sa se calculeze aria bazei, aria laterala si aria totala a cubului.
Rezolvare:
Volumul cubului = l = 125 cm. De aici rezulta ca latura cubului este de 5 cm.
Aria bazei cubului = l = 5 = 25 cm

5. Daca aria totala a unui cub este 24 cm, sa se afle cat este aria laterala si volumul cubului.
Rezolvare:
Aria totala a cubului = 6 l = 24 cm, adica latura cubului este 2 cm.

1Deseneaza un dreptunghi cu lungimea si latimea, de exemplu, de 9 cm si 6 cm:

2Dupa ce ai desenat dreptunghiul, din centrul acestuia mai deseneaza catre partea dreapta, inca un dreptunghi de dimensiuni egale cu primul:

3Uneste cu cate o linie varfurile celor doua dreptunghiuri:


Exercitii rezolvateSa se afle aria totala si volumul unui paralelipiped dreptunghic cu l = 3 cm, L = 4 cm si
h = 5 cm.
Rezolvare:
Aria totala a paralelipipedului = 2(L h + l h + L l) = 2(4 5 + 3 5 + 4 3) = 94 cm
Volumul unui paralelipiped = L l h = 4 3 5 = 60 cm

2. Sa se calculeze aria laterala, aria totala si diagonala unui paralelipiped dreptunghic care are lungimea de 8 cm, aria bazei de 40 cm si volumul de 240 cm.
Rezolvare:
Aria bazei = L l = 8 l = 40 cm, deci latimea este de 5 cm.
Volumul paralelipipedului = L l h = 8 5 h = 240 cm, de unde rezulta ca h = 6 cm
Aria laterala a paralelipipedului = 2(L h + l h) = 2(8 6 + 5 6) = 156 cm
Diagonala paralelipipedului = (l + L + h) = (5 + 8 + 6) = 55cm

3. Aflati aria totala a unui paralelipiped dreptunghic daca se cunosc urmatoarele date: l = 4 cm, Ab = 24 cm si V = 168 cm.
Rezolvare:
Aria bazei = L l = L 4 = 24 cm, adica lungimea are 6 cm
Volumul paralelipipedului = L l h = 6 4 h = 168 cm, rezulta ca h = 7 cm

4. Perimetrul bazei unui paralelipiped dreptunghic este de 40 de cm. Daca lungimea este cu 4 cm mai mare decat latimea si aria laterala este 400 cm, sa se afle volumul paralelipipedului.
Rezolvare:
Perimetrul bazei = 2(L + l) = 40 de cm, cum L = l + 4, rezulta ca l = 8 cm si L = 12 cm
Aria laterala = 2(L h + l h) = 2(12 h + 8 h) = 400 cm, deci inaltimea este de 10 cm
Volumul paralelipipedului = L l h = 12 8 10 = 960 cm

5. Un paralelipiped dreptunghic are latimea de 3 cm, lungimea de 5 cm si volumul de 90 cm Sa se afle aria laterala si aria totala a paralelipipedului.
Rezolvare:
Volumul paralelipipedului = L l h = 5 3 h = 90 cm, deci h = 6 cm
Aria bazei = L l = 5 3 = 15 cm
Aria laterala = 2(L h + l h) = 2(5 6 + 3 6) = 96 cm
Aria totala a paralelipipedului = 2Ab + Al = 30 + 96 = 126 cm

1Deseneaza un triunghi oarecare cu varful in jos, asemanator cu cel din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat triunghiul, din fiecare varf al acestuia traseaza vertical cate o dreapta de aceeasi dimensiune (inaltimea prismei). Ai grija sa nu fie prea mare. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:

3Uneste varfurile dreptelor pe care le-ai trasat la pasul 2:

4In cele din urma, sterge putin cate putin, cu guma, linia care nu ar trebui sa se vada in spatiu. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:

Exercitii rezolvateSa se calculeze aria laterala si volumul unei prisme triunghiulare care are l = 6 cm si h = 7 cm.
Rezolvare:
Aria laterala = Pb h = 18 7 = 126 cm
Aria bazei = l 3/4 = 93 cm
Volumul unei prisme triunghiulare = Ab h = 633 cm

2. Daca volumul unei prisme triunghiulare este 36 cm si latura prismei este 4 cm, sa se afle aria laterala si aria totala a prismei.
Rezolvare:
Aria bazei = l 3/4 = 43 cm
Volumul prismei = Ab h = 43 h = 36 cm, de unde rezulta ca h = 33 cm
Aria laterala a prismei = Pb h = 12 33 = 363 cm
Aria totala a prismei = Al + 2Ab = 363 + 83 = 443 cm

3. O prisma triunghiulara regulata are aria bazei 163 cm. Daca inaltimea prismei este jumatate din latura prismei, sa se afle cat este aria totala si volumul prismei.
Rezolvare:
Aria bazei prismei triunghiulare = l 3/4 = 163 cm, deci latura prismei este de 8 cm.
Inaltimea prismei este jumatate din latura, adica 4 cm
Aria totala a prismei = Al + 2Ab = 96 cm + 323 cm
Volumul unei prisme triunghiulare = Ab h = 643 cm

4. Stiind ca latura unei prisme triunghiulare regulate este de 3 cm si aria laterala de 45 cm, sa se afle volumul acestei prisme.
Rezolvare:
Aria laterala = Pb h = 9 h = 45 cm, adica h = 5 cm
Aria bazei prismei triunghiulare = l 3/4 = 93/4 cm
Volumul prismei triunghiulare = Ab h = 93/4 5 = 453/4 cm

5. Perimetrul unei prisme triunghiulare regulate este de 15 cm, iar inaltimea acestei prisme are 7 cm. Sa se afle aria totala si volumul prismei.
Rezolvare:
Perimetrul prismei triunghiulare = 3 l = 15 cm, deci latura prismei are 5 cm
Aria bazei prismei triunghiulare = l 3/4 = 253/4 cm
Aria totala a prismei = Al + 2Ab = 105 cm + 503/4 cm
Volumul prismei = Ab h = 253/4 7 = 1753/4 cm

1Deseneaza un paralelogram asemanator cu cel din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat paralelogramul, din fiecare varf al acestuia traseaza vertical cate o dreapta de aceeasi dimensiune (inaltimea prismei). Ai grija sa nu fie prea mare. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura urmatoare:



Exercitii rezolvate1. Sa se calculeze, aria laterala, aria totala si volumul unei prisme patrulatere regulate cu latura bazei de 4 cm si inaltimea de 7 cm.
Rezolvare:
Perimetrul bazei = 4 l = 4 4 = 16 cm
Aria bazei unei prisme patrulatere = l = 4 = 16 cm
Volumul prismei = Ab h = 16 7 = 112 cm

2. Calculati volumul unei prisme patrulatere regulate cu aria bazei de 25 cm si aria laterala de 160 cm.
Rezolvare:
Aria bazei = l = 25 cm, adica latura este de 5 cm
Aria laterala a prismei = Pb h = 20 h = 160 cm, deci h = 8 cm

3. O prisma patrulatera are latura bazei de 6 cm si volumul de 432 cm. Calculati aria laterala si aria totala a prismei.
Rezolvare:
Aria bazei = l = 6 = 36 cm
Volumul prismei = Ab h = 36 h = 432 cm, de unde rezulta ca h = 12 cm

4. Diagonala unei fete laterale a unei prisme patrulatere regulate este de 13 cm. ?tiind ca aria bazei este de 25 cm sa se calculeze, volumul si aria totala.
Rezolvare:
Aria bazei = l = 25 cm, deci l = 5 cm
Diagonala unei fete laterale = (l + h) (Pitagora) = (5 + h) = 13 cm, rezulta ca h = 12 cm

5. Daca volumul unei prisme patrulatere regulate este de 128 cm si inaltimea de 8 cm, sa se calculeze aria laterala si aria totala.
Rezolvare:
Volumul prismei = Ab h = Ab 8 = 128 cm, de unde rezulta ca Ab = 16 cm
Aria bazei = l = 16 cm, deci l = 4 cm

Atunci cand vrei sa desenezi o figura geometrica, foloseste intotdeauna rigla si creionul. Obisnuieste-te sa faci figurile geometrice cat mai mari pentru a-ti fi mai usor atunci cand va trebui sa urmaresti in cadrul lor diverse puncte, unghiuri sau segmente.

1Deseneaza un hexagon asemanator cu cel din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat hexagonul, din fiecare varf al acestuia traseaza vertical cate o dreapta de aceeasi dimensiune (inaltimea prismei). Ai grija sa nu fie prea mare. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:



Exercitii rezolvateIntr-o prisma hexagonala latura este de 3 cm, iar inaltimea de 5 cm. Sa se afle aria laterala, aria totala si volumul prismei.
Rezolvare:
Perimetrul bazei unei prisme hexagonale = 6 l = 6 3 = 18 cm
Aria bazei = 3l 3/2 = 273/2 cm
Volumul prismei hexagonale = Ab h = 273/2 5 = 1353/2 cm

2. Daca aria bazei unei prisme hexagonale regulate este 543 cm si volumul este 324 cm,
sa se afle aria totala a prismei.
Rezolvare:
Aria bazei = 3l 3/2 = 543 cm, deci latura prismei este de 6 cm
Volumul prismei hexagonale = Ab h = 543 h = 324 cm, deci inaltimea este de 33 cm
Perimetrul bazei unei prisme hexagonale = 6 l = 6 6 = 36 cm

3. Sa se afle volumul unei prisme hexagonale regulate cu inaltimea de 5 cm si aria laterala de 120 cm.
Rezolvare:
Aria laterala a prismei = Pb h = Pb 5 = 120 cm, de unde rezulta ca Pb = 24 cm
Perimetrul bazei unei prisme hexagonale = 6 l = 24 cm, deci latura este de 4 cm
Aria bazei = 3l 3/2 = 243 cm
Volumul prismei hexagonale = Ab h = 243 5 = 1203 cm

4. Perimetrul unei prisme hexagonale regulate este 18 cm, iar aria laterala a prismei este
1623 cm. Calculati volumul acestei prisme.
Rezolvare:
Perimetrul bazei unei prisme hexagonale = 6 l = 18 cm, deci l = 3 cm
Aria laterala a prismei = Pb h = 18 h = 1623 cm, deci h = 33 cm
Aria bazei = 3l 3/2 = 273/2 cm
Volumul prismei hexagonale = Ab h = 273/2 33 = 243/2 cm

5. O prisma hexagonala regulata are volumul de 603 cm, iar latura de 2 cm. Sa se afle
aria laterala si aria totala.
Rezolvare:
Aria bazei = 3l 3/2 = 63 cm
Volumul prismei hexagonale = Ab h = 63 h = 603 cm, deci inaltimea este de 10 cm
Perimetrul bazei unei prisme hexagonale = 6 l = 12 cm

apotema piramidei (ap)este inaltimea unuia dintre triunghiurile care formeaza o fata laterala a piramidei

1Deseneaza un triunghi oarecare, asemanator cu cel din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat triunghiul, din punctul de intersectie al medianelor acestuia (traseaza cu linie punctata doua dintre medianele triunghiului pentru a vedea punctul lor de intersectie) traseaza vertical o linie punctata (inaltimea piramidei). Ai grija sa nu fie prea mare. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:

3Uneste varfurile triunghiului cu varful dreptei pe care ai trasat-o la pasul 2:

4Acum sterge medianele triunghiului, pe care le-ai trasat. In cele din urma, sterge putin cate putin, cu guma, liniile care nu ar trebui sa se vada in spatiu. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:

Exercitii rezolvate1. Intr-o piramida triunghiulara regulata se stie ca Ab = 93 cm si ap = 5 cm. Sa se afle aria laterala a piramidei.
Rezolvare:
Aria bazei unei piramide triunghiulare = l3/4 = 93 cm, deci latura are 6 cm
Perimetrul bazei = 3l = 18 cm
Aria laterala = Pb ap / 2 = 18 5 / 2 = 45 cm

2. Perimetrul bazei unei piramide triunghiulare regulate este de 183 cm, inaltimea este de 4 cm
iar apotema piramidei este de 5 cm. Sa se afle aria laterala, aria totala si volumul piramidei.
Rezolvare:
Aria bazei = l3/4 = 273 cm
Aria totala = Aria bazei + Aria laterala = 273 + 453 = 723 cm
Volumul piramidei = Ab h / 3 = 273 4 / 3 = 363 cm

3. Daca volumul unei piramide triunghiulare regulate este de 33 cm, inaltimea are 1 cm si
apotema piramidei este de 2 cm, sa se afle aria laterala.
Rezolvare:
Volumul piramidei = Ab h / 3 = Ab 1 / 3 = 33 cm, de unde rezulta ca Ab = 93 cm
Aria bazei = l3/4 = 93 cm, deci latura este de 6 cm

4. Stiind ca aria bazei este de 363 cm, apotema este de 4 cm si inaltimea este de 2 cm, sa se
afle aria totala si volumul.
Rezolvare:
Aria totala = Ab + Al = 363 cm + 72 cm

5. Sa se calculeze aria totala a unei piramide triunghiulare regulate, daca apotema are 4 cm si
aria bazei este 273 cm.
Rezolvare:
Aria totala = Aria bazei + Aria laterala = 273 + 363 = 633 cm



1Deseneaza un paralelogram asemanator cu cel din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat paralelogramul, din centrul acestuia (traseaza cu linie punctata diagonalele paralelogramului pentru a afla centrul acestuia) traseaza vertical o linie punctata (inaltimea piramidei). Ai grija sa nu fie prea mare. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura alaturata:

3Uneste varfurile paralelogramului cu varful dreptei pe care ai trasat-o la pasul 2:

4Acum sterge diagonalele paralelogramului, pe care le-ai trasat. In cele din urma, sterge putin cate putin, cu guma, liniile care nu ar trebui sa se vada in spatiu. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:

Exercitii rezolvateStiind ca apotema unei piramide patrulatere regulate este 3 cm, inaltimea este 33/2 cm si aria laterala este egala cu 18 cm, sa se afle volumul piramidei.
Rezolvare:
Aria laterala a piramidei = Pb ap / 2 = 18 cm, deci Pb = 12 cm
Perimetrul bazei piramidei patrulatere = 4 l = 12 cm, deci latura are 3 cm
Aria bazei piramidei patrulatere = l = 3 = 9 cm
Volumul piramidei = Ab h / 3 = 9 33/2 / 3 = 93 / 2 cm

2. Sa se calculeze aria bazei, aria laterala si volumul unei piramide patrulatere regulate, daca se cunosc urmatoarele date: l = 6 cm, ap = 5 cm si h = 4 cm.
Rezolvare:
Perimetrul bazei piramidei patrulatere = 4 l = 24 cm
Aria laterala a piramidei = Pb ap / 2 = 24 5 / 2 = 60 cm

3. Intr-o piramida patrulatera regulata se cunosc urmatoarele date: inaltimea este de 12 cm, perimetrul bazei este de 40 cm, iar apotema are 13 cm. Sa se afle aria totala si volumul piramidei.
Rezolvare:
Perimetrul bazei piramidei patrulatere = 4 l = 40 cm, de unde rezulta ca latura are 10 cm
Aria totala = Aria bazei + Aria laterala = 100 cm + 260 cm = 360 cm

4. Sa se afle aria totala si volumul unei piramide patrulatere regulate cu aria bazei 36 cm,
apotema 6 cm si inaltimea 33 cm.
Rezolvare:
Aria bazei piramidei patrulatere = l = 36 cm, deci l = 6 cm
Perimetrul bazei piramidei patrulatere = 4 l = 4 6 = 24 cm
Volumul piramidei = Ab h / 3 = 36 33 = 1083 cm

5. Daca latura bazei unei piramide patrulatere regulate are 8 cm, apotema 5 cm, iar inaltimea 3 cm, sa se calculeze aria bazei, aria laterala, aria totala si volumul piramidei.
Rezolvare:
Aria bazei piramidei patrulatere = l = 64 cm
Perimetrul bazei piramidei patrulatere = 4 8 = 32 cm


1Deseneaza un hexagon asemanator cu cel din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat hexagonul, din centrul acestuia (traseaza cu linie punctata doua dintre diagonalele hexagonului pentru a afla centrul acestuia) traseaza vertical o linie punctata (inaltimea piramidei). Ai grija sa nu fie prea mare. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura alaturata:

3Uneste varfurile hexagonului cu varful dreptei pe care ai trasat-o la pasul 2:

4Sterge diagonalele hexagonului, pe care le-ai trasat. in cele din urma, sterge putin cate putin, cu guma, liniile care nu ar trebui sa se vada in spatiu. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:

Exercitii rezolvate1. Sa se afle aria totala si volumul unei piramide hexagonale regulate care are urmatoarele dimensiuni: l = 4 cm, h = 2 cm si ap = 4 cm.
Rezolvare:
Aria bazei unei piramide hexagonale = 3l3 / 2 = 3 43 / 2 = 243 cm
Perimetrul bazei piramidei hexagonale = 6 l = 24cm
Aria totala = Aria bazei + Aria laterala = 243 cm + 48 cm

2. Stiind ca aria bazei unei piramide hexagonale regulate este de 483 cm si ca apotema piramidei are 5 cm, sa se afle aria laterala a piramidei.
Rezolvare:
Aria bazei unei piramide hexagonale = 3l3 / 2 = 483 cm, deci l = 42 cm
Perimetrul bazei piramidei hexagonale = 6 l = 242 cm

3. Daca volumul unei piramide hexagonale regulate are 483 cm, inaltimea piramidei are 3 cm
iar apotema piramidei este egala cu latura bazei, sa se calculeze aria totala.
Rezolvare:
Volumul piramidei = Ab h / 3 = Ab 3 / 3 = 483 cm, de unde rezulta ca Ab= 483 cm
Aria bazei unei piramide hexagonale = 3l3 / 2 = 483 cm, deci l = 42 cm
Perimetrul bazei piramidei hexagonale = 6 l = 6 42 = 242 cm
Aria totala = Aria bazei + Aria laterala = 483 cm + 96 cm

4. Aria laterala a unei piramide hexagonale are 192 cm, inaltimea are 4 cm, iar apotema este egala cu latura bazei. Cunoscand aceste date sa se calculeze volumul piramidei.
Rezolvare:
Aria laterala a piramidei = Pb ap / 2 = 6 l l / 2 = 3l = 192 cm, deci l = 8 cm
Aria bazei unei piramide hexagonale = 3l3 / 2 = 3 83 = 1923 cm

5. Intr-o piramida hexagonala regulata, latura bazei are aceeasi dimensiune cu inaltimea
piramidei si anume 10 cm, iar apotema piramidei are 57 cm. Sa se calculeze aria laterala si
volumul piramidei.
Rezolvare:
Perimetrul bazei piramidei hexagonale = 6 l = 60 cm
Aria bazei unei piramide hexagonale = 3l3 / 2 = 1503 cm


apotema trunchiului de piramida (at)este o inaltime in una dintre fetele laterale ale trunchiului

1Folosind notiunile invatate pana acum, deseneaza o piramida triunghiulara regulata, asemanatoare cu cea din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat piramida triunghiulara regulata, traseaza pe fiecare fata laterala a acestei piramide cate o dreapta paralela cu baza piramidei, astfel incat sa rezulte un triunghi mai mic, in partea de sus a piramidei. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:

3Sterge inaltimea si partea de sus a piramidei, tot ce este deasupra triunghiului mic obtinut la pasul 2. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:

Exercitii rezolvate1. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are h = 9 cm, latura bazei mari 8 cm, iar latura bazei mici 4 cm. Sa se afle volumul trunchiului de piramida.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara = l3 / 4 = 43 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara = L3 / 4 = 163 cm
Volumul unui trunchi de piramida triunghiulara = h/3 (Ab + AB + (Ab AB)) = 843 cm

2. Sa se calculeze aria totala si volumul unui trunchi de piramida triunghiulara daca se cunosc
urmatoarele date: l = 12 cm, L = 18 cm, h = 13 si at = 4 cm.
Rezolvare:
Perimetrul bazei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara = 3 l = 36 cm
Perimetrul bazei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara = 3 L = 54 cm
Aria laterala a unui trunchi de piramida triunghiulara = (Pb + PB) at / 2 = 180 cm
Aria totala a unui trunchi de piramida = Ab + AB + Al = 1173 cm + 180 cm
Volumul unui trunchi de piramida triunghiulara = h/3 (Ab + AB + (Ab AB)) = 5739 cm

3. Stiind ca volumul unui trunchi de piramida triunghiulara este de 382 / 3 cm, iar laturile
bazelor trunchiului au 4 cm si 6 cm, sa se afle inaltimea trunchiului.
Rezolvare:
Volumul unui trunchi de piramida triunghiulara = h/3 (Ab + AB + (Ab AB))= 382 / 3 cm
V = h/3 (43 + 93 + 63) = h/3 193 = 382 / 3 cm, de unde rezulta h = 26 / 3 cm

4. Calculeaza aria totala a unui trunchi de piramida triunghiulara regulata care are laturile de 3 cm, respectiv 9 cm, iar apotema de 2 cm.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara = l3 / 4 = 93 / 4 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara = L3 / 4 = 813 / 4 cm
Aria laterala a unui trunchi de piramida = (Pb + PB) at / 2 = 36 cm
Aria totala a unui trunchi de piramida = Ab + AB + Al = 453 / 2 cm + 36 cm

5. Daca aria bazei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara este de 813 / 4 cm, aria bazei mici este de 93 cm, apotema are 2 cm, iar inaltimea 13 / 2 cm. Sa se afle aria
totala si volumul trunchiului de piramida.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara = l3 / 4 = 93 cm, deci l = 6 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara = L3 / 4 = 813 / 4 cm, L = 9 cm
Volumul unui trunchi de piramida = h/3 (Ab + AB + (Ab AB)) = 17139 / 24 cm



1Folosind notiunile invatate pana acum, deseneaza o piramida patrulatera regulata, asemanatoare cu cea din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat piramida patrulatera regulata, traseaza pe fiecare fata laterala a acestei piramide cate o dreapta paralela cu baza piramidei, astfel incat sa rezulte un paralelogram mai mic, in partea de sus a piramidei. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:

3Sterge inaltimea si partea de sus a piramidei, tot ce este deasupra paralelogramului mic obtinut la pasul 2. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:

Exercitii rezolvateUn trunchi de piramida patrulatera regulata are lungimile bazelor de 4 cm, respectiv 8 cm,inaltimea de 42 cm, iar apotema de 6 cm. Sa se afle aria totala si volumul trunchiului de piramida.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida patrulatera = l = 4 = 16 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de piramida patrulatera = L = 8 = 64 cm
Perimetrul bazei mici a unui trunchi de piramida patrulatera = 4l = 16 cm
Perimetrul bazei mari a unui trunchi de piramida patrulatera = 4L = 32 cm
Volumul unui trunchi de piramida = h/3 (Ab + AB + (Ab AB)) = 4482 / 3 cm

2. Stiind ca aria bazei mari este de 100 cm, iar aria bazei mici de 64 cm, sa se determine cat este aria laterala a unui trunchi de piramida patrulatera daca apotema trunchiului are 5 cm.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida patrulatera = l = 64 cm, deci l = 8 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de piramida patrulatera = L = 100 cm, deci L = 10 cm

3. Volumul unui trunchi de piramida patrulatera regulata are 1110 cm. Daca latura bazei mici are 9 cm, iar inaltimea este de 10 cm sa se afle aria bazei mari a trunchiului.
Rezolvare:
Volumul unui trunchi de piramida = h/3 (Ab + AB + (Ab AB)) = 1110 cm
= 10/3 (81 + L + 9L) = 1110 cm
= L + 9L + 81 = 333
= L + 9L - 252 = 0, din rezolvarea ecuatiei de gradul al II-lea rezulta L = 12cm

4. Aria laterala a unui trunchi de piramida patrulatera regulata are 320 cm, aria totala are 592 cm, iar apotema trunchiului este de 8 cm. Sa se calculeze laturile celor doua baze.
Rezolvare:
Aria laterala a unui trunchi de piramida = (Pb + PB) at / 2 = (Pb + PB) 4 = 320 cm rezulta ca Pb + PB = 80 cm, adica 4l + 4L = 80 cm, deci L + l = 20 cm.
Aria totala a unui trunchi de piramida = Ab + AB + Al = Ab + AB + 320 cm = 592 cm, rezulta ca Ab + AB = 272 cm, adica L + l = 272 cm
Din cele doua relatii, prin incercari, obtinem L = 16 cm si l = 4 cm.

5. Intr-un trunchi de piramida patrulatera se cunosc urmatoarele date: l = 4 cm, L = 10 cm, at = 5 cm, iar h = 4 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul trunchiului de piramida.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida patrulatera = l = 4 = 16 cm
Aria totala a unui trunchi de piramida = Ab + AB + Al = 16 + 100 + 140 = 256 cm


1Folosind notiunile invatate pana acum, deseneaza o piramida hexagonala regulata, asemanatoare cu cea din figura urmatoare:

2Dupa ce ai desenat piramida hexagonala regulata, traseaza pe fiecare fata laterala a acestei piramide cate o dreapta paralela cu baza piramidei, astfel incat sa rezulte un hexagon mai mic, in partea de sus a piramidei. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:

3Sterge inaltimea si partea de sus a piramidei, tot ce este deasupra hexagonului mic obtinut la pasul 2. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:

Exercitii rezolvate1. Intr-un trunchi de piramida hexagonala regulata se cunosc urmatoarele date: l = 2 cm,
L = 4 cm, at = 3 cm si h = 6 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul trunchiului de piramida.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida hexagonala = 3l3 / 2 = 63 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de piramida hexagonala = 3L3 / 2 = 243 cm
Perimetrul bazei mici a unui trunchi de piramida hexagonala = 6 l = 12 cm
Perimetrul bazei mari a unui trunchi de piramida hexagonala = 6 L = 24 cm
Aria totala a unui tr. de piramida = Ab + AB + Al = 63 + 243 + 54 = 303 cm + 54cm

2. Stiind ca inaltimea unui trunchi de piramida hexagonala este de 10 cm, latura bazei mici de 3 cm si latura bazei mari de 9 cm, sa se afle cat este volumul trunchiului de piramida.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida hexagonala = 3l3 / 2 = 273 / 2 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de piramida hexagonala = 3L3 / 2 = 2433 / 2 cm

3. Sa se determine aria totala si volumul unui trunchi de piramida hexagonala cu aria bazei
mici egala cu 273 / 2 cm, aria bazei mari egala cu 543 cm, apotema trunchiului 91 / 2 cm, iar inaltimea 4 cm.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida hexagonala = 3l3 / 2 = 273 / 2 cm, l = 3 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de piramida hexagonala = 3L3 / 2 = 543 cm, L = 6 cm
Aria laterala a unui trunchi de piramida = (Pb + PB) at / 2 = 2791 / 2 cm
Aria totala a unui tr. de piramida = Ab + AB + Al = 1353 / 2 cm + 2791 / 2 cm

4. Daca latura bazei mici a unui trunchi de piramida hexagonala are 5 cm, latura bazei mari are 10 cm, iar apotema este de 6 cm, sa se determine aria totala a trunchiului de piramida.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida hexagonala = 3l3 / 2 = 753 / 2 cm

5. Sa se afle inaltimea unui trunchi de piramida hexagonala, daca latura bazei mici este 4 cm, latura bazei mari este de 12 cm, iar volumul are 936 cm.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de piramida hexagonala = 3l3 / 2 = 243 cm
Volumul unui tr. de piramida = h/3 (Ab + AB + (Ab AB)) = 936 cm, deci h = 33 cm


1Deseneaza un dreptunghi asemanator cu cel din figura urmatoare. Traseaza latimile dreptunghiului cu linii punctate:cursuri

2Dupa ce ai desenat dreptunghiul, pune varful compasului in mijlocul uneia dintre liniile punctate (latimile dreptunghiului pe care l-ai desenat la pasul 1) si varful creionului in unul dintre capetele liniei. Apoi traseaza un cerc in jurul liniei punctate (deseneaza un oval in locul cercului pentru ca asa se vede in spatiu: vezi figura). Repeta desenul si pentru cealalta linie punctata. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:cursuri

3Sterge putin cate putin, cu guma, linia care nu ar trebui sa se vada in spatiu. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:cursuri

Exercitii rezolvateRaza unui cilindru circular drept este de 5 cm, iar generatoarea de 10 cm. Sa se afle aria si volumul cilindrului.
Rezolvare:
Aria bazei unui cilindru = R = 25 cm
Aria laterala a unui cilindru = 2R G = 100 cm
Aria totala a unui cilindru = 2Ab + Al = 50 cm + 100 cm = 150 cm
Volumul unui cilindru =R h = 250 cm

2. Volumul unui cilindru circular drept este de 128 cm, iar raza de 4 cm. Sa se calculeze aria totala.
Rezolvare:
Volumul unui cilindru =R h = 128 cm, R = 4 cm, de unde rezulta ca h = G = 8 cm
Aria bazei unui cilindru =R = 16 cm

3. Stiind ca aria laterala a unui cilindru circular drept este de 42 cm, iar volumul este de 60 cm, sa se afle raza si generatoarea cilindrului.
Rezolvare:
Aria laterala a unui cilindru = 2R G = 42 cm, de unde rezulta ca R G = 21 cm
Volumul unui cilindru = R h = R G = R R G = R 21 = 63 cm
Din relatiile de mai sus rezulta ca R = 3 cm si G = h = 7 cm.

4. Aria bazei unui cilindru circular drept este 36 cm. Daca aria totala are 216 cm, sa se calculeze volumul cilindrului.
Rezolvare:
Aria bazei unui cilindru = R = 36 cm, rezulta ca R = 6 cm
Aria totala a unui cilindru = 2Ab + Al = 72 cm + Al = 216 cm, deci Al = 144 cm
Aria laterala a unui cilindru = 2R G = 144 cm, rezulta G = h = 12 cm
Volumul unui cilindru = R h = 36 12 = 432 cm

5. Raza si generatoarea unui cilindru circular drept sunt egale cu 9 cm. Sa se calculeze aria totala si volumul cilindrului.
Rezolvare:
Aria bazei unui cilindru = R = 81 cm
Volumul unui cilindru = R h = 729 cm

1Deseneaza un triunghi isoscel, asemanator cu cel din figura urmatoare. Traseaza baza triunghiului cu linie punctata:cursuri

2Dupa ce ai desenat triunghiul, pune varful compasului in mijlocul liniei punctate (baza triunghiului pe care l-ai desenat la pasul 1) si varful creionului in unul dintre capetele liniei. Apoi traseaza un cerc in jurul liniei punctate (deseneaza un oval in locul cercului pentru ca asa se vede in spatiu: vezi figura). Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:cursuri


Exercitii rezolvateSa se afle aria totala si volumul unui con circular drept cu raza de 5 cm, generatoarea de
10 cm, iar inaltimea de 53 cm.
Rezolvare:
Aria bazei unui con = R = 25 cm
Aria laterala a unui con = R G = 50 cm
Aria totala a unui con = Ab + Al = 25 cm + 50 cm = 75 cm
Volumul unui con = R h = 1253 cm

2. Daca aria bazei unui con circular drept are 64 cm si generatoare are 11 cm, sa se calculeze aria totala a conului.
Rezolvare:
Aria bazei unui con = R = 64 cm, deci R = 8 cm

3. Stiind ca inaltimea unui con circular drept este de 12 cm, volumul de 300 cm si aria laterala de 65 cm, sa se determine cat este aria totala a conului.
Rezolvare:
Volumul unui con =R h = 300 cm, R = 25 cm, deci R = 5 cm

4. Intr-un con circular drept raza este egala cu inaltimea, avand 6 cm fiecare. Stiind ca
generatoarea are 62 cm sa se calculeze aria totala si volumul.
Rezolvare:
Aria totala a unui con = Ab + Al = 36 cm + 362 cm

5. Un con circular drept are raza de 6 cm, inaltimea de 8 cm si generatoarea de 10 cm. Sa se calculeze aria bazei, aria laterala, aria totala si volumul.
Rezolvare:

1Deseneaza un trapez isoscel, asemanator cu cel din figura urmatoare. Traseaza bazele trapezului cu linii punctate:cursuri

2Dupa ce ai desenat trapezul, pune varful compasului in mijlocul uneia dintre liniile punctate (bazele trapezului pe care l-ai desenat la pasul 1) si varful creionului in unul dintre capetele liniei. Apoi traseaza un cerc in jurul liniei punctate (deseneaza un oval in locul cercului pentru ca asa se vede in spatiu: vezi figura). Repeta desenul si pentru cealalta linie punctata. Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura de mai jos:cursuri


Exercitii rezolvateIntr-un trunchi de con circular drept se cunosc urmatoarele date: R = 8 cm, r = 5 cm, h = 4 cm si G = 5 cm. Sa se afle aria totala si volumul trunchiului de con.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de con = r = 25 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de con = R = 64 cm
Aria laterala a unui trunchi de con = G (R + r) = 65 cm
Aria totala a unui trunchi de con = Ab + AB + Al = 154 cm
Volumul unui trunchi de con = h (R + r + R r) / 3 = 172 cm

2. Daca raza bazei mici a unui trunchi de con circular drept este 12 cm, raza bazei mari are 15 cm, iar inaltimea are 10 cm, sa se afle volumul trunchiului de con.
Rezolvare:
Volumul unui trunchi de con = h (R + r + R r) / 3 = 1830 cm

3. Stiind ca aria bazei mici a unui trunchi de con circular drept este de 36 cm, aria bazei mari este de 64 cm, iar generatoarea are 10 cm, sa se calculeze aria totala a trunchiului
de con.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de con = r = 36 cm, deci r = 6 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de con = R = 64 cm, deci R = 8 cm

4. Sa se afle inaltimea unui trunchi de con circular drept daca volumul acestuia este de 1468 cm, raza bazei mici de 9 cm si raza bazei mari de 13 cm.
Rezolvare:
Volumul unui trunchi de con = h (R + r + R r) / 3 = 1468 cm, deci h = 12 cm

5. Sa se calculeze aria totala si volumul unui trunchi de con circular drept cu ariile celor doua
baze de 25 cm si respectiv 49 cm, generatoarea de 10 cm, iar inaltimea de 213 cm.
Rezolvare:
Aria bazei mici a unui trunchi de con = r = 25 cm, deci r = 5 cm
Aria bazei mari a unui trunchi de con = R = 49 cm, deci R = 7 cm
Volumul unui trunchi de con = h (R + r + R r) / 3 = 21813 / 3 cm

1Deseneaza un cerc (deseneaza un oval in locul cercului pentru ca asa se vede in spatiu: vezi figura), asemanator cu cel din figura urmatoare:cursuri

2In continuare, pune varful compasului in mijlocul cercului pe care l-ai desenat la pasul 1 si varful creionului in unul dintre capetele liniei. Apoi traseaza un cerc in jurul mijlocului primului cerc (de data aceasta nu mai desena un oval, ci un cerc deoarece este un desen in plan, nu in spatiu). Ar trebui sa obtii un rezultat asemanator cu cel din figura urmatoare:cursuri

3Sterge putin cate putin, cu guma, liniile care nu ar trebui sa se vada in spatiu. Vei obtine in final urmatoarea figura geometrica:cursuri

Exercitii rezolvate1. Sa se afle volumul si aria sferei cu raza de 4 cm.
Rezolvare:
Aria unei sfere = 4 R = 64 cm
Volumul unei sfere = 4 R / 3 = 256 / 3 cm

2. O sfera are volumul de 288 cm. Sa se afle aria sferei.
Rezolvare:
Volumul unei sfere = 4 R / 3 = 288 cm, deci R = 6 cm

3. Stiind ca aria unei sfere este 324 cm, sa se calculeze volumul sferei.
Rezolvare:
Aria unei sfere = 4 R = 324 cm, de unde rezulta ca R = 9 cm.
Volumul unei sfere = 4 R / 3 = 972 cm

4. Daca raza unei sfere este de 33 cm, sa se afle aria si volumul sferei.
Rezolvare:
Volumul unei sfere = 4 R / 3 = 1083 cm

5. Sa se calculeze aria unei sfere cu volumul de 36 cm.
Rezolvare:
Volumul unei sfere = 4 R / 3 = 36 cm, deci R = 3 cm

Documents

Curs Elementar de Geometrie in Spatiu